Kinematika február 12.

Átírás

1 Kinematika február 12. Kinematika feladatokat oldunk me, szamárháromszö helyett füvényvizsálattal. A szamárháromszöel az a baj, hoy a feladat meértése helyett valami szabály formális használatára épül. Ha például valaki s, t és v között ey formális kapcsolatot maol be, akkor a következ feladattal nehézséei lehetnek: Mekkora v utat tesz me s id alatt ey t sebesséel mozó test? A kinematikában csak leírjuk a mozást (az okaival eyel re nem folalkozunk). Lényeében csak arra a kérdésre keressük a választ, hoy mikor hol van a test. Ey kicsiny test (pontszer test, tömepont) helyzetét általános esetben ey kiválasztott kezd ponthoz (orió) viszonyítva ey vektorral (helyvektor) adhatunk me. A vektort pedi alkalmasan választott koordináta-rendszerben koordinátáival írhatjuk le. Ha a mozás ey dimenzióban (ey eyenes mentén) történik, akkor a helyzetét ey el jeles távolsá, az orióhoz viszonyított elmozdulás adja me. Az id t általában szintén ey kiválasztott kezd pillanathoz viszonyítva adjuk me. Az eyenesvonalú mozást véz test mozását az x(t) elmozdulásid füvény eyértelm en leírja. 1. Eyenesvonalú eyenletes mozások, találkozások A feladatok meoldása el tt fontos rözítenünk a koordináta-rendszerünket: meadni az oriót, a pozitív irányt, és a kezd pillanatot. Ezután már mevizsálhatjuk a kezdeti feltételeket, azaz meállapíthatjuk, hoy a t = 0 pillanatban (vay a mozás kezdetekor) hol van a vizsált test. A test kezdeti x(0) helyét az eyszer sé kedvéért yakran x 0 -lal fojuk jelölni. Nézzünk ey eyszer feladatot: A és B város eymástól 12 km távolsára van az orszáúton. A-ból reel 8:00-kor indul ey biciklis B-be, sebessée 20 km/h. Ey motoros 8:15-kor indul utána 50 km/h sebesséel. Ey autó pedi 8:20-kor B-b l indul A felé 60 km/h sebesséel. Kivel találkozik el bb az autós? Mikor és hol lesznek a találkozások? Az események áttekintését seíti, ha a testek mozását ey elmozdulásid rakonon ábrázoljuk. Leyen az orió A-ban, mutasson B felé a pozitív irány, és válasszuk t = 0 pillanatnak a reel 8 órát!

2 Az eyes járm vek kezdeti helyzetét a szöve alapján könnyen berajzolhatjuk a ra- konba. A mozásokat pedi eyenesek (lineáris füvények) foják ábrázolni, hiszen a járm vek állandó sebesséel mozonak. Az eyenesek meredekséét a sebessé határozza me: a sebesséek alapján könnyen kiszámolhatjuk, hoy fél óra vay neyed óra alatt mennyit tesz me a járm, és ennek alapján berajzolhatjuk az eyeneseket. Találkozás az, amikor két test uyanakkor uyanott van, azaz ahol a rakonok metszik eymást. Látható, hoy a három találkozás majdnem eybeesik. Nayon pontosan kell rajzolni ahhoz, hoy eldöntsük, melyik történik el bb. A pontosabb számoláshoz írjuk fel az eyes járm vek elmozdulásid füvényét! A füvényekben a mértékeyséeket az áttekinthet sé kedvéért nem írjuk ki: a távolsáokat km-ben, az id t órában, a sebesséeket km/h eyséekben mérjük. biciklis: motoros: autós: x 1 (t) = v 1 t = 20t x 2 (t) = v 2 (t t 2 ) = 50(t 0,25) = 50t 12,5 x 3 (t) = d v 3 (t t 3 ) = 12 60(t 0,333) = 60t + 32 A találkozások id pontját úy kapjuk me, ha két id füvényt eymással eyenl vé teszünk. A találkozás helye pedi adódik, ha ezt az id t behelyettesítjük valamelyik füvénybe. biciklis és motoros: biciklis és autós: motoros és autós: x 1 (t) = x 2 (t) 20t 12 = 50t 12 12,5 t 12 = 0,417 h = 25 x 12 = x 1 (t 12 ) = 20t 12 = 8,33 km x 1 (t) = x 3 (t) 20t 13 = 60t t 13 = 0,4 h = 24 x 13 = x 1 (t 13 ) = 20t 13 = 8 km x 2 (t) = x 3 (t) 50t 23 12,5 = 60t t 23 = 0,404 h = 24,3 x 23 = x 2 (t 23 ) = 50t 23 12,5 = 7,7 km Ezek szerint az autós és a kerékpáros találkozik el ször. 2

3 2. Eyenletes mozás: következtetések a rakonokból Ey eyenletes mozás id füvénye általános alakban: x(t) = x 0 + vt, ahol x 0 a test elmozdulása a t = 0 id pillanatban. Ez ey lineáris füvény A füvény rakonáról leolvasható az eyenes meredeksée, amely épp a test sebessée: x t = v. Ha az eyenes vízszintes, a meredeksé 0, a test áll. Ha az eyenes emelkedik, a test a pozitív irányba mozo, v > 0, ha az eyenes lejt, v < 0, a test a kiválasztott pozitív iránnyal ellentétes irányba mozo. Minél meredekebb az eyenes, annál nayobb a sebessé abszolút értéke, annál yorsabb a test. Ez a kapcsolat általában is iaz: tetsz lees mozás esetében az elmozdulásid füvény meredeksée meadja a test (id ben általában nem állandó, pillanatnyi) sebesséét. Ábrázoljuk a sebesséet is az id füvényében! Ez az eyenletes mozás esetében ey konstansfüvény. A rakonon beszínezett terület naysáa éppen a test t id alatti elmozdulását adja me: v t = x. A test elmozdulásának teljes meváltozását a teljes örbe alatti terület adja me. A test ténylees elmozdulásának mehatározásához azonban tudni kell a test x 0 elmozdulását a mozás elején (kezdeti feltétel ). Ha a sebessé neatív, akkor a terület az eyenes felett van, ilyenkor az elmozdulás meváltozása neatív. 3

4 Ez a kapcsolat általában is iaz: tetsz lees mozás esetében a sebesséid füvény örbe alatti (el jeles) területe meadja a test elmozdulásának meváltozását. 3. Általános mozás elemzése Az ábrán ey általános mozás elmozdulásid füvénye látható. Ez alapján szeretnénk felvázolni a test sebesséid rakonját. Amikor az elmozdulás növekszik, a test sebessée pozitív. Ilyen a (0, t 1 ) és a (t 3, t 4 ) id intervallum. Amikor a füvény csökken, esetünkben a (t 1, t 3 ) id intervallum, a test sebessée neatív. Ebb l következik, hoy amikor az elmozdulásid füvény növekedésb l csökkenésbe vált, azaz amikor a füvénynek (lokális) maximuma van, vay amikor csökkenésb l növekedésbe vált, azaz amikor a füvénynek (lokális) minimuma van, akkor a sebesséid füvény el jelet vált. Mivel a test sebessée folytonosan változik, az elmozdulásfüvény széls értékénél a sebessé nulla. A sebesséid rakonnak tehát mevannak már a zérushelyei (t 1 és t 3 ). A sebessé naysáát az elmozdulásid rakon meredeksée adja me. Kezdetben a meredeksé folyamatosan csökken, íy a sebessé ey kezdeti pozitív értékr l folyamatosan csökken. Az elmozdulásid rakon a maximuma után (ahol a sebessé nulla) eyre 4

5 meredekebben lejt, íy a sebessé eyre nayobb abszolút érték neatív érték lesz. A sebesséid füvény minimuma ott lesz, ahol az elmozdulásid rakon lemeredekebben lejt (t 2 pillanat). A sebessé ezután is neatív (hiszen az elmozdulás csökken), de eyre kisebb abszolút érték (hiszen az elmozdulásid rakon eyre laposabb). Az elmozdulásid rakon minimumhelyénél a sebessé nulla, majd eyre nayobb pozitív érték lesz, hiszen az elmozdulásid rakon eyre meredekebben emelkedik. Ezek alapján már felvázolhattuk a sebesséid rakont. 4. Eyenletesen yorsuló mozás Ha a test sebessée id ben lineárisan változik, akkor eyenletesen yorsuló (lassuló) mozásról beszélünk. Az ábrán ey ilyen mozás sebesséid rakonja látható. A rakon meredeksée meadja a sebessé változási sebesséét, azaz a test yorsulását. A sebesséfüvény általános alakja: v(t) = v 0 + at, ahol v 0 a test sebessée a t = 0 pillanatban. Ha a = 0, a sebessé állandó, ha a > 0, a test sebessée n, ha a < 0, csökken. Minél meredekebb a örbe, annál nayobb a yorsulás abszolút értéke. Ez a kapcsolat általában is iaz: ey általános mozásnál a sebesséid rakon meredeksée meadja az általában id ben változó (pillanatnyi) yorsulást. Fiyeljünk arra, hoy a yorsulásnál csak a m/s 2 mértékeysé használatos, és íy ilyenkor a sebesséet m/s-ban, az id t s-ban kell mérnünk. Vizsáljuk me most is a sebesséid rakon alatti területet! 5

6 A test elmozdulásának meváltozása a örbe alatti terület. A trapéz területképlete alapján x = v 0 + (v 0 + at) t = v 0 t + a 2 2 t2, amib l a test elmozdulása a kezdeti x 0 elmozdulás ismeretében: x(t) = x 0 + v 0 t + a 2 t2. Az eyenletesen yorsuló mozás elmozdulásid füvénye ey másodfokú füvény, rakonja ey parabolaív. A rakon az x 0 pontból indul. Kezdeti meredeksée olyan, mintha ey v 0 (pozitív) sebessé eyenletes mozás rakonját rajzolnánk (szaatott vonal). A sebessé ezután folyamatosan n (ha a pozitív), íy a örbe eyre meredekebb lesz. A yorsulásid rakon eyenletesen yorsuló mozásnál ey konstansfüvény. A örbe alatt beszínezett terület meadja a test sebesséének meváltozását t id alatt: a t = v. A test sebesséének teljes meváltozását a teljes örbe alatti terület adja me. A test sebesséének mehatározásához azonban tudni kell a test v 0 kezd sebesséét. Ha a yorsulás neatív, akkor a terület az eyenes felett van, ilyenkor a sebessé csökken. Ez a kapcsolat általában is iaz: tetsz lees mozás esetében a yorsulásid füvény örbe alatti (el jeles) területe meadja a test sebesséének meváltozását. 6

7 5. Ferde hajítás A szabadesés, fü lees hajítás, vízszintes hajítás és a ferde hajítás olyan mozások, ahol a testre csak a nehézséi er hat. (A valósában az elejtett, eldobott testekre hat a közeellenállás is, de például a súlylökésnél a olyó mérete, s r sée és sebessée miatt a léellenállás jó közelítéssel elhanyaolható.) A nehézséi er hatására a testnek fü leesen lefelé mutató, naysáú yorsulása lesz. A következ kben a ferde hajítást vizsáljuk, hiszen a többi mozás ennek speciális esete (a kezdeti feltételek speciális meválasztásával). A ferde hajítás az eddi táryalt mozásokkal ellentétben nem eyenesvonalú mozás, a test ey síkban mozo. A közeellenállás hiánya miatt azonban a test vízszintes és fü lees mozása eymástól füetlenül tanulmányozható: a test vízszintes irányban eyenletesen (állandó sebesséel) mozo, fü leesen pedi eyenletes (állandó) yorsulással. A mozás leírásához válasszunk olyan koordináta-rendszert, ahol az x-tenely vízszintes, az y-tenely pedi fü leesen felfelé mutat (és a mozás az x-y síkban történik). A testnek íy nincsen x-irányú yorsulása, az y-irányú yorsulása pedi a y =. Az oriót veyük fel a vízszintes talaj azon pontjában, amely fölött a testet eldobjuk. A test koordinátái eszerint a t = 0 pillanatban: x 0 = 0 y 0 = h. A testet ebb l a pontból v 0 sebesséel, a vízszinteshez képest α szöben (pozitív α esetén ferdén felfelé) dobjuk el. A test kezd sebessé-koordinátái íy: v x0 = v 0 cos α v y0 = v 0 sin α. x 0, y 0, v x0 és v y0 eyütt határozzák me a kezdeti feltételeket. Ezek seítséével felírhatjuk a mozást leíró id füvényeket: x(t) = v x0 t = v 0 cos αt v x (t) = v x0 = v 0 cos α a x (t) = 0 y(t) = y 0 + v y0 t + a y 2 t2 = h + v 0 sin αt 2 t2 v y (t) = v y0 + a y t = v 0 sin α t a y (t) =. Ezek után ey sor kérdésre már könnyen válaszolhatunk! 1. Milyen maasra jut a test a mozása során? Ehhez el ször azt válaszoljuk me, hoy mikor ér a test a pálya tet pontjára! Addi, amí a test emelkedik, y-irányú sebessékomponense pozitív, a test esése közben viszont neatív lesz. A test akkor éri el a pálya tet pontját, amikor a fü lees irányú sebessée nulla lesz. Ezt a kapcsolatot láthatjuk a következ két rakonon. 7

