BODE-diagram szerkesztés

Átírás

1 BODE-diagram szerkeszés Egy lineáris ulajdonságú szabályozandó szakasz (process) dinamikus viselkedése egyérelmű kapcsolaban áll a rendszer szinuszos jelekre ado válaszával, vagyis a G(j) frekvenciaávieli függvénnyel egyérelműen jellemezheő. Még jelenleg is széles körben alkalmazzák a szabályozók ervezése során a frekvencia-arománybeli módszereke. Bár a jellemző diagramoka manapság már szine kizárólag számíógéppel rajzolaják meg, mégis elengedheelen a diagramok szerkeszési lépéseinek ismeree. frekvencia-ávieli függvény ábrázolására különféle módszerek erjedek el: BODE, NYQUIST, sb. diagramok. Ezek közül a BODE-diagramok szerkeszésé muajuk be. Egy komplex számo (függvény) abszolú érékével és fázisszögével jellemezheünk. Ezér j( ) kézenfekvő a komplex G(j ) G(j) e frekvencia-ávieli függvény abszolú éréké és fázisszögé külön diagramokban, a körfrekvencia függvényében ábrázolni: ( ) G(j) G(j) ( ) Ennek megfelelően ké diagram szolgál a G(j) frekvencia ávieli függvény eljes információaralmának ábrázolására: 1. Logarimikus lépékű ampliúdó nagyíás vs. körfrekvencia diagram: logg(j) f (log) z ampliúdó-nagyíási függvény (a kimenő jel és a gerjesző jel ampliúdójának arányá) logarimikus lépékben (decibelben) ábrázoljuk a gerjesző jel logarimikus lépékben mér körfrekvenciájának függvényében. Megjegyzés: az ampliúdó-arány decibelben () mérve megállapodás szerin = az ampliúdó-arány logarimusának hússzorosával: log. Szigorúan véve csak ké azonos dimenziójú mennyiség arányának kifejezésére alkalmas. Például ha a kimenőjel ampliúdója 7V, a gerjesző jel ampliúdója pedig 1V, akkor az ampliúdónagyíás 7 log 3 1. Fázisolás-körfrekvencia diagram: g(log) fokokban mér fázisolás ábrázoljuk a gerjesző jel logarimikus lépékben mér körfrekvenciájának függvényében. Megjegyzés: a vízszines engelyen mér ké körfrekvencia (vagy bármely más fizikai mennyiség) ízszeres arányá dekádnak nevezzük, vagyis Körfrekvencia arány dekád = log. 1

2 1 Például 1 1/s és 1 1/s aránya = dekád, mivel log. 1 z ampliúdó nagyíás logarimikus ábrázolása azér előnyös, mivel ) egy összee (öbb ényezőből álló) ávieli függvény eredő BODE-diagramja az egyes ényezők BODE-diagramjainak egyszerű összeadásával nyerheő. ( szorzás művelee a logarimus arományban összeadássá módosul - Lásd középiskolai maemaika) ) logarimikus lépék nagy, öbb nagyságrende áfogó arományok ábrázolásá eszi leheővé mind a vízszines, mind a függőleges engelyen. Jellegzees ényezők és azok függvényei G(j) frekvencia-ávieli függvény álalában öbb ényező szorzaakén állíhaó elő, melyek közül a leggyakoribb három a kövekező alakú: 1) ) 3) K (j n (j ) (j 1) ) 1, n=, ±1,±, sb. Dj 1 1 Nézzük az egyes ípusok ulajdonságai és jellemző diagramjai. 1. ípusú ényező G(jω)= K (j) n Mivel n csak egész szám lehe, ezér a kifejezés vagy iszán valós (n= páros), vagy iszán képzees (n=páralan). Ennek megfelelően ( ) K n n (j) K ( ) Mindké oldal logarimusá véve és -szal szorozva log logk n log Ez a kifejezés egy egyenes egyenlee az -logω koordináarendszerben: nlog logk y m x z egyenes meredeksége (n) /dekád, vagyis lehe /dekád (vízszines), ± /dekád, ±4 /dekád, sb. z egyenes ábrázolásához célszerű először az egyenes egy kiünee ponjá ábrázolni, célszerűen az ω=1 rad/s abszcisszájú pono, mivel ennek oordináája az logk összefüggéssel egyszerűen számíhaó. fázisolás illeően a kövekező megállapíás ehejük: Ha n=, akkor G(jω)=K, valós szám fázisolása φ= b

3 4 Ha n=1, akkor G(jω)=jK ω, iszán képzees szám, aminek fázisolása φ=9 Ha n=, akkor G(jω)=-K ω, negaív valós szám (ellenfázis), fázisolása φ=18 Ha n=3, akkor G(j)=-jK 3, negaív képzees szám, fázisolása =7..sb. Álalánosíva: eszőleges n kievőre a fázisolás φ=n9 Példa Legyen G(j ) 1(j ). Rajzoljuk meg az ampliúdó nagyíási függvény, valamin a fázisolás! z egyenes egy ponja P(1 rad/s, 6 ), ugyanis ω=1 rad/s körfrekvencián az erősíés =log1=6. kifejezés kievője n=+, ennek megfelelően az egyenes meredeksége + =+4 /dekád. fázisolás φ=n*9 =*9 =18. z ampliúdó nagyíási függvény a felső ábrán láhaó, alaa a fázisolás ábrázoluk a gerjeszés körfrekvenciájának függvényében m= 4 / dekád P(1;6) dekád, lg 9, lg. ípusú ényező G(j ) (j 1) 1, árolós, elsőrendű ag. z ampliúdó-nagyíás ( ) ( ) 1 1

4 BODE-diagramok szerkeszése fáradságos munkával jár, ezér szokás azoka érinőikkel közelíeni, nem csökkenve jelenősen a diagramok információaralmá. a) Kis ( ) gerjesző frekvenciákra a gyök alai mennyiség első agja az 1 melle elhanyagolhaó, így ( ) 1 Logarimálás uán a bal oldali (kisfrekvenciás) aszimpoa egyenlee: log log1 (Vízszines koordináaengely egyenlee) b) Nagy ( ) gerjesző frekvenciákra az 1 elhanyagolhaó a másik ag melle, így ( ) Logarimálás és -szal való szorzás uán a jobboldali aszimpoa egyenlee: log log log (± /dekád meredekségű ferde egyenes egyenlee) m x b Érinők meszésponja z aszimpoák megrajzolásá megkönnyíi azok meszésponjának ismeree. ké aszimpoa meszésponja a kövekező egyenlerendszerből kaphaó: log log 1 Innen ω=ω adódik. Mos már fonos jelenés ulajdoníhaunk a kifejezésben ω -vel jelöl mennyiségnek. z ω jelenése: örésponi körfrekvencia. Ennél a körfrekvenciánál válozik az érinők meredeksége. mennyiben a kievő n=1, a jobboldali aszimpoa meredeksége + /dekád érékkel válozik a baloldali aszimpoa meredekségéhez képes (felüláeresző jelleg). mennyiben a kievő n= -1, a jobboldali aszimpoa meredeksége - /dekád érékkel válozik a baloldali aszimpoa meredekségéhez képes (aluláeresző jelleg). Közelíés hibája Mos nézzük meg, hogy mekkora maximális hibá köveünk el, ha az ampliúdó nagyíási függvény az érinőivel helyeesíjük! z ampliúdó nagyíás ponos éréke a örésponi körfrekvencián ( 1 1 ) ( ) 1 Decibelben mérve ( ) log,5 1log 3

