Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai
|
|
- Irma Péterné
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 C Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai C.1. Bevezetés - Átviteli függvény, frekvenciafüggvény Dinamikus rendszerek leírásának egyik módja az átviteli függvények segítségével történik. Az átviteli függvényeket a rendszer differenciálegyenletéből kiindulva a L -transzformáció alkalmazásával vezethetjük be (lásd [3] A függelék). Vegyük a differenciálegyenlet L -transzformáltját zérus kezdeti értékekkel, majd rendezzük a benne szereplő Y(s) és U(s) tagok szerint, ahonnan kapjuk a G(s) racionális törtfüggvényt: G(s)= Y(s) U(s) = b(s) a(s) = b ms m +...+b 1 s+b a n s n a 1 s+a. (C.1) Az átviteli függvény tehát a kimenőjel és a bemenőjel zérus kezdeti feltételekkel vett L -transzformáltjainak hányadosa. Az átviteli függvényt ún. pólus-zérus alakban is felírhatjuk: G(s)=k m j=1 (s z j) n i=1 (s p i), (C.2) ahol z j jelöli a rendszer zérusait, vagyis a b(s)= egyenlet gyökeit, míg p i jelöli a rendszer pólusait, vagyis az a(s) = egyenlet gyökeit. A G(s) leírásának egy további lehetséges módja az időállandós alak. Alaptagok általános időállandós alakja a következő: G(s)= C(s) n s n + n 1 s n 1. (C.3) s+ }{{} 1 }{{} 1
2 46 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai Itt a nevező polinom fokszáma adja meg, hogy hány tárolós a tag. Így egy n-edfokú nevező polinom n tárolós tagot jelent, rövid jelölése n. A számláló C(s) eleme háromféle alakú lehet: 1. A ekkor a tag arányos (P), 2. A d s ekkor a tag differenciáló (D), 3. A I s ekkor a tag integráló (I). A lineáris dinamikus időinvariáns rendszerek frekvenciatartományban való vizsgálatát szinuszos lefutású bemenőjelekre adott válaszfüggvényeik segítségével végezhetjük el. Ehhez bevezetjük a frekvenciafüggvény fogalmát. Egy rendszer frekvencia-válaszfüggvényének (vagy egyszerűbben frekvenciafüggvényének) a rendszer egység amplitúdójú szinuszos bemenőjelre állandósult állapotban adott válaszfüggvényét nevezzük. A frekvenciafüggvényt a differenciálegyenletből a jelek exponenciális alakjának és az exponenciális függvény differenciálási szabályának felhasználásával egyszerű átrendezéssel, míg az átviteli függvényből formálisan az s = iω helyettesítéssel kapjuk. Ez utóbbi kapcsolat mutatja azt is, hogy a frekvenciafüggvényeket a differenciálegyenletekből az ún. Fourier-transzformációval, zérus kezdeti feltételekkel közvetlenül is megkaphatjuk [3]. A G(iω) függvényeket a rendszer frekvenciafüggvényének nevezzük, és az ω körfrekvencia szerint ábrázoljuk. Nyquist-diagram: A Nyquist-diagramon való ábrázolás kétféle módon is felfogható. A frekvenciafüggvény értéke egy adott ω frekvencián egy komplex szám: G(iω )=ReG(iω )+iimg(iω ). (C.4) Ez a szám komplex számsíkon ábrázolható és így ω =... tartományon a pontokat ábrázolva adódik a Nyquist-diagram. A másik szemlélethez definiálni kell egy adott ω frekvenciára vonatkozóan az amplitúdót A(ω ) és fázisszöget ϕ(ω ): A(ω )= ReG(iω ) 2 + ImG(iω ) 2, ϕ(ω )=arctg ImG(iω ) ReG(iω ). (C.5) (C.6)
3 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 47 Így az amplitúdó, mint a fázisszöggel irányított szakasz ábrázolható derékszögű koordinátarendszerben. Ez a koordinátarendszer lehet a komplex számsík is, ahol ha a Re valós tengellyel bezárt szög a fázisszög akkor a kétféle szemlélet azonos ábrázolást ad (márpedig definíció szerint a fázisszög a Re tengellyel bezárt szög). A továbbiakban az alaptagok (-tól 2 tárolóig) Nyquist- és Bode-diagramjainak alakját ismertetjük a jellegzetes pontok meghatározását is leírva (és a frekvenciafüggvényt az ábrázoláshoz használt paraméterekkel is megadva). Az ezekhez kapcsolódó hosszabb levezetéseket és az állítások igazolását a C.3 fejezet tartalmazza. Összetett tagok Nyquist-diagramját a következő módon ábrázoljuk: A frekvenciafüggvényt felbontjuk alaptagok összegére. Az így kiadódott alaptagok Nyquist-diagramjait pontonként összeadva (az azonos ω frekvenciához tartozó vektorokat összegezve) kapjuk az eredő Nyquist-diagramot. Összetett tagok Bode-diagramját a következő módon ábrázoljuk: A frekvenciafüggvényt felbontjuk alaptagok szorzatára. Az így kiadódott alaptagok Bode-diagramjait pontonként összeadva (az azonos ω frekvenciához tartozó pontokat összegezve) kapjuk az eredő Bode-diagramot. Ennek igazolását lásd a C.3 pontban. C.2. Alaptagok frekvenciatartományi vizsgálata P tárolós arányos tag Átviteli függvénye: Frekvenciafüggvénye: G(s)=A. G(iω)=A=2. A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i)=A, ω G(i )=A. Nyquist diagramja egyetlen pont (lásd C.1 ábra). Bode amplitúdó diagramja egy a db-es tengellyel párhuzamos egyenes 2 lg(a) magasságban. Bode fázis diagramja konstans nulla (lásd C.2 ábra). Itt a(ω) = 2 lg A(ω) az amplitúdó felhasznált definíciója, mely az amplitúdót decibel (db) mértékegységben adja eredményül.
4 48 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai.5 P tag Nyquist-diagramja Im.1 A Re C.1. ábra. P alaptag Nyquist-diagramja D tárolós differenciáló tag Átviteli függvénye: G(s)=A d s. Frekvenciafüggvénye: G(iω)=A d iω = 2iω. A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i)=, ω G(i )=i.
5 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 49 8 P tag Bode amplitudó diagramja Amplitudó (db) lga P tag Bode fázis diagramja Fázis( ) Frekvencia ( ) rad s C.2. ábra. P alaptag Bode-diagramja Nyquist-diagramja egy egyenes -ból i -be (lásd C.3 ábra). Bode amplitúdó diagramja egy a +2 db mereségű egyenes, mely a db-es tengelyt az 1 A d frekvencián metszi. Bode fázis diagramja konstans +9 (lásd C.4 ábra). Ennek igazolását a C.3 alfejezet tartalmazza. 1 ád a tizes alapú logaritmikus skálán a 1 két egymást követő hatványa közti távolságot jellemzi. Például 1 ád a távolság 1 k és 1 k+1 közt, de ugyanígy.25 1 k és.25 1 k+1 között is. I tárolós integráló tag Átviteli függvénye: G(s)= A I s.
6 41 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai D tag Nyquist-diagramja ω Im ω = Re C.3. ábra. D alaptag Nyquist-diagramja Frekvenciafüggvénye: G(iω)= A I iω = A Ii ω = 2i ω. A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i)= i, ω G(i )=. Nyquist-diagramja egy egyenes i -ből -ba (lásd C.5 ábra). Bode amplitúdó diagramja egy 2 db mereségű egyenes, mely a db-es tengelyt az A I frekvencián metszi. Bode fázis diagramja konstans 9 (lásd C.6 ábra). Ennek igazolását a C.3 alfejezet tartalmazza.
7 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai D tag Bode amplitudó diagramja Amplitudó (db) 2 1 A d +2 db D tag Bode fázis diagramja Fázis( ) Frekvencia ( 1 1 ) rad s C.4. ábra. D alaptag Bode-diagramja 1P 1 tárolós arányos tag Átviteli függvénye: G(s)= A s+1. Frekvenciafüggvénye: G(iω) = A iω+ 1 = A Aiω 1+ 2 ω 2 = 5 2iω+ 1.
8 412 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai.5.5 I tag Nyquist-diagramja ω Im ω = Re C.5. ábra. I alaptag Nyquist-diagramja A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i)=Aq,, ω G(i )=, ω s = 1 ( G i 1 ) = A Ai = A 2 2 Ai 2. A fenti kifejezésben ω s az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ω s ) = 45. A tag Nyquist-diagramja egy félkör az alsó síknegyedben A-ból -ba (lásd C.7 ábra). A félkör alak igazolása a C.3 alfejezetben megtalálható.
9 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai I tag Bode amplitudó diagramja Amplitudó (db) 2 2 db A I I tag Bode fázis diagramja Fázis( ) Frekvencia ( 1 1 ) rad s C.6. ábra. I alaptag Bode-diagramja A Bode-diagram esetében a továbbiakban az aszimptotikus szerkesztés módszerét ismertetjük. A diagramokon szaggatott vonallal jelöljük az aszimptotikus közelítést, míg folytonossal a valódi frekvencia válaszokat. 1P tag Bode amplitúdó diagramja ω s = 1 frekvenciáig egy 2 lg A magasságban haladó vízszintes egyenes, majd a sarokkörfrekvenciától 2 db mereségű egyenes. Fázisdiagramja a sarokkörfrekvencia tizedénél kisebb frekvenciákra, 45 mereségű egyenes.1ω s és 1ω s frekvenciák között és 9 a sarokkörfrekvencia tízszeresénél nagyobb frekvenciák esetén (lásd C.8 ábra). Ennek igazolását a C.3 alfejezet tartalmazza. Látható, hogy ω s = 1 frekvencián a Bode fázis diagram a Nyquist-diagrammal meg
10 414 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai.5 1P tag Nyquist-diagramja ω ω = A.5 1 Im ω s = Re C.7. ábra. 1P alaptag Nyquist-diagramja egyezően éppen 45 értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. 1D 1 tárolós differenciáló tag Átviteli függvénye: G(s)= A ds s+1. Frekvenciafüggvénye: G(iω)= A diω iω+ 1 = A d ω 2 + A d iω 1+ 2 ω 2 = 5iω 2iω+ 1.
11 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai P tag Bode amplitudó diagramja Amplitudó (db) Fázis( ) lg A 2 db P tag Bode fázis diagramja Frekvencia ( ) rad s 1 45 C.8. ábra. 1P alaptag Bode-diagramja A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i)=, ω G(i )= A d, ω s = 1 ( G i 1 ) = A d+ A d i = A d A di 2. A fenti kifejezésben ω s az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ω s ) = +45. A tag Nyquist-diagramja egy félkör a felső síknegyedben -ból A d -be (lásd C.9 ábra). A félkör alak igazolása a C.3 alfejezetben megtalálható.
12 416 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 1D tag Nyquist-diagramja 1.5 ω s = 1 1 Im.5 ω = A d ω Re C.9. ábra. 1D alaptag Nyquist-diagramja Az 1D tag Bode-diagramját legkönnyebben szerkesztéssel határozhatjuk meg. Figyelembe véve az összetett tagok ábrázolására vonatkozó tételt (lásd C.3 alfejezet), az 1D tag felfogható egy D és egy 1P alaptag sorba kapcsolt eredőjeként. Az alaptagok amplitúdó és fázis görbéit megrajzolva, majd minden frekvencián összegezve kapjuk az eredő görbéket, melyről a következőket mondhatjuk: az amplitúdó görbe egy +2 db mereségű egyenes ω < 1 frekvenciákon, mely az 1 A d pontban metszi (metszené) a db-es tengelyt, majd 1 < ω frekvenciákra egy 2 lg A d erősítésű vízszintes egyenes. A db-es tengellyel való metsződés az 1 és 1 A d frekvenciák viszonyától függ. Ha 1 > 1 A d akkor létrejön a metsződés, ha 1 < 1 A d akkor
13 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai D tag Bode amplitudó diagramja Amplitudó (db) 2 +2 db 1 2 lg A d D tag Bode fázis diagramja Fázis( ) Frekvencia ( ) rad s C.1. ábra. 1D alaptag Bode-diagramja nem jön létre metsződés, ha 1 = 1 A d akkor a diagram éppen a db-es tengelyre törik. a fázis 9 és között változik,.1ω s -nél kisebb frekvenciák esetén 9,.1ω s és 1ω s frekvenciatartományon 45 mereségű egyenes, 1ω s -nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd C.1 ábra). Látható, hogy ω s = 1 frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquistdiagrammal megegyezően éppen+45 értéket vesz fel, melyet az aszimp- totikus ábrázolás is pontosan ad vissza.
14 418 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 1 1I tag Nyquist-diagramja 1 ω 2 3 A I 4 Im ω = Re C.11. ábra. 1I alaptag Nyquist-diagramja 1I 1 tárolós integráló tag Átviteli függvénye: Frekvenciafüggvénye: G(iω) = G(s)= A I s( s+1). A I iω( iω+ 1) = A I ω 2 A i ωi 2 ω 4 + ω 2 = A I A I ω i 2 ω = 2 3(iω) 2 + iω.
15 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai I tag Bode amplitudó diagramja Amplitudó (db) Fázis( ) 5 2 db db I tag Bode fázis diagramja Frekvencia ( ) rad s C.12. ábra. 1I alaptag Bode-diagramja A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i)= A I i, ω G(i )=, ω s = 1 ( G i 1 ) = A I A I i = A I 2 2 A Ii 2. A fenti kifejezésben ω s az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ω s ) = 135. A tag Nyquist-diagramja ω = -ban az A I i pontból indul és a pontba fut be. Aszimptotája az A I -vel jellemzett egyenes (lásd C.11 ábra). Az 1I tagot mint I és 1P tagok soros kapcsolásának tekintve a Bodediagramok:
16 42 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai az amplitúdó görbe egy 2 db mereségű egyenes ω < 1 frekvenciákon, majd 1 db < ω frekvenciákra egy 4 mereségű egye- nes. A db-es tengellyel való metsződés az 1 és A I frekvenciák viszonyától függ. Ha 1 > A I akkor 2 db db, egyéb esetben 4 mereséggel metszi a görbe a db-es tengelyt. a fázis 9 és 18 között változik,.1ω s -nél kisebb frekvenciák esetén 9,.1ω s és 1ω s frekvenciatartományon 45 mereségű egyenes, 1ω s -nél nagyobb frekvenciák esetén 18 (lásd C.12 ábra). Látható, hogy ω s = 1 frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist-diagrammal megegyezően éppen 135 értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. 2P 2 tárolós arányos tag Átviteli függvénye: Frekvenciafüggvénye: G(s)= A 2 s ξ s+1. G(iω) = = A 2 (iω) ξ iω+ 1 = A(1 2 ω 2 2 ξ iω) (1 2 ω 2 ) ξ 2 ω 2 A A 2 ω 2 2Aξ iω 4 ω 4 +(4 2 ξ )ω 2 + 1, ξ =.8 G(iω)= ξ =.3 G(iω)= 5 4(iω) 2 + 3,2iω+ 1, 5 4(iω) 2 + 1,2iω+ 1.
17 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 421 2P tag Nyquist-diagramja ω A ω = 2 ξ.5 ω s = 1 Im 4 6 ξ <.5 8 ω s = Re C.13. ábra. 2P alaptag Nyquist-diagramja A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i)=A, ω G(i )=, ω s = 1 ( G i 1 ) = A A 2Aξ i 4ξ 2 = 2Aξ i 4ξ 2. A fenti kifejezésben ω s az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt a frekvenciafüggvény értéke tisztán képzetes ϕ(ω s )= 9. A tag Nyquist-diagramja egy torz félkör az alsó két síknegyedben A-ból -ba (ahány tárolós a tag, annyi síknegyeden halad át a Nyquist-diagramja) (lásd C.13 ábra). Bizonyítható (lásd C.3 alfejezet), hogy az A pontba húzott függőleges egyenest ξ <.5 csillapítás esetén fogja a diagram kétszer metszeni (ekkor lóg át
18 422 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai Amplitudó (db) lg A.1 p 2P tag (ξ < 1) Bode amplitudó diagramja p 4 db P tag (ξ < 1) tag Bode fázis diagramja Fázis( ) p Frekvencia ( ) rad s C.14. ábra. 2P alaptag Bode-diagramja rajta jobbra) egyébként minden pontja az egyenesen, vagy annak bal oldalán helyezkedik el. A kéttárolós tagok esetében a rendszer viselkedését a ξ csillapítási tényező befolyásolja, három esetet különböztetünk meg (tipikus kéttárolós tag az egytömegű csillapított lengőrendszer): ξ < 1 a rendszer gyengén csillapított, ekkor a rendszernek komplex konjugált póluspárja van, ξ = 1 esetén a rendszer aperiodikus-periodikus határhelyzetben van, a rendszernek egy darab kétszeres multiplicitású valós pólusa van (kritikus csillapítás), ξ > 1 esetén a rendszer túlcsillapított, két eltérő valós pólusa van ( p 1 < p 2 ).
19 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 423 Amplitudó (db) Fázis( ) lg A 2P tag(ξ = 1) Bode amplitudó diagramja.1 p p 2P tag(ξ = 1) Bode fázis diagramja 9 4 db p Frekvencia ( ) rad s C.15. ábra. 2P alaptag Bode-diagramja A kéttárolós tagok Bode-diagramjait szorzatra bontással és az alaptagok ábrázolása utáni eredő számítással kaphatjuk meg. A pólusok alapján a 2P aszimptotikus Bode-diagramokról a következőket mondhatjuk: Komplex konjugált póluspár vagy kétszeres multiplicitású valós pólus esetén az amplitúdó diagram 2 lg(a) erősítésű vízszintes egyenes az p 1 = p 2 = p frekvenciáig, majd onnan 4 db mereségű egyenes. A fázisfüggvény és 18 között forgat: a.1 p frekvenciánál kisebb frekvenciákra, 9 mereségű egyenes.1 p és 1 p frekvenciák között és 18 1 p -nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd C.14, C.15, C.16 ábrák). Látható, hogy
20 424 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai Amplitudó (db) Fázis( ) lg A.1 p P tag(ξ > 1) Bode amplitudó diagramja 2 db p 1 2P tag(ξ > 1) Bode fázis diagramja.1 p 2 9 p 2 1 p 1 4 db p Frekvencia ( ) rad s C.16. ábra. 2P alaptag Bode-diagramja ω s = 1/ frekvencián a Bode fázis diagram a Nyquist-diagrammal megegyezően éppen 9 értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. A valós Bode amplitúdó diagramon a p frekvencián kiemelés található gyengén csillapított esetben. Határeset a ξ = csillapítatlan rendszer ahol az ω s = p sajátlengési (vagy sarok-) frekvencián végtelen nagy amplitúdó és ezért végtelen nagy kiemelés alakul ki. Két valós pólus esetén az amplitúdó diagram 2 lg(a) erősítésű vízszintes egyenes az p 1 frekvenciáig, majd onnan 2 db mereségű egyenes a p 2 frekvenciáig. p 2 frekvenciától pedig 4 db mereségű egyenes.
21 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 425 A fázisfüggvény és 18 között forgat: a.1 p 1 frekvenciánál kisebb frekvenciákra, 45 mereségű egyenes.1 p 1 és.1 p 2 frekvenciák között, 9 mereségű egyenes.1 p 2 és 1 p 1 frekvenciák között, 45 mereségű egyenes 1 p 1 és 1 p 2 frekvenciák között, és 18 1 p 2 - nél nagyobb frekvenciák esetén(lásd C.14, C.15, C.16 ábrák). Látható, hogy ω s = 1/ frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquistdiagrammal megegyezően éppen 9 értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. 2D 2 tárolós differenciáló tag Átviteli függvénye: Frekvenciafüggvénye: G(s)= A d s 2 s ξ s+1. A d iω G(iω) = 2 (iω) ξ iω+ 1 = A diω(1 2 ω 2 2 ξ iω (1 2 ω 2 ) ξ 2 ω ( ω 2) A d iω+ 2A d ξ ω 2 ) = 4 ω 4 +(4 2 ξ )ω 2 + 1, ξ =.8 G(iω) = 5iω 4(iω) 2 + 3,2iω+ 1. A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i)=, ω G(i )=, ω s = 1 G ( i 1 ) = + 2A dξ 4ξ 2 = A d 2ξ + i.
22 426 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 2D tag Nyquist-diagramja Im.2.2 ω = ω φ = A d 2ξ Re C.17. ábra. 2D alaptag Nyquist-diagramja A fenti kifejezésben ω s az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt a frekvenciafüggvény értéke tisztán valós (ϕ(ω s )=). A tag Nyquist-diagramja egy teljes kör a felső és alsó két síknegyedben -ból -ba (ahány tárolós a tag, annyi síknegyeden halad át a Nyquist-diagramja) (lásd C.17 ábra). A teljes kör alak igazolása a C.3 alfejezetben megtalálható. A pólusok alapján a 2D aszimptotikus Bode-diagramokról a következőket mondhatjuk: Komplex konjugált póluspár vagy egy darab kétszeres multiplicitású pólus esetén az amplitúdó diagram +2 db mereségű egyenes az p 1 = p 2 frekvenciáig (mely db-es tengelyt
23 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai D tag(ξ < 1) Bode amplitudó diagramja Amplitudó (db) Fázis( ) 2 +2 db p 2 db D tag(ξ < 1) Bode fázis diagramja.1 p 9 1 p Frekvencia ( ) rad s C.18. ábra. 2D alaptag Bode-diagramja az 1 A d frekvencián metszi), majd onnan 2 db mereségű egyenes. A db-es tengellyel való metsződés az 1 és 1 A d frekvenciák viszonyától függ. Ha 1 > 1 A d akkor létrejön a metsződés, ha 1 < 1 A d akkor nem jön létre metsződés. A fázisfüggvény 9 és 9 között forgat: 9 a.1 p frekvenciánál kisebb frekvenciákra, 9 mereségű egyenes.1 p és 1 p frekvenciák között és 9 1 p -nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd C.18, C.19, C.2 ábrák). Látható, hogy
24 428 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 2 2D tag(ξ = 1) Bode amplitudó diagramja Amplitudó (db) 2 +2 db p 2 db D tag(ξ = 1) Bode fázis diagramja Fázis( ) 5.1 p p Frekvencia ( ) rad s C.19. ábra. 2D alaptag Bode-diagramja ω s = 1 frekvencián a Bode fázis diagram a Nyquist-diagrammal megegyezően éppen értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. A valós Bode amplitúdó diagramon a p frekvencián kiemelés található gyengén csillapított esetben. Határeset a ξ = csillapítatlan rendszer ahol az ω s = p sajátlengési (vagy sarok) frekvencián végtelen nagy amplitúdó és ezért végtelen nagy kiemelés alakul ki. Két valós pólus esetén az amplitúdó diagram +2 db mereségű egyenes az p 1 frekvenciáig (mely db-es tengelyt az 1 A d frekvencián metszi), majd onnan vízszintes egyenes a p 2 frek
25 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 429 Amplitudó (db) Fázis( ) db.1 p 1 2D tag(ξ > 1) Bode amplitudó diagramja 45 p 1 2D tag(ξ > 1) tag Bode fázis diagramja.1 p 2 p p db p Frekvencia ( ) rad s C.2. ábra. 2D alaptag Bode-diagramja venciáig. p 2 frekvenciától pedig 2 db mereségű egye- nes. A db-es tengellyel való metsződés az p 1 és 1 A d frekvenciák viszonyától függ. Ha p 1 > 1 A d akkor létrejön a metsződés, ha p 1 < 1 A d akkor nem jön létre metsződés. A fázisfüggvény 9 és 9 között forgat: 9 a.1 p 1 frekvenciánál kisebb frekvenciákra, 45 mereségű egyenes.1 p 1 és.1 p 2 frekvenciák között, 9 mereségű egye-
26 43 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai nes.1 p 2 és 1 p 1 frekvenciák között, 45 mereségű egyenes 1 p 1 és 1 p 2 frekvenciák között, és 9 1 p 2 -nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd C.18, C.19, C.2 ábrák). Látható, hogy ω s = 1 frekvencián a Bode fázis diagram a Nyquistdiagrammal megegyezően éppen értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. 2I 2 tárolós integráló tag 1 2I tag Nyquist-diagramja ω 1 ξ <.77 Im 2 ξ.77 2ξ A I ω = Re C.21. ábra. 2I alaptag Nyquist-diagramja
27 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 431 Amplitudó (db) I tag(ξ = 1) Bode amplitudó diagramja 2 db p 6 db I tag(ξ = 1) Bode fázis diagramja Fázis( ) p 9 1 p Frekvencia ( ) rad s C.22. ábra. 2I alaptag Bode-diagramja Átviteli függvénye: G(s)= A I s( 2 s ξ s+1)
28 432 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai Amplitudó (db) I tag(ξ = 1) Bode amplitudó diagramja 2 db p 6 db I tag(ξ = 1) Bode fázis diagramja Fázis( ) p 9 1 p Frekvencia ( ) rad s C.23. ábra. 2I alaptag Bode-diagramja Frekvenciafüggvénye: G(iω) = = G(iω) ξ=.8 = G(iω) ξ=.6 = A I 2 (iω) ξ(iω) 2 + iω = A I( 2 ξ ω 2 iω+ 2 iω 3 ) 4 2 ξ 2 ω 4 + ω ω ω 6 2 ξ A I A I ω i+ 2 A i ωi 4 2 ξ 2 ω ω ω 4, 5 4(iω) (iω) 2 + iω, 5 4(iω) (iω) 2 + iω.
29 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 433 Amplitudó (db) Fázis( ) db.1 p 1 2I tag(ξ > 1) Bode amplitudó diagramja 45 2I tag(ξ > 1) Bode fázis diagramja.1 p 2 4 db p 1 9 p 2 6 db p 2 1 p Frekvencia ( ) rad s C.24. ábra. 2I alaptag Bode-diagramja A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i)= 2A I ξ i, ω G(i )=, ω s = 1 ( G i 1 ) = 2A Iξ + i(a I A I ) 4ξ 2 = A I + i 2ξ A fenti kifejezésben ω s az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt a frekvenciafüggvény értéke tisztán valós (ϕ(ω s )= 18 ). A tag Nyquist-diagramja az 1I tag diagramjának torzítása (két síknegyeden halad át) 2A I ξ értékkel jellemzett aszimptotával (lásd C.21 ábra). Bizonyítható (lásd C.3 alfejezet), hogy a 2A I ξ pontba húzott függőleges egyenest ξ < 1/ 2 csillapítás esetén fogja a diagram kétszer metszeni (ekkor lóg át rajta balra) egyébként minden pontja az egyenesen, vagy annak jobb oldalán helyezkedik el.
30 434 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai A pólusok alapján az 1I aszimptotikus Bode diagramokról a következőket mondhatjuk: Komplex konjugált póluspár vagy egy darab kétszeres multiplicitású pólus esetén az amplitúdó diagram 2 db mereségű egyenes az p 1 = p 2 = p frekvenciáig, majd onnan 6 db mereségű egyenes. A db-es tengellyel való metsződés a p és A I frekvenciák viszonyától függ. Ha p >A I, akkor 2 db, egyéb esetben 6 db mereséggel metszi a görbe a db-es tengelyt. A fázisfüggvény 9 és 27 között forgat: 9 a.1 p frekvenciánál kisebb frekvenciákra, 9 mereségű egyenes.1 p és 1 p frekvenciák között és 27 1 p -nél na- gyobb frekvenciák esetén (lásd C.22, C.23, C.24 ábrák). Látható, hogy ω s = 1 frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen 18 értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. A valós Bode amplitúdó diagramon a p frekvencián kiemelés található gyengén csillapított esetben. Két valós pólus esetén az amplitúdó diagram 2 db mereségű egyenes az p 1 frekvenciáig, majd onnan 4 db mereségű egyenes a p 2 frekvenciáig. p 2 frekvenciától pedig 6 db mereségű egyenes. A db-es tengellyel való metsződés a p 1 és A I frekvenciák viszonyától függ. Ha p 1 > A I, akkor 2 db db db, egyéb esetben 4 vagy 6 mereséggel metszi a görbe a db-es tengelyt. A fázisfüggvény 9 és 27 között forgat: 9 a.1 p 1 frekvenciánál kisebb frekvenciákra, 45 mereségű egye-
31 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 435 nes.1 p 1 és.1 p 2 frekvenciák között, 9 mereségű egyenes.1 p 2 és 1 p 1 frekvenciák között, 45 mereségű egyenes 1 p 1 és 1 p 2 frekvenciák között, és 27 1 p 2 -nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd C.22, C.23, C.24 ábrák). Látható, hogy ω s = 1 frekvencián a Bode fázis diagram a Nyquist-diagrammal megegyezően éppen 18 értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. PD arányos deriváló tag 5 PD tag Nyquist diagramja ω 4 3 Im 2 1 ω = Re C.25. ábra. PD alaptag Nyqusit-diagramja Átviteli függvénye: G(s)= s+1.
32 436 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 6 PD tag Bode amplitudó diagramja Amplitudó (db) 4 +2 db PD tag Bode fázis diagramja Fázis( ) Frekvencia ( ) rad s C.26. ábra. PD alaptag Bode-diagramja Frekvenciafüggvénye: G(iω)= iω+ 1. A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i)=1, ω G(i )=1+i, ω s = 1 ( G i 1 ) = i+1. A fenti kifejezésben ω s az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ω s ) = 45. A tag Nyquist-diagramja egy egyenes az 1 pontból az 1+i -be (lásd C.25 ábra).
33 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 437 A PD tag Bode amplitúdó diagramja ω s = 1 frekvenciáig egy db magasságban haladó vízszintes egyenes, majd a sarokkörfrekvenciától +2 db mereségű egyenes. Fázisdiagramja a sarokkörfrekvencia tizedénél kisebb frekvenciákra, +45 mereségű egyenes.1ω s és 1ω s frekvenciák között és+9 a sarokkörfrekvencia tízszeresénél nagyobb frekvenciák esetén (lásd C.26 ábra). Az alak igazolása a C.3 alfejezetben található. C.3. Bizonyítások Igazolás: Összetett tag Bode-diagramja szorzat alakból a szorzatban szereplő alaptagok Bode-diagramjainak összegeként kapható meg Vegyük egy összetett tag alaptagok szorzataként felírt frekvenciafüggvényét: G(iω )=G 1 G 2...G n, G j C j = 1...n, (C.7) (C.8) G j = r j e iϕ j, (C.9) G(iω )=r 1 e iϕ 1 r 2 e iϕ 2...r n e iϕ n = r 1 r 2...r n e iϕ 1 e iϕ 2...e iϕ n = re iϕ. (C.1) Az eredő amplitúdó így r= r 1 r 2...r n az eredő fázis pedig ϕ = ϕ 1 + ϕ ϕ n. A fázisszögről így azonnal látható, hogy az alaptagok fázisszögeit összegezve megkapjuk az eredő szöget. Vizsgáljuk most a Bode amplitúdó diagram értékét felhasználva az amplitúdó definícióját: a(ω )=2 lg G(iω ) =2 lg r 1 r 2...r n e iϕ = (C.11) = 2 lg(r 1 r 2...r n )=2 lgr lgr lgr n = (C.12) = a 1 (ω )+a 2 (ω )+...+ a n (ω ). (C.13) ehát az alaptagok amplitúdóinak összegét kaptuk. Igazolás: D alaptag Bode diagramja Az ideális differenciáló tag erősítését a következő módon írhatjuk: a(ω)= 2 lg A d iω =2 lg(a d ω)=2 lg A d + 2 lgω.
34 438 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai Amennyiben a körfrekvencia egy ádnyit változik akkor az erősítés változása: a(1 ω) a(ω)=2 lga d + 2 lg1+2 lgω 2 lga d 2 lgω = = 2 lg1=2. vagyis az amplitúdó görbe meresége +2 db. A vágási körfrekvencia: =2 lga d + 2 lgω c, lgω c = lga d = lga 1 d, ω c = 1 A d. A fázisfüggvény: ϕ(ω)=arctg ImG(iω) ReG(iω) = arctg ImA diω ReA d iω = arctg A dω = arctg =+9. minden ω-ra. Igazolás: I alaptag Bode diagramja Az ideális integráló tag erősítését (hasonlóan a differenciálóhoz) a következő módon írhatjuk: A I a(ω)= 2 lg ω = 2 lg A I ω = 2 lga I 2 lgω. Amennyiben a körfrekvencia egy ádnyit változik akkor az erősítés változása: a(1 ω) a(ω)=2 lga I 2 lg1 2 lgω 2 lga I + 2 lgω = 2 lg1= 2. vagyis az amplitúdó görbe meresége 2 db. A vágási körfrekvencia: =2 lga I 2 lgω c, lgω c = lga I, ω c = A I
35 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 439 A fázisfüggvény: A I i ϕ(ω)=arctg ImG(iω) Im ReG(iω) = arctg ω Re A Ii ω A I = arctg ω = arctg = 9 minden frekvencián. Igazolás: 1P alaptag Nyquist diagramja félkör alakú hálesz tétele értelmében egy kör átmérője fölé rajzolt háromszögek, melyek harmadik csúcsa a körön helyezkedik el mindig derékszögűek. Mi ezt a tételt fordítva fogjuk alkalmazni és belátjuk, hogy adott Nyquist diagram esetén a futó pont (ω) és a kezdő- (ω = ) és végpont (ω ) által alkotott háromszögek derékszögűek, így a futó pont félkört (teljes kört) fut be. Jelölje a futó pont valós és képzetes részből képzett vektorát a komplex számsíkon G. A pedig az ω = ponthoz tartozó vektort. Azt szükséges belátni, hogy a G vektor a GA különbségi vektorra mindig merőleges. Ez akkor áll fenn, ha skalár szorzatuk nulla. [ ] A Aω G=, N N N = 1+ 2 ω 2, A= [ A ], [ GA=A G= A A N ] Aω, N GA G= A2 N A2 A2 2 ω 2 N 2 N 2 = A2 N N 2 A2 + A 2 2 ω 2 N 2 = = A2 + A 2 2 ω 2 N 2 A2 + A 2 2 ω 2 N 2 = ω, q.e.d.
