PhD ÉRTEKEZÉS Pomezanski Vanda

Átírás

1 PhD ÉRTEKEZÉS Pomezanski Vanda okleveles épíőmérnök, mérnökanár.

2 Budapesi Műszaki és Gazdasáudományi Eyeem Épíőmérnöki Kar PhD ÉRTEKEZÉS TARTÓSZERKEZETEK TOPOLÓGIAI OPTIMÁLÁSA: DISZKRETIZÁCIÓS HIBÁK KIKÜSZÖBÖLÉSE Budapes,. Pomezanski Vanda okleveles épíőmérnök, mérnökanár

3 TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK. BEVEZETÉS, IRODALMI ÁTTEKINTÉS 3.. TOPOLÓGIAI OPTIMÁLÁS ÉS ALKALMAZÁSAI 4.. A VÉGESELEM ALAPÚ TOPOLÓGIAI OPTIMÁLÁS PROBLÉMÁI 7.3. A TOPOLÓGIA OPTIMÁLÁS EREDMÉNYEINEK ELLENŐRZÉSE, HELYESSÉGÜK IGAZOLÁSA.4. A MAGYARORSZÁGON FOLYÓ SZERKEZETOPTIMÁLÁSI KUTATÁSOK RÖVID ÖSSZEFOGLALÁSA.. EZEN ÉRTEKEZÉS TÉMÁJA, CÉLJA 3. ALKALMAZOTT JELÖLÉSEK 3. ALKALMAZOTT NUMERIKUS MODELLEK, MÓDSZEREK ÉS ALGORITMUSOK ALAPELEM(EK) VÉGESELEMEK VÉGESELEMES PROGRAM NÉGYZETELEMEKBŐL ÁLLÓ TÁRCSASZERKEZETEK SZÁMÍTÁSÁHOZ 3.4. VÉGESELEMES PROGRAM KOCKAEMEKBŐL ÁLLÓ TÉRBELI SZERKEZETEK SZÁMÍTÁSÁHOZ 3.. AZ ENERGIA VAGY AZ ENGEDÉKENYSÉG VIZSGÁLATÁNAK FONTOSSÁGA 3.6. TÁRCSASZERKEZETEK TOPOLÓGIAI OPTIMÁLÁSÁNAK MATEMATIKAI LEÍRÁSA (EXTENDED-SIMP) AZ ITERÁCIÓ MENETE AZ ALKALMAZOTT SIMP ALGORITMUS ELHELYEZÉSE AZ OPTIMÁLÁSI FELADATOK RENDSZERÉBEN ALGORITMUS ÉS PROGRAM TÁRCSASZERKEZETEK TOPOLÓGIAI OPTIMÁLÁSÁHOZ N VÉGESELEMBŐL ÁLLÓ ALAPELEMEK ALKALMAZÁSÁVAL ALGORITMUS ÉS PROGRAM AZ OPTIMÁLÁS EREDMÉNYEINEK GRAFIKUS MEGJELENÍTÉSÉHEZ 3 4. A SZERKEZETI TOPOLÓGIA KIALAKÍTÁSAKOR ALKALMAZOTT EGYSZERŰSÍTÉSEK, KÖZELÍTÉSEK SÚLYBEFOLYÁSOLÓ HATÁSA HIBÁS ALAPELEM-MINTÁZATOK NÉGY ALAPELEMBŐL ÁLLÓ ISE TOPOLÓGIÁK VIZSGÁLATA DIAGONÁLIS ELEMLÁNCOLAT N ALAPELEMBŐL ÁLLÓ TÁRCSASZERKEZET ESETÉN TÉRBELI ALAKZATOK VIZSGÁLATA ÖSSZEFOGLALÁS, KÖVETKEZTETÉSEK 4. TETSZŐLEGES ALAKÚ, TERHELÉSŰ ÉS MEGTÁMASZTÁSÚ TÁRCSASZERKEZETEK TOPOLÓGIAI OPTIMÁLÁSA (EXTENDED-SIMP) 46.. NÉGY ALAPELEMBŐL ÁLLÓ KONZOLTARTÓ TOPOLÓGIAI OPTIMÁLÁSA 46.. ALKALMAZÁSOK, A LEHETSÉGES BEÁLLÍTÁS-FÜGGŐSÉGEK VIZSGÁLATA ÖSSZEFOGLALÁS, KÖVETKEZTETÉSEK 64

4 6. RÖGZÍTETT, NEM MÓDOSÍTHATÓ ELEMEKKEL RENDELKEZŐ TÁRCSASZERKEZETEK TOPOLÓGIAI OPTIMÁLÁSA (SIMP-NDR) TOPOLÓGIAI OPTIMÁLÁS ALKALMAZÁSA MÁR MEGLÉVŐ, ADOTT VASTAGSÁGÚ ELEMEKKEL RENDELKEZŐ TARTÓ KIEGÉSZÍTÉSÉNEK, MEGERŐSÍTÉSÉNEK TERVEZÉSÉRE PÉLDA EGY KÖZPONTOSAN TERHELT RÚDELEM KÖLTSÉGFÜGGVÉNYÉRE A SZEMLÉLTETŐ PÉLDA PONTOS MEGOLDÁSAI A SZEMLÉLTETŐ PÉLDA NUMERIKUS MEGOLDÁSAI ÖSSZEFOGLALÁS, KÖVETKEZTETÉSEK 7 7. SAROKPONTI KAPCSOLATOK LÉTREJÖTTÉNEK GÁTLÁSA CÉLZOTT BÜNTETŐFÜGGVÉNNYEL (CO-SIMP) SÚLYNÖVEKEDÉS TÚL SZIGORÚ MÉRETKORLÁTOK ALKALMAZÁSA MIATT A TOPOLÓGIAOPTIMÁLÁSI FELADAT MATEMATIKAI LEÍRÁSA AZ ITERÁCIÓ MENETE A SAROKPONTI KAPCSOLATOK KIALAKULÁSÁT GÁTLÓ FÜGGVÉNYEK A MÓDOSÍTÓFÜGGVÉNYEK HATÉKONYSÁGÁNAK NÖVELÉSE ALKALMAZÁSOK, BEÁLLÍTÁSOKTÓL VALÓ FÜGGŐSÉGEK ÖSSZEFOGLALÁS, KÖVETKEZTETÉSEK 8. ÖSSZEFOGLALÁS, TÉZISEK FELSOROLÁSA 8.. A TOVÁBBI KUTATÁSOK CÉLKITŰZÉSEI KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS 4 9. IRODALOMJEGYZÉK 9.. A SZERZŐ FONTOSABB TÉZIS-EKHEZ KAPCSOLÓDÓ PUBLIKÁCIÓI 9.. TOVÁBBI HIVATKOZÁSOK 6. FÜGGELÉK.. ELEMI MEREVSÉGI MÁTRIXOK.. VÉGESELEMES PROGRAM TÁRCSASZERKEZETEK ENERGIAVÁLTOZÁSÁNAK BEMUTATÁSÁHOZ.3. VÉGES ELEMES PÉLDÁK ALAPELEMEK ENERGIAVÁLTOZÁSÁNAK BEMUTATÁSÁHOZ 9.4. NÉGY ALAPELEMBŐL ÁLLÓ ALAKZATOK ENGEDÉKENYSÉG VIZSGÁLATA 6.. EXTENDED-SIMP: POZÍCIONÁLÁS: KONZOLTARTÓ OPTIMÁLÁSÁHOZ SZÜKSÉGES SZÁMÍTÁSI IDŐ TÁBLÁZATOKBA RENDEZVE 8.6. EXTENDED-SIMP:. MINTAPÉLDA: A MICHELL-FÉLE KONZOLTARTÓ OPTIMÁLÁSI EREDMÉNYEI TÁBLÁZATOKBA RENDEZVE 3.7. EXTENDED-SIMP:. MINTAPÉLDA: A MICHELL-FÉLE BICIKLIKERÉK OPTIMÁLÁSI EREDMÉNYEI TÁBLÁZATOKBA RENDEZVE PROGRAM MÓDOSÍTÁSA TÖMÖR, A TEHERVISELÉSBEN AKTÍVAN RÉSZT VEVŐ, NEM VÁLTOZTATHATÓ TARTÓELEMEKKEL RENDELKEZŐ TÁRCSASZERKEZETEK TOPOLÓGIÁJÁNAK OPTIMÁLÁSÁRA (SIMP-NDR) EXTENDED-SIMP: 3. MINTAPÉLDA: RÖVID KONZOLTARTÓ OPTIMÁLÁSÁNAK EREDMÉNYEI TÁBLÁZATOKBA RENDEZVE 6

5 BEVEZETÉS, IRODALMI ÁTTEKINTÉS Az opimális ervezés napjainkra kiemel és népszerű kuaási erüle le. E udományá előreörésé jelenősen seíi, hoy számíóépeink eljesíménye oly mérékben nő és áruk oly mérékben csökken, hoy nay számíási idő és munká iénylő feladaok, nay alapszerkezeek meoldása is azdasáosan eljesíheővé vál. Tarószerkezeek eseében az opimálás az jeleni, hoy olyan szerkeze alakíunk ki, mely a lehesées kialakíások közül, ado cél és ado eomeriai és/vay viselkedési korláok közö, az ado szemponból lejobba adja. Lefonosabbak a célok közül a kölsécsökkenés, a minősé és a mebízhaósá növelése, [], ovábbá a szerkezeekre juó erhek bizonsáos viselése, eloszása, a szerkeze sabiliásának bizosíása. Korábban az opimális ervezés yakorlai apaszalaok, szokások, eyszerű mérnöki számíások alapján örén. A járműipar fejlődése, min pl. repülőépyárás, azonban sokkal bonyolulabb, kifinomulabb szerkezei rendszerek lérehozásá, évedés kizáró opimálási módszerek mealkoásá ee szükséessé. A fő célirány, a minimális súlyra való ervezés, a maemaikai proramozás (MP) vay eyéb numerikus módszerek (pl. lineáris proramozás, nemlineáris (pl. kvadraikus) proramozás, Mone-Carlo-módszer, opimaliási kriérium módszere (OC) ) és a szerkezeanalízis módszereinek eyesíésé, ársíásá iényele, [4]. A arószerkezeekre felírhaó opimálási feladaoka öbbféleképpen is oszályozhajuk, csoporokba sorolhajuk. Jellemző besorolás ad pl. a ervezési válozó szerini mekülönbözeés, mely maemaikai szemponból nézve lehe folyonos vay diszkré, mechanikai szemponból nézve pedi memuaja, hoy milyen ulajdonsáo képvisel: a, kereszmeszei jellemző; b, anyajellemző; c, opolóiai vay elrendeződési ényező; d, eomeriai, formai kialakíás; vay e, erhelés, meámaszás. Csoporosíhaunk mé a feléelrendszer (eyenlőséi, eyenlőlenséi) és a célfüvények (eycélú, öbbcélú) alapján, a számíás módszere (ld. fenebb) vay a szerkeze ípusa szerin is: erendaaró, rácsos aró, árcsaszerkeze, sb. [37]. Az 97-es évek eleje óa alálunk olyan örekvéseke is, melyek a kereszmeszei és a eomeriai méreek, min ervezési válozók eyidejű fiyelembevéelével haározzák me az opimális szerkezee. Az ilyen ípusú feladaok minden eseben ey nemlineáris és nem kon- Anolul Mahemaicall Proramin Anolul Opimaliy Crieria

6 - 4 - vex opimálási felada meoldásá iénylik. A hayományos módszerekkel ez ien bonyolul, hosszadalmas és ezálal ien kölsées is. E hárányok készeék a kuaóka a heuriszikák (pl. vélelenszerű lokális keresés 3 (97), eneikus alorimus 4 (983), hanyaboly opimálás (99), harmónia keresés 6 (), vay a mesersées méh-család opimálás 7 (6), sb.), illeve a hibrid heuriszikák (pl. ANGEL 8 ) kifejleszésére, []. Az opimálás áryköre mosanra úllépe a szerkezeopimálás feladaain, inenzív kuaómunka folyik ún. muli-fizikai alkalmazásokban, min pl. az aerodinamika (léellenállás és a szárny alkajának opimálása), a ermodinamika (hajóerő opimálása) vay a eljesímény profil kimunkálása (pl. repülőépek beveéséhez), vay eyéb részerüleek, min pl. zaj csökkenése, vay épjárművek fronális üközésekor a szüksées ellenállás bizosíása, vay az elekrománeses haások opimálása erüleén is. E feladaokhoz öbb udományáa áfoó (MDO) 9 [3], deerminiszikus vay probabiliszikus opimálási módszereke alkalmaznak... Topolóiai opimálás és alkalmazásai A szerkezei, szilárdmechanikai opimálás három fő irányzaa a mére, az alak és a opolóia opimálása. Topolóiai opimálásnak az a szerkezei alako, vay elrendezés mehaározó módszer nevezzük, mely a véső formá ey előre meado elemhalmazból kiindulva (alapszerkeze) a nem szüksées elemek elhayásával és új elemek bevonásával ado ervezési feléelek bearásával vézi. A módszer fonos jellemzője, hoy a opolóia meválozása, meválozaása csak apró/diszkré lépésekben örénhe. [], [6], [67], [6], [69]. Az ilyen szinű ervezés, az alkalmazo feléelrendszer korláai mia, csak vázlaervi szinű közelíő számíás esz leheővé. A kapo alakzao ezuán méreezni, és ellenőrizni kell. Ey opimális opolóiá kereső felada mefoalmazásakor, meadhaunk ey ún. nemervezési erülee is (NDR), melyben minden elem állandó, meőrzi eljes vasasáá vay 3 Anolul Random Local Search 4 Anolul Geneic Alorihm (GA) Anolul An Colony Opimizaion 6 Anolul Harmony Search 7 Anolul Arificial Bee Colony Opimizaion 8 Beűszó: AN colony opimizaion, GEneic mehod, Local search alorihm 9 Anolul MuliDisciplinary Opimizaion, vay Mulidisciplinary Desin Opimizaion Tervezési Tér anolul Desin Reion (DR) azon elemek halmaza, melyeken a opolóia opimálásá véezzük. Nem-Tervezési Tér anolul Non-Desin Reion (NDR), azon elemek halmaza, melyek az opimálásban nem vesznek rész, de a eherviselésben ien.

7 - - elíeséé (ömör, nem örölheő elemek). Az ilyen feladaok a meerősíés, kieészíés ervezésé szolálják. A opolóia opimálás a szerkezei mechanika ien népszerű és fonos áa, mer ezzel sokkal maasabb meakaríások érheőek el, min a mére vay az alak opimálással, és mind a meamaikában, mind a mechanikában alapveő és éredekes problémáka eredményez. A diszkré, véeselemes felbonással dolozó opimálás véző eljárások uyanekkor számalan nehézsének, reje hibának, rossz meoldások mejelenésének elkerülésé iénylik, mealapozva ezzel a ovábbi kuaásoka és fejleszéseke.... A opolóiai opimálás módszerei A arószerkezeek opolóiai opimálása ké fő irányra oszhaó: az ún. rendszeropimálás vay kiüés módszerére, mely ado rácsozaal, elemfeloszással és nayon alacsony ömearánnyal dolozik és az álalánosío alakopimálás módszerére, mely maas ömearánnyal és bármilyen mejelenési formával boldoul. Mindké módszer meoldásai mehaározhaók ezak, analiikus módon, pl. [49], [66], vay diszkré, vées elemes közelíéssel. Az ezak (analiikus) opolóia opimálás alapjai 94-ben AGM. Michell auszrál felaláló fekee le rácsos arószerkezekre, [49]. Az elv alkalmazásá arórácsokra Rozványi Györy (GIN Rozvany) kezde me 97-ben 3, [6]. Mindezek alapján W. Praer és Rozványi Györy fekee le az ezak szerkezei opolóiák első áfoó elméleé, melye először rácsos szerkezeekre (rácsos arók, arórácsok és héjrácsok, 977-ben, [6]), majd később más szerkezeekre, (pl. perforál lemezekre, 987-ben, [6]) is alkalmazak. A numerikus opolóiai opámálási módszerek fejlődése alapveően a 9-es évek elején indul me. 989-ben pl. MP. Bendsøe emlíee, de mé elveee a SIMP módszer alapelvé, []. A részlees SIMP 4 alorimus Rozványi Gy. és M. Zhou fejleszee ki 99-ben, [63], majd később, M. Zhou áíra ey Alair OpiSruc nevű szofverbe, melye az ipar azóa is használ. A numerikus opolóia opimálás módszerei lehenek radiens ípusú módszerek: a, Anolul Layou Opimizaion (LO), mayarul szerkezei elemek rendszerének/hálózaának opimálása, mely rácsos aróípusok elemelhayásos opimálásá vézi analiikus módszerekkel, pl. [7] Anolul Generalised Shape Opimizaion (GSO) vay Advanced Layou Opimizaion 3 Érdekessé, hoy amí a arórácsok ponos (analiikus) opimális opopóiája közel minden leheő meámaszási és ehelési esere ismer, valamin nem-numerikus számíóépes proramokkal előállíhaó, addi a rácsos arók opolóiája a leöbb erhelési és meámaszási esere mé mindi ismerelen. 4 Solid Isorop Microsrucure/Maerial wih Penalies ömör izorop mikroszerkeze/anya büneősúlyokkal [64]

8 - 6 - SIMP; b, homoenizáló módszerek (pl. OMP, NOM 6.); c, diszkré, lobális módszerek; d, a opolóiai derivál és szinvonalas kimeszés 7 módszerei; vay e, a yors halál 8 echnikájá alkalmazó módszerek (pl. ESO 9 ) és lehenek nem radiens-ípusú, a ermészee uánzó módszerek: heuriszikák (ld. korábban).... Gradiens ípusú módszerek összehasonlíása Az álalánosío alakopimálás módszeré véeselemes alakzaokon alkalmazó echnikáka szokás mé a beépíe opolóiák jellemzői, az anya irányulsáának és az opimálás eredményekén elérni kíván elemulajdonsáok alapján csoporosíani, íy lehenek izorop eli/üres (ISE), anizorop eli/üres (ASE) és izorop eli/üres/porózus (ISEP) opolóiák, [67]. Ezek közül az ún. ISE opolóiák adják a opolóiai opimálás eyik lekuaoabb erüleé. Az ezen alapuló haékony számíási módszerek mekülönbözeheőek az alkalmazo sraéiai elvek, az opimális alak elérésének, lérehozásának módja alapján, min pl. SIMP, OMP, NOM. Ezen mekülönbözeésben jelenős szerepe van a büneősúlyok (a beűnevekben: P) alkalmazásának (lásd mé. Tábláza). SIMP OMP NOM elemek ömör, izorop opimális közel opimális mikroszerkezee nemhomoén nemhomoén büneősúly: van van nincsen homoenizálás : nem szüksées szüksées szüksées válozók száma D: 3 v. 4 > elemenkén 3D: v. 6 használhaósá: bármilyen ervezési enedékenyséi bármilyen ervezési feléel melle korlá feléel melle. Tábláza Nay ISE opolóiák opimálási módszereinek összehasonlíása [67] Opimal Microsrucure wih Penalizaion (OMP) opimális mikroszerkeze büneősúlyokkal 6 NonOpimal Microsrucures (NOM) nem-opimális mikroszerkeze 7 Anolul Level Se Mehod 8 Anolul Sudden Deah Mehod 9 Evoluionary Srucural Opimizaion evolúciós szerkeze opimálás Anolul Anisoropic-Solid/Empy (ASE) Anolul Isoropic-Solid/Empy/Porous (ISEP) Porózus anyaok merevséi márixának mehaározásához használ módszer, pl. [64]

9 - 7 - Az. Tábláza jól szemlélei a SIMP módszer előnyei: a számíóép árolási kapaciása és a számíási idő szemponjából jelenős előny, hoy elemenkén csak válozó használ, bármilyen ervezési feléel beépíheő, az elemek mikroszerkezeének leírásakor a homoenizálás nem szüksées. Előnye, a számíási idő yorsíó ulajdonsáa az is, hoy a számíások során nincs szüksé deriválásra és eyéb maas szinű maemaikai műveleek vérehajására. [67]. Az. Tábláza uyanekkor nem muaja a SIMP módszer hibájá, az hoy a p > büneősúly alkalmazása mezavarhaja a rendszer konvexiásá, s ezálal az eredményül kapo opolóia lobaliásá. Ez a probléma elkerülheő azzal, hoy a számíásoka p = érékkel kezdjük, ekkor a felada konvex és a lobális opimum eyérelműen mehaározhaó, és csak a ovábbi ierációk során emeljük a büneősúly éréké maasabbra. [67]... A véeselem alapú opolóiai opimálás problémái Ké olyan émakör, jelensé van, mely lényeesen befolyásolja a véeselem alapú opolóiai opimum számíások eredményei: az elemszámól, feloszásól való füés és a sakkáblaminázaok mejelenése [6], [7].... Az elemszám növelésének, a hálófinomíásnak a haása A hálófinomíás célja, hoy jobb véeselemes modell és jobb peremfeléeleke bizosíson uyanannak az opimális szerkezei meoldásnak az eléréséhez. A véeselemes opimáló számíások eredményei ezzel szemben különböző elemszám alkalmazása melle különböző eredményeke adnak. Elérés a poroziás mérékében, a lyukak, üreek számában van. Nayobb feloszás melle nayobb számú és kisebb méreű lyukak alakulnak ki, min alacsony elemszám eseében. Könnyen beláhaó, hoy a lyukak és a ömör anya mennyiséében uyanaz a érfoaarány beállíva a lyukaka körülvevő anyahossz, vay másképp a lyukak kerüleének összee lényeesen nayobb lesz, ha öbb apró lyuka enedünk, minha kevés nayo. [6]. A kisszámú lyuk vay üre kialakulásá peremfeléelek és/vay mérekorláok, pl. a kerülei hossz szabályozására vonakozó korláok 3 alkalmazásával kényszeríhejük ki, [3]. Ekkor alacsony vay naylépékű felbonásról beszélünk. Ha a kerülere vay mérere kevesebb, vay semmilyen meszoríás sem eszünk, akkor sűrű felbonású opolóiá kapunk. Alacsony felbonással elérhejük, hoy a lyukak száma (pl. Michell-féle rácsos arók opimális 3 Anolul Perimeer Conrol

10 - 8 - meoldásaiban) mindössze 3 leyen, mí maas felbonás alkalmazásával ez a szám akár 6 fölé is viheő []. Az alacsony felbonás meköveelésének háránya, hoy álalában nem kedvező a célfüvény csökkenése. Előnye viszon, hoy: kikényszeríi a hálófüelensée és bizosíják a meoldás léezésé (a konvexiás), meakadályozza a sakkáblaminák kialakulásá, a yárási iényekhez jobban iazodik, eredményül eyszerű alakzaoka ad. A sűrű felbonás alkalmazásának más érdemei vannak: jobb, haékonyabb a célfüvény kívánalmainak szemponjából, az eredmények nayon eyszerűen, az analiikus meoldással való összehasonlíással ellenőrizheőek, a yárási echnolóiák is rohamosan fejlődnek, s íy a jövőben maasabb felbonású opolóiáka is iényelnek majd [].... A sakkáblamina kialakulása Gyakori, hoy a arószerkezeek elmozdulásai fiyelembe vevő véeselemes opimálások eredményeiben ún. sakkáblamina folok jelennek me. Ezeken a helyeken az anya sűrűsée a elíe és üres érék közö periodikusan, a sakk jáékáblájának minájához hasonlóan válozik. Ezen mináza kialakulásáér a vées elemes közelíések ulajdonsáai, a numerikus modellezés a felelős, mely jelenősen úlbecsüli e mináza merevséé [], [6], [3]. a, b,. ábra A sakkáblamina mejelenés demonsrálása néyze alakú szerkezeen, biaxiális erheléssel és eyszerű néycsomóponos elemekkel: a érfoaarány mindenhol %, az enedékenysé éréke a,,67; b,,8 [6] Bebizonyosodo, hoy az eysényi oldalhosszúsáú 4 csomóponú véeselemekből álló sakkáblamina merevsée közel eyező (,-szerese) az uyanaz a érfoaarány adó ½ vasasáú vay sűrűséű elemekből álló homoén rendszer merevséével bármilyen eherípus eseén, ld.. ábra. Ez az összehasonlíás memuaa, hoy az opimálási feladanak mindi van ey sakkáblamina formájú meoldása [6].

11 A sakkáblamina kialakulásá áló módszerek A sakkáblamina kialakulásá áolhajuk maasabb csomóponszámú elemek alkalmazásával. Ekkor az elem ulajdonsáai leíró összefüésekben az elmozdulási leheőséek száma (ponok száma szorozva a szabadsái fokok számával) és ezzel eyü a számíások áriénye, időarama is lényeesen menő a 4 csomóponos közelíéshez képes,. ábra. Bizonyío mindemelle az is, hoy válozó vasasáú elemeke használva a büneősúlyos opolóiai opimálás eredménye, maas büneősúly használaa melle a 9 csomóponú elemek melle is adha, aralmazha sakkáblaminá, [3]. a, 4 csomóponos elemek b, 9 csomóponos elemek. ábra Sakkáblaminában lévő elemek alakválozása a csomóponszám füvényében [3] Leheősé van a sakkáblamina folonkéni elávolíására is. Ekkor bázisfüvényeke rendelünk a 4 elemű minázaokhoz, folokhoz, majd a eljes érfoao e bázisfüvényeknek lineáris kombinációjakén írjuk fel, 3. ábra. E módszer alkalmas a nay kierjedésű sakkáblaminák kiküszöbölésére, de az eyszerű 4 elemes forma memaradha [3], [6] φ ij φ ij 3 φ ij 4 φ ij 3. ábra A sakkáblamina álásához használ folok és jelöléseik [6] Az opimálási eljárásban az eyszerű, 4 elemes sakkáblaminák, min közvelen sarokponi kapcsolaok kialakulása áolhaó célzo mellékfeléel meadásával is [8], [6]. E módszer a diaonális láncolaok melle az elszieel csuklók lérejöé is akadályozza. Ismerek ovábbá ien haékony szűrési echnikák is, melyekben ey elem meíélése fü önmaa és 8 közvelen szomszédja elíeséének súlyozo álaáól. Ez az ún. elsőrendű simíás. Ha szüksées alkalmazhaunk másodrendű simíás is a 8 szomszédo körülzáró 6 elem bevonásával, pl. 4. ábra [6], [43]. (A simíás rendje az ún. szűrési suár meadásával szabályozhaó.)

12 - - a, b, 4. ábra Súlyok a sakkáblamina szűréséhez [43], a, elsőrendű simíás; b, másodrendű simíás eseében Iazol ovábbá, hoy a hálófüősé ill. a lyukak számának korláozására alkalmazo módszerek, min pl. kerülei hossz szabályozása, [3], [7] vay az opimáláskor lérejövő rúdszerű alakzaok vasasáminimumának előírása, [73], uyancsak alkalmazhaóak és haékonyak a sakkáblamina kialakulása elleni küzdelemben...4. Opimáló proramcsomaok, szofverek Tarószerkezeek opimálásához álalánosan elfoado és használ fejleszői környezeek, pl. Excel, Malab, Mahemaica, olyan eyszerű, könnyen anulhaó, felhasználóbará alkalmazások, melyek alkalmasak mind a szerkezei modell(ek), mind az opimálási alorimus(ok) befoadására, vérehajására. Hibájuk uyanekkor, hoy a nay eljesíményiényű mérnöki feladaoka, pl. VEM nem könnyen foadják be, hoy nay feladaokkal nem boldoulnak, lefaynak [3]. Álalánosan elerjed Rendszerbe áyazo Eljárás yűjemények Excel (Microsof) SolidWorks-Cosmos ModelCener, CenerLink (Phoenix In.) Malab (Mahworks) GENESIS (VRD) isight, FIPER (Enineous) Mahemaica (Wolfram) OpiSruc modefrontier (Eseco). Tábláza Áekinő ábláza a piacon elérheő opimálási feladaok vérehajására képes szofverekről [3], kieészíéssel Napjainkban felkapo a melévő mérnöki ervező és elemző proramokba pl. CAD Solidworks-be beépíe és ársío opimálási leheőséek használaa is. Ezek ien hasznosak kicsi, lokális feladaok vérehajására. Képesséeik uyanekkor álalában csak eyfaja mérnöki mefonolás fiyelembevéelére eleendőek,. Tábláza. Mekezdődö ovábbá olyan eljárásyűjemények kidolozása is, melyekben az eyszerű szélsőérék-kereső eljárásoka és

13 - - a udományerüleeke áölelő opimálási rendszereke inerálják. Ezek lefőbb feladaai az adaáviel, a munkafelüle és a munkafolyamaok menedzselése,. Tábláza, [3]..3. A opolóia opimálás eredményeinek ellenőrzése, helyesséük iazolása Az opimáláshoz álalában olyan feladao(ka) válaszunk, melynek ponos, analiikus meoldása ismer. Ilyenek pl. a Michell-féle arószerkezeek: a Michell-féle konzolaró, vay a Michell-féle kerékárcsa modellje [49]. Van, hoy eleendő az eredmények vizuális összehasonlíása (pl. kérudas meoldások eseén), eyéb eseekben cél a numerikus meoldások közelíése a ponos meoldásokhoz, [67], [69]. A opolóiai opimálás eredménye sokszor ey rácsos aróhoz hasonló szerkeze. Mivel a minapéldakén használ szerkezeeknek sokszor léezik rácsos arós meoldása is, az eredmények ezekkel is összehasonlíhaóak. Pl.: [], [7], [66]. Uyanazon felada különböző opimálási módszerekkel való meoldása leheősée ad a echnikák összehasonlíására, azok előnyeinek hárányainak felismerésére. Pl.:[8], [3], [69]. A feniekből láhaó, hoy íy öbb kuaó is alkalmazhaja uyanaz a módszer uyanazzal a példával. Érelemszerűen íy eredményeik is uyanazok lesznek. Fonos hansúlyozni, hoy a kuaók, kuaócsoporok közöi kommunikáció csak a módszer elvének és az eredményeknek elmondására hayakozik. Eymásól áve, ill. kommersziális alorimusoka nem, csak sajá maunk álal íro proramoka használunk, csak az eredményeinke eyezejük, hasonlíjuk össze. Pl.: [7] p Szokás mé az eyes módszerek, alorimusok ún. beállíásfüőséé, a proram fuásá, az opimálás meneé szabályozó paraméerek meválozaásának haásá, az eredmények módosulásá vizsálni. Pl.: [], [], [4]..4. A Mayarorszáon folyó szerkezeopimálási kuaások rövid összefolalása A hazánkban folyó szerkezeopimálási kuaások az alábbi főbb émakörökre bonhaóak:. Minimális súlyra való ervezés kaalóusból kikerese előreyáro szerkezei elemek felhasználásával: E meaheuriszikus fejleszések különböző szerkezeek eseén különböző mellékfeléelek fiyelembevéelé eszik leheővé. Pl. síkbeli vay érbeli rácsos arók eseében a lokális és lobális sabiliási feléelek kieléíésé [], síkbeli kereszerkezeek eseében a válaszo elemek ulajdonsáaiól füő rualmas kapcsolaok fiyelembevéelé [].. Fém merevíő elemekkel rendelkező lemez vay héjszerkezeek minimális kölsére való ervezése: E kuaások fő jellemzője, hoy az opimálás céljá adó kölséfüvény össze-

14 - - e és nem lineáris [], [6], [33]. A célfüvény a minimális súlyra való ervezés melle maában folalja a yárási, szerelési (pl. heeszés) és az uómunkálaok (pl. fesés) kölséei is. Hasonlóan összee kölséfüvények alkalmazhaóak szendvicsszerkezeek összeéelének mehaározásához, [7], [4] vay belsőle merevíe szekrényarók [34] összkölséének minimálásához is. 3. Tarószerkezeek peremfeléeleinek numerikus vizsálaa: E kuaások fő jellemzője, hoy a arószerkezeeke, vay szerkezei elemeke a környezeükhöz való kapcsolódás, erőáadás szemponjából, min a meámaszások, vay szerkezei elemek közöi kapcsolaok irányából vizsálja. Célja a minimális súlyra való ervezés melle azon kapcsolai helyek és módok meadása, mealálása, melyek ado szemponok pl. kölsé alapján opimálisak. E feladaok maemaikaila az inverz és nemkonvex opimálási feladaok körébe aroznak. A kuaásoka erenda [], [], lemez [] és rácsos [4] arószerkezeeken véezük. 4. Rualmas-képlékeny anyaú arószerkezeek (elsősorban kereszerkezeek és rácsos arók) opimális ervezése: E kuaások ké részre bonhaóak. Az első a rualmas-képlékeny arószerkezeek opimális ervezésé (jellemzően a kereszmesze opimálásá) oldja me a maradó alakválozások és elmozdulások korláozásával saikus és dinamikus erhek eseén, [36], [38], [39]. A második, az opimális (kereszmesze) ervezés meoldásá adja időben válozó saikus erhelés eseére a diszcipáció fiyelembevéelével. E feladaokban a szerkeze válaszá aralmazó állapohaározók időől füő füvényekkel írhaóak le, [47], [7].. Topolóiai opimálás: Min, ahoy a nemzeközi irodalomban, úy a hazai kuaásokban is ké fő émakör különbözeheő me: a. A rácsos arók opolóiai opimálása szinén ké irányban zajlik. Az eyik a lehesées rúdelemeke fix csomóponok alapján haározza me. Ekkor a ervezési ere a minden csomópon összeköheő minden másik csomóponal elv adja, pl. [9]. Az íy meado ien maas elemszám csökkenheő, ha csak bizonyos előre definiál elemekből lehe válaszani, [6]. A másik módszer bizonyos csomóponoka is mozahaóvá esz, íy a opolóiai opimálás melle alakopimálás is véez []. b. Tárcsaszerkezeek opolóiai opimálása: E émakör hazai kuaásai a SIMP eljárás (... fejeze) eyszerűséé, bővíheőséé és alakíhaósáá használják fel. Keős véeselemes háló alkalmazásával a sakkáblamina mejelenése kiküszöbölheő [], [3], [], [9], [44]. A büneőparaméer dinamikus növelésével elérheő, hoy ne kelljen maas büneőparaméer-éréke használni, és hoy az ierációk száma csökkenjen

15 - 3 - [44]. Az eljárás bővíheő a ámaszopimálással [8], valamin a szochaszikus erhek [4], [], szochaszikus korláozó feléelek [46] fiyelembevéelével is. Mefelelő, a minimális súlyra való ervezés melle a sarokponi kapcsolaok kialakulásá is áló célfüvény alkalmazásával a diaonális elemláncolaok és az elszieel csuklók mejelenése is meakadályozhaó [4], [], []... Ezen érekezés émája, célja A opolóia opimálási feladaok ey jelenős hányadá képezik az ún. ISE (fekee-fehér vay -) opolóiák, melyek csak elíe és üres izorop elemekből állnak ado véeselemes feloszásban és mehaározo peremfeléelekkel. E opolóiák opimálásakor előforduló számíási nehézséek eyike az, amikor a maradó elíe elemek közö csak sarokponi kapcsola alakul ki, mely mejelenhe sakkáblamináza, álós elemláncola és/vay elszieel csukló formájában. Ezen alakzaok mejelenésé az eyszerű, 4 csomóponos néyzeelemek alkalmazásá kísérő diszkreizációs hibák okozzák, úlbecsülvén a sarokponi kapcsolaal rendelkező szerkezeek merevséé, [3]. Az ISE opolóiákban kialakuló sarokponi kapcsolaok elnyomásának ké ismer és jelen érekezésben is anulmányozo módja van: ey sokkal ponossabb, részleesebb, a diszkreizációs hibák súlyá csökkenő véeselemes számíás alkalmazása, ill. ey, az eredei opimálási feladao módosíó, kieészíő új mellékfeléel alkalmazása. Az első módszer-családban a szerkezee felépíő ún. alapelemeke 6 ovábbi véeselemekre bonjuk vay maasabb rendű véeselemmel helyeesíjük. A második módszercsaládnak öbb válozaa is ismer, min pl. szűrés, kerülei konroll, minimális hosszra és/vay a lokális radiensre vonakozó előírás alkalmazása, korláozás az elemek közöi kapcsola módjára, ípusára, vay korláozás a sarokponi kapcsola kialakulására. E módszercsalád mindeyikének jellezeessée az, hoy a meoldásul kapo arószerkezei forma jelenősen elérhe a célfüvényben mefoalmazo opimálisól, a módosío feléelrendszer jelenős súlynövekedés okozha. Az ezen érekezésben bemuao kuaás célja, hoy haékony, mebízhaó és eyszerű numerikus módszer adjon, mely alkalmas mind a sarokponi kapcsolaok kialakulásának Isorop Solid Elemens Izorop Tömör Elemek, [67] Anolul Corner Conac Suppression 6 Anolul Ground Elemen

16 - 4 - meakadályozására, mind a énylees, ezak meoldásokból ismer opimális alak minél jobb meközelíésére.... Az érekezés felépíése Az elvéze kuaás három jól elkülöníheő részre oszhaó. Az első rész a arószerkeze opolóiájának kialakíásakor alkalmazo eyszerűsíéseknek, közelíéseknek súlybefolyásoló haásá vizsálja. Ebben síkbeli és érbeli elemek poenciális eneriájának és/vay enedékenyséének 7 válozásá muaom be az alkalmazo közelíések füvényében. E fejeze példáival szemléleem mind az alapelemek ovábbi véeselemekre bonásának, mind a maasabb fokú véeselemek használaának haásá. A vizsálao kierjeszem 4 alapelemből álló szerkezeek, valamin eszőlees alakú sok alapelemből álló szerkezei formák számíására is [], [], [3],. TÉZIS. Az érekezés második részében a eszőlees alakú, néyzeelemekből álló árcsaszerkezeek opolóiai opimálásá véző, a sakkáblamina mejelenésé áló alorimus muaom be. Az opimálás az ismer SIMP alorimus bővíe, alapelemenkén öbb véeseleme alkalmazó válozaa (Exended-SIMP) vézi. A proram haékonysáá öbbféle példával is szemléleem. Bemuaom ovábbá a lehesées beállíás-füőséek haásá is [], [3], [6], [],. TÉZIS. Az Exended-SIMP alorimus felhasználam melévő, eljes ömörséű elemekkel rendelkező aró kieészíésének, meerősíésének opimális ervezésére is (SIMP-NDR 8 ), [7], [8], [9], 3. TÉZIS. Az érekezés harmadik része a sarokponi kapcsolaal lérejövő minázaoknak, a sakkáblaminának és speciális eseeinek, a diaonális elemláncolaok és az elszieel csuklók kialakulásának elnyomására, akadályozására is alkalmas, a opolóiá vizsáló új füvényeke és az ezeke célfüvénykén alkalmazó Co-SIMP 9 alorimusoma muaja be. Az álalam mealkoo síkbeli füvény alkalmassá eem érbeli szerkezeek kapcsolódásainak, érbeli (3D) opolóiáknak vizsálaára is [4], [], [6], [8], [9], [], [], 4,. TÉZIS. 7 Anolul Compliance: munka jelleű mennyisé, melye az opimálási feladaokban az elmozdulások korláozására használnak ( mennyi enedek ). A aró szemponjából az alkalmazkodás jellemzi ( meddi nyújózkodha ). Rualmas anyamodell eseén a poenciális (alakválozási) eneria és az enedékenysé aránya :. 8 Non-Desin Reion nem ervezési ér 9 Corner Conac Conroll sarokponi kapcsola elnyomása

17 - -. ALKALMAZOTT JELÖLÉSEK A dolozaban az indexes jelölésmódo használam. A vizsálaok a ké- vay háromdimenziós euklideszi érben, Descares-féle koordináa-rendszerben örénnek. Skalárok a A oldalhosszúsá erüle c, m muliplikáor C f E k L n p T V enedékenysé v. alkalmazkodás rualmassái (Youn-)modulus elíesé (ömearány) az eymás melle, ey vonalban elhelyeze csomóponok száma szerkezei mére, hosszúsá az eymás melle, ey vonalban elhelyeze véeselemek száma büneősúly árcsaszerkeze vasasáa számíási idő érfoa, öme α, β, υ Larane-muliplikáorok ν Poisson-ényező Δ x, Δ y alakválozási eher Füvények H N i Π Vekorok f u sarokponi kapcsolao érékelő füvény bázisfüvény poenciális, v. alakválozási eneria csomóponi erhek vekora csomóponi elolódások vekora Márixok D J K anyajellemzők márixa Jacobi-márix a szerkeze merevséi márixa L N K e az elem (véeselem) merevséi márixa operáormárix Műveleek bázisfüvények márixa () T ranszponál () - inverz abszolú érék, márix deerminánsa Index jelölések e véeselem sorszáma alapelemek sorszáma f kihasználsá kezdei érék H haárérék M ismer Michell-féle analiikus meoldás Eyéb ^ A P normalizálás elői mennyisé loikai műveleekben: akív loikai műveleekben: passzív

18 ALKALMAZOTT NUMERIKUS MODELLEK, MÓDSZEREK ÉS ALGORITMUSOK A vizsálaoka kédimenziós árcsaszerkezeeken véezem el, melyek eysényi oldalhosszúsáú néyzeelemekből ún. alapelemekből állnak. Ké eseben a vizsálao három dimenzióban, eysényi oldalhosszúsáú kockaelemekből álló szerkezere is kierjeszeem. A szerkezeek eomeriájának leírása derékszöű koordináa-rendszerben örénik. A szerkezeeke alkoó valamennyi elem anyamodellje lineárisan rualmas. Terhek a szerkezeeke csak a csomóponokon erhelik. A erhelés kvázi-saikusnak éelezem fel. A peremfeléelek adoak. Az opimálási feladaokban, elemenkén eyválozós modell alkalmazam. Íy árcsaszerkezeek eseében e válozó a szerkezei elem vasasáa ( szerkezenél pedi az elemi rualmassái modulus ( E ), ahol ), kockaelemekből álló érbeli =,, K a vizsál elem jelölése, sorszáma. A feléeles opimumo kereső számíások ey ismer radiens ípusú alorimuson alapulnak, SIMP, melye Rozvany és Zhou fejlesze ki a 8-as és 9-es években, s melye a járműipar pl.: épkocsik és repülőépek opolóiájának ervezésekor mindmái kizárólaosan használ, [64], [7]. 3.. Alapelem(ek) Alapelemnek ebben az érekezésben azoka az izorop, eysényi oldalhosszúsáú derékszöű eomeriai elemeke (síkban néyze, érben kocka) nevezzük, melyek a vizsál arószerkeze elsődlees felbonásá, rácsozaá adják. Ezeke az elemeke használjuk a szerkeze méreének, külalakjának leírásához. Ezen elemek sarokponjaihoz, min csomóponokhoz kapcsoljuk a szerkeze erhelései, meámaszásai. Ey alapelem lehe elíe (fekee vay érékű) vay üres (fehér vay érékű). A elíe és üres elemek elhelyezkedésükől füően különböző minázaoka hozhanak lére. Tarószerkezeek opolóiájának opimálásakor rendszerin ey csupa elie, vay ey csupa

19 - 7 - üres 3 alapeleme aralmazó ado peremfeléelekkel rendelkező befolaló alakzaból indulunk ki. A minimális súlyra vay érfoara való opimálás eredményekén fekee és fehér alapelemeke aralmazó rendeze, eherviselésre alkalmas alakzao kapunk. 3.. Véeselemek Ebben a fejezeben az alapelemek véeselemes feloszásának finomíásához használ elemeke muaom be. Az elemi merevséi márixok lérehozásakor, valamin a leírás készíésekor a kövekező elvek és célok vezérelek: A merevséi márixok lérehozása a szokásos, irodalomból ismer módon örénik, [7], ezér i csak a meoldo felada mia fonos részleeke közlöm. A néycsomóponos árcsaelem és a nyolc csomóponos kockaelem merevséi márixá kéféleképpen haározam me: kézi számíással lobális koordináa-rendszerben, és kihasználva a MAPLE V analiikus feladameoldó képesséé, épi számíással paraméeres koordináa-rendszerben. E keőssére a számíások és az eredménymárixok ponossáának ellenőrzése céljából vol szüksé. Mivel lineáris anyaörvény használok és a kiselmozdulások elvé érvényesnek ekinem, az akuális vasasái érék a merevséi márixból kiemelheő. Az érekezésben alapveően fekee-fehér minázaoka vizsálok, ahol a árcsaelem vasasáa eysényi ill. zérus, azaz vay van elem, vay nincsen. Érelemszerűen azon számíások során, amikor a vasasának az eysényiől elérő éréke van, a bemuao merevséi márixo az akuális vasasái érékkel szorozni kell, pl.: SIMP. Az érekezés émavezeésének szüksées és lényees eleme az eysényi oldalhosszúsáú alapelemeknek ( n, n =, 3, K) kisebb oldalhosszúsáú véeselemekre bonása, s ezen véeselemek merevséi márixának mehaározása. Az összehasonlíhaósá érdekében árcsaelemnél alorimus adam a k csomóponú véeselem (és eyben alapelem) merevséi márixának mehaározására is. Az elemi merevséi márixok a Füelék.. fejezeében alálhaóak. 3 Ha ey szerkezeben csak üres elemek alálhaóak, akkor a szerkezei merevséi márix ey nullmárix, mely szinuláris. Ennek elkerülése érdekében az üres elemek elíeséé szabályozó válozó ey nullánál nayobb, de ien kicsi érékre, pl. -6 -ra állíjuk be.

20 Tárcsa alapelem n néycsomóponos véeselemmel Globális koordináa-rendszerben Mivel eysényi oldalhosszúsáúnak az alapelemeke definiáluk, majd ezeke az alapelemeke bonjuk ovább n darab vées elemre, ey vées elem a oldalhosszúsáa /n. Ey véeselem eomeriájának leírásához inerpoláló füvénykén az elsőfokú Laranepolinomoka alkalmazam, és kihasználam, hoy a kiünee ponok koordináái ismerek: Y X = n n (,) ( a,) x y a = n n a = n a = n 3 4 (,a) ( a,a) y y a x a x a. ábra Az a oldalhosszúsáú vées elem és inerpolációs füvényei, lobális koordináa-rendszerben A bázisfüvények kéválozós füvények lesznek, ( x y) csomóponban ey: N i,, melyek éréke az akuális () x y x y x y N =, N =, N 3 =, N 4 = a a a a a a x a y. a Paraméeres koordináa-rendszerben A véeselemhez rendel lokális koordináa-rendszer elhelyezésé és lépéké úy válaszjuk me, hoy a árcsaelem sarokponjai a koordináa-enelyekől eyforma, eysényi ávolsára leyenek. x ξ (,) /n (/n,) (-,-) x (,-) ξ (,/n) (/n,/n) (-,) (,) y η Sarokponi koordináa-rendszer Lokális, paraméeres koordináa-rendszer 6. ábra Ey vées elem lobális és paraméeres koordináa-rendszerben

21 - 9 - A lokális és lobális koordináa-rendszer eymásba való leképezése ez eseben ey ey- x y szerű aránypárral felírhaó: = = illeve, ξ η n () ξ η = = n, 6. ábra. x y A C () folyonos néyszöelemek bilineáris bázisfüvényei: ( ξ )( η) ( + ξ )( η) ( ξ )( + η) ( + ξ )( + η) N i = Tárcsa alapelem ey k csomóponú véeselemmel A merevséi márix mehaározásá lobális koordináa-rendszerben, a 3... fejezeben leíraknak mefelelően véezem. A csomóponok közöi oszásközök számá n-nel jelölve a csomóponok száma ( n + )( + ) k = n érékűre adódik, 7. ábra. A bázisfüvények meadásához a vonalelemeknél használaos Larane-polinomoka használam. A polinomok lérehozásakor felhasználam, hoy a csomóponok mehaározo rendben, eyenlees oszásközökkén helyezkednek el, s ebből kövekezően a helyzeüke leíró sor- és oszlopindex eyben helymehaározásra is használhaó. Ey csomópon bázisfüvényé azon ké, eymásra merőlees, x és y iránnyal párhuzamosan álló polinom szorzaa adja, melyek éréke az ado csomóponban ey, eyéb csomóponokban pedi nulla. y x = n n k x = ( n +) = n n k y = ( n + ) 7. ábra Eysényi oldalhosszúsáú néyzeelem k csomóponal Az elemi merevséi márixok ulajdonsáai Az eredményül kapo elemi merevséi márix = 4 csomóponú elem eseén meeyezik a 3... fejezerészben bemuaoal. Nayobb csomóponszám eseében a márix méree haványozoan nő (8. ábra).

22 Márix mére Csomóponszám 8. ábra A merevséi márix méreének növekedése a csomóponszám füvényében A növekedés méréke meeyezik a néycsomóponos elemekből előállío néyze alakú szerkezenél bemuaoal, (3... fejezerész), de i mos nem sávmárixról, hanem ey eljesen elíe márixról van szó. Ez a számíási idő szemponjából kiemelkedően fonos: ey = csomópono aralmazó elem számíásához (a szimmeria ada eyszerűsíések kihasználása nélkül) = 4 füvény kell előállíani és véül inerálni. Mejeyzem, hoy ehhez épi memória is kell, ez a mennyisé ey Mb RAM-mal rendelkező ép kapaciásá eljesen kimeríi, a számíási idő rendkívül hosszúra nyúlik Térbeli alapelem n 3 kocka-véeselemmel A homoén, izorop kockaelemek számíása az irodalomból ismer, meszoko módon örénik [7]. Globális koordináa-rendszerben Mivel eysényi oldalhosszúsáúnak i is az alapelemeke definiáluk, majd az alapelemeke bonjuk ovább n 3 vées elemre, ey vées elem a oldalhosszúsáa /n érékűre adódik. Az inerpoláló füvények a leeyszerűbb (elsőfokú) Larane-polinomok koordináaenelyek szerin elkülöníve. Az N i ( x y, z), bázisfüvények háromválozós füvények, melyeke minden i csomóponra azon inerpolációs polinomok szorzaakén képezünk, melyek éréke az akuális csomóponban ey, 9. ábra.

23 - - = n n = n n Z = n n Y X a = n a = n z a = n 7 8 ( a, a, a) (,,) x 3 4 x a 6 y y a z a y a z a x a 9. ábra Ey nyolccsomóponos kockaelem lobális koordináa-rendszerben Paraméeres koordináa-rendszerben A nyolc-csomóponú elemek a oldalhosszúsáa, a közponos ξ, η, ς koordináarendszerben eysé: Z (,,a) ( a,,a) 6 (,,) ( ),a,a 7 ( a,,) ( ) a, a, a 8 X 6 ζ (,, ) (,, ) ( ),, 7 (,, ),, ( ) ( ),, 8 ξ 3 Y 4 a,a, (, a,) ( ) 3,, η 4,, ( ) ( ). ábra Ey vées elem lobális és paraméeres koordináa-rendszerben Az X, Y, Z és a ξ, η, ς koordináa-rendszerek eymásba való leképezése ey eyszerű aránypárral felírhaó: x y z = = = ξ η ζ a illeve, ξ η ζ = = = x y z, a veyes aok éré- a ke, pedi zérus Véeselemes proram néyzeelemekből álló árcsaszerkezeek számíásához Ebben a fejezeben a néyze alakú alapelemekből felépíheő eszőlees méreű és alakú árcsaszerkezeek számíására, poenciális eneriájának mehaározására ír vées elemes

24 - - proramom muaom be 3. A proram azonos, eysényi vasasáú alapelemekből álló árcsaszerkezeek vizsálaára készül, ezér a árcsaelemek vasasáának haásával nem folalkozom. A szerkeze alakjának meadásához lérehozunk ey NÉGYZETHÁLÓ-, mely a lehesées alapelemeke aralmazza, élalap alakú, és a eljes szerkezee maába folalja. A néyzeháló naysáá az alapelemek sorainak és oszlopainak száma adja me. A néyzeháló meadásakor feléelezük, hoy minden lehesées helyen van elem. Az eselees beváásoka, lyukaka uóla vájuk ki belőle. A számíások ponosíása érdekében az eyes alapelemeke ovábbi vées elemekre ( n, n =,, K) bonhajuk. Ey alapelemhez íy, ( n +) csomópon arozik. Az eymás melle elhelyezkedő alapelemek a közös oldalaikon n + csomópono közösen használnak. A szerkeze valamennyi szüksées csomóponjának mehaározása uán az alapelemeke és a csomóponoka besorszámozzuk. A szerkeze meámaszásai és erhei az alapelemek sarokponjaihoz, oldalponjaihoz rendeljük hozzá. (Füelék.. fejezee) Véeselemes proram kockaemekből álló érbeli szerkezeek számíásához A érbeli szerkezeek saikai számíására ír alorimusom csak ey a sarokponjain meámaszo és erhel 3 n 8 csomóponos véeselemből álló kocka-alapelem modellejé udja, bonyolul alakzaok modellezésére és számíására nem alkalmas. 3.. Az eneria vay az enedékenysé vizsálaának fonossáa Topolóiai opimáláskor a C enedékenysé, vay a Π poenciális eneria érékének feléelkén való meadása nem önkényes: bizonyío, hoy állandó eher eseén a szerkezere írhaó elmozduláskorláok a külső munka, vay a belső eneria korláozására cserélheőek [3]. 3 A proram részleeinek ilyeén bemuaásával nyomaékosíani szereném a.3. fejezeben íraka.

25 Tárcsaszerkezeek opolóiai opimálásának maemaikai leírása (Exended- SIMP) Ebben a fejezeben a opolóia opimálási felada SIMP elven örénő meoldásának maemaikai leírásá közlöm Z. Gáspár, J. Lóó és G.I.N. Rozvany. [9] cikke alapján 3. A cikkben közöl eljes levezeés mayar nyelvű ismereése az érekezés 3.7. és 7.. részének meérésé seíi. Az opimálás kvázi-kédimenziós szerkezeeken, árcsaszerkezeeken vézem, melyeknek ado az eyséoldalú néyzeekből álló alaprajzuk és adoak ámaszaik, erheik ( fˆ ). Az ado Ĉ H enedékenyséhez keressük az eyes elemek opimális vasasáá, melyek ey ado inervallumban [, max ] veheik fel érékeike. Az a szerkezee ekinjük opimálisnak, melynél a érfoa minimális. Az opimálás ey ún. bővíe véeselemhálóval, vayis alapelemenkén n véeselem alkalmazásával véezzük el, =,,... n A vasasáokra ado feléelek és a normalizálás Az szerenénk, hoy a kerese válozóink, azaz az elemek vasasáai, a [,] inervallumba kerüljenek. Ha minden elem vasasáá és a erheke is meszorozzuk ey eszőlees poziív c skalárral, akkor az enedékenysé is c -vel szorzódik. Leyen c = / max. Ekkor és () f az jelölik, hoy a válozók éréké max (dimenziólan) számérékkel oszouk. Tehá az ( f ) eher működésénél kell a [,] enedékenysé ne leyen C = Cˆ / kicsi, max vasasáoka úy mehaározni, hoy az -nál nayobb. Az elemvasasához a numerikus nehézséek elkerülése vée előírunk ey nayon min = 6, éréke. E mia válozóink csak a [ -6, ] inervallumból vehenek fel érékeke Térfoa minimumának feléele A szerkeze érfoaa normál eseén: V = A, ahol A az elemek erüleé jelöli. E helye a V p = A / közelíő füvény használjuk, melyben p, és mely ponos fe- 3 Hasonló levezeés alálhaó Lóó J. [44] cikkében és M. Ghaemi [8] PhD érekezésében is.

26 - - kee-fehér minázaok eseében (a valódival eyező) eredmény szolála 33 (minden vasasá vay vay ). A közelíő füvény és közöi vasasá(ok) eseében a érfoa éréké növeli, a valódinál nayobbnak ünei fel, íy válozására a szerkeze érfoaa érzékenyebb lesz Az enedékenysére vonakozó feléel H Az eredei feléel: ˆ T ˆ f K fˆ Cˆ, ahol Kˆ a eljes szerkeze merevséi márixa a va- T lódi vasasáokkal. A normál érékekre vonakozóan: f K f C. Kˆ u = fˆ azaz Ku = f. A K szimmeriájá kihasználva u T Ku C H. Mivel az elem merevséi márixa a vasasá lineáris füvénye, az eyenlőlensé első ajából az kiemelheő, s íy az enedékenysére vonakozó feléel: u K u C H. T Nemlineáris proramozási feladakén való mefoalmazás e A szerkeze minimális érfoara örénő opimálásá a kövekező feladaal adjuk me: H (3) min / p T A u Ku CH, min max, =, K, N, ahol N az alapelemek száma. Valamin udjuk, hoy fennáll a (4) Ku = f eyenlősé, mely a szerkeze normál állapoeyenlee Larane-füvényes mefoalmazás () A (3) feladahoz arozó Larane-füvénynek L (, υ, α, β) A / p = + υ T ( u Ku C ) + α ( + ) + β ( ) H nyereponja van, ahol minden -re eljesül a kövekező feléelrendszer: max min 33 Mejeyezzük, hoy = fenn (... fejeze). p eseén konvex proramozási feladahoz juunk, mí p eseén ez nem áll

27 - - (6) ( ) / = = T T T p p A p L β α υ u K u u K u Ku u. A második a eyszerűbben is felírhaó, ha fiyelembe vesszük, hoy a f Ku = eyenlősé jobb oldala állandó, és ezér (7) ( ) = + = u K u K Ku, melyből u K u K =, ovábbá ennek ranszponálja a merevséi márix szimmeriája mia: T T = K u K u. Ezek behelyeesíésével: (8) N T T T T,,, K = = + + u K u u K u u K u Ku u υ υ. A szerkeze merevséi márixá az elemek merevséi márixából kompiláljuk. Ey elem csak ey vasasáól, -ől, fü ( ) e K K =, ezér (9) e T T u K u u K u = ν υ. A υ uán álló skaláris szorza a jelű elem enedékenysée lenne az u elmozdulás haására, ha az alapelem vasasáa eysényi lenne. Ey elem enedékenysée: e T u K u. Vezessük be az e T R u K u = jelölés. Ekkor a Larane-füvény deriváljai: () ( ) / = + + = p p R A p L β α υ. Akívnak azoka az elemeke nevezzük, A, amelyeknek az akuális vasasáa a meenede haárok közö van: 6 < <. Ezeknél a hozzájuk arozó α és β muliplikáorok zérusok, ehá az () ( ) / = + p p R A p υ, A eyenlenek kell eljesülnie, melyből ν ismeree eseén az akív elem vasasáa számíhaó:

28 - 6 - () υ pr = A p p +, A. Passzívnak, P, nevezzük az eleme, ha vasasáa a meenede szélső érékek valamelyikével eyenlő. Ha min =, akkor a mefelelő α > és β =. Ekkor a Laranefüvény deriváljára vonakozó feléel (3) A p ( p ) / p R + υ α =, P alakú, melyből az új vasasára (mivel minden válozó éréke érelem szerin poziív) a (4) υ pr > A p + p eyenlőlensé adódik. Hasonlóan, ha =, akkor α = és β >. Ekkor a max Larane-füvény deriváljára vonakozó feléel () A p ( p ) / p R + υ + β =, P alakú, melyből az új vasasára (mivel minden válozó éréke érelem szerin poziív) a (6) υ pr < A p + p eyenlőlensé adódik. A υ muliplikáor éréké abból a feléelből haározzuk me, hoy a eljes szerkeze enedékenysée éppen C leyen. A passzív (a vasasá haárérékén lévő) elemek vasasáa nem válozahaó, íy azok enedékenyséé levonjuk C-ből. A maradék az akív elemekből adódik. Azok vasasáára az előbb ey ν -ől füő kifejezés kapunk. Ezzel kell oszani R -, hoy mekapjuk az akív elemek enedékenyséé. Íy

29 - 7 - (7) + = = A A p p P A pr R R R C H υ, melyből (8) = P A p p p p p R C R A p H υ Az ieráció menee A 3.6. fejezeben bemuao összefüéseke felhasználva az opimális vasasáok mehaározására a kövekező ierációs eljárás alkalmazam:. Kiinduláskén válasszuk minden eleme akívnak és az elemek vasasáá = max = -nek!. Számísuk ki az eysényi vasa elem merevséi márixá ( e K )! 3. Veyük fel a C meenede maximumá! (Célunk az, hoy C H ne leyen irreálisan nay, vay úl kicsi, és íy olyan meoldás kaphassunk, melynél az opimális eseben az alapelemek közö lesz min és max vasasáú is.) 4. Leyen = p.. Az akuális elemvasasáok alapján a véeselem-módszerrel haározzuk me a csomóponok elmozdulásai (u)! 6. Számísuk ki minden elem enedékenyséének -szeresé! e T R u K u =. 7. A Larane-muliplikáor mefelelő kievős alakja: = P A p p p p p R C R p A H υ. 8. Minden elemre számoljunk új vasasáoka:

30 - 8 - p p p+ + p p x = υ R. A 9. Haározzuk me az elemek valóban elfoadhaó új vasasáai, valamin az, hoy az elem akív-e vay passzív: Ha x max, akkor = max és P, ha x min, akkor = min és P, ha min x max, akkor = x és A.. Ha az akív elemek halmaza üres, akkor a számíás befejeződö. (Ilyen csak akkor örénhe, amikor a erhek és meámaszások közvelen kapcsolaban vannak és közbenső eherviselő szerkezere valóban nincs szüksé.). Ha valamelyik alapelem ákerül a másik halmazba (akívból passzívba, esele fordíva), vay az akív halmazban lévő elemek közül valamelyiknek a vasasáa jelenősen meválozo, új réi ε, akkor az új elem-vasasáoka a réiek helyébe írva az. ponól kell újra folyani a számíás.. Ha p < pmax, akkor p éréké növeljük pl.,-el, és (az éppen akuális elemvasasáokkal) az. ponól folyajuk a számíás Az alkalmazo SIMP alorimus elhelyezése az opimálási feladaok rendszerében Az opimálási feladaoka csoporosíhajuk a felada mefoalmazásban szereplő válozók, a célfüvények, a korláozó feléelrendszer, valamin a meoldási módszerek alapján. fejeze. Az alkalmazo válozók: Ezen érekezésben, síkbeli feladaoknál a ervezési válozók az alapelemek kereszmeszei vasasáai, melyeke ado alsó és felső korlá közö folyonosnak éelezünk fel. Mechanikai szemponból ezek a válozók a kereszmesze eomeriájá írják le, íy az alorimus ey alapelemre nézve kereszmeszei opimálás véez. Az alapelemek vasasáa lehe zérus is. A lehesées elemek ehá mehaároznak ey aromány, ervezési ere, melyből néhány elem elhayhaó és/vay meerősíheő, lérehozhaó, íy az alkalmazo SIMP alorimus a eljes szerkezere nézve opolóiai opimálás véez.

31 - 9 - Az alkalmazo feléelrendszer: A szerkeze viselkedésének leírásához eyenlőséi és eyenlőlenséi feléeleke foalmazunk me. A SIMP eljárás eyenlőséi feléelkén a szerkeze eyensúlyá leíró állapoeyenlee használja. Az eyenlőlenséi feléelek:. a ervezési válozók alsó és felső korlájai, valamin. a szerkeze eészé leíró eyéb jellemzőnek, pl. az enedékenysének a felada mefoalmazásáól füő felső korláai. A célfüvény: Az eredei SIMP alorimus célfüvénye csak ey jellemzőnek, a minimális súlyra való ervezésnek büneőfüvényes mefoalmazásá aralmazza. A célfüvény a ervezési válozó (a kereszmeszei vasasá) érvényesséi arományában folyonos és deriválhaó Alorimus és proram árcsaszerkezeek opolóiai opimálásához n véeselemből álló alapelemek alkalmazásával A proram alapjá a 3.3. ponban bemuao alorimus adja, mely alkalmas bármilyen alakú, néyze alapelemekből kirakhaó árcsaszerkeze véeselemes hálójának előállíására eszőlees, n számú, 4 csomóponos véeseleme használva alapelemenkén, [], [3], [6]. Az o bemuao proramhoz képes a lejelenősebb elérés az, hoy mos a árcsaelemeknek eysényiől elérő vasasáuk van, és ez a vasasá az ieráció során sokszor válozha. Az opimálás alorimusa a 3.7. ponban alálhaó Adaok árolása Az 3.7. ponban bemuao ieráció vérehajásához öbb ada árolása és nyomon köveése szüksées, min 3.3-ban vol, ezér az ADATMÁTRIX és annak aralma módosíásra kerül, [. ábra]. A ábláza sorainak száma mos is eyenlő az alapelemek számával, ESzam. A csomóponok meadásához eleendő alapelemekén a bal oldali kezdő csomóponok sorszámá meadni. Ez összesen n + adao jelen. (Az alapelemekben, e csomóponoka köveő n csomópon sorszáma és ez alapján a merevséi márixban elfolal helye számíhaó.) Ebben a áblázaban adjuk me ovábbá az eyes alapelemek kezdei vasasáá, is előző, valamin a későbbi ierációs számíás során mehaározo új vasasái érékeke, új. Induláskor ezek éréke ey. További ké oszlop aralmazza az, hoy a vasasái érékek alapján az alapelem az opimálási ieráció során akív-e (A) vay passzív (P), valamin, hoy az előző ierációban

32 - 3 - akív vay passzív vol e, AP új, AP előző. Az uolsó oszlopban az alapelemre számío poenciális eneria érékének készerese (alkalmazkodási ényező éréke) szerepel az akuális elemvasasá néyzeével új -el szorozva, n + 6 oszlopo iényel. C új, ld.: 3.6. és (87). A ábláza íy mindösszesen C új n + csomópon száma új előző AP új AP előző 8 9 A A 3 A A : : : : : : : : ESzam A A. ábra Az alapelemek adamárixa n= eseén, kezdei érékekkel kieészíve az opimálás köveéséhez szüksées ényezőkkel Az enedékenysé számíása A proramban az enedékenysé számíása az 3.7. fejezeben és a 3.3.-hoz kapcsolódó..7. mellékleben leíraknak mefelelően, alapelemenkén örénik. Az ieráció során az alapelemek C új enedékenyséé összeezni kell a eljes szerkezere, valamin különböző összefüések részekén csak az akív, és csak a passzív elemekre is (ld fejeze). A korábbi 4.3. fejezeben az ahhoz kapcsolódó.4. mellékleben lévő eredményekkel való összehasonlíás mekönnyíéséhez szüksées lehe a poenciális eneria számíása is. E feladaok vérehajására ey eljárás íram, mely az összezés ípusának meadása alapján vérehajja a szüksées váloaásoka és módosíásoka: ESzam ESzam enedékenysé a eljes szerkezere: R = újc, ESzam újc a poenciális eneria a eljes szerkezere: Π = enedékenyséek haványa csak az akív elemekre: ( újc ) i= i= i= A új, + p,

33 - 3 - enedékenyséek csak a passzív elemekre: P Válozások köveése, ciklusvezérlés újc. Az opimáló ciklus vezérléséhez három, az adamárix adaai alapján dolozó, válozásoka köveő, loikai füvény íram: Az első füvény az akív elemek meléé vizsálja: ha van akív elem, az éréke iaz, ha nincsen, akkor hamis. Ld.: 3.7. A második füvény az vizsálja, hoy van-e olyan alapelem, mely akívból passzívvá, vay fordíva, passzívból akívvá vál. Ha van ilyen, akkor a füvény éréke iaz, ha nincsen, akkor hamis. Ld.: 3.7. Véül a harmadik füvény az alapelemek vasasáának válozásá vizsálja. Ha van olyan méreválozás ( új - előző ) mely nayobb, min az enedélyeze lekisebb lépésköz 34, Δ = 3, akkor éréke iaz, ha nincsen, akkor hamis. Ld.: 3.7. A három füvény mindeyike minden új opolóia mehaározásakor kiérékelésre kerül (3.7.) Adaok fiyelése, menése A proram leheősée ad az ieráció meneé, haásá szabályozó ún. vezérlőparaméerek, valamin számíások során a válozó mennyiséek folyamaos mefiyelésére, a mefiyelések szövees menésére (.x fájlba). A proram fuása során folyamaosan kiírásra kerül a p büneősúly éréke, valamin az akuális éréken elvéze ierációk száma (az, hoy az akuális p érékkel az alorimus hányszor számol új vasasáo). Leheősé van a. ábra ábláza válozó részének, az n+ n+6. oszlop aralmának folyamaos képernyőre, vay fájlba való, az alapelemek száma szerin sorszámozo kiírására is, (ESzam). Az opimálás befejezése uán a proram a kövekező mennyiséeke haározza me és írja ki (képernyőre és fájlba is): o a számíási idő (másodpercben), új 34 Sep Size Parameer - anolul

34 - 3 - o az ierációk számá, o elíesée: V f = ESzam új i= ESzam i= = ESzam új i=, és ESzam o az enedékenysé kihasználsáá: C f A proram álal mehaározo opimális opolóia szinén archiválásra kerül, a kövekező adaok leírásával: o a lehesées alapelemek sorainak és oszlopainak a száma (isor, ioszl), valamin a ényleesen léező alapelemek száma (ESzam), o a kere nélküli alapmárix aralma rendeze formában, valamin o az alapelemek véső vasasáa ( új ). Ez az archívum bizosíja az adaáadás az eredmény rafikus mejeleníésé véző alorimusnak (3.. fejeze). 3.. Alorimus és proram az opimálás eredményeinek rafikus mejeleníéséhez A rafikus mejeleníés szoláló proram ö fő részből evődik össze:. az ábrázolandó opolóia adaainak beolvasása,. a rajz méreének mehaározása és a képernyő közepére pozicionálása, 3. színskála alkalmazása az alapelemek vasasáának szimbolikus jellemzéséhez, 4. az ábra merajzolása, és véül. a rafikus ábra archiválása, menése A kép méreének mehaározása Az ábrázolandó opolóia kedvező mejeleníéséhez ey arányszámo kell mehaározni, mely memuaja, hoy ey alapelem a képernyőn hány pixeles naysában jelenik me. Ezen arányszám mehaározásánál fiyelembe kell venni a képernyő feloszásá, melynek álalában jellemzője, hoy beállíásfüő és a képponok sorainak száma kevesebb, min az oszlopainak a száma (fekvő élalap), valamin az alapelemek sorainak és oszlopainak számá. A képernyő és az ábrázolandó objekum mefelelő adaaiból képze hányadosok eész részei adják a vizsálandó arányszámoka. Mivel kuaási feladaaimnak a bonyolul rafikus műveleek (min pl. ükrözés, foraás) vérehajásá szoláló alorimusok mealkoása nem része, vayis az eredmény abban a pozícióban ábrázolom, ahoy az, az opimáló alorimusban sze- = ESzam i= C R.

35 repel 3, a kapo arányszámok közül a kisebbe kell a kicsinyíés vay nayíás mérékének meadásához felhasználni. Az arányszám ismereében a kép középre pozicionálása a képkoordináa-rendszer oriójának elolásával örénik Rajzolás, színskála Az ábra elkészíése képponokkén örénik. A pozicionálás a beolvaso alapmárix és a számío mérearány alapján, a kiölés színének meadása a beolvaso elemvasasáok alapján, ey kék-fehér színskálán örénik,. ábra. szín RGB aromány ff,9 új ff,8 új <, ff,7 új <, ff,6 új <, ff, új <, 6 aaaaff,4 új <, ccccff,3 új <, 4 eeeeff, új <, 3 F6f6ff, új <, ffffff új <,. ábra Színskála RGB kóddal Az alapelemek kiölése uán fekee vonallal a befolaló élalap körvonala is merajzolásra kerül (... füelék). 3 Az opimálás (a merevséi márix méreének és kiölöséének alakulása) szemponjából az álló élalap, mí az ábrázolás szemponjából a fekvő élalap a kedvezőbb szerkezei forma.

36 A SZERKEZETI TOPOLÓGIA KIALAKÍTÁSAKOR ALKALMAZOTT EGYSZERŰSÍTÉSEK, KÖZELÍTÉSEK SÚLYBEFOLYÁSOLÓ HATÁSA Ebben a fejezeben a fekee-fehér, síkban néyzeelemekkel, érben kockaelemekkel lérehozhaó különböző minázaoka, kiemelen a sarokponi kapcsolaokkal kialakíhaó minázaoka, min pl. sakkáblamina, diaonális elemláncola vizsálom. Célom memuani az alapelemenkén n néycsomóponos véeselem használaának haásai, kövekezményei. A 4.. pon a hibás elemminázaok kialakulásra és veszélyeire hívja fel a fiyelme, a minázaokban lévő elemeke anulmányozza. Néy alapelemből álló ISE opolóiák vizsálaá a 4.. pon aralmazza. Ennek eredményei felhasználva a 4.3. ponban a diaonális elemláncola kialakulásá vizsálom n alapelemből álló árcsaszerkeze eseén. A 4.4. pon a érbeli elemek vizsálaá aralmazza. Véül a 4. fejezeben bemuao eredmények összefolalásá adom. 4.. Hibás alapelem-minázaok 4... A sakkáblamina A sakkáblaminá, síkban, a elíe alapelemeknek azon elrendezése adja, amikor minden elem mind a néy sarokponján á ey-ey másik, uyancsak elíe alapelemhez csalakozik, de csupán álósan, oldalaik nem alálkoznak. Példakén ey olyan szerkezee válaszva, mely eljes eészében sakkáblaminá aralmaz és melynek peremfeléelei ey véelen rácson ismélődnek, eleendő ey néyszöeleme fiyelembe venni csomóponi meámaszásokkal és elmozdulásokkal, 3. ábra. Δ y = = Δ y Δ y = = Δ y 36 Δ x = Δ x = Δ x = Δ x = ábra Ey sakkábla-minában elhelyezkedő, mindké irányban nyomo (Ny-Ny), ill. az eyik irányban húzásnak a másik irányban nyomásnak kie (H-Ny) alapelem modellje, [] Sakkáblaminázaban lévő alapelemek eneriacsökkenése A 4. ábra bizonyíja, hoy már az alapelemenkén x véeselem (9 csomópon) használaa is jelenős eneriacsökkenés eredményez.

37 - 3 -,6,4, Ny.-Ny. v=.3 Ny.-Ny. v= Poenciális eneria,8,6 H.-Ny. v=.3 H.-Ny. v=,4, Csomóponszám ábra Sakkáblaminázaban lévő alapelem eneriacsökkenése a csomóponszám füvényében Részleesebben a Füelék fejezeeiben, [],[3] Az elemláncolaok Az elemláncolao a elíe síkbeli alapelemeknek azon elrendezése adja, amikor minden láncolao alkoó elem ké sarokponjával csalakozik ey-ey másik, uyancsak elíe alapelemhez, de csak álósan, oldalaik nem alálkoznak. Az eredményekben mejelenő elemláncolaok névlees opimumai a vizsál alapelem rácsozanak. Ien azdasáalanok, mer nyomásnak nem udnak ellenállni (sabiliási probléma), feszülsécsúcsok alakulnak ki a sarokponokban, felelős az alakzaokban bekövekező orzulásokér. Az elemláncolaok kialakulásá áló mérekorláok alkalmazása jelenős súlynövekedés okoz. Ey, az alakza formájá közvelenül nem befolyásoló (kieészíő mellékfeléelekkel nem módosío) opolóia opimálási folyamaban kialakuló elemláncolaok jellemzője, hoy az elemláncolaok eyenesek a kezdeüke és véüke jelenő meszésponok közö, álalában 4 -ak. E ulajdonsáuk oka, hoy a nem-eyenes láncolaok (pl.. ábra) erhelésre nem lehenek eyensúlyban, az ey elem széles láncolaok csak kevés irányulsáal rendelkezhenek: az eyes láncolaok meredeksée fü a sarokponi kapcsolaok közö elhelyezkedő oldalukon kapcso-

38 lódó elemek számáól, azaz a láncolao alkoó rudak hosszáól s ez komoly eomeriai köösée jelen, ld.. ábra. α = α = 4 α = α = 6. 6 α = α = α = α = sb.. ábra Elemláncola Az elemláncolaok, ey speciális eseben, lehenek hasznosak is: az opimálás befejezése uán, uómunkakén, lecserélhejük őke sima eyenes rudakra, lérehozván ey öbbféle elemípus is aralmazó szerkezee, [3]. A lekönnyebb szerkezee adó diaonális elemláncola Az ado alapelemháló eseén, a lekisebb súlyra való ervezés során, a mejelenő numerikus anomália haására eredményül yakran diaonális elemláncolao(ka) kapunk. Példakén ekinsünk ey derékszöű árcsaszerkezee, melynek szélessée, maassáa eysényi oldalhosszúsáú néyze alapelemből áll. Felül csuklósan füesze. Alul közponosan eysényi (elmozdulás)eher erheli. 6. ábra A levékonyabb meoldás ado elemháló eseén és a benne szereplő alapelem jellezees modellje Az elemek vasasáa, vay. A rualmassái modulus és a sűrűsée eysényinek ekinjük. Az íy definiál példa ey opolóia opimálási alapfelada, melynek kérudas (kéenelyvonalas) meoldása ismer [4]. E meoldás mefelelően nay elmozdulási vay enedékenyséi korlá (3.. fejeze) meadása eseén diaonális elemláncola kialakulásához veze (6. ábra). E lekönnyebb szerkezeből bármely nem-üres alapelem elávolíása olyan

39 me nem enedheő meoldásra veze, melynek elmozdulási és enedékenyséi érékei véelenek, [3]. Az íy lérehozo elemláncolanak eleendő ey ipikus elemé fiyelembe venni mefelelő erheléssel és meámaszással (6. ábra). Ez alól kivéel a ké alsó elem, melyeknél a peremfeléelek mások (7. ábra). 7. ábra Diaonális elemláncolaoka összefoó, kapcsolódó elemek modellje Várhaó, ill. beláhaó, hoy diaonális láncola(ok) mejelenése ey ponos, alapelemenkén öbb véeseleme, vay maasabb közelíésű véeseleme használó számíás melle is meörénhe. Beláhaó uyanakkor az is, hoy bemuao meoldás csupán a felállío feladaban és rözíe alapelemháló eseén a lekönnyebb meoldás (6. ábra). Ha finomíjuk az alapelem-feloszás és előállíjuk az ahhoz arozó lekönnyebb meoldás, mely hasonló alakú, de öbb kisebb méreű alapeleme aralmaz, ey másik uyancsak opimális meoldáshoz juunk. Vayis a kapo meoldások csak névleesen opimálisak 36, [3]. Elemláncola ey elemének eneriacsökkenése maasabb felbonás eseén y x = n n = Δ y y x = n n Csp x = ( n + ) = Δ y = Δ x = Δ x = n n = n n Csp y = ( n + ) a, b, 8. ábra Elemláncolaban lévő alapelem a, n néycsomóponos- és b, k csomóponos véeselemmel 36 Ponos számíással iazol ovábbá (Gáspár Zs. [3]), hoy az enedékenysé (elmozdulás) éréke mind az elemláncola, mind a sakkáblamina eseében véelen nay. Ez az jeleni, hoy opimáláskor az enedékenyséi feléel (3.. fejeze) sérül és emia a kapo meoldás csak névlees opimuma az ado alapelemvéeselem hálónak.

40 Azonos csomóponszámú feloszás lérehozva, alapelemenkén n véeselemmel és alapelemenkén ey maasabb k = ( n +) fokszámú véeselemmel (8. ábra), az eneriacsökkenés méréke összehasonlíhaó, [3].,,4,4 n elem: v=.3 n elem: v= Poenciális eneria,3,3, k csomópon: v=.3 k csomópon: v=,,, Csomóponszám 9. ábra Elemláncolaban lévő alapelemek eneriacsökkenése a csomóponszám füvényében Az eredmények alapján láhaó, hoy a = ( n + ) k csomóponal rendelkező maasabb fokszámú véeselem használaával elér eneriacsökkenés nayobb, min az uyanolyan csomóponszámú n eyszerű, néycsomóponos véeselem használaa eseén. Uyanekkor az eredei eneriaérékhez képes mindké felbonás jelenős eneriacsökkenés eredményez. Az összehasonlíásban szereplő örbék alakja hasonló, csökkenő jelleű (9. ábra) Az eredmények összezése A diarammokból jól lászik, hoy ey alapelemnek már a lekisebb felbonása is - x vées elem, vay 3x3 csomópon - jelenős eneriacsökkenés eredményez. Az eredményeke összehasonlíva kimuaam, hoy elemláncola alapelemének eseén ey ( + ) x( n + ) n csomóponos elem sokkal nayobb eneriacsökkenés ad, min n n néycsomóponos elem, 9. ábra (részleesebb ábrák a Füelék.3. és.3.6 fejezeeiben), [3]. Az eneriacsökkenéseke fiyelve láhaó, hoy ado elmozduláskorlá eseén (3.. fejeze) ey ado felbonásra nayobb súlycsökkenés érheünk el, alapelemenkén öbb, vay maasabb fokú véeseleme használva. Beláhaó az is, hoy bármekkora felbonás és bármekkora alapháló alkalmazunk is, a szerkeze fizikai, mechanikai szerepe mia lekönnyebb szerkezekén véül a diaonális elemlácola(ok) mindi memaradha(nak). Mindezek iazolják, hoy a láncolaoka nem az alapelemek véeselemes felbonásának durvasáa és nem az alapelemháló durvasáa okozza, [3].

41 Néy alapelemből álló ISE opolóiák vizsálaa Ebben a fejezeben a néy, eysényi oldalhosszúsáú, néyze alakú alapelemből álló, síkfeszülséi állapoban lévő árcsa minázaok poenciális eneriájának és enedékenyséének alakulásá muaom be az alakza (diszkré elemes, - elrendezés) ípusának és az alapelemek n véeselemes felbonásának füvényében, []. Δ x = Δ y =. ábra 4 elemű alapszerkeze az elmozduláseherrel A árcsa eljes enedékenysée C, alakválozási eneriája Π, érfoaa V és a rá jellemző ömearány, a elíesé f. A érfoaszámíás az eysényi vasasáú léező elemekre, a vasasá kiemelheősée mia, erüleszámíással helyeesíhejük. A elíesé a nem üres alapelemek erüleének összee oszva a szerkeze eljes erüleével. Az eredményeke a opolóia opimálás céljakén vay korlájakén mefoalmazo összefüések (min vay max) füvényében muaom be. A kövekező felevéseke eem: A vizsál alakzaok kialakíásánál fonos szerepe van annak, hoy ey néy alapelemből álló néyze alakú rendszer lehesées meoldásai, opimális opolóiái leyenek, (. ábra), melyben a minázao az elemek eyedi elíesée haározza me: ha az ado helyen van elem, akkor annak elíesée (fekee), ha nincsen, akkor annak elíesée zérus (fehér). Az elemek elíeséé a árcsarészek vasasáával helyeesíeem. Az alkalmazo rualmassái modulus naysáa eysényi, E =. Az alakzaok a bal szélen, füőlees vonal menén meado befoással vannak meámaszva. A erhelés a jobb alsó sarokponban elmozduláseher formájában, Δ x = és Δ y = ado. Az alakzaok számíásá kéféle Poisson-ényezővel is elvéezem: ν = és ν =, 3 (3.3. fejeze). A kapo eredményeke számszerűen áblázaos formában poenciális eneriára és a füelék.4. ponjában enedékenysére is bemuaom. A rafikonokban a poenciális eneria érékeke ábrázolam. Az enedékenysée bemuaó áblázaok kiemel részei jelenek me []-ben.

42 Alakzaok és azok elíesée A lehesées alakzaok mehaározásá kombinaorikus kereséssel, a eljes fekee-fehér mináza mehaározásával oldoam me. A nem alkalmas meoldásoka kizáram (3. Tábláza), []. A lejobb, opolóiaila opimális meoldás eyszerű összehasonlíással keresem me. Sorszám 3 4 Alakzaok meámaszásokkal és az elmozduláserhek irányaival Mináza Telíesé (f),,,7,7 3. Tábláza A lehesées opolóiák néy alapelemre, [] Az. mina ey eyszerű sakkáblamina, nay diszkreizációs hibával, ha ey 4 csomóponos véeseleme alkalmazunk alapelemenkén. E mia a feni mináka = néycsomóponos véeselemes felbonási vizsálam alapelemenkén. A vées elemes közelíés az üres elemeke nem aralmazza Eneriavizsála Noha az i bemuaandó vizsálaban az opimálás ierációs alorimusá ényleesen mé nem hajom vére, a vizsál alakzaoka csupán lehesées meoldásokkén ekinem, a különböző modellek eredményei célszerű az opimálás szemszöéből is mevizsálni. A szerkezee jellemző poenciális, vay elmozdulási eneria alakulásának vizsálaához az összefüéseke a opolóiai opimálás feladaának célfüvénye(i) és feléelei aralmazzák. Az opimálás lehesées módjai az eneria érékének fiyelembevéelével: a. az alakválozási eneria szélsőérék-éele alapján, válozahaó, de eyséessé e (fekee v fehér) árcsavasasáok használaával: Π = min! miközben V VH, ahol V H ey ado ömehaár, vay b. a érfoa, illeve a öme minimálása válozahaó, de eyséessé e (fekee v fehér) árcsavasasáok használaával: V = min!, miközben Π ΠH vay Π ΠH, ahol Π H ey ado eneriakorlá, vay

43 - 4 - Π c. szélsőérék-kereséssel az eneria és a elíesé hányadosára: = min! vay f válozahaó, de eyséessé e (fekee v fehér) árcsavasasáok használaával. Π f = max!,,4,4,4,39 - f=, \,3 Poenciális eneria,3,,,,77,8,6,3,9,7,9,68,9,6,9,7,4,7,36,78,8,7,7,3,69,,8 - f=, f=,7 L 4 - f=,7 - f=, x x 3x3 4x4 x Vées elemek alapelemenkén. ábra Az eneria érékek válozása alakzaonkén, v=,4,4,4,396 - f=, \,3 Poenciális eneria,3,,,,7,64,,3,93,,88,66,87,6,9,6,39,68,36,76,4,6,,3,67,47,8 - f=, f=,7 L 4 - f=,7 - f=, x x 3x3 4x4 x Vées elemek alapelemenkén. ábra Az eneria érékek válozása alakzaonkén, v=,3 A feni három mefoalmazás melle, a diszkreizációs hiba méréséhez érdemes mé a véeselemes felbonás válozaásának haásá is fiyelni a kövekező arányszám seíséével: ( ) ( ) Π Π f =, []. Π

44 - 4 - Az alakzaok eneriaválozásá bemuaó diaramokból láni (. ábra és. ábra), hoy a különböző alakzaok különböző eneriaszine képviselnek, valamin az, hoy az alapelemeke leíró véeselemek számának növelésével jelenős (4%) eneriacsökkenés érheő el. Hasonló endenciá mua az eneria és a ömearány hányadosá bemuaó 4. ábláza is. ν nxn П/f minázaonkén 3 4 x,,4,7,373,4 x,336,434,39,6,3 3x3,8,384,34,6,9 4x4,4,36,34,,7 x,36,337,97,,7 ν,3 nxn П /f minázaonkén 3 4 x,,44,8,3,4 x,33,49,39,,3 3x3,79,379,34,,87 4x4,,3,3,,68 x,3,333,98,96, 4. Tábláza A poenciális eneria és a elíesé hányadosának alakulása A diszkreizációs hiba valamennyi felbonás eseén számoevően válozik. A válozás méréke a sakkáblamina (. mináza) eseén a lenayobb,. ábláza Sorrendek ν П (x)/ П (x) minázaonkén 3 4,7,643,773,87,6,3,67,63,773,79,6. Tábláza A lekisebb és a lenayobb felbonás eneriájának aránya Min az a 4... és a.4. fejezeekben memuaam, a opolóia opimálás célja öbbféle lehe. A 6. áblázaban mos az muaom me, hoy az e célok mefoalmazásához felhasznál mennyiséek (3. ábláza) hoyan rendezik sorba a vizsál alakzaoka. A ábláza alapján láhaó, hoy a különböző mefoalmazások szerin az eyes alakzaok elérő érékszine képviselnek, eyazon alkaza más-más helye folal el a sorban. Láhaó az is, hoy az alapelemek véeselemekre bonásával elér eneriacsökkenés a szélsőérékek helyén lévő alakzaoka helyükön arja, mí a közes érékeken lévők sorrendjé meválozaja. Demonsrálja az is, hoy a diaonális elemláncola vay eleve kiemel (minimum, vay maximum) helyen van, vay az enriacsökkenés haására mozdul affelé.

45 Sorrend Min < < Max f = < = < П(x) < < < < П(x) < < < < П(x) f < < < < П(x) f < < < < П(x) П(x) < < < < 6. Tábláza Alakzaok sorba rendezése éréknaysá szerin, v= Az eredmények összezése A áblázaokból és a diarammokból jól lászik, hoy az alapelemek lekisebb felbonása x vées elem is jelenős eneriacsökkenés eredményez, valamin az, hoy a csökkenés jelleé a Poisson-ényező éréke számoevően nem befolyásolja. A fejezeben bemuao sorrendezés haásosan szemlélei, hoy az eneriára és/vay a elíesére ado különböző feladamefoalmazások minimum vay maximumkeresés eseén mennyire más eredményre/alakzara vezehenek, ovábbá, hoy a felbonás növelése sorrend/alakza-válozás eredményezhe Diaonális elemláncola n alapelemből álló árcsaszerkeze eseén Analiikus meoldás Tekinsük újra a. ábrában bemuao néyze alakú szerkezee, de az alapelemek számá válozassuk n inervallumban. Koncenrál eher eseén a felada meoldása, min 4 -os rúd ismer (3. ábra).

46 n db n db n db 3. ábra A leismerebb Michell-féle arószerkeze n = 4 eseén 4.. alapján beláhajuk, hoy a lekönnyebb szerkezee adó meoldás ey diaonális elemláncola, mely éppen n elemből áll. Eysényi oldalhosszúsáú alapelemek és fekeefehér mináza használaakor a elíesé számíása elemszámolássá eyszerűsödik: (9) f ( n) = dbeli n db = n = n. összes A elíesé éréke n = eseén f =, és n = eseén () alapján f =. Eyéb, álalános eseben a elíesé () alapján számolhaó. Telíe árcsa eseén f =, eyébkén f <. lim = () f ( n) n. db dbeli =. db n eli () f ( n) = összes Eyszerű összefüések alapján kiszámolhaó, hoy a feni szerkeze enedékenysée C =, [] Numerikus meoldás Numerikus meoldással pl. n = alapelemhez = néycsomóponos véeseleme használva C =, 9, és az n = alapelemből álló diaonális elemláncolara alapelemenkén = néycsomóponos véeseleme használva C =, 7 adódik. Ezek az eredmények demonsrálják, de nem bizonyíják az, hoy az opimális ömearány numerikus számíások eseében is ar zérushoz ( f ), [] Térbeli alakzaok vizsálaa A vées elemes feloszás növelésének haására bekövekező poenciális eneria válozás vizsálaá érbeli, kocka-alapelemekre is elvéezem, ld. Füelék.3.3. és.3.4. fejeze-

47 - 4 - ei. A bemuao példák a érbeli sakkáblamina ké lehesées erhelési eseé modellezik. A számíások eredményei iazolják az eneriacsökkenés bekövekezésé. 4.. Összefolalás, kövekezeések Ismer véeselem-modellek felhasználásával alorimus és proramo készíeem eszőlees csomóponokon állandó erőkkel erhel, álalános elrendezésű és meámaszású néyzeelemekből felépíheő árcsák saikai számíására: a. n 4 csomóponos véeselemből álló alapelemek ( n =,,... ), valamin b. k ponos elemek felhasználásával ( =,,... k ). Továbbá alorimus és proramo készíeem eyszerű elrendezésű és meámaszású kockaelemekből felépíheő érbeli szerkezeek saikai számíására: c. 3 n 8 csomóponos véeselemből álló kocka-alapelem felhasználásával ( =,,... n ). E proramok felhasználásával kimuaam, hoy n ill. k növelésével előír ámaszelmozdulás eseén az alakválozási eneria (és az enedékenysé) minden eseben draszikusan csökken.. Síkbeli szerkezeek vizsálaával memuaam, iazolam, hoy az a n elemből álló alapelemek használaa az eneriacsökkenés (és az enedékenysé csökkenésének) eléréséhez uyanúy alkalmas módszer, min a k ponos elemek használaa, k ponos elemek használaa uyanakkor haékonyabb (nayobb eneriacsökkenés eredményez), min az n elemből álló alapelemek használaa. Tudjuk, hoy bármekkora felbonás és bármekkora alapháló alkalmazunk is, a szerkeze fizikai, eherviselő szerepe mia lekönnyebb szerkezekén véül a diaonális elemláncola(ok) mindi memaradha(nak). A feni eredményekkel iazolam, hoy a láncolaoka nem az alapelemek véeselemes felbonásának durvasáa és nem az alapelemháló durvasáa okozza.. Térbeli szerkezeek vizsálaával memuaam, iazolam, hoy az 3 n elemből álló alapelemek használaa uyancsak alkalmas módszer az eneriacsökkenés (és az enedékenysé csökkenésének) eléréséhez. Ey 4 alapelemből álló árcsaszerkezee modellezve memuaam, hoy az eneriára és/vay a elíesére ado különböző feladamefoalmazások minimum- vay maximumkeresés eseén mennyire más, esele félrevezeő eredményeke adhanak, ovábbá, hoy a felbonás növelésével járó eneriacsökkenés az eredményeke befolyásolja.

48 TETSZŐLEGES ALAKÚ, TERHELÉSŰ ÉS MEGTÁMASZTÁSÚ TÁRCSASZERKEZETEK TOPOLÓGIAI OPTIMÁLÁSA (EXTENDED-SIMP) Ebben a fejezeben ey olyan számíóépes proram alkalmazásá muaom be, mely alkalmas mind az alacsony, mind a maas felbonású opolóiák számíására eyelen enedékenyséi korlá alkalmazása melle. Célom memuani az alapelemenkén n néycsomóponos véeselem használaának haásai, kövekezményei. Az irodalomból ismer SIMP eljáráson alapuló [9] proram felépíésé, a felada maemaikai mefoalmazásá a 3.6. ponban a közölem. (E levezeés adja az 3.7. ponban bemuao ieráció meneé, majd az 3.9. ponban bemuao vées elemes proram alorimusá. Az 3.8. pon az eljárásnak a opolóia opimálás rendszerébe való besorolásá, beilleszésé adja. Az 3.. pon az opimálás eredményének rafikus mejeleníésé ismerei.) Az.. és.. ponokban, példák seíséével a 3.6. ponban bemuao alorimus ulajdonsáai, haékonysáá és eredményei, valamin az eredmények kezdei beállíásokól való füőséé szemléleem. Véül összefolalom az. fejezeben bemuaoaka... Néy alapelemből álló konzolaró opolóiai opimálása Ebben a fejezeben a 4.. ponban bemuao alapopolóia (. ábra) azonos feléelek melle örén numerikus opimálásának eredményei muaom be. Az opimum számíásá az 3.9. ponban bemuaásra kerül Exended-SIMP alorimussal véezem. ν nxn C/f minázaonkén 3 4 num.op. x,43,9,4,746,83. x,673,869,779,, x3,6,768,68,43,8.89 x,473,67,94,4, Tábláza Összehasonlíó ábláza a diszkré elemes és a folyonos válozás enedő opolóiai opimálás eredményeire A kapo érékeke összehasonlíva a viszál ISE opolóiák eredményeivel (. Tábláza), láhajuk, hoy numerikus opimálás eredményei maasabbak a diszkré számíás eredményeinél (7. Tábláza), uyanekkor az elemfeloszás növelésével lérejövő ~4%-os érékcsökkenés jól láhaóan jelen van.

49 Alkalmazások, a lehesées beállíás-füőséek vizsálaa Mé ey, az ado sarokponi kapcsolaok mejelenésé konroláló módszer alkalmazása melle is a meoldás erősen fühe az opimálás véző proram vezérlő paraméereinek beállíásáól (uninolás). A 3.9. fejezeben bemuao Exended-SIMP módszer eseében a lefőbb ilyen ényezők, [6],[8],[]: az alapelemek száma, az ey alapelemhez arozó véeselemek száma, az enedékenyséi korlá éréke, a büneősúly növekedésének méréke (lépésköze), a meenede lenayobb vasasá- (vay sűrűsé-) válozás, a szimmeria lehesées kihasználása, a szerkeze pozicionálása, a fekee-fehér elemeke adó véső módosíó alorimus alkalmazása. E ényezők adják a proram és a módszer meérendő jellezeesséei.... A Michell-féle konzolaróra kapo eredmények elemzése a mére és a véeselemszám füvényében ado enedékenysé melle A vizsálahoz felhasznál arószerkezee az irodalomból ismer formájában aduk me: a konzolaró alakja ey fekvő élalap, melynek hosszúsáa a maassá készerese; a aró bal oldalán a eljes maassáában befoo; a jobb oldalon ey közponosan elhelyeze koncenrál erő erheli (. ábra). A aró szimmerikus. A szimmeria feléelei bizosíva az alapelemek száma L/ maassá alkalmazásával elfelezheő. L/ L F F/ L L L L. ábra Konzolaró szimmeria feléelekkel Ezen a konzolarón a aró méreének (alapelemek száma), a véeselemes felbonásnak (véeselemek száma alapelemenkén) valamin az enedékenyséi korlá naysáának az opimálás eredményére való haásá vizsálam

50 - - növekvő alapelemszám, növekvő véeselemes feloszás és állandó enedékenysé melle, valamin állandó mére (ado alapelemszám és ado véeselemes felbonás, melyben ey alapelem ey véeselem is eyben) és növekvő enedékenyséi haár melle. A vizsála célja annak mehaározása, hoy mely alapelemszámhoz mely véeselemes felbonás célszerű használni ado enedékenyséi korlá melle. E kérdés öbb szemponból is fonos, hiszen a lejobb eredmény produkálása melle a proram fuásidejé jelenősen befolyásoló véeselemszám kölsémehaározó is eyben. Előnyös alapelemenkén kevés véeseleme használni (n=, ), mer: a proram rövid számíási idő iényel az opimum meadásához, pl. x véeselem meadása alapelemenkén már draszikusan csökkeni a aró enedékenyséé/eneria szinjé. Uyanekkor hárányos is, mer nayobb véeselemes felbonás nayobb eneriacsökkenés, könnyebb szerkezee eredményez. A nay (n=3, 4, ) felbonás használaa uyanekkor haványozoan növeli a számíás időaramá, kölséé, []. Alapelemek és véeselemek A mérefüősé vizsálaához, a szimmeria feléelei kihasználva, az alapelemek számá a maassá füvényében öös skála alapján adam me lépésben, []. A véeselemes felbonás szinén ö lépcsőben definiálam n=,,... A szerkeze eészének véeselemszáma a feloszás néyzees ( n ) füvénye (8. Tábláza). mére Feloszás (n) L/ x L 3 4 x x x x x x x x x x Tábláza Véeselemek számának növekedése az alapelemszám és a felbonás füvényében a aró szimmeriájának kihasználása melle Láhaó, hoy a véeselemek számának növekedésé muaó ábláza szimmerikus (a áblázaban a főáló sárával jelölem). A fuaási idők ismereében (. Tábláza) láhaóvá vál, hoy nay alapelemszám és nay véeselemes feloszás alkalmazása annyira nay szá-

51 míási idő enerál, hoy ey bizonyos pon uán (szubjekív dönés) nem éri me alkalmazni (a áblázaban rózsaszínnel jelölem). Íy a eljessé vée a ovábbiakban csak a felső (vonallal leválaszo), szimmerikus rész eredményei muaom be. A. ábra a 8. Tábláza elemeinek ábrázolása, melyben a színek/jelölések a ábláza ey ado oszlopá jelenik. Ez a jelölésrendszer alkalmazom a ovábbiakban. véeselemek száma n= n= n=3 n=4 n= L/. ábra Véeselemek számának növekedése az alapelemszám és a felbonás füvényében Az opimális szerkezei forma jellezeesséei A Michell-féle konzolaró ezak meoldása három jellezees erülei részre bonhaó:. melyben nincsenek elemek (üres, fehér erüle),. ey belső részre, melyben eymás mesző elemek zavaros rendszere alakul ki, 3. és ey olyan halmaz, melyben minden elem a maximális vasasáon van (fekee, elíe rész) (6. ábra), []. Az opimálás kapo eredményei ez az elve köveik a kövekező kieészíésekkel: Alacsony enedékenyséi korlá alkalmazása melle a elíe elemek száma (3. sz. erülerész) nay, különösen a meámaszás irányában. A. sz. erülerész viszonyla kicsi a eher felöli oldalon és hajlamos a sakkáblamina viselésére (6. ábra, a). Növelve az enedékenyséi korlá éréké a forma meválozik: a 3. sz. erülerész elvékonyodik, vasaodás csak a ámasz közelében az alsó és felső övben fiyelheő me. A. sz. erülerész szélében menő és hajlamos a sakkábla mina viselésére (6. ábra, b). Az. sz. erülerész a ámasz melle szélesedhe. Maas éréke adva az enedékenyséi korlára az irodalomban is mealálhaó forma [7] adódik (6. ábra, c). Ekkor a 3. sz. erülerész vasasáa közel állandó (exra eseben elemsor), a. sz. erülerész ien nay és hézaos. Sakkáblamina helye annak eyik járulékos esee a diaonális elemláncolaok minázaa jeleneik me, jelenős üres részeke közrefova, [].

52 - - 3 P P 3 3 P a, b, c, 6. ábra A Michell-féle konzolaró karakeriszikája Az enedékenyséi korlá (C H ) éréké a aró kezdei enedékenyséének (C ) füvényében, annak nayío érékekén adjuk me: () CH = m C, ahol m >. Az e fejezeben bemuao példában az m muliplikáor éréké először kicsinek válaszoam me: m =,, majd a kövekezőben,-es lépésközzel m =, -i növelem. Az opimális meoldások enedékenysée ado enedékenyséi korlá eseén Az opimálási eljárás (Exended-SIMP) eredménye álalában nayrész fekee ill. fehér elemekből áll és aralmaz mé néhány ún. szürke eleme. Ekkor a aró enedékenysée (C op ) kicsivel alacsonyabb, min a meenede C H érék (7. ábra). 88, enedékenyséi érékek 87, 86, 8, 84, 83, 8, n= és Cop n= és Cop n=3 és Cop n=4 és Cop n= és Cop n= és.c n= és.c n=3 és.c n=4 és.c n= és.c 8, L/ 7. ábra Enedékenyséi érékek (Cop) és az enedékenyséi haár (,C ), [] A különbsé a ké érék közö ( C - C ) a véeselemszám növekedésével csökken (9. H op Tábláza). Nay elemszám használaa ehá jobb kihasználsáo eredményez. A kapo opimális alakzaokban fekee-fehér mináza melle mejelenő ún. szürke elemek száma ien kicsi. Vasasáuk sem a középszürke, hanem vay a viláos (majdnem fehér) vay söé (majdnem fekee) arományban van. Íy a proram véén ey eyszerű alorimussal a kövekező közelíés eük: azoka az elemeke, melyek a szürke arományban

53 - - vannak és <, kifehéríjük ( = ) ill. azoka melyekre, befekeíjük ( = ). Ez a művele az eredményarók enedékenyséé mebolyaja: az ekkor számío érék (FF) maasabb lesz, min az enedékenyséi haár (8. ábra). Az elérés a számío- és a haárenedékenysé közö az elemszám növelésével csökken, de nem eyenleesen. mére feloszás L/ x L 3 4 x 7,98 3,8,64,7 7,6 x 4 3,,7 6,3, 8,7 x 6,78 36,4 67,6,6 99,46 x 8 6,6,4 3,8 7,6 3, x 9,7 3,8 3,47 3,4 33,87 9. Tábláza Az enedékenyséi korlá (C H ) és a számío enedékenysé (C op ) különbséének alakulása 94, enedékenyséi érékek 9, 9, 88, 86, 84, n= és.c n= és.c n=3 és.c n=4 és.c n= és.c n= és FF n= és FF n=3 és FF n=4 és FF n= és FF 8, L/ 8. ábra A számío enedékenysé(ff) és az enedékenyséi haár (,C ), [] Eredmények bemuaása növekvő elemszám és alacsony enedékenyséi korlá eseén Az alacsonynak felve,c enedékenyséi korlá mia az i bemuao eredmények alakila a 6. ábra a. ponjában bemuaonak felelnek me. A. Táblázaban láhaó eredmények memuaják, hoy a. sz. erülerész szine eljesen sakkáblaminás, ha n= vay. Nayobb véeselemes feloszás alkalmazása eseén, a sakkáblamináza kierjedése csökken, vay meszűnik. A szimmeria kihasználása meöri a sakkáblaminá: a ükrözés mia a szimmeriaenely ké oldalán elhelyezkedő elemek a enely menén duplázzák a lyuk ill. az összeköőelem méreé (9. ábra).

54 ábra Sakkáblamina a szimmeriaenely menén MÉRET n 3 4 X 4X8 3X6 X4 X. Tábláza Eredményábrák yűjeménye,c-re A véeselemes feloszás növelése láhaóan haékonyabb nay alapelemszám alkalmazása melle (. Tábláza): kis alapelemszám eseén a feloszás növelése nem ad új eredmény, meisméli előző, kellően nay alapelemszám eseében az eredmények váloznak: a. sz. erülerész finomabban kimunkál, öbb, sokkal vékonyabb, a feszülséi rajekóriáka köveő eymás mesző vonal rendszeré muaja.

55 - 3 - A. Tábláza alapján a kövekező meállapíás ehejük: a főáló ill. a főáló felei elemek sokkal jobb kidolozosáo és sokkal nayobb sakkáblamina menessée muanak, min a főáló alai elemek. Tehá alacsony enedékenyséi korlá alkalmazása melle az alapelemek számának növelésekor a véeselemes feloszás is arányosan növelni kell, []. Eredmények állandó mére és növekvő enedékenyséi haár melle Ebben a példában a aró méreé x alapelemben aduk me. Íy az alapelemek száma összesen. A felbonás n=-re korláozuk (azaz ey alapelem ey véeselem is eyben). Íy az alapelemek száma meeyezik a véeselemek számával. Az enedékenyséi haár,c -ről,c -ra növelük. C H ÁBRA C H ÁBRA C H ÁBRA,C,6 C, C, C,7 C, C,3 C,8 C,3 C,4 C,9 C,4 C, C, C, C. Tábláza Eredményábrák yűjeménye növekvő C H -ra A kapo eredmények jól köveik a 6. ábra a, b és c ponjában bemuaoaka. Az ábrák sorozaából láhaó, hoy az enedékenyséi haár növelésével a kezdei állapoban vasa ámasz mellei 3. sz. erülerész elvékonyodik a. sz. javára és sakkáblaminázao vesz fel. Az,7C enedékenyséi korlá elérése uán a nay kierjedésű sakkáblaminák meszűnnek, helyeük nay üres részek és diaonális elemláncolaok jelennek me. Mefiyelheő ovábbá az a jelensé is, hoy a belső,. sz. erülerész jelenős árendeződésé ey, a aró eher felőli oldalán mejelenő nay üres rész kialakulása előzi me, [].

56 - 4 - A véeselemszám és a számíási idő közöi összefüések A Michell-féle konzolaró opimális alakjának mehaározásához szüksées számíási idő (T) a. Tábláza aralmazza, mely alapján meállapíhaó, hoy az alacsony alapelemszámmal és nay felbonással rendelkező aró (felső háromszö elemeinek) opimális alakjának mehaározása rövidebb idő ala zajlik, min az uyanolyan véeselemszámmal rendelkező nay alapelemszámú de kis felbonású arószerkeze (alsó háromszö elemeinek) opimálása. mére feloszás L/ x L 3 4 x,3,7,4,, x 4,,4 8,8,7 4, x 6 7,8, 64, 384, 987, x 8, 93, 688,9 74, 437, x 3, 39,8 66,6 6494,8 944,8. Tábláza Számíási idő (sec.) Az opimális alak mehaározásához szüksées ierációk számá a 3. Tábláza aralmazza. Az ierációk számának (ISzam) alakulása, maáól éreődően, a számíási idő alakulásával eyező ulajdonsáoka mua. mére feloszás L/ x L 3 4 x x x x x Tábláza Az ierációk száma (db) mére feloszás L/ x L 3 4 x,,,7,4,94 x 4,4,34,8, 3,6 x 6,4,9,9 6,3 6,943 x 8,33,43 6,3,7 6,876 x,76,963 6,449 6,6,87 A fajlaos számíási idő (4. Tábláza), 4. Tábláza Fajlaos számíási idő (3) T fajl = T ISzam épp fordíva, kis alapelemszám és nay felbonás alkalmazása eseén nayobb, min nay alapelemszám és kis felbonás alkalmazása eseében.

57 A Michell-féle biciklikerék jellemzőinek elemzése a mére és az enedékenysé füvényében alapelemenkén x véeselem alkalmazása melle A vizsálahoz felhasznál arószerkezee az irodalomból ismer formájában aduk me, [49]: a kéámaszú aró alakja fekvő élalap, melynek hosszúsáa (L) a maassá (L) készerese. A aró ey koncenrál erővel az alsó síkjában erhel (3. ábra). A aró szimmerikus. A füőlees szimmeria feléelei bizosíva az alapelemek száma L szélessé alkalmazásával felére csökkenheő. L F F/ L L L 3. ábra A Michell-féle kéámaszú aró szimmeria feléelekkel Erre a arószerkezere az enedékenysé érékének (C M ) a aró érfoaával (V M ) szorzo éréke ismer: () CMVM F L π =. E Ezen a arón a mére (alapelemek száma) és az enedékenyséi korlá válozásának haásá vizsálam állandó x-es felbonás melle. A aró elmélei L méreé öös skálán adam me 8 lépésben (L=,,,4). A számíásokban a énylees mére,lx,l, mely a ámaszok és a eher az eredei koncepció szerini elhelyezése melle leheősée ad ey minimális érfoa növekedésre is. Az enedékenyséi korlá éréké,-es lépésközzel,c -ról 3,C - ra növelem. Az i bemuao eredmények öbbséé a WCSMO6, [68] és a CC9, [] konferenciákon bemuauk. Az enedékenyséi érékek alakulása a növekvő alapelemszám füvényében Min az az előző fejezeben memuauk, az opimálás során háromféle enedékenysée különbözeünk me: a kezdei enedékenysée (C ), az enedékenyséi korláo (C H ) és a számío enedékenysée (C ill. az opimálás véén C op ).

58 - 6 - A kezdei enedékenysé éréke az alapelemek számának növekedésével eyü nő (3. ábra). Kezdei enedékenyséek Elemek száma 3. ábra Kezdei enedékenyséek (C ) Az enedékenyséi korláo a aró kezdei enedékenyséének füvényében adjuk me (). A számío enedékenysée az opimális alak mehaározása uán, az opimálás véző alorimus adja (lásd. FÜGGELÉK.7. fejeze). Mivel mindké érék a kezdei enedékenysé füvénye, az eredmények az elemszám növekedésével a kezdei enedékenyséel azonos módon növekednek. A.. fejezeben memuaam, hoy a számío enedékenysé a szürke elemeke is aralmazó opimális meoldás eseében alacsonyabb, min az enedékenyséi korlá, valamin, hoy a ké érék közöi különbsé alacsony enedékenyséi korláo alkalmazva kicsiny. A 3. ábra mos memuaja az is, hoy nay (pl. 3,C ) enedékenyséi korlá alkalmazása eseén ez a különbsé menő, és hoy a kevés alapeleme aralmazó arók eseében ien nay elérések is adódhanak.,c CC 6 3,C CC Enedékenyséek Enedékenyséek Elemek száma Elemek száma 3. ábra Enedékenyséi korlá és számío enedékenysé (CC) C=,C és C=3,C eseében Eredmények bemuaása növekvő elemszám és növekvő enedékenyséi korlá eseén A numerikus számíás eredményei (. Tábláza), az alapelemszám és az enedékenyséi korlá mefelelő párosíásakor, alakila mefelelnek a vár, irodalomból ismer opimális formának: kerék küllőkkel (. Tábláza ábrái sára háérrel jelölve). Alacsony elemszám eseében a sakkáblamina mejelenése yakori. Néhány eseben előfordul, hoy a maradvány

59 - 7 - szürke elemek elávolíása uán lebeő alapelemek ill. örö rudak kelekeznek (. Tábláza ábrái piros háérrel jelölve). L,C, C, C 3, C 3, C Tábláza A Michell-féle kerékárcsa eredményábráinak yűjeménye Mefiyelheő, hoy az enedékenyséi korlá növekedésével a suár irányú elemek (küllők) száma csökken, valamin az, hoy a szerkeze eészének ömörsée csökken, ld. mé... fejeze. Az alapelemszámhoz képes maas enedékenyséi korlá meválaszásakor az alakza belsőle rendezelen lesz, diaonális elemláncolaok jelennek me, melyek nem köveik a kíván formá. Gyakori, hoy a füőlees középvonalban, a szimmeriaenely menén ké párhuzamos oszlop, eymás mellei füőlees küllőpár alakul ki: 33. ábra A szimmeriaenely menén kialakuló keős oszlop minája

60 - 8 - Telíesé alakulása az elemszám füvényében Az eredményül kapo arószerkezeek érfoai elíeséé ( V ) az opimálás eredményéül kapo összérfoa ( V op ) és a kezdei eljes érfoa ( V ) hányadosával jellemezzük: f () Vop V f =. V E hányados éréke 37 V. A hányados éréké ké ényező befolyásolja: az alapelemek f száma, és az enedékenyséi korlá naysáa. Ado enedékenyséi korlá melle súlycsökkenés érheünk el az elemszám növelésével (34. ábra), valamin ado felbonás melle súlycsökkenés érheünk el az enedékenyséi haár érékének növelésével (3. ábra).,7 érfoa kihasználsáa,6,,4,3,, L.C.C.C 3.C 3.C 34. ábra A elíesé válozása ado haárenedékenysé és növekvő elemszám eseén érfoa kihasználsá,6,,,4,4,3,3,,,,.c.c.c 3.C 3.C enedékenyséi haár ábra A elíesé válozása ado mére és növekvő enedékenyséi korlá eseén Az ábrák alapján ill. azok valamely részének, pl. a 34. ábra ké örbéjének kinayíásával láhaó, hoy a csökkenés méréke nem monoon (36. ábra). 37 Zéró éréke akkor vehe fel, ha a erhelés és a meámaszások úy helyezkednek el, hoy eherviselő elemekre nincsen szüksé. A maximális éréke pedi akkor, ha a aró eherviselő képessée maximálisan kihasznál, könnyíésére nincs leheősé.

61 - 9 - Térfoa / ömearány,6,8,6,4,,,,46,44,4 Elemek száma Térfoa / ömearány,4,3,3,,,, Elemek száma a, C=,C b, C=3,C 36. ábra A elíesé alakulása az elemszám füvényében (nayío ábrák) Az enedékenyséi korlá kihasználsáa az elemszám füvényében ( f Az eredményül kapo arószerkezeek meenede enedékenyséének kihasználsáá C ) az opimálás eredményéül kapo enedékenysé ( C op ) és a kezdei enedékenysé ( C ) hányadosával jellemezzük: (6) Cop C f =. C E hányados éréke ermészeénél fova C f m, ahol m az enedékenyséi korlá konsans eyühaója (). Mivel az opimálás véző eljárás ermészeénél fova az enedélyeze haárérékek maximális meközelíésére örekszik, C f éréke közel m. Íy C f - rafikusan ábrázolva közel eyenes vonalaka kapunk. A szürke elemek fekee-fehérré alakíásá véző eljárás a kihasználsáo C f m -ra módosíhaja (lásd... Fejeze). enedékenysé kihasználsáa 4 3, 3,, C.C.C 3.C 3.C enedékenysé kihasználsáa 4 3, 3,,.C.C.C 3.C 3.C L C 37. ábra Az enedékenysé kihasználsáa A haékonysá vizsálaa A kuaás e részének célja, ey mebízhaó és számmal mérheő jellemzőnek mehaározása, mely alkalmas a haékonysának, a konverencia meléének mérésére.

62 - 6 - A feniek alapján láuk, hoy ado enedékenyséi haár alkalmazása melle a növekvő alapelemszám jelenős súlycsökkenés eredményez, valamin az is, hoy ado elemszám melle növekvő enedékenyséi haár alkalmazása uyancsak jelenős súlykönnyíő haással van. Jól szemlélei ez V f, a érfoai elíesé mérőszáma (34. ábra és 3. ábra). Uyancsak láuk, hoy az enedékenyséi haár kihasználsáá muaó mérőszám, C f közel állandó (37. ábra). A ké mérőszám szorzaa, a f V f C kihasználsái muaó, íy ado enedékenysé és növekvő elemszám eseében várhaóan meőrzi csökkenés muaó jellezeesséé (38. ábra). A örbék éréke a kezdei kis elemszámokra jellemző zavarossá uán, nay elemszámoknál bizonyos összearás, konverenciá mua. Cf * Vf,3,,,9,8,7,6, L.C.C.C 3.C 3.C 38. ábra A kihasználsáo muaó mérőszám alakulása ado enedékenysé és növekvő elemszám eseében Ado elemszám és növekvő enedékenysé alkalmazása eseében V f csökkenéséhez azonban C f oly mérékű növekedése ársul, hoy a kapo és ábrázol örbék (39. ábra) ey kezdei, kismérékű csökkenés uán növekedés muanak. Cf * Vf,3,,,9,8,7,6,.C.C.C 3.C 3.C C ábra A kihasználsáo muaó mérőszám alakulása ado elemszám és növekvő enedékenysé melle

63 - 6 - Ey másik mennyisé alapú összehasonlíás a numerikus opimálás eredményekén kapo mennyisée az analiikus meoldás eredményével () hasonlíja össze: (7) CopVop η =. C V M M Tudjuk, hoy az opimálás eredménye csak közelíi az analiikus meoldás eredményé, valamin, hoy rosszabb annál (nayobb a elíesée, súlya), azaz C >, ehá opvop CMVM η >. Az alapelemszám növelésével elér érfoacsökkenésől az várjuk, hoy haására az arányío ké mennyisé közeledik eymáshoz, η éréke ar -hez. A kapo eredmények ez az elve nem iazolák (lásd. 4. ábra): alacsony, pl.,c -s enedékenyséi korlá alkalmazása eseén a haékonysá éréke a kíván csökkenés helye növekedés mua (4. ábra), maasabb, pl.,c és,c enedékenyséi haárok alkalmazása eseén a örbe áfordul és helyenkén vay eészében csökkenés mua, maas, pl. 3,C és 3,C enedékenyséi korlá melle a örbe jól láhaóan hullámzó lesz: emelkedés és csökkenés válva köveik eymás.,8,7 haékonysáok,6,,4,3,.c.c.c 3.C 3.C, L 4. ábra Haékonysáok ado enedékenyséi korlá és növekvő elemszám füvényében,4,,38,36, haékonysá,34,3,3,8 haékonysá,4,4,3,6,3,,, , L L a, C H =,C b, C H =,C 4. ábra Nayío haékonysái ábrák haványfüvény rendvonallal

64 - 6 - Az ey ado enedékenyséhez és növekvő alapelemszámhoz arózó ábráka kinayíva (4. ábra) láhaó, hoy az összesíe ábrában viszonyla simának űnő örbék is hullámosak...3. A Michell-féle biciklikerék opimálása módosío mérearányokkal Ehhez a vizsálahoz felhasznál arószerkezee a kövekező méreekkel és ulajdonsáokkal láuk el: a konzolaró alakja ey fekvő élalap, melynek hosszúsáa L, maassáa,l. A aró szimmerikus. Meámaszásai a szimmeriavonalól,8l ávolsában helyezkednek el. A aró ey közponosan elhelyeze koncenrál erő erheli. A szimmeria feléelei bizosíva az alapelemek száma L szélessé alkalmazásával elfelezheő (4. ábra). A szerkeze ezen áalakíásával (a eher és a meámaszások közöi ávolsá és az oda juó alapelemszám csökkenésével) részben leszűkíeük, (a meámaszásokon konzolosan úlnyúló arórész lérehozásával, valamin a maassá növelésével) részben kibővíeük a keresési ere.,l F F/,L,8L,8L,L L L L 4. ábra Módosío elrendezésű Michell-féle kéámaszú aró szimmeria feléelekkel A arón a mére (alapelemek száma) és az enedékenyséi korlá válozásának haásá vizsálam állandó x-es felbonás melle. A aró elmélei L méreé öös skálán adam me 6 lépésben (L=,,,3). A aró énylees méree Lx,L, mely a ámaszok és a eher ado elhelyezése melle leheősée ad jelenősebb érfoa növekedésre is. Az enedékenyséi korlá éréké,-es lépésközzel,c -ról 3,C -ra növelem. A kapo opolóiáka a 6. Tábláza aralmazza, []. Az eredményekből láhaó, hoy az ado eher és ámaszelrendezés melle a szerkeze opimális opolóiája nem mua jelenős mérenövekedés, erjeszkedés. Az LxL arányú eredei befolaló élalapo eleendő ey vay ké elemsorral oldal és felül kibővíeni. A,8L szélesséhez,l maassá alkalmazása feleslees. Az eredményeke bemuaó ábrasor iazolja, hoy ey ado elemszámhoz mefelelő enedékenyséi haár meválaszásával az Exended-SIMP alorimus képes a sakkáblaminá-

65 za eljes elnyomására (6. Táblázaban sára háérrel kiemel elemek), valamin az hoy alacsony alapelemszám vay úl maas enedékenyséi korlá alkalmazásakor diaonális elemláncolaok kialakulása és elszieel csuklók mejelenése valószínű. Láhaó az is, hoy úl alacsony elemszám alkalmazásakor a fekee-fehér állapo előállíása szerkezei anomáliákhoz vezehe (6. Táblázaban piros háérrel kiemel elemek, melyekben az ábrázol szerkeze szélessée kisebb le, min a ámaszköz, íy a szerkeze a ámaszok közö lebe ). Az enedékenyséi haárérékek növelésének súlycsökkenő haásá a 43. ábra diaramjai szemléleik. L,C, C, C 3, C 3, C 3 6. Tábláza A módosío Michell-féle kerékárcsa eredményábráinak yűjeménye,4 elíesé,4,3,3,,, L= L= L= L= L= L=3,,C,C,C 3,C 3,C enedékenyséi haárok 43. ábra A módosío Michell-féle kerékárcsa elíeséének alakulása

66 Összefolalás, kövekezeések A SIMP módszer, és a véeselemekkel bővíe alapelemek felhasználásával Exended- SIMP néven proramo készíeem síkbeli szerkezeek opolóiai opimálására.. A numerikus eredményeim iazolják, hoy az Exended SIMP alorimus alkalmas a kierjed sakkáblaminázaok kialakulásának meszűneésére: kimuaam, hoy ado szerkezei és erhelési forma eseében néyponos alapelemeke alkalmazva a sakkábla-minázaú részek aránya nő, de alapelemenkén öbb, n, néyponos véeseleme alkalmazva ezek az arányok csökkenheőek, ső, ado ey elemszámhoz mefelelő enedékenyséi haár (C), vay ey ado enedékenyséhez mefelelő elemfeloszás meválaszásával a énylees sakkáblamina eljesen el is nyomhaó, uyanekkor viszon diaonális elemláncolaok és/vay elszieel csuklók mejelenése várhaó.. Vizsálam a proram adafüőséé, a paraméer-beállíás haásá. Kimuaam az előír enedékenysé és az alkalmazo alap- és/vay véeselemszám eyües haásá: kimuaam, hoy alacsony alapelemszám és alacsony enedékenyséi haár alkalmazása eseén alapelemenkén nayszámú véeselem alkalmazása a célravezeő, mí nay alapelem szám eseében a lekisebb, n = felbonás is eleendő lehe. Memuaam, hoy az alapelemszámhoz képes alacsony enedékenyséi korlá meválaszásakor az alakza belsőle ömör lesz. Memuaam, hoy ey az alapelemszámhoz képes maas enedékenyséi korlá meválaszásakor vay nem mefelelő véeselemes feloszás használaakor az alakza belsőle rendezelenné válha, diaonális elemláncolaok jelenhenek me, melyek nem köveik a kíván formá, esele szakadásos láncolaok is kialakulhanak. 3. A proram haékonysáának iazolása érdekében jelenős hansúly fekeem a érfoai elíesé, valamin az enedékenyséi korlá kihasználsáának mérésére. Meállapíoam, hoy az enedékenyséi haár kihasználsáa maximális, az alapelemszámól füelenül ey a korláo jellemző konsans éréke mua. Meállapíoam, hoy ado enedékenyséi korlá melle a érfoai elíesé éréke az alapelemszám növelésével csökken. Memuaam ovábbá, hoy az enedékenysé és a elíesé szorzaa az alapelemszám növeléséből kövekezően nem mua konverenciá az analiikus meoldás alapján számol érékhez.

67 RÖGZÍTETT, NEM MÓDOSÍTHATÓ ELEMEKKEL RENDELKEZŐ TÁRCSASZERKEZETEK TOPOLÓGIAI OPTIMÁLÁSA (SIMP-NDR) Ebben a fejezeben ey konzolaró-meerősíés ideális alakjának mehaározásá muaom be opolóiai opimálás seíséével. A 6.. pon a felada álalános ismereésé aralmazza. A 6.. pon a vonakozó kölséfüvényeke muaja be. Ez köveően a 6.3. pon az analiikus meoldásoka, a 6.4. pon a numerikus meoldásoka szemlélei. Véül összefolalom a 6. fejezeben bemuao eredményeke. 6.. Topolóiai opimálás alkalmazása már melévő, ado vasasáú elemekkel rendelkező aró kieészíésének, meerősíésének ervezésére Ilyen szerkezeek ervezésekor kiinduláskén felvesszük a ervezési ere (befolaló formá), mely aralmaz minden lehesées ao vay eleme anélkül, hoy az opimálisaka különválaszanánk, 44. ábra. Tömör elemek (NDR) P,L al Tervezési Tér (DR) L,L 44. ábra Rövid konzolaró merev arórésszel Opimális meoldás akkor kapunk, ha alálunk ey saikaila lehesées feszülsémező, mely ado erhek és állandó peremfeléelek melle eljesíi az eyensúlyi feléeleke, és ha alálunk ey kinemaikaila lehesées elmozdulásmező, mely eljesíi a kinemaikai folyonossá feléelé valamin a peremfeléeleke. Az ilyen szerkezeeke olyan rácsozaok ervezéséhez használják, melyekben az elemek közöi ávolsá infiniezimálisan kicsiny is lehe, min pl.: rácsos aróhoz, arórácshoz vay héjrácsozahoz hasonló szerkezee eredményező koninuumok eseében. (Tarórács kialakíá-

68 sához pl. a szerkezei-ér állha vées számú infiniezimálisan kicsiny elemből a ervezési ér minden ponjában és minden irányában.) Az opimális feszülsé-alakválozás összefüéseke a kölsé-füvények szubradiensei adják me, melyek maukban folalják a feszülséek és a fajlaos anyasúly közöi kapcsolao is. Feszülsékén yakran az ún. álalánosío feszülsé foalmá használják, mely rácsos aró rúdjaiban lehe pl. a belső erő, vay hajlío erendák eseében a nyomaék. 6.. Példa ey közponosan erhel rúdelem kölséfüvényére Példakén ekinsük rácsos arónak ey elemé feszülsére vonakozó feléelekkel. A kölséfüvény adjuk me képlékeny ervezésre, saikai feléelekkel csupán, [8]: (8) A = k F, ahol A a kereszmeszei erüle, k ey konsans, és F az elemben működő belső erő. Rácsos aróelem jellezees alakválozása a hosszmeni összenyomódás vay nyúlás: ε. Az opimális feszülsé-alakválozás kapcsolao az (8) szubradiense adja: (9) F F, =, ε = k sn F; ε k. A = k F k A A c F A A = k F F k A = k F B B F F F B k B k c B k ε ε ε k k k k F k F k c F (a) (b) (c) 4. ábra Példa a lehesées kölséfüvények bemuaására: (a) hayományos Michell-féle rácsos aró elemre, (b) merev aróelemre húzásra és nyomásra azonos feszülséi ulajdonsáokkal, (c) merev aróelemre, de különböző feszülséi ulajdonsáokkal

69 A szerkezei ér azon ponjaiban, ahol nincs elem F =, de (9) alapján a kelekező elmozdulásnak eljesíenie kell az eyenlőlenséi feléel 38. Az (8) és (9) füvények rafikus mejeleníése láhaó a 4. (a) ábrában. A B kereszmeszei erüleel rendelkező, melévő, nem válozahaó (NDR) elem(ek) kölsémenesek. A ervezési érből hozzáeheő (DR), a szerkeze eherbírásá erősíő elemeknek kölsé vonzauk van, melye a 4. (b) és (c) ábra szemléle. A 4.b ábrában láhaó, a rúdelemre haó erő és a rúdelem alakválozása közöi összefüéseke leíró füvények képlees formája: (3) ha ha ha F F F < > = B, ε =, k B, ε = k sn F, k B, ε k, snε = sn F. k 6.3. A szemléleő példa ponos meoldásai Q P R Q P k c P P B = B > k 3 R Q P R L L 4 = k ε 3L u = v = kx = k ε 3 = k ε ε = 3k u = kx x v = 3kx x (a) y (b) y (c) 46. ábra Példa rácsos aró opolóiának ezak meoldására: (a) ömör elemek nélkül, (b) nem eljesen kihasznál, húzásra és nyomásra azonos feszülséi ulajdonsáokkal rendelkező ömör aróelemmel, (c) úlerhel, különböző feszülséi ulajdonsáokkal rendelkező ömör aróelemmel Példakén ekinsük a 44. ábrában már bemuao aró, de minimális súlyú Michell-féle, rácsos aró eredményező mefoalmazásban. Ha a aróban, az opimálásban rész nem vevő 38 sn F = F F =, ha F, ha F <

70 ömör elemek nincsenek, akkor a suár irányú, leyezőformában széerülő elemeke (véelen számban) aralmazó meoldás ismer, 46. (a) ábra, [4]. Amennyiben a QR szakaszon, a melévő ömör rész kereszmeszee nayobb, min a szüksées, vayis a melévő szerkezei rész nem eljesen kihasznál, akkor a meoldás a 46. (b) ábra adja, eyébkén pedi 46. (c) ábra a mérékadó, [7] és [8]. A 46. ábra alapján láhaó, hoy az opimális aróalak maassáa a ömör rész kihasználsáának füvényében L és L közö válozik. A 46. (b) és (c) ábrák eseében a paraméerérékek meadásai közvelenül a 4 ill. a 3 -os rúdmeredeksé elérésé célozák [7] A szemléleő példa numerikus meoldásai Ehhez a vizsálahoz az álló élalap alakú rövid konzolaró kéféle ervezési állapoban és kéféle méreben hozam lére:., amikor a aró valamennyi alapeleme a ervezési ér része (DR),., amikor az alapelemek a 44. ábrában bemuao arányban a ervezési ér (DR) és a nem-ervezési ér (NDR) részé is képezik. A kéféle mére: a konzolaró szélessée L= illeve 3 alapelem, eljes maassáa pedi.4l. A arón az enedékenyséi korlá válozásának haásá vizsálam állandó, alapelemenkéni x-es felbonás melle. Az enedékenyséi korlá éréké,c-ről 4,C-re növelem - es lépésközzel. A kapo opolóiáka a 7. Tábláza aralmazza, [9]. Az eredményekből láhaó, hoy merevíendő, melévő arórész hiányában a szerkeze opimális alakja jól hasonul a 46. ábraban bemuaohoz. Alacsony elemszám és alacsony enedékenyséi korlá alkalmazásakor a felső leyezőszerű rész kevés eláazással rendelkezik, de uyanekkor a aró pereme íves. Maasabb elemszám eseében az íves leyezőalak öbb rúddal (hézaal) jön lére. Az enedékenyséi korlá növelésével a leyezőrész rúdjainak száma csökken, jellemzően ey kérudas rendszerré alakul. Ezzel eyü a aró szabad peremének ívelsée meszűnik. Jellemző a leyezőrész felső vízszines, vay közel vízszines, vékony összeköőrúdjának melée is, mely azonban maas enedékenyséi korlá és maasabb szerkezei maassá alkalmazása melle elűnhe (. ábra). Az állandó elíeséű arórésszel rendelkező szerkeze alakja eyfaja keverék, a 46. ábra eyikével sem eyezik eljesen. A szerkeze felső részén lévő állandó arórész mekapja alulról a ámaszó ruda, de az nem eyenes enelyű. Alacsony enedékenyséi korlá eseében ívesnek űnik, mí maas enedékenyséi korlára inkább öréses. E rúdba az ív véénél, ill. a örésponnál ey erre merőlees, rövidebb, a melévő arórész a ámaszórúddal összeköő lényeesen karcsúbb rúd csalakozik be. Ez a belső merevíés, mely a felső rúdban kele-

71 kező hajlíó nyomaéko ellensúlyozza, valamennyi vizsál állaponál memarad (lásd mé. ábra). Az analiikus meoldás ez nem aralmazhaja, hiszen a Michell-féle rácsos aró modellek rúdjaiban nincsen nyomaék. L= L=3 DR NDR DR NDR,C,C 3,C 4,C 7. Tábláza Numerikus meoldások SIMP-NDR prorammal Az enedékenyséi korlá és a számío enedékenyséek ulajdonsáai állandó elíe arórész nélküli szerkezei opimálás eseében meeyeznek a korábban bemuaoal (.. pon), 47. ábra és. ábra. L-SIMP L-SIMP-NDR compliance compliance C-Limi C-szürke C-FF,, 3 3, 4 4,,, 3 3, 4 4, compliance muliplicaor compliance muliplicaor 47. ábra A számío enedékenysé és az enedékenyséi korlá viszonyának alakulása L= alapelem eseén

72 - 7 - Melévő, elíe arórésszel rendelkező szerkeze merevíésének opimálása eseén e viselkedés lászóla meválozik. Az, hoy az opimálás uán, az ún. szürke elemeke is aralmazó alakza számío enedékenysée és az ebből fekee-fehér minázao lérehozó eljárás uán számío enedékenysé öbbnyire jól illeszkedik eymáshoz, valamin az, hoy az előbbi alacsonyabb éréke ad az ábrák (47. ábra és. ábra) jól muaják. L3-SIMP L3-SIMP-NDR compliance 3 3,, 3 3, 4 4, compliance ,, 3 3, 4 4, C-Limi C-Szürke C-FF compliance muliplicaor compliance muliplicaor. ábra A számío enedékenysé és az enedékenyséi korlá viszonyának alakulása L=3 alapelem eseén Elérés az enedékenyséi korláok válozásá, valamin az opimálás uán számío enedékenyséek alakulásá muaó eyenesek meredekséében van. Ennek kövekezében az alacsonyabb enedékenyséi korláok eseében a számío enedékenysé a korlánál maasabb, mí később, a korlá növelésével ey pon uán alacsonyabb lesz (lásd mé.9. füelék). E jelensé oka az, hoy a proram az enedékenyséi haár éréké a DR+NDR elemeke is maába folaló eljesen elíe szerkeze enedékenysééből számolja, majd az csupán csak a DR elemekre alkalmazza. Az ábrázol eredmények viszon újra a eljes DR+NDR szerkezere leek mehaározva. A szélsőséek előállíása érdekében a szerkeze maassáá M=L-re, az enedékenyséi haáréréke pedi 6,C -ra növelem. A kapo alakzaok (49. ábra és.9.3. Füelék) muaják, hoy a meoldások a 46. ábra álal muao kérudas szerkezee próbálják közelíeni, de el nem érik az. 6,C 49. ábra Numerikus meoldás maas enedékenyséi korlá és maas szerkezei maassá alkalmazásával L= alapelem eseén

73 Összefolalás, kövekezeések A numerikus opolóia opimálási módszereke yakran a síkfeszülséi állapoban lévő perforál árcsaszerkezeek 39 diszkré elemes opimális meoldásának, valamin az analiikus módon mehaározo minimális súlyú rácsos aró alakoknak összehasonlíásával iazolják. A bemuao példa alapján is láhaó, hoy az eredmények nem riviálisak. A Michell-féle rácsos arós analiikus számíás ada összee és ezálal ien kölsées alakza (4 (a) ábra) előre rözíe elemek használaával ey eyszerű kérudas szerkezeé válik (4 (b) és (c) ábra), mely eljesen kihasználá eszi a melévő, s íy kölsémenes felső vizszines ruda, s melynél pénzbe csak az alsó merevíő rúd kerül. Eyérelmű ehá, hoy rözíe elemek jelenlée alapveő válozásoka okoz bármely opimálási redszerben. Az Exended-SIMP és a SIMP-NDR alorimus a feni állíás numerikus iazolásá adják. A bemuao eredmények mind a Michell-féle meoldás összee, mind a melévő, rözíe elemekkel rendelkező szerkezere kapo kérudas meoldás jól közelíik. Nyomaékosíják uyanekkor a rácsos arókól való elérés, különbsée, a árcsaszerkezeekben mejelenő nyomaéki haás kövekezményei (belső diaonális merevíések). A bemuao eredmények uyanekkor iazolják az is, hoy melévő, rözíe elemek alkalmazása a proram ulajdonsáai (enedékenyséi korlá kihasználsáa, a szürke elemeke is aralmazó mina enedékenyséének valamin a fekee-fehérré evő eljárás uáni enedékenysé viszonya, diaonális elemláncolaok mejelenése, ld... pon) nem befolyásolja. 39 Truss-like srucures Rácsosaró-szerű, rácsos aróhoz hasonló eredmény adó szerkezeek

74 SAROKPONTI KAPCSOLATOK LÉTREJÖTTÉNEK GÁTLÁSA CÉLZOTT BÜNTETŐFÜGGVÉNNYEL (CO-SIMP) Min az a -6. fejezeekben memuaam a diszkreizációs hiba kövekezében mejelenő nay kierjedésű és összefüő sakkáblaminák elnyomhaóak, de az eredményekben a diaonális elemláncolaok, rikábban az elszieel csuklók memaradhanak. E fejezeben ey olyan alorimus muaok be, mely célzoan a sarokponi kapcsolaok kialakulásá felüyeli, áolja. A 7.. pon az alkalmazo módszer felvezeésé, indoklásá aralmazza. A 7.. pon az opimálási felada leírásá, a 7.3. pon az ieráció meneé muaja be. A 7.4. pon ey eszőleesen meválaszo belső csomópon körül kialakuló minázaokban a sarokponi kapcsola lérejöé vizsáló és érékelő, az opimumkeresés szélsőérékének helyé befolyásoló füvény(ek) ismereésé adja mind síkbeli, mind érbeli feladaok eseére. A 7.. pon a 7.4-ben bemuao füvények haékonysáának növelésével, a 7.6 pon pedi a 7.-ben meválozao opimálási alorimus álal ado eredmények bemuaásával folalkozik. Véül összefolalom a 7. fejezeben bemuaoaka. 7.. Súlynövekedés úl sziorú mérekorláok alkalmazása mia Tekinsünk ey csuklósan felfüesze közponosan erhel árcsaszerkezee, melynek opimális opolóiája ey síkbeli rúdszerkeze (. ábra), és melyre feléelezzük, hoy a << b << L. A árcsa vasasáá -nek, az anya sűrűséé γ -nak, a esre haó erő F-nek feléelezve, ado enedékenysé (C H ) eseén (3) az ideális rúdszélessé: b op F L =, ECH (3) az opimális öme: W op 4F Lγ =. ECH Alkalmazva pl. az F =., E =, C H = és = érékeke az opimális vasasá (3) éréke b op = L / 4 lenne. b op L / mérekorlá alkalmazása eseén az eredmény éppen b op = L / lesz. Ez a kényszer az eredményül kapo aró súlyá az opimális súly 4%-ára emeli, [3]. Láhaó ehá, hoy ha az elemláncolaok kialakulása ellen úy védekezünk, hoy bmin éréké a szükséesnél nayobbra emeljük, akkor a arószerkezee alkoó rudak közül néhány

75 vay mindeyik úlméreeze lesz, s ez a aró eészében jelenős súlynövekedés eredményez. Ez ellenében áll a minimális súlyra való ervezés céljával. a b L b L F L. ábra Opimális opolóia ké rúdból Célszerű ehá olyan meoldás keresni, mely nem a rudak vasaíásá célozza, hanem a rudaka alkoó elemek közöi kapcsolaok milyenséé, a kapcsolódó csomóponok számá szabályozza. 7.. A opolóiaopimálási felada maemaikai leírása A 4,. és 7.. fejezeekben meírak alapján arra a kövekezeésre juoam, hoy a sakkáblamináza speciális eseeinek kialakulása ellen közvelenül, valamilyen célzo ráhaással, ey mefelelően meválaszo füvény alkalmazásával is védekezni kell. Ennek mefelelően új minimumfeladao íram fel, [4]: / p, (33) V = A + H () = min! ahol H() az alkalmazo alapelemek vasasááól füő füvény. Az enedékenysé és a vasasáok alakulásának korláozására felír eyenlőlenséi feléelek (3), valamin a szerkeze állapoá leíró eyenlőséi feléel (4) nem válozik. (34) A Larane-füvényes mefoalmazás: L / p T (, υ, α, β) = A + H ( ) + υ( u Ku C ) + α ( + ) + β ( ) max A Larane-füvénynek szélsőéréke o van, ahol minden -re eljesül az első derivál zérusérékűsée: H + min.

76 (3) ( ) (). / = = T T p p H A p L β α υ u K u u K u Ku u A harmadik a eyszerűbben is felírhaó (Füelék 3.6., (7)-()), íy: (36) ( ) () / = = p p R H A p L β α υ. Azér, hoy a Larane-muliplikáoroka nem aralmazó aokban - azonos haványra hozzuk, bevezejük a kövekező jelölés: (37) () ( ) p p H Q / =, mely = p eseében nem válozaja, > p eseében viszon növeli a derivál éréké. Véül az eyenle véső alakja: (38) ( ) ( ) / / = = p p p p R Q A p L β α υ. Akív elemek eseén, 6 < <, α és β muliplikáorok zérusok. Ekkor υ ismeree eseén az akív elemek vasasáa számíhaó: (39) p p Q A p R + + = υ. Az R és Q kifejezésekben szereplő vasasáok mindeyiké állandónak ekinjük. Mivel Q előjeles mennyisé, a nullával való oszás esee is előfordulha: = + A Q p. Passzív elemeknél ké ese lehesées. Ha min =, akkor > α és = β. Ekkor - mivel A, p és érelemszerűen poziív, valamin A Q p + - poziívnak feléelezve - a (38) eyenle meoldása:

77 - 7 - (4) υr > A + Q p p + p. Hasonlóan, ha =, akkor α = és β >. Ekkor a (38) eyenle meoldása: max (4) p + p R υ < A + Q p. Az A + Q p összeének előjelválása eseén a reláció mindké eyenlőlensében mefordul, lásd a (4) és (4) összefüéseke. A ν muliplikáor éréké úy haározzuk me, hoy a eljes szerkezei enedékenysé éppen C H leyen. A passzív elemek vasasáa nem válozahaó, íy azok enedékenyséé az eyenlősé mindké oldalából levonhajuk: R R (4) C =. P A Alkalmazva a (39) összefüés ν éréke mehaározhaó: (43) p /( + p) / ( + p) A + Q R p ( + p) A p / υ =. R CH P 7.3. Az ieráció menee A fen levezee összefüéseke felhasználva az opimális vasasáok mehaározására a kövekező ierációs eljárás javasolhaó.. Kiinduláskén válasszuk minden alapeleme akívnak és az alapelemek vasasáá = max = -nek! ( min = 6 és az alapelemek erüleé jelölje A ).. Számísuk ki az eysényi vasa elem merevséi márixá ( K e )!

78 Veyük fel a C meenede maximumá! ( C H =, C, ahol C a kiinduláskor felve szerkeze enedékenysée.) 4. Leyen p =, (37).. Az akuális elemvasasáok alapján a véeselem-módszerrel haározzuk me a csomóponok elmozdulásai (u)! 6. Számísuk ki minden alapelem enedékenyséének R = e u T e K e u e. 7. A Larane-muliplikáor mefelelő kievős alakja: p /( + p) / ( + p) A + Q R p ( + p) A p / υ =. R CH P 8. Minden alapelemre számoljunk új vasasáoka 4 : p p+ p p+ R x = υ. A + Q p -szeresé! 9. Haározzuk me az alapelemek valóban elfoadhaó új vasasáai, valamin az, hoy az alapelem akív-e vay passzív: Ha x max, akkor = max és P, ha x min, akkor = min és P, ha min x max, akkor = x és A.. Ha az akív elemek halmaza üres, akkor a számíás befejeződö. (Ilyen csak speciális eseekben örénhe, lsd fejeze). Ha valamelyik alapelem ákerül a másik halmazba (akívból passzívba, esele fordíva), vay az akív halmazban lévő alapelemek közül valamelyiknek a vasasáa jelen- p 4 A Q = + eseben, a proramban a zérus éréke a közelíő -6 -nal helyeesíjük.

79 új ősen meválozo ( ε ) réi, akkor az új elem-vasasáoka a réiek helyébe írva az. ponól kell újra folyani a számíás.. Ha p < pmax , akkor p éréké növeljük pl.,-el, és (az éppen akuális elemvasasáokkal) az. ponól folyajuk a számíás A sarokponi kapcsolaok kialakulásá áló füvények Bevezeéskén fonos újra kihansúlyoznom, hoy vizsálaaima kizáróla derékszöű néyze, illeve érbeli alakzaok eseében kocka alakú elemekből felépíe szerkezeeken véezem. Az elemekre a leeyszerűbb, síkban a néy-, érben a nyolccsomóponos vées elemes közelíés alkalmazam. Ekkor minden csomópon eyben az elem sarokponja is. Amennyiben az elem alapelem és öbb vées elemre bonjuk, vay amennyiben ey elemre maasabb csomóponszámú vées elemes közelíés alkalmazunk, ez az állíás már nem iaz. Ekkor a csomóponoka el kell különíeni és az e fejezeben leíraka csak a énylees sarokponi csomóponokra kell érelmezni és alkalmazni. Íy i az elemek száma meeyezik az alapelemek számával, s e számérék adja me az alapelemekhez kapcsolhaó jellemzőke, pl. a elíesée aralmazó vekorok méreé is. Telíesé ala, az ado méreű, az elem álal képvisel érfoao kiölő anyamennyisée kell éreni. Síkbeli szerkeze, árcsa, eseében a elíesé a vasasái méreel jellemzem A vizsálandó csomóponok és a hozzájuk kapcsolódó elemek kiválaszása Ey csomópon körüljárása síkban Ey eszőlees csomópon és az ő körülvevő elemek vizsálaához ekinsünk ey nxm elem naysáú élalap alakú minázao,. ábra. Az ábra alapján láhaó, hoy az n sorból és m oszlopból álló néyzehálóhoz ey n + sorból és m + oszlopból álló csomóponi háló arozik. E csomóponok közül belső csomóponnak nevezzük azoka, melyek néy eleme kapcsolnak össze. Az első belső csomópon sorszáma az m ++, mí az uolsóé az n ( m + ) + m képle alapján számolhaó. A árcsa minázaá a belső csomóponjainak minősíésé meadó füvények összeével minősíjük: n i( m+ ) + m k, i= k = i( m+ ) + ~ (44) H () = h( )

80 ahol a árcsa alkoóelemeinek elíeséé, vay vasasáá muaó vekor, k a vizsál cso- ~ mópon sorszáma, k pedi a k. csomóponhoz arozó elemek elíeséé muaó néyelemű vekor. h( ~ k ) jelöli az az összefüés, mely ey csomópon érékelésé adja. m i- j- i- j i- j+ ij k i j- ij i j+ n i+ j- i+ j i+ j+. ábra Ey csomópon és a vonakozó elemek elhelyezkedése ey minázaban A szerkeze érékelésé a belső csomóponok minősíésének összee jeleni. Íy az elemek indexelése füelen a csomóponok sorszámáól, azaz nehezen köveheő, hoy mely csomóponhoz mely elemek aroznak. Eyszerűbb viszonyíás ad, ha a vizsálandó csomóponoka az elemek jobb alsó sarkához köjük és íy a belső csomóponoka az első elemsor első eleméől az uolsó elői elemsor uolsó elői eleméi aró inervallummal definiálni udjuk [8]: nm (4) () = h(,, ) H. i= j = i, j i, j + i+, j +, i+, j E viszonyíási mód ovábbi előnye, hoy ebben a csomópono körülvevő néy elem, a körüljárás irányának mefelelő sorrendben, eyérelműen meadhaó. Az. ábra alapján beláhaó, hoy ey ado elem néy csomóponhoz arozik. Ezek alapján a (4) füvény deriválja könnyen előállíhaó: (46) dh d () = h( i, j, i, j, i, j, i, j ),3 ij + h( i, j, i, j +, i, j +, i, j ),4 + i, j, i, j +, i +, j +, i +, j ), + h( i, j, i, j, i+, j, i+, j ),, ~ ahol a h ( ), i jelölésben szereplő i index az jelzi, hoy hányadik válozó szerin kell deriválni. A művele vérehajásakor azonban üyelni kell a nemléező elemeke aralmazó részek elhayására (pl. szerini deriváláskor a -, a - és a - aralmazó részek).

81 m n nm Sarokponi kapcsola. ábra Mináza kieészíő kereel Minázaok, melyek nem eredményeznek sakkáblaminá A nemléező elemek elhayásának problémájá elkerülhejük, ha a léező elemháló kieészíjük ey üres elemeke aralmazó sorokból és oszlopokból álló kereel, valamin a számozás zérussal kezdjük. Ekkor az első és az uolsó csomóponra vonakozó körüljárás is vérehajhaó és szerepeleheő a derivál füvény mefelelő ajában. Láhaó, hoy e kieészíés a minősíés nem zavarja, hiszen a külső csomóponok mind olyan minázaok közepében vannak, melyek ismélése nem eredményez sakkáblaminá. Csomóponok körüljárása érben Térbeli modellezés eseében ey csomópono nyolc kocka vesz körül. Ezek körüljárása a síkbeli eseel analó módon örénhe: (47) H 3D () = mno i= j = k = i, j, k +, h( i, j, k, i, j +, k + i, j +, k,, i+, j +, k i+, j +, k +,, i+, j, k i +, j, k + ).,

82 - 8 - Ey ado kocka nyolc csomópon minősíésében szerepelhe, íy a derivál füvény i lefeljebb nyolc aból áll. Az ebben felmerülő nemléező elemek póolhaóak a szerkeze köré von üres elemekből álló doboz-szerű képződménnyel Füvények az eyes csomóponok minősíéséhez síkbeli szerkeze eseén A síkbeli néyzeelemek közö lérejövő csuklós kapcsolao az elemeknek azon elhelyezkedése adja, amikor ey csomópon körül elhelyezkedő néy elemből ké eymással álósan szemközi elem anyaal kiölö, mí a másik keő eymással szinén álósan szemköz álló üres. E kapcsolai forma mefelelő ismélése sakkáblaminázao eredményez. A kerese füvény célja e nemkívánaos kapcsolai forma felismerése, naymérékű büneése, és elkülöníése az eyéb kívánaos elrendezési módokól, amikor a büneés éréke alacsony vay zérus. A vizsál csomóponok szemponjából nézve a füvény ehá a minázaól füően súlyoz, büneőponoka ad. A mináza formálása szemponjából nézve a füvény a sakkáblamina és a sarokponi-kapcsolaok kialakulásá áolja. Az opimálási felada szemponjából nézve a füvény a szélsőérék helyé, az opimális alak milyenséé befolyásolja, módosíja. A füvény mehaározása A 3. ábra a k jelű belső sarokpon környezeé muaja. A Δ ki mennyiséek a jelze szomszédos elemek vasasáának különbséei. A h k füvény örbéjé (későbbiekben () füvény örbéjé) szemlélei az. diaram. A diaramban csak ponszimmerikus aromány láhaó: középen helyezkedik el a sakkáblaminá lérehozó sarokponi kapcsola. Ez ekinjük oriónak. Ekkor a füvény éréke ey. E sakkáblakapcsolao, a szimmeria mearásával ké módon lehe meszűneni: vay a vasa elemeke elvékonyíjuk (diaramban balra), vay pedi a hiányzó elemeke mevasa ábra Ey csomópon környezee és eyszerűsíe jelölései A sarokpon minősíéséhez képezzük e különbséek néyzeeinek szorzaá (Pomezanski, []): Δ Δ Δ Δ k k k3 k4 = = = = () hk ( Δk ΔkΔk3Δk4 ) =.

83 - 8 - íjuk (diaramban jobbra). A vékonyíás ill. vasaíás lépésben, d =,, i=.. lépésközzel véezem el, szimmerikusan ( = 3 és = 4 ). Min az a diaram is jól muaja, a füvénynek hibája, hoy a elíe ill. az üres állapo közelében, elé nay szakaszon ( Δ k, ), a füvény meredeksée közel zérus. Ez a ulajdonsá káros az opimálás során zajló ierációk haékonysáára, ezér a füvény áalakíoam (későbbiekben (49) módosío füvény) (Pomezanski, [6],[9]): i (49) h ( Δ Δ Δ Δ ) c k k k3 k3 k =, 3 cos π ( ) + ε 4 ahol a cos szöfüvény alkalmazására a szimmeria meőrzése mia kerül sor, ε ey a zérus nevező elkerülésé szoláló kicsi szám, c pedi ey a füvény éréké növelő szorzóényező. Ezen áalakíás haásá a hk-mod örbéje muaja,. diaram. a büneőfüvény érékei,6,4, hk hk-mod a sakkáblamináza válozása lépésenkén. diaram A () füvény és a (49) módosío füvény c = eseén Mejeyzés: A (49). képleből az ε a elhayhaó, ha π = 3, 4 közelíő érékkel számolunk. E mia a későbbi képleekben ez a a nem szerepel. A () füvény deriváljának sajáossáai A () füvény ismereében a deriválás a szorzaderivál művelei szabályai szerin elvéezheő. Az () képle a h k füvény muaja részleesebb alakban felírva: () ( ~ h ) = Δ (, ) Δ (, ) Δ (, ) Δ (, )

84 - 8 - Láhaó, hoy ey ado i elem ké részfüvénynek is aja, íy deriválás uán az eredmény ké aból fo állni. A eljes derivál (46) íy 8 aú lesz. A derivál füvény mearja az a képessée, hoy elkülöníi a sakkábla- minázaoka a nem sakkábla minázaokól (8. Tábláza és 9. Tábláza) és mefelelően bünei is azoka. A büneés éréke 4, amennyiben a vonakozó kilenc elem minázaában ey néyelemes, azaz az ey csomópon körüli néy elemben kialakul sakkáblamina van. A büneés éréke a csomóponok körüli sakkáblaminák számának növekedésével arányosan növekszik: méréke ké sakkáblamina eseén 8, mí eljes 9 elemes sakkáblamina eseén 6 lesz. Sakkáblaminák: mina érék mina érék mina érék mina érék Tábláza Példák sakkáblaminákra és a derivál füvény érékeire (az a eli elem, a az üres elem) Az 8. Táblázaban bemuao példák alapján láhaó, hoy amennyiben a minősíe 9 elemes minázanak a középső eleme eli elem és a minázaban van sakkáblamina, akkor a derivál éréke poziív, későbbiekben poziív sakkáblamina, amennyiben pedi üres elem, akkor a derivál éréke neaív lesz, későbbiekben neaív sakkáblamina. Amennyiben a minázaban nincs sakkáblamina a füvény éréke zérus (lásd 9. Tábláza.) Nem sakkáblaminák: mina érék mina érék mina érék mina érék

85 Tábláza Példák nem sakkáblaminázaokra és a derivál füvény érékeire (az -a eli elem, a -az üres elem) Ey 9 elemű árcsarészlenek 9 = különböző - elrendezése lehe. A 8. és a 9. Tábláza ebből mindössze 3 kiválaszo esee mua me. Az összes lehesées ese elrendeződésé, a eli elemek száma és a derivál füvény éréke szerini csoporosíásban a. Tábláza muaja me. Füvény érékek Db/eli Σ 9/ 9/ 9 9 9/ / / / / / / /9 Σ Tábláza A derivál füvény jellezees érékei adó 9 elemes minázaok száma A (49) módosío füvény deriváljának sajáossáai A (49) módosío füvény felírhaó ké füvény szorzaakén is: ~ ~ () h ( ) m ( ) h k mod = k k, ahol az első kifejezés a () füvény, a második pedi az annak meválozaásá véző kifejezés. Mindké füvény uyanazon, a k. csomópono körülvevő, néy elem vasasáának füvénye. Fiyelembe véve a () füvényről a fejeze elején íraka, valamin a szorzafüvény deriválására vonakozó szabályoka, láhaó hoy a derivál füvény (46) mos ey aból álló kifejezés lesz. A derivál füvény ulajdonsáai -, azaz eli-üres minázaok eseében meeyeznek a () füvény deriváljának ulajdonsáaival (9. Tábláza). Szürke elemek melée eseén azonban a ké füvény közö elérés van (. diaram). Poziív sakkáblá vizsálva, fehérszürke elemek eseén a ké derivál közel azonos éréke ad (az ábra bal oldala), mí szürke-

86 fekee mináza eseében jól láhaó különbsé van: a (49) módosío füvény deriváljának meredeksée a közel eli állapoban lényeesen nayobb (az ábra jobb oldala) [], [7]. a deriválfüvény érékei dh dhm A mináza válozása lépésenkén. diaram A (46) derivál füvények ábrázolása poziív minákra: a () füvény, (dh) és a (49) módosío füvény, (dhm) c = alkalmazása eseén E különbsée a válozaás véző füvény () és annak deriválja (3) okozza: m k = cos 6 ( ) π, 4 ~ () ( ) π sin ( ) π = 4 m k π cos ( ) 4 ~ ' (3) ( ) A füvényérékek alakulásá 3. diaram szemlélei. A diaram feliraaiban s a kereszmeszei vasasáok összeé jeleni: s. = i, A füvények érékei, -, - -, A mináza válozásai lépésenkén sin((s-)*pi/4) cos((s-)*pi/4) sin((-s)*pi/4) cos((-s)*pi/4)

87 diaram Füvényábra a válozaás véző füvényrész haásának meéréséhez Láhaó, hoy a cosinus füvény a vizsál inervallumon szimmerikus. Beláhaó, hoy a 6. és 7. haványa is szimmerikus marad. A szinusz füvény ellenben aszimmerikus: a fehér-szürke arományban éréke neaív, mí a szürke-fekee arományban poziív. E ulajdonsáa okozza az, hoy a válozaás véző a a derivál füvényben a fehérszürke sakkáblamina büneésé yeníi, mí a szürke-fekee arományé erősíi. E haás eyszerűen mefordíhaó: (4) h c( ΔkΔkΔk3Δk3 ) π ( ) = 6 cos 3 4 k. 4 Ekkor, min az a 3. diaram muaja, a cosinus füvény érékei és ulajdonsáai nem váloznak, a szinusz füvény viszon mefordul: a fehér-szürke arományban lesz éréke poziív, s íy a fehér szürke sakkáblamina büneésé erősíi 4. diaram. A füvény éréke A mináza válozása lépésenkén H dh Hm dhm 4. diaram A f() füvény, H és az (4) módosío füvény, Hm, ey 3x3 poziív sakkáblamina eseén és ezeknek a középső elem szerini deriváljai dh, dhm Neaív sakkáblamina eseében pon fordíva: a fehér-szürke arományban a füvény éréke ali válozik, mí a szürke-fekee arományban a büneés erősödik, azaz a füvény éréke csökken (. diaram).

88 A füvény éréke A mináza válozása lépésenkén H dh Hm dhm. diaram A () füvény, H és az (4) módosío füvény, Hm, ey 3x3 neaív sakkáblamina eseén és ezeknek a középső elem szerini deriváljai dh, dhm Eyéb füvények A sakkáblamináza vizsálaával öbben is folalkozak [8], [] és [4]. Íy a síkbeli elrendezések minősíésére öbbféle füvény is léezik. E füvények közül öbbnek is hibája, hoy a benne szereplő abszolú érék kifejezés mia csak szakaszosan deriválhaóak. A jellemző f ( a, b) = a b összefüés helye az f ( a, b) = ( a b) + ε ε kifejezés használva a füvények deriváljai is folyonosak. Az álalam ismer füvények felsorolása: Poulsen füvénye: () h m (,, ) m (,, ) m (,, ) m (, ) k = k 4 k 3 k 3 4 k 3 4,, m k ( i j, n) = i j + j n i n,, Rozványi. füvénye: (6) h k = [ + ε ( Δ + Δ + Δ + Δ )] q ( 4 + ε ) q 4 k k k3 k4 c c, Rozványi. füvénye: (7) hk = [ 4 + ε ( Δ + Δ + Δ + Δ )] q ( 4 + ε ) q k c k k3 k4 c,

89 Gáspár füvénye: (8) h k = c [ + ε + ] q ( + ε ) q 3 4 c, Gáspár és Rozványi közös füvénye: (9) hk = c [ + ε ( + ) ] q ( + ε ) q 3 4 c, ahol c, ε és q a füvény ulajdonsáai szabályozó ényezők. A kuaás eredményei és ovábbviele szemponjából fonos kiemelni, hoy a Pomezanskiféle () füvénynek öbbféle válozaása is mehaározásra és alkalmazásra kerül. Rozványi pl. háromféle meoldás is javasol, [8]: (6) hk = c Δ kδ kδ k3δ k4, (6) h k = c q ( Δ k ΔkΔk3Δk4 ) ( ε ) q 3 4, (6) h k = c q ( Δ k Δ k Δ k3 Δ ( ε ) q 3 4 k4) min, ahol min a k. csomópono körülvevő elemek közül a levékonyabb vasasáa. E füvények, (6)-(6) nem szimmerikusak. a büneőfüvény érékei,8,6,4, hk hk-mod a sakkáblamináza válozása lépésenkén 6. diaram A () füvény, hk és annak meválozaása (6), hk-mod, c =, q = 7 és ε =, eseén

90 A 6. diaram a (6) módosío füvény ábrázolja. E füvény az üres és vékony elemek alkoa sakkáblánál lineáris, mí a vékony és eli elemek alkoa sakkábla eseén parabolikus örbé ad (. diaram). A szimmeria ilyeén feloldásának oka/mayarázaa, hoy a meoldás szemponjából kevésbé büneendő, ha különböző vasasáú de nem üres elemek alkonak fekee-szürke sakkáblá, min amikor üres és vékony vasasáú elemek alkonak fehérszürke sakkáblá, [6]. A bemuao füvények jellezeesséei és összehasonlíásuka a. Tábláza aralmazza. A ábláza három részre oszlik. Az első rész a vizsál füvényekben alálhaó abszolú érék kifejezések számá adja me. A második rész a füvényérékeke adja me különböző minázaok eseén, a korábban bemuao diaramokéhoz hasonló elrendezésben: először néy üres elem, majd középen ey eli-üres sakkáblamina, véül pedi néy eli elem eseén. E fekee-fehér minázaok közö három-három szürke elemeke is aralmazó ámenei állapo alálhaó. A ábláza harmadik része a füvényérékeke adja me néhány nem büneendő mináza eseében (lásd.. Tábláza fejléce). Eyérelmű, hoy a bemuao képleek ()-(49) és (6)-(6) 4 lényeesen eyszerűbb számíás képviselnek, min a Poulsen álal meado forma (). Iaz ez annak ellenére, hoy a képleek közö öbb is van, (6)-(9), mely bizonyos nem sakkáblamina formáka is büne (. Tábláza). 4 A (6) és (6) képle a [] cikkben hibásan jelen me. Ez a [9] cikkben mejelen ábláza is muaa. A hibáka i korriálam.

91 ABS Fehér Szürke - Fehér F-F Fekee - Szürke Fekee Nem sakkáblamina 4 fv-ek száma Poulsen () Rozványi. (6) Rozvány. (7) Gáspár (8) Rozv/Gásp (9) Pomezanski alap () Rozványi. mod. (6) Rozványi. mod. (6) Rozványi 3. mod. (6) Pomezanski mod. (49),(4),6,4976 6,4976,6 4,,86 39, E+6 39,,86,,86,86,86,6E-4,84,999 E+6,999,84,6E-4,86,86,86,38,937 63,68 E+6 63,68,937,38,937,937,6E-4,84,999 E+6,999,84,6E-4,84,84 E-8,39,43,43,39 E-8 E-4,6,66,66,6 E-4,,6,66,94,8 7,7E-,,6,66,66,6,,7,3,4636,4636,3,7. Tábláza A módosíófüvények összehasonlíása c=, ε=e-4 és q=4 eseén, [9]

92 Füvény az eyes csomóponok minősíéséhez érbeli szerkeze eseén Térbeli (eysényi oldalhosszúsáú kocka-)elemek kapcsolódásának vizsálaakor öbbféle nemkívánaos elrendezés kell kiszűrnünk, [4]: ké álósan elhelyezkedő kocka közöi sarokponi kapcsolao (4. ábra), ké kocka közöi él meni kapcsolao (. ábra), és öbb kocka öbb él menén való csalakozásá (6. ábra). E melle a érbeli elrendezkedés vizsálaához szerenénk felhasználni a síkbeli elrendezésre már meado és kipróbál () füvény ábra Sarokponi kapcsola. ábra Él meni kapcsola 6. ábra Térbeli sakkáblamina 7. ábra Elemek helyzee és jelölésük A füvény mehaározása A síkbeli h () füvény érbeli érelmezheősée érdekében a érbeli elemekhez síkoka rendelünk hozzá: a, oldalsíkok példa b, kereszsíkok példa 8. ábra Ey csomóponhoz rendelheő ha oldalsík és ha kereszsík szemléleése példával, [] Majd síkonkén képezzük a vonakozó néy elem elíesééből a szomszédos elemek elíeséének különbséei 9. ábra. Az 9. ábra i jelöli a csomópon körüli kockák elhelyezkedésé és elíeséé (7. ábra). Az összeköő vonalak, valamin a hozzájuk rendel Δ i különbséek a kockák közöi oldalkapcsolaoka szimbolizálják. Láhaó, hoy ey Δ i különbsé eyszerre öbb síknak is eleme, s íy összesen Δ i érék számolhaó.

93 - 9 - Oldalsíkok: 6 Δ Δ 6 Δ 9 Δ Δ Δ Δ 7 Δ 3 4 Δ Δ Δ 8 Δ Δ = Δ = 3 Δ3 = 3 4 Δ4 = 4 Δ = Δ6 = 6 Δ7 = 3 7 Δ8 = 4 8 Δ9 = 6 Δ = 6 7 Δ = 7 8 Δ = 8 kereszsík: 6 Δ Δ 6 Δ 3 Δ 4 8 Δ3 = Δ4 = 3 8 Δ = 6 Δ6 = 4 7 Δ7 = 8 Δ8 = 7 Δ9 = 4 Δ = 3 6 Δ = 4 Δ = 6 8 Δ3 = 3 Δ = 7 9. ábra Ey csomópon minősíéséhez szüksées seédmennyiséek számíása, [] E seédmennyiséek felhasználásával különböző összefüéseke vizsálhaunk. Elsőkén ekinsük az oldalsíkokra vonakozó seédmennyiséek szorzaá néyzere emelve: (63) ( ) Bf. = Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Ez a füvény csak a énylees érbeli sakkáblaminá bünei 6. ábra. Ekkor éréke ey, különben nulla. Alkalmazzuk az alapfüvény az oldalsíkokon érelmezve és összeezzük azoka: (64) Bf. = ( ΔΔ Δ3Δ4 ) + ( Δ9ΔΔΔ ) + ( ΔΔΔ6Δ9 ) ( Δ Δ Δ Δ ) + ( Δ Δ Δ Δ ) + ( Δ Δ Δ Δ ) Ez a füvény meszámolja az eyazon csomópon körül elhelyezkedő kockák közöi élkapcsolaoka. Sakkáblamináza eseén ez 6, 6. ábra, sarokponi kapcsola eseében pedi zérus (4. ábra). Meemlíendő mé, hoy Bf. (63) érelmezheő úy is, min az i használ 6 alapfüvény szorzaának a néyzeyöke. Ebből kövekezik Bf. viselkedése is: éréke csak akkor lesz zérusól különböző, ha mind a ha a zérusól különböző éréke ad, azaz mind a ha oldallapon sakkáblamina van 6. ábra. Az oldalsíkokhoz hasonlóan, alkalmazzuk a füvény a kereszsíkokra is és képezzük ezek összeé:

94 - 9 - (6) Bf.3 = ( ΔΔΔ3Δ4 ) + ( Δ4ΔΔΔ6 ) + ( ΔΔΔ7Δ8 ) ( Δ Δ Δ Δ ) + ( Δ Δ Δ Δ ) + ( Δ Δ Δ Δ ) Ez a füvény az számolja me, hoy hány kereszsíkon van sakkáblamina. Sarokponi kapcsola eseében íy hárma, 4. ábra, élkapcsola eseében pedi nullá kapunk,. ábra és 6. ábra. Véül, a érbeli minősíés eljessé éeléhez, képezzük e három füvény összeé: (66) Bf = Bf. + Bf. + Bf. 3. Fonos meemlíeni, hoy a füvény nem ökélees: vannak olyan nem sakkáblamina alakzaok, melyek elee esznek bizonyos keresési feléeleknek, Bf.3 (6) és emia büneés kapnak. Pl.: 6. ábra. A ökélelensé oka lehe az is, hoy a minősíő füvény nem esz különbsée affelől, hoy a sarokponi kapcsolao ké eli elem alkoja 6 üres elem melle, vay ké üres elem ha eli elem melle,. Tábláza., 3,, 8 Δ, Δ, Δ 3, Δ 4, 4, 6, 8 Δ 6, Δ 8, Δ, Δ,, 7, 8 Δ, Δ, Δ 7, Δ 8, 4, 6, 7 Δ 4, Δ, Δ, Δ 6, 3,, 7 Δ, Δ 7, Δ 3, Δ 3, 4,, 6 Δ 3, Δ 9, Δ 39, Δ 6. ábra Térbeli alakza, melynek ey kereszsíkján sakkáblamináza van A füvény részeinek és eészének eredményei a. Tábláza aralmazza. A ábláza első oszlopa a csomópon körüli összes kocka és az ezekből nem üres kockák számának arányá muaja. A második oszlopban az ezekhez az arányokhoz arozó érbeli elrendezések láhaóak. Az ez köveő három oszlop az eyes elrendezések kapcsolaai muaja be: az, hoy hány oldal- (o), él- és sarokponi (sp) kapcsola számolhaó me. A haodik oszlopban az láhajuk, hoy ey elrendezés hányféle pozícióban (érben forava) fordulha elő. Ez köveik a érbeli módosíófüvény részei és véül az eésze. [].

95 Kocka Kapcsola db/eli ábra o él sp db Bf Bf Bf3 Bf Kocka Kapcsola db/eli ábra o él sp db Bf Bf Bf3 Bf 8/ / / / / / / / / / Tábláza 3D minázaok és büneésük, []

96 Eyéb füvények Térbeli csomóponi kapcsola körül kialakuló sakkáblamináza vizsálaához ey más szerző álal készíe füvény alálam, [8]. Ennek felépíése hasonló elvek alapján, de kevesebb körülekinéssel örén, íy a füvény ey jelenős hibá is maában folal. Poulsen füvénye érben Poulsen a érbeli vizsálahoz csak ké kriikus kapcsolódási módo ad me: a ké álósan elhelyezkedő kocka közöi sarokponi kapcsolao 4. ábra, valamin a ké kocka közöi él meni kapcsolao. ábra. Az él meni kapcsolaok kiszűréséhez az álala meado síkbeli alakzaok vizsálaára alkalmas () füvény használja a kocka 6 oldalsíkján érelmezve: (67) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, h h h h h h h D lap =. A sarokponi kapcsola vizsálaához viszon csak ké kereszsíko használ (68). Ez azzal mayarázza, hoy a vizsálaban szereplő nyolc kockához 4 áló arozik hozzá. Ké kereszsík mind a néye maában folalja, íy ennyi elé is a sarokponi kapcsola meléének iazolásához. (68) ( ) ( ) ( ) ,,,,,,,,,,,,,, h h h D sarok + =. E felevés hibája, hoy rosszul meválaszo síkok eseén a füvény uyanúy, uyanolyan érékkel minősíhei a sarokponi kapcsolao, min az az ey-ké alakzao, melyek e síkok használaa eseén mefelelnek uyan a sarokponi kapcsola leírásánál ado feléeleknek, de valójában nem képeznek sakkáblaminá. Vay fordíva: nem ad éréke olyan alakzara, melyre bármely más síko válaszva adna 6. ábra. 6. ábra Alakza, melynek ké kereszsíkján nincs, de néy másikon sakkáblaminája van A csomópon környezeének eljes leírásá a ké füvény összee adja:

97 - 9 - (69) h h 3D 3D lap (,, 3, 4,,, 6, 7, 8 ) = 3D (,,,,,,,, ) + h (,,,,,,,, ) sarok Füvény, mely csak a sarokponi kapcsola kialakulásá áolja Ey sarokponi kapcsola kereszsíkjainak minázaa speciális. Az eymásra merőlees ké sík közül az eyiken sakkáblamina, a másikon pedi néy üres elem minája lászik 6. ábra. Íy az ey síkra érelmeze módosíófüvény is kéféle éréke ad: a sakkáblaminára eye, mí a néy üres elemre nullá., 3,, 8 Δ, Δ, Δ 3, Δ 4, 4, 6, 8 Δ 6, Δ 8, Δ, Δ,, 7, 8 Δ, Δ, Δ 7, Δ 8, 4, 6, 7 Δ 4, Δ, Δ, Δ 6, 3,, 7 Δ, Δ 7, Δ 3, Δ 6. ábra Térbeli sarokponi kapcsola és a kereszsíkok minázaai 3, 4,, 6 Δ 3, Δ 9, Δ 39, Δ Az 7.4. fejezeekben leírak és a 6. ábra-6. ábra alapján beláhaó, hoy a kapcsola eyérelmű felismeréséhez mind a ha síko vizsálni kell. Nehézsé eyedül a síkok eymáshoz rendelésében van. Az összefüés úy kell meadni, hoy a fellelheő sakkáblaminák erősísék eymás, de a sarokponi kapcsolaól való elérés esén, fekee-fehér minákra a füvény éréke zérus leyen. Mindez fiyelembe véve a kereszsíkok vizsálaára a kövekező füvény haározam me: (7) CCF.3 új = [( ΔΔΔ3Δ4 ) + ( Δ4ΔΔΔ6 ) ] [( Δ6Δ8ΔΔ ) + ( ΔΔ7Δ3Δ ) ] [( Δ Δ Δ Δ ) + ( Δ Δ Δ Δ ) ] A módosíófüvények haékonysáának növelése Min az 7.4. alapján láhauk, a módosíófüvények c = eseében csak ey viszonyla szűk arományon belül veheik fel éréküke. Az opimálás haékonysáának növelése érdekében szüksé lehe az érékek nayíására, ami a () füvény eseében ey c konsans szorzó bevezeésével, a öbbi füvény eseében pedi a már beépíe c paraméer érékének 9

98 növelésével érünk el, c >. Ha m c fel 4 :, akkor a minimumfelada a kövekezőképpen írhaó / p T (7) min A + mh () u Ku CH, min max, =, K, N. Az m szorzó a meoldás meneé nem befolyásolja, a vasasá éréke (7) p + p R υ = A + mq p, υ éréke pedi (73) p /( + p) / ( + p) A + mq R p ( + p) A p / υ = lesz. R CH P Ezek az eredmények m = eseében a (7) és (8), m = eseében pedi a (4) és (43) eyenleekben bemuao összefüéseke adják, [] Alkalmazások, beállíásokól való füőséek Az eredmények iazolják a módszer eredményesséé és haékonysáá. A Michell-féle konzolaró (. ábra) eyik jellemző eredményének (63.a ábra) külső körvonala közel azonos a korábban bemuaoakkal (... fejeze). A aró belsejéből a jól láhaó (fekee-fehér) sakkáblamezők és láncolaok elűnek. A szerkezeben kialakul rudak elhelyezkedése sűrűbb, a rudak ívesek. Az eredmény helyesséé iazolja hasonlósáa uyanennek az opimálási feladanak az analiikusan mehaározo meoldásához (63.b ábra), melyben a örbék a feszülséi rajekóriáka köveik. 4 A jelölésválásra a c-c beűzavar elkerülése mia kerül sor.

99 a, b, 63. ábra a, x6 méreű árcsa meoldása SIMP eljárással, alapelemenkén vées eleme és a (49) módosío füvény használva, m = és b, az opimálási felada ponos meoldása [9] A meoldás azonban erősen fühe az opimálás véző proram vezérlő paraméereinek beállíásáól (uninolás). A fejezeekben bemuao Co-SIMP alorimus eseében a lefőbb ilyen ényezők: az alkalmazo sarokponi kapcsolaoka vizsáló ún. módosíófüvény, a módosíófüvény haékonysáá növelő m konsans szorzó, az alapelemek száma, az enedékenyséi korlá éréke, a p büneősúly növekedésének méréke (lépésköze), a meenede lenayobb vasasá- (vay sűrűsé-) válozás, a szimmeria lehesées kihasználása, a szerkeze pozicionálása, a fekee-fehér elemeke adó véső módosíó alorimus alkalmazása, sb. E ényezők adják a proram és a módszer meérendő jellezeesséei. Többük haásá az Exended-SIMP alorimus fuására és eredményeire az... fejezeben már bemuaam. Mivel a Co-SIMP alorimus uyanazokra a SIMP elvekre és eljárásokra épül, min az Exended-SIMP alorimus, az o bemuao haások a Co-SIMP eseében is érvényesek. Ezér ebben a fejezeben csak a H () füvény haékonysáának növeléséhez használ m konsans szorzó és a minimális súlyra való ervezés bizosíó p büneősúly válozaásának haásá vizsálom, [] Konzolaró opimálása a () füvénnyel Alkalmazva a Co-SIMP opimáló eljárás ey 6x3-as Michell-féle konzolaróra a () füvénnyel és Δp =, büneősúly növekedési érékel a 64. ábrában bemuao eredményeke kapjuk. m = eseén a aró körvonala jól kiveheő, de a belső, közrezár erülerész

100 sakkáblaminás. m > eseén a maximális elíeséű elemekből álló körvonal és a aró belsejében kialakuló rácsrendszer sakkáblamina és sarokponi kapcsola menes, de a közrezár erüleeken halvány, szürke-fehér árnyalaos sakkáblamina alálhaó. Az eredmények jól köveik az opimális szerkezei forma jellezeesséei (6. ábra,... fejeze). m = eseében a 6.a ábra, m > eseében a 6.b ábra a mérékadó. Fonos kiemelni, hoy maasabb m érék használaakor a aró belsejében lérejövő vékony rudaknak és kapcsolódásaiknak rendszere jobban hasonul az ezak meoldáshoz, valamin hoy a közrezár erüleek sakkáblaminája halványabb, alacsonyabb elíeséű elemekből áll és eyenleesebb. Az m konsans szorzó éréke H () haékonysáának növeléséhez ábra Co-SIMP eredmények a () füvény és válozó m érékek alkalmazásával, [] Konzolaró opimálása a (49) módosío füvénnyel Alkalmazva a Co-SIMP opimáló eljárás ey 6x3-as Michell-féle konzolaróra a (49) füvénnyel és Δp =, büneősúly növekedési érékel a 6. ábrában bemuao eredményeke kapjuk. A kapo opolóiák mindeyike menes a nay kierjedésű, összefüő sakkáblamináól, sarokponi kapcsolaok is csak szürke elemek közö lokálisan alálhaóak. A szerkezeek külalakja jól kövei az opimális szerkezei forma jellezeesséei (6. ábra,... fejeze). Valamennyi eseben a 6.b ábra a mérékadó. Láhaó, hoy maasabb m érék használaakor a aró belsejében lérejövő merevíőrudak kapcsolódásaiknak rendszere jobban illeszkedik az ezak meoldáshoz (63.b ábra), valamin hoy lokálisan kialakuló sarokponi kapcsolaok és a szürke elemek száma, aránya csökken. Az m konsans szorzó éréke H () haékonysáának növeléséhez 6. ábra Co-SIMP eredmények a (49) módosío füvény és válozó m érékek alkalmazásával, []

101 További paraméerfüősé a (49) módosío füvénnyel Alkalmazva a Co-SIMP opimáló eljárás ey 6x3-as Michell-féle konzolaróra a (49) módosío füvénnyel, valamin a Δ p büneősúly növekedési méréké,-ről,3-ra emelve a aró belső rácsozaa meválozik, kidolozalanabbá válik, de az előír feléeleknek mefelel, 66. ábra. A szerkezeek külalakja jól kövei az opimális szerkezei forma jellezeesséei, 6.b és 63.b ábra. Δ p ábra Co-SIMP eredmények a (49) módosío füvény, m = és válozó érékek alkalmazásával, [] A mh () módosíófüvény érékének alakulása az ierációk során A Co-SIMP alorimus ey csak elíe elemeke aralmazó arószerkezei formából indul ki. Ekkor, mivel minden elem oldalaival csalakozik a mellee lévőkhöz és nincsen sarokponi kapcsola, H ( ) =. A számíások során, ahoy a szerkeze új alakja formálódik; fekee-szürke, majd szürke-fehér sarokponi kapcsolaok és sakkáblaminázaok alakulnak ki, a módosíófüvény éréke nő, H ( ) >, 67. ábra. 3,, mh(),, m=7 m=,,, Az ieráció sorszáma 67. ábra A () füvény érékének alakulása az ierációk során, []

102 - - Fonos észrevenni, hoy az mh () füvény éréke a eljes szerkezere és az ieráció eljes meneére nézve mindi a [, 3] inervallumban van. Ismerve az alkalmazo füvény karakeriszikájá (7.4.. fejeze), ez az jeleni, hoy fekee-fehér sarokponi kapcsola és sakkáblamina nem alakul ki, csak kis elíesékülönbséel rendelkező fekee-szürke és szürke-fehér kapcsolaok meenedeek. A 67. ábra alapján láhaó az is, hoy az mh () füvény éréke, elnyomó haása az opimálás kezdeén alacsony, majd meredeken nőni kezd, s véül a szerkeze véső alakjának meformálásával párhuzamban újra csökkenni kezd, mefelelő beállíások eseén ar ey mh ( ) > érékhez.[] Összefolalás, kövekezeések Az előző, 7.6. fejezeben bemuao eredmények iazolják, hoy a Co-SIMP alorimus mefelelően meválaszo, a sarokponi kapcsolaok léé, mejelenésé vizsáló célfüvénnyel haékony a sakkáblamina elnyomásában. A bemuao eredmények alapján láhaó az is, hoy a célfüvény milyensée jelenősen befolyásolja az opimálás meneé, eredményé. Az opimális, minimális súlyú arók külalakja mindi mefelel az elvárásoknak, (... fejeze, 6. ábra), a körülhaárol rácsos része viszon a célfüvény ulajdonsáainak és a haékonysáá szabályozó paraméer beállíásának mefelelően alakul. Mindezek alapján beláhaó, hoy ey mehaározo feladara, az elemszámól füelenül, öbbféle, az ado feléeleknek mefelelő, lokális opimum enerálhaó. Eysées eredmények eléréséhez ovábbi feléelek meadása szüksées, ld.... fejeze.

103 ÖSSZEFOGLALÁS, TÉZISEK FELSOROLÁSA Az ismeree kuaás eredményei összefolaló ézisek felsorolása elő hansúlyozom, hoy noha az -3. ézisben szereplő eljárások az irodalomból ismerek, a számíásoka sajá fejleszésű, álalam ír proramokkal véezem.. TÉZIS Ismer véeselem-modellek és eyenlő oldalhosszúsáú derékszöű elemek felhasználásával numerikus számíásoka véezem eszőlees csomóponokon ado elmozdulással erhel, álalános elrendezésű és meámaszású néyzeelemekből felépíheő árcsák, valamin kockaelemekből felépíheő érbeli alakzaok alakválozási eneriájának, vay enedékenyséének mehaározására. A kapo eredményekkel iazolam az alapelemenkén öbb eyszerű véeselem használaának célszerűséé, haékonysáá..a. Memuaam, hoy a lealacsonyabb (síkban 4, érben 8) csomóponszámú eyszerű véeselemekből alapelemenkén öbbe használva (síkban n, érben 3 n, n =,,... szerkeze eészére nézve ey ado elmozdulás elérésekor az alakválozási eneria és/vay az enedékenysé éréke jelenősen csökken..b. Memuaam, hoy az opimálás véén lekönnyebb szerkezekén memaradó dianális elemláncolaoka nem az alapelem-háló és nem a véeselem-háló durvasáa okozza..c. Memuaam, hoy a felbonás finomíásával lérejövő eneriacsökkenés haással van a opolóiai opimálás eredményére, az opimális alakza formájára. A ézishez felhasznál publikációim: [], [], [3].. TÉZIS A SIMP módszernek és az eyszerű véeselemekre feloszo alapelemeknek a ársíásával lérehozo Exended-SIMP alorimus és proramo felhasználam Michell-féle árcsaszerkezeek opolóiai opimálására. A kapo eredményeke felhasználam a proram beállíásfüőséének, valamin az opimálás haékonysáának mehaározására..a. Példákkal iazolam, hoy az Exended-SIMP alorimus haékony az eselees sakkáblaminázaok mejelenésének korláozásában, meakadályozásában..b. Numerikus vizsálaokkal memuaam az, hoy az alkalmazo alapelemszám, véeselemszám és az enedékenyséi korlá meválaszása hoyan befolyásolja az opimálás eredményé, azaz a szerkeze alakjá. ) a

104 - -.c. Memuaam, hoy az eyszerű véeselemekre feloszo alapelemek alkalmazása haékonnyá eszi a súlyminimumra örénő opimálás, memuaam, hoy az enedékenyséi korlá kihasználsáa maximális. A ézishez felhasznál publikációim: [], [3], [6], []. 3. TÉZIS Az Exended-SIMP módszeré felhasználam olyan árcsaopimálási feladaok meoldására, melyekben bizonyos elemek vasasáa (elíesée) nem válozahaó (SIMP-NDR). 3.a. Eredményekkel iazolam, hoy a rözíe elemek jelenlée a proram ulajdonsáai, ada- és beállíásfüőséé nem befolyásolja. Az eneria és az elemszám közöi összefüés (.b. Tézis) válozalan feléelekkel jelen van. 3.b. A proram seíséével mehaározam ey koncenrál erővel erhel rövidkonzol lehesées opimális alakjai, mind álalános, mind NDR eseben. A kapo eredmények köveik a ponos meoldásban mehaározo alakoka. Ezzel iazolam a Rozványi Gy. álal mehaározo analiikus meoldások (kölséfüvények) helyállósáá. 3.c. A konzolaróra kapo opimálási eredményeim memuaják, nyomaékosíják a ponos számíásokban használ rácsos arókól való elérés, a árcsaszerkezeekben mejelenő nyomaéki haás kövekezményei (belső diaonális merevíések). A ézishez felhasznál publikációim: [7], [8], [9]. 4. TÉZIS A opolóiai opimálás eredményeiben mejelenő sakkáblaminá, diaonális elemláncolaoka vay elszieel csuklóka lérehozó sarokponi kapcsola(ok) meléé felismerő, a kapcsola(ok) erősséé a részvevő elemek elíesée alapján érékelő, a mináza kierjedséé, a sarokponi kapcsolaok számá mérő füvény(eke) hozam lére. 4.a. Új, haékony füvény adam me síkbeli minázaok vizsálaára. A füvény ulajdonsáai elemezem, haékonysáá a füvény módosíásával növelem. 4.b. Többféle, mások álal meado, síkbeli minázaok minősíésére alkalmas füvény ulajdonsáai, haásá vizsálam. Meállapíoam előnyüke, hárányuka. 4.c. Az álalam mealkoo síkbeli füvény felhasználam érbeli minázaok minősíéséhez is: A vizsál csomópono körülvevő, nyolc kockaelemből álló alakzaokhoz síkoka rendelem hozzá. Ezen síkok érékelésének mefelelő kombinációjával füvényeke alkoam a érbeli sarokponi kapcsola és a érbeli élmeni kapcsola felismerésére, minősíésére.

105 - 3 - A síkbeli füvény felépíése alapján füvény alkoam, mely felismeri a valódi érbeli sakkáblaminá és az elemek elíeséének füvényében érékeli az. A ézishez felhasznál publikációim: [4], [6], [8], [9], [].. TÉZIS A bemuao sarokponi kapcsolaoka felismerő füvények seíséével új opimálási cél, új minimumfeladao foalmazam me..a. A SIMP alorimus és a sarokponi kapcsolaoka felismerő és érékelő füvény felhasználásával olyan Co-SIMP alorimus készíeem a kvázi-kédimenziós árcsaszerkezeek opolóiai opimálásához, melyben a sakkáblamina elnyomásá véző füvény célfüvénykén szerepel..b. A Co-SIMP alorimus és az álalam mealkoo füvények összekapcsolásával, numerikus példák seíséével iazolam, hoy füvényeim alkalmasak a feladauk elláására, haékonyak a fekee-fehér sakkáblaminák és sarokponi kapcsolaok elnyomásában..c. Numerikus vizsálaokkal memuaam a sarokponi kapcsolaok mejelenésé áló füvény haékonysáának növelésé célzó, az opimálás meneé szabályozó paraméer meválaszásának a Co-SIMP opimálás eredményére, alakzaára veíe haásá. A ézishez felhasznál publikációim: [4], [], [6], [9], []. 8.. A ovábbi kuaások célkiűzései A ézisekben összefolal eredmények fonos részei a SIMP fejlődésének. Az elkészül számíóépes proramok alkalmazhaósáának és minőséének fejleszése szemponjából fonos ey a haékonysá mérésére alkalmas módszer kidolozása, mely mind a keős feloszás alkalmazó és ezálal a sakkáblamina elnyomására alkalmas Exended-SIMP, mind a sarokponi kapcsolaok elnyomásá célzó Co-SIMP alorimus eredményei érékeli, összehasonlíhaóvá eszi. Az érekezésben és az eddii kuaásokban a sakkáblaminázao minősíő füvények a sarokponi kapcsolaok felismerése és minősíés szemponjából maemaikai alapon leek öszszehasonlíva, az alorimus haékonysáának szemponjából (fuási idő, ieációk száma, sb.) nem. Az opimálás eredményeinek összehasonlíásá is csak az álalam mealkoo sarokponi kapcsolao minősíő füvények felhasználásával és csak a Michell-féle konzolaróra véezem el. Célom a fuahaósá és az összehasonlíhaósá kierjeszése valamennyi füvényre és más arószerkezei formákra is.

106 - 4 - Az i bemuao eredmények, valamin mások kuaási eredményei alapján is eyérelmű le, hoy a szerkezeben az opimálás során kialakuló lyukak, üreek számá szabályozni kell. Erre alkalmas meoldás lehe mind a kerülei hossz szabályozása (... fejeze), mind eyéb mérekonrol, pl. a hosszúsá 43 korláozásának meadása. Ismer ovábbá az is, hoy e módszerek önmaukban is képesek a sakkáblamina elnyomására. Célom ehá ey olyan meoldás keresni, mely a hézaok, lyukak számának szabályozása melle a sarokponi kapcsolaok kialakulásá is áolja. Az érekezésben elsősorban síkbeli szerkezeek vizsálaá muaam be. A módszereke kierjeszeem érbeli szerkezeekre is, de az opimálás és az eredmények elemzésé nem vezem el. Ennek okai jelenős mérékben az eredmények bemuaásának, a rafikus ábrázlásnak nehézséei, valamin a haékonysá mebízhaó mérőszámának, az összehasonlíhaósának a hiánya volak. Mindezek ellenére célom valamennyi új leheősée és eredményeme érbeli szerkezeekre is kierjeszeni. 8.. Köszönenyilváníás Ezúon szereném meköszönni Vásárhelyiné Szabó Annának, hoy elindío az okaásikuaási pályán, hoy szakmaila és emberile irányíoa, seíee kezdei lépéseime. Köszönee mondok Rozványi Györynek az ezen érekezésben is bemuao kiűnő kuaási émáér, a kuaás vezeéséér, menedzseléséér, hoy leheővé ee és seíee számomra a opolóiai opimálás meismerésé, mekedvelésé. Köszöneel arozom Gáspár Zsolnak, kiűnő koordinációs munkájáér, meéréséér, anácsaiér, úmuaásaiér. Ezúon szereném meköszönni a BME Tarószerkezeek Mechanikája Tanszék valamennyi dolozójának, hoy hosszú időn á seíeek és ámoaak anszéki feladaaim elláásában, kuaási céljaim elérésében, leheővé eék eredményeim publikálásá, konferenciákon örénő bemuaásá. A szerző köszöneé fejezi ki az OTKA T379, T9638 és a K6 kuaások kereében kapo anyai ámoaásokér. És véül köszönöm a PTE PMMK Szilárdsáan és Tarószerkezeek Tanszék dolozóinak, hoy seíeek disszerációm meírásában, seíenek okaási és kuaási munkám folyaásában. 43 Anolul Lenh Scale

107 IRODALOMJEGYZÉK 9.. A szerző fonosabb TÉZIS-ekhez kapcsolódó publikációi [] Rozvany, G.I.N.; Querin, O.M.; Gáspár Zs.; Pomezanski V.: Exended opimaliy in opoloy desin, in Srucural and Mulidisciplinary Opimizaion, Spriner, Volume, Number 3,. pp doi:.7/s8--3-x [] Rozvany, G.I.N.; Querin, O.M.; Pomezanski V.: Checkerboards, Elemen Chains and Hines in Topoloy Opimizaion: Causes and Prevenion, in Goslin, P. (Edior) Exended Absracs of he 4 h ASMO UK / ISSMO conference, Enineerin Desin Opimizaion, Produc and Process Improvemen, Newcasle upon Tyne, UK, Universiy of Newcasle upon,. pp [3] Rozvany, G.I.N.; Querin, O.M.; Gáspár Zs.; Pomezanski V.: Weih-increasin effec of opoloy simplificaion, in Srucural and Mulidisciplinary Opimizaion, Spriner, Volume, Number -6, 3. pp doi:.7/s [4] Rozvany, G.I.N.; Pomezanski V.; Querin, O.M., Gáspár Zs.; Lóó J.: Corner conac suppression in opoloy opimizaion, in Querin, O.M.; Sienz, J.; Toropov, V.V.; Goslin, P. (Ediors), Exended Absracs of he h ASMO UK / ISSMO conference, Enineerin Desin Opimizaion, Produc and Process Improvemen, Sraford upon Avon, UK, 4. pp [] Pomezanski V.; Querin, O.M.; Rozvany, G.I.N.: CO-SIMP: exended SIMP alorihm wih direc COrner COnac COnrol, in Srucural and Mulidisciplinary Opimizaion, Spriner, Volume 3, Number,. pp doi:.7/s [6] Pomezanski V.: "Topolóiaopimálási feladaokban mejelenő sakkáblamináza kiküszöbölésének ey módja", in Barna Zs.; Józsa Zs. (Ediors), Dokori kuaások a BME Épíőmérnöki Karán, Budapes, Hunary,. pp. 9. [7] Rozvany, G.I.N.; Querin, O.M.; Lóó J.; Pomezanski V.: Exac analyical heory of opoloy opimizaion wih some pre-exisin members or elemens, in Srucural and Mulidisciplinary Opimizaion, Spriner, Volume 3, Number, 6. pp doi:.7/s [8] Rozvany, G.I.N.; Querin, O.M.; Pomezanski V.; Gáspár Zs.; Lóó J.: Some basic issues of opoloy opimizaion in Bendsoe, M.P.; Olhoff, N. and Simund, O. (Ediors), IUTAM Symposium on Topoloical Desin Opimizaion of Srucures, Machines and Maerials, Series of Solid Mechanics and Is Applicaions, vol. 37. Par.., Spriner, 6. pp doi:.7/-4-47_8 [9] Pomezanski V.: "Numerical Mehods o Avoid Topoloical Sinulariies", in Toppin, B.H.V.; Monero, G.; Monenero, R. (Ediors), Proceedins of he Eihh Inernaional Conference on Compuaional Srucures Technoloy, Civil-Comp Press, Sirlinshire, UK, Paper, 6. doi:.43/ccp.83. [] Pomezanski V.: "Corner Conac Penaly Funcions in Plane and in Space", in Pollack Periodika, An Inernaional Journal for Enineerin and Informaion Sciences, Akadémiai kiadó, Hunary, Volume, 7. pp. 39. doi:.6/pollack..7..4

108 - 6 - [] Pomezanski V.: "Heurisic Feaures of he Exended SIMP Alorihm in Topoloy Opimizaion", in Toppin, B.H.V.; Cosa Neves, L.F.; Barros, R.C. (Ediors), Proceedins of he Twelfh Inernaional Conference on Civil, Srucural and Environmenal Enineerin Compuin, Civil-Comp Press, Sirlinshire, Unied Kindom, paper 6, 9. doi:.43/ccp.9.6 [] V. Pomezanski, "Heurisic Feaures of he Co-SIMP Alorihm in Topoloy Opimizaion: Numerical Examples", in B.H.V. Toppin, J.M. Adam, F.J. Pallarés, R. Bru, M.L. Romero, (Ediors), Proceedins of he Tenh Inernaional Conference on Compuaional Srucures Technoloy, Civil-Comp Press, Sirlinshire, UK, Paper 3,. doi:.43/ccp További hivakozások [3] Ae, J.; de Weck, O.; Sobiszczanski-Sobieski, J.; Andersen, P.; Morris, A.; Spieck, M.: MDO: assessemen and direcion for advancedmen- an opinion of one inernaional roup, Srucural and Mulidisciplinary Opimizaion, Spriner, Volume 4, Number -6, January. pp doi:.7/s [4] Bazaraa, M.S.; Sheraly H.D.; Shey, C.M.: Nonlinear Prorammin, Theory and Alorihms, hird ediion, by John Wiley & Sons, INC. 6. [] Bendsøe, M.P.: Opimal shape desin as a maerial disribuion problem, Srucural Opimizaion, Volume pp [6] Bendsøe, M.P.; Simund, O.: Topoloy Opimizaion, Theory, Mehods and Applicaions, Spriner, Berlin 3. [7] Bojár I.; Gáspár Zs.: Tarók Saikája IV. (Véeselem-módszer), Eyeemi jeyze (J- 9), Műeyeemi Kiadó, 993. [8] Bulman, S.; Sienz, J.; Hinon E.: Comparison beween alorihms for srucural opoloy opimizaion usin a series of benchmark sudues, Compuers and Srucures, Elsevier,. Volume 79, pp [9] Csébfalvi A., Csébfalvi Gy. A New Exerior Poin Mehod for Opimal Truss Topoloy Desin, Szima, 998. Vol. XXIX/-. pp [] Csébfalvi A.: Evoluion mehods for discree minimal weih desin of space russes wih sabiliy consrains, Journal of Compuaional and Applied Mechanics, Volume 6, Number,. pp [] Csébfalvi A.: Opimal desin of frame srucures wih semi-riid joins, Periodica Poliechnica of Civil Enineerin, Volume, Number, 7. pp. 9. doi:.33/pp.ci.7-- [] Csébfalvi A.: Ey haékony hibrid heuriszika rácsos hídszerkezeek opimális ervezésére, Épíés- és Épíészeudomány, Akadémiai Kiadó,, Volume 38, Numbers 3-4, pp doi:.6/eptud [3] Diaz, A.; Simond, O.: Checkerboard paerns in layou opimizaion, Srucural and Mulidisciplinary Opimizaion, Spriner, Volume, Number, Auus 99. pp doi:.7/bf [] Eschenauer, H.; Olhoff, N.; Schnell, W.: Applied Srucural Mechanics, Fundamenals of Elasiciy, Load-Bearin Srucures, Srucural Opimizaion, Spriner 997, pp

109 - 7 - [] Farkas J.; Jármai K.: Minimum maerial cos desin of five-layer sandwich beams, Srucural and Mulidisciplinary Opimizaion, Spriner, Volume, Number 3-4, 998, pp. -. doi:.7/bf334 [6] Farkas J.; Jármai K.: Opimum desin of welded siffened plaes loaded by hydrosaic normal pressure, Srucural and Mulidisciplinary Opimizaion, Spriner, Volume, Number 4,, pp doi:.7/s86 [7] Farkas J.; Jármai K.; Snyman, J.A.: Global minimum cos desin of a welded square siffened plae suppored a four corner, Srucural and Mulidisciplinary Opimizaion, Spriner, Volume,, pp doi:.7/s8---8 [8] Ghaemi, M.: Topoloy opimizaion problems usin opimaliy crieria mehods, PhD érekezés, 9. [9] Gáspár Zs.; Lóó J.; Rozvany, G.I.N.: Addenda and corrienda o: () Aims, scope, mehods, hisory and undefined erminoloy of compuer-aided opoloy opimizaion in srucural mechanics and () On desin-dependen consrains and sinular opoloies (Vol., No.,, pp. 9-8; 64-7), Srucural and Mulidisciplinary Opimizaion, Spriner, Volume 4,, pp doi:.7/s x [3] Gáspár Zs.; Rozványi Gy.; Pomezanski V.: Tarószerkezeek opimális ervezése GÉP, A Gépipari Tudományos Eyesüle Műszaki Folyóiraa, LVI. évfolyam, /- 3, pp [3] Haber, R.B.; Jo, C.S.; Bendsøe; M.P.: A new approach o variable-opoloy shape desin usin a consrain on perimeer, Srucural and Mulidisciplinary Opimizaion, Spriner, Volume, Number -, 996. pp. -. doi:.7/ BF79647 [3] Heenier, G.A.; Praer, W.: On Michell Truss, in In. J. Mech. Sci.,, 969, 9-. [33] Jármai K.: Sinle- and muliobjecive opimizaion of a welded sriner-siffened cylindrical shell, Periodica Poliechnica, Civil Enineerin, Volume, Number, 7. pp. -8. doi:.33/pp.ci.7-.3 [34] Jármai K.; Farkas J.: Opimum cos desin of welded box beams wih loniudinal siffeners usin advanced backrack mehod, Srucural and Mulidisciplinary Opimizaion, Spriner, Volume, Number,. pp. 9. doi:.7/ s867 [3] Johnson, C.; Pikärana, J.: Analysis of Some Mixed Finie Elemen Mehods Relaed o Reduced Ineraion, Mahemaics of Compuaion, Volume 38, Number 8, April 98. pp [36] Kaliszky S., Lóó J.: Discree opimal desin of elaso-plasic russes wih usin compliance and sabiliy consraines, Srucural and Mulidisciplinary Opimi-zaion, Spriner, Volume, Number -3, 998. pp doi:.7/bf34 [37] Kaliszky S., Lóó J., Nédli P.: Rúdszerkezeek eherbírásának számíása és opimális ervezése, eyeemi jeyze, kézira, 998. [38] Kaliszky S., Lóó J.: Layou opimizaion of riid-plasic srucures under hih inensiy, shor-ime dinamic pressure, Mechanics Based Desin of Srucures and Machines, Volume 3, Number, 3. pp. 3. doi:.8/sme-88

110 - 8 - [39] Kaliszky S., Lóó J.: Opimal desin of elaso-plasic seel frames loaded by normal and exreme loads and subjeced o displacemen, deformaion and sress consrains, Journal of Compuaional and Applied Mechanics, Volume 7, Number, 6. pp. -. [4] Kovács G.; Groenwold, A.A.; Jármai K.; Farkas J.: Analysis and opimum desin of fibre-reinforced composie srucures, Srucural and Mulidisciplinary Opimizaion, Spriner, Volume 8, Number -3, 4. pp doi:.7/ s [4] Kuyłowski, R.: On nonunique soluions in opoloy opimizaion, Srucural and Mulidisciplinary Opimizaion, Spriner, Volume 3, Number, Februar 4. pp doi:.7/s8---8 [4] Lewinsky, T.; Zhou, M.; Rozvany, G.I.N.: Exended exac soluions for leas-weih russ layous, Par I. Canilever wih horizonal axis of symmery. Par II. Unsymmeric canilevers, Inernaional Journal of Mechanical Science, Volume 36, 994. pp [43] Li, Q.; Seven, G.P.; Xie, Y.M.: A simple checkerboard suppression alorihm for evoluionary srucural opimizaion, Srucural and Mulidisciplinary Opimizaion, Spriner, Volume, Number 3, Ocober. pp doi:.7/s84 [44] Lóó J.: New ype of opimal opoloies by ieraive mehod, Mechanics Based Desin of Srucures and Machines, Volume 3, 7. pp doi:.8/sme- 673 [4] Lóó J.: New ype of opimaliy crieria mehod in case of probabilisic loadin condiions, Mechanics Based Desin of Srucures and Machines, Volume 33,. pp doi:.8/ [46] Lóó J.; Ghaemi, M.; Vásárhelyi A.: Sochasic compliance consrained opoloy opimizaion based on opimaliy crieria mehod, Periodica Poliechnica, Civil Enineerin, Volume, Number, 7. pp. -. doi:.33/pp.ci.7-. [47] Lóó J.: Rualmas-képlékeny szerkezeek méreezése időől füő saikus jelleű erhelés eseén paramerikus maemaikai proramozással, Épíés-Épíészeudomány, Volume 3, Number, 7. pp doi:.66/éptud [] Lóó J.; Ghaemi, M.; Movahedi Rad, M.: Opimal opoloies in case of probabilisic loadin: he influence of load corellaion, Mechanics Based Desin of Srucures and Machines, Volume 37, 9. pp doi:.8/ [49] Michell, A.G.M.: The limis of economy of maerial in frame srucures, Philos. Ma. Volume 8, 94. pp [] Pomezanski V.; Vásárhelyi A.; Chevallier, D.: Analysis of Boundary Condiions of Srucural Elemens, in Molnár K., Ziaja Gy., Vörös G. (Ediors), Gépésze 98. Proceedins of Firs Conference on Mechanical Enineerin, Spriner Hunarica, 998. Vol.. pp. -3. [] Pomezanski V.; Vásárhelyi A.: Opimal Place and Type of The Minimal Suppor Desin, in Molnár K., Ziaja Gy., Vörös G. (Ediors), Gépésze. Proceedins of Second Conference on Mechanical Enineerin, Spriner,. Volume. pp

111 - 9 - [] Pomezanski V.; Vásárhelyi A.: Opimal Desin of Boundary Condiions, Periodica Polyechnica, Civil Enineerin, Hunary, Volume 44, No.,. pp doi:.33/pp.ci.-.7 [3] Pomezanski V.: Opimálási feladaok, in Bai K.; Szekeres A. (Ediors) Műszaki Mechanika. MTA-BME Mechanika Kuaóközössé Konferenciá-jának kiadványa, Műeyeemi kiadó, Budapes,. pp [4] Pomezanski V.: Chanin Connecions Beween Srucural Elemens Durin an Opimizaion Process, Journal of Compuaional and Applied Mechanics Volume, No.. 4. pp [] Pomezanski V.: Comparin he End-Resuls of he TNO and SIMP Mehods of Topoloy Opimizaion", in Toppin, B.H.V. (Edior), Proceedins of he Elevenh Inernaional Conference on Civil, Srucural and Environmenal Enineerin Compuin, Civil-Comp Press, Sirlinshire, UK, Paper 3, 7. doi:.43/ccp.86.3 [6] Pomezanski V.: Opimizaion in Srucural Enineerin, in Váradi G. (Edior), Inernaional Conference on Enineerin Educaion (ICEE8), New Challenes in Enineerin Educaion and Research in he s Cenury, Hunary, 8. CD-ROM 8p. ISBN [7] Pomezanski V.: Topoloy Opimizaion of Trusses Modeled Similar o Truss-like Srucures, in Toppin, B.H.V.; Papadrakakis, M. (Ediors), Proceedins of he Ninh Inernaional Conference on Compuaional Srucures Technoloy, Civil-Comp Press, Sirlinshire, UK, Paper 74, 8. doi:.43/ccp [8] Poulsen, T.A.: A simple scheme o preven checkerboard paerns and one node conneced hines in opoloy opimizaion, in Srucural and Mulidisciplinary Opimizaion, Spriner, Volume, Number, November. pp doi:.7/s8---x [9] Praer, W.; Rozvany, G.I.N.: Opimizaion of srucural eomery (invied lecure) in Benarek, A.R.; Cesari, L. (Ediors) Dynamical sysems, Proceedins of Universiy of Florida inernaional symposium, Gainesville, March 976. Academic, New York, pp [6] Praer, W.; Rozvany, GIN.: Opimal layou of rillaes, Journal of Srucural Mechanics, Volume, 977. pp. -8. [6] Rozvany, GIN. and Adidam: Recanular rillaes of leas weih, Journal of Enineerin Mechanics ASCE, Volume 98, 97. pp [6] Rozvany, GIN.; Olhoff, N.; Bendsøe, MP.; On, TG.; Sandler, R.; Szeo, WT.: Leasweih desin of perforaed elasic plaes I, II, Inernaional Journal of Solids and Srucures, Volume 3, 987. pp. 36, 37. [63] Rozvany, GIN.; Zhou, M.: Applicaions of he COC mehod in layou opimizaion, in Echenauer, H.; Maeck, C. and Olhoff, N. (eds) Proc In Conf Enineerin Opimizaion is Desin Processes (Karlsruhe, 99), Spriner-Verla, Berlin 99. pp9-7. [64] Rozvany, G.I.N.; Zhou, M.; Birker, T.: Generalized shape opimizaion wihou homoenizaion, Srucural and Mulidisciplinary Opimizaion, Spriner, Volume 4, Number 3-4, Ocober 99. pp. -. doi:.7/ BF7474

112 - - [6] Rozvany, G.I.N.; Birker, T.: On sinular opoloies in exac layou opimizaion, Srucural and Mulidisciplinary Opimizaion, Spriner, Volume 8, Number 4, December 994. pp doi:.7/bf7477 [66] Rozvany, G.I.N.: Exac analyical soluions for some popular benchmark problems in opoloy opimizaion, Srucural and Mulidisciplinary Opimizaion, Spriner, Volume, Number, February 998. pp. 4-. doi:.7 /BF97436 [67] Rozvany, G.I.N.: Aims, scope, mehods, hisory and unified erminoloy of compuer-aided opoloy opimizaion in srucural mechanics, Srucural and Mulidisciplinary Opimizaion, Spriner, Volume, Number, April. pp doi:.7/s874 [68] Rozvany, G.I.N.; Pomezanski V.; Gáspár Zs.; Querin, O.M.: Some Pivoial Issues in Srucural Opimizaion, in Herskovis, J.; Mazorche, S.; Canelas, A. (Ediors) 6 h World Conress on Srucural and Mulidisciplinary Opimizaion (WCSMO6), Book of Absracs and CD-ROM Proceedins, paper 9,. [69] Rozvany, G.I.N.: A criical review of esablished mehods of srucural opoloy opimizaion, Srucural and Mulidisciplinary Opimizaion, Spriner, Volume 37, Number 3, January 9. pp doi:.7/s877 [7] Simund, O.; Peerson, J.: Numerical insabiliies in opoloy opimizaion: A survey on procedures dealin wih checkerboards, mesh-dependencies and local minima, Srucural and Mulidisciplinary Opimizaion, Spriner, Volume 6, Number, July 998. pp [7] Vásárhelyi A.; Lóó J.: Opimizaion echnique in case of ime-dependen loadin, Journal of Compuaional and Applied Mechanics, Volume 4, Number, 3. pp [7] Zhou, M.; Rozvany, G.I.N.: The COC alorihm, par II: opoloical, eomerical and eneralized shape opimizaion, Compuer mehods in applied mechanics and enineerin, Volume 89, Issue -3, Au. 99. pp [73] Zhou, M.; Shyy, Y.K.; Thomas, H.L.: Checkerboard and minimum member size conrol in opoloy opimizaion, Srucural and Mulidisciplinary Opimizaion, Spriner, Volume, Number, April. pp. 8. doi:.7/s879

113 - F/ -. FÜGGELÉK.. Elemi merevséi márixok... Tárcsa alapelem n néycsomóponos véeselemmel A néycsomóponos néyzeelemre eredményül ey 8 8 = 64 elemű elemi merevséi márixo kapunk (74). Az eredményül kapo márixból láhaó, hoy a merevsé nem fü az a oldalhosszúsáól, íy e márix seíséével bármilyen néyzeelemekből álló árcsaalak előállíhaó eszőlees méreben és eszőlees elemszámmal. (74).

114 - F/ - A vizsálódás során kéféle anyaípus alkalmazunk: E =, és ν =, Ekkor a merevséi márix a kövekező alakokra eyszerűsödik: (7) , valamin E =, és ν =. 3. Ekkor a merevséi márix : (76) Alkalmazások A néycsomóponos néyze alakú árcsaelem, min véeselem merevséi márixá a kövekező alorimusok elkészíéséhez használam fel:. Néyze alakú n véeselemből álló csak a sarokponjain meámaszo és erhel árcsaszerkeze (alapelem) poenciális eneriájának számíása (4... fejeze): A néycsomóponos néyzeelemekből előállío n elemből álló néyzealakzaok merevséi márixa ey ( n +) méreű sávmárix, melyben a fél sávszélessé ( n + 3) eljes sávszélessé pedi a 4( + 3) n összefüés alapján számolhaó., a

115 - F/3 -. Néyzealakban 4 alapelemből álló fekee-fehér minázaok vizsálaa az alapelemek eszőlees n elemű vées elemes felbonása eseén (4... fejeze). 3. Teszőlees alakú, eszőlees számú néyze alakú alapelemből álló árcsaszerkezeek poenciális eneriájának számíása az alapelemek eszőlees n elemű vées elemes felbonása eseén. 4. Teszőlees alakú, eszőlees számú néyze alakú alapelemből álló árcsaszerkezeek opolóiai opimálása az alapelemek eszőlees n elemű vées elemes felbonása eseén (Exended-SIMP és SIMP-NDR alorimusok).. Teszőlees alakú, eszőlees számú néyze alakú alapelemből álló árcsaszerkezeek opolóiai opimálása a sakkáblamina kialakulásá áló célfüvénnyel (Co-SIMP alorimus).... Tárcsa alapelem ey k csomóponú véeselemmel E A merevséi márix 3 3 = 9 csomópon eseén ν éréke kiemelve:

116 - F/4 - (77) 7 7 ν 4 ν ν 8 9 ν 6 7 ν ν 8 8 ν ν ν + 4 ν 9 9 ν 4 ν ν 8 4 ν 8 ν 9 ν ν ν 7 7 ν ν 4 ν ν ν 8 8 ν 4 ν 6 7 ν 8 9 ν ν + 4 ν ν 9 ν 8 7 ν ν ν 4 ν ν 8 7 ν 8 9 ν ν 3 4 ν 6 8 ν ν 4 7 ν 8 9 ν ν + 4 ν ν ν ν 8 8 ν ν ν ν ν + 4 ν 9 9 ν 9 ν ν ν 9 ν ν 4 ν 8 8 ν 4 ν ν 4 ν ν 8 4 ν 4 8 ν ν ν 9 ν ν 4 ν ν 4 ν ν 8 ν ν ν 4 ν 8 8 ν 9 8 ν 4 ν 8 ν 8 8 ν 4 ν 6 8 ν ν ν 4 ν 8 8 ν 9 ν ν + 4 ν ν 8 9 ν ν 8 ν 8 8 ν 4 ν 8 7 ν ν ν ν + 4 ν ν 4 ν ν 4 ν ν 8 9 ν ν + 4 ν 8 8 ν ν ν ν ν ν ν ν ν + 4 ν 9 9 ν 4 ν ν + 4 ν ν ν ν ν ν + 4 ν ν ν ν 6 7 ν 8 9 ν ν 4 ν ν 9 ν 4 ν ν ν ν 4 ν ν ν ν ν ν 4 8 ν ν + 4 ν ν ν ν 9 ν ν + 4 ν 6 7 ν ν ν ν 4 3 ν 4 ν ν ν ν + 4 ν ν 4 ν 8 ν 9 ν ν 8 ν ν ν ν ν ν 3 4 ν 4 ν ν ν ν 4 ν ν 4 ν 6 ν 8 ν ν 4 8 ν 9 ν ν + 4 ν ν 8 9 ν ν 4 ν ν 8 9 ν ν ν 8 ν 8 7 ν ν 8 8 ν 4 ν ν 8 ν ν 8 9 ν ν + 4 ν 8 8 ν 9 ν ν 4 ν 6 8 ν ν 8 8 ν 4 ν 9 ν ν 4 4 ν ν ν ν 9 ν ν + 4 ν ν 4 ν ν 7 8 ν 4 ν ν + 4 ν ν 8 9 ν ν ν 4 ν 8 7 ν 9 ν ν 8 ν 4 ν 4 ν ν ν 4 ν ν + 4 ν ν ν 4 7 ν 8 9 ν + 6 ν ν ν ν ν 8 7 ν 8 9 ν 6 8 ν ν ν 4 ν ν 7 7 ν ν ν 4 ν 8 7 ν ν ν 9 ν ν + 4 ν 6 7 ν 8 9 ν 8 ν 8 4 ν ν ν ν 4.

117 - F/ - A vizsálódás során kéféle anyaípus alkalmazunk: = E, és = ν. Ekkor a merevséi márix a kövekező alakra eyszerűsödik: (78). Valamin = E, és 3 =. ν. Ekkor a merevséi márix: (79)

118 - F/6 - Alkalmazások A k csomóponos néyze alakú árcsaelem merevséi márixá a kövekező alorimus elkészíéséhez használam fel: Néyze alakú k csomóponú csak a sarokponjain meámaszo és erhel árcsaszerkeze (alapelem) poenciális eneriájának számíása (4... fejeze)...3. Térbeli alapelem n 3 kocka véeselemmel Ey nyolccsomóponos kockaelemre eredményül ey = 6 elemű elíe merevséi márixo kapunk. A márix ( ν )( ν ) + E konsans éréke kiemelve:

119 - F/7 - (8) a ( + 3 ν ) a a,,, a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a a ( 4 ν ) a a ( + 6 ν ) a,,,,,,, a ( 4 ν ) a a a ( 4 ν ) a ( + 6 ν ) a ( 4 ν ) a,,,,,,, a ( 3 ν ) a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a a ( + 3 ν ),,,,, a, a a, a ( + 3 ν ) a ( 4 ν ) a a a ( 4 ν ) a,,,,,, a ( 4 ν ) a,, a ( + 6 ν ) a ( 4 ν ) a a a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a ( 3 ν ) a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a ( + 6 ν ) a,,,,,,,,,,, a, a a ( + 3 ν ),, a a a,, a ( + 3 ν ) ( 4 ν ) a a a a ( 4 ν ) a a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a ( 3 ν ) a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a,,,,,,,,,,,, a, a ( 4 ν ) a ( + 6 ν ) a ( 4 ν ) a,,,, a ( + 6 ν ) a,, a, a a ( + 3 ν ), a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a,,, a ( + 3 ν ), a, a ( + 6 ν ) a a ( 4 ν ) a a ( 4 ν ) a,,,,,, a ( + 6 ν ) a ( 4 ν ) a a a,,,,, a ( 4 ν ) a a ( + 3 ν ) a a ( 3 ν ) a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a,,,,,,, ( 4 ν ) a a a,,, a, a ( + 3 ν ) a a ( + 6 ν ) a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a,,,,,, a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a ( 3 ν ) a ( 4 ν ) a,,,,, a a ( 4 ν ) a a a ( + 3 ν ),,,,, a ( 4 ν ) a ( + 6 ν ) a,,, a ( 4 ν ) a a a,,, a a,, a ( + 3 ν ) ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a ( 3 ν ) a,,,, a ( 4 ν ) a a a ( 4 ν ) a ( + 6 ν ) a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a,,,,,,,, a a,, a a ( + 3 ν ) ( 4 ν ) a,,, a ( + 6 ν ) a, a ( 4 ν ) a a ( + 6 ν ) a a ( 4 ν ) a,,,,,, a ( + 3 ν ), a a,, a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a ( 3 ν ) a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a a ( + 3 ν ) a,,,,,,,, a a,, a ( 4 ν ) a ( + 6 ν ) a ( 4 ν ) a,,,, a ( 4 ν ) a, a ( 4 ν ) a a ( + 6 ν ) a ( 4 ν ) a,,,,, a, a ( + 3 ν ), a ( 4 ν ) a a,,, a ( 4 ν ) a ( + 6 ν ) a a a a ( + 3 ν ) a,,,,,,, a a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a ( 3 ν ) a ( 4 ν ) a,,,,, a ( 4 ν ) a a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a ( 3 ν ) a a,,,,,,, a, a ( + 3 ν ) ( 4 ν ) a,, a a ( 4 ν ) a a ( + 6 ν ) a,,,,, a a a ( + 3 ν ) ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a,,,,, a, a ( 4 ν ) a ( + 6 ν ) a,, ( + 6 ν ) a, a ( 4 ν ) a a ( 4 ν ) a,,,, a, a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a,,, a ( + 3 ν ) a,, a a ( + 3 ν ),, a a ( 3 ν ) a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a ( + 6 ν ) a ( 4 ν ) a a a a ( 4 ν ) a,,,,,,,,,, a ( + 6 ν ) a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a,,,, a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a a,,,, a a,, a ( + 3 ν ), a, a a ( + 3 ν ) a ( 4 ν ) a ( + 6 ν ) a a ( 4 ν ) a ( 3 ν ) a ( 4 ν ) a a a ( 4 ν ) a,,,,,,,,,,, ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a ( 3 ν ) a,,, a ( 4 ν ) a a ( 4 ν ) a,,,, a a,, a, a, a ( + 3 ν ) a a a ( + 3 ν ) ( 4 ν ) a a ( + 6 ν ) a a ( 4 ν ) a ( + 6 ν ) a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a,,,,,,,,,,,, a a a ( 4 ν ) a ( + 6 ν ) a ( 4 ν ) a a ( 3 ν ) a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a a ( + 3 ν ),,,,,,,,,, a a,, a ( + 3 ν ) a,, a, a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a a ( 4 ν ) a,,,,, a ( + 6 ν ) a,, a ( 4 ν ) a, a a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a ( 3 ν ) a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a ( + 6 ν ) a a,,,,,,,,, a a ( + 3 ν ) a a,,,, a ( + 3 ν ), a ( 4 ν ) a a,,, a ( 4 ν ) a,, a ( 4 ν ) a,, a ( + 6 ν ) a ( 4 ν ) a,, ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a,, a a ( 4 ν ) a ( + 6 ν ) a ( 4 ν ) a a ( + 6 ν ) a a a a ( + 3 ν ),,,,,,,,,, a, a, a ( + 3 ν ) ( 4 ν ) a,, a a,, a ( 4 ν ) a a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a ( 3 ν ) a,,,,, ( + 6 ν ) a ( 4 ν ) a,, a a,, a ( 4 ν ) a a ( + 3 ν ) a,,,, a ( 3 ν ) a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a,,,, a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a,,, a ( + 3 ν ), a a ( + 6 ν ) a a ( 4 ν ) a a ( 4 ν ) a a,,,,,,, ( 4 ν ) a ( 3 ν ) a ( 4 ν ) a,,, a a ( 4 ν ) a a a ( + 3 ν ) a ( 4 ν ) a ( + 6 ν ) a a ( 4 ν ) a a,,,,,,,,,,, a, a, a ( + 3 ν ), a a ( + 6 ν ) a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a,,,,, a ( 4 ν ) a, a ( 4 ν ) a ( + 6 ν ) a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a,,,,, a, a a a ( + 3 ν ) ( 4 ν ) a a ( + 6 ν ) a ( 4 ν ) a,,,,,,, a a a,,, a, a ( + 3 ν ) ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a ( 3 ν ) a a ( 4 ν ) a a,,,,,, ( 3 ν ) a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a a ( + 3 ν ) a a a,,,,,,, a ( 4 ν ) a ( + 6 ν ) a ( 4 ν ) a a a ( 4 ν ) a,,,,,,, a ( + 6 ν ) a a ( 4 ν ) a,,,, a ( + 3 ν ), a, a, a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a,, ( 4 ν ) a ( + 6 ν ) a,, a a a ( + 3 ν ),,, a, a a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a ( 3 ν ) a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a,,,,,,, a ( 4 ν ) a a ( + 6 ν ) a ( 4 ν ) a,,,,, a, a ( + 3 ν ) a ( 4 ν ) a a a,,,, ( 4 ν ) a, a ( + 6 ν ) a a,,, a a ( + 3 ν ) ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a,,,, a a ( 4 ν ) a ( + 6 ν ) a,,,, a ( 4 ν ) a a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a ( 3 ν ) a,,,,,, a a,, a ( + 3 ν ) ( 4 ν ) a a a,,, a ( + 3 ν ), a, a ( 3 ν ) a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a ( + 6 ν ) a ( 4 ν ) a,,,,,, a a a ( 4 ν ) a ( + 6 ν ) a,,,,, a ( 4 ν ) a a ( 4 ν ) a a,,,,, a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a,,, a ( + 3 ν ) a a,, a a ( + 3 ν ),, a ( 4 ν ) a ( + 6 ν ) a,,, a ( 4 ν ) a ( 3 ν ) a ( 4 ν ) a a a ( 4 ν ) a,,,,,,, a ( + 6 ν ) a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a,,,, a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a a a a,,,,,, a ( + 3 ν ) a, a, a a ( + 3 ν ) ( 4 ν ) a,,, a ( + 6 ν ) a,, a ( 4 ν ) a ( + 6 ν ) a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a,,,,, a ( 4 ν ) a ( 4 ν ) a ( 3 ν ) a a ( 4 ν ) a a ( 4 ν ) a a a a a,,,,,,,,,,,, a ( + 3 ν )

120 - F/8 - A merevséi márix az a oldalhosszúsá lineáris füvénye (8), íy az az akuális érékkel mindi helyeesíeni kell. A vizsálódás során kéféle anyaípus alkalmazam: = E, és = ν. Eysényi oldalhosszúsáú elem, = a, eseén a merevséi márix a kövekező alakra eyszerűsödik: (8)

121 - F/9 - = a, = E, és 3 =. ν eseén merevséi márix: (8). Alkalmazások A nyolccsomóponú kocka alakú 3D elem merevséi márixá a kövekező alorimus elkészíéséhez használam fel: Kocka alakú n 3 kockaelemből álló csak a sarokponjain meámaszo és erhel érbeli szerkeze (alapelem) poenciális eneriájának számíása (4.4. fejeze)

122 - F/ -.. Véeselemes proram árcsaszerkezeek eneriaválozásának bemuaásához Ebben a fejezeben a néyze alakú alapelemekből felépíheő, eszőlees naysáú és formájú, alapelemenkén n véeseleme aralmazó árcsaszerkezeek poenciális eneriájának és/vay enedékenyséének számíásához ír vées elemes proramom felépíésé, proramozási vázlaá muaom be. A proramo MAPLE V proramnyelven íram.... A árcsaszerkeze alakjának meadása Az alapelemek meadásához lérehozunk ey NÉGYZETHÁLÓ-, mely élalap alakú és a eljes szerkezee maába folalja. A néyzeháló naysáá sorainak és oszlopainak száma Sor, Oszl, adja me, (a minapéldában és 6, ld. 68. ábra). A néyzeháló körbevesszük ey nemléező alapelemekből álló KERET-el. A kapo alapelemhalmaz a ovábbiakban ALAPHÁLÓ-nak nevezzük és a vele azonos méreű ALAPMÁTRIX-ban ároljuk. Az alapmárix sorainak száma íy Sor+, oszlopainak száma pedi, Oszl+. Könnyíés, hoy a proramban a ömbméree nulláól indexeljük, [...Sor+,...Oszl+], íy a néyzeháló (, ) eleme meeyezik az alapmárix (, ) elemével. A márixban a kere elemeinek éréke zérus, a néyzeháló elemeinek éréke pedi kezdeben ey ábra ábra Az ALAPMÁTRIX szemléleése a minapéldával A néyzeháló meadásakor feléelezük, hoy minden lehesées helyen van elem, azaz a árcsaszerkeze élalap alakú. Az eselees beváásoka, lyukaka uóla vájuk ki belőle úy, hoy az alapmárixban a vonakozó alapelemek éréké nullára válozajuk. A kiváandó elemeke, összefüő, élalap alakú arományokban, a aromány bal felső, majd jobb alsó alapelemének a néyzehálóban ve sor- és oszlopszámával adjuk me.

123 - F/ - A eomeria ilyeén meformálása uán a léező ( érékű) elemeke sorban balról jobbra, majd fenről lefelé haladva besorszámozzuk (68. ábra). Az alapelemek számáól füő későbbi proramozási műveleek eyszerűsíéséér az alapelemek számá konsans érékkén ároljuk, ESzam (a minapéldában ).... A véeselemes háló kialakíása Az alapelemek felbonása vées elemekre A véeselemes háló alapjá az alapháló képezi. Az opimálási számíások ponosíása érdekében az eyes alapelemeke ovábbi vées elemekre bonhajuk. Az ey elemre meadhaó vées elemek számá ey válozahaó paraméerrel adjuk me: n, mely a szerkeze minden alapelemé azonosan n elemre oszja (69. ábra). n = n = n = ábra Alapelem felbonása vées elemekre A vées elemes háló csomóponjainak sorszámozása A vées elemnek a néyze alakú néycsomóponos árcsaeleme ekinjük (7. ábra) (részleesen a... fejezeben) ábra Ey véeselem csomóponjainak lokális számozásával A 69. és 7. ábra alapján láhaó, hoy ey alapelemhez, ( n +) csomópon arozik. Az eymás melle elhelyezkedő alapelemek a közös oldalaikon n + csomópono közösen használnak. A néyzehálónak íy lefeljebb ( Sor * n + ) *( Oszl * n + ) poenciális csomóponja lehe. A énylees csomóponok mehaározásához, az alapmárixhoz hasonlóan, lérehozunk ey a lehesées csomóponoknak mefelelő méreű és alakú, ( Sor * n + ) sorú és ( Oszl * n + ) oszlopú márixo a CSOMÓPONTMÁTRIX-o. A márix eleme zérus lesz, ha az ado csomóponra nincs szüksé, azaz nincs, illeve az ado csomópon éréke sorszámozo lesz, ha van kapcsolódó elem.

124 - F/ - A énylees csomóponok mehaározásához az alapmárix [(,), (Sor+,Oszl+)] elemei vizsáljuk a 68. ábrában memuao irányok szerin (balra, fölfelé és álósan balra-föl). Minden alapelemhez hozzárendelheő ey n méreű csomóponblokk (7. ábra,. feliraa), melye eyesekkel ölünk ki, ha az ado helyen alapelem léezik, vay nullákkal, ha az ado helyen és előe (az ado irányok szerin) nincsen alapelem. A árcsaszerkeze haárvonalainál (ez lehe a árcsa külső széle, vay ey belső lyuk széle eyarán) érelem szerin n (7. ábra,. és 3. feliraa) vay (7. ábra, 4. feliraa) csomópono vizsálunk. A csomóponoka ezuán (balról jobbra, fenről lefelé) besorszámozzuk. Az eljárás részleei és eredményé a 7. ábra szemlélei Ha az ado helyen alapelem (8) léezik n * n csomópon meadhaó (3,, 34 és 3).. Ha az ado helyen nincs alapelem, de vele ey sorban, az előző oszlopban van (8), füőleesen n csomópon meadhaó ( és 36). 3. Ha az ado helyen nincs alapelem, de vele ey oszlopban, az előző sorban van (3), vízszinesen n csomópon meadhaó (7 és 7). 4. Ha az ado helyen nincs alapelem, és sem előe, sem fölöe nincs elem, de az előző sorban és előző oszlopban van (4), akkor ey csomópon meadhaó (7). 7. ábra Az alapháló és a csomóponháló részlee n= eseén, és azok összefüései a minapélda (68. ábra) alapján A csomóponok számáól füő későbbi proramozási műveleek eyszerűsíéséér a csomóponok számá konsans érékkén ároljuk, CspSzam (a minapéldában ez ).

125 - F/ A eomeriai adaok árolása A későbbi műveleek mekönnyíéséhez az alapelemek és azok csomóponjainak összearozó adaai áblázaba, márixba rendezzük, ADATMÁTRIX [7. ábra]. A ábláza sorainak száma eyenlő az alapelemek számával, ESzam. Az eyes alapelemekhez eleendő csomópon-soronkén a bal oldali kezdő csomópon sorszámá meadni. Az uánuk kövekező n csomópon számíhaó. Íy mindösszesen n + adao kell árolni. Az uolsó oszlopban az alapelemre számío poenciális eneria érékének készerese vay más néven az alkalmazkodási ényező v. enedékenysé éréke szerepel, C, mely kezdeben zérus. A ábláza íy mindösszesen n + oszlopo iényel. n + csomópon száma C ESzam ábra Az alapelemek adamárixa n= eseén, kezdei érékekkel A árcsaszerkeze eomeriai adaainak meadása az alapmárix és az alapelemek adaai aralmazó adamárix előállíásával befejeződö. Az íy lérehozo ömb, vay ömbök alapján a szerkeze merevséi márixa előállíhaó.

126 - F/4 - BE: Véeselemek száma alapelemenkén BE: Az alapelemekből álló befolaló élalap méree Modellmárix lérehozása Elemelhayás van-e? ien Az elemelhayás helyének meadása nem Alapelemek sorszámozása Alapelemek véeselemekre bonása Csomóponok mehaározása, sorszámozása KI: Az alapelemek adaainak áblázaszerű árolása 73. ábra A árcsaszerkeze alakjának meadásához szüksées alorimus folyamaábrája..4. A szerkeze merevséi márixának előállíása A SZERKEZET MEREVSÉGI MÁTRIXÁNAK, SzK nak előállíása, az alapelemek adamárixa és a vées elem merevséi márixa alapján (K e,... fejeze), eymásba áyazo ciklusok sorával elvéezheő. Az SzK márix méree [CspSzam*, CspSzam*]. A szerkezei merevséi márix felölése alapelemenkén örénik (első, külső ciklus). Az ey alapelemben lévő n véeselem sor, kezdő csomóponjainak számával, az adamárix alapján meadhaó, 7. ábra, (második, belső ciklus). Az eyes véeselem sorokban lévő elemek kezdő, (, 3) csomóponjai n füvényében a sorok kezdő csomóponérékeiből számíhaóak, (harmadik ciklus). Mivel a véeselem és a szerkeze csomóponszámozása azonos módon örénik, balról jobbra és fenről lefelé haladva, a véeselem eymás uán jövő, és 3, 4 csomóponjai a szerkeze csomóponjaiban is eymás uán jövő számok lesznek (pl.: 3, 4 és,

127 - F/ -, ld. 7. ábra). Íy az elem merevséi márixá néy, 4*4 méreű blokk formájában lehe a szerkezei merevséi márix mefelelő csomópon-blokkjaihoz hozzárakni (neyedik és öödik ciklus). Az elemi merevséi márix érékei az alapelem kereszmeszei vasasáával (a minapéldában ez minden léező elemre ) me kell szorozni,.4. fejeze. A MAPLE V Release maemaikai proramnyelv beépíe alorimus alapján ud márixo inverálni, íy abban a proramban a eljes kvadraikus márixo előállíouk. FORTRAN proramozási nyelvben, a memóriaszükséle csökkenése érdekében kihasználuk a szerkezei merevséi márix szimmerikus szalamárix formájá. A eljes, [CspSzam*, CspSzam*] méreű márix helye, csak a fél szalaszélesséű, [CspSzam*, FélSávSzél] ömbö definiálunk, FSzM. Alapelem = nxn vées elem : n+ 4.. n+ Adamárix [ i, n] + ( n ) [ i, n + ] n Adamárix ábra Ábra a fél szala- vay sávszélessé mehaározásához A fél sávszélessé meadhaó a kövekező módon: az ey vées elemhez arozó sávszélessé naysáa fü a vées elem első és neyedik csomóponjának énylees csomóponszám különbsée plusz -ől, valamin a szabadsái fokok számáól, melynek naysáa árcsaszerkezeek eseében keő. A sávszélessée e ké érék szorzaa adja. Ey alapeleme eleendő az uolsó vées elemére vizsálni, 74. ábra, mivel az alapelem sorok elérősééből adódó csomóponszám urások az alsó véeselem sorban jelenkeznek. A fél szalaszélessé ezen érékek közö a lenayobb: (83) FélSávSzél = max ( Adamárix[ i, n + ] Adamárix[ i, n] + ) * i =.. ESzam A fél-sávszélesséű márix előállíása a korábban ismeree elvek alapján zajlik, azzal a különbséel, hoy mivel a fél szalaszélesséű merevséi márix első oszlopa azonos lesz a eljes szerkezei merevséi márix főálójával, az ey vées elem merevséi márixából eleendő a felső háromszömárixo vizsálni.

128 - F/ A árcsaszerkeze meámaszásainak meadása Az eyszerűsé érdekében célszerű a meámaszásoka ey vekorban árolni, s annak elemei ey eyszerű eljárással a merevséi márix mefelelő elemeihez hozzáadni. A TÁMASZVEKTOR méree CspSzam*, ey elemének éréke zérus, ha az ado csomóponon az ado irányban nincs meámaszás, és E6, ha van. A ámaszoka helyük meadása szerin három csoporba oszoam: - vízszines csomóponsoron levő meámaszások: a csomóponsor az x enellyel párhuzamosan fu, 7. ábra a, - füőlees csomóponsoron levő meámaszások: a csomóponsor az y enellyel párhuzamosan fu, 7. ábra b, vay - ponbeli ámasz: a meámaszás ey eyedülálló, elkülöníe, ado csomóponon van, 76. ábra f b Adaok: Az alapelemek sorának száma a néyzehálóban, (mos 4) Az első alapelem oszlopának száma (mos 3) Az uolsó alapelem oszlopának száma (mos 6) Alsó, a vay felső f csomópon sor (mos f ) Adaok: Az alapelemek oszlopának száma a néyzehálóban, (mos ) Az első alapelem sorának száma (mos ) Az uolsó alapelem sorának száma (mos ) Jobb oldali, j vay bal oldali b csomópon sor (mos b ) a, Vízszines csomóponsor b, Füőlees csomóponsor 7. ábra Vonalmeni ámaszok meadása E három helymeadás ípushoz három azonos elvek alapján felépülő eljárás íram. E három eljárás az alapelemmárix alapján eldöni, hoy a meado alapelemek léező elemek-e,

129 - F/7 - mehaározza a meámaszhaó csomóponoka 7. ábra, s a kíván meámaszási irány (füőlees, vízszines, vay a keő eyü) ismereében mehívja rájuk az érékadó eljárás, mely a kezdeben zérus ámaszvekor mefelelő elemei E6-ra cseréli Adaok: Az alapelem sor- és oszlop száma a néyzehálóban, (mos, 4) Az alapelem sarokponjának száma (mos 3): ábra Ponbeli ámasz meadása A ámaszvekor a merevséi márixszal való kompiláláshoz diaonálmárixszá kell alakíani, SzK_amasz...6. A árcsaszerkezere haó erhek meadása A árcsaszerkezere haó erheke a proram ey vekorban árolja. A TEHERVEKTOR méree CspSzam*. Ey elemének éréke zérus, ha az ado csomópon vonakozó irányában nincs meado eher, és éréke az ado érék, ha van. A erhek meadásának menee azonos a ámaszok meadásának módszerével,.. fejeze. Eyedüli különbsé az, hoy mí a ámaszok éréke előre definiál érék vol, addi a erhek éréke, naysáa és iránya (előjele), csomóponsoronkén meadhaó...7. A poenciális eneria számíása A poenciális eneria számíásához először me kell oldani a szerkeze vées elemes állapoeyenleé: (84) Kv = q, ahol K a szerkeze merevséi márixa ( K = SzK + SzK_amasz,.. alapján), v a csomóponi elmozdulások vekora és q a csomóponi erhek vekora (..6 alapján). Az elmozdulásvekor ismereében az eneria éréke számíhaó:

130 - F/8 - (8) Π = v T Kv. A szerkeze belső eneriájának mehaározásához a poenciális eneria érékeke a proram alapelemenkén () számolja. Az adamárixban ennek készerese, az enedékenysé /alkalmazkodási ényező/ szerepel (ld...3. fejeze): (86) C = v T K v. Az alapelemek enedékenyséé a benne alálhaó vées elemek enedékenyséének öszszeekén haározam me: (87) C = v T e K ev e, nxn ahol K e az elemi merevséi márix ismer (. fejeze). Az elemi elmozdulások vekora v e a szerkeze v elmozdulás vekorából az adamárixban árol csomóponszámok seíséével mehaározhaó. A szerkeze poenciális eneriájának éréke az adamárix uolsó oszlopában lévő érékek összeének a fele: (88) Π = ESzam C =.

