Bevezetés az állapottér-elméletbe Dinamikus rendszerek állapottér reprezentációi

Átírás

1 Tartalom Bevezetés az állapottér-elméletbe Irányítható alak Megfigyelhetőségi alak Diagonális alak Állapottér transzformáció

2 A szabályozáselmélet klasszikus, BODE, NICHOLS, NYQUIST nevéhez kötődő, dominánsan frekvenciatartománybeli analízis és szintézis (tervezési) módszerei az 1960-as évektől kezdődően kiegészültek új, főleg időtartománybeli rendszer- és irányításelméleti módszerekkel

3 Ezeket az ún. modern irányzatokat a rendszer állapot és az állapottér bevezetése jellemezte, így a hozzájuk illeszkedő tervezési módszereket állapottér módszereknek nevezzük. A modern kor egyik legjelesebb képviselője a magyar származású RUDOLF E. KALMAN, akinek 1961 és 1965 között megjelent cikkei számos alapvető koncepció letételét és probléma megoldását jelentették

4 A súlyfüggvény segítségével a bemenő- és kimenőjelek kapcsolata a következőképp adható meg (zérus kezdeti feltétel esetén) y(t) = 0 g(τ)u(t τ)dτ u(t) g(t) y(t)

5 Az átviteli függvény definíciója a LAPLACE-transzformáltak segítségével G(s) = Y (s) U(s), ahol Y (s) = L{y(t)}, U(s) = L{u(t)}, tehát G(s) = L{g(t)}

6 1. Definíció (Állapot). A rendszer állapota egy t 0 időpontban az az információ (olyan jelek ismerete), a- melyből az u(t), t t 0 bemenőjel ismeretében a rendszer válasza minden t t 0 időpontra meghatározható. A rendszer válasza itt a jövőbeli, t t 0 időpontra vonatkozó állapotokat és a kimenőjeleket jelenti. A rendszer állapotait leíró jeleket, illetve ezek függvényeit, a rendszer állapotváltozóinak nevezzük

7 Az állapotváltozók elektromechanikai rendszerekben tipikusan az elmozdulás, sebesség, szögelfordulás, szögsebesség, feszültség, áram vagy az ezekből (lineáris kombinációval, differenciálással, integrálással) képzett jelek lehetnek. Az állapot meghatározását a differenciálegyenlet, majd az átviteli függvény ismeretéből kiindulva a következő példákon keresztül mutatjuk be

8 1. Példa: Tekintsük az alábbi rezgő tömegpont dinamikáját. Az m tömeget a c rugómerevségű rugón keresztül gerjesztjük, elmozdulását egy potenciométerrel mérjük

9 Ekkor a rendszer differenciálegyenlete m l + k l = c(u l), amiből átrendezéssel kapjuk, hogy l + k m l + c m l = c m u

10 A mérési vagy megfigyelési egyenlet a feszültségosztó összefüggése alapján y = U 0 l 0 l. Legyenek az állapotváltozók a tömegpont elmozdulása és sebessége (ezeket a mechanikában szokás fázisváltozóknak nevezni), azaz x 1 = l, x 2 = l

11 Ekkor l = ẋ 2 és ẋ 1 = x 2, ezeket a dinamikát leíró differenciálegyenletbe és a megfigyelési egyenletbe helyettesítve kapjuk ẋ 2 = c m x 1 k m x 2 + c m u, y = U 0 l 0 x

12 Mátrixos jelölésekkel: ẋ1 = 0 1 x 1 ẋ 2 a 1 a 0 x 2 [ ] y = c 1 c 2 x 1, x 2 + b 1 b 2 u amiből a következő állapot egyenleteket kapjuk: ẋ f = A f x f + b f u y = c T f x f

13 ahol a 1 = c m, a 0 = k m, b 1 = 0, b 2 = c m c 1 = U 0 l 0, c 2 = 0. Tekintettel arra, hogy az x f állapotvetor az ún. fázissík eleme, a fenti speciális alakú állapottér alakot fázisváltozós alaknak nevezzük, jelölésére pedig az f indexet használhatjuk

