FI rendszerek periodikus állandósult állapota (JR1 ismétlés)

Átírás

1 FI rendszerek periodikus állandósult állapota (JR ismétlés) Dr. Horváth Péter, BME HV 6. szeptember.. feladat Az ábrán látható ún. Maxwell-Wienhídkapcsolás segítségével egy veszteséges tekercs L x induktivitása és R x soros veszteségi ellenállása mérhet meg. A hidat tápláló feszültségforrás feszültségének id függvénye = U cos(ωt). A híd kiegyenlítését, vagyis az árammér n folyó áram nullázását az R 3 változtatható ellenállás és a C 3 változtatható kondenzátor beállításával végezhetjük el. Adjuk meg az L x és R x meghatározására szolgáló formulákat a híd kiegyenlített állapotában! Használható-e a híd táplálására tetsz leges periodikus feszültség? R x L x R V R R 3 R s C 3 Φ Z x R V R Z 3 Φ R s U s Φ Z x = R x + jωl x Z 3 = R 3 + jωc 3 = + jωr 3C 3 R 3

2 A voltmér kapcsain a csomóponti potenciálok komplex csúcsértéke feszültségosztással Φ = Φ R Z x + R ill. Kiegyenlített állapotban Φ = Φ Z 3 R + Z 3. Φ = Φ. (Z x + R )Z 3 = (R + Z 3 )R Z x Z 3 = R R (Emlékezzünk, hogy a rezisztív Wheatstone-féle hídnál hasonló feltétel adódott a kiegyenlítésre.) Kiegyenlített esetben a Z x induktív impedanciáját éppen kompenzálja a Z 3 kapacitív impedanciája abban az értelemben, hogy a két impedancia szorzata tisztán rezisztív érték. Mivel Z x = R x + jωl x, a valósrészek összevetésével a képzetes részek összevetése alapján pedig Z x = R R Z 3 = R R R 3 ( + jωr 3 C 3 ) = R R R 3 + jωr R C 3. R x = R R R 3, L x = R R C 3 formában kapjuk a mérend értékeket. A kiegyenlítés feltétele független a frekvenciától, ezért a periodikus jel minden harmonikusára teljesül, vagyis periodikus feszültséggel táplálva a hidat is igazak a fenti formulák. Figyeljük meg, hogy az R x -re kapott összefüggés megegyezik a JR-ben látott rezisztív Wheatstone-hídra kapott összefüggéssel, mert egyenfeszültségen a tekercs rövidzár, a kondenzátor szakadás (jelenlétük gyelmen kívül hagyható). Feltéve, hogy Lx és R x is frekvenciafüggetlenek. A gyakorlatban ez ritkán teljesül.

3 . feladat Határozzuk meg az alábbi ábrán látható négyszögjel Fourier-sorát! A t Emlékszünk, hogy páros függvények Fourier-sorában csak koszinuszos tagok, páratlan függvények Fouriersorában csak szinuszos tagok vannak (vagy a komplex alakban az együtthatók tisztán valósak, illetve tisztán képzetesek). Hasznos lehet további szimmetriatulajdonságok kihasználása. Egy nagyon hasznos szimmetriatulajdonság az alábbi. Ha például az x(t) periodikus hullámforma egyik félperiódusa éppen a másik félperiódus mínusz egyszerese, vagyis formálisan igaz, hogy ( x t ) = x(t), akkor az alábbi egyszer sítések tehet k a Fourier-sor számításánál: X =, () / Xk A x(t) cos(kω = t) dt, ha k páratlan, ha k páros / Xk B x(t) sin(kω = t) dt, ha k páratlan, ha k páros. Vagyis a Fourier-sorban csak páratlan index harmonikusok lehetnek, az egyenösszetev pedig zérus. Ennek belátását lásd a Függelékben. A feladatbeli jel páratlan, és rendelkezik a fenti szimmetriával. Mivel páratlan, ezért csak az Xk B -ket kell meghatároznunk: () (3) X B k = / x(t) sin(kω t) dt = / A sin(kω t) dt = A [ cos(kω t) kω ] / = = A [ cos(k π t) k π Ezzel a Fourier-sor matematikai valós alakja ]/ = A A [ ( )] = πk πk, ha k páratlan. Az A = V mellett a numerikus értékek x(t) = A π sin ω t + A 3π sin 3ω t + A 5π sin 5ω t x(t) =,73 sin ω t +, sin 3ω t +,55 sin 5ω t +,8 sin 7ω t.... A jel ún. harmadfajú szimmetriával rendelkezik

4 3. feladat Az alábbi hálózat gerjesztése az el z feladatban is látott szimmetrikus négyszögjel. Határozzuk meg a válaszjel id függvényét négy nem nulla harmonikust tartalmazó Fourier-polinom közelítéssel, ha R =,7 kω és C = nf, ha a) = 5 ms ill. b) ha = ms! Határozzuk meg a forrásfeszültség és u eektív értékét is! R C u A t I. Az átviteli karakterisztika (JR-b l) H(jω) = U (jω) U s (jω) = jωc R + jωc = + jω/ω, az ω = RC törésponti frekvencia bevezetésével. A továbbiakban használjuk a [V, ma, kω, µf, ms, krad/s] koherens egységrendszert! Ezzel ω =,7, 3,7 krad/s. II. A forrásfeszültség Fourier-sorát az el z feladatban kiszámítottuk. A forrásfeszültség id függvénye páratlan, egyszer középértéke pedig nulla. A Fourier-sorban csak szinuszos tagok vannak, és csak p páratlan értékeire: Uk B = A πk, k páratlan. A Fourier-sor matematikai valós alakja: = A π sin ω t + A 3π sin 3ω t + A 5π sin 5ω t +... A feladat megoldásához a mérnöki valós alakot szokás használni: = A π cos(ω t π/) + A 3π cos(3ω t π/) + A 5π cos(5ω t π/) +... A t Látható, hogy ilyen kevés tag mellett a közelítés hibája jelent s. A jel szakadási helyein a Gibbs-oszcilláció is fellép. III. A válaszjel Fourier-polinomjának számításához az alábbi táblázatot készítjük (az A = V értéket behelyettesítve). Közelítsük a gerjesztést négy nem nulla harmonikust tartalmazó Fourier-polinomjával! Az a) esetben = 5 ms, az alapkörfrekvencia ω = π =,57 krad/s. A szuperpozíció elve alapján az egyes harmonikusokra külön-külön számítjuk szinuszos állandósult állapotban a gerjeszt jel fazora és az átviteli tényez alapján a válaszjel fazorát: Y p = H p U p, ahol a H p átviteli tényez H p = H(jω) ω=pω H(jpω ).

5 p pω U p H p H(jpω ) Y p = U p H p,57 π e jπ/ =,73e jπ/,97e j,37,6e j, ,77 3π e jπ/ =,e jπ/,7e j,79,97e j, ,8 5π e jπ/ =,55e jπ/,58e j,38,9e j,69 7 8,8 7π e jπ/ =,8e jπ/,388e j,7,7e j,73 Például az els sorban szerepl H érték számítása: H = H(jω) ω=,57 = + j,57 3,7 = + j,3 =,56e Ez alapján közvetlenül felírhatjuk a válaszjel Fourier-polinomját: j,37 =,97e j,37 u (t),6 cos(,57t,898) +,97 cos(3,77t,365) +,9 cos(6,8t,69) +,7 cos(8,8t,73)v A b) esetben = ms, az alapkörfrekvencia ω = π A válaszjel Fourier-polinomja pedig 3 = 6,83 krad/s. p pω U p H p H(jpω ) Y p = U p H p 6,83 π e jπ/ =,73e jπ/,58e j,39,67e j,68 3 8,85 3π e jπ/ =,e jπ/,93e j,377,8e j,97 5 3,6 5π e jπ/ =,55e jπ/,7e j,53,3e j3,3 7 3,98 7π e jπ/ =,8e jπ/,8e j,87,5e j3,57 u (t),67 cos(6,83t,68)+,8 cos(8,85t,97)+,3 cos(3,6t 3,3)+,5 cos(3,98t 3,57)V..5 u (t) = 5 ms = ms t.5 Az eredmények értékelését segíti az. és. ábra, ahol a rendszer átviteli karakterisztikája mellett láthatjuk a gerjesztés Foruier-sorának amplitúdóit a megfelel körfrekvencián feltüntetve. Látható, hogy a = 5 ms periódusú jel els néhány Fourier-együtthatójához tartozó frekvencián az RC-tag er sítése egységnyihez közeli, és fázistolás is kicsit, míg a gyorsabb jel esetén már az alapharmonikus is jelent s csillapítást és fázistolást szenved. IV. A forrásfeszültség eektív értéke U s,eff = u s(t) dt = A = A = V, udjuk, hogy Parseval tétele alapján az eektív érték a Fourier-együtthatókból is kiszámítható, a Fourieregyütthatók eektív értékének négyzetösszegeként. El ször a gerjeszt négyszögjel els négy nem nulla harmonikusa alapján a gerjesztést közelít jel eektív értéke: (,6 ) ( ) ( ) ( ),,55,8 Û s,eff = =,975V, 3 A válaszjelen is jól látszik a pontatlan közelítés hatása. ovábbi tagok gyelembe vételével a probléma csökkenthet, lásd az otthoni feladatok között. Ezt természetesen egy szimmetrikus négyszögjel esetén ránézésre is tudhatjuk.

6 K(ω) = H(jω) ϕ(ω) = arch(jω) π/ ábra. A rendszer átviteli karakterisztikája (piros) és a gerjesztés Fourier-sora (kék) a = 5 ms esetben K(ω) = H(jω) ϕ(ω) = arch(jω) π/ ábra. A rendszer átviteli karakterisztikája (piros) és a gerjesztés Fourier-sora (kék) a = ms esetben

7 vagyis ha csak az eektív értékeket vesszük gyelembe, a -tagú Fourier-polinom közelítés relatív hibája e =,975 =,5%. A válaszjel eektív értékét a válasz Fourier-sora alapján közelítjük. Az a) esetben ( = 5 ms) (,6 ) ( ) ( ) ( ),97,9,7 Û,eff = =,88V, a b) esetben ( = ms) pedig (,67 ) ( ) ( ) ( ),8,3,5 Û,eff =,6V.