36 44 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai Igazolás: 1P alaptag Bode amplitúdó diagramja Az 1P tag amplitúdó függvénye: A a(ω)= 2 lg iω+ 1 = 2 lga 2 lg 1+( ω) 2, ami alacsony frekvenciák esetén, azaz amikor a gyök alatti kifejezésben a frekvencia függés elhanyagolható: ω 1, 1+( ω)2 1: a(ω) ω 1 = 2 lg A, az aszimptota egyenlete. Magas frekvenciák esetén, mikor is a gyök alatti kifejezésben az 1 elhanyagolható, ω 1, 1+( ω)2 ( ω) 2 : a(ω) ω 1 = 2 lg A 2 lg( ω), az aszimptota egyenlete, ami egy 2 db mereségű egyenes. A két aszimptota metszéspontját meghatározó egyenlet: 2 lg A=2 lga 2 lg( ω), amiből ω s = 1 adódik. Igazolás: 1D alaptag Nyquist diagramja félkör alakú Az igazolás elve azonos az 1P tagra vonatkozóéval. Jelölje a futó pont valós és képzetes részből képzett vektorát a komplex számsíkon G. A pedig az ω ponthoz tartozó vektort. Azt szükséges belátni, hogy a G vektor a GA különbségi vektorra mindig merőleges:
37 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 441 [ Ad ω G= 2 N, A ] dω, N N = 1+ 2 ω 2, ] Ad A=[,, Ad GA=A G=[ A ] d ω 2 N, A dω, N N A2 d 2 ω 4 N 2 A2 d ω2 N 2 = A2 d ω2 N N 2 A2 d ω2 + A 2 d 2 ω 4 N 2 = = A2 d ω2 + A 2 d 2 ω 4 N 2 A2 d ω2 + A 2 d 2 ω 4 N 2 = ω, q.e.d. GA G= A2 d ω2 Igazolás: 2P alaptag Nyquist diagramjának viszonya az A ponttal jellemzett függőleges egyeneshez ξ függvényében A 2P tag Nyquist diagramja akkor lóg át az [A ] pontba állított függőleges egyenesen, ha ReG(iω) = A lehetséges ω esetén is. Az erre vonatkozó számítás: A= A A 2 ω 2 4 ω 4 +(4 2 ξ )ω 2 + 1, A 4 ω 4 + ( 4A 2 ξ 2 2A 2) ω 2 + A=A A 2 ω 2 A 4 a 2 + ( 4A 2 ξ 2 A 2) a=, A 4 a=a 2 4A 2 ξ 2, a= ξ 2. (C.14) a ω 2 >, (C.15) (C.16) (C.17) (C.18) Könnyen belátható, hogy (C.14)-nek akkor létezik a > megoldása, ha ξ <,5. Ezzel igazoltuk, hogy ekkor fog a Nyquist-diagram átlógni az A pontba húzott függőlegesen.
38 442 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai Igazolás: 2I alaptag Nyquist diagramjának viszonya a 2A I ξ ponttal jellemzett függőleges egyeneshez ξ függvényében A 2I tag Nyquist diagramja akkor lóg át a [ 2A I ξ ] pontba állított függőleges egyenesen, ha ReG(iω) = 2A I ξ lehetséges ω esetén is. Az erre vonatkozó számítás (hasonlóan a 2P taghoz): 2A I ξ = 2A I ξ 4 ω 4 +(4 2 ξ )ω 2 + 1, (C.19) 4 ω 4 + ( 4 2 ξ 2 2 2) ω 2 = a ω 2 >, (C.2) 4 a 2 = 2 2 a 4 2 ξ 2 a, a= ξ 2. (C.21) (C.22) Könnyen belátható, hogy (C.19)-nak akkor létezik a > megoldása, ha ξ < 1/ 2. Ezzel igazoltuk, hogy ekkor fog a Nyquist-diagram átlógni a 2A I ξ pontba húzott függőlegesen. Igazolás: 2D alaptag Nyquist diagramja kör alakú Az igazolás elve azonos az 1P tagra vonatkozóéval. Jelölje a futó pont valós és képzetes részből képzett vektorát a komplex számsíkon G. A pedig az ω s = 1/ sarokkörfrekvenciához tartozó vektort. Azt szükséges belátni, hogy a G vektor a GA különbségi vektorra mindig merőleges:
39 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai ξ ω G=[ 2 ( A d 1 2 ω 2) ] A d ω,, N N N = 4 ω 4 + ( 4 2 ξ 2 2 2) ω 2 + 1, [ ] Ad A= 2ξ,, GA=A G= GA G= 2ξ A2 d ω2 2ξ N [ Ad 2ξ 2 ξ ω2 A d, N 4 2 ξ 2 ω 4 A 2 d N 2 = A2 d ω2( 4 ω ξ 2 ω ω ) ( 1 2 ω 2) ] A d ω, N ( 1 2 ω 2) 2 A 2 d ω 2 N 2 = N 2 A2 d ω2( 4 ω ξ 2 ω ω ) q.e.d. N 2 =, Igazolás: PD alaptag Bode amplitúdó diagramja A PD tag amplitúdó függvénye: a(ω)= 2 lg iω+ 1 =2 lg 1+(ω) 2, ami alacsony frekvenciák esetén, azaz amikor a gyök alatti kifejezésben a frekvencia függés elhanyagolható, ω 1, 1+(ω)2 1 : a(ω) ω 1 = 2 lg1=db, az aszimptota egyenlete. Magas frekvenciák esetén, mikor is a gyök alatti kifejezésben az 1 elhanyagolható, ω 1, 1+( ω)2 ( ω) 2 : a(ω) ω 1 = 2 lg( ω), az aszimptota egyenlete, ami egy+2 db mereségű egyenes. A két aszimptota metszéspontját meghatározó egyenlet: 2 lg 1=2 lg( ω),
40 444 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai amiből ω = 1 adódik.
Alaptagok Nyquist és Bode diagramjai
Alaptagok Nyquist és Bode diagramjai Luspay Tamás, Bauer Péter BME Közlekedésautomatikai Tanszék 212. január 1. 1. Bevezetés - Átviteli függvény, frekvenciafüggvény Dinamikus rendszerek leírásának egyik
RészletesebbenIrányítástechnika GÁSPÁR PÉTER. Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján
Irányítástechnika GÁSPÁR PÉTER Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján Rendszer és irányításelmélet Rendszerek idő és frekvencia tartományi vizsgálata Irányítástechnika Budapest, 29 2 Az előadás felépítése
RészletesebbenIrányítástechnika II. előadásvázlat
Irányítástechnika II. előadásvázlat Dr. Bokor József egyetemi tanár, az MTA rendes tagja BME Közlekedés- és Járműirányítási Tanszék 2018 1 Tartalom Irányítástechnika II. féléves tárgytematika Az irányításelmélet
RészletesebbenL-transzformáltja: G(s) = L{g(t)}.
Tartalom 1. Stabilitáselmélet stabilitás feltételei inverz inga egyszerűsített modellje 2. Zárt, visszacsatolt rendszerek stabilitása Nyquist stabilitási kritérium Bode stabilitási kritérium 2018 1 Stabilitáselmélet
RészletesebbenTartalom. Soros kompenzátor tervezése 1. Tervezési célok 2. Tervezés felnyitott hurokban 3. Elemzés zárt hurokban 4. Demonstrációs példák
Tartalom Soros kompenzátor tervezése 1. Tervezési célok 2. Tervezés felnyitott hurokban 3. Elemzés zárt hurokban 4. Demonstrációs példák 215 1 Tervezési célok Szabályozó tervezés célja Stabilitás biztosítása
RészletesebbenSzámítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox
Számítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox Bevezetés A gyakorlatok célja az irányítási rendszerek korszerű számítógépes vizsgálati és tervezési módszereinek bemutatása, az alkalmazáshoz szükséges
RészletesebbenIrányítástechnika GÁSPÁR PÉTER. Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján
Irányítástechnika GÁSPÁR PÉTER Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján Irányítástechnika jellemzőinek Rendszerek stabilitása és minőségi jellemzői. Soros kompenzátor. Irányítástechnika Budapest, 29 2 Az
RészletesebbenDr. Gyurcsek István. Példafeladatok. Helygörbék Bode-diagramok HELYGÖRBÉK, BODE-DIAGRAMOK DR. GYURCSEK ISTVÁN
Dr. Gyurcsek István Példafeladatok Helygörbék Bode-diagramok 1 2016.11.11.. Helygörbe szerkesztése VIZSGÁLAT: Mi a következménye annak, ha az áramkör valamelyik jellemző paramétere változik? Helygörbe
RészletesebbenRENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT
RENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT ÜTEMTERV VÁLTOZÁS Gyakorlat Hét Dátum Témakör Házi feladat Egyéb 1 1. hét 02.09 Ismétlés, bevezetés Differenciálegyenletek mérnöki 2 2. hét 02.16 szemmel 1. Hf kiadás 3 3.
RészletesebbenGépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1)
Gépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1) 5. Óra Kőrös Péter Közúti és Vasúti Járművek Tanszék Tanszéki mérnök (IS201 vagy a tanszéken) E-mail: korosp@ga.sze.hu Web: http://www.sze.hu/~korosp http://www.sze.hu/~korosp/gepeszeti_rendszertechnika/
RészletesebbenSegédlet a gyakorlati tananyaghoz GEVAU141B, GEVAU188B c. tantárgyakból
Segédlet a gyakorlati tananyaghoz GEVAU141B, GEVAU188B c. tantárgyakból 1 Átviteli tényező számítása: Lineáris rendszer: Pl1.: Egy villanymotor 100V-os bemenő jelre 1000 fordulat/perc kimenő jelet ad.
RészletesebbenTörténeti Áttekintés
Történeti Áttekintés Történeti Áttekintés Értesülés, Információ Érzékelő Ítéletalkotó Értesülés, Információ Anyag, Energia BE Jelformáló Módosító Termelőeszköz Folyamat Rendelkezés Beavatkozás Anyag,
RészletesebbenTartalom. Robusztus stabilitás Additív hibastruktúra Multiplikatív hibastruktúra
Tartalom Robusztus stabilitás Additív hibastruktúra Multiplikatív hibastruktúra 2015 1 Robusztus stabilitás Szabályozási rendszer tervezésének gyakorlati problémája az, hogy az aktuális rendszer G(s) átviteli
RészletesebbenIrányítástechnika II. Nem hivatalos vizsga beugró kérdéssor kidolgozás
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Közlekedésmérnöki és Járműmérnöki Kar Irányítástechnika II. Nem hivatalos vizsga beugró kérdéssor kidolgozás Jelen gyűjtő munkát készítette Fölföldi Konrád,
RészletesebbenFüggvények határértéke és folytonosság
Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,
Részletesebben17/1. Négypólusok átviteli függvényének ábrázolása. Nyquist diagram.
7/. Négypólusok átviteli függvényének ábrázolása. Nyquist diagram. A szinuszos áramú hálózatok vizsgálatánál gyakran alkalmazunk különbözı komplex átviteli függvényeket. Végezzük ezt a hálózat valamilyen
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.
Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y
RészletesebbenBevezetés az állapottér-elméletbe Dinamikus rendszerek állapottér reprezentációi
Tartalom Bevezetés az állapottér-elméletbe Irányítható alak Megfigyelhetőségi alak Diagonális alak Állapottér transzformáció 2018 1 A szabályozáselmélet klasszikus, BODE, NICHOLS, NYQUIST nevéhez kötődő,
RészletesebbenSzámítógépes gyakorlat Irányítási rendszerek szintézise
Számítógépes gyakorlat Irányítási rendszerek szintézise Bevezetés A gyakorlatok célja az irányítási rendszerek korszerű számítógépes vizsgálati és tervezési módszereinek bemutatása, az alkalmazáshoz szükséges
RészletesebbenRendszervizsgálat frekvencia tartományban
DR. GYURCSEK ISTVÁN Rendszervizsgálat frekvencia tartományban Bode-diagramok Forrás és irodalom: http://lpsa.swarthmore.edu/bode/bode.html 1 2016.11.11.. Miről lesz szó? Bode-diagram alapfüggvények Elsőfokú
Részletesebbenmilyen mennyiségeket jelölnek a Bode diagram tengelyei? csoportosítsa a determinisztikus jeleket!
A 2011-es ZH kérdései emlékezetből, majd közösen kidolgozva. Lehet benne rossz, de elég sokan szerkesztettük egyszerre, szóval feltehetően a nagyja helyes. milyen mennyiségeket jelölnek a Bode diagram
RészletesebbenSZABÁLYOZÁSI KÖRÖK 2.
Irányítástechnika (BMEGERIA35I) SZABÁLYOZÁSI KÖRÖK 2. 2010/11/1. félév Dr. Aradi Petra Zárt szabályozási körrel szemben támasztott követelmények tulajdonság időtartományban frekvenciatartományban pontosság
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenNégypólusok tárgyalása Laplace transzformációval
Négypólusok tárgyalása Laplace transzformációval Segédlet az Elektrotechnika II. c. tantárgyhoz Összeállította: Dr. Kurutz Károly egyetemi tanár Szászi István egyetemi tanársegéd . Laplace transzformáció
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenSzabályozás Irányítástechnika PE MIK MI BSc 1
Szabályozás 2008.03.29. Irányítástechnika PE MIK MI BSc 1 Nyílt hatásláncú rendszerek Az irányító rendszer nem ellenőrzi a beavatkozás eredményét vezérlő rendszerek ahol w(s) bemenő változó / előírt érték
RészletesebbenAz egységugrás függvény a 0 időpillanatot követően 10 nagyságú jelet ad, valamint K=2. Vizsgáljuk meg a kimenetet:
II Gyakorlat A gyakorlat célja, hogy megismerkedjük az egyszerű szabályozási kör stabilitásának vizsgálati módszerét, valamint a PID szabályzó beállításának egy lehetséges módját. Tekintsük az alábbi háromtárolós
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
RészletesebbenLineáris rendszerek stabilitása
Lineáris rendszerek stabilitása A gyakrlat célja A dlgzatban a lineáris rendszerek stabilitásának fgalmát vezetjük be majd megvizsgáljuk a stabilitás vizsgálati módszereket. Elméleti bevezető Egy LTI rendszer
RészletesebbenTartalom. Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás
Tartalom Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás 2018 1 Állapottér reprezentációk tulajdonságai Általánosan egy lineáris, SISO dinamikus rendszer
RészletesebbenFüggvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenIrányítástechnika 2. előadás
Irányítástechnika 2. előadás Dr. Kovács Levente 2013. 03. 19. 2013.03.19. Tartalom Tipikus vizsgálójelek és azok információtartalma Laplace transzformáció, állapotegyenlet, átviteli függvény Alaptagok
Részletesebben2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések
. REZGÉSEK.1. Harmonikus rezgések: Harmonikus erő: F = D x D m ẍ= D x (ezt a mechanikai rendszert lineáris harmonikus oszcillátornak nevezik) (Oszcillátor körfrekvenciája) ẍ x= Másodrendű konstansegyütthatós
RészletesebbenIrányítástechnika (BMEGERIA35I) SOROS KOMPENZÁCIÓ. 2010/11/1. félév. Dr. Aradi Petra
Irányítástechnika (BMEGERIA35I) SOROS KOMPENZÁCIÓ 010/11/1. félév Dr. Aradi Petra Soros kompenzáció Hogyan válasszunk szabályozót? xz xa xr YR Y R YZ YSZSZ xs T H s Y R =? 010.11.1. ASZ 1 1 s 1 s e Y SZ
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenAbszolútértékes egyenlôtlenségek
Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenTartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...
RészletesebbenAbszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások
Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenDigitális jelfeldolgozás
Digitális jelfeldolgozás Átviteli függvények Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék magyar.attila@virt.uni-pannon.hu 2011. október 13. Digitális
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenDINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN. 2003.10.30. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1
DINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN 2003.10.30. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1 Differenciálegyenlet megoldása u(t) diff. egyenlet v(t) a n d n v m dt a dv n
Részletesebbena) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 14 XIV NEVEZETES GÖRbÉk 1 AZ EGYEnES EGYEnLETE A és pontokon átmenő egyenes egyenlete: (1), Az hányados neve iránytényező (iránytangens, meredekség) A ponton átmenő, m iránytangensű
RészletesebbenNémeth László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa
Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenHurokegyenlet alakja, ha az áram irányával megegyező feszültségeséseket tekintjük pozitívnak:
Első gyakorlat A gyakorlat célja, hogy megismerkedjünk Matlab-SIMULINK szoftverrel és annak segítségével sajátítsuk el az Automatika c. tantárgy gyakorlati tananyagát. Ezen a gyakorlaton ismertetésre kerül
Részletesebben3.3. A feszültség-munkadiagram
3.3. A feszültség-munkadiagram Eddig csak olyan eseteket vizsgáltunk, amelyeknél az áramkörre ideális feszültségforrást kapcsoltunk (kapocsfeszültsége a terhelés hatására nem változik), és a kör eredő
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenEgyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenJelek és rendszerek - 4.előadás
Jelek és rendszerek - 4.előadás Rendszervizsgálat a komplex frekvenciatartományban Mérnök informatika BSc (lev.) Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet
RészletesebbenFrekvenciatartomány Irányítástechnika PE MI BSc 1
Frekvenciatartomány ny 008.03.4. Irányítátechnika PE MI BSc Frekvenciatartomány bevezetéének indoka: általában időtartománybeli válaz kell alkalmazott teztelek i ezt indokolák információ rendzerek eetében
RészletesebbenDiszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. A 23-as szám című misztikus filmben
RészletesebbenAnalízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két
RészletesebbenSorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész
RészletesebbenELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK. Váltakozóáramú hálózatok
ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK Váltakozóáramú hálózatok Háromfázisú hálózatok Miért használunk többfázisú hálózatot? Mutassa meg a háromfázisú rendszer fontosabb jellemzőit és előnyeit az egyfázisú rendszerrel szemben!
Részletesebbenb) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
RészletesebbenMatematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,
RészletesebbenKomplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)
Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)
Részletesebben10. Differenciálszámítás
0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =
RészletesebbenFourier transzformáció
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Fourier transzformáció Fourier transzformáció, heurisztika Tekintsük egy 2L szerint periodikus függvény Fourier sorát: f (x) = a 0 2 + ( ( nπ ) ( nπ )) a n cos
RészletesebbenTétel: A háromszög belső szögeinek összege: 180
Tétel: A háromszög belső szögeinek összege: 180 Bizonyítás: legyenek az ABC háromszög belső szögei α, β, γ. Húzzunk a C csúcson át párhuzamost AB-vel. A C csúcsnál keletkezett egyenesszöget a háromszög
RészletesebbenFerde kúp ellipszis metszete
Ferde kúp ellipszis metszete A ferde kúp az első képsíkon lévő vezérkörével és az M csúcsponttal van megadva. Ha a kúpból ellipszist szeretnénk metszeni, akkor a metsző síknak minden alkotót végesben kell
RészletesebbenIdeiglenes példatár az Intelligens rendszerek I. kurzus 1. zárthelyi dolgozatához
Ideiglenes példatár az Intelligens rendszerek I. kurzus 1. zárthelyi dolgozatához Gerzson Miklós 2015. december 8. 2 Tartalomjegyzék Bevezetés 5 1. Kötelező kérdések 7 1.1. Kötelező kérdések a Kalman-féle
Részletesebben9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
RészletesebbenGépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1)
Gépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1) 6. Óra Kőrös Péter Közúti és Vasúti Járművek Tanszék Tanszéki mérnök (IS201 vagy a tanszéken) E-mail: korosp@ga.sze.hu Web: http://www.sze.hu/~korosp http://www.sze.hu/~korosp/gepeszeti_rendszertechnika/
RészletesebbenVillamos gépek tantárgy tételei
10. tétel Milyen mérési feladatokat kell elvégeznie a kördiagram megszerkesztéséhez? Rajzolja meg a kördiagram felhasználásával a teljes nyomatéki függvényt! Az aszinkron gép egyszerűsített kördiagramja
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenOktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
Részletesebben1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek
1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Határozza meg az (A B)\C halmaz elemszámát, ha A tartalmazza az összes 19-nél kisebb természetes számot, továbbá B a prímszámok halmaza
RészletesebbenMéréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1
Méréstechnika Rezgésmérés Készítette: Ángyán Béla Iszak Gábor Seidl Áron Veszprém 2014 [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 A rezgésekkel kapcsolatos alapfogalmak A rezgés a Magyar Értelmező Szótár megfogalmazása
RészletesebbenKalkulus. Komplex számok
Komplex számok Komplex számsík A komplex számok a valós számok természetes kiterjesztése, annak érdekében, hogy a gyökvonás művelete elvégezhető legyen a negatív számok körében is. Vegyük tehát hozzá az
RészletesebbenMárkus Zsolt Tulajdonságok, jelleggörbék, stb BMF -
Márkus Zsolt markus.zsolt@qos.hu Tulajdonságok, jelleggörbék, stb. 1 A hatáslánc részegységekből épül fel, melyek megvalósítják a jelátvitelt. A jelátviteli sajátosságok jellemzésére (leírására) létrehozott
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
RészletesebbenÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK II. 5. DC MOTOROK SZABÁLYOZÁS FORDULATSZÁM- SZABÁLYOZÁS
ÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK II. 5. DC MOTOROK SZABÁLYOZÁS FORDULATSZÁM- SZABÁLYOZÁS Dr. Soumelidis Alexandros 2019.03.13. BME KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR 32708-2/2017/INTFIN SZÁMÚ EMMI ÁLTAL TÁMOGATOTT
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.
RészletesebbenMagasabbfokú egyenletek
86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)
2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta
RészletesebbenHangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata
Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata (Mérési jegyzőkönyv) Hagymási Imre 2007. május 7. (hétfő délelőtti csoport) 1. Bevezetés Ebben a mérésben a szilárdtestek rugalmas tulajdonságait vizsgáljuk
RészletesebbenFolytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja
Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)
RészletesebbenDiagnosztika Rezgéstani alapok. A szinusz függvény. 3π 2
Rezgéstani alapok Diagnosztika 03 --- 1 A szinusz függvény π 3,14 3π 4,71 π 1,57 π 6,8 periódus : π 6,8 A szinusz függvény periódusának változása Diagnosztika 03 --- π sin t sin t π π sin 3t sin t π 3
RészletesebbenInverz Laplace-transzformáció. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Definíció: Ha az f (t) függvény laplace-transzformáltja F (s), akkor f (t)-t az F (s) függvény inverz Laplace-transzformáltjának nevezzük. Definíció: Ha
RészletesebbenKomplex számok trigonometrikus alakja
Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =
RészletesebbenHatározatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos
RészletesebbenSajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István
Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága
Részletesebben