Primitív függvény, határozatlan integrál

Átírás

1 Primiív füvény, haározalan inerál Primiív füvény, haározalan inerál Az ebben a részben szereplő füvények mindeyike leyen ey I eszőlees, poziív hosszúsáú inervallumon érelmeze valós érékű füvény (I R). A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

2 Primiív füvény, haározalan inerál Definíió: primiív füvény Ha az F:I R füvény differeniálhaó I-n és F'() f() minden I eseén, akkor az mondjuk, hoy az F füvény primiív füvénye az f:i R füvénynek. Jelölés F f avay az f válozójá is mejelölve: F() f() d, F() f() d, F(z) f(z) dz, sb. A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

3 Primiív füvény, haározalan inerál Mejeyzések Ha az F:I R füvény primiív füvénye az f:i R füvénynek, akkor eszőlees R eseén a G() F(), I füvény is primiív füvénye f-nek. Indoklás: G' (F)' F ' F' 0 f Ha az F:I R és a G:I R füvények primiív füvényei az f:i R füvénynek, akkor léezik olyan R, hoy G() F(), I Indoklás: (F-G)' F'-G' f-f 0 F-G ( R) F G A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

4 Primiív füvény, haározalan inerál A feni ké mejeyzés alapján meállapíhaó, hoy: Ha ey f füvénynek van primiív füvénye, akkor véelen sok primiív füvénye van, de ezek sak ey (addiív) konsansban érhenek el eymásól. Definíió: haározalan inerál Az f füvény primiív füvényeinek halmazá az f haározalan ineráljának nevezzük. Példa os d sin R Indoklás: (sin )' os A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

5 Primiív füvény, haározalan inerál 5 Példa Oldjuk me az y () os eyenlee, ahol y ey differeniálhaó füvény! y () os d sin R A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

6 Primiív füvény, haározalan inerál 6 Néhány elemi füvény haározalan inerálja Konsans füvény haározalan inerálja k d k f k (k R) f k Indoklás: ( k ) k Példa 7 d 7 A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

7 A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel! Primiív füvény, haározalan inerál 7 n n d n n n n ) (n n n n A haványfüvények haározalan inerálja ( n ) f f n (n R, n -) n d n n Indoklás: Példa

8 Primiív füvény, haározalan inerál 8 További példák n d n n 5 d 5 d d d A haványfüvények haározalan inerálja ( n ) d ln f f ln A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

9 Primiív füvény, haározalan inerál 9 Az eponeniális füvények haározalan inerálja Indoklás: a ln a a d ln a a ln a a ln a a ln a f a e a f a ln a e Példa 5 d 5 ln5 A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

10 Primiív füvény, haározalan inerál 0 Néhány ovábbi füvény haározalan inerálja os d sin sin d os d os d sin h d sh sh d h d h h d h sh A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

11 Primiív füvény, haározalan inerál Néhány ovábbi füvény haározalan inerálja d arsin d ar d arh d arsh d arh, ha ],[ d arh, ha ], [ ], [ A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

12 Primiív füvény, haározalan inerál Téel ( f ) f aonkén lehe inerálni a f a f a R a szorzó konsans kiemelheő az inerálból A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

13 A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel! Primiív füvény, haározalan inerál d d 6 d 7 d Az alapinerálokra visszavezeheő inerálási feladaok n d n n d d 6 d

14 Primiív füvény, haározalan inerál d os sin os d d d os os d d os d d d d ar d ar A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

15 Primiív füvény, haározalan inerál 5 Téel Pariális módszer Ha az f:i R és :I R füvények differeniálhaók és léezik az ( f ) primiív füvény, akkor léezik az ( f ) primiív füvény is és Indoklás: a szorzafüvények differeniálási szabálya alapján: ( f ) f f ( f ) ( f ) ( f ) f f f f ( f ) ( f ) ( f ) f ( f ) A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

16 Primiív füvény, haározalan inerál 6 Pariális módszerrel inerálhaó füvények I. f f f sin( P() sh( f d),os( d) d),h( d) d a P: polinom a,,d R (a>0, a ) Példa ( ) e d? A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

17 Primiív füvény, haározalan inerál 7 Példák f f f sin d os os d () '() f '() sin f () os os os d os sin A kövekező példában másodfokú polinom szerepel, ezér o készer kell alkalmazni a pariális módszer formulájá. A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

18 Primiív füvény, haározalan inerál 8 ( e ) e d ( ) ( ) e f f f d első alkalmazás: második alkalmazás: () f '() e ' () f () e () '() e f '() e f () e e ( ) ( ) e d ( ) e ( ) e e ( ) e A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

19 Primiív füvény, haározalan inerál 9 Pariális módszerrel inerálhaó füvények II. arsin( d), aros( d) ar( d), ar( d) P() arsh( d),arh( d) d arh( d), arh( d) lo a ( d) f P: polinom a,,d R (a>0, a ) f f f Példa ( ) ln d? A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

20 A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel! Primiív füvény, haározalan inerál 0 Példa d ln ln d ) ( f () () f () ln () d ln 9 6 ln f f f

21 Primiív füvény, haározalan inerál Speiális ese f f f Példa arsin( d),aros( d),ar( arsh( d),arh( d),arh( loa ( d) d),ar( d),arh( d) d) Ha a polinom hiányzik, akkor a konsans füvény vesszük -nek. ln d ln d ln d ln () ln () f () f () A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

22 Primiív füvény, haározalan inerál Pariális módszerrel inerálhaó füvények III. a k m sin( d) d os( d) a,,d R (a>0, a ) sin( d os( d sh( d h( d ) sin( ) os( ) sh( ) h( d d d d ) ) d ) ) Ezekben az eseekben a pariális módszer készeri alkalmazásával lehe eredményre juni: A jelölés az első lépésben nem köö, de a másodikban ien: ha ey füvény az első lépésben pl. -vel jelölük, akkor az új inerálban a belőle származao ( ) füvény kell a második lépésben is - nek nevezni. A második lépés uán a kerese inerálra eyenle adódik, ebből az inerál kifejezheő. A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

23 Primiív füvény, haározalan inerál Példa ( f ) f - ( f ) e sin d -e os e os d -e os e sin - e sin d első alkalmazás: második alkalmazás: () e () e f () sin f () os () e () e f () os f () sin e sin d - e os e sin - e sin d 5 e sin d e (-os sin ) e sin d 0, e (-ossin) A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

24 Primiív füvény, haározalan inerál Téel Helyeesíéses inerálás Ha a :I J füvény differeniálhaó és léezik az f:j R füvény f primiív füvénye, akkor léezik az (fo) ' primiív füvény is és (fo ) '( f)o avay az F f füvény bevezeésével: f() 'F() A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

25 Primiív füvény, haározalan inerál 5 Mejeyzések. A helyeesíéses inerálás éele az összee füvények differeniálási szabályának kövekezménye: íy ( F() )' F() ' f() ' f() ' F(), ahol F f. A formula ké (formaila különböző) módszer alapoz me: A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

26 Primiív füvény, haározalan inerál 6 Példa Az f() 'F()formula közvelen alkalmazása os ( ) d? Az f() os, () jelölésekkel a felada f() ' alakú. A formula szerin a számolás lényei része az F f primiív füvény mehaározása: Mejeyzés f() os F() sin os ( ) ( d sin ) Veyük észre, hoy a formulának mefelelő feladaok eseén az inerál kiszámíása lényeében a F füvény mehaározásá jeleni. A belső füvény sak be kell másolni a mefelelő helyre. Ez mefiyelhejük az alábbi példáka anulmányozva. A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

27 Primiív füvény, haározalan inerál 7 A feni ondolamene alkalmazásá jól mefiyelhejük az alábbi példáka anulmányozva: os ( ) ( d sin ) os ( ln ) d sin( ln ) os( ) d sin( ) os os d sin A feni feladaok mindeyikének azonos a meoldási f() os F() sin ( ) ( ) os ( ) sin( ) sémája, mivel a külső füvény (os) uyanaz: A séma mayarázaa: ( ) os() sin A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

28 Primiív füvény, haározalan inerál 8 A sémák az összee füvények deriválásának sémájából vezeheők le: (lásd a differeniálszámíás ímű rész) A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

29 Primiív füvény, haározalan inerál 9 Néhány inerálási séma: n n ( ln() ) (n ) n n n (n -) n n n ' ' ln ( ) e e sin( ( ) ) os() ar ( ()) A öbbi séma hasonlóan kaphaó. e e os() sin() ar() A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

30 Primiív füvény, haározalan inerál 0 Példa 8 d? Először élszerűen áalakíjuk a feladao: d 8 ( ) d I az kell észrevenni, hoy az séma alkalmazhaó: ar() d ar( ( ) ) A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

31 Primiív füvény, haározalan inerál Példa os sin d? I az kell észrevenni, hoy az n n n séma alkalmazhaó: os sin d sin A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

32 A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel! Primiív füvény, haározalan inerál d ) ( ) ( d ) ( n n n Példa? d Séma: n

33 Primiív füvény, haározalan inerál Példa Séma: e n 5 8 e 5 d n n? n 5 e e 5 d 5 5e (8 e ) d 5 (8 e ) 5 A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

34 Primiív füvény, haározalan inerál Példa ln 5 d? Séma: n n n n ln d (ln ) 5 d (ln ) 6 6 A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

35 Primiív füvény, haározalan inerál 5 Példa h sh d? Séma: ' ln h sh d ln sh Példa e d e Séma: e e e d e A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

36 Primiív füvény, haározalan inerál 6 Az f() 'F()formula speiális esee Ha a belső füvény lineáris, azaz () ab, akkor a formula szerin: F(a b) f (a b)d a Mayaráza: F(a a b) a F (a b) a f (a b) A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

37 Primiív füvény, haározalan inerál 7 A formula jelenősée abban áll, hoy ha az f füvény primiív füvénye ismer, akkor az f(ab) ípusú füvényeke is nehézsé nélkül udjuk inerálni. Példák sin( ) os( )d e d 7 d e ln 7 7 A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

38 Primiív füvény, haározalan inerál 8 Válozóhelyeesíés Tekinsük újra az összee füvények differeniálási szabályából származao (fo) '( f)oformulá! Ha a füvény a korábban meado ulajdonsáok melle mé inverálhaó is, akkor a formula ké oldalán lévő füvényeknek képezzük a kompozíiós szorzaá a inverzével. Íy ey újabb formulához juunk, melynek alkalmazásá válozóhelyeesíéskén fojuk emleeni: (fo ) '( f)o ( (fo ) ') o - f avay a másik jelölési módból kiindulva: f() 'F() ( f() ') o - F, ahol F f A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

39 Primiív füvény, haározalan inerál 9 Mejeyzés Az íy kapo formula lényee, hoy az f inerál kiszámíásához az (fo) ' primiív füvény kell mehaározni, majd ennek a inverzével való kompozíiós szorzaa adja a kerese primiív füvény. A válozóhelyeesíés elnevezés arra ual, hoy az inerálandó f() füvény válozójá helyeesíjük ey mefelelően meválaszo () füvénnyel annak reményében, hoy az f()d inerálnál könnyebben me udjuk haározni az (f(()) '() d inerál. f ( (fo ) ') o - avay: f() d ( (f(()) '() ) o () A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

40 Primiív füvény, haározalan inerál 0 Példa f() d ( f(()) () d ) o - () os( )d os d sin sin( ) d,,, d d d A könnyebb áekinheősé érdekében a számolásokban a feni eyszerűsíe jelöléseke szokás használni. A formulával való összeveéshez ekinsük az alábbi mayarázao: d () '() d A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

41 Primiív füvény, haározalan inerál Példa f() d ( f(()) () d ) o - () sin d sin d sin os sin os,, d d, d d Mejeyzés Az ( sin)d inerál pariális módszerrel lehe mehaározni. Ez me is eük pariális módszer leíró résznél (lásd o). A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

42 Primiív füvény, haározalan inerál Példa f() d ( f(()) () d ) o - () d d d e e ( )... e, ln, d d d d Mejeyzés Az kapo inerál kiszámíási módjá lásd a raionális örfüvények inerálása ímű résznél. A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

43 Primiív füvény, haározalan inerál Példa f() d ( f(()) () d ) o - () d d 5 d... d,,, d d d Mejeyzés Az kapo inerál kiszámíási módjá lásd a raionális örfüvények inerálása ímű résznél. A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

44 Primiív füvény, haározalan inerál Válozóhelyeesíés Néhány speiális helyeesíés Az sin helyeesíés alkalmazása d sin os d os d sin sin, arsin, d/d os, d os d arsin sin( arsin ) arsin A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