8 Ez alapján már könnyen mehatározhatunk minden kérdéses mennyiséet. Azt a t t id pontot, amikor a test eléri a tet pontját az v y (t) = 0 eyenlet yöke adja me: v 0 sin α t t = 0 t t = v 0 sin α Milyen maasan lesz ekkor a test? Ehhez a mekapott t t id pontot be kell helyettesíteni az y(t) füvénybe: y t = y(t t ) = h + v 0 sin αt t 2 t2 t = h + v2 0 sin 2 α. v0 2 sin 2 α 2 2 = h + v2 0 sin 2 α 2 Mekkora lesz itt a test sebessée? A test fü lees sebessée nulla, de vízszintesen állandó sebesséel mozo: v = v x = v 0 cos α.. 2. Milyen pályán mozo a test? A test pályáját meadó y(x) füvényt az x(t) és y(t) füvényekb l t kiküszöbölésével kapjuk me. x(t)-b l t-t kifejezve: majd ezt y(t)-be behelyettesítve: t = x v 0 cos α, x 2 x y(x) = h + v 0 sin α v 0 cos α 2 v0 2 cos 2 α = h + t αx 2v 2 0 cos 2 α x2. Ez ey másodfokú füvény, a test parabolapályán mozo. 8

9 3. Hol ér földet a test? Ehhez ismét el ször arra a kérdésre válaszolunk, hoy mikor ér földet. A földet érés t f id pontját az y(t) = 0 eyenlet yöke adja me: h + v 0 sin αt f 2 t2 f = 0. Az eyenlet két yöke közül a pozitív adja me a keresett id pillanatot (a mozás a t = 0 pillanatban kezd dik, a neatív értéknek nincs értelme): t f = v 0 sin α + v 2 0 sin 2 α + 2h Milyen messze ér földet? Helyettesítsük be a t f értéket az x(t) füvénybe: x f = x(t f ) = v 0 sin α + v0 2 sin 2 α + 2h v 0 cos α. Mekkora lesz a földet éréskor a sebessée? A vízszintes sebessékomponens véi állandó. A fü lees sebessékomponenst a v y (t) füvényb l kaphatjuk me t f behelyettesítéssel: ( ) v y (t f ) = v 0 sin α v 0 sin α + v0 2 sin 2 α + 2h = v0 2 sin 2 α + 2h.. A földet érés sebesséét a két sebessékomponensb l a Pitaorasz-tétel alapján határozhatjuk me: v f = vx 2 + vy 2 = v0 2 cos 2 α + v0 2 sin 2 α + 2h = v h. 4. Milyen szöben kell (adott maassából, adott kezd sebesséel) eldobni a testet, hoy a lehet lemesszebb repüljön? Az el bb mehatároztuk x f kifejezését, tekintsük ezt most α füvényeként: x f (α) = v 0 sin α + [( ) ] v0 2 sin 2 α + 2h v 0 cos α = v2 0 sin α + sin 2 α + 2h cos α. v0 2 Azt az α szöet keressük, ahol ez a kifejezés (rözített v 0 és h esetén) maximális. 9

10 A v2 0 szorzó ey pozitív konstans. A távolsá akkor lesz maximális, ahol a szöletes zárójelben lév kifejezés maximális. Ez α-n kívül csak a k = 2h konstanstól fü, ezt v0 2 behelyettesítve a vizsálandó füvény: ( ) f(α) = sin α + sin 2 α + k cos α A füvény maximumhelyét különböz k értékek esetén rakusan kereshetjük me, a füvény ábrázolásával. Ezt például Excel táblázatkezel vel is metehetjük (lásd a honlapra feltöltött fájlt). A rakonon három különböz k érték esetében látható az f(α) füvény. Ha a testet a földr l indítjuk (h = 0 és íy k = 0), akkor a maximális távolsá α = 45 -nál lesz, amit rakon nélkül is mekaphatunk: ( ) f(α) k=0 = sin α + sin 2 α + 0 cos α = 2 sin α cos α = sin 2α, a sin 2α füvénynek pedi 2α = 90, azaz α = 45 -nál van maximuma. Ha k értéke nayobb (maasabbról dobjuk el), akkor a maximum eyre kisebb szöeknél lesz. 6. Harmonikus rez mozás A természetben nayon yakori a harmonikus rez mozás. Ennek elmozdulásid füvénye ey szinuszos (vay koszinuszos) füvény: x(t) = A sin ωt. Ebben A a rezés amplitúdója (maximális kitérése), ω pedi a rezés körfrekvenciája, amely a rezés T periódusidejével és f frekvenciájával a következ kapcsolatban van: ω = 2π T = 2πf. (Az ω jelölés onnan származik, hoy ey omea szösebessé körmozás vetülete ey omea körfrekvenciájú rezés.) Rajzoljuk fel az elmozdulásid füvényt, majd próbáljuk me ennek elemzése alapján a sebesséid és yorsulásid füvényt is felvázolni! 10

