Egy keveset a bolygók perihélium - elfordulásáról

Átírás

1 1 Egy keveset a bolygók perihélium - elfordulásáról Szép ábrákat / animációkat találtunk az interneten, melyek felkeltették érdeklődésünket. Ilyen az 1. ábra is. 1. ábra forrása: svg/600px-drehung_der_apsidenlinie.svg.png Itt azt szemléltetik, hogy a mozgása során hogyan fordul el lassan egy bolygó pályája, amit a napközeli pont elforgatásával mutatnak meg. Viszonylag kevesebb szó esik a pálya alakjáról; igaz, ehhez már mélyebb matematikai és fizikai ismeretekre is szükség lehet. Ugyanis ez a jelenség a perturbált Kepler - probléma nevet is viseli, melyből kiderül, hogy bizonyos zavarok hatására alakul így a centrális erőtérben mozgó égitest pályája [ 1 ]. A Naprendszer egyik bolygójára kifejtett zavaró hatások lehetnek a Nap hatásán kívül : ~ a többi bolygó ( Newton szerinti ) gravitációs vonzása ( többtest - probléma ); ~ a Nap által meggörbített téridőben szabadon való ( Einstein szerinti ) mozgás. A zavart bolygópályát nem ritkán egy lassan elforduló ellipszisnek nevezik. Ennek az érdekes, ámde nem igazán közismert pályának megvan a polárkoordinátás egyenlete is [ 2 ] ahol a pólus most is a vonzó - centrumban van: ( 1 ) Itt az ellipszis szokásos adataival: ( 2 ) ( 3 )

2 2 ahol: ~ p: az ellipszis paramétere; ~ e: az ellipszis numerikus excentricitása; ~ a: az ellipszis fél nagytengelye; ~ b: az ellipszis fél kistengelye; ~ c: az ellipszis lineáris excentricitása; ~ κ: állandó tényező. Itt a κ tényezőről kell néhány szót ejteni [ 2 ]. ~ Értéktartománya, amire a levezetése során kapott alakból következtetünk: ( 4 ) ~ Értékének megválasztása: ha azt akarjuk, hogy az ( 1 ) képlettel előállított síkgörbe záródjon, akkor így érvelhetünk. A perihélium az ellipszis egyenletében a φ = 0 szögnek felel meg, ekkor r min = p / ( 1 + e ). Legközelebb akkor lesz a bolygó ilyen távolságra a ( vonzó - ) centrumtól, ha ( 1 ) - ben ( 5 ) A φ szöget ld. az 1. ábrát is! ( 6 ) alakban felírva ahol Δφ két egymást követő napközeli bolygóhelyzet szögtávolsága, ( 5 ) és ( 6 ) szerint: ( 7 ) Most gondoljuk meg az alábbiakat is! Ha 1 db perihélium - elfordulás létrehozásához szögelfordulást kell teljesítenie a bolygónak, akkor n db perihélium - elforduláshoz szögelfordulást, ami a pálya záródása esetén teljes szögelfordulást jelent. Eszerint: azaz:

3 3 ( 8 ) Most ( 7 ) és ( 8 ) szerint zárt pálya esetén: innen: ( 9 ) A szemléltetést szolgálja a 2. ábra is. 2. ábra forrása: [ 3 ] Az eddigieket egy mintafeladatban alkalmazzuk. Adatok: a = 5 ( cm ); b = 3 ( cm ); c = 4 ( cm ); m = 10; n = 9. ( A ) Most ( 10 ) és ( A ) szerint: ( a ) Majd ( 1 ), ( A) és ( a ) - val: ( b ) Ezután pl. ( 8 ) és ( A ) - val: ( c ) Eredményeinket a 3. ábra mutatja. Itt a zöld ellipszis a κ = 1 esetnek felel meg.

4 4 3. ábra Megjegyzések: M1. A ( 4 ) képlet előtt említettük, hogy a κ paraméter a alakban is felírható. Erre az ad okot, hogy [ 3 ] - ban ( a 60. oldalon ) az ( 1 ) alakú megoldáshoz ezt a képletet találjuk: ( d ) M2. [ 2 ] - ben a ( 7 ) képlet ellentettje olvasható. Máshol is találtunk benne sajtóhibát. M3. Részletes ismertetés / levezetés található a relativisztikus Kepler - mozgásról például [ 4 ] - ben. A szóban forgó pálya - alak elnevezése ott: rozetta - pálya. Az ottani vizsgála - tok annyiban relativisztikusak, hogy a tömeg sebességfüggését is figyelembe veszik, de a potenciálfüggvény ugyanaz, mint a nemrelativisztikus esetben. Vagyis ott egy speciális relativitáselméleti modellel dolgoztak, nem az általános relativitáselméletivel. A fizikusok szerint az utóbbi adja meg azt a perihélium - elfordulási különbözetet a Merkúr bolygó esetében, ami a csillagászati megfigyelések és az addigi elméleti értékek között volt.

