Primitív függvény. (határozatlan integrál)

Átírás

1 PR Primiív füvény (haározalan inerál) Az ebben a részben szereplő füvények mindeyike leyen ey I eszőlees, poziív hosszúsáú inervallumon érelmeze valós érékű füvény (I R).

2 PR Definíió: primiív füvény Ha az F:I R füvény differeniálhaó I-n F'() f() minden I eseén, akkor az mondjuk, hoy az F füvény primiív füvénye az f:i R füvénynek. Jelölés: F f, avay az f válozójá is mejelölve: F() f() d, F() f() d, F(z) f(z) dz, sb.

3 Mejeyzések: PR Ha az F:I R füvény primiív füvénye az f:i R füvénynek, akkor eszőlees R eseén a G() F(), I füvény is primiív füvénye f-nek. Indoklás: G ' ( F ) ' F ' ' F ' f Ha az F:I R és a G:I R füvények primiív füvényei az f:i R füvénynek, akkor léezik olyan R, hoy G() F(), I Indoklás: (F-G)' F'-G' f-f 0 F-G ( R)

4 PR A feni ké mejeyzés alapján meállapíhaó, hoy: Ha ey f füvénynek van primiív füvénye, akkor véelen sok primiív füvénye van, de ezek sak ey (addiív) konsansban érhenek el eymásól. Definíió: haározalan inerál Az f füvény primiív füvényeinek halmazá az f haározalan ineráljának nevezzük. Példa: os d sin

5 PR 5 Néhány elemi füvény haározalan inerálja Konsans füvény haározalan inerálja k d k f k (k R) f k Indoklás: ( k ) k Példa: 7 d 7

6 PR 6 A haványfüvények haározalan inerálja ( n ) n n f f n (n R, n -) n d n n Indoklás: n n n n ) (n n n n d Példa:

7 PR 7 További példák: 5 d 5 d n d n n d d

8 PR 8 A haványfüvények haározalan inerálja ( n ) d ln f f ln

9 PR 9 Az eponeniális füvények haározalan inerálja Indoklás: a ln a a Példa: d a ln a ln a 5 a d 5 ln5 ln a f a e a f a ln a ln a e a

10 PR 0 Néhány ovábbi füvény haározalan inerálja os d sin h d sh sin d os sh d h d d h os h d d h sin sh

11 PR Néhány ovábbi füvény haározalan inerálja d arsin d ar d arh d arsh d arh, ha ],[ d arh, ha ], [ ], [

12 PR Téel: ( f ) f aonkén lehe inerálni af a f a R a szorzó konsans kiemelheő az inerálból

13 PR Az alapinerálokra visszavezeheő inerálási feladaok d d 6 d 7 d d 6 d 7 d n d n n

14 PR Az alapinerálokra visszavezeheő inerálási feladaok d os d sin os d d d os d os d os d d d d ar ar

15 Téel: Pariális módszer PR 5 Ha az f:i R és :I R füvények differeniálhaók és léezik az ( f ) primiív füvény, akkor léezik az ( f ) primiív füvény is és ( f ) f - ( f ) Indoklás: a szorzafüvények differeniálási szabálya alapján: ( f ) f f ( f ) ( f ) ( f ) f ( f ) ( f ) ( f ) f ( f )

16 PR 6 Pariális módszerrel inerálhaó füvényoszályok I. P() sin( sh( d),os( d) d),h( d) d a f P: polinom a,,d R (a>0, a ) ( f ) f - ( f ) Példa: ( ) e d?

17 PR 7 Példák: ( f ) f - ( f ) sin d os os d () '() f '() sin f () os os os d os sin A kövekező példában másodfokú polinom szerepel, ezér o készer kell alkalmazni a pariális módszer formulájá.

18 PR 8 ( e ) e d ( ) ( ) e d első alkalmazás: második alkalmazás: () f '() e ' () e f () () '() e f '() e f () e e ( ) ( ) e d ( ) e ( ) e e ( ) e

19 PR 9 Pariális módszerrel inerálhaó füvénysopor II. arsin( d), aros( d) ar( d), ar( d) P() arsh( d),arh( d) d arh( d), arh( d) lo a ( d) P: polinom a,,d R (a>0, a ) f ( f ) f - ( f ) Példa: ( ) ln d?

20 PR 0 ( f ) f - ( f ) Példa: d ln ln d ) ( f () () f () ln () d ln 9 6 ln

21 PR Speiális ese: ( f ) f - ( f ) arsin( d),aros( d),ar( arsh( d),arh( d),arh( loa ( d) d),ar( d),arh( d) d) Példa: Ha a polinom hiányzik, akkor a konsans füvény vesszük -nek. ln d ln d ln d ln () f () ln () f ()

22 Pariális módszerrel inerálhaó füvénysopor III. a k m sin( d) d os( d) a,,d R (a>0, a ) sin( d os( d sh( d h( d ) sin( d ) os( d ) sh( d ) h( d PR ) ) d ) ) Ezekben az eseekben a pariális módszer készeri alkalmazásával lehe eredményre juni. A jelölés az első lépésben nem köö, de a másodikban ien: ha ey füvény az első lépésben pl. -vel jelölük, akkor az új inerálban a belőle származao ( ) füvény kell a második lépésben is -nek nevezni. A második lépés uán a kerese inerálra eyenle adódik, ebből az inerál kifejezheő.

23 PR Példa: ( f ) f - ( f ) e sin d -e os e os d -e os e sin - e sin d első alkalmazás: második alkalmazás: () e () e f () sin f () os () e () e f () os f () sin e sin d - e os e sin - e sin d 5 e sin d e (-os sin ) e sin d 0,e (-ossin)

24 PR Téel: Helyeesíéses inerálás Ha a :I J füvény differeniálhaó és léezik az f:j R füvény f primiív füvénye, akkor léezik az (fo) ' primiív füvény is és (fo ) '( f)o avay f() ' F(), ahol F f

25 PR 5 Mejeyzések:. A helyeesíéses inerálás éele az összee füvények differeniálási szabályának kövekezménye: f() ' F(), ahol F f ( F() )' F() ' f() '. A formula ké (lászóla különböző) módszer alapoz me.

26 PR 6 Példa: Az f() 'F()formula alkalmazása os ( ) d? Az f() os, () jelölésekkel a felada f()' alakú. f() os F() sin os ( ) ( d sin ) Veyük észre, hoy a formulának mefelelő feladaok eseén az inerál kiszámíása lényeében a F füvény mehaározásá jeleni. A belső füvény sak be kell másolni a mefelelő helyre. Ez mefiyelhejük az alábbi példáka anulmányozva.

27 os ( ) ( d sin ) os ( ln ) d sin( ln ) os( ) d sin( ) os os d sin ( ) ( ) A feni feladaok a kövekező sémára oldhaók me: ( ) d sin( ) os PR 7 f() os F() sin A sémá mayarázhajuk íy is: sin ( ) os()

28 PR 8 Példa: Az f() 'F()formula alkalmazása 8 d? Először áalakíjuk a feladao: d ( 8 f () I az kell észrevenni, hoy az és az jelölésekkel a felada f()' alakú. ) d ()

29 PR 9 f () F () ar f() 'F() ( d ar( A feni felada a kövekező sémára oldhaó me: ) ) ar() A sémá mayarázhajuk íy is: ar ( ())

30 PR 0 Az f() 'F()formula néhány speiális esee f() n n n n (n -) ) (n n n n n n Mayaráza: sin d sin os Példa:

31 PR n n n További példák d ) ( ) ( d ) (

32 PR További példák n n n 5 e e 5 d 5 5e (8 e ) d 5 (8 e ) 5

33 PR További példák n n n 5 ln d (ln ) 5 d (ln )

34 PR Az f() 'F()formula néhány speiális esee f () ' ' ln Mayaráza: ( ln ) Példa: h sh d ln sh

35 PR 5 Az f() 'F()formula néhány speiális esee f() e e e Mayaráza: ( ) e e Példa: e d e

36 PR 6 Az f() 'F()formula néhány speiális esee () a b Mayaráza: F(a a F(a b) f (a b)d a b) a F (a b) a A formula jelenősée abban áll, hoy ha az f füvény primiív füvénye ismer, akkor az f(ab) ípusú füvényeke is nehézsé nélkül udjuk inerálni. f (a b) Példák: sin( ) os( )d e d e

37 PR 7 Válozóhelyeesíés Tekinsük újra az összee füvények differeniálási szabályából származao (fo) '( f)oformulá! Ha a füvény a korábban meado ulajdonsáok melle mé inverálhaó is, akkor a formula ké oldalán lévő füvényeknek képezzük a kompozíiós szorzaá a inverzével: (fo ) '( f)o ( (fo ) ') o - f avay a másik jelölési móddal: f() 'F() ( f() ') o - F, ahol F f

38 PR 8 Mejeyzés: Az íy kapo formula lényee, hoy az f inerál kiszámíásához az (fo)' primiív füvény kell mehaározni, majd ennek a inverzével való kompozíiós szorzaa adja a kerese primiív füvény. A válozóhelyeesíés elnevezés arra ual, hoy az inerálandó f() füvény válozójá helyeesíjük ey mefelelően meválaszo () füvénnyel annak reményében, hoy az f()d inerálnál könnyebben me udjuk haározni az (f(())'() d inerál. avay: f ( (fo ) ') o - f() d ( (f(())'() ) o ()

39 Válozóhelyeesíés PR 9 f() d ( f(()) ()d )o - () os( )d os d sin sin( ) d,,, d d A könnyebb áekinheősé érdekében a számolásokban a feni eyszerűsíe jelöléseke szokás használni. A formulával való összeveéshez ekinsük az alábbi mayarázao: d d () '() d

40 Válozóhelyeesíés PR 0 f() d ( f(()) ()d )o - () sin d sin d sin os sin os,, d d, d d Mejeyzés: Az (sin)d inerál pariális módszerrel lehe mehaározni. Ez me is eük pariális módszer leíró résznél.

41 Válozóhelyeesíés PR az f ( f o ) o - formula alkalmazása d d d e e ( )... e, ln, d d d d Mejeyzés: Az kapo inerál kiszámíási módjá lásd a raionális örfüvények inerálása ímű résznél.

42 Válozóhelyeesíés PR az f ( f o ) o - formula alkalmazása d d 5 d... d,,, d d d Mejeyzés: Az kapo inerál kiszámíási módjá lásd a raionális örfüvények inerálása ímű résznél.

43 PR Néhány speiális helyeesíés Az sin helyeesíés alkalmazása d sin os d os d sin sin, arsin, d/d os, d os d arsin sin( arsin ) arsin

44 Mejeyzések: PR. A számolásban felhasználuk a sin()sinos azonossáo az alábbiak szerin: sin( arsin ) sin(arsin ) os(arsin ) sin (arsin ). A os füvény inerálásával kapsolaban lásd az sin n, os n, sh n, h n alakú füvények inerálása ímű rész!. Az sin helyeesíéssel álalában érdemes próbálkozni, ha a füvény formulája valamilyen formában aralmazza a kifejezés.

45 Példa: PR 5 d sin sin os d sin os d sin, arsin, d/d os, d os d os sin d d 8 8 sin arsin 8 ( os ) d sin( arsin ) arsin 8 ( ) 8

46 Néhány speiális helyeesíés PR 6 Az h helyeesíés alkalmazása d h sh d sh d h d sh h, arh, d/d sh, d sh d sh(arh) arh arh

47 Mejeyzések: PR 7. A számolásban felhasználuk a sh()shh azonossáo az alábbiak szerin: sh(arh ) sh(arh ) h(arh ) h (arh ). Az sh füvény inerálásával kapsolaban lásd az sin n, os n, sh n, h n alakú füvények inerálása ímű rész!. Az h helyeesíéssel álalában érdemes próbálkozni, ha a füvény formulája valamilyen formában aralmazza a kifejezés.

48 Néhány speiális helyeesíés PR 8 Az sh helyeesíés alkalmazása d sh h d h d... sh, arsh, d/d h, d h d

49 PR 9 Mejeyzések:. A h füvény inerálásával kapsolaban lásd az sin n, os n, sh n, h n alakú füvények inerálása ímű rész!. Az sh helyeesíéssel álalában érdemes próbálkozni, ha a füvény formulája valamilyen formában aralmazza a kifejezés.

50 PR 50 a b ípusú füvények inerálása Az ilyen alakú füvények inerálása visszavezeheő az előző három ese valamelyikére úy, hoy a néyzeyök ala eljes néyzee alakíunk ki: Példa: 6 7 d ( ) 6 d d 6 d

51 PR 5 Példa: d 5 d ( ) d d Példa: 0 d ( 5) d 6 d 6 d 5 6

52 PR 5 Néhány speiális helyeesíés A rionomerikus füvények raionális örfüvényeinek inerálása a ar helyeesíéssel visszavezeheő a raionális örfüvények inerálására.

