Nem igaz; a helyvektor deriváltja egyenl a gyorsulás integráljával (megfelel kezdeti feltételekkel)

Átírás

1 K1A vizsgazh gyakorló anyag Fizika K1A zh nov Az alábbi állítások közül melyek azok, - amelyek általános esetben érvényesek; - amelyek soha nem igazak; - amelyek csak egyes speciális esetekben érvényesek (mikor)? <1> A gyorsulás y koordinátája egyenl a sebesség y koordinátájának id szerinti deriváltjával. <> Polárkoordináta-rendszerben egy adott pontban az e r és e ϕ egységvektorok által bezárt szög függ a pont helyétl. <3> A gyorsulás id szerinti deriváltja egyenl a helyvektor id szerinti integráljával. <4> Ha két test sebességvektora minden idben megegyezik, akkor megegyezik a helyvektoruk is. <5> Ferde hajításnál a vízszintes sebességkomponens állandó. <6> Ferde hajításnál a függleges sebességkomponens állandó. <7> Csak egy inerciarendszer létezik. <8> Ha inerciarendszerben egy test sebessége állandó, akkor nem hathat rá er. <9> Ha az er és a sebesség merlegesek egymásra, a sebesség nagysága nem változik. Megoldás: <1> A gyorsulás y koordinátája egyenl a sebesség y koordinátájának id szerinti deriváltjával. Igaz; Descartes-koordinátarendszerben ugyanis v(t) = v x (t)i+ v y (t)j+v z (t)k, a = v = v xi + v y j + v zk = a xi + a y j + a zk, azaz a y = v y <> Polárkoordináta-rendszerben egy adott pontban az e r és e ϕ egységvektorok által bezárt szög függ a pont helyétl. Nem igaz; az e r és e ϕ egységvektorok által bezárt szög mindig derékszög <3> A gyorsulás id szerinti deriváltja egyenl a helyvektor id szerinti integráljával. Nem igaz; a helyvektor deriváltja egyenl a gyorsulás integráljával (megfelel kezdeti feltételekkel) <4> Ha két test sebességvektora minden idben megegyezik, akkor megegyezik a helyvektoruk is. Csak abban a speciális esetben igaz, ha tudjuk, hogy egy idben megegyezett a helyvektoruk ekkor igaz, hogy bármely más idben is megegyezik (megfelel kiindulási feltétel esetén igaz) <5> Ferde hajításnál a vízszintes sebességkomponens állandó. Igaz (((feltéve, hogy a közegellenállás elhanyagolható))) <6> Ferde hajításnál a függleges sebességkomponens állandó. Nem igaz (((illetve lehet igaz, ha figyelembe vesszük a közegellenállást, akkor kialakulhat egy stacionárius sebesség))) <7> Csak egy inerciarendszer létezik. Nem igaz; egy inerciarendszerhez képest egyenes vonalú egyenletes transzlációt végz vonatkozatási rendszer is inerciarendszer (azaz végtelen sok inerciarendszer létezik) <8> Ha inerciarendszerben egy test sebessége állandó, akkor nem hathat rá er. Nem igaz; az erk eredje zérus <9> Ha az er és a sebesség merlegesek egymásra, a sebesség nagysága nem változik. Igaz; belátható a munkatételbl: ha F és v merlegesek, akkor W = 0, így E kin = (½ mv ) = 0, azaz v = konst. 1

2 . Írjon fel 3 példát ertörvényre! Írja le, melyik mire, mikor érvényes! Az egyikhez írja fel a mozgásegyenletet is! K1A vizsgazh gyakorló anyag Megoldás: Az ertörvények azt adják meg, hogy mitl, hogyan függ az er egy adott kölcsönhatás esetén. Példák: i nehézségi ertér G = mg = -mgk A felszín közelében lév testekre hat. Iránya függleges, a középpontja felé mutat; g a gravitációs gyorsulás. m1 m r Általános gravitációs ertörvény F = γ r r Bármely két test között fellép vonzóer. m 1, m a testek tömege, r az egyik testtl a másik felé mutató vektor, γ univerzális fizikai állandó (gravitációs állandó). Lineáris rugalmas ertörvény Egyik végén rögzített rugó a rugó megnyúlásával arányos ert fejt ki: F = -k (- 0 ) a rugó hossza, 0 a rugó hossza megnyújtatlan állapotban, k a rugóállandó. (ugalmas: az er csak a pillanatnyi kitéréstl függ, lineáris: az er arányos a kitéréssel.) Csúszási súrlódási er F = µn Ha egy test egy szilárd felületen mozog, akkor rá a mozgásiránnyal ellentétes csúszási súrlódási er hat; µ a csúszási súrlódási tényez, N a nyomóer. Tapadási súrlódási er Az az er, amelyet a felület fejt ki a (felülethez képest nyugalomban lév) testre, ha a testet más er mozgásba kívánja hozni. A tapadási súrlódási er maximális értéke F kr = µ t N. Gördül ellenállás F = µ g N Henger, gömb, kerekek gördülésénél fellép fékez er. Közegellenállási er Folyadékban vagy gázban mozgó szilárd testre ható, a sebességével ellentétes irányú fékez er. Kis sebességnél a sebességgel F = - k v, nagyobb sebességnél a sebesség négyzetével arányos: F = - k v v Mozgásegyenlet: (a II. axiómába behelyettesítjük az aktuális ertörvényt, és a gyorsulást a helyvektor második deriváltjaként írjuk fel) pl. m r = mgk 3. A Szaturnusz átlagsrsége a víz srségének 70 %-a, közepes sugara a sugarának 9-szerese. (Tekintsük a Szaturnuszt gömbnek.) a) Mekkora a nehézségi gyorsulás értéke a Szaturnusz felszínén az általános tömegvonzásból számolva? ( γ = 6, m 3 kg -1 s - ) b) Írjuk fel Kepler III. törvényét! c) Számoljuk ki ebbl a Szaturnusz Nap körüli keringési idejét! A Szaturnusz pályasugara a ének 9,5-szerese (a Szaturnusz pályáját tekintsük körnek). A Szaturnusz 10 óra 40 perc alatt fordul meg tengelye körül. d) Mekkora centrifugális er hatna egy 80 kg tömeg rhajósra a Szaturnusz egyenlítjén? e) Ezt is figyelembe véve hány N ervel nyomná a Szaturnusz "talaját" (ha lenne olyan) a 80 kg tömeg rhajós?

3 K1A vizsgazh gyakorló anyag Megoldás: 3 a) A Szaturnusz térfogata V Sz = 4/3 Sz π = 4/3 (9 F ) 3 π = 4/3 (96,410 6 ) 3 π m 3, srsége ρ Sz = 0,7 kg/dm 3 = 700 kg/m 3, tömege M Sz = ρ Sz V Sz 5,610 6 kg Mivel a Szaturnusz felszínén mg Sz = γ mm Sz / Sz, a Szaturnuszra érvényes g-érték g Sz = γ M Sz / Sz = 6, ,610 6 /(96,410 6 ) 11,6 m/s b) A Naprendszer bolygóira: a bolygók keringési idejének (T) négyzetei úgy aránylanak egymáshoz, mint pályáik fél-nagytengelyeinek (a) köbei: T / a 3 = konst. (3p.) c) T Sz / T F = a 3 3 Sz / a F T Sz = (a Sz /a F ) 3/ T F = 9,5 3/ 1 év = 9,8 év (=10688 nap) d) A Szaturnusz szögsebessége ω Sz = π / t Sz = π / (10,663600) = 1, s -1, a cf = Sz ω Sz = 96,410 6 (1, ) 1,554 m/s, F cf = m a cf = 801,554 13, N. e) Az általános gravitációs er a Szaturnusz középpontja felé, a centrifugális er azzal ellentétesen (sugárirányban kifelé) hat, az ered er F = m(g Sz -a cf ) = 80(11,6-1,554) 777,6 N. 4. Kötél végére ersített m tömeg testet az (x,z) függleges síkban pörgetünk sugarú körpályán. Amikor a test lefelé megy és az ábra szerinti helyzetben, a testre ható ered er vízszintes. (A testre csak a kötéler és a nehézségi er hat, a kötél nyújthatatlan, súlytalan.) a) Mekkora ekkor a kötéler? (Fejezzük ki a nehézségi er nagyságával!) b) Írjuk fel a nehézségi er, a kötéler és az ered er vektorát! c) Írjuk fel a gyorsulás sugárirányú és érintirányú komponensét! d) A centripetális gyorsulásból határozzuk meg a test sebességét! e) Mekkora munkát végez a kötéler a testen, amíg az az alsó pontba ér? Megoldás: a) cos 60º = mg / F k F k = mg / cos 60º = mg b) G = - mgk ; az ered er nagysága F e = mg tg 60º = a kötéler F k = vektorként F e = 3 mg i ; 3 mg i + mgk 3 mg, c) ma cp = F k mg cos 60º a cp = g ½ g = 3/ g ma t = mg sin 60º a t = g sin 60º = 3 / g d) a cp = v 3 / v = a cp = g e) A kötéler mindig merleges a sebességre, ezért az általa végzett munka zérus. ( dw = F dr cos 90º = 0 ) 3

4 K1A vizsgazh gyakorló anyag Fizika K1A zh 005. nov. 8. megoldással 1. Igaz-e, hogy - az út-id görbének lehet vízszintes érintje? Ha igen, mit jelent az? IGEN, ekkor a sebesség zérus - a ön semmilyen körülmények között nem hathat mg-nél nagyobb nyomóer egy testre? NEM IGAZ, pl. felfelé gyorsuló liftben vagy hullámvasúton a (függleges kör)pálya aljában nagyobb lesz a nyomóer mg-nél - görbe vonalú mozgásnál a sebesség nagysága mindig változik? NEM IGAZ, a sebesség nagysága lehet állandó (az iránya változik, és így a sebességvektor is) - a ön a nehézségi gyorsulás értéke a sarkokon nagyobb, mint az Egyenlítn? IGAZ, a sarkokon 9,83 m/s, az Egyenlítn 9,789 m/s, egyrészt a lapult alakja, másrészt a centripetális er miatt Minden válaszhoz indoklást is kérünk!. Írja le Newton II. axiómáját! Definiálja a benne szerepl mennyiségeket! 3. Az E épület liftje induláskor 0,5 s alatt gyorsít fel (állandó nagyságú gyorsulással) az 1,5 m/s-os állandó sebességére, fékezéskor ugyancsak 0,5 s alatt fékez le álló helyzetbe. A lift 1. emeletrl megy le a földszintre, ehhez a liftnek 4,5 m-t kell ereszkednie. Ábrázoljuk (megfelelen beskálázott koordinátarendszerekben) az id függvényében - a lift gyorsulását, - a lift sebességét, - a lift által megtett utat! A lifttel levisznek egy 00 kg-os kávéautomatát az 1. emeletrl a földszintre. Ábrázoljuk az automatára ható nyomóert is az id függvényében! Megoldás: a = v / t = 1,5 / 0,5 = 3 m/s az út - a gyorsuló részen: s 1 (t) = ½ a t = 1,5 t, t 1 = 0,5 s-nál az addig megtett út s 1v = 0,375 m - a lassuló részen s 3 (t) = s v + vt ½ at = s v +1,5t 1,5t, t 3 = 0,5 s alatt a lassulva megtett út s 3v = s v + 0,375 [m] - az állandó sebesség részen s v = 4,5-0,375 = 3,75 m-t kell megtennie, az ehhez szükséges id t = s v / v = 3,75/1,5 =,5 s és itt az út-id függvény s (t) = s 1v + vt = 0, ,5 t 4

5 K1A vizsgazh gyakorló anyag A 8-as úton 108 km/h sebességgel megy egy 8 tonnás kamion, mögötte 18 m-rel szintén 108 km/h sebességgel egy 1 tonnás személyautó. A kamionos meglát egy zet és elkezd fékezni. Az út nedves, a kamion csúszni kezd és µ = 0,9 -es súrlódási együtthatóval fékezdik. Az autó vezetje elbóbiskolt, nem fékez. a) Mennyi id alatt éri utol az autó a kamiont? b) Mekkora ekkor a kamion sebessége? Az autó a kamionnal tökéletesen rugalmatlanul ütközik. c) Mennyi lesz az összetapadt roncs sebessége az ütközés után? d) Mennyi az autó impulzusának változása az ütközés során? Mennyi a kamioné? Mennyi az autó + kamion rendszer teljes impulzusának változása? e) Mennyi az autó mozgási energiájának változása az ütközés során? Mennyi a kamioné? Mennyi az autó + kamion rendszer teljes mozgási energiájának változása? Megoldás: a) v 0 = 108 km/h = 30 m/s, a = -µg = -9 m/s x kamion = D + v 0 t + ½ at = t 4,5t, x autó = v 0 t = 30t x kamion = x autó : t 4,5t = 30t t = s b) v kamion = v 0 + at = 30-9 = 1 m/s c) I kamion + I autó = I roncs : m kamion v kamion + m autó v autó = (m kamion +m autó ) v roncs = 9000v roncs v roncs = 14 m/s d) I kamion = m kamion (v roncs v kamion ) = 8000(14-1) = kgm/s I autó = m autó (v roncs v autó ) = 1000(14-30) = kgm/s I kamion + I autó = 0, ezt használtuk ki a c) részben e) E kin,autó = ½ m autó (v roncs v autó ) = ½ 1000(14-30 ) = -35 kj E kin,kamion = ½ m kamion (v roncs v kamion ) = ½ 8000(14-1 ) = 08 kj E kin,autó + E kin,kamion = -144 kj kg tömeg kötéltáncos súlypontja a kötél felett 1 m magasságban van. Ugyanezen magasságban tartja a kezében lev 6 m-es, 4 kg tömeg merev rudat, melynek mindkét végén lev m-es fonálon 1-1 ólomgolyó függ. Legalább milyen tömegeknek kell lenniük a golyóknak, hogy a rendszer súlypontja a kötél alá essék? (A rudat középütt fogja, a m távolság a rúdtól a golyó középpontjáig értend.) Megoldás: A rúd tömegközéppontja ugyanott van, ahol a kötéltáncosé, azaz a rúd fölött 1 m-rel van 56+4= 60 kg. A két ólomgolyó tömegközéppontja a kötél alatt 1 m-rel van a kötéltáncos tömegközéppontja alatt. Ahhoz, hogy a teljes rendszer tömegközéppontja a kötél alá essen, a lent lév össztömegnek nagyobbnak kell lenni a fent lév tömegnél, azaz a golyók tömegének nagyobbnak kell lenni 60 kgnál, vagyis egy golyó tömege legalább 30 kg. 5

6 K1A vizsgazh gyakorló anyag Fizika K1A zh december Egy m = 0 g tömeg test állandó er hatására mozog az x-y síkban. A test a t 1 = s idben a P 1 (10 m, 0 m) pontban van, sebessége a +y tengely irányába mutat és nagysága v 1 = 10 m/s. A test a t = 6 s idpontban a P (-6 m, 0 m) pontban van, a sebessége a x tengely irányába mutat és nagysága v = 8 m/s. a) Mekkora az er nagysága? b) Mekkora a test sebessége a t 3 = 8 s idpontban, és hol lesz a test akkor?. A mechanikai energia megmaradásának tétele. (Mi az, mikor érvényes.) 3. A 8-as úton 108 km/h sebességgel megy egy 8 tonnás kamion, mögötte 18 m-rel szintén 108 km/h sebességgel egy 1 tonnás személyautó. A kamionos meglát egy zet és elkezd fékezni. Az út nedves, a kamion csúszni kezd és µ = 0,9-es súrlódási együtthatóval fékezdik. Az autó vezetje elbóbiskolt, nem fékez. Az autó s alatt utoléri a kamiont, ami ekkorra már 43, km/h sebességre lassult. Az autó a kamionnal tökéletesen rugalmatlanul ütközik. a) Mennyi lesz az összetapadt roncs sebessége az ütközés után? b) Mennyi az autó impulzusának változása az ütközés során? Mennyi a kamioné? Mennyi az autó + kamion rendszer teljes impulzusának változása? c) Mennyi az autó mozgási energiájának változása az ütközés során? Mennyi a kamioné? Mennyi az autó + kamion rendszer teljes mozgási energiájának változása? 4. Egyik végén (súrlódásmentes) csuklóval felfogott homogén rudat vízszintes helyzetbl (kezdsebesség nélkül) elengedünk. 1 A rúd tehetetlenségi nyomatéka a tömegközéppontjára nézve Θ = ML. 1 Írjuk fel az impulzusmomentum-tételt a rúdra! Adjuk meg - a szöggyorsulást, - a rúd tömegközéppontjának gyorsulását; - a rúd másik végpontjának gyorsulását a kiindulási pillanatra! Adjuk meg a rúd ω szögsebességét a vízszintessel bezárt ϕ szög függvényében! 5. Egy test úszik a vízen, ekkor térfogatának az ötöde áll ki a vízbl. Ugyanezen testnek hányadrésze állna ki higanyból? (A higany srsége 13,6 kg/dm 3.) 6

7 K1A vizsgazh gyakorló anyag Fizika zh1 / környezetmérnök 006. nov. 8. megoldásokkal (A és B csoport) 1. Az alábbi állításokról döntse el, hogy lehet-e igaz! Indokolja! a) A/ Egy tömegpont sebességvektora idben változik, de ugyanakkor a sebességének nagysága állandó. Igaz lehet, ha a vektor iránya változik. B/ Egy tömegpont sebességének nagysága idben változik, de ugyanakkor a sebességvektora állandó. Nem lehet igaz. Két vektor akkor egyenl, ha nagyságuk és irányuk megegyezik. b) A/ Egy tömegpont átlagsebessége a [0; 0 s] idintervallumban nem zérus, de a [0; 60 s] idintervallumban zérus. B/ Egy tömegpont átlagsebessége a [0; 60 s] idintervallumban zérus, de a [0; 0 s] idintervallumban nem zérus. A két kérdés ugyanaz. Mivel az átlagsebesség az elmozdulásvektor és az eltelt id hányadosa, igaz lehet az állítás, ha a [0; 60 s] intervallumban a tömegpont visszatér a kiindulópontba, ahol t = 0-ban volt. c) A/ Tömegpont mozog az x tengely mentén. A sebessége pozitív és a gyorsulása negatív. B/ Tömegpont mozog az x tengely mentén. A sebessége negatív és a gyorsulása pozitív. Bármi lehet igaz. A gyorsulás a sebesség deriváltja, de nincs semmi megkötés arra, hogy ha az egyik pozitív/negatív, milyen kell legyen a másik eljele. (Az viszont itt mindkét esetben igaz, hogy a sebesség abszolút értéke csökken.).a/ a) A sugara mm-ben: 6, mm b) m = 0 g, a = 6480 km/h. Adjuk meg a testre ható er nagyságát N-ban! a = 6480 km/h 1000 m = 6480 = 0,5 m/s, F = ma = 0,00,5 = 0,01 N (3600 s).b/ a) A keringési ideje percben: ,610 5 min b) m = 0 g, v = 1,08 km/h. Adjuk meg a test mozgási energiáját J-ban! v = 1,08 km/h = 0,3 m/s, E kin = ½ mv = ½0,00,3 = J 3.A/ Mi a kinetikus energia tétele? Mikor érvényes? Definiálja a benne lév mennyiségeket! A test kinetikus energiájának E kin megváltozása egyenl a testre ható összes er összes W munkájával: E kin = W. E kin = ½ mv, ahol m a test tömege (a test tehetetlenségévnek mértéke), v a test sebessége. Megváltozás: E kin = E kin, E kin,1. r 1 Munka: W = F dr (a testre ható erk elmozdulás irányába es komponensének az integrálja) r 1 Teljesen általános érvény, mindenféle testre és tetszleges erhatásokra érvényes. 7

8 K1A vizsgazh gyakorló anyag B/ Mi a mechanikai energia megmaradásának tétele? Mikor érvényes? Definiálja a benne lév mennyiségeket! A mechanikai energia a kinetikus és potenciális energia összege: E mech = E kin + E pot ahol E kin = ½ mv, m a test tömege (a test tehetetlenségévnek mértéke), v a test sebessége, E pot a potenciális (helyzeti) energia. Ez csak konzervatív ertérben létezik, azaz ahol csak olyan erk hatnak, melyek tetszleges zárt görbére vett munkája zérus. Ilyen pl. a földi nehézségi ertér: E pot = mgz, az általános gravitációs ertér: E pot = γm/, a lineáris rugalmas er tere: E pot = ½kx. (A súrlódási, közegellenállási erk nem konzervatív erk.) A mechanikai energia megmaradásának tétele: mozgás közben E mech = konstans. Csak konzervatív ertérben érvényes. 4. A/ Egy fekete autó 84 km/h sebességrl 10 km/h sebességre gyorsít fel 4 s alatt állandó gyorsulással, egy fehér autó pedig 48 km/h-ról 84 km/h-ra ugyancsak 4 s alatt szintén állandó gyorsulással A: egyenes úton, B: = 150 m sugarú köríven. 4. B/ Egy fekete autó 90 km/h sebességrl 108 km/h sebességre gyorsít fel s alatt állandó gyorsulással, egy fehér autó pedig 7 km/h-ról 90 km/h-ra ugyancsak s alatt szintén állandó gyorsulással A egyenes úton, B = 00 m sugarú köríven. A két autó tömege egyenl. Igaz-e, hogy a) a fekete autó gyorsulása nagyobb? A: nem B: igen A fekete és a fehér autó gyorsulása megegyezik, mert a sebességváltozás és az id is megegyezik. Egyenes úton tehát nem igaz, hogy a fekete autó gyorsulása nagyobb. Köríven viszont a fenti gyorsulás még csak az érintirányú, tangenciális gyorsuláskomponens (ami a sebesség nagyságának változását okozza). Itt viszont figyelembe kell venni a (sebességvektor irányának változását okozó) centripetális gyorsuláskomponenst is, ami v -tel arányos, tehát a fekete autónál nagyobb. Az ered gyorsulás a = a t + a, tehát köríven igaz, hogy a fekete autó gyorsulása nagyobb. cp b) a fekete autó nagyobb utat tesz meg eközben? A: igen B: igen A megtett út s = v 0 t + ½at. A kezdsebességet, v 0 -at kivéve minden megegyezik, tehát az az autó, amelyik nagyobb sebességrl indult, nagyobb utat tesz meg, akár egyenesen, akár köríven halad. c) a fekete autó motorja nagyobb munkát végez a gyorsítás közben? A: igen B: igen W = Fs = mas. A tömegek és a gyorsulások megegyeznek, de a fekete autó nagyobb utat tesz meg, tehát igaz, hogy a motorja nagyobb munkát végez. Köríven haladva is ugyanez lesz igaz, mert az ernek csak az elmozdulás irányába es komponense végez munkát, azaz az ernek, ill, a gyorsulásnak csak a tangenciális komponensét kell tekinteni, ami megegyezik. 5.A/ Egy függlegesen feldobott k s múlva már lefelé esik, sebessége 4 m/s. a) Mekkora volt a kezdsebessége? v = v 0 gt : fölfelé mutató z tengelyt használva s-nál a sebesség 4 m/s, azaz 4 = v 0 10 v 0 = 16 m/s. 8

9 K1A vizsgazh gyakorló anyag b) Mekkora maximális magasságot ért el? h = v 0 /g = 16 / 10 = 1,8 m. 5.B/ 50 m/s kezdsebességgel függlegesen felfelé hajítunk egy követ. Ugyanakkor egy 50 m magas toronyból szabadeséssel leesik egy másik k. a) Melyik pillanatban vannak azonos magasságban? Fölfelé mutató z tengelyt használva a feldobott k z koordinátája z 1 = 50t ½gt, a leesé z = 50 ½gt. z 1 = z : 50t ½gt = 50 ½gt t = 1 s. b) Mekkora ekkor az egyik ill. másik sebessége? v = v 0 gt: v 1 = = 40 m/s, v = 101 = 10 m/s. 6. Súrlódásmentes lejtn F k kötélervel húzzuk az ábrán látható módon a lejtn lév m tömeg testet. A csoport B csoport a) Írjuk fel a test mozgásegyenletét vektori alakban! m r = G + F ny + F k b) Írjuk fel a mozgásegyenlet két komponensét az ábrán jelölt x-y koordinátarendszernek megfelelen! ma x = Gsinα F k cosα ma y = F ny + F k sinα Gcosα ma x = Gsinα F k cosα ma y = F ny + F k sinα Gcosα 7. A/ A Szaturnusz sugara 9,5-szerese, tömege 95-szöröse a ének. Számoljuk ki, hányszorosa a Szaturnusz 7. B/ Az Uránusz sugara 4-szerese, tömege 14,5-szerese a ének. Számoljuk ki, hányszorosa az Uránusz a) felszínén mérhet nehézségi gyorsulás értéke a felszínén mérhetnek! (a centrifugális gyorsulást hanyagoljuk el) 9

10 K1A vizsgazh gyakorló anyag M g = γ, g g bolygó M γ = M γ bolygó bolygó M M = bolygó bolygó g, azaz Szaurnusz 95 g = 1, 05 ill. Uránusz 14,5 = 0, 906 g 9,5 g 4 b) elhagyásához szükséges második szökési sebesség a éhez képest! v = g, v g g bolygó bolygó bolygó bolygó bolygó bolygó = = =, g g bolygó v vszatrurnusz v azaz = 10 3, 16 ill. Uránusz 1, 905 v v M M 8. Függleges síkban körpályán haladó repülgép sebessége 1080 km/h. Mekkora legyen a pálya sugara, hogy a legfels pontban a pilóta A/ súlytalan legyen? Az, hogy súlytalan a pilóta, azt jelenti, hogy a rá ható nyomóer zérus. (Súly: az az er, amivel a test az alátámasztást nyomja, vagy a felfüggesztést húzza.) höz rögzített koordinátarendszerben: a pilótára egyedül a nehézségi er hat, az adja a centripetális ert: mg = ma cp, a cp = v / = v /g = 300 / 10 = 9000 m = 9 km. (1080 km/h = 300 m/s) A repülgéphez rögzített koordinátarendszerben (forgó koordinátarendszerben): a pilótára hat a nehézségi er lefelé (a kör közepe felé) és hat a centrifugális er (mint rendszerer) sugárirányban kifelé (felfelé), és a kett éppen egyenl, hiszen a pilóta a repülgépen belül nem gyorsul: ma cf mg = 0, a cf = v / = = 9 km B/ éppen g gyorsulást érezzen sugárirányban kifelé? Ha sugárirányban kifelé (felfelé) g gyorsulást érez, az azt jelenti, hogy azzal ellentétes irányú, vagyis a kör közepe felé (lefelé) mutató F ny = mg nagyságú nyomóer hat rá. (Ez fejjel lefelé ugyanaz, mint amikor vízszintes talajon áll valaki, és a közepe felé -vagyis lefelé- rá ható mg nagyságú nehézségi ert felfelé ható nyomóer egyenlíti ki.) höz rögzített koordinátarendszerben: a pilótára hat a nehézségi er és a nyomóer, mindkett lefelé, a kör közepe felé; ezek összege adja a centripetális ert: mg + F ny = ma cp, F ny = mg, a cp = v / = v /g = 300 / 10 = 4500 m = 4,5 km A repülgéphez rögzített koordinátarendszerben: a pilótára hat a nehézségi er és a nyomóer lefelé, a kör közepe felé, és hat a centrifugális er sugárirányban kifelé (felfelé). A három er eredje zérus, hiszen a pilóta a repülgépen belül nem gyorsul: ma cf mg F ny = 0, F ny = mg, a cf = v / = = 4,5 km 10

11 K1A vizsgazh gyakorló anyag Fizika zh / környezetmérnök 006. nov.. megoldásokkal (A és B csoport) 1. A/ Newton I. és III. axiómája 1. B/ Newton II. és IV. axiómája. Egy fekete autó egyenes úton, egy fehér autó pedig A/ = 50 m B/ = 40 m sugarú köríven 108 km/h sebességrl 16 km/h sebességre gyorsít fel 5 s alatt állandó kerületi gyorsulással. Igaz-e, hogy a) a fehér autó gyorsulása nagyobb? Igaz, mert a kerületi/tangenciális gyorsulásuk azonos: a t = (16 108)/3,6/5 = 1 m/s ; de a fehér autónak a körpálya miatt centripetális gyorsulása is van, így annak gyorsulása b) a fehér autó motorja nagyobb munkát végez a gyorsítás alatt? t cp a + a > a Nem igaz, mert a munka szempontjából csak az a gyorsulás-komponens számít, amelyik az elmozdulás irányába esik, vagyis a tangenciális gyorsulás, ami a két autóra egyforma. c) Írjuk fel a fehér autó szögsebességét az id függvényében! A/ ω 0 = v 0 / = 30/50 = 0,6 s -1, β = a t / = 1/50 = 0,0 s -, azaz ω = 0,6 + 0,0 t (s -1 ) B/ ω 0 = v 0 / = 30/40 = 0,75 s -1, β = a t / = 1/40 = 0,05 s -, azaz ω = 0,75 + 0,05 t (s -1 ) t 3. Egy tömegpont harmonikus rezgmozgást végez az x tengely mentén: A/ x(t) = x* cos (ωt + π), ahol x* = m, ω = π/5 s -1 B/ x(t) = x* cos (ωt π/), ahol x* =,4 m, ω = π/ s -1 a) Ábrázoljuk a test x koordinátáját a [0, T] idintervallumban! (Mennyi a T periódusid? Mekkora az A amplitúdó? Honnan indul a test a t = 0 s-ban?) A/ T = π / ω = 5 s, A = * x = m, x(0) = cos(ω0+π) = m B/ T = π / ω = 4 s, A = * x =,4 m, x(0) =,4cos(ω0 π/) = 0 b) Mennyi a sebesség átlagértéke egy teljes periódusra? 11

12 K1A vizsgazh gyakorló anyag Mivel egy teljes periódus alatt a tömegpont visszatér a kiindulási helyzetébe, az elmozdulás zérus, vagyis a sebesség átlagértéke zérus. c) Mennyi a sebesség nagyságának átlagértéke egy teljes periódusra? Egy teljes periódus alatt a tömegpont kétszer megy ki a széls helyzetébe és megy vissza az origóba, azaz a megtett út 4-szerese az amplitúdónak, a sebesség nagyságának átlaga v átl = 4A / T, azaz A/ v átl = 4/5 = 1,6 m/s, B/ v átl = 4,4/4 =,4 m/s. 4. A/ 790 m B/ 7840 m magasságban állandó, A/ 960 km/h B/ 90 km/h vízszintes sebességgel haladó repülgéprl leesett az egyik ajtó. Szupermen is azon a repülgépen utazott, de éppen aludt. A/ 10 s-ig B/ 1 s-ig tartott, amíg felébresztették és elmondták neki, mi történt. Ekkor azonnal (0 s alatt) odaszaladt az ajtó helyén tátongó lyukhoz és a) függlegesen lefelé v 0 kezdsebességgel elrugaszkodva utánaugrott az ajtónak. Mekkora kezdsebességgel ugrott ki Szupermen, ha A/ 3 s B/ 4 s alatt érte utol az ajtót? b) zérus kezdsebességgel, de különleges képességeit felhasználva állandó nagyságú, függleges gyorsulással indult az ajtó után (ezen a gyorsulás hozzáadódik a nehézségi erbl ered gyorsulásához). Legalább mekkorának kellett lenni ennek a gyorsulásnak, hogy még a levegben elérje az ajtót? A g értékét vegyük 9,9 m/s -nek. A légellenállást hanyagoljuk el! Ha a légellenállást elhanyagolhatjuk, akkor a leesett ajtóra nem hat vízszintes irányú er, megtartja a repülgép sebességével megegyez vízszintes sebességkomponensét, mindig a repülgép alatt lesz. A feladat megoldásához elég a z koordinátát felírni. a) A/ 10+3 s B/ 1+4 s alatt az ajtó s = A/ ½ 9,913 = 836,55 m B/ ½ 9,916 = 167, m -t zuhant. Szupermen t S = A/ 3 s B/ 4 s alatt v 0 kezdsebességrl indulva tesz meg ekkora utat: s = v 0 t S + ½ g t S v 0 = (s ½ g t S ) / t S A/ 64 m/s B/ 97 m/s. b) Az ajtó h = A/ 790 m B/ 7840 m magasságból t a = h / g A/ 40 s B/ 39,8 s alatt ér földet. Ennél A/ 10 s B/ 1 s -mal kevesebb id alatt kell Szupermennek földet érnie, ha még a levegben el akarja kapni az ajtót. s = ½ (g+a)t a = s/t g A/ 790/(40 10) 9,9 = 7,7 m/s B/ 7840/(39,8 1) 9,9 10,4 m/s (g értékét a B/ csoportnál 9,8 m/s -re gondoltam, azzal kerek eredmény jött volna ki ) 5. Félgömbrl lecsúszó testre az ábrán látható helyzetében a bejelölt nehézségi ern és nyomóern kívül hat egy súrlódási er is. a) Szerkesszük meg a súrlódási ert, ha tudjuk, hogy az adott pontban a test tangenciális gyorsulása zérus! érint irányú, nagysága G sinα b) ajzoljunk meg egy akkora súrlódási ert is, hogy az adott pontban a test sebessége A/ csökkenjen! a hossza legyen nagyobb B/ njön! a hosszabb legyen kisebb 1

13 K1A vizsgazh gyakorló anyag Jancsi és Juliska állnak a jégen egymástól A/ 9 m B/ 1 m-re, fogják egy kötél két végét. a) Hol van a tömegközéppontjuk az ket összeköt egyenes mentén, ha Jancsi A/ 50 kg B/ 35 kg, Juliska A/ 40 kg B/ 5 kg tömeg? Ha Jancsi az origóban van (x Jancsi = 0) és Juliska x Juliska = A/ 9 m B/ 1 m nél, akkor x s = (0m Jancsi + x Jujliska m Juliska ) /( m Jancsi + m Juliska ) A/ 4 m B/ 5 m a tömegközéppont távolsága Jancsitól. Jancsi hirtelen elkezdi húzni a kötelet. Egy pillanat alatt felgyorsulva mindketten súrlódásmentesen csúszni kezdenek egymás felé állandó sebességgel. Jancsi sebessége A/ m/s B/ 1,5 m/s. b) Mennyi Juliska sebessége? Kezdetben mindketten álltak, vagyis kettjük össz-impulzusa zérus, és mivel súrlódásmentesen csúsznak, a küls erk eredje zérus, kettjük össz-impulzusa zérus is marad: m Jancsi v Jancsi + m Juliska v Juliska = 0 Juliska sebességének nagysága v Juliska = A/,5 m/s B/,1 m/s c) Milyen távol lesznek egymástól, amikor Jancsi A/ 1 m-t B/ 3 m-t csúszott? Jancsi s Jancsi = A/ 1 m-t B/ 3 m-t t = s Jancsi / v Jancsi A/ 1/ = 0,5 s B/ 3/1,5 = s alatt tesz meg, ezalatt Juliska s Juliska = tv Juliska A/ 0,5,5 = 1,5 m B/,1 = 4, m-t tesz meg, marad köztük A/ 9 (1+1,5) = 6,75 m B/ 1 (3+4,) = 4,8 m. Ütközésük tökéletesen rugalmatlan ütközésnek tekinthet (összekapaszkodnak, nem eresztik el egymást). Az ütközésük A/ 0,08 s-ig B/ 0,05 s-ig tartott. d) Mennyi lesz a közös sebességük? Mivel az össz-impulzusuk zérus, a közös sebességük zérus. e) Mennyi A/ Jancsi B/ Juliska impulzusának változása? I J = m J v J : A/ I Jancsi = 50 = 100 kgm/s B/ I Juliska = 5,1 = 5,5 kgm/s természetesen nagyságra ugyanakkora Juliska/Jancsi impulzusváltozása is f) Mekkora er hatott A/ Jancsira B/ Juliskára, ha feltesszük, hogy ütközéskor a köztük ható er állandó volt? F = I / t : A/ 100 / 0,08 = 150 N B/ 5,5 / 0,05 = 1050 N (a Juliskára/Jancsira ható er csak irányában különbözik) g) Hány g gyorsulást jelentett ez A/ Juliskának B/ Jancsinak? a J = F / m J : A/ a Juliska = 150 / 40 = 31,5 m/s, ez 3,1 g B/ a Jancsi = 1050 / 35 = 30 m/s, ez 3 g 13

14 K1A vizsgazh gyakorló anyag Fizika zh3 / környezetmérnök 006. dec. 13. A csoport 1. Írja le szövegben vagy képletben a következ erterek definícióját! a) Stacionárius: b) Konzervatív:. Az alábbi állítások közül melyek azok, - amelyek általános esetben érvényesek; - amelyek soha nem igazak; - amelyek csak egyes speciális esetekben érvényesek (mikor)? <1> Ha két test helyvektora minden idben megegyezik, akkor megegyezik a gyorsulásvektoruk is. <> Ferde hajításnál a függleges sebességkomponens állandó. <3> Ha az er és a sebesség vektora egyirányúak, a sebesség iránya nem változik. 3. a) Írjunk fel általánosan érvényes összefüggéseket a t, r, v, s fizikai mennyiségek között! Képletben és szöveggel is! b) Írjunk fel olyan összefüggéseket a t, r, v, s között, amelyek valamely speciális esetben érvényesek, és adjuk meg azt is, hogy milyen esetre érvényesek! 4. Egy m tömeg tömegpont gyorsulása a. A tömegpontra két er hat, az egyik er (F 1 ) ismert. Határozzuk meg képletben és szerkesztéssel az ismeretlen másik ert (F )! 5. Egy kg tömeg tömegpont 8 m sugarú körpályán mozog. a) Mekkora er hat rá akkor, amikor a sebessége 16 m/s, szöggyorsulása pedig 5 s -? b) Milyen irányú az er? c) Mekkora a forgatónyomatéka? (Vonatkoztatási pont a kör középpontja legyen!) d) Mekkora és milyen irányú a tömegpont impulzusmomentuma ugyanekkor? 6. Mekkora F er szükséges ahhoz, hogy állandó gyorsulással t = 6 s alatt nyugalmi helyzetbl indulva felhúzzunk egy m = 4 kg tömeg testet egy α = 30 -os, h = 4,5 m magas lejtn, ha a súrlódási együttható 0,16? 7. Vízszintes, súrlódásmentes síkon egy rugó végére m = 1 kg tömeg golyót rögzítettünk. A rugó másik vége rögzítve van. A rugó 0 cm-re való kihúzásához 5 N erre van szükség. a) A golyót elengedve mekkora lesz a rezgésid? b) Mekkora a golyó sebessége a nyugalmi helyzeten való áthaladáskor? 14

15 K1A vizsgazh gyakorló anyag Fizika zh3 / környezetmérnök 006. dec. 13. B csoport 1. Írja le szövegben vagy képletben a következ erterek definícióját! a) Homogén: b) Centrális:. Az alábbi állítások közül melyek azok, - amelyek általános esetben érvényesek; - amelyek soha nem igazak; - amelyek csak egyes speciális esetekben érvényesek (mikor)? <1> Ha két test sebességvektora minden idben megegyezik, akkor megegyezik a gyorsulásvektoruk is. <> Ferde hajításnál a vízszintes sebességkomponens állandó. <3> Ha az er és a sebesség vektora merlegesek egymásra, a sebesség nagysága nem változik. 3. a) Írjunk fel általánosan érvényes összefüggéseket a t, r, v, s fizikai mennyiségek között! Képletben és szöveggel is! b) Írjunk fel olyan összefüggéseket a t, r, v, s között, amelyek valamely speciális esetben érvényesek, és adjuk meg azt is, hogy milyen esetre érvényesek! 4. Egy m tömeg tömegpont gyorsulása a. A tömegpontra két er hat, az egyik er (F 1 ) ismert. Határozzuk meg képletben és szerkesztéssel az ismeretlen másik ert (F )! 5. Egy 6 kg tömeg tömegpont 5 m sugarú körpályán mozog. a) Mekkora er hat rá akkor, amikor a sebessége 8 m/s, szöggyorsulása pedig s -? b) Milyen irányú az er? c) Mekkora a forgatónyomatéka? (A vonatkoztatási pont a kör középpontja legyen!) d) Mekkora és milyen irányú a tömegpont impulzusmomentuma ugyanekkor? 6. Mekkora F er szükséges ahhoz, hogy állandó gyorsulással t = 4 s alatt nyugalmi helyzetbl indulva felhúzzunk egy m = 5 kg tömeg testet egy α = 30 -os, h = 4 m magas lejtn, ha a súrlódási együttható 0,18? 7. Vízszintes, súrlódásmentes síkon egy rugó végére m = 4 g tömeg golyót rögzítettünk. A rugó másik vége rögzítve van. A rugó 5 cm-re való kihúzásához 4 N erre van szükség. a) A golyót elengedve mekkora lesz a rezgésid? b) Mekkora a golyó sebessége a nyugalmi helyzeten való áthaladáskor? 15