Bolygómozgás. Számítógépes szimulációk fn1n4i11/1. Csabai István, Stéger József

Átírás

1 Bolygómozgás Számítógépes szimulációk fn1n4i11/1 Csabai István, Stéger József ELTE Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék

2 Bevezetés Egy Nap körül kering bolygó pályája A Kepler-törvények: 1 A bolygók pályája ellipszis, és annak egyik gyújtópontjában van a Nap. 2 A bolygók vezérsugara (a bolygót a Nappal összeköt szakasz) azonos id k alatt azonos területet súrol. 3 A bolygók Naptól való átlagos távolságainak, azaz a pálya fél nagytengelyeinek (a) köbei úgy aránylanak egymáshoz, mint a keringési idejük (T ) négyzetei. Tehát a a3 hányados minden bolygó esetén T 2 ugyanakkora (ha azok ugyanabban a naprendszerben keringenek). I. Csabai (ELTE) Bolygómozgás 2 / 15

3 Bevezetés Kepler az el z törvényeket nem elméleti úton vezette le, hanem Tycho Brahe csillagászati meggyelései alapján találta meg. A törvényeket kés bb Isaac Newton vezette le a gravitációs elmélete alapján. Tycho Brahe, Johann Kepler és Isaac Newton A gravitációs elmélet alapján több általánosítás tehet : a törvények nem csak egy bolygó-csillag párosra, hanem bolygó körül kering holdakra és m holdakra, illetve bármely nagy tömeg égitest körül kering más égitestekre is igazak a természetben nem csak kötött ellipszis alakú pályák lehetésgesek, hanem parabola és hiperbola is lehetséges I. Csabai (ELTE) Bolygómozgás 3 / 15

4 Tömegpontok dinamikája r 12 F 12 F21 m 1 m 2 r 21 Kepler törvényei Newton gravitációs törvényéb l vezethet ek le: F 12 = Γ m 1m 2 r 3 12 r 12, F21 = Γ m 1m 2 r r A középpontba mutató er k következtében a perdület megmarad, így a pályák síkban helyezkednek el. I. Csabai (ELTE) Bolygómozgás 4 / 15

5 A Kepler-probléma egzakt megoldása Észrevételek: a Nap tömege legalább 1000-szerese bármely bolygó tömegénél, feltehetjük, hogy a Nap mozdulatlan, illetve elhanyagolhatjuk a bolygók tömegét, bolygó-hold, csillag-csillag rendszerek esetén a tömegek nem hanyagólhatóak el, ekkor a tömegközéppont lesz mozdulatlan (redukált tömeg!). µ = m 1m 2 m 1 + m 2, r = r 1 r 2, m 1 r 1 + m 2 r 2 = 0. I. Csabai (ELTE) Bolygómozgás 5 / 15

6 A Kepler-probléma egzakt megoldása Megoldás: a Kepler-pálya egyenlete (jelölje ɛ a pálya excentricitását): r(θ) = a(1 ɛ2 ) 1 ɛ cos θ, b = a 1 ɛ 2, a pálya sebesség: ( 2 v = Γ(m 1 + m 2 ) r 1 ), a a teljes energia (a kinetikus és a potenciális energia együtt): E = 1 2 µv 2 Γ m 1m 2 r a keringési id (Kepler 3-ik törvényéb l): a perdület: T 2 = 4π 2 Γ(m 1 + m 2 ) a3 L = r (µ v). = Γ m 1m 2 2a, I. Csabai (ELTE) Bolygómozgás 6 / 15

7 A Kepler-probléma numerikus számítása Két bolygó kering a közös tömegközéppontjuk körül. Határozzuk meg a pálya paramétereit! Csillagászati egységekben dolgozunk: a Föld fél nagytengelye: Kepler 3-ik törvénye: 1AU = 1, m. Γ(M + m ) = 4π2 a 3 a távolságot mérjük csillagászati egységben (AU) és az id t években (yr): t 2 Γ(M + m AU3 ) = 4π2. yr 2 I. Csabai (ELTE) Bolygómozgás 7 / 15

8 A Kepler-probléma numerikus számítása Kezdeti értékekek megválasztása: válasszuk a nagytengelyt az x-tengelynek, rögzítsük x(t = 0)-t a közelpontban: x(0) = a(1 + ɛ), a közelpontban a sebesség y irányú, adjuk meg v y (t = 0)-t, a sebesség a pálya egyenletb l ( 2 v = Γ(m 1 + m 2 ) r 1 ). a Az el z összefüggések alapján t = 0-ban meghatározhatjuk a megadott paraméterek mellett az excentricitást és a fél nagytengely méretét ɛ = x(0)v y(0) 2 Γ(M + m ) 1, a = x(0) 1 + ɛ. I. Csabai (ELTE) Bolygómozgás 8 / 15

9 A tengelymetszet meghatározása A pálya vizsgálatához ki akarjuk íratni az x-tengely metszeteket. A szimuláció véges lépéshosszai miatt, nem várható el, hogy pont a tengelyre essen egy-egy lépés, amikor keresztezzük az x-tengelyt, ezért vissza kell léptetnünk oda. Visszaléptet algoritmus Áttérünk t-r l y változóra: és a Runge-Kutta lépésköz legyen y. d x dy = d x/dt dy/dt. I. Csabai (ELTE) Bolygómozgás 9 / 15

