FI rendszerjellemz függvények

Átírás

1 FI rendszerjellemz függvények Dr. Horváth Péter, BME HVT 6. október 7.. feladat Határozzuk meg az ábrákon látható hálózatok által reprezentált rendszerek alábbi rendszerjellemz függvényeit, ha a rendszer gerjesztése az i (t), a válasza pedig az i (t)! a) Határozzuk meg az átviteli függvényt, és ábrázoljuk a pólus-zérus elrendezést! b) határozzuk meg az átviteli karakterisztikát! c) Határozzuk meg az ugrásválaszt, és ábrázoljuk azt! d) Határozzuk meg az impulzusválaszt, és ábrázoljuk azt! (PTK 4.4-) R i (t) R L i (t) Áramosztással normálalakban R I (s) = I (s) R + R + sl I (s) I (s) = R R + R + sl, R/L s + R/L. R i (t) R i (t) C Áramosztással normálalakban /sc I (s) = I (s) R + /sc I (s) I (s) = src +, /RC s + /RC. Az áramforrással sorba kapcsolt ellenállás értéke nyilvánvalóan érdektelen. Ahogy a régi dakota közmondás tartja: Ha csuklós Ikarus-buszt kapcsolunk sorba egy áramforrással, az akkor is áramforrás marad.

2 Mindkét rendszer átviteli függvénye A s + α alakú, az átviteli függvénynek egy pólusa van az s = α helyen. Véges zérus nincs. Az átviteli karakterisztika, mivel G-V stabil kauzális rendszerek, H(jω) = H(s) s=jω = A jω + α, az amplitúdókarakterisztika K(ω) = A ω + α (alulátereszt jelleg rendszer), a fáziskarakterisztika Az ugrásválasz (az u(t) = ε(t)-re adott válasz): ϕ(ω) = arctan ω α. G(s) = L {ε(t)} s s A s + α G(s) = C s + C s + α = A/α + A/α s s + α, g(t) = ε(t) A [ e αt ]. α Az impulzusválasz általánosított deriválással h(t) = g (t) = ε(t)ae αt. Ugyanezt kapjuk az átviteli függvény visszatranszformálásával is. h(t) = L {H(s)} = ε(t)ae αt jelen esetben g(t) folytonos a t = -ban, ezért nincs szükség általánosított deriválásra, nincs Dirac-összetev az impulzusválaszban

3 . feladat Az alábbi hálózat által reprezentált rendszer gerjesztése az u s (t) forrásfeszültség, válasza pedig a bejelölt u c feszültség. C = 3µF, C = µf, R = kω. a) Határozzuk meg az átviteli függvényt, és ábrázoljuk a pólus-zérus elrendezést! b) Adjuk meg az amplitúdó- és fáziskarakterisztikát Bode-diagram formájában! c) Határozzuk meg az ugrásválaszt! Ellen rizzük a kezdeti- és végértéket! d) Határozzuk meg az impulzusválaszt! (PTK 4.4-) C R u s (t) u c C Az átviteli függvény feszültségosztással U c(s) U s (s) = /sc + src = /sc + R /sc + sr(c + C ) = RC [V, kω, µf, ms, krad/s] koherens egységrendszerben 5 s +,5 s +,. Az átviteli függvény pólusa p =, ms, zérusa z =,5 ms. A Bode-diagram el állításához a célszer alak: + src + sr(c + C ) = + s,5 + s,, ahonnan kiolvashatóan a két törésponti frekvencia ω b =,5 és ω a =,. R(C + C ) s + RC s + R(C +C )..5 Im{s} = ω Re{s} = σ. ábra. A. feladatbeli rendszer PZ-elrendezése 3

4 5 k(ω)[db] ϕ(ω)[ ] ábra. A. feladatbeli rendszer Bode-diagramja Az alábbi ábrákon a Bode-diagramok aszimptotikus közelítései, illetve a normáltényez k és a Bode-diagram pontos (numerikusan számított) görbéi láthatók. Kékkel a számlálóban lev els - és másodfokú alaptényez k hozzájárulása, pirossal a nevez ben lev els - és másodfokú alaptényez k hozzájárulása látható. Zölddel ábrázoltuk az ered t. A szaggatott vonalak mindig az aszimptoták, a folytonos vékony vonalak a pontos görbék. Az ugrásválasz: G(s) = s s 5 s +,5 s +, = C s + C s +, G(s) = s +,6 s +, az impulzusválasz (pl. általánosított deriválással) g(t) = ε(t) [,6e,t], h(t) = g (t) (ε(t)v(t)) = ε(t)v (t) + δ(t)v(+) = ε(t)(+,)e,t + δ(t),4 h(t) =,4δ(t) +,ε(t)e,t. Az impulzusválaszt az átviteli függvény visszatranszformálásával is közvetlenül megkaphatjuk: { h(t) = L {H(s)} = L 5 s +,5 } { = L,4 +, } =,4δ(t) +,ε(t)e,t. s +, s +, Az ugrásválasz kezdeti értéke a kezdetiérték-tétel alapján g(+) = lim sg(s) = lim s s 5 =,4, végértéke a végértéktétel alapján lim g(t) = lim sg(s) = t s 4

5 Érdekes meggyelni, hogy a hálózat nem reguláris, hiszen tartalmaz csak kondenzátorokból és feszültségforrásból álló hurkot! Ezért a szóban forgó két kondenzátor feszültsége nem lehet független egymástól, a hálózatot egy állapotváltozó (valamelyik kondenzátor feszültsége) jellemzi, a másik kondenzátor feszültsége ugyanezzel az állapotváltozóval kifejezhet. A rendszer els rend, egy-id állandós rendszerként viselkedik, ahogy az az átviteli függvény nevez je alapján nyilvánvaló is. (A bels m ködés is leírható egy állapotváltozóval, ezért gerjesztés-válasz szempontból sem lehet ennél bonyolultabb a rendszer.) 5

6 3. feladat Egy rendszer 3 impulzusválasza h(t) = ε(t) ε(t T ). a) Határozzuk meg a rendszer átviteli függvényét, és ábrázoljuk a pólus-zérus elrendezést! b) Határozzuk meg az átviteli karakterisztikát, és ábrázoljuk annak abszolútértékét és szögét! c) Határozzuk meg és ábrázoljuk a rendszer ugrásválaszát! d) Realizálható-e a rendszer Kirchho-típusú, lineáris, invariáns elemekb l álló hálózattal? e) *Adjuk meg a rendszer -3 db-es sávszélességét! f) *Adjunk explicit kifejezést a válaszjel id függvényére! (PTK 4.4-7) a) L{h(t)} = s ( e st )..Els ránézésre a rendszernek pólusa van a p = -ban. Zérusok: e z kt = (e z k ) T = z k = jk π, k =, ±, ±,.... T A redukált átviteli függvénynek az origóban sem pólusa, sem zérusa nincs. ÁBRA!!! b) Mivel G-V stabilis és kauzális a rendszer 4, ezért H(jω) = H(s) s=jω = e jωt jω = e j ωt e j ωt e j ωt jω = e j ωt j sin ωt jω = e j ωt T sin ωt ωt (emlékezzünk, ebben felismerjük a T/ hosszúságú, T/-vel késleltetett négyszögimpulzus spektrumát!) Az amplitúdókarakterisztika: K(ω) = T sin ωt ωt amelynek értéke K() = T, és nullhelyei vannak az ω k = k π T -ben5, a fáziskarakterisztika, ϕ(ω) = ωt (lineáris). ÁBRA!!! c) Az ugrásválasz komplex frekvenciatartományban: ÁBRA!!! G(s) = s s ( e st ), g(t) = tε(t) (t T )ε(t T ). d) Az átviteli függvény nem racionális törtfüggvény, ezért nem realizálható ún. koncentrált paraméter Kirchotípusú hálózattal. 3 A félév vége felé látni fogjuk, hogy ez pl. a digitál-analóg átalakítókban is használt ún. nulladrend tartó (Zero Order Hold, ZOH) rendszer impulzusválasza. Ezért jól jegyezzük is meg ezt a rendszert. 4 honnan tudjuk? 5 mivel a zérusok a képzetes tengelyre esnek, gondoljuk meg, hogy ezt a PZ-elrendezésb l azonnal láthatjuk! 6

7 e) *A rendszer fáziskarakterisztikája lineáris a frekvencia függvényében, azonban az amplitúdókarakterisztika nem konstans, ezért csak az ω = kis környezetében elhelyezked spektrumösszetev ket képes a rendszer torzításmentesen (pontosabban elhanyagolható amplitúdótorzítás mellett) átvinni. Az alsó határfrekvencia ω a =, a fels -3 db-es (ε = ) határfrekvenciára T sin ω bt ω b T = T, az ω b T = x helyettesítéssel transzcendens egyenlet megoldása (frekvenciával kifejezve sin(x/) = x x =,78, ω b = ω H =,78 T. f b = f H =,44 T ) f) A válaszjel kifejezése konvolúcióval: y(t) = h(t) u(t) = u(τ)h(t τ) dτ. Mivel h(t τ) =, ha t τ < vagy t τ > T, azaz ha τ > t vagy ha τ < t T, elegend τ szerint ezen intervallumban integrálni. Ezen intervallumon h(τ). Ezzel a konvolúció y(t) = t t T u(τ) dτ alakra egyszer södik. Egy konkrét t id ponthoz tartozó válaszjel, y(t ), a gerjesztésnek a t T és t közötti integrálját, mozgó átlagát adja. 6 Ebb l az alakból láthatjuk azt is, hogy az ugrásválaszra kiszámított formula is helyes (u(τ) = ε(τ)). 6 A gyakorlatban sokszor használjuk ezt a mozgó átlagoló rendszert a feldolgozandó jelben lev zaj kisz résére/kiátlagolására. A módszer gyakorlati alkalmazásakor, T megválasztásakor azonban ügyelni kell az el z pontban tárgyalt torzítási szempontokra. Hosszabb T nyilván hatásosabban sz ri ki a jelben lev nagyfrekvenciás zajösszetev ket, de egyben a hasznos jel magasabb frekvenciás összetev it is. 7

8 4. feladat Az ideális alulátereszt sz r átviteli karakterisztikája: H(jω) =, ha ω < Ω, és egyébként. A sz r tehát Ω körfrekvencia alatt minden összetev t átereszt, felette pedig mindent elnyom. Adjuk meg a rendszer impulzusválaszát! Milyen tulajdonságokkal rendelkezik ez a rendszer? h(t) = F {H(jω)} = π Ω Ω e jωt dω = [ e jωt ] Ω πjt Ω = ( e jωt e jωt) sin Ωt = = Ω sin Ωt Ω πjt πt π Ωt π sinc(ωt) Az impulzusválasz nem belép, ezért a rendszer nem kauzális. Az impulzusválasz csonkolásával és késleltetéssel a rendszer kauzálissá tehet, az ideális jelleg rovására. Az id beli csonkítás miatt fellép a Gibbs-oszcilláció is, ez esetben az amplitúdókarakterisztika oszcillál. Az impulzusválasz nem abszolút integrálható, ezért a rendszer nem gerjesztés-válasz stabil..4 h(t).3.. t[s] ábra. Ideális alulátereszt impulzusválasza Ω = rad/s határfrekvenciával 8

9 5. feladat Egy rendszer pólus-zérus elrendezése a 4. ábrán látható, ms egységben megadva. Tudjuk, hogy a rendszer er sítése ω = 5 krad/s körfrekvencián tisztán valós, értéke,5. Adjuk meg a rendszer átviteli függvényét! 4 3 Im{s} = ω Re{s} = σ 4. ábra A rendszer pólusai p, = 4 ± j3 ms, a rendszernek egy zérusa van s = -ban.az egyel re ismeretlen K kiemelt tényez vel s K [s ( 4 + 3j)][s ( 4 3j) = K s (s + 4) + 9 = K s s + 8s + 5. jω H(jω) = K (jω) + 8jω + 5 H(j5) = K 8 =,5 K = s s + 8s + 5 9

10 6. feladat Bontsuk fel a (s + )(s 3) (s + )(s + 4 j)(s j) átviteli függvényt egy minimálfázisú és egy mindentátereszt rendszer áviteli függvényeinek kaszkádjára! 3 Im{s} = ω Re{s} = σ 5. ábra. A 6. feladat szerinti átviteli függvényhez tartozó PZ-elrendezés 3..5 Im{s} = ω Im{s} = ω Re{s} = σ Re{s} = σ 6. ábra. A minimálfázisú és a mindentátereszt rendszerek PZ-elrendezése (s + )(s 3) (s + )(s + 4 j)(s j) = (s + )(s + 3) (s + )(s + 4 j)(s j) (a felbontás egy állandó erejéig egyértelm ) } {{ } H MF (s) s 3 s + 3 }{{} H MA (s)

11 7. feladat Hasonlítsuk össze a és a H (s) = s + (s + )(s + 3) s H (s) = (s + )(s + 3) rendszerek ugrásválaszának jellegét! Az. rendszer minimálfázisú, véges zérusa a z = -ben van. Az ugrásválasza: G (s) = s H (s) = s + s(s + )(s + 3) = /3 s + / s + + /6 s + 3 g (t) = L {G (s)} = 6 ε(t) [ 4 3e t e 3t]. A. rendszer nem minimálfázisú, mert a zérusa z =, a jobb félsíkra esik. Az ugrásválasza: G (s) = s H (s) = A két ugrásválasz a 7. ábrán látható 7. s + s(s + )(s + 3) = /3 s + 3/ s + + 5/6 s + 3 g (t) = L {G (s)} = 6 ε(t) [ 4 9e t + 5e 3t]..8 g(t) g (t) g (t) t 7. ábra. Az ugrásválaszok összehasonlítása 7 Meggyelhet, hogy a nem minimálfázisú rendszer ugrásválasza kezdetben a rossz irányba indul. Ez általában is jellemz, ha nem minimálfázisú rendszernek páratlan számú zérusa esik a jobb félsíkra. Mindennapi példája ennek az állandó sebességgel haladó, a vezet je által stabilizált kerékpár vagy motorkerékpár, ahol a kormánymozdulat hatására bekövetkez kezdeti rossz irányba kilendülés az ellenkormányzás alapja. Ha például hirtelen balra akarunk kanyarodni egy kikerülési man vernél, akkor hatékonyabb el ször a bal oldalon eltolni magunktól a kormányt, ahelyett, hogy azt azonnal magunk felé húznánk.

12 8. feladat a) Határozzuk meg a feszültségforrással gerjesztett soros RLC-kör (soros rezg kör) áramára, mint válaszjelre vonatkozó átviteli függvényt! b) Vázoljuk az amplitúdó- és fáziskarakterisztika Bode-diagramját (tkp. a rezg kör bemeneti admittanciájának, Y (jω)-nak a Bode-diagramját), ha L = 5mH, C = µf és R = ohm ill. R = 5 kω! (PTK 3.-5) Megoldás: a) Operátoros impedanciákkal U s (s) = I(s) [R + sl + /sc] I(s) U s (s) = R + sl + /sc = sc src + s LC + = L s s + R L s + LC Tudjuk, hogy a rezg kör természetes rezonanciafrekvenciája és a rezg kör paraméterei között ω = LC összefüggés van. Innen C = ω L, amit beírva sc = s + sr ω ω L C + s + R ω sc C L = s ω + s + ζ s ω sc ω + = sc s + s Qω +, ahol a ζ mennyiség neve csillapítási tényez, ami a rezg kör jósági tényez jével Q = ζ kapcsolatban van. ζ < értékekre komplex konjugált gyökök, ennél nagyobb értékekre valós gyökök jelennek meg, ami megmagyarázza a csillapítási tényez elnevezést, hiszen a nagy csillapítási tényez azt jelenti, hogy az ellenállás azonnal felemészti a rezgés energiáját. b) [V, ma, kω, ms, H, µf, ms, krad/s] koherens egységrendszerben számolunk. Az átviteli függvény admittancia dimenziójú. Hogy dimenziótlanná tegyük az ábrázoláshoz, normalizáljuk a koherens egységrendszer admittanciaegységére, ms-re! (Ezzel egyenérték, ha azt mondjuk, hogy az R H (s) -t ábrázoljuk, ahol R = kω érték normalizáló ellenállás.) Az átviteli függvény R = ohm-nál H (s) = 4s s +,4s + 4 = R = 5 kω-nál pedig H (s) = 4s s + s + 4 = 4s (s +, + j)(s +, j) = 4 s [ ( 4 s ) ] = +, s + ω [ ( s 4s (s + 9,8)(s +,) = 4 s 9,8(s/9,8 + ),(s/, + ) = s ) ] +, s + s (s/9,8 + )(s/, + ) Az els esetben a nevez ben lev másodfokú normáltényez paraméterei Ω a = és ζ a =, (illetve a pólusjósági tényez vel kifejezve Q a = 5). A tényez hozzájárulása az amplitúdó Bode-diagramjához egy lg 5 4 db-es csúcs a törésponti frekvencián. c) Az el z höz hasonlóan, de most R = R-et választva normalizáló ellenállásnak, 4s H (s) = RH (s) =, s +,4s + 4 =, [ ( s s ) ] +, s + A továbbiakban a Bode-diagramokon a ciánszín vonalak az origóban lev pólusok és zérusok ered hozzájárulását jelentik. A fekete vonalakkal a konstans kiemelt tényez k hozzájárulását jelöljük majd. Figyeljük meg, hogy a rezonanciafrekvencián az admittancia szöge el jelet vált.

13 ..5 Im{s} = ω Im{s} = ω Re{s} = σ (a) R = Ω. Re{s} = σ (b) R = 5 kω 8. ábra. A rezg kör PZ-elrendezése k(ω)[db] ϕ(ω)[ ] ábra. A rezg kör Bode-diagramja R = Ω, R = kohm k(ω)[db] 3 ϕ(ω)[ ] ábra. A rezg kör Bode-diagramja R = 5 kω, R = kohm 3

14 9. feladat a) Határozzuk meg az alábbi, ún. áthidalt T-tagot tartalmazó hálózat által reprezentált rendszer U (s)/u (s) átviteli függvényét! A továbbiakban C = nf, C = µf, R = kω értékekkel számoljon! b) Vázoljuk a pólus-zérus elrendezést! Milyen speciális tulajdonsággal rendelkezik a rendszer? c) Vázoljuk fel az amplitúdó- és fáziskarakterisztika aszimptotikus Bode-diagramját! (PTK 3.-6) C R R u (t) C u Megoldás: a) Csomóponti potenciálokkal (operátoros impedanciákkal) Φ(s) : Φ U R + Φ U R + Φ /sc = U (s) : U U /sc + U Φ R = Φ( + src ) U U =, Φ = U + U + src U + src + U ( + src ) U src = Φ U U (src + + src U U = = U ( + src ) U src + src ) ( = U ( + src ) ( ) src + +src ( ( + src ) + +src ) = + src ) + src ( + src ) ( + src )( + src ) A megadott elemértékekkel [V, kω, ms, µf, ms, krad/s] koherens egységrendszerben RC =, ill. RC =, +,s( + s) ( +,s)( + s) =,s +,s +,s +,s + = s + s + s + s + b) [s ( + 9,95j)][s ( 9,95j)] (s +,99)(s + ) z, = ± 9,95jms, p = ms, p =,99ms. 4

15 5 Im{s} = ω Re{s} = σ. ábra. Az áthidalt T-tag átviteli függvényéhez tartozó PZ-elrendezés c) A Bode-diagram felvázolásához célszer alakra visszatérve,s +,s +,s +,s + = ( s ( ) +, s ) + + s,99 ( ) + s A számlálóban lev másodfokú normáltényez re a törésponti frekvencia Ω b =, a csillapítási tényez ζ b =, (illetve zérusjósági tényez vel kifejezve Q b = ζ b = 5). A nevez ben lev els fokú normáltényez kre a törésponti frekvenciák ω b =,99, ω b =. A számlálóbeli másodfokú tényez tényleges hozzájárulása a törésponti frekvencián log 5 = 4dB. Ezek ismeretében a közelít diagramok felvázolhatók. 4 k(ω)[db] ϕ(ω)[ ] ábra. Az áthidalt T-tag Bode-diagramja R = 5 kω 5

16 . feladat Vázoljuk fel a 4. feladatbeli rendszer amplitúdó- és fáziskarakterisztikájának Bode-diagramját ( [ω] = krad/s)! s s + 8s + 5 = s 5 [ +,8(s/5) + (s/5) ] =,8 s [ +,8 (s/5) + (s/5) ] k(ω)[db] 3 4 ϕ(ω)[ ] ábra. A 4. feladatbeli rendszer Bode-diagramja 6

17 . feladat * Vázoljuk fel az 5. feladatbeli rendszer Bode-diagramját, és a minimálfázisú+mindentátereszt dekompozícióval nyert rendszerek Bode-diagramjait! (s + )(s 3) (s + )(s + 4 j)(s j) = s s 3 s 3 + s + 36s + 4 = (s + )(s + 3) (s + )(s + 4 j)(s j) H MF (s) = s + 4s + 3 s 3 + s + 36s A mindentátereszt rendszer Bode-diagramja Ennek a rendszernek a jobb félsíkon is van egy valós zérusa. Az els fokú normáltényez k szokásos kezelése: ( ) jω (s s k ) s=jω = (jω s k ) = s k ( s k ) +. } {{ } H MF (s) s 3 s + 3 }{{} H MA (s) Ha az vizsgált pólus ill. zérus a bal félsíkra esik, akkor s k negatív. Eddig ilyen példákat láttunk. Ilyenkor az általunk használt konvenció szerint a negatív s k helyett az ellentettjét, a pozitív ω k = s k -t tekintettük törésponti frekvenciának: ( (jω s k ) = ω k + jω ), s k <. ω k Ha azonban van zérus a jobb félsíkon, akkor s k pozitív, ω k negatív (lenne). Hogy megtarthassuk a pozitív törésponti frevenciával számolást, a jobb félsíkra es zérusoknál legyen ω k = +s k, és ( (s s k ) s=jω = (jω s k ) = s k + jω ) ( = ω k + jω ) ( = ω k + jω ), s k >. ( s k ) ( ω k ) (ω k ) Eszerint a jobb félsíkon fekv zérusnál a kiemelt tényez negatív (szöge 8 fok). A normáltényez pedig az abszolútértékben egyenl, bal félsíkra es zérus hozzájárulásának konjugáltját adja. A konjugálás az amplitúdókarakterisztikát nem befolyásolja, a fáziskarakterisztikát pedig az ellentettjére változtatja, vagyis a kis frekvenciás fokról 9 fokra csökken a jobb félsíkra es zérus hozzájárulása a fázishoz. Ennek felhasználásával a mindentátereszt rész karakterisztikái: H MA (jω) = jω 3 3(jω/3 + ) (jω/3 + ) = = jω + 3 3(jω/3 + ) (jω/3 + ). A - kiemelt tényez t a fáziskarakterisztikában egy 8 fokos konstans tagként vehetjük gyelembe. diagramja alapján látszik, hogy valóban mindentátereszt a rendszer. k(ω) k(ω)[db] ϕ(ω)[ ] ω 35 7

18 .. A minimálfázisú rendszer Bode-diagramja H MF (s) = s + 4s + 3 s 3 + s + 36s + 4 = ( + s/) 3( + s/3) [ +,894 (s/4,47) + (s/4,47) ] ( + s/) ( + s/)( + s/3) H MF (s) =,75 [ +,894 (s/4,47) + (s/4,47) ]( + s/) k(ω)[db] Az eredeti rendszer Bode-diagramja ϕ(ω)[ ] k(ω)[db] Az el z ábrával való összevetéb l látható, hogy az amplitúdókarakterisztika megegyezik a minimálfázisú rendszerével, a minimálfázisú rendszer fázisa pedig valóban minimális. ϕ(ω)[ ]