131 - F/ Vées elemes példák alapelemek eneriaválozásának bemuaásához Ebben a fejezeben az eysényi (eyenlő) oldalhosszúsáú derékszöű, csak a sarokponjain meámaszo és erhel árcsa- és kockaalapelem vizsálaára ír vées elemes proramok fuási eredményei muaom be részleesen, ábrákkal, áblázaokkal és rafikonokkal illuszrálva, a kövekező kieészíésekkel: Valamennyi i, ebben a fejezeben közöl ábra ey-ey alapeleme mua meámaszásokkal, dimenziólanío elmozduláseherrel, valamin az alkalmazo vées elemes közelíéssel. A alapelemekre e erhek a 4.. fejezeben bemuao modelleke köveik, fiyelembe véve az, hoy nem csak a húzás, hanem a nyomás ill. a húzás-nyomás állapoa is fennállha. A 3D kockaelemnél a örős ámaszoka fekee színű erővekorok helyeesíik. A áblázaok a proramok álal kiszámol poenciális eneria érékeke muaják a csomóponszám (Csp) és a Poisson-ényező (v) füvényében. Amennyiben az alapelem szimmeriája leheővé eszi és ki is használam az az eyszerűsíe modell is láhaó. A áblázaban alálhaó dupla vonal jelzi az áérés a szimmeria ada eyszerűsíe modell használaára. A vonal ala és fele uyanazok az érékek alálhaóak, jelezvén, hoy uyanarra a feladara mindké meoldási mód uyanaz az eredmény adja. A diaramok a áblázaok aralmá szemléleik.

132 - F/ Sakkábla alapelemének bonása n néycsomóponos vées elemre Ké irányban nyomo árcsaelem Csp v =.3 v = y = n n x Δ y = = n n Δ y = Δ y = Δ x Δ x = = Δ x = 4,487 9,67,6 6,9,66,49636,444 36,4763, 49,4993, ,4897, ,3936,366,37878,3343,36739,343 44,3766, ,349,37 96,3478,397,338,33 6,39, ,3389,34 3,393,38 36,346,9684 4,34,937 44,366, ,366,8978 9,9984,8368 6,9387, ,889,739 84,8386, ,796,6 89,773,6,6,4, Poenciális eneria,8,6 v =.3 v =,4, Csomóponszám

133 - F/ Sakkábla alapelemének bonása n néycsomóponos vées elemre Húzo és nyomo árcsaelem Csp v =.3 v = y = n n x Δ y = = n n Δ y = Δ y = Δ x Δ x = = Δ x = 4,7693 9,3, ,7,389,8344,987 36,67,768 49,47,63 64,3677,448 8,877,39,3,833,73,6 44,89,79 69,98,389 96,97,4,36,737 6,68,468 89,984,8 3,964,3 36,9463,988 4,997, ,94, ,94,9476 9,8876,987 6,8643, ,8439,87 84,88,87 96,897,836 89,79,8,,8 Poenciális eneria,6,4 v =.3 v =, Csomóponszám

134 - F/ D sakkáblamina alapelemének bonása n 3 vées elemre Három irányban nyomo érbeli kocka Δ z = = Δ z = n n Δ x = Δ z = = Δ z Csp v =.3 v = z x = Δ y = Δ x = Δ y = Δ x = n n 8 3,7, 7,49388, ,3793,733,38, ,4,949 y = Δ x 79 = Δ y = n n = Δ y 4 3, 3 Poenciális eneria,, v =.3 v =, Csomóponszám

135 - F/ D sakkáblamina alapelemének bonása n 3 vées elemre Ké irányban nyomo ey irányban húzo érbeli kocka Δ z = = Δ z = n n Δ x = Δ z = = Δ z Csp v =.3 v = z x = Δ y = Δ x = Δ y = Δ x = n n 8,4438, 7,993,96 64,47738,736,3, ,6389,636 y = Δ x 79 = Δ y = n n = Δ y,6,4, Poenciális eneria,8,6 v =.3 v =,4, Csomóponszám

136 - F/ Elemláncola alapelemének bonása n néycsomóponos vées elemre Álós irányban húzo/nyomo árcsaelem Csp v =.3 v = 4,, 9,399,3 6,8,493 y = n n x = n n Δ y = Δ x =,3,84 36,498,4 49,9333,96 64,84,899 8,779,79,79,6963,673, ,63,698 69,949,7 96,636,44,37,73 6,7,498 89,8,476 3,4673,44 36,43,439 4,438,447 44,446,3989,6,,4 Poenciális eneria,3, v =.3 v =, Csomóponszám

137 - F/ Elemláncola alapelemének k csomóponos vées elemmel Álós irányban húzo/nyomo árcsaelem y = n n Csp y = ( n + ) x = n n Csp x = ( n + ) Δ y = Δ x = Csp n+ v =.3 v = 4,, 9 3,78,67 6 4,,986,788, ,88,4 49 7, , ,86,6,,4 Poenciális eneria,3, v =.3 v =, Csomóponszám

138 - F/ Néy alapelemből ISE opolóiák enedékenysé vizsálaa A 4.. fejezehez hasonlóan, az enedékenysé naysáának vizsálaához az összefüéseke a opolóiai opimálás célfüvényei és feléelei, adják. Az opimálás, lehesées módjai az enedékenysé fiyelembevéelével: a. az enedékenysé szélső érékűvé éele válozahaó, de eyséessé e (fekee v fehér) árcsavasasáok használaával: ado ömehaár, vay C = min! vay C = max! miközben V V, ahol V ey b. a érfoa, vay öme minimálása válozahaó, de eyséessé e (fekee v fehér) árcsavasasáok használaával: V = min!, miközben C C vay C C, ahol C.ey ado enedékenyséi korlá, illeve C c. szélsőérék-kereséssel az enedékenysé és a elíesé hányadosára: = min! f vay C f = max!, válozahaó, de eyséessé e (fekee v fehér) árcsavasasáok használaával. A feni három mefoalmazás melle, a diszkreizációs hiba méréséhez érdemes mé menézni a véeselemes felbonás válozaásának haásá is a kövekező arányszámmal mér- ( ) ( ) C ve: C f =. C ν ν,3 nxn Enedékenysé (C) minázaonkén 3 4 x,,4,79,6,83 x,336,434,84,39,649 3x3,8,384,,34,8 4x4,4,36,47,36,4 x,36,337,446,3,4 nxn Enedékenysé (C) minázaonkén 3 4 x,,44,79,9,8 x,33,49,8,376,643 3x3,79,379,,33,7 4x4,,3,473,38,3 x,3,333,447,9,9 3. Tábláza Enedékenyséek minázaonkén

139 - F/7 - Az alakzaok enedékenyséének válozásá bemuaó 3. ábláza memuaja, hoy a különböző alakzaok különböző enedékenyséi szine képviselnek, valamin az hoy az alapelemeke leíró véeselemek számának növelésével jelenős érékcsökkenés érheő el. Hasonló, csökkenő endenciá mua az enedékenysé és a ömearány hányadosá bemuaó. ábláza is. ν nxn C/f minázaonkén 3 4 x,43,9,4,746,83 x,673,869,779,,649 3x3,6,768,68,43,8 4x4,7,7,69,4,4 x,473,67,94,4,4 ν,3 nxn C/f minázaonkén 3 4 x,,87,6,7,8 x,664,88,78,,643 3x3,8,79,683,44,7 4x4,,73,63,4,3 x,47,666,96,393,9. Tábláza A enedékenysé és a elíesé hányadosa A diszkreizációs hiba valamennyi felbonás eseén számoevően válozik. A válozás méréke a sakkáblamina (. mináza) eseén a lenayobb,. ábláza. A ábláza érékei érelem szerin meeyeznek a. áblázaban bemuaoakkal. ν C(x)/C(x) minázaonkén 3 4,7,643,773,87,6,3,67,63,773,79,6. Tábláza A lekisebb és a lenayobb felbonás enedékenyséének aránya

140 - F/8 -.. Exended-SIMP: Pozícionálás: Konzolaró opimálásához szüksées számíási idő áblázaokba rendezve Ebben a füelékrészben a aró alakjának, elhelyezésének és feloszásának az opimális alak mehaározásához szüksées időaramra juó haásá szemléleem. Ez a vizsálao a FORTRAN kóddal ír proramban, merevséi márixkén, memóriacsökkenés céljából alkalmazo fél szalaszélesséű márix indokolja (..4. Füelék). A... alpon a vizsál aró és annak elhelyezésé és a vizsála áryá muaja be. A... alpon az alapelemek növekvő véeselemes feloszásának, mí a..3. alpon az alapelemszám növekedésének haásá hansúlyozza. A..4. alpon a..3- ban bemuao vizsálao isméli alapelemenkén x véeselem alkalmazása eseén.... Konzolaró sarokponi elmozduláseherrel Minapéldakén ekinsünk ey élalap alakú, : mérearányú konzolaró szabad véén, az eyik sarokponján ado 4 ferdeséű naysáú elmozduláseherrel. A aró kéféle helyzeben definiáljuk: a. fekve, amikor a szerkeze méreé meadó alapelemek oszlopainak száma a sorok számának készerese (Oszl=*Sor), és b. állíva, amikor a sorok száma az oszlopok számának készerese (Sor=*Oszl), (77. ábra). Eyező mére (azonos alapelem és véeselemszám) eseében a ké alakza közöi echnikai elérés a merevséi márix szalaszélesséében van. Az i bemuao áblázaok ez a szala- vay sávszélessée majd az áfede csomóponok darabszámával adják me (bővebben..4. Füelék). Δl x = Δl y = Δl x = Δl y = a, b, 77. ábra Konzolaró a, fekvő és b, álló helyzeben

141 - F/9 - A proram fuási idejé a számíóép másodperc alapon méri. A naysáok, időaramok jobb érzékeleéséhez az időaramoka óra, perc, másodperc alakba is ászámolam. Az i bemuao számíások -3-ban zajloak. A számíóépek eljesíménye azóa lényeesen jobb, a számíásokhoz szüksées idő lényeesen kevesebb le. A jelensé lényeén, a pozícionálás és az elemszám számíási időre vee haásán ez azonban nem váloza. A számíásoka p = K8, Δp =, büneősúllyal és C H =, C enedékenyséi korláal véezem.... Összehasonlíás alapelemenkén öbb véeselemmel, n =,, K Fekvő konzol Sor Oszl n Sávszél. [csp] szám.idő [sec] számíási idő óra perc mp 3,4 3 3, , , , , , , , , Tábláza Konzolaró opálásának időaramai Álló konzol Sor Oszl n Sávszél. [csp] szám.idő [sec] számíási idő óra perc mp 8,9 3 4, , ,4 3 7, , , , , , Tábláza Konzolaró opálásának időaramai

142 - F/ Összehasonlíás növekvő mére és n = eseén Fekvő konzol Sor Oszl n Sávszél. [csp] szám.idő [sec] számíási idő óra perc mp 3,4 3 3, , , , , Tábláza Konzolaró opálásának időaramai Álló konzol Sor Oszl n Sávszél. [csp] szám.idő [sec] számíási idő óra perc mp 8,9 3 7, , , , , , Tábláza Konzolaró opálásának időaramai arány,9 3,9 3,79 3,96 3. Tábláza A fekvő/álló konzol számíásához szüksées idők aránya a 8. Táblázaés 9. Tábláza alapján..4. Álló konzol növekvő mére és n = eseén Álló konzol Sor Oszl n Sávszél. [csp] szám.idő [sec] számíási idő óra perc mp 8 4, , , , , , , Tábláza Konzolaró opálásának ideje

143 - F/ Exended-SIMP:. Minapélda: A Michell-féle konzolaró opimálási eredményei áblázaokba rendezve Mére: x Feloszás (n): Comliance (C ): 7,9 Compliance Limi (C H =.C ): 877,6 EREDMÉNYEK C 89,6 C f,843 V f,7747 C 894,87 Fekee-fehér elemekkel Cf,3 Vf,8

144 - F/3 - Mére: x Feloszás (n): Comliance (C ): 764,9 Compliance Limi (C H =.C ): 849,8 EREDMÉNYEK C 878, C f,697 V f,7789 C 936,88 Fekee-fehér elemekkel Cf,8 Vf,79 Mére: x Feloszás (n): 3 Comliance (C ): 77,9 Compliance Limi (C H =.C ): 8473, EREDMÉNYEK C 86,6 C f,7 V f,784 C 9,6 Fekee-fehér elemekkel Cf,88 Vf,79

145 - F/33 - Mére: x Feloszás (n): 4 Comliance (C ): 774,64 Compliance Limi (C H =.C ): 8,8 EREDMÉNYEK C 834,3 C f.77 V f.78 C 97,4 Fekee-fehér elemekkel Cf,96 Vf,79 Mére: x Feloszás (n): Comliance (C ): 777,3 Compliance Limi (C H =.C ): 8,4 EREDMÉNYEK C 834,3 C f,73 V f,786 C 96, Fekee-fehér elemekkel Cf,99 Vf,79

146 - F/34 - Mére: x4 Feloszás (n): Comliance (C ): 764,9 Compliance Limi (C H =.C ): 849,8 EREDMÉNYEK C 8374,6 C f,94 V f,7646 C 868, Fekee-fehér elemekkel Cf,7 Vf,767 Mére: x4 Feloszás (n): Comliance (C ): 774,64 Compliance Limi (C H =.C ): 8,8 EREDMÉNYEK C 8367,73 C f,89 V f,7777 C 8686,89 Fekee-fehér elemekkel Cf, Vf,8

147 - F/3 - Mére: x4 Feloszás (n): 3 Comliance (C ): 7794,78 Compliance Limi (C H =.C ): 874, EREDMÉNYEK C 8,9 C f,9 V f,79 C 864,66 Fekee-fehér elemekkel Cf,988 Vf,8 Mére: x4 Feloszás (n): 4 Comliance (C ): 783,93 Compliance Limi (C H =.C ): 86,3 EREDMÉNYEK C 83, C f,87 V f,788 C 878,47 Fekee-fehér elemekkel Cf,9 Vf,87

148 - F/36 - Mére: x4 Feloszás (n): Comliance (C ): 786,9 Compliance Limi (C H =.C ): 8646,6 EREDMÉNYEK C 864,8 C f,89 V f,796 C 8746,94 Fekee-fehér elemekkel Cf,8 Vf,87 Mére: x6 Feloszás (n): Comliance (C ): 77,9 Compliance Limi (C H =.C ): 8473, EREDMÉNYEK C 84,4 C f,97 V f,77 C 8644, Fekee-fehér elemekkel Cf, Vf,76

149 - F/37 - Mére: x6 Feloszás (n): Comliance (C ): 7794,78 Compliance Limi (C H =.C ): 874, EREDMÉNYEK C 837,84 C f,93 V f,797 C 867,6 Fekee-fehér elemekkel Cf,6 Vf,8 Mére: x6 Feloszás (n): 3 Comliance (C ): 7847,7 Compliance Limi (C H =.C ): 863,78 EREDMÉNYEK C 864, C f,94 V f,7876 Fekee-fehér elemekkel C 88,8 Cf,3 Vf,796

150 - F/38 - Mére: x6 Feloszás (n): 4 Comliance (C ): 7883,94 Compliance Limi (C H =.C ): 867,3 EREDMÉNYEK C 87,7 C f,878 V f,783 C 8833,8 Fekee-fehér elemekkel Cf,4 Vf,7967 Mére: x6 Feloszás (n): Comliance (C ): 79,46 Compliance Limi (C H =.C ): 873,7 EREDMÉNYEK C 864, C f,874 V f,788 C 887,33 Fekee-fehér elemekkel Cf,3 Vf,7967

151 - F/39 - Mére: x8 Feloszás (n): Comliance (C ): 774,64 Compliance Limi (C H =.C ): 8,8 EREDMÉNYEK C 89, C f,966 V f,7 C 8668,4 Fekee-fehér elemekkel Cf,97 Vf,76 Mére: x8 Feloszás (n): Comliance (C ): 783,93 Compliance Limi (C H =.C ): 86,3 EREDMÉNYEK C 889,7 C f,968 V f,7894 C 869,9 Fekee-fehér elemekkel Cf,8 Vf,7963

152 - F/4 - Mére: x8 Feloszás (n): 3 Comliance (C ): 7883,94 Compliance Limi (C H =.C ): 867,33 EREDMÉNYEK C 869, C f,933 V f,7886 C 884,3 Fekee-fehér elemekkel Cf,3 Vf,799 Mére: x8 Feloszás (n): 4 Comliance (C ): 79,7 Compliance Limi (C H =.C ): 87,77 EREDMÉNYEK C 868,7 C f.966 V f,798 C 874,7 Fekee-fehér elemekkel Cf,38 Vf,7969

153 - F/4 - Mére: x8 Feloszás (n): Comliance (C ): 7949,7 Compliance Limi (C H =.C ): 8744,9 EREDMÉNYEK C 878,84 C f,96 V f,79 C 876, Fekee-fehér elemekkel Cf, Vf,7988 Mére: x Feloszás (n): Comliance (C ): 777,3 Compliance Limi (C H =.C ): 8,4 EREDMÉNYEK C 89,6 C f,97 V f,746 C 8768,96 Fekee-fehér elemekkel Cf,84 Vf,744

154 - F/4 - Mére: x Feloszás (n): Comliance (C ): 786,9 Compliance Limi (C H =.C ): 8646,6 EREDMÉNYEK C 86,8 C f,97 V f,7879 C 878,8 Fekee-fehér elemekkel Cf,9 Vf,79 Mére: x Feloszás (n): 3 Comliance (C ): 79,46 Compliance Limi (C H =.C ): 873,7 EREDMÉNYEK C 8668, C f,9 V f,788 C 8784,9 Fekee-fehér elemekkel Cf,3 Vf,79

155 - F/43 - Mére: x Feloszás (n): 4 Comliance (C ): 7949,7 Compliance Limi (C H =.C ): 8744,9 EREDMÉNYEK C 878,67 C f,9 V f,788 C 8839, Fekee-fehér elemekkel Cf, Vf,7888 Mére: x Feloszás (n): Comliance (C ): 7977,6 Compliance Limi (C H =.C ): 877,39 EREDMÉNYEK C 874, C f,98 V f,7886 C 886,9 Fekee-fehér elemekkel Cf,4 Vf,79

156 - F/ Exended-SIMP:. Minapélda: A Michell-féle biciklikerék opimálási eredményei áblázaokba rendezve Mére: (*,!) x Compliance (C ): 984,7 Compliance Limi (C H =,C ): 477, EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 44,88 C 63,7698 C f,464 C f,6794 V f,76 V f, Mére: (*,!) x Compliance (C ): 8,43 Compliance Limi (C H =,C ): 677,6 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 674,7689 C 696,36 C f,4974 C f,67 V f,379 V f,347

157 - F/4 - Mére (*,!): x Compliance (C ): 96, Compliance Limi (C H =,C ): 794,8 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 793,6 C 793, C f,499 C f,4994 V f,3 V f,6 Mére (*,!): x Compliance (C ):, Compliance Limi (C H =,C ): 876,7 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 874,834 C 874,6784 C f,498 C f,4984 V f,49 V f,493

158 - F/46 - Mére (*,!): x Compliance (C ): 93,8 Compliance Limi (C H =,C ): 94,7 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 934,3 C 94,96 C f,49 C f,4 V f,4763 V f, Mére (*,!): 3x3 Compliance (C ): 38,6 Compliance Limi (C H =,C ): 99,97 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 988. C 998,49 C f.4964 C f,4 V f.47 V f,47

159 - F/47 - Mére (*,!): 3x3 Compliance (C ): 38, Compliance Limi (C H =,C ): 37,6 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 3,4497 C 47,99 C f,498 C f,74 V f,463 V f,466 Mére (*,!): 4x4 Compliance (C ): 383,6 Compliance Limi (C H =,C ): 7,4 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 6,386 C 8,76 C f,497 C f,4 V f,4 V f,49

160 - F/ - Mére (*,!): x Compliance (C ): 984,7 Compliance Limi (C H =C ): 969, EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 99,69 C 9,698 C f,99 C f,943 V f,476 V f, Mére (*,!): x Compliance (C ): 8,43 Compliance Limi (C H =C ): 36,87 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 3, C 4,66 C f,9 C f,76 V f,444 V f,467

161 - F/49 - Mére (*,!): x Compliance (C ): 96, Compliance Limi (C H =C ): 39, EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 38,64 C 384,379 C f,994 C f,9934 V f,373 V f,376 Mére (*,!): x Compliance (C ):, Compliance Limi (C H =C ):,3 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 7,43 C 8,997 C f,973 C f,644 V f,33 V f,37

162 - F/ - Mére (*,!): x Compliance (C ): 93,8 Compliance Limi (C H =C ): 87,6 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 74,349 C 63,6989 C f,9898 C f,3 V f,33 V f,39 Mére (*,!): 3x3 Compliance (C ): 38,6 Compliance Limi (C H =C ): 67,3 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 643,7 C 76,8 C f,9896 C f,367 V f,3386 V f,339

163 - F/ - Mére (*,!): 3x3 Compliance (C ): 38,36 Compliance Limi (C H =C ): 76,73 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 74,97 C 76,38 C f,99 C f,7 V f,33 V f,338 Mére (*,!): 4x4 Compliance (C ): 383,649 Compliance Limi (C H =C ): 767,3 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 77,69 C 786,39 C f,993 C f,38 V f,38 V f,3

164 - F/ - Mére (*,!): x Compliance (C ): 984,7 Compliance Limi (C H =,C ): 6,88 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 36,49 C 97,8666 C f,474 C f,638 V f,4 V f,467 Mére (*,!): x Compliance (C ): 8,43 Compliance Limi (C H =,C ): 796,9 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 76,86 C 96,7 C f,486 C f,663 V f,37 V f,36

165 - F/3 - Mére (*,!): x Compliance (C ): 96, Compliance Limi (C H =,C ): 99,3 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 98,44 C 374,939 C f,434 C f,9888 V f,33 V f,3 Mére (*,!): x Compliance (C ):, Compliance Limi (C H =,C ): 37,87 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 39,386 C 33,98 C f,476 C f,6799 V f,998 V f,33

166 - F/4 - Mére (*,!): x Compliance (C ): 93,8 Compliance Limi (C H =,C ): 334, EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 3,4 C 393,6 C f, C f,47 V f,793 V f,8 Mére (*,!): 3x3 Compliance (C ): 38,6 Compliance Limi (C H =,C ): 33,6 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 33,9 C 3398,894 C f,44 C f,77 V f,73 V f,78

167 - F/ - Mére (*,!): 3x3 Compliance (C ): 38, Compliance Limi (C H =,C ): 339, EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 333,6864 C 334,89 C f,43 C f,6 V f,63 V f,96 Mére (*,!): 4x4 Compliance (C ): 383,6 Compliance Limi (C H =,C ): 349,4 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 347,67 C 37,3674 C f,477 C f,693 V f,4 V f,3

168 - F/6 - Mére (*,!): x Compliance (C ): 984,7 Compliance Limi (C H =3C ): 94,6 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C, C 337,77 C f,6 C f 33,77 V f,38 V f,36 Mére (*,!): x Compliance (C ): 8,4346 Compliance Limi (C H =3C ): 33,337 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 347, C 3969, C f,84 C f 3,66 V f,34 V f,3

169 - F/7 - Mére (*,!): x Compliance (C ): 96, Compliance Limi (C H =3C ): 388,36 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 344,376 C 6,8 C f,846 C f 9,66 V f,79 V f,9 Mére (*,!): x Compliance (C ):, Compliance Limi (C H =3C ): 373,4 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 37,4398 C 448,7 C f,984 C f 3,39 V f,693 V f,743

170 - F/8 - Mére (*,!): x Compliance (C ): 93,8 Compliance Limi (C H =3C ): 388,4 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 3778, C 33,93 C f,9 C f 4,39 V f, V f,36 Mére (*,!): 3x3 Compliance (C ): 38,6 Compliance Limi (C H =3C ): 398,9 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 399,37 C 49,389 C f,9499 C f 3,36 V f,88 V f,3

171 - F/9 - Mére (*,!): 3x3 Compliance (C ): 38, Compliance Limi (C H =3C ): 474,3 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 439,6643 C 6,3 C f,974 C f 4,46 V f, V f,6 Mére (*,!): 4x4 Compliance (C ): 383,6 Compliance Limi (C H =3C ): 4,8 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 49,64 C 3,478 C f,97 C f 3,6 V f,6 V f,83

172 - F/6 - Mére (*,!): x Compliance (C ): 984,7 Compliance Limi (C H =3C ): 3446,64 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 3376,8647 C 3376,746 C f 3,49 C f 3,49 V f,347 V f,36 Mére (*,!): x Compliance (C ): 8,43 Compliance Limi (C H =3C ): 394, EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 36,738 C 93, C f 3,39 C f 4,737 V f,87 V f,778

173 - F/6 - Mére (*,!): x Compliance (C ): 96, Compliance Limi (C H =3C ): 6,4 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 4,94 C 6, C f 3,36 C f,8437 V f,7 V f, Mére (*,!): x Compliance (C ):, Compliance Limi (C H =3C ): 4379, EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 434,4 C 9,49 C f 3,479 C f 4,998 V f,47 V f,

174 - F/6 - Mére (*,!): x Compliance (C ): 93,8 Compliance Limi (C H =3C ): 48,3 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 4439, C 47,843 C f 3,434 C f 7,8434 V f,69 V f,6 Mére (*,!): 3x3 Compliance (C ): 38,6 Compliance Limi (C H =3C ): 46,7 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 468,9497 C 473,733 C f 3,4764 C f 3,779 V f,933 V f,9

175 - F/63 - Mére (*,!): 3x3 Compliance (C ): 38, Compliance Limi (C H =3C ): 473,36 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 467,749 C 496,644 C f 3,49 C f 4,473 V f,898 V f,88 Mére (*,!): 4x4 Compliance (C ): 383,6 Compliance Limi (C H =3C ): 4,6 EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 4764,3 C 67,774 C f 3,443 C f 4,4 V f,8 V f,83

176 - F/ Proram módosíása ömör, a eherviselésben akívan rész vevő, nem válozahaó aróelemekkel rendelkező árcsaszerkezeek opolóiájának opimálására (SIMP-NDR) Az opimálásban rész nem vevő (NDR) alapelemekkel rendelkező árcsaszerkezeek számíásához a véeselemekkel bővíe alapelemekkel dolozó opolóiai opimálás véző (Exended-SIMP) proram elemnyilvánarásá módosíani kelle. A módosíás eyszerű, ha a ervezési ér (DR) elemei ey összefüő ömbö alkonak, pl. 78. ábra zöld színű elemei. Ekkor eleendő meadni a kezdő, valamin a záró elem sorának és oszlopának számá (a minapéldában ez, és 4, 4),. Ezek alapján ezen alapelemek sorszáma mehaározhaó (4 és 7). A sorszámok seíséével az opimálásban rész vevő elemek száma mehaározhaó és az opimálás az ADATMÁTRIX seíséével vezérelheő ábra Az ALAPMÁTRIX szemléleése a minapéldával Elérő eseben az alapelemeke darabonkén címkézni kell (DR, vay NDR), majd az ieráció során, a vézendő műveleeke a jelzéseknek mefelelően abszolválni.

177 - F/ Exended-SIMP: 3. Minapélda: Rövid konzolaró opimálásának eredményei áblázaokba rendezve.9.. Rövid konzolaró eredményei merev arórésszel (SIMP- NDR) és a nélkül (SIMP) M=,4L, L= Mére (,L,,4L): Compliance (C ): 63,63 Compliance Limi (C H =,C ): 98,44 SIMP EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 979,63 C 979,6 C f,4988 C f,4987 V f,3 V f,6 Mére (,L,,4L): Compliance (C ): 63,63 Compliance Limi (C H =,C ): 98,44 SIMP-NDR EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 73,69 C 73,46 C f,97 C f,93 V f,44 V f,46

178 - F/66 - Mére (,L,,4L): Compliance (C ): 63,63 Compliance Limi (C H =C ): 37,6 SIMP EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 3,3 C 3, C f,9967 C f,44 V f,387 V f,388 Mére (,L,,4L): Compliance (C ): 63,63 Compliance Limi (C H =C ): 37,6 SIMP-NDR EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 47,8 C 6,4 C f,7 C f,74 V f,37 V f,378

179 - F/67 - Mére (,L,,4L): Compliance (C ): 63,63 Compliance Limi (C H =,C ): 634,7 SIMP EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 63,83 C 637,4 C f,4966 C f, V f,3 V f,3 Mére (,L,,4L): Compliance (C ): 63,63 Compliance Limi (C H =,C ): 634,7 SIMP-NDR EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 8,63 C 8, C f,883 C f,88 V f,377 V f,38

180 - F/68 - Mére (,L,,4L): Compliance (C ): 63,63 Compliance Limi (C H =3,C ): 96,88 SIMP EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 9,6 C 96,93 C f,9843 C f 3, V f,633 V f,66 Mére (,L,,4L): Compliance (C ): 63,63 Compliance Limi (C H =3,C ): 96,88 SIMP-NDR EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 4,8 C 3,8 C f 3,67 C f 3,963 V f,39 V f,39

181 - F/69 - Mére (,L,,4L): Compliance (C ): 63,63 Compliance Limi (C H =3,C ): 87,7 SIMP EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 4,7 C 368, C f 3,434 C f 3,637 V f,96 V f,3 Mére (,L,,4L): Compliance (C ): 63,63 Compliance Limi (C H =3,C ): 87,7 SIMP-NDR EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C,3 C 9,87 C f 3,383 C f 3,,49 V f,96 V f,96

182 - F/7 - Mére (,L,,4L): Compliance (C ): 63,63 Compliance Limi (C H =4,C ): 64, SIMP EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 69,87 C 796, C f 3,937 C f 4,3784 V f,6 V f,4 Mére (,L,,4L): Compliance (C ): 63,63 Compliance Limi (C H =4,C ): 64, SIMP-NDR EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 6,89 C 88,7 C f 3,768 C f 3,87 V f,7 V f,7

183 - F/7 - Mére (,L,,4L): Compliance (C ): 63,63 Compliance Limi (C H =4,C ): 94,33 SIMP EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 934, C 933,49 C f 4,9 C f 4,8 V f,933 V f,9 Mére (,L,,4L): Compliance (C ): 63,63 Compliance Limi (C H =4,C ): 94,33 SIMP-NDR EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 9, C 66,3 C f 3,97 C f 4,778 V f,63 V f,63

184 - F/ Rövid konzolaró eredményei felül merev arórésszel (SIMP-NDR) és a nélkül (SIMP) M=.4L, L=3 Mére (,L,,4L): 3 Compliance (C ): 679,44 Compliance Limi (C H =,C ): 9,6 SIMP EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 8,8 C 8, C f,499 C f,499 V f, V f,3 Mére (,L,,4L): 3 Compliance (C ): 679,44 Compliance Limi (C H =,C ): 9,6 SIMP-NDR EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 39,33 C 334,86 C f,96 C f,9646 V f,3984 V f,399

185 - F/73 - Mére (,L,,4L): 3 Compliance (C ): 679,44 Compliance Limi (C H =,C ): 38,89 SIMP EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 37,87 C 36,3 C f,9986 C f,7 V f,379 V f,373 Mére (,L,,4L): 3 Compliance (C ): 679,44 Compliance Limi (C H =,C ): 38,89 SIMP-NDR EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C, C,79 C f,88 C f,898 V f,37 V f,37

186 - F/74 - Mére (,L,,4L): 3 Compliance (C ): 679,44 Compliance Limi (C H =,C ): 698,6 SIMP EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 68,4 C 76,79 C f,6 C f,989 V f,968 V f,973 Mére (,L,,4L): 3 Compliance (C ): 679,44 Compliance Limi (C H =,C ): 698,6 SIMP-NDR EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 849,73 C 866, C f,7 C f,746 V f,38 V f,37

187 - F/7 - Mére (,L,,4L): 3 Compliance (C ): 679,44 Compliance Limi (C H =3,C ): 38,33 SIMP EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 3,68 C 9,3 C f,9784 C f 3,768 V f,8 V f,4 Mére (,L,,4L): 3 Compliance (C ): 679,44 Compliance Limi (C H =3,C ): 38,33 SIMP-NDR EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 7, C 398,94 C f 3,467 C f 4,78 V f,97 V f,944

188 - F/76 - Mére (,L,,4L): 3 Compliance (C ): 679,44 Compliance Limi (C H =3,C ): 378, SIMP EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 37,44 C 39,64 C f 3,497 C f 3,9 V f, V f, Mére (,L,,4L): 3 Compliance (C ): 679,44 Compliance Limi (C H =3,C ): 378, SIMP-NDR EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 3,8 C 76,34 C f 3,4673 C f 3,6447 V f,87 V f,84

189 - F/77 - Mére (,L,,4L): 3 Compliance (C ): 679,44 Compliance Limi (C H =4C ): 77,77 SIMP EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 69,3 C 7,3 C f 3,96 C f 4, V f,973 V f,6 Mére (,L,,4L): 3 Compliance (C ): 679,44 Compliance Limi (C H =4C ): 77,77 SIMP-NDR EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 93,44 C 4333,84 C f 3,87 C f 6,378 V f,69 V f,633

190 - F/78 - Mére (,L,,4L): 3 Compliance (C ): 679,44 Compliance Limi (C H =4,C ): 37,49 SIMP EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 3,33 C 387,3 C f 4,43 C f 4,44 V f,799 V f,84 Mére (,L,,4L): 3 Compliance (C ): 679,44 Compliance Limi (C H =4,C ): 37,49 SIMP-NDR EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 87,7 C 87,9 C f 4,9 C f 4,69 V f,7 V f,8

191 - F/ Rövid konzolaró eredményei felül merev arórésszel (SIMP-NDR) és a nélkül (SIMP) M=L, L= Mére (,L, L): Compliance (C ): 8,36 Compliance Limi (C H =3,C ): 67,8 SIMP EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 67,38 C 678, C f,99 C f 3, V f,9 V f,9 Mére (,L, L): Compliance (C ): 8,36 Compliance Limi (C H =3,C ): 67,8 SIMP-NDR EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 69,99 C 69,4 C f,973 C f,33 V f,383 V f,386

192 - F/8 - Mére (,L, L): Compliance (C ): 8,36 Compliance Limi (C H =4,C ): 33,44 SIMP EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 7,96 C 697,47 C f 3,944 C f 4,83 V f,76 V f,67 Mére (,L, L): Compliance (C ): 8,36 Compliance Limi (C H =4,C ): 33,44 SIMP-NDR EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 3,3 C 37,7 C f 4,8 C f 4,87 V f,98 V f,93

193 - F/8 - Mére (,L, L): Compliance (C ): 8,36 Compliance Limi (C H C H =,C ): 79,79 SIMP EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 74,9 C 4,8 C f 4,844 C f 7,37 V f,39 V f,37 Mére (,L,L): Compliance (C ): 8,36 Compliance Limi (C H =,C ): 79,79 SIMP-NDR EREDMÉNYEK Fekee-fehér elemekkel C 7,98 C 6,83 C f 4,96 C f 4,696 V f,844 V f,83