10 A háromtest-probléma A probléma egyszer nek t nik: három tömeg (m 1, m 2, m 3 ), három pozició ( r 1, r 2, r 3 ) és három egyenlet. Az 1. testre felírható egyenlet Tapasztalat: d 2 r 1 = dt 2 Γm r 1 r 2 2 r 1 r 2 Γm r 1 r 3 3 r 1 r 3 a megoldások azonban er sen függenek a kezdeti feltételekt l! analitikusan csak nagyon kevés eset kezelhet. Analitikusan kezelhet esetek a síkbeli háromtest-probléma mind a 3 test egy közös síkban mozog, a korlátozott háromtest-probléma m 3 = 0, ekkor m 1, m 2 Kepler-pályán mozog, míg a 3-ik körülöttük kering. I. Csabai (ELTE) Bolygómozgás 10 / 15

11 A síkbeli háromtest-probléma Általában a háromtest-problémák nem síkbeliek, de pl. a Naprendszer kezelhet síkbeliként. Az er törvények: a 1 = Γ m 2 r r 2 12 Γ m 3 r 12 r A relatív poziciókra teljesül: A mozgás egyenletek: s 1 = r 3 r 2, s 2 = r 1 r 3, s 3 = r 2 r 1, s 1 + s 2 + s 3 = 0. d 2 s i dt 2 = Γ m s 2 s i + m i G m = m 1 + m 2 + m 3, 3 G s i = Γ. s 2 i=1 i I. Csabai (ELTE) Bolygómozgás 11 / 15

12 Kitekintés Nap-Föld-Jupiter applet Változtatható paraméterek (Jupiterre és Földre külön-külön): m a Jupiter illetve a Föld tömege (Naptömeg egységekben), e excentricitásuk, a a Föld fél nagytengelye (AU-ban), theta a Föld kezdeti pálya szöge, clockwise a keringési iránya, valamint a egy csúszkával az animáció sebessége. Számolt értékek: t/t keringési id (saját évben), r távolság (AU-ban), v sebesség, L z az impulzusmomentum kerindési síkra mer leges vetülete. I. Csabai (ELTE) Bolygómozgás 12 / 15

13 Feladatok Használjuk a kepler.cpp programot! 1 Azt várjuk, hogy a pályaellipszis nagytengelyének iránya és nagysága állandó. Teszteljük, hogy a numerikus hibák miatt ez változik-e, és ha igen, akkor mennyire. Vizsgáljuk meg, hogy a lépéshossz és az alkalmazott integrálási módszer mennyire befolyásolja ezt. Keressük meg a trajektória perihéliumát, és mérjük le a nagytengely szögét és hosszát, a kiindulási helyzethez képest! 2 Vizsgáljuk meg, hogy az adaptív lépéshossz hogyan változik a pálya mentén! Ábrázoljuk és magyarázzuk meg a kapott eredményt! Hasonlítsuk össze, hogy ugyanakkora precizitás megkövetelésekor (pl. 10 teljes pálya megtétele után legyen ugyanakkora hiba), mennyi futási id szükséges a normál és az adaptív Runge-Kutta-szimulációhoz. Lapozz a többi feladathoz! I. Csabai (ELTE) Bolygómozgás 13 / 15

14 Feladatok 3 A Merkúr ( ) perihélium precessziója. A Merkúr pályája er sen elnyúlt (excentricitása: ɛ = 0, 2056), így a pályán hosszú id alatt meggyelhet annak elfordulása. Erre az elfordulásra az általános relativitás elmélet adott magyarázatot. Ennek alapján a következ korrekció szükséges az er k megadásakor: F = Γ m m r 2 ( 1 + α r 2 ). Írjuk át a kódot ennek a korrekciónak a gyelembevételére. Vizsgáljuk meg, hogy α 1, AU 2 érték mellett mekkora perihélium mozgást tapasztalunk. A kapott értéket vessük össze a a Merkúr pályájának évszázadonkénti 43 ívmásodperces mért elfordulásával. (Tipp: kis α esetén a precesszó rátája α, azaz meghatározhatjuk a meredekséget és extrapolálhatunk α 1, AU 2 -ra.) 4 Alakítsd át a forráskódot, hogy háromtest-problémát kezeljen. Próbálj ki különféle paramétereket, ábrázold a pályákat, vizsgáld a stabilitást! I. Csabai (ELTE) Bolygómozgás 14 / 15

15 Feladatok Szorglmi feladat 5 Largrange-pontok (lásd Wikipédia) stabilitása. Szimuláljuk a Nap-Jupiter rendszert, és vizsgáljuk meg az L1, L2, L3, L4, L5 Lagrange-pontokba helyezett kis a bolygó tömegénél sokkal kisebb tömegek mozgását. Igazoljuk, hogy (csak) a L4-L5 pontok stabilak! A Jupiter esetében az utóbbi pontokban valóban összegy lnek aszteroibák, az ún Trójai kisbolygók (linkek: trójaiak az SDSS-ben, Wikipedia). A jegyz könyvet PDF formátumban küldjük be a szamszim@gmail.com címre! I. Csabai (ELTE) Bolygómozgás 15 / 15