5 kisfrekvenciás erősíéshez képes ( ) a örésponban énylegesen ± 3 erősíés van (az előjel a kievő előjelével egyezik meg), ezér az érinőkkel való közelíés hibája a örésponban ± 3. fázisolás kis frekvencián (ω<<ω ) φ=, mivel G(jω) 1, valós szám. nagyfrekvenciás fázisolás (ω>>ω ) φ= ± 9, mivel G(jω) (jω/ω ) ±1, képzees szám. Példa 1 Haározzuk meg a G(j ) frekvencia-ávieli függvény (aluláeresző j 1 jellegű ag) aszimpoái! Először hozzuk ismer (kanonikus) alakra a kifejezés: m /dekád 1 G(j) 1( j1) j1 1 j 1[1( 1)] 1 1 (j 1) 5 1 z áalakío formulából kiolvashajuk a örésponi körfrekvencia éréké: ω =5 1/s. kifejezés kievője n= -1, ezér a jobboldali érinő meredeksége (-1)* /dekád, az egyenes lefelé lej. z ábrán jól lászik a ényleges (kék) görbe és az érinőkkel helyeesíe (piros) görbe maximális elérése a örésponban (3 ). z érinők a örésponól ávol nagyon jól közelíik a görbé. fázisgörbé érinőivel helyeesíve 9 fokos fázisugrás a örésponi frekvencián kövekezik be. valóságban a fázisválozás nem élesen, hanem folyamaosan örénik (kék görbe). örésponól ávol a közelíés jó.

6 , lg m= / dekád dekád - 3 m= - /dekád -, lg ípusú ényező G(jω)= (j ) Dj 1, másodrendű ag. a) Kis frekvencián (ω<<ω )az ampliúdó nagyíási függvény (ω) 1, vagyis (ω). b) Nagy frekvencián (ω>>ω és ω>>dω ) az ampliúdó nagyíási függvény vagyis ( ) 4log 4log. z érinők meszésponja mos is. legnagyobb elérés a örésponi frekvencián van, éréke a kövekező: ( ) (1 ) (D ) 1 D 1. ( ), 1 fázisolás nagy frekvencián, mivel G(j ) ( ) nagy negaív valós szám, a kövekező összefüggéssel számíhaó: arcg n18

7 Példa Rajzoljuk meg a (j) (j) BODE-diagramjai! G 5 frekvencia-ávieli függvény érinőkkel közelíe 3(j) 5 lakísuk á a kifejezés kanonikus alakra: D n G(j) (j) 5 5 j 3 j 1 3(j) 5 j j 5 5 z áalakío kifejezésből az alábbi információkaz olvashajuk ki: örésponi körfrekvencia ω =5 rad/s. csillapíás D=,3 örésponi erősíés-elérés (D) -1 =1,66, decibelben +4,4. kievő n=-1, a jobboldali érinő n= -4 /dekád meredekségű. fázisolás a örésponi körfrekvenciánál n9=-18 fokkal válozik , lg m= / dekád 5 4,4 m= - 4 /dekád, lg MTLB programmal a NEW, m-file menü válaszása uán írjuk be a kövekező uasíásoka:

8 Phase (deg) Magniude () num=[5]; den=[1 3 5]; bode(num,den) Bode Diagram Frequency (rad/sec) Megjegyzés Másodrendűnek lászó agnál ellenőrizni kell, hogy az nem bonhaó-e fel ké elsőrendű ag szorzaára. Például (s +3s+) nem másodrendű ag, hanem (s+1)(s+) ké elsőrendű ag szorzaa (D>1)! Példa összee frekvencia-ávieli függvény ábrázolására Ábrázoljuk érinőivel a 1 (j,1) (j) frekvencia-ávieli függvény! j (j) 5j 4 G Áalakíva a kifejezés ismer ípusú ényezők szorzaára: j,1( 1) 1 (j,1) 1,1 G(j) j (j) 5j 4 j j j 4,5 1 1 j 1 j j 5j ( 1),5 1 1.ípus,1.ípus 3.ípus 1

9 z ábrázolás során a kövekező sorrende célszerű köveni: 1) Ha van K (j) n ípusú ényező, akkor annak ábrázolásával kezdjük a szerkeszés, mivel az ilyen ényezőből származik a görbe bal oldali érinője. z érinőnek célszerűen az a P ponjá haározzuk meg, melynek abszcisszája =1 rad/s. I 1 az erősíés 5(j =5 ami decibelben ( 1) log 5 8 P ) 1 P P, lg z egyenes meredeksége annyiszor /dekád, amennyi (j) kievője. Jelen eseben n= -1, ehá az egyenes meredeksége - /dekád m= - / dekád P, lg ) zzal a ényezővel folyajuk a szerkeszés, melynek örésponi körfrekvenciája a j 1 legkisebb. Jelen eseben ez a ( 1) ényező, melynek örésponi körfrekvenciája,1 1,1 rad / s. Mivel ez a ényező elsőrendű és kievője n=+1, ezér a öréspon uán az érinő meredeksége n= + /dekád érékkel válozik a öréspon elői érékhez képes. öréspon elő a meredekség - /dekád vol, így a öréspon uán - /dekád+ db/dekád= /dekád lesz.

