Szakács Jenő Megyei Fizikaverseny

Átírás

1 Szakács Jenő Megyei Fizikaverseny 04/05. tanév I. forduló 04. december.

2 . A világ leghosszabb nyílegyenes vasútvonala (Trans- Australian Railway) az ausztráliai Nullarbor sivatagon át halad Kalgoorlie és Port Augusta városok között. (Természetesen a vonalban helyenként kétvágányos kitérők, illetve állomások vannak, ahol a szemben közlekedő vonatok elhaladhatnak egymás mellett.) Menetrend szerint pontosan déli órakor egy IC vonat indul Kalgoorlie-ből Port Augusta-ba, amely megállás nélkül, egyenletesnek tekinthető 0 km/h sebességgel teszi meg az utat. Délelőtt egy tehervonat indult Port Augusta-ból Kalgoorlie-be, amely szintén megállásnélküli közelítőleg egyenletes 80 km/h sebességgel halad. A két vonat pontosan egyszerre érkezik meg a célállomásra. Tudjuk még, hogy a két vonat találkozásuk előtt egy órával pontosan kétharmad olyan távolságra van egymástól, mint déli órakor. Milyen messze van egymástól Kalgoorlie és Port Augusta? (0 pont) (i) A két vonat 00 km/h eredő (relatív) sebességgel halad egymás felé, így egy órával a találkozásuk előtt 00 km távolságra vannak egymástól. (8 pont) (ii) Ez kétharmad része a órakor mért távolságuknak, tehát déli órakor 00 km-re vannak egymástól. (4 pont) (iii) Mivel -kor az IC még éppen Kalgoorlie-ben van, így a tehervonat ekkor 00 km-re van Kalgoorlie-tól, amely távolságot 00/80=,75 óra alatt teszi meg, tehát kor érkezik meg Kalgoorlie-ba. (4 pont) (iv) Az IC ugyanekkor érkezik meg Port Augusta-ba, tehát,75 órát haladt 0 km/h sebességgel, így a megtett út, km, azaz Kalgoorlie és Port Augusta 450 km távolságra van egymástól. (4 pont). Egy vonat egy függőleges síkú fal mellett halad a fallal párhuzamos egyenes sínszakaszon 08 km/h egyenletes sebességgel. Mekkora a sínszakasz és a fal távolsága, ha a vonat kürtjének visszhangja,5 másodpercet késik a hang megszólaltatásához képest? A hang terjedési sebessége levegőben 40 m/s. (0 pont) c=40 m/s, v=08 km/h=0 m/s, Δt=,5 s t A hang t' 0,75 s alatt éri el a falat, miközben a hang c t', míg a vonat v t' utat tesz meg. Ezt a pillanatot tekintve a hang, a vonat és a hang kibocsátási helye derékszögű háromszög csúcsai, melyre felírva a Püthagorasz-tételt megkaphatjuk a vasúti sín és a fal

3 távolságát: ' ' d v t c t d c t ' v t ' t ' c v 0, m (0 pont). Egy löveget vízszintes fennsíkon egy 00 m mély, függőleges falú szakadék szélétől 8 km távolságra állítanak fel. A feladat a szakadék fenekén elhelyezett célpontok belövése. Milyen távolságban lehet a szakadékfenék szélétől az a legközelebbi célpont, ami még eltalálható a lövedékekkel, ha azokat 00 m/s kezdősebességgel lövik ki? (0 pont) Jelölések: h = 00 m, s = 8 km, vkezdő = 00 m/s, a kezdősebesség emelkedési szöge. A legközelebbi eltalálható célpontok távolsága a szakadék szélétől x. A legközelebbi célpontokat eltaláló lövedékek pályája olyan, hogy éppen elhaladnak a szakadék széle mellett, azaz vízszintes irányú sebességükkel éppen a 8 km-re levő szakadékperemig érnek akkorra, mire visszajutnak a talajszintre az emelkedésük majd esésük után. ( pont) Az emelkedés és talajszintig esés ideje legegyszerűbben abból határozható meg, hogy ideje alatt a függőleges kezdősebesség -szeresére változik. A lefelé mutató irányt tekintve negatívnak, írható, hogy: v vkezdöfüggöleges vkezdöfüggöleges vkezdöfüggöleges vkezdö sin tszakadékig. a g g g Ez idő alatt a vízszintes sebességével éppen a szakadék széléig jut: vkezdö sin sin s vkezdö vizszintes tszakadékig vkezdö cos vkezdö (4 pont). g g (Ez utóbbi képletet a tanuló a Függvénytáblázatokban készen is megtalálhat.) Az utóbbiba behelyettesítve a szükséges emelkedési szögre a következő egyenlet adódik: m sin 8 km 00, m s 0 s melynek megoldásai =,4 és = 58,6 (g = 9,8 m/s -tel számolva: = 0, és = 59,7 ), ezek közül azt kell választani, amelyik a meredekebb emelkedésű, vagyis -t (4 pont). A további h mértékű lefelé mozdulás vkezdő függőleges lefelé mutató kezdősebességű szabadesés, aminek idejét jelöljük tszakadékban-nal: a h vkezdöfüggölegest szakadékban szakadékban t ( pont),

4 továbbírva: g h vkezdö sin tszakadékban tszakadékban, m m 0 s behelyettesítve 00 m 00 sin 58,6 tszakadékban tszakadékban megoldható a s továbbesés idejére: tszakadékban, = 0,8 s, tszakadékban, = 5,6 s (g = 9,8 m/s -tel számolva tszakadékban, = 0,79 s), ezek közül a pozitívat kell választani (4 pont). A kérdezett távolság az ez idő alatti vízszintes elmozdulás: m x vkezdö vízszintes tszakadékban, vkezdö cos tszakadékba n, 00 cos 58,6 0,8 s = 59,8 m s (g = 9,8 m/s -tel számolva: x = 57,5 m) (4 pont). (Megjegyzés: az eredmények számszerű értékei nagyon erősen függenek a számolás pontosságától!) 4. Egy henger alakú dárda hossza L 00cm, átmérője d cm, anyagának átlagos sűrűsége 0,8g/cm (gyertyánfa). Az eldobott dárda hegye v 0m/s sebességgel éri el a talajt, és b 0cm hosszon fúródik a homokba. A becsapódáskor a dárda merőleges a talaj síkjára. Tételezze fel, hogy a dárda lassulása (a homokba fúródás közben) jó közelítéssel állandó. (a) Mekkora erő lassította a dárdát? (0 pont) (b) Adott ellenállási erőt kifejtő talaj esetén hogyan függ a talajba fúródás mélysége a dárda hosszától? (0 pont) (a) A dárda lassulásának nagysága: v a s A dárda tömege és a lassító erő: 0m/s 000 m/s 0,m cm d g π m L 0,8 00 cm 0,50kg, 4 cm 4 F ma, F 0,50kg 000 m/s 50N. (0 pont) (b) A talajba fúródás mélysége és a dárda hossza közötti kapcsolatot a munkatétel alapján határozzuk meg: v v d mv F b, b m L, b ~ L. (0 pont) F F 4 A talajba fúródás mélysége egyenesen arányos a dárda hosszával. Ez az egyik magyarázat arra, hogy miért hosszúak a gerelyek, vetőlándzsák, dárdák, nyílvesszők. A másik magyarázat a repülés stabilitása és a kis légellenállás.

5 5. Egy állócsigán átvetett kötél két oldalán gerendák lógnak. Mindkét gerenda tömege M=50 kg. Egy közelben lévő asztalról egy macska ugrik az egyik gerendára és megrémülve attól, hogy a gerenda elindul vele lefelé, felfelé kezd rohanni a gerendán. A gerendához viszonyított mozgása úgy állandósul, hogy a macska magassága a Földhöz képest nem változik. Ekkor a gerendák gyorsulása 0,5 m/s. Mekkora a macska tömege? (g=0 m/s ) (0 pont) Mivel a macska a Földhöz képest nyugalomban van, így a macskára ható nehézségi erő és a gerendával való kölcsönhatásából származó erő nagysága egyforma, hiszen irányuk ellentétes. A macska így pontosan a rá ható nehézségi erőnek megfelelő nagyságú és irányú erőt fejt ki a gerendára. Jelölje m a macska tömegét, K pedig a kötélerőt. A gerendák mozgásegyenletei: K Mg Ma Mg mg K Ma Ezekből a macska tömege: Ma 500,5 m 5 kg. (0 pont) g 0 6. Rómeó egy L hosszúságú, m=0 kg tömegű létrán próbál följutni Júlia erkélyére. A létra teteje és a fal között a tapadási súrlódási együttható 0,4, míg a létra alja és a talaj között 0,7. Amikor útjának 4/5-éhez ér, a létra megcsúszik alatta! Mekkora volt a létrának a fallal bezárt szöge mászás előtt? Rómeó tömege M=80 kg. (0 pont) Jelölések: a kölcsönhatásokban részt vevő testek (Rómeó, létra, erkély, talaj) nevének kezdőbetűje lesz az erők és az erőkarok indexének első betűje. Ha van második betű, akkor az az erő milyenségét jelenti, a t a tartó (felületre merőleges) erőt, az s a súrlódási (felülettel párhuzamos) erőt. Az ismeretlen szög. GR = 800 N, Gl = 00 N (ha a tanuló a súlyokat g = 9,8 m/s figyelembevételével számolta ki, akkor GR = 785 N és Gl = 96 N), 0t = 0,7, 0e = 0,4. ( pont)