5 5 M4. Érdemes újfent megjegyezni, hogy ( 4 ) fennállása esetén a perihélium - elfordulás szögére ( 7 ) általában, ( 8 ) pedig csak zárt pályagörbék esetén igaz. A [ 3 ] műben meg - említik, hogy általános esetben a véges mozgás pályája nem zárt; végtelen sokszor átmegy a minimális és maximális távolságon ( mint pl. a 2. ábrán ), és végtelen idő alatt betölti a két határ közötti egész körgyűrűt. M5. Most hasonlítsunk össze két, egymáshoz közeli zárt és nem zárt görbét 4. ábra! Ehhez adatok: a = 5; b = 3; c = 4; n = 7 ; m = 10 ; κ = 0,7. ( C1 ) a = 5; b = 3; c = 4; m = 10 ; κ = 1 / sqrt( 2 ) 0, ( C2 ) 4. ábra A ( C1 ) adatokkal bíró görbe záródik, mert pl. a mértékegység cm : φ = 0 - ra: r = 1; x = 1; y = 0; φ = 10 x 2π - re: r = 1; x = 1; y = 0; a ( C2 ) adatokkal bíró görbe nem záródik, mert pl. a mértékegység cm : φ = 0 - ra: r = 1; x = 1; y = 0; φ = 10 x 2π - re: r = 1, ; x = 1, ; y = 0.

6 6 M6. A pálya zártsága úgy értelmezhető, hogy a pályagörbének nem akármilyen, hanem a kezdő és végpontjai egybeesnek, bizonyos számú fordulat megtétele után. Ugyanis a nem zárt görbe is metszheti saját magát, vagyis két pontja egybeesik, ahogyan az pl. a 4. ábrán is látható. A 4. ábra utáni adatok is éppen a kezdő és a végpontok egymáshoz viszonyított helyzetéről szólnak. M7. A [ 3 ] műben ezt olvastuk: A pálya zártságának feltétele, hogy e szög ( itt a 2. ábrán is berajzolt szögre utalnak ) és hányadosa racionális szám legyen, azaz ahol m és n egész számok. Ezt hasonlítsuk össze a ( 8 ) - ból adódó ( 8 / 1 ) képlettel! Azt látjuk, hogy az m és n egész számok között többlet feltételként még kiróható pl. az is, hogy ( 10 ) Ha előírjuk, hogy ( 11 ) akkor ( 8 ) és ( 11 ) egyenlővé tételével: ( 12 ) Vegyük figyelembe, hogy a rozetta egy levele akkor tér el csak keveset az ellipszistől, ha egy kis pozitív ε - nal: ( 13 ) Majd ( 9 ) és ( 13 ) - mal: ( 14 ) Például a λ = 1, N = 11, a = 5; b = 3; c = 4; ( D ) választással ( D ) és ( 14 ) szerint: ( e )

7 7 ( f ) A ( D ), ( e ) és ( f ) - nek megfelelő rozettát az 5. ábra mutatja. Nagyítva jól látszik, hogy az első levél kezdete, valamint az utolsó vége pontosan egybeesik: a görbe záródik. Az 5. ábrán minden levelet más színnel rajzoltunk meg, a Graph ingyenes szoftverrel. 5. ábra M8. A κ > 1 esetben is működik az ( 1 ) képlet, azonban ekkor ez már nem a mondott fizi - kai feladat megoldását adja. Ez, persze, így egy kicsit pongyola megfogalmazás, hiszen a fizikai problémát nem is nagyon rögzítettük; pl. [ 3 ] - ban egy vagy

8 8 míg a [ 4 ] - ben egy, alakú potenciálfüggvényről van szó. A részleteken, meglehet, még el kell merengenie az érdeklődő Olvasónak. Ide tartozik a sajtóhiba kérdése is; megeshet, hogy az alaposabb vizsgálat kiderítené, hogy hol van félreértés, és hol történt valóban tévesztés. M9. Ha κ > 1, akkor a ( 7 ) szerint Δφ < 0. Egy ilyen esetet szemléltet a 6. ábra. Itt Ekkor ( 7 ) szerint: Ez jól látszik is. 6. ábra M10. Azt találtuk / az ábrák azt mutatják, hogy az

9 9 ( 1 ) egyenlet a κ tényező különbözői értékeinél / érték - tartományaiban más - más viselkedést mutat. Ezek ( 1 ) szerint, ( 7 ) - tel is, a κ < 0 tartománnyal nem foglalkozva: ( g ) ( h ) ( i ) ( j ) A ( 7 ) szerinti kapcsolatát a 7. ábra szemlélteti κ > 0 - ra. 7. ábra Úgy tűnik, hogy minket főleg csak a ( k ) érték - tartomány érdekelhet. M11. A jelzett klasszikus mechanikai kérdéskör alaposabb vizsgálatához ajánlható még az [ 5 ] munka tanulmányozása is. Ez komolyabb matematikai felkészültséget, esetleg elő - tanulmányokat is igényelhet.

10 10 Irodalomjegyzék: [ 1 ] Főszerk.: Holics László: Fizika Akadémia Kiadó, Budapest, 2009., 807 ~ 808. o. [ 2 ] Szerk.: Nagy Károly: Elméleti fizikai példatár I. Tankönyvkiadó, Budapest, 1981., 151. o. [ 3 ] L. D. Landau ~ E. M: Lifsic: Elméleti fizika I.: Mechanika Tankönyvkiadó, Budapest, 1974., 51 ~ 60. o. [ 4 ] Bernhard Schnizer: Analytische Mechanik e - jegyzet TU Graz, Inst. für Theoretische Physik, 2003., 172 ~ 176. o. [ 5 ] Herbert Goldstein ~ Charles Poole ~ John Safko: Classical Mechanics 3. kiadás, Addison Wesley, New York, internet: Sződliget, augusztus 12. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár