Fizika példák a döntőben

Átírás

1 Fizika példák a döntőben F. 1. Legyen két villamosmegálló közötti távolság 500 m, a villamos gyorsulása pedig 0,5 m/s! A villamos 0 s időtartamig gyorsuljon, majd állandó sebességgel megy, végül szintén 0 s ig lassítson, gyorsulása -0,5 m/s! Ábrázolják az út idő, a sebesség idő és a gyorsulás idő grafikonokat 5 s - os léptékben! 7 pont Megoldás v = a t = 10 m/s-ra gyorsul fel a 0 s alatt, és ez alatt 100 m távolságra jut. Ugyanennyi ideig lassít, mely alatt szintén 100 m utat tesz meg. 300 m t megy az állandó 10 m/s os sebességgel, mely 30 s-ig tart. A mozgás összesen 70 s ig tart. Idő (s) út (m) 5 s ok (mint időegység) alatt megtett utak (m) A gyorsuló szakasz, páratlan számok szerint nő az út: s = a/.t gy Egyenletesen növekszik az út: s = v max t e. A gyorsuló tükörképe,lassuló szakasz: s = 400 m + v max.t l - a/.t l Mérési időpont (s) Mérési pont távolsága kiindulási helytől (m) , , A két mérési pont közti különbség (m) Hosszegys ég 6,5 1 18, ,5 5 43,75 7

2 , , , ,5 5 18,75 3 6,5 1 F.. Becsüljék meg a Nap Föld távolságot a következő égi jelenség felhasználásával!

3 a.) Az egyik legkorábbi értékelhető mérést a fénysebességre Ole Rømer dán fizikus végezte 1676-ban. Mérései szerint a Jupiterholdak 1000 s mal később jönnek elő a Jupiter árnyékából az előre számítotthoz képest az ábrán látható J helyzetben a a J 1 helyzethez viszonyítva. Megoldás: b) b.) Félholdat láthatunk az égen. Milyen szöget zárhat be a Földet és a Holdat összekötő egyenes és a Földet és a Napot összekötő egyenes egymással ebben az égi helyzetben? Rajzolja le a három égitest egymáshoz viszonyított helyzetét! 7 pont a) 1000 s alatt kell megtennie a fénynek a Föld pálya átmérőjének megfelelő távolságot. d = c.t = m/s x 10 3 = m = m = km A Föld Nap pálya sugara ennek a fele, vagyis 150 millió km. napközel (147 millió km) és naptávol (15 millió km) A szög majdnem derékszög. Szamoszi Arisztarkosz így határozta meg először a Nap Föld távolságot, igaz elég pontatlanul, a Hold Föld pálya távolság felhasználásával és a szög mérésével. F. 3. Alkalmazható-e a Jupiter holdakra Kepler 3. törvénye?

4 a.) Indokolja válaszát Newton megfelelő axiómáinak felhasználásával! b.) Ellenőrizze állítását a következő adatok segítségével! Jupiter legnagyobb holdjai, melyeket Galilei fedezett fel 1610-ben: Hold A Jupitertől való távolság keringési idő (óra) (ezer km) Io 4 43 Európa 670,9 86 Ganimédesz (nagyobb, mint a Merkúr) Callisto c.) Alkalmazható vajon a Föld körül keringő műholdak esetében is Kepler 3. törvénye? Válaszát indokolja! 7 pont 3 R Néhány T értéket kellet kiszámítani és egymással összevetni. pl. 4 3 /43 = /1849 = 40644, /17 = /9584 = /399 = /15901 = kb. azonosak!!! Megoldás A különböző holdakkal és műholdakkal kapcsolatos példák kétféle módon is megoldhatók. A Newton féle gravitációs erőtörvény felhasználásával, vagy Kepler 3. törvényéből. Valójában Kepler 3. törvénye levezethető a mozgásegyenletből: v M. m m = γ R R az m tömeggel lehet egyszerűsíteni, továbbá a centripetális gyorsulást másképp felírni: γ. M Rϖ = R

