2.11. Feladatok megoldásai

Átírás

1 Elektrotechnikai alaismeretek.. Feladatok megoldásai. feladat: Egy szinuszosan változó áram a olaritás váltás után μs múlva éri el első maximumát. Mekkora az áram frekvenciája? T 4 t 4 4µ s f,5 Hz 5 khz T 4. feladat: Egy MHz frekvenciájú szinuszosan változó feszültség mennyi idő múlva éri el az effektív értékével azonos illanatértéket? Mekkora a illanatértékhez tartozó fázisszög? ω π f π c / s sin π t t arcsin π π Φ ω t π,5 rad 45 4,5 s 5 ns 3. feladat: Egy 59 Hz frekvenciájú váltakozó áramú körben a szinuszosan változó feszültség effektív értéke, V, az áram effektív értéke 3,5 ma. A feszültség,5 ms-mal előbb éri el a maximumát, mint az áram. Mekkora a fázisszög a feszültség és az áram között? Írja fel a feszültség és az áram időfüggvényét! Mekkora a feszültség és az áram illanatértéke az áram fázisváltása után,3 ms múlva? Mekkora a feszültség illanatértéke, ha az áram illanatértéke ma? A feszültség és az áram közötti fázisszög kiszámításához szükségünk lesz a körfrekvenciára: ω π f π 59 c / s A két jel közötti fáziskülönbséget radiánban a körfrekvencia és az idő szorzata adja: Φ ω t,5 3, 5 rad A radiánban kaott fázisszöget alakítsuk fokká: 3 π rad 3 rad 57,3,5 rad 3 π Tehát a feszültség 3 -kal siet az áramhoz kéest. Az időfüggvények felírásához ismernünk kell a jelek amlitúdóját is, amelyeket az effektív értékekből számíthatunk ki:, 5V és 3,5 5 ma Készítette a entroszet Szakkézés-Szervezési Nonrofit Kft.

2 Elektrotechnikai alaismeretek Most már ismerjük az amlitúdókat, a körfrekvenciát és a jelek közötti fázisszöget, tehát felírhatók az időfüggvények. A fáziseltérést a gyakorlatban mindig az áramhoz viszonyítjuk, tehát az áram fázisszögét nullának vesszük fel, és a fázisszög a feszültség időfüggvényében szereel (V-3. ábra). u( t) sin( ω t + Φ) 5 sin( t + 3 ) ( V ) i( t) sin ω t 5 sin t ( ma) [KÉP: Szücs 88/] A V-3. ábrán látható, hogy az áram kétszer vált fázist egy eriódus alatt. A negatívból ozitívba történő átmenet után 8 -kal (π radiánnal) ozitív negatív átmenet lesz, és a két átmenet után a feszültség és az áram is különböző illanatértéket vesz fel. A behelyettesítésnél a fázisszöget át kell alakítanunk radiánba, hiszen a másik tagot is radiánban kajuk meg: π u 5 sin(,3 + ) V π u 5 sin(,3 + + π ) V i 5 sin,3, 48 ma i 5 sin(,3 + π ), 48 ma Az áram az ma-es illanatértéket két időontban veszi fel egy erióduson belül. Először ezeket az időontokat kell meghatároznunk az áram időfüggvényéből: 5 sin t t arcsin, s, ms 5 5 sin( π t ) t ( π arcsin ),94 s, 94 ms 5 A t és t értékeket behelyettesítve a feszültség időfüggvényébe, megkajuk a keresett illanatértékeket: π π u 5 sin( t + ) 5 sin(, + ) 9, 93V π π u 5 sin( t + ) 5 sin(,94 + ) 4, 75V 4. feladat: Egy áramkörben,5 A erősségű és Hz frekvenciájú áram folyik. a) Számítsuk ki az áramkör Ω értékű ellenállásán eső feszültség csúcsