Adatok: fénysebesség, Föld sugara, Nap-Föld távolság, Föld-Hold távolság, a Föld és a Hold keringési és forgási ideje.

Átírás

1 FOGALAK, DEFINÍCIÓK Az SI rendszer alapmenniséei. Síkszö, térszö. Prefixumok. Adatok: fénsebessé, suara, Nap- távolsá, -Hold távolsá, a és a Hold kerinési és forási ideje. Foalmak, definíciók: kinematika, dinamika, tömepont, helvektor, pála, út, elmozdulás, vonatkoztatási rendszer, sebessé, orsulás, homoén, stacionárius, determinisztikus, inerciarendszer, erő, töme, mozáseenlet, szösebessé, szöorsulás, körfrekvencia, frekvencia, amplitúdó. Tömepont kinematikája Tömepont mozásának leírása: helvektor, vonatkoztatási rendszer, pála, út, elmozdulás. Sebessé, orsulás. A helvektor, a sebessévektor és a orsulásvektor irána, nasáa. Eenesvonalú mozás; eenletes mozás, eenletesen változó mozás. Körmozás. Eenletes és eenletesen változó körmozás. Szösebessé, szöorsulás. A orsulás tanenciális és centripetális komponense. Harmonikus rezőmozás. Periódusidő, frekvencia, körfrekvencia, amplitúdó. Rezések összetétele. Tömepont dinamikájának alapjai A mechanika axiómái. Inerciarendszer. Erő, erőtér. Töme. Dinamikai és sztatikai erő- és tömemérés. ozáseenlet. Kezdeti feltételek. Erőtörvének: földi nehézséi erőtér, általános ravitációs erő, súrlódási erők, kénszererők. ozás homoén erőtérben, hajítások. A értékének füése a földrajzi szélesséi foktól, és a földfelszín feletti maassától. Koordinátarendszerek (Descartes-koordinátarendszer, síkbeli polárkoordináta-rendszer). Vektor komponensei, abszolút értéke. űveletek vektorokkal. Esévektor. Skalárszorzat, vektoriális szorzat. Esévektor deriváltja. Időfüő mennisé meváltozása. Átlaos változási sebessé, (pillanatni) változási sebessé. Differenciálás, interálás; a differenciálás és interálás rafikus jelentése: irántanens, örbe alatti terület. Hatván, szinusz/koszinusz füvén, konstansszoros, össze, szorzat, összetett füvén differenciálása. 1

2 KÉRDÉSEK, FELADATOK RÉGI ZÁRTHELYIKBŐL: Az alábbi állítások közül melek azok, - amelek általános esetben érvénesek; - amelek soha nem iazak; - amelek csak ees speciális esetekben érvénesek (mikor)? <1> A orsulás koordinátája eenlő a sebessé koordinátájának idő szerinti deriváltjával. <> Polárkoordináta-rendszerben e adott pontban az e r és e ϕ esévektorok által bezárt szö fü a pont helétől. <3> A orsulás idő szerinti deriváltja eenlő a helvektor idő szerinti interáljával. <4> Ha két test sebessévektora minden időben meeezik, akkor meeezik a helvektoruk is. <5> Ferde hajításnál a vízszintes sebessékomponens állandó. <6> Ferde hajításnál a füőlees sebessékomponens állandó. <7> Csak e inerciarendszer létezik. <8> Ha inerciarendszerben e test sebessée állandó, akkor nem hathat rá erő. <1> Iaz; Descartes-koordinátarendszerben uanis v(t) = v x (t)i+ v (t)j+v z (t)k, a = v& = v & xi + v& j + v& zk = a xi + a j + a zk, azaz a = v& <> Nem iaz; az e r és e ϕ esévektorok által bezárt szö mindi derékszö <3> Nem iaz; a helvektor deriváltja eenlő a orsulás interáljával (mefelelő kezdeti feltételekkel) <4> Csak abban a speciális esetben iaz, ha tudjuk, ho e időben meeezett a helvektoruk ekkor iaz, ho bármel más időben is meeezik (mefelelő kiindulási feltétel esetén iaz) <5> Iaz, mert vízszintes iránban a orsulás zérus. (((feltéve, ho a közeellenállás elhanaolható))) <6> Nem iaz, a orsulás miatt a sebessé v z = v z0 t. (((Illetve lehet iaz, ha fielembe vesszük a közeellenállást, akkor kialakulhat e stacionárius sebessé))) <7> Nem iaz; e inerciarendszerhez képest eenes vonalú eenletes transzlációt véző vonatkozatási rendszer is inerciarendszer (azaz vételen sok inerciarendszer létezik) <8> Nem iaz; az erők eredője zérus Iaz-e, ho <1> az út-idő örbének lehet vízszintes érintője? Ha ien, mit jelent az? <> örbe vonalú mozásnál a sebessé nasáa mindi változik? <3> a ön a nehézséi orsulás értéke a sarkokon naobb, mint az Eenlítőn? inden válaszhoz indoklást is kérünk! <1> IGEN, ekkor a sebessé zérus <> NE IGAZ, a sebessé nasáa lehet állandó (az irána változik, és í a sebessévektor is) <3> IGAZ, (a sarkokon 9,83 m/s, az Eenlítőn 9,789 m/s ), erészt a lapult alakja, másrészt a centripetális erő miatt

3 Az alábbi állításokról döntse el, ho lehet-e iaz! Indokolja! <1> E tömepont sebessévektora időben változik, de uanakkor a sebesséének nasáa állandó. <> E tömepont sebesséének nasáa időben változik, de uanakkor a sebessévektora állandó. <3> E tömepont átlasebessée a [0; 0 s] időintervallumban nem zérus, de a [0; 60 s] időintervallumban zérus. <4> E tömepont átlasebessée a [0; 60 s] időintervallumban zérus, de a [0; 0 s] időintervallumban nem zérus. <5> Tömepont mozo az x tenel mentén. A sebessée pozitív és a orsulása neatív. <6> Tömepont mozo az x tenel mentén. A sebessée neatív és a orsulása pozitív. <1> Iaz lehet, ha a vektor irána változik. <> Nem lehet iaz. Két vektor akkor eenlő, ha nasáuk és iránuk meeezik. <3-4> Ez a két kérdés uanaz. ivel az átlasebessé az elmozdulásvektor és az eltelt idő hánadosa, iaz lehet az állítás, ha a [0; 60 s] intervallumban a tömepont visszatér a kiindulópontba, ahol t = 0-ban volt. <5-6> Ezekre a kérdésekre bármi lehet iaz. A orsulás a sebessé deriváltja, de nincs semmi mekötés arra, ho ha az eik pozitív/neatív, milen kell leen a másik előjele. (Az viszont itt mindkét esetben iaz, ho a sebessé abszolút értéke csökken.) Írja le Newton II. axiómáját! Definiálja a benne szereplő menniséeket! Írjon fel 3 példát erőtörvénre! Írja le, melik mire, mikor érvénes! Az eikhez írja fel a mozáseenletet is! Az erőtörvének azt adják me, ho mitől, hoan fü az erő e adott kölcsönhatás esetén. Példák: i nehézséi erőtér G = m = -mk A felszín közelében lévő testekre hat. Irána füőlees, a középpontja felé mutat; a ravitációs orsulás. m1 m r Általános ravitációs erőtörvén F = γ r r Bármel két test között fellépő vonzóerő. m 1, m a testek tömee, r az eik testtől a másik felé mutató vektor, γ univerzális fizikai állandó (ravitációs állandó). Csúszási súrlódási erő F = µn Ha e test e szilárd felületen mozo, akkor rá a mozásiránnal ellentétes csúszási súrlódási erő hat; µ a csúszási súrlódási ténező, N a nomóerő. Tapadási súrlódási erő Az az erő, amelet a felület fejt ki a (felülethez képest nualomban lévő) testre, ha a testet más erő mozásba kívánja hozni. A tapadási súrlódási erő maximális értéke F kr = µ t N. Gördülő ellenállás F = µ N Hener, ömb, kerekek ördülésénél fellépő fékező erő. 3

4 Lineáris rualmas erőtörvén Eik véén rözített ruó a ruó menúlásával arános erőt fejt ki: F = k (l-l 0 ) l a ruó hossza, l 0 a ruó hossza menújtatlan állapotban, k a ruóállandó. (Rualmas: az erő csak a pillanatni kitéréstől fü, lineáris: az erő arános a kitéréssel.) Közeellenállási erő Foladékban va ázban mozó szilárd testre ható, a sebesséével ellentétes iránú fékező erő. Kis sebessénél a sebesséel F = - k v, naobb sebessénél a sebessé nézetével arános: F = - k v v ozáseenlet: (a II. axiómába behelettesítjük az aktuális erőtörvént, és a orsulást a helvektor második deriváltjaként írjuk fel) pl. m& r = mk Adjuk me a következő menniséeket: a) A suara mm-ben: b) m = 0, a = 6480 km/h. Adjuk me a testre ható erő nasáát N-ban! c) A kerinési ideje percben: a) 6, mm b) a = 6480 km/h 1000m = 6480 = 0,5 m/s, F = ma = 0,0 0,5 = 0,01 N (3600s) c) , min Az E épület liftje induláskor 0,5 s alatt orsít fel (állandó nasáú orsulással) az 1,5 m/s-os állandó sebesséére, fékezéskor uancsak 0,5 s alatt fékez le álló helzetbe. A lift az 1. emeletről me le a földszintre, ehhez a liftnek 4,5 m-t kell ereszkednie. Ábrázoljuk (mefelelően beskálázott koordinátarendszerekben) az idő füvénében - a lift orsulását, - a lift sebesséét, - a lift által metett utat! a = v / t = 1,5 / 0,5 = 3 m/s az út - a orsuló részen: s 1 (t) = ½ a t = 1,5 t, t 1 = 0,5 s-nál az addi metett út s 1v = 0,375 m - a lassuló részen s 3 (t) = s v + vt ½ at = s v +1,5t 1,5t, t 3 = 0,5 s alatt a lassulva metett út s 3v = s v + 0,375 [m] - az állandó sebesséű részen s v = 4,5-0,375 = 3,75 m-t kell metennie, az ehhez szüksées idő t = s v / v = 3,75/1,5 =,5 s és itt az út-idő füvén s (t) = s 1v + vt = 0, ,5 t 4

5 E tömepont harmonikus rezőmozást véez az x tenel mentén: A/ x(t) = x* cos (ω t + π), ahol x* = m, ω = π/5 s -1 B/ x(t) = x* cos (ω t π/), ahol x* =,4 m, ω = π/ s -1 a) Ábrázoljuk a test x koordinátáját a [0, T] időintervallumban! (enni a T periódusidő? ekkora az A amplitúdó? Honnan indul a test a t = 0 s-ban?) b) enni a sebessé átlaértéke e teljes periódusra? c) enni a sebessé nasáának átlaértéke e teljes periódusra? a) A/ T = π / ω = 5 s, A = * x = m, x(0) = cos(ω 0+π) = m B/ T = π / ω = 4 s, A = * x =,4 m, x(0) =,4 cos(ω 0 π/) = 0 b) ivel e teljes periódus alatt a tömepont visszatér a kiindulási helzetébe, az elmozdulás zérus, vais a sebessé átlaértéke zérus. c) E teljes periódus alatt a tömepont kétszer me ki a szélső helzetébe és me vissza az orióba, azaz a metett út 4-szerese az amplitúdónak, a sebessé nasáának átlaa v átl = 4A / T, azaz A/ v átl = 4 /5 = 1,6 m/s, B/ v átl = 4,4/4 =,4 m/s. 50 m/s kezdősebesséel füőleesen felfelé hajítunk e követ. Uanakkor e 50 m maas toronból szabadeséssel leesik e másik kő. a) elik pillanatban vannak azonos maassában? b) ekkora ekkor az eik ill. másik sebessée? a) Fölfelé mutató z tenelt használva a feldobott kő z koordinátája z 1 = 50 t ½t, a leesőé z = 50 ½t. z 1 = z : 50 t ½t = 50 ½t t = 1 s. b) v = v 0 t: v 1 = = 40 m/s, v = 10 1 = -10 m/s. 5

6 790 m maassában állandó, 960 km/h vízszintes sebesséel haladó repülőépről leesett az eik ajtó. Szupermen is azon a repülőépen utazott, de éppen aludt. 10 s-i tartott, amí felébresztették és elmondták neki, mi történt. Ekkor azonnal (0 s alatt) odaszaladt az ajtó helén tátonó lukhoz és a) füőleesen lefelé v 0 kezdősebesséel elruaszkodva utánaurott az ajtónak. ekkora kezdősebesséel urott ki Szupermen, ha 3 s alatt érte utol az ajtót? b) zérus kezdősebesséel, de különlees képesséeit felhasználva állandó nasáú, füőlees orsulással indult az ajtó után (ez a orsulás hozzáadódik a nehézséi erőből eredő orsulásához). Lealább mekkorának kellett lenni ennek a orsulásnak, ho mé a leveőben elérje az ajtót? A értékét veük 9,9 m/s -nek. A léellenállást hanaoljuk el! Ha a léellenállást elhanaolhatjuk, akkor a leesett ajtóra nem hat vízszintes iránú erő, metartja a repülőép sebesséével meeező vízszintes sebessékomponensét, mindi a repülőép alatt lesz. A feladat meoldásához elé a z koordinátát felírni. a) 10+3 s alatt az ajtó s = ½ 9,9 13 = 836,55 m -t zuhant. Szupermen t S = 3 s alatt v 0 kezdősebesséről indulva tesz me ekkora utat: s = v 0 t S + ½ t S v 0 = (s ½ t S ) / t S = 64 m/s. b) Az ajtó h = 790 m maassából t a = h / = 40 s alatt ér földet. Ennél 10 s -mal kevesebb idő alatt kell Szupermennek földet érnie, ha mé a leveőben el akarja kapni az ajtót. s = ½ (+a)t a = s/t 790/(40 10) 9,9 = 7,7 m/s. E fekete autó 84 km/h sebesséről 10 km/h sebessére orsít fel 4 s alatt állandó orsulással, e fehér autó pedi 48 km/h-ról 84 km/h-ra uancsak 4 s alatt szintén állandó orsulással A: eenes úton, B: R = 150 m suarú köríven. A két autó tömee eenlő. Iaz-e, ho a) a fekete autó orsulása naobb? b) a fekete autó naobb utat tesz me eközben? a) A: nem B: ien Eenes úton a fekete és a fehér autó orsulása meeezik, mert a sebesséváltozás és az eltelt meeezik (tehát nem iaz, ho a fekete autó orsulása naobb) Köríven viszont a fenti orsulás mé csak az érintőiránú (tanenciális) orsuláskomponens (ami a sebessé nasáának változását okozza), itt viszont fielembe kell venni a (sebessévektor iránának változását okozó) centripetális orsuláskomponenst is, ami v -tel arános, tehát a fekete autónál naobb. Az eredő orsulás cp a = a t + a, tehát köríven iaz, ho a fekete autó orsulása naobb. b) A: ien B: ien A metett út s = v 0 t + ½at. A kezdősebesséet, v 0 -at kivéve minden meeezik, tehát az az autó, amelik naobb sebesséről indult, naobb utat tesz me, akár eenesen, akár köríven halad. 6

7 E fekete autó eenes úton, e fehér autó pedi R = 40 m suarú köríven 108 km/h sebesséről 16 km/h sebessére orsít fel 5 s alatt állandó kerületi orsulással. a) Iaz-e, ho fehér autó orsulása naobb? b) Írjuk fel a fehér autó szösebesséét az idő füvénében! a) Iaz, mert a kerületi/tanenciális orsulásuk azonos: v 1 = 108/3,6 = 30 m/s, v = 16/3,6 = 35 m/s, a t = v/ t = (35 30)/5 = 1 m/s ; de a fehér autónak a körpála miatt centripetális orsulása is van, í annak orsulása t a + a cp > a t b) ω 1 = v 1 /R = 30/40 = 0,75 s -1, ω = v /R = 35/40 = 0,875 s -1, β = ω/ t = (0,875 0,75)/5 = 0,05 s, (va: β = a t / R = 1/40 = 0,05 s - ), azaz ω = ω 1 + βt = 0,75 + 0,05 t (s -1 ) A Szaturnusz suara 9,5-szerese, tömee 95-szöröse a ének. Számoljuk ki, hánszorosa a Szaturnusz felszínén mérhető nehézséi orsulás értéke a felszínén mérhetőnek! (a centrifuális orsulást hanaoljuk el) = γ, R γ R = γ R = R R, azaz Szaurnusz 95 = 1, 05 9,5 EGOLDÁS NÉLKÜL: E m tömeű tömepont orsulása a. A tömepontra két erő hat, az eik erő (F 1 ) ismert. Határozzuk me képletben és szerkesztéssel az ismeretlen másik erőt (F )! E m = 0 tömeű test állandó erő hatására mozo az x- síkban. A test a t 1 = s időben a P 1 (10 m, 0 m) pontban van, sebessée a + tenel iránába mutat és nasáa v 1 = 10 m/s. A test a t = 6 s időpontban a P (-6 m, 0 m) pontban van, a sebessée a x tenel iránába mutat és nasáa v = 8 m/s. a) ekkora az erő nasáa? b) ekkora a test sebessée a t 3 = 8 s időpontban, és hol lesz a test akkor? 7