6 Olyan esetet célszerű vizsgálni, amikor a létra még nem csúszik, ilyenkor föl lehet írni a függőleges és a vízszintes erők, valamint a forgatónyomatékok egyensúlyainak egyenleteit. Ez utóbbihoz a forgástengely tetszőlegesen választható meg, a példában a létra alsó pontját tekintjük forgástengelynek. F et F es F F F 0 eredö, vízszintes ts et Feredö,függ öleges Ftt Fes G GR 0 M eredö G k GR kr Fet ket Fes kes (0 pont) 0 F tt Gl G R k et Amikor létra még épphogy csak nem csúszik meg, a tapadási súrlódási erők elérik a maximumukat: Fts = 0t Ftt és Fes = 0e Fet (4 pont). F ts k l k R k es Ezzel az egyenletek: F F 0t tt F et F 0 G G 0 tt 0e et R G k GR kr Fet ket 0eFet kes 0 -ként alakulnak tovább. Az utóbbi egyenletben az erőkarok könnyen előállíthatók a létra hosszából és szögfüggvényeiből: G 4 Lsin GR Lsin Fet Lcos 0eFet Lsin 0 5 Behelyettesítés után,7 F F 0 0 tt et F tt 0,4 Fet 00 N 800 N N sin 800 N sin F et cos 0,4 Fet Lsin 0 5 Az első két egyenlet eredménye a két tartóerőre Ftt = 78 N és Fet = 547 N (ha a tanuló a súlyokat g = 9,8 m/s figyelembevételével számolta ki, akkor Ftt = 766 N és Fet = 56 N). (0 pont) A kapott erőket az utolsó egyenletbe helyettesítve kijön a kérdéses szög tangense: 547 N tg, N 800 N 0,4 547 N 5 Ebből pedig = 46,4 (ha a tanuló a súlyokat g = 9,8 m/s figyelembevételével számolta ki, akkor is ugyanennyi az eredmény) (4 pont).

7 7. Vízszintes felületen egy 6 kg tömegű, 0º hajlásszögű lejtő csúszhat súrlódásmentesen. A lejtőre egy kg tömegű hasábot helyeznek, a lejtő és a hasáb között a tapadási súrlódási együttható értéke 0,5. Legalább mekkora és legfeljebb mekkora vízszintes irányú erővel kell tolni a lejtőt, hogy a test a lejtőn ne csússzon meg? (5 pont) Mekkora ezekben az esetekben a lejtő gyorsulása és a lejtő által a talajra kifejtett nyomóerő? (5 pont),,,. Vizsgáljuk meg az m tömegű hasáb egyensúlyának feltételét a rendszer minimális gyorsulásánál! Írjuk fel az egyensúlyi egyenleteket az erők egy, a lejtőre merőleges és egy, a lejtővel párhuzamos komponenseire. (ábra: 4 pont). Vonatkoztatási rendszerünket rögzítsük az amin gyorsulással mozgó lejtőhöz! Ekkor az egyensúlyi egyenletek: Ezekből: Mivel a lejtő és a hasáb (így tömegközéppontjuk is) ezzel a gyorsulással halad, így a mozgást létrehozó, a lejtőre ható vízszintes tolóerő nagysága: F ( m M ) a 5,4 N. (0 pont) min min Vizsgáljuk meg az m tömegű hasáb egyensúlyának feltételét a rendszer maximális gyorsulásánál! Vonatkoztatási rendszerünket ismét rögzítsük az amax gyorsulással mozgó lejtőhöz! (ábra: 4 pont) Ekkor az egyensúlyi egyenletek:

8 Ezekből: Mivel a lejtő és a hasáb (így tömegközéppontjuk is) ezzel a gyorsulással halad, így a mozgást létrehozó, a lejtőre ható vízszintes tolóerő nagysága: F ( m M ) a 6,5 N. (0 pont) min max A lejtő által a talajra kifejtett erő nagysága - mindkét esetben - a két testre ható nehézségi erők összegével egyezik meg, vagyis F ( m M) g 90 N. ( pont) nyomó 8. A folyadékok sűrűségének mérésére használt sűrűségmérő (areométer) alul kiszélesedő, skálabeosztással ellátott vékony, zárt üvegcső, amelynek alsó, kiszélesedő ürege nehezékkel van töltve. Az ismeretlen sűrűségű folyadékot mérőhengerbe kell tölteni, és ebbe kell belehelyezni a sűrűségmérőt. A sűrűségmérő merülési mélységéből meghatározható a folyadék sűrűsége, ez a folyadékfelszín magasságában a skáláról olvasható le. Egy sűrűségmérő méréshatára g/cm, 0,9g/cm. A méréshatárhoz tartozó skála hossza s 0cm, a folyadékfelszínnel érintkező üvegcső átmérője d 0,6cm. Mekkora a sűrűségmérő tömege? (0 pont) Az areométer addig süllyed a folyadékba, míg az általa kiszorított folyadék súlya egyenlővé nem válik a saját összsúlyával: mg Vg, mg Vg, V V ΔV, V V ΔV ΔV ΔV,, V 9ΔV. ( pont) V V V V 0,9 9 A méréshatárok közötti csőszakasz térfogata: d 0,6 ΔV s 0,87cm. (4 pont) 4 4 A g/cm sűrűségű folyadékba merülő rész térfogata: V 9ΔV 9,87cm 5,45cm. ( pont)

9 A keresett tömeg: m V g/cm 5,45cm 5,45g. ( pont) 9. Egymás mellé fektetett, egyik végükön egymáshoz rögzített alumínium rúd és acélrúd hosszának különbsége 0 C-on 0,5 m. Amikor a rudakat elkezdjük melegíteni, azt tapasztaljuk, hogy a rudak hosszának fél méteres különbsége nem változik. Mennyi volt a rudak hossza kezdetben, 0 C-on? Az alumínium lineáris hőtágulási együtthatója acélé pedig acél, 0. (0 pont) C 5 Al,4 0, az C 5 Mivel a rudak hosszának különbsége állandó marad a hőmérsékletnövekedés hatására, ez csak úgy lehetséges, hogy azonos hőmérsékletváltozásra azonos mértékű a rudak hosszának megváltozása. Ezek alapján: Mivel 0 Celsius fokon (is!) az acélrúd hossza (l) éppen l = 0,5 méterrel nagyobb, mint az alumíniumé (l), ezért: (0 pont) 0. Egy sűrített levegővel működtetett dugattyús munkahenger látható a mellékelt ábrán. A függőlegesen álló hengerben dugattyúval elzárva levegő van. A munkahenger egyik jellemzője a dugattyú és a henger között ébredő tapadási erő. Ezt a következő módon mérjük. Ha a dugattyúra helyezünk (óvatosan, lassan ráeresztve) egy m = kg-os terhet, a dugattyú lefelé elmozdul, majd megáll. Ekkor a bezárt levegő térfogata V. Ha lassan leemeljük a terhet a dugattyúról, az fölfelé mozdul el, majd megáll. Ekkor a bezárt levegő térfogata V. V