14 2. Példa: Tegyük fel, hogy adott egy rendszer átviteli függvénye: G(s) = b(s) a(s) = b 1s + b 0 s 2 + a 1 s + a 0 = Y (s) U(s). A bemenőjel LAPLACE-transzformáltja U(s) és a kimenőjel LAPLACE-transzformáltja Y (s) közötti kapcsolatot ekkor a következőképp írhatjuk: Y (s) = b(s)a 1 (s)u(s)

15 Vezessük be a ξ(s) változót az alábbi módon: ξ(s) = a 1 (s)u(s). Ekkor a kimenő, ill. a bemenő jel LAPLACE-transzformáltja: Y (s) = b(s)ξ(s), U(s) = a(s)ξ(s), vagyis esetünkben: Y (s) = [b 1 s + b 0 ]ξ(s) és U(s) = [ ] s 2 + a 1 s + a 0 ξ(s)

16 Időtartományban a ξ(t) változó, az y(t) kimenő- és az u(t) bemenőjel kapcsolatát leíró differenciálegyenletek: y(t) = b 1 ξ(t) + b0 ξ(t) u(t) = ξ(t) + a 1 ξ(t) + a0 ξ(t)

17 Vezessük be a következő új változókat, amelyeket állapotváltozóknak nevezünk: x 1 = ξ, x 2 = ξ. Figyelembe véve, hogy ẋ 1 = ξ és ẋ 2 = ξ = x 1, az alábbi elsőrendű differenciálegyenletekhez jutunk: ẋ 1 = a 1 x 1 a 0 x 2 + u ẋ 2 = x 1 állapotdinamika egyenletrendszere

18 Az állapotváltozókból a rendszer kimenőjele a következőképp kapható meg: y = b 1 x 1 + b 0 x 2 megfigyelési egyenlet

19 Mátrixos jelölésekkel: ẋ1 ẋ 2 = y = a 1 a 0 x x 2 [ ] b 1 b 0 x 1, x u amiből a következő állapotegyenleteket kapjuk: ẋ c = A c x c + b c u y = c T c x c

20 ahol A c = a 1 a 0 1 0, b c = 1 0, c T c = [ ] b 1 b 0. Az állapotegyenletben szereplő mátrixok speciális struktúrája miatt ezt az állapottér reprezentációt irányítható alaknak nevezzük

21 Irányítható alak Irányítható alak: Ha egy rendszer átviteli függvénye G(s) = b(s) a(s) alakú, ahol a(s) = s n + a n 1 s n a 1 s + a 0 b(s) = b n 1 s n b 1 s + b 0, akkor az (A c,b c,c T c ) állapottér reprezentációban az A c mátrix legelső sorát az a(s) polinom együtthatóiból (negatív előjellel véve!), a c T c vektort pedig a b(s) polinom együtthatóiból képezzük. és

22 Irányítható alak Az A c mátrix speciális struktúrájából következően egyszerűen megmutatható, hogy a(s) = det(si A c ), ahol I az n dimenziós egységmátrix

23 Irányítható alak 1. Megjegyzés: Vegyük észre, hogy az átviteli függvény nevezőjének fokszáma megegyezik az x(t) állapotvektor dimenziójával, azaz deg{a(s)} = dim{x(t)}! A példában a dim{x(t)} = 2, amit az állapottér reprezentáció dimenziójának nevezünk és erre a dim{x(t)} = n jelölést használjuk

24 Irányítható alak 2. Megjegyzés: Ha a(s) = a n s n + a n 1 s n a 1 s + a 0 alakú, akkor le kell osztani a G(s) átviteli függvény számlálóját és nevezőjét is a n -nel, hogy a szükséges a n = 1 alakhoz (főegyütthatós) jussunk. A főegyütthatós a(s) polinom tehát: a(s) = s n + a n 1 s n a 1 s + a