5 4. π γ. M R = innen T R 3 R γ. M = = állandó x központi égitest tömege T 4. π A törvény tehát bármilyen égitest körül keringő holdakra, illetve csillag körül keringő bolygók esetében. Az állandó értéke csak a központi égitest tömegétől függ. F. 4. Homogénnek tekinthető, 50 V/m térerősségű elektromos mezőbe a térerősséggel 30 -os szögben 10 6 m/s nagyságú kezdősebességgel egy elektront lövünk be. a.) Hogyan, milyen pályán, fog mozogni az elektron? b.) Mekkora távolságot tesz meg, míg visszakerül a kiindulási nívófelületre? Megoldás 9 pont a.) A mozgás teljes mértékben analóg a ferde hajítással, tehát az elektron parabola pályán fog mozogni. b.) Gyorsulásának iránya a nívólapra merőleges lesz: a y = e.e/m = -8, m/s. A kezdeti sebesség x és y irányú komponensei: v 0x = v 0. sinα = m/s, v 0y = v 0. cosα = 8, m/s. (A szög a függőlegeshez képest van megadva, ezért van mintegy fordítva a gravitációs ferde hajításban megszokotthoz képest, ahol a vízszinteshez képesti szöget szoktuk megadni.) x max = t összes. v 0. sinα, tehát a mozgás idejét kell még meghatároznunk. Ehhez a függőleges irányú mozgást használjuk fel. A legmesszebbi ponton, a parabola csúcsánál éppen 0 lesz a függőleges irányú sebesség. v y = 0 = v 0. cosα - a.t 1/ t 1/ = 8, /8, = 9, s a mozgás ideje a parabola csúcsának eléréséhez. Ennek kell a -szeresét venni, ami a t összes lesz. x max =. 9, = 9, m = 9,8 cm. Az elektron pályáját is meg lehet határozni: y = v 0y.t a.t / és x = t. v 0x ahonnan ki kell fejezni az időt és y hoz beírni. x(m) y(cm) 0 0 0,01 0, ,0 0, ,03 0,036156

6 0,04 0, ,05 0,047 0,06 0, ,07 0, ,08 0, ,09 0, ,1 0,004 F. 5. Az Olimpián sportlövészet is van, melyhez jó reflexek kellenek, sokat kell gyakorolni és nem csak puskával. Nézzük a következő szituációt! A 10 méterre álló versenyző felé egy almát dobunk a vízszintessel 60 -os szöget bezáró, 0 m/s nagyságú sebességgel az edzésen. A versenyző az alma elindításának pillanatában, az alma eldobásával azonos magasságból lő ki egy nyílvesszőt, melynek kezdősebessége 41 m/s nagyságú. a.) Milyen irányban kell a versenyzőnek céloznia, hogy eltalálja az almát? b.) Hol lesz az alma, amikor a nyílvessző eltalálja? c.) Mekkora lesz a legnagyobb magasság és mely időpillanatban? d.) Rajzolja le a két test mozgását és a találkozás helyét! Vegyen 0,5 s-os időközöket az ábrázoláshoz! A légellenállástól tekintsünk el! 10 pont Megoldás a.) A találkozásnál az elmozdulások függőleges komponense ugyanakkora, hiszen azonos magasságból indultak. α = 60, az alma és β a keresett nyíl kezdősebességének a vízszintessel bezárt szöge. v A0.sinα.t g.t / = v Ny0.sinβ.t g.t /, innen az összevonások és egyszerűsítések után, ahonnan β = 5. Ilyen irányban kell célozni. b.) Az elmozdulások vízszintes komponenseinek összege a 10 m. Ezt felírva meg tudjuk határozni a találkozásig eltelt időt.

7 v A0.cosα.t + v Ny0.cosβ.t = 10 m, innen az idő t =,5 s nak adódik. Az alma vízszintes elmozdulása v A0.cosα.t = 5 m az alma függőleges elmozdulása v A0.sinα.t g.t / = 1 m Innen az elmozdulás Pythagoras tételével 7,7 m. d) Rajzolja le a két test mozgását és a találkozás helyét! Alma: v A0.sinα. g.t em = 0 0.sin60 = g.t em t em = 1,7 s, tehát már lefelé esik az alma. Nyíl v Ny0.sinβ.- g.t em = 0 41.sin5 = g.t em t em = 1,7 s, tehát már a nyíl is lefelé esik. Tehát mind a nyíl, mind az alma a hajítási parabola lefelé tartó ágában van. Alma x = 0.cos60.t = 10.t y = 0.sin60.t 5.t = 17,3.t 5.t idő (s) x (m) y (m) ,5 5 7, ,3 1, ,8 0 14,6, Nyíl x = 41.cos5.t = 38.t y = 41.sin5.t 5.t = 17,3.t 5.t idő (s) 10 - x (m) y (m) , , ,3

8 1, , ,6, c) A maximális magasság mindkét esetben: y max = 15,3 m. bármelyik függőleges összefüggésből számolva, hiszen azok azonosak. Vegyük észre, hogy a függőleges irányú mozgás azonos, melynek így is kell lennie. Ha egy időpontban találkoznak, az azt jelenti, hogy a többi időpontban is együtt mozogtak a függőleges irányban.