45 Primiív füvény, haározalan inerál 5 Mejeyzések. A számolásban felhasználuk a sin() sin os azonossáo az alábbiak szerin: sin( arsin ) sin(arsin ) os(arsin ) sin (arsin ). A os füvény inerálásával kapsolaban lásd az sin n, os n, sh n, h n alakú füvények inerálása ímű rész!. Az sin helyeesíéssel álalában érdemes próbálkozni, ha a füvény formulája valamilyen formában aralmazza a kövekező kifejezés: A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

46 Primiív füvény, haározalan inerál 6 Példa d sin sin os d sin os d sin, arsin, d/d os, d os d os sin d d 8 8 sin arsin 8 ( os ) d sin( arsin ) arsin 8 ( ) 8 A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

47 Primiív füvény, haározalan inerál 7 Válozóhelyeesíés Néhány speiális helyeesíés Az h helyeesíés alkalmazása d h sh d sh d h d sh h, arh, d/d sh, d sh d sh(arh) arh arh A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

48 Primiív füvény, haározalan inerál 8 Mejeyzések. A számolásban felhasználuk a sh() sh h azonossáo az alábbiak szerin: sh(arh ) sh(arh ) h(arh ) h (arh ). Az sh füvény inerálásával kapsolaban lásd az sin n, os n, sh n, h n alakú füvények inerálása ímű rész!. Az h helyeesíéssel álalában érdemes próbálkozni, ha a füvény formulája valamilyen formában aralmazza a kövekező kifejezés: A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

49 Primiív füvény, haározalan inerál 9 Válozóhelyeesíés Néhány speiális helyeesíés Az sh helyeesíés alkalmazása d sh h d h d... sh, arsh, d/d h, d h d A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

50 Primiív füvény, haározalan inerál 50 Mejeyzések. A h füvény inerálásával kapsolaban lásd az sin n, os n, sh n, h n alakú füvények inerálása ímű rész!. Az sh helyeesíéssel álalában érdemes próbálkozni, ha a füvény formulája valamilyen formában aralmazza a kövekező kifejezés: A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

51 Primiív füvény, haározalan inerál 5 a b ípusú füvények inerálása Az ilyen alakú füvények inerálása visszavezeheő az előző három ese valamelyikére úy, hoy a néyzeyök ala eljes néyzee alakíunk ki: Példa 6 7 d ( ) 6 d d 6 d A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

52 Primiív füvény, haározalan inerál 5 Példa d 5 d ( ) d d Példa 0 d ( 5) d 6 d 6 d 5 6 A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

53 Primiív füvény, haározalan inerál 5 Válozóhelyeesíés Néhány speiális helyeesíés A rionomerikus füvények raionális örfüvényeinek inerálása a ar helyeesíéssel visszavezeheő a raionális örfüvények inerálására. A helyeesíés vérehajása során az alábbi eyenlőséeke kell alkalmazni: sin d os d A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

54 Primiív füvény, haározalan inerál 5 Mayaráza: sin sin( ar ) sin(ar ) os(ar ) (ar) (ar) (ar) os os( ar ) os (ar ) sin (ar ) (ar) (ar) (ar) A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

55 Primiív füvény, haározalan inerál 55 Példák sin os d d 8 d sin sin ( os ) d d d A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

56 Primiív füvény, haározalan inerál 56 Néhány speiális helyeesíés A hiperbolikus füvények raionális örfüvényeinek inerálása a h arh helyeesíéssel visszavezeheő a raionális örfüvények inerálására az alábbiak felhasználásával: sh h d d A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

57 Primiív füvény, haározalan inerál 57 A raionális örfüvények inerálása Téel Minden raionális örfüvény felbonhaó ey polinom és ey olyan raionális örfüvény összeére, melyben a számláló fokszáma kisebb, min a nevező fokszáma. P() Q() H() M() Q() Elvéezve a P:Q polinomoszás, a H polinom az oszás hányadosakén, az M polinom az oszás maradékakén adódik. A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

58 Primiív füvény, haározalan inerál 58 Mejeyzés Az előző éel szerin ey raionális örfüvény inerálása visszavezeheő ey polinom és ey olyan raionális örfüvény inerálására, melyben a számláló fokszáma kisebb, min a nevező fokszáma. Példa A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

59 Primiív füvény, haározalan inerál 59 Az oszás vérehajása: ( 5 8 7) : ( ) ( ) 7 8 ( ) 6 ( ) 7 7 A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

60 Primiív füvény, haározalan inerál 60 Definíió: pariális örek Az ( A n o ) és az ( B p C q) n alakú kifejezéseke, ahol n poziív eész, A,B,C R, p -q<0 (vayis az pq másodfokú polinomnak nins valós yöke) pariális öreknek nevezzük. Példa ( 5 7) 8 ( ) A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

61 Primiív füvény, haározalan inerál 6 Téel Minden raionális örfüvény, melyben a számláló fokszáma kisebb, min a nevező fokszáma felbonhaó pariális örek összeére. Mejeyzés Ez összeveve a korábbiakkal meállapíhaó, ey raionális örfüvény inerálása visszavezeheő ey polinom és pariális örek inerálására. Tehá ha udjuk inerálni a pariális öreke, akkor (elvile) udunk inerálni minden raionális örfüvény. A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

62 Primiív füvény, haározalan inerál 6 A pariális örek inerálása A o d A ln 0 Példa 5 d ln 5 ( A o ) n d A ( o) n n n> Példa ( 7 ( ) d 7 ) A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

63 Primiív füvény, haározalan inerál 6 A pariális örek inerálása Az B C ( p q) n d alakú inerálok közül sak az n eseel folalkozunk. Az n> ese álalában ien bonyolul, sok lépéses számolás iényel. A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

64 Primiív füvény, haározalan inerál 6 A számolás sémája: B p C d q B p B p d q ln B p q C p B p B C B d d p q p p q p q d q p) p p q p d q d q q p p p ar ar p q p q p q p A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

65 Primiív füvény, haározalan inerál 65 Példa 5 d 6 5 ( ) 6 d 6 d d ln 6 d 6 8 d 6 d d ar 5 d ln 6 9 ar A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

66 Primiív füvény, haározalan inerál 66 Példa 5 6 d 7 0? Pariális örekre bonás: A( 5) B( ( )( 5) 5 6 ( )( A 5) B 5 ) (A B) (5A B) ( )( 5) I. AB 5 II. 5AB -6 A-6/, B / A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

67 Primiív füvény, haározalan inerál / / A kapo örek inerálása: d ln ln 5 d 5 d A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

68 Primiív füvény, haározalan inerál 68 Példa ( d )? ( ) ( A ) ( B ) C A B( ) C( ( ) ) C (B C) (A ( ) B C) I. C 0 II. B C II. A B C 0 A, B, C 0 ( d d d ) ( ) ( ) ( ) A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

69 Primiív füvény, haározalan inerál 69 Az sin n, os n, sh n, h n (n ) alakú füvények inerálása Ha n páralan, akkor a sin os h - sh azonossáok alkalmazásával az inerálás visszavezeheő n n n alakú feladaokra. A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

70 Primiív füvény, haározalan inerál 70 Példa n n n sin 7 d sin sin 6 d sin (sin ) d sin ( os ) d sin ( os os os 6 ) d sin d os sin d os sin d os 6 sin d sin d os (-sin ) d os (-sin ) d os 6 (-sin ) d os os os 5 5 os 7 7 A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

71 Primiív füvény, haározalan inerál 7 Ha az n páros, akkor a kövekező azonossáok (ún. linearizáló formulák) valamelyiké kell alkalmazni, melyekkel a kievő felezheő : sin os h h os os sh h A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

72 Primiív füvény, haározalan inerál 7 Példa os d os d ( ) d os ( os os ) d d os d os d Ezek uán a kapo aoka eyedile kell inerálni aól füően, hoy páros vay páralan kievősek. Részleszámíás: os d sin os 8 d 8 sin sin A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!

73 Primiív füvény, haározalan inerál 7 Példa: szabadesés (eyenleesen yorsuló mozás) Gyorsulás-idő füvény Sebessé-idő füvény a () v () d v(0) v 0 v () v 0 Ú-idő füvény s() ( v0 )d v0 s(0) s 0 s () v 0 s 0 A diákon mejelenő szöveek és képek sak a szerző (Dr. Kosis Imre, DE Műszaki Kar) enedélyével használhaók fel!