10 A dugattyú tömege elhanyagolható a teher tömege mellett, keresztmetszete A = 0 cm. A dugattyú szivárgásmentesen zár. A külső légnyomás p 0 00kPa. A mérés során a bezárt gáz hőmérséklete állandó. Tételezzük föl, hogy a tapadási erő nagysága független a dugattyú előzetes mozgásának irányától. g 0m/s nehézségi gyorsulással számoljon! Mekkora a dugattyú és a henger közötti tapadási erő? (0 pont) A súlyerő munkájának egy része fölmelegíti a gázt. Ha gyorsan terhelnénk meg a dugattyút, a melegedő gáz és a környezete között jelentős hőmérsékletkülönbség alakulna ki, a folyamat nem lenne izotermikus, márpedig a feltételek között ez szerepelt. Legyen a tapadási erő F. Az -es és -es állapotban a dugattyúra ható erőkből a bezárt levegő nyomása: mg F F p p 0, p p 0. (5 pont) A A A A Boyle Mariotte-törvény: pv p, p mg A V F A F A 0 V p0 V. (5 pont) Innen a tapadási erő: V F mg V V V V p0a V V. (5 pont) Behelyettesítve: F 0 N V 5 4 p A 0 00 N 00 N, 0 V V 00 N 0 N. (5 pont) V V V. 00 g 60 C hőmérsékletű vízzel hígított alkoholhoz 00 g 8 C-os vizet öntünk. A keverék hőmérséklete 4,5 C lesz. Hány tömegszázalék vizet tartalmazott az eredeti hígított alkohol? Az alkohol fajhője 0,574 cal/(g C), a vízé pontosan cal/(g C). (0 pont) Jelölések: mvíz+alkohol = 00 g, Tvíz+alkohol = 60 C, mvíz = 00 g, Tvíz = 8 C, Tkeverék = 4,5 C, calkohol = 0,574 cal/(g C), cvíz = cal/(g C). Ha a tanuló idegenkedik a régies mértékegységektől, átválthatja calkohol = 40 J/(kg K)-re és cvíz = 400 J/(kg K)-re, vagy hasonló értékeket találhat a Függvénytáblázatokban. A keresett tömeghányad x.

11 A hideg víz éppen azt a hőt veszi fel, amit a hígított alkohol lead, az előjelesen értelmezett két hő összege 0: Q Q 0 ( pont). víz vízalkohol Ez utóbbi hő két részre bontható, a víz- és az alkoholtartalom leadott hőjére: Q Q Q 0 ( pont). víz víztartalom alkoholtar talom Továbbírva: c m T T c m T T c m T T 0 víz víz keverék víz víz víztartalom keverék vízalkohol alkohol alkoholtartalom keverék vízalkohol ( pont). A hígított alkohol víztartalma a teljes tömegének x-szerese, az alkoholtartalma az ( x)- szerese: Tkeverék Tvízl cvíz x mvíz alkoholtkeverék vízalkohol x m T T 0 c T c (4 pont). víz mvíz alkohol vízalkohol keverék vízalkohol Behelyettesítve az adatokat, elsőfokú egyenletet kapunk x-re: cal cal 00 g 4,5 C 8 C x 00 g 4,5 C 60 C g C g C, cal 0,574 x 00 g 4,5 C 60 C 0 g C aminek megoldása: x = 0,96 = 9,6 % ( pont).. Óriásvakut tervezel építeni, amihez egy 00 kj energia tárolására alkalmas, lemezes kondenzátorra van szükséged. Tegyük föl, hogy be tudsz szerezni egy olyan dielektrikumot, ami 0 8 V/m térerősséget is kibír, és a relatív dielektromos állandója 5. Minimálisan hány liter dielektrikumot kell rendelned, másként fogalmazva legalább mekkora térfogatot fog közre a kondenzátor két fegyverzete, ha közöttük ez az anyag van? (0 pont) Jelölések: W = 00 kj, Emax = 0 8 V/m, = 5, a kondenzátorra kapcsolt feszültség U, a lemezek között kialakuló elektromos térerősség E, a kondenzátor kapacitása C, a lemezek területe A, távolságuk d. A legfontosabb követelmény, hogy a kondenzátor belsejében nem jöhet létre átütés, amihez az kell, hogy az elektromos térerősség a megengedhető maximum alatt legyen. Az elektromos térerősség (mint a maximum mértékegysége sugallja is) a feszültség és a lemeztávolság U 8 V hányadosa: E Emax 0 (4 pont). d m

