Számítógép-vezérelt szabályozás- és irányításelmélet

Átírás

1 Számítógép-vezérelt szabályozás- és irányításelmélet 2. gyakorlat Feladattípusok két függvény konvolúciója ÿ + aẏ + by = e at, y(), ẏ() típusú kezdetiérték feladatok megoldása (Laplace transzformációval) parciális törtekre bontás (Laplace transzformációból adódó racionális törtfüggvények miatt) ÿ + aẏ + by = u(t)-al megadott rendszerek átviteli függvényének (H(s)) kiszámítása ẋ = Ax, x() típusú kezdetiérték feladatok megoldása Laplace transzformációval állapottérmodellel megadott rendszer (ẋ = Ax + Bu, y = Cx) átviteli függvényének (H(s)) kiszámítása állapottérmodell megoldása adott bemeneti függvények és adott kezdetiérték feltételek mellett impulzusválasz (h(t)), egységugrásra adott válasz (átmeneti függvény step response, v(t)) kiszámítása. Laplace transzformáció Definíció: f(t) F (s) s C F (s) = L{f(t)} = f(t)e st dt () A laplace transzformáció az integrálás tulajdonságai alapján lineáris leképezés, megőrzi az összeadás és a skalárral való szorzás műveleteket... Szabályok. Konvolúció időtartományban: L{(f g)(t)} = F (s)g(s), ahol F (s) = L{f(t)}, G(s) = L{g(t)}, (f g)(t) = f(τ)g(t τ)dτ. Levezetés: L{(f g)(t)} = = = f(τ)g(t τ)dτ e st dt = g(t τ)e s(t τ) dt f(τ)e sτ dτ = g(ϑ)e sϑ dϑ f(τ)g(t τ)e st dt dτ g(ϑ)e sϑ dϑ f(τ)e sτ dτ f(τ)e sτ dτ = (2)

2 .2 Határértéktételek LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ Olyan függvényekkel foglalkozunk, amelyekre f(t) = g(t) = bármely t <, ezért f(τ)g(t τ)dτ = f(τ)g(t τ)dτ mivel g(t τ) = bármely τ > t () A konvolúció levezetése során ezt is felhasználtam (itt egy változócsere történik: ϑ = t τ): g(t τ)e s(t τ) dt = τ g(ϑ)e sϑ dϑ = 2. Függvény idő szerinti deriváltjára vonatkozó képlet: L{ẏ(t)} = sy (s) y(), ahol Y (s) = L{y(t)}. Levezetés: ẏ(t)e st dt = y(t)e st ( s). Függvény idő szerinti második deriváltjára vonatkozó képlet: L{ÿ(t)} = s 2 Y (s) ẏ() sy(). Levezetés: Ezek után nem nehéz általánosítani Határértéktételek. y() = lim s sy (s)) (Kezdeti érték tétel) g(ϑ)e sϑ dϑ mivel g(t < ) = (4) y(t)e st dt = y() + sl{y(t)} (5) L{ÿ(t)} = sl{ẏ(t)} ẏ() = s 2 Y (s) sy() ẏ() (6) Bizonyítás. Vegyük a deriválási szabály mindkét oldalának határértékét ha s : lim s }{{} e st dy(t) lim s ẏ(t)dt }{{} ẏ(t)e st dt = sy (s) y() (7) = lim s (sy (s) y()) (8) dy(t) = lim s sy (s) y() (9) y( ) y() = lim s sy (s) y() y( ) = lim s sy (s) () 2. y( ) = lim s sy (s) (Végérték tétel) Bizonyítás. Vegyük a deriválási szabály mindkét oldalának határértékét ha s : lim s e st }{{} ẏ(t)dt = lim s (sy (s) y()) y() = lim s sy (s) () 2 2. gyakorlat

3 . Nevezetes függvények Laplace transzformációja LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ.. Nevezetes függvények Laplace transzformációja. L{δ(t)} = Levezetés: δ(t)e st T dt = lim T T ] e st s e st dt = lim e st = s T }{{ T } s 2. L{(t)} = Levezetés: [ (t)e st dt = = ( s s) =, s ahol (t) az egységugrás függvény, u(t)-vel is szokás jelölni, azonban itt az u(t) a rendszer bemenetét fogja jelölni.. L{t (t)} = s 2 (sebességugrás függvény) 4. L{e at } =, inverz laplace transzformáció esetén ez a leghasznosabb. s+a 5. L{e t/t } = s+/t = T +st, az előzőnek egy másik alakja. [ Levezetés: e t/t e st dt = e (s+/t )t dt pólus-zérus alak s+/t időállandós alak T +st 6. L{ e t/t } = s(+st ) { } 7. L T T 2 (e t/t e t/t 2 ) (időállandós alak) = (+st )(+st 2 ).4. Inverz Laplace transzformáció c+jt c jt ] e (s+/t )t (s+/t ) f(t) = L {F (s)} = lim 2πj T F (s)ets ds ahol c R nagyobb mint F(s) szingularitásainak valós részei. = s+/t = T +st 2. gyakorlat

4 .5 Bemenet, rendszerválasz LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ.5. Bemenet, rendszerválasz. Dirac impulzus f(t).5.5 t f τ (t) = { τ ha t < τ egyébként δ(t) = lim τ + f τ(t) 2. Rendszer válasza a Dirac impulzusra (impulzusválasz): h(t) Pl. ha ráütök (δ(t)) egy éppen nyugalomban lévő csapóajtóra, vagy egy rugóra függesztett testre (rendszer), akkor az elkezd oszcillálni, majd szép lassan megáll (h(t)). δ(t) Rendszer h(t) Konvolúciós időinvariancia: δ(t τ) bemenet esetén h(t τ). Vagyis, ma is holnap is, bármikor, ha ezt a kísérletet megismétlem, ugyanazt fogom tapasztalni.. Rendszer válasza u(t)-re (átmeneti függvény): Kauzális konvolúció u(t) Rendszer y(t) = (u h)(t) = h(t) h(t τ)u(τ)dτ Példa. Számítsuk ki f(t) = t és g(t) = t 2 konvolúcióját: (f g)(t) = (t τ)τ 2 dτ = tτ 2 τ dτ = [ tτ τ ] 4 t = t4 4 2 (2) 4 2. gyakorlat

5 2 LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ ALKALMAZÁSA KEZDETI ÉRTÉK PROBLÉMA MEGOLDÁSÁRA 2. Laplace transzformáció alkalmazása kezdeti érték probléma megoldására Példa 2. (Állandó együtthatós másodrendű lineáris differenciálegyenlet) Oldjuk meg a következő kezdetiérték problémát: ÿ 2ẏ + 5y = 8e t y() = 2 ẏ() = 2 A linearitásból adódóan az összeget lehet tagonként Laplace transzformálni. L{ÿ} 2L{ẏ} + 5L{y} = 8 s + () A Laplace transzformáció derivált függvényre vonatkozó képlete: L{ẏ} = sy (s) y() = sy (s) 2. Második derivált pedig: L{ÿ} = s 2 Y (s) sy() ẏ() = s 2 Y (s) 2s 2. Így a () egyenlet a következő képpen alakul: (s 2 Y (s) 2s 2) 2(sY (s) 2) + 5Y (s) = 8 s + (4) Y (s)-t kifejezve kapjuk, hogy: Y (s) = 2s 2 + s (s 2 2s + 5)(s + ) L y(t) =? (5) Példa. (Parciális törtekre bontás) Oldjuk meg a következő kezdetiérték problémát:... y + 7ÿ + 4ẏ + 8y = y() = ẏ() = ÿ() = 2 Kezdeti értékek fizikai jelentése: nyugalomban lévő testre hat egy gyorsulásvektor (pl. gravitációs gyorsulás). Az előző feladathoz hasonlóan ha vesszük az egyenlet mindkét oldalának Laplace transzformáltját, kapjuk, hogy: Y (s) = 2 (s + )(s + 2)(s + 4) = C s + + C 2 s C s + 4 L y(t) = C e t + C 2 e 2t + C e 4t Ha a nevező minden gyöke egyszeres, a számlálóban szereplő konstansok az alábbi képlet alkalmazásával számolhatók: Tehát a megoldás: C i = lim s αi (s α i )Y (s), ahol α i az C i s + α i gyöke C = lim (s + )Y (s) = 2 s (s + 2)(s + 4) s= = 2 C 2 = lim (s + 2)Y (s) = 2 s 2 (s + )(s + 4) s= 2 = C = lim (s + 4)Y (s) = 2 s 4 (s + )(s + 2) s= 4 = 2 Y (s) = s + + s s + 4 (6) y(t) = 2 e t e 2t + e 4t (7) 5 2. gyakorlat