25 Megfigyelhetőségi alak A megfigyelhetőségi alak közvetlenül képezhető az irányíthatósági alakból az alábbiak szerint: A o = A c T, b o = ( c T c ) T, c T o = b T c Így az előző kétdimenziós esetre (lásd 2. Példa): A o = a 1 1, b o = b [ ] 1, c T o = 1 0. a 0 0 b

26 Diagonális alak 3. Példa (Diagonális alak): Induljunk ki a G(s) átviteli függvény parciális tört alakban való felírásából: Y (s) = b(s) a(s) U(s) = b 1s + b 0 U(s) = s 2 + a 1 s + a [ 0 r1 = + r ] 2 U(s), s λ 1 s λ 2 ahol λ 1, λ 2 az s 2 +a 1 s+a 0 = 0 karakterisztikus egyenlet gyökei,

27 Diagonális alak r 1, r 2 pedig a λ 1, λ 2 gyökökhöz (a G(s) = b(s) a(s) átviteli függvény pólusaihoz) tartozó reziduumok: b 1 s + b 0 r 1 = lim (s λ 1 ) s λ1 (s λ 1 )(s λ 2 ) = b 1λ 1 + b 0, λ 1 λ 2 b 1 s + b 0 r 2 = lim (s λ 2 ) s λ2 (s λ 1 )(s λ 2 ) = b 1λ 2 + b 0. λ 2 λ

28 Diagonális alak Vezessük be új változóként az X 1 (s), X 2 (s) változókat, ahol amiből X 1 (s) = r 1 s λ 1 U(s) X 2 (s) = r 2 s λ 2 U(s) Y (s) = X 1 (s) + X 2 (s) (s λ i )X i (s) = r i U(s) sx i (s) = λ i X i (s) + r i U(s), i = 1,

29 Diagonális alak Ekkor időtartományban a következő elsőrendű differenciálegyenleteket kapjuk: ẋ1 ẋ 2 ẋ i = λ i x i + r i u, i = 1,2 = λ 1 0 x 1 + r 1 0 λ 2 x 2 r 2 [ ] y = 1 1 x 1 x 2 u

30 Diagonális alak Az állapotegyenletek mátrixos alakban felírva: ẋ d = A d x d + b d u y = c T d x d, ahol az (A d,b d,c T d ) jelölésben a d index az A d mátrix diagonális alakjára utal, A d = λ 1 0, b d = 0 λ 2 r 1 r 2, c T d = [ 1 1 ]

31 Diagonális alak Az előző két példában egy adott rendszer átviteli függvényéből kétféle módon írtuk fel az állapotegyenleteket. Ebből látható, hogy egy dinamikus rendszer adott dimenziójú állapottér reprezentációja nem egyértelmű

32 Állapottér transzformáció Vizsgáljuk azt az esetet, amikor egy adott x állapotvektorból egy új x állapotvektort képezünk az alábbi módon: x = T x ahol T R n n egy n n méretű nemszinguláris transzformációs mátrix, és x R n, x R n

33 Állapottér transzformáció Tegyük fel, hogy az x állapotvektor az (A,b,c T ) állapottér reprezentációhoz tartozik: ẋ = Ax + bu y = c T x, Határozzuk meg az x állapotvektorhoz tartozó x = Ā x + bu y = c T x egyenletekben szereplő (Ā, b, c T ) mátrixokat

34 Állapottér transzformáció Mivel x = T 1 x, ezt behelyettesítve az állapotegyenletbe kapjuk, hogy azaz tehát T 1 x = AT 1 x + bu y = c T T 1 x, x = T AT 1 x + T bu y = c T T 1 x, Ā = T AT 1, b = T b, c T = c T T

35 Állapottér transzformáció Az A és Ā mátrixok közötti fenti kapcsolatot hasonlósági transzformációnak nevezzük. Egy rendszer adott dimenziós állapottér reprezentációi egymásból hasonlósági transzformációval alakíthatók át