12 Elvárás, hogy a tárolt energia 00 kj legyen. A kondenzátorban tárolt energia a kapacitással és a feszültség négyzetével arányos: W CU. Alkalmazva a lemezes kondenzátor A kapacitására ismert összefüggést: W 0 U ( pont). d A lehető legkevesebb dielektrikumot szeretnénk megvásárolni, amihez az kell, hogy a lemezek közötti térfogat, ami egy A alapterületű és d magasságú henger térfogata, a lehető legkisebb legyen: V A d min (4 pont). A lemezek közötti távolságra az átütés veszélye megszab egy feszültségtől függő minimális U értéket: d (4 pont). E max Az energiatartalom egyenletéből pedig a lemezterület és a lemeztávolság hányadosára adódik A W összefüggés: ( pont). d 0 U A A lemezek közötti térfogat e két utóbbi mennyiségből előállítható V d alakban (8 pont). d Behelyettesítve a levezetett mennyiségeket: 5 A W U W 0 J V d = d 0 U Emax 0 Emax As 58, V Vm 0 m = 0,050 m = 50, l, ez a minimális mennyiség, amit be kell szerezni. (6 pont). Síkkondenzátor fegyverzetei egymástól 6 cm távolságban vannak. A fegyverzetek közé, 6 azoktól egyforma távolságban és velük párhuzamos 9 0 m nagyságú sebességgel elektron s érkezik. Legalább mekkora feszültséget kell kapcsolnunk a 7 cm hosszú fegyverzetekre, ha azt szeretnénk, hogy az elektron ne tudjon kirepülni a kondenzátorból? (0 pont) Az elektron a kondenzátor lemezei között összetett mozgást végez, mely egy, a lemezekkel párhuzamos egyenletes mozgás és egy, a lemezekre merőleges egyenletesen változó mozgás összegeként áll elő. Az elektron kilépésének vizsgálatakor arra a határesetre vonatkozó feszültséget kell meghatároznunk, ami ahhoz kell, hogy az elektron épp a kondenzátor fegyverzetének peremébe ütközzön. Az elektron kondenzátorlemezek között töltött ideje:

13 ( pont) Az elektron gyorsulása a lemezek között: (6 pont) Az elektron fegyverzetekre merőlegesen megtett elmozdulásának nagysága: A fentiekből: (4 pont) (6 pont) Ez a feszültség a határfeszültség, tehát legalább ekkora ( pont) feszültségre van szükség, hogy az elektron ne tudjon kijutni a kondenzátorból. 4. Milyen hosszúnak kell lennie a T tükörnek, hogy a h =,7 m magasságú személy tetőtől talpig lássa magát, ha fejének távolsága a tükörtől a = m, a tükör és a fal hajlásszöge pedig = 0? (0 pont) Meg kell rajzolni az ember tükörképét. A tükörnek olyan x hosszúságúnak kell lennie, hogy az ember fejétől (pontosabban szemétől) a tükörkép feje búbjáig húzott DD', valamint az ember fejétől a tükörkép talpáig húzott DE' vonalak a tükör síkját a tükröző felületen messék (4 pont). Az említett látóvonalak az ábrán szaggatott vonallal rajzolt nagy DD'E' háromszög két oldalát alkotják. A látóvonalak és a tükör minimális kiterjedése egy olyan derékszögű DAB háromszöget alkotnak, aminek egyik szöge közös a nagy szaggatott vonalú háromszöggel ( pont). A derékszögű háromszögre fölírt szögfüggvényből adódhat x: x a tg ( pont), azonban nem ismert. A nagy háromszögre felírható a szinusztétel: DD sin, amibe az ismert oldalakat és DE sin

14 a sin 80 másik szögeket behelyettesítve h sin ebből is meghatározható lenne. adódik ( pont). Ha ismert lenne, A szög meghatározható az alapján, hogy a föntebbi DD' látóvonal és a DE függőleges irány által bezárt szög szintén, mert ezek a szögek egymás tükörképei ( pont). Az utóbbi szög értéke abból következik, hogy az egyike a DACFE ötszög belső szögeinek, mely belső szögek rendre, 90, 90 = 60, 90, 90 és összegük 450 -ot ad. Eszerint = 0 ( pont). a sin 80 Visszahelyettesítve a szinusztételbe h sin m 4 sin80 0 sin 60 sin 60 cos cos60 sin,7 m,7 sin sin sin sin 60 ctg cos60 ctg (4 pont). A 4,7 ctg egyenlet fizikailag számításba jövő megoldása = 6,9 ( pont) Most már meghatározható a tükör szükséges mérete a korábban felírt szögfüggvénnyel: x a tg m tg6, 9 = 0,607 m = 60,7 cm ( pont).