6 2 LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ ALKALMAZÁSA KEZDETI ÉRTÉK PROBLÉMA MEGOLDÁSÁRA Matlab. Inverz Laplace transzformáció syms,partfrac,ilaplace,residue,poly2sym,sym2poly, simplify,expand 2. Példa folytatása: Y (s) = 2s 2 + s (s 2 2s + 5)(s + ) = s + 5 s 2 2s + 5 s + ( y(t) = e t cos(2t) + 4 sin(2t) ) e t Szimbolikus Toolbox segítségével: >> syms s >> Y = partfrac( (2*s^2 + *s) / ((s+) * (s^2-2*s + 5)) ) Y = (*s + 5)/(s^2-2*s + 5) - /(s + ) >> ilaplace(y) ans = *exp(t)*(cos(2*t) + (4*sin(2*t))/) - exp(-t) Numerikus számításokkal: >> Y = expand((s+) * (s^2-2*s + 5)) Y = s^ - s^2 + *s + 5 >> B = [2 ]; >> A = sym2poly(y) A = - 5 >> [r,p,k] = residue(b,a) r =.5-2i.5 + 2i - + i p = + 2i - 2i - + i k = [] Y (s) = B(s) A(s) = i r i s p i + K(s) = s j s 2j j s + 2j (8) >> Y = sum(r./ (s - p)) + poly2sym(k) Y = - /(s + ) + (/2-2i)/(s - - 2i) + (/2 + 2i)/(s - + 2i) >> latex(y) ans = - \frac{}{s + } + \frac{\frac{}{2} - 2\, \mathrm{i}}{s - - 2\, \mathrm{i}} + \frac{\frac{}{2} + 2\, [...] >> ilaplace(y) ans = - exp(-t) + exp(t*( - 2i))*(/2 + 2i) + exp(t*( + 2i))*(/2-2i) >> Y = simplify(y) ans = (2*s*(s + 5))/(s^ - s^2 + *s + 5) >> ilaplace(y) ans = *exp(t)*(cos(2*t) + (4*sin(2*t))/) - exp(-t) ( ) ( ) ( y(t) = e t + e t ( 2j) 2 + 2j e t (+2j) 2 2j = e t cos(2t) + 4 sin(2t) ) e t (9) 6 2. gyakorlat

7 7 2. gyakorlat 2 LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ ALKALMAZÁSA KEZDETI ÉRTÉK PROBLÉMA MEGOLDÁSÁRA Példa 4. Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet rendszer ẋ = 2x + x 2 2 ẋ = Ax A = x ẋ 2 = 2x + x 2 2 = Megoldás: x(t) = e At x, e At = Se Dt S = L {(si A) }. Az első egyenlet a sajátért-sajátvektor felbontásból adódik (előző gyakorlat anyaga). e At második kifejezése pedig onnan ered, hogy egydimenzióban: e at = L { (s a) } { } = L (2) s a A két kifejezés közül bármelyik használgató. Itt most a második szerepel: det(si A) = s 2 2 s = (s 2)(s ) 6 = s2 s 4 = (s 4)(s + ) (2) (si A) = s (s 4)(s + ) 2 s 2 A Laplace transzformáció linearitása miatt a konstans szorzó (az x kezdeti érték) bevihető a leképezés belsejébe. e At x = L (s 4)(s + ) s 2 (s 4)(s + ) Parciális törtekre bontás ( pikk-pakk eljárással): (s 4)(s + ) = (s + ) (s 4) 5 (s 4)(s + ) =.6 s 4.6 s + (22) Ezt egyszerűbb a bejáratott módszerrel: Végül kapjuk: s 2 s 2 s 4 = C s + + C 4 s 4 C =.6 C 4 =.4 (2).6 x(t) = L s s 4.6e.6 s = t +.6e 4t.6e t +.4e 4t s 4 Ha a második képletet alkalmaztam volna: e At = Se Dt S, akkor nem kellett volna parciális törtekre bontani, azonban sajátvektorokat kell számolni (időnként ez egyszerűbb). (24)

8 8 2. gyakorlat 2 LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ ALKALMAZÁSA KEZDETI ÉRTÉK PROBLÉMA MEGOLDÁSÁRA Matlab 2. ẋ = Ax, x() = x megolása szimbolikus toolboxal eig,syms,expand,pretty,diag ẋ = Ax, x() = x megoldása x(t) = e At x, e At = Se Dt S képlettel (25) syms t real A = [2 ; 2 ]; x = [;]; [S,D] = eig(a); SDS_A_iszero = S * D / S - A exp_dt = diag(exp(diag(d)*t)); fprintf( \nexp(dt) = \n\n ) pretty(exp_dt) exp_at = expand(s * exp_dt / S); fprintf( \n[matlabbal szamolt sajatvektorok] \nexp(at) = \n\n ), pretty(exp_at) xt = exp_at * x; fprintf( \na differencialegyenlet megoldasa: x(t) = \n\n ) pretty(expand(xt)) Eredmény: exp(dt) = / exp(4 t), \ \, exp(-t) / [Matlabbal szamolt sajatvektorok] exp(at) = / 2 exp(-t) exp(4 t) exp(4 t) exp(-t) \ , exp(4 t) 2 2 exp(-t) exp(-t) exp(4 t) , \ / A differencialegyenlet megoldasa: x(t) = / exp(4 t) exp(-t) \ exp(-t) exp(4 t) \ 5 5 /

