Az inga mozgásának matematikai modellezése

Átírás

1 Az inga mozgásának matematikai modellezése Csizmadia László Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Természet és Matematika Szeged, SZTE L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

2 Az alapelv L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

3 Az inga L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

4 Az ingára ható erő L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

5 Erő komponensei L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

6 Newton Másodrendű differenciálegyenlet L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

7 Newton Másodrendű differenciálegyenlet fizika L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

8 Newton Másodrendű differenciálegyenlet fizika Newton II. axiómája F = m a L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

9 Newton Másodrendű differenciálegyenlet fizika Newton II. axiómája F = m a a = dv dt = d 2 s dt 2 F = ms L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

10 Newton Másodrendű differenciálegyenlet fizika Newton II. axiómája F = m a a = dv dt = d 2 s dt 2 F = ms s = l ϕ a = l ϕ L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

11 Matematikai inga Mozgásegyenlet: ml ϕ = mg sin ϕ g - gravitációs állandó, l - az inga hossza. L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

12 Matematikai inga Mozgásegyenlet: ml ϕ = mg sin ϕ g - gravitációs állandó, l - az inga hossza. Feladat: a ϕ(t) függvény meghatározása L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

13 Matematikai inga Mozgásegyenlet: ml ϕ = mg sin ϕ g - gravitációs állandó, l - az inga hossza. Feladat: a ϕ(t) függvény meghatározása Amennyiben a közegellenállás fékezi (súrlódás), és annak nagysága a sebességgel arányos, akkor L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

14 Matematikai inga Mozgásegyenlet: ml ϕ = mg sin ϕ g - gravitációs állandó, l - az inga hossza. Feladat: a ϕ(t) függvény meghatározása Amennyiben a közegellenállás fékezi (súrlódás), és annak nagysága a sebességgel arányos, akkor a mozgásegyenlet: k - súrlódási tényező ml ϕ = mg sin ϕ kl ϕ L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

15 További lehetőségek - a helyzet fokozódik" Egyensúlyozó állán egy rúddal: L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

16 További lehetőségek - a helyzet fokozódik" Egyensúlyozó állán egy rúddal: L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

17 További lehetőségek - a helyzet fokozódik" Egyensúlyozó állán egy rúddal: L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

18 Modell: csak síkban mozoghat a rúd, L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

19 Modell: csak síkban mozoghat a rúd, a fölfüggesztési pontra egy periodikus, függőleges, vagy vízszintes irányú erő hat: L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

20 Modell: csak síkban mozoghat a rúd, a fölfüggesztési pontra egy periodikus, függőleges, vagy vízszintes irányú erő hat: F ml ϕ = m(g + ω 2 a cos ωt) sin ϕ kl ϕ L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

21 Modell: csak síkban mozoghat a rúd, a fölfüggesztési pontra egy periodikus, függőleges, vagy vízszintes irányú erő hat: F V ml ϕ = m(g + ω 2 a cos ωt) sin ϕ kl ϕ ml ϕ = mg sin ϕ kl ϕ + m(ω 2 a cos ωt) cos ϕ L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

22 Modell: csak síkban mozoghat a rúd, a fölfüggesztési pontra egy periodikus, függőleges, vagy vízszintes irányú erő hat: F V ml ϕ = m(g + ω 2 a cos ωt) sin ϕ kl ϕ ml ϕ = mg sin ϕ kl ϕ + m(ω 2 a cos ωt) cos ϕ L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

23 Segway L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

24 Segway L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

25 Jósoljunk! Sem közegellenállás, sem megütés": L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

26 Jósoljunk! Sem közegellenállás, sem megütés": ml ϕ = mg sin ϕ L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

27 Jósoljunk! Sem közegellenállás, sem megütés": ml ϕ = mg sin ϕ GOND L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

28 Jósoljunk! Sem közegellenállás, sem megütés": GOND Nem tudjuk megadni ϕ(t)-t. ml ϕ = mg sin ϕ L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

29 Jósoljunk! Sem közegellenállás, sem megütés": GOND Nem tudjuk megadni ϕ(t)-t. Hogyan tovább? ml ϕ = mg sin ϕ L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

30 Jósoljunk! Sem közegellenállás, sem megütés": GOND Nem tudjuk megadni ϕ(t)-t. Hogyan tovább? ml ϕ = mg sin ϕ L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

31 Jósoljunk! Sem közegellenállás, sem megütés": GOND Nem tudjuk megadni ϕ(t)-t. Hogyan tovább? ml ϕ = mg sin ϕ Kicsi szögekre: sin ϕ ϕ, L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

32 Jósoljunk! Sem közegellenállás, sem megütés": GOND Nem tudjuk megadni ϕ(t)-t. Hogyan tovább? ml ϕ = mg sin ϕ Kicsi szögekre: sin ϕ ϕ, a linearizált egyenlet L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

33 Jósoljunk! Sem közegellenállás, sem megütés": GOND Nem tudjuk megadni ϕ(t)-t. Hogyan tovább? ml ϕ = mg sin ϕ Kicsi szögekre: sin ϕ ϕ, a linearizált egyenlet ml ϕ = mgϕ, L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

34 Jósoljunk! Sem közegellenállás, sem megütés": GOND Nem tudjuk megadni ϕ(t)-t. Hogyan tovább? ml ϕ = mg sin ϕ Kicsi szögekre: sin ϕ ϕ, a linearizált egyenlet ml ϕ = mgϕ, amit meg tudunk oldani. L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

35 Segít a számítógép! Különböző programcsomagok használatával kísérletezhetünk", segíthetjük a sejtés kialakítását. L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

36 Segít a számítógép! Különböző programcsomagok használatával kísérletezhetünk", segíthetjük a sejtés kialakítását. pendulum/index.html L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12

37 Segít a számítógép! Különböző programcsomagok használatával kísérletezhetünk", segíthetjük a sejtés kialakítását. pendulum/index.html A gép forog az alkotó pihen." L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, / 12