10 m= - / dekád -6 m= / dekád , lg 3) kövekező ényező az, melynek örésponi körfrekvenciája soron kövekezik. 1 j j,5 1 másodrendű ényező örésponi körfrekvenciája rad / s, kievője n=-1. Ebben a örésponban az érinő meredeksége a öréspon elői /dekád érékhez képes n /dekád érékkel, ehá -4 /dekád érékkel válozik. m= - / dekád -6 m= / dekád , m= -4 / dekád 1 lg Végezeül a közelíő görbé is berajzoljuk az ábrába. z erősíés elérés az első 1 =,1 rad/s örésponi körfrekvencián 3 (elsőrendű ag, elérés az érinőkön belül alálhaó), míg a második = rad/s örésponban (D) n =,5-1 =4, ami decibelben log4=1 (úllövés az érinőkön kívül alálhaó).

11 lg, =,1 =, lg Ellenőrzésül Malab programmal is megrajzolajuk a BODE-diagramoka. frekvenciaávieli függvény számlálójának (numeraor=számláló) és nevezőjének (denominaor=nevező) megadása uán a bode(számláló,nevező) uasíással megkapjuk a BODE-diagramoka. program az alábbi m-file begépeléséből áll: num=[1 1]; % számláló j csökkenő haványai szerin rendeze együhaói den=[1 5 4 ]; % nevező j csökkenő haványai szerin rendeze együhaói bode(num,den) ile( Bode Diagram ) % a diagram címe

12 Phase (deg) Magniude () 1 Bode Diagram Frequency (rad/sec) kézzel szerkesze, valamin a számíógéppel rajzolao BODE-diagramok ökélees egyezés muanak. BODE-diagramok ovábbi ulajdonságai Erősíés válozaása Vizsgáljuk meg, hogy mikén módosulnak egy G (j) alakú frekvencia-ávieli függvény BODE-diagramjai, ha a függvény λ skalár együhaóval megszorozzuk a) Először vizsgáljuk az ( ) ( ) ampliúdó nagyíás. Vegyük mindké oldal logarimusának hússzorosá: log ( ) log log ( ) ( ) ( ) Megállapíhajuk, hogy az új ampliúdó nagyíási függvény csupán egy logλ konsansban ér el az eredei ( ) ampliúdó nagyíási függvényől. Egy λ konsanssal való szorzás az eredei BODE-diagramo függőleges irányban olja el logλ érékkel. Ha λ>1, akkor az eredei BODE-diagram felfelé, ha λ<1, akkor lefelé olódik el. b) Mos vizsgáljuk meg, hogy a λ konsanssal való szorzásnak van-e haása a fázisolásra? fázisolás a komplex G (j) függvény komplex N (j) számlálójának és komplex D (j) nevezőjének fázisolásával kifejezve

13 Phase (deg) Magniude () ( ) N( ) D( ) Tudjuk, hogy a N (j) művele az N (j) komplex számnak mind a valós, mind a képzees részé ugyanolyan arányban nyújja meg, hiszen N (j) (Re N(j) ImN (j)) Kövekezésképpen a valós számo ábrázoló vekornak csak a hossza válozik, a szöge nem. z elmondoakból kövekezik, hogy Egy konsanssal való szorzásnak a fázisviszonyokra nincs haása. Távoli örésponokra érinőkkel való közelíés jó m1=f([1 1],[1 5 4 ]); m=f(1*[1 1],[1 5 4 ]); m3=f(1*[1 1],[1 5 4 ]); bode(m1,m,m3) 15 Bode Diagram Frequency (rad/sec)