9 9 2. gyakorlat 2 LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ ALKALMAZÁSA KEZDETI ÉRTÉK PROBLÉMA MEGOLDÁSÁRA y(t) = K T e t T 5 4 y(t).5 y(t) 2 y(t) = K( e t T ) t (a) Rendszerválasz a Dirac implzus bemenetre t (b) Rendszerválasz az egységugrás bementre. ábra. Egytárolós rendszer válasza Példa 5. (Laplace transzformáció alkalmazása átviteli függvény és rendszerválasz számítására) A rendszert leíró differenciálegyenlet: T ẏ + y = Ku(t) y() = Határozzuk meg a rendszer válaszát az alábbi esetekben:. u(t) = δ(t) 2. u(t) = (t) A rendszer Laplace transzformáltja: T sy (s)+y (s) = KU(s), ahol T R és K R rendszerfüggő paraméterek. Az átviteli függvény: H(s) = Y (s) U(s) = K + T s (26) A rendszer válasza: Y (s) =. impulzusválasz Y (s) = K + T s K U(s) +T s u(t) = δ(t) L U(s) = 2. átmeneti függvény (egységugrásra adott válasz) L y(t) = L {Y (s)} = K { T L s + T } = K T e t/t u(t) = (t) L U(s) = s Y (s) = K s( + T s) y(t) = L {Y (s)} = K { } T L s s + = K T T L ((t) e t T ) = K( e t/t ) K = 5 és T = 4 esetén a példa megoldásainak szemléltetése látható a fenti ábrán.

10 2. gyakorlat ÁLLAPOTEGYENLET MEGOLDÁSA. Állapotegyenlet megoldása Ha csak gerjesztése van (x =, u(t) ) Laplace transzformáció alkalmazása Ha csak kezdeti feltétel van (x, u(t) = ) e At x, állapottrajektória Ha kezdeti feltétel is van, és gerjesztés is Példa 6. (ÁTM megoldása egységugrás bemenetre) 2 A = B = C = [ ] x 2 = Laplace transzformáció alkalmazása: ẋ = Ax + Bu y = Cx u(t) = (t) (27) sx(s) = AX(s) + BU(s) sx(s) AX(s) = BU(s) (si A)X(s) = BU(s) X(s) = (si A) BU(s) Y (s) = C(sI A) BU(s) H(s) = Y (s)/u(s) = C(sI A) B = Y (s) = H(s)U(s) = s s 2 s 4 = s (s + )(s 4) s (s + )(s 4) s = (s + )(s 4) =.2 s 4.2 s + y(t) =.2e 4t.2e t Példa 7. (ÁTM megoldása autonóm rendszerre) 2 A = B = C = [ ] x 2 = Laplace transzformáció alkalmazása: u(t) = sx(s) x = AX(s) X(s) = (si A) x x(t) = L {(si A) }x = e At x (si A) s = (s + )(s 4) 2 s 2 Kimenet: y(t) = Cx(t) = C L {(si A) } x = L {C(sI A) x } = L s 2 { } = (s+)(s 4).6e t +.4e 4t

11 2. gyakorlat ÁLLAPOTEGYENLET MEGOLDÁSA Példa 8. (ÁTM megoldása sebességugrásra) 2 A = B = C = [ ] x 2 = Laplace transzformáció alkalmazása: u(t) = t sx(s) x = X(s) + BU(s) X(s) = (si A) (x + BU(s)) Ha t =, akkor e A(t t ) = e At [ s e At = L { x(t) = e A(t t ) x + s 2 s 4 2 s 2 s 4 s 2 s 4 s 2 s 2 s 4 t e A(t τ) Bu(τ)dτ ] [.6 } = L { +.4 s 4 s+.4.4 s 4 s+.6.6 s 4 s s 4 s+.6e e At = 4t +.4e t.6e 4t.6e t.4e 4t.4e t.4e 4t +.6e t.6e e A(t τ) = 4(t τ) +.4e (t τ).6e 4(t τ).6e (t τ).4e 4(t τ).4e (t τ).4e 4(t τ) +.6e (t τ).2e e A(t τ) B = 4(t τ).2e (t τ).8e 4(t τ) +.2e (t τ) e A(t τ) Bu(τ) = ] }.2e 4(t τ) τ.2e (t τ) τ.8e 4(t τ) τ +.2e (t τ) τ Elemenkénti integrálás: c e c 2(t τ) τdτ = c e c 2t e c 2τ τdτ = c ea(t τ) Bu(τ)dτ = (e c2t c c 2 2 t ) (Parciális integrálás) 2 ] [.75e 4t.2e t.5t e 4t +.2e t.25 e At x értéke megegyezik a 2. példában szereplő értékkel, ezt alkalmazva.675e x(t) = 4t.8e t.5t e 4t +.8e t.25 y(t) = Cx(t) =.45e 4t +.8e t.25 Az ábrán rendre a három példa megoldása látható.

12 ÁLLAPOTEGYENLET MEGOLDÁSA 2 2. gyakorlat