8 . feladat Az ábrán látható hálózatban R = kω, C = nf, és L = mh. a) Határozzuk meg a hálózat által reprezentált rendszer átviteli karakterisztikáját normálalakban, ha a gerjesztés u s, a válasz pedig u! Vázoljuk az amplitúdó- és a fáziskarakterisztikát! b) Határozzuk meg az RLC kétpólus jósági tényez jét! c) A hálózat által reprezentált rendszer gerjesztése legyen az ábrán látható szimmetrikus négyszögjel, periódusa = 9 µs. Határozzuk meg a válaszjel (u ) domináns összetev jének id függvényét! R C L u A t a) A rendszer átviteli karakterisztikája pl. feszültségosztással Normálalakban: H(jω) = U (jω) U s (jω) = jωl /jωc R + (jωl /jωc) =... = H(jω) = RC jω (jω) + RC jω +. LC jωl (jω) RLC + jωl + R Használjuk a következ koherens egységrendszert: [V, ma, kω, H, ms, µf]. Ezzel H(jω) = 5jω (jω) + 5jω + 5. és ω n = 5 krad/s. Nagyon kicsi, ill. nagyon nagy frekvencián a párhuzamos rezg kör impedanciája kicsi (kis frekvencián az induktivitás, nagy frekvencián a kondenzátor kis impedanciát mutat), az ω n = LC természetes rezonanciafrekvencián az impedancia végtelenné válik. Ebb l következik, hogy a rezonanciafrekvencián az u s teljes mértékben a rezg körön esik, az átviteli tényez abszolútértéke egységnyi, és a fázisa zérus. Kis ill. nagy frekvencián a forrásfeszültség nagy része az ellenálláson esik, emiatt az átviteli tényez abszolútértéke kicsi. Fázisát kis frekvencián az induktív, nagy frekvencián a kapacitív összetev határozza meg.

9 ..8 K(ω) φ(ω)[fok] b) Ha a forrást és az ellenállást (tkp. egy hévenin-generátort) a Norton-ekvivalensével helyettesítjük, akkor egy tisztán párhuzamos rezg körhöz jutunk. JR alapján a párhuzamos rezg kör jósági tényez je a rezonanciafrekvencián C Q = R L =. R növelésével a jósági tényez, ezzel a rezonancia élessége is n. c) A gerjesztés alapkörfrekvenciája: ω = π = 6,98 krad/s.,9 Kiszámítottuk, hogy csak a páratlan harmonikusok vannak jelen a gerjesztésben. A rendszer rezonanciafrekvenciája 5 krad/s, a gerjesztés 7. felharmonikusa (7ω = 8,87 krad/s) ehhez nagyon közel esik, ezért ez az összetev dominálhatja a válaszjelet. Ellen rzésképpen a 5. harmonikus amplitúdóját is kiszámítjuk.

10 K(ω) p pω U p H p Y p = U p H p 5 3,9 5π e jπ/ =,8e jπ/,35e j,35,3e j,35 7 8,87 7π e jπ/ =,e jπ/,99e j,9,65e j, Vagyis valóban a 7. harmonikus dominál, amelynek id függvénye u,7 (t) =,65 cos(8,87t,) V. Függelék A () nyilvánvaló, hiszen a szimmetria miatt a jel egyszer középértéke (egyenösszetev je) zérus. ()-t a következ képpen láthatjuk be. Bontsuk az integrálást két tagra. Ha a szimmetriapont a t =, akkor Xk A (t) = / x(t) cos(kω t) dt = / x(t) cos(kω t) dt + x(t) cos(kω t) dt, / / Az els integrálban vezessük be t helyett az y = t + / változót. Ezzel dt = dy, az integrálás határai pedig t = / helyett y =, t = helyett y = /. Xk A (t) = / ( x y ) ( cos kω y ) / dy + x(t) cos(kω t) dt. Mivel cos kω ( y ) = cos(kω y kπ) = cos kπ cos kω y sin kπ sin kω y = cos kπ cos kω y = ( ) k cos kω y, a feltételezett szimmetria miatt pedig Xk A (t) = / [ x(y)]( ) k cos kω y dy + ( x y ) = x(y), / x(t) cos(kω t) dt = Hasonló meggondolással vezethet le az Xk B -kre vonatkozó (3) összefüggés is. / x(t) cos(kω t) dt, ha k páratlan., ha k páros

11 Kiegészít (otthoni) feladatok Írjunk programot (Matlab/Octave/...), ami a 3. feladatot magasabb rend Fourier-polinomokkal is meg tudja oldani. Ábrázoljuk a válaszjelek id függvényét nem nulla harmonikusból álló Fourier-polinom közelítéssel!.5.5 u (t) [V] t [ms] Ellen rizzük a 3. feladat megoldását áramkörszimulátorral (pl. LSpice)! Vizsgáljuk meg áramkörszimulációval, hogy mennyire tér el a. általunk kiszámított szinuszos jelalaktól! feladatban a válasz id függvénye az