53 PR 5 A helyeesíés vérehajása során az alábbi eyenlőséeke kell alkalmazni: ar sin os d d

54 PR 5 Mayaráza: sin sin( ar ) sin(ar ) os(ar ) (ar) (ar) (ar) os os( ar ) os (ar ) sin (ar ) (ar) (ar) (ar)

55 PR 55 Példák: d sin os d 8 d sin sin ( os ) d d d

56 Néhány speiális helyeesíés PR 56 A hiperbolikus füvények raionális örfüvényeinek inerálása a h arh helyeesíéssel visszavezeheő a raionális örfüvények inerálására az alábbiak felhasználásával: sh h d d

57 A raionális örfüvények inerálása PR 57 Téel Minden raionális örfüvény felbonhaó ey polinom és ey olyan raionális örfüvény összeére, melyben a számláló fokszáma kisebb, min a nevező fokszáma. P() Q() H() M() Q() Elvéezve a P:Q polinomoszás, a H polinom az oszás hányadosakén, az M polinom az oszás maradékakén adódik.

58 PR 58 Mejeyzés Az előző éel szerin ey raionális örfüvény inerálása visszavezeheő ey polinom és ey olyan raionális örfüvény inerálására, melyben a számláló fokszáma kisebb, min a nevező fokszáma. Példa

59 PR 59 Definíió: pariális örek Az ( A n o ) és az ( B p C q) n alakú kifejezéseke, ahol n poziív eész, A,B,C R, p -q<0 (vayis az pq másodfokú polinomnak nins valós yöke) pariális öreknek nevezzük.

60 PR 60 Téel Minden raionális örfüvény, melyben a számláló fokszáma kisebb, min a nevező fokszáma felbonhaó pariális örek összeére. Mejeyzés Ez összeveve a korábbiakkal meállapíhaó, ey raionális örfüvény inerálása visszavezeheő ey polinom és pariális örek inerálására. Tehá ha udjuk inerálni a pariális öreke, akkor (elvile) udunk inerálni minden raionális örfüvény.

61 A pariális örek inerálása PR 6 A o d A ln 0 Példa: 5 d ln 5 n A ( ) o d A n> n ( ) n o Példa: ( 7 ( ) d 7 )

62 A pariális örek inerálása PR 6 Az B C ( p q) n d alakú inerálok közül sak az n eseel folalkozunk. Az n> ese álalában ien bonyolul, sok lépéses számolás iényel.

63 A számolás sémája: PR 6 B p C d q B p B p d q ln B p q C p B p B C B d d p q p p q p q d q p) p p q p d q d q p q p q p ar ar p q p q p p

64 PR 6 Példa: 5 d 6 5 ( ) 6 d 6 d d ln 6 d 6 8 d 6 d d ar 5 5 d ln 6 9ar 6

65 PR 65 Példa: A( 5) B( ( )( 5) 5 6 d? ( )( A 5) B 5 ) (A B) (5A B) ( )( 5) I. AB 5 II. 5AB -6 A-6/, B /

66 PR / / d ln ln 5 d 5 d

67 ( Példa: A ) B( ( ( ) A ) d? ( ) ) C( ( B ) ) C C (B C) ( ) (A B PR 67 C) I. C 0 II. B C A, B, C 0 II. A B C 0 ( d d d ) ( ) ( ) ( )

68 PR 68 Az sin n, os n, sh n, h n (n ) alakú füvények inerálása Ha n páralan, akkor a sin os h - sh azonossáok alkalmazásával az inerálás visszavezeheő n n n alakú feladaokra.

69 PR 69 Példa: n n n sin 7 d sin sin 6 d sin (sin ) d sin ( os ) d sin ( os os os 6 ) d sin d os sin dos sin d os 6 sin d sin d os (-sin ) d os (-sin ) d os 6 (-sin ) d os os os 5 5 os 7 7

70 PR 70 Ha az n páros, akkor a kövekező azonossáok (ún. linearizáló formulák) valamelyiké kell alkalmazni, melyekkel a kievő felezheő : os h sin h os os sh h

71 Példa: ( os d os ) d d os ( os os ) d d os d os d PR 7 Ezek uán a kapo aoka eyedile kell inerálni aól füően, hoy páros vay páralan kievősek. Részleszámíás: os d sin os 8 d 8 sin sin

72 Példa: szabadesés (eyenleesen yorsuló mozás) Gyorsulás-idő füvény a () PR 7 Sebessé-idő füvény v () d v () v 0 v(0) v 0 Ú-idő füvény s() ( v0 )d v0 s(0) s 0 s () v 0 s 0