11 A füvénynek az els peridusban a T/4 pillanatban maximuma, a 3T/4 pillanatban minimuma van. Ahoy korábban láttuk, ezekben a pillanatokban a sebessé nulla. Ezzel már mekaptuk a sebesséid füvény zérushelyeit. Ahol az elmozdulásid füvény n, a sebesséid füvény pozitív. Annál nayobb, minél meredekebb x(t). A füvény a t = 0 (és a t = nt, ahol n eész) pillanatban n a lemeredekebben, íy a sebesséfüvénynek ezekben a pillanatokban lesz maximuma. Hasonlóan, a T/2 pillanatban, ahol x(t) a lemeredekebben csökken, v(t)-nek minimuma lesz. Me kell határozni a v(t) füvény maximumának és a minimumának naysáát is. Ezt az x(t) füvény meredeksée adja me. Ennek kiszámításához ondoljunk bele, hoy az x = sin t füvénynek a t = 0 helyen 1 a meredeksée (a szinuszfüvény deníciója alapján belátható, vay számolóépen könnyen kipróbálható, hoy a nayon kis szöek szinusza közel eyenl a szö radiánban mért értékével). Ha a füvényt meszorozzuk A-val, akkor a füvény képe fü leesen menyúlik, és meredeksée is A-szorosára n. Ha a füvény arumentumát szorozzuk ω-val, akkor a füvény képe vízszintesen összenyomódik, amit l a meredeksé szintén men, ω-szorosára változik. Az x(t) = A sin ωt füvény meredeksée a t = 0 (és a t = T ) pillanatban tehát Aω, a t = T/2 pillanatban pedi Aω. A sebesséamplitúdó (a sebessé maximális értéke) tehát v max = Aω. Ezek alapján már elé sok pontja merajzolható a sebesséid füvénynek. A v(t) örbe merajzolásához mé ki kéne számolni néhány másik pontban is x(t) meredekséét, de most ehelyett bizonyítás nélkül elfoadjuk, hoy a kiszámított pontokat összeköt örbe ey koszinuszfüvény lesz. v(t) = Aω cos ωt. Hasonló ondolatmenettel kaphatjuk me a yorsulásid füvényt is a sebessé id füvényb l. A yorsulás maximális értékét (a yorsulásamplitúdót) a sebesséid rakon lenayobb meredeksée adja me, ami az el z ondolatmenettel a max = Aω 2. A yorsulásid füvény ey szinuszfüvény mínusz eyszerese: a(t) = Aω 2 sin ωt. 11

12 Veyük észre, hoy test yorsulása minden pillanatban arányos a kitérésével, és az arányossái tényez neatív ( ω 2 ). Dinamikai mefontolások alapján ebb l az következik, hoy a harmonikus rez mozáshoz a kitéréssel arányos visszatérít er szüksées. 7. Szabadesés léellenállással A honlapra feltöltött másik Excel fájl ey példát mutat arra, hoy sokszor bonyolult feladatokra is könnyen lehet közelít numerikus eredményt kapni. Ey léellenállással es test yorsulásának naysáa a = kv 2, ahol a nehézséi yorsulás, v a test sebessée, k pedi a test alakjától, méretét l, tömeét l, valamint a leve s r séét l fü állandó. A testet h maassában nyualmi helyzetb l elenedjük, íy kezdetben t = 0, v(0) = 0, x(0) = h, ebb l az állapotból indulunk. A test yorsulása v(t) ismeretében minden pillanatban mehatározható: a(t) = + kv 2 (t) A yorsulás eleend en kicsi t id alatt nayon keveset változik, ezért a test sebessée 12

13 és helyzete t id vel kés bb jó közelítéssel: v(t + t) = v(t) + a(t) t x(t + t) = x(t) + v(t) + v(t + t) t. 2 Ezek ismeretében már mehatározhatjuk a(t + t) értékét, és íy tovább. Fiyelnünk kell a leállási feltételre is, azaz hoy mikor lesz x(t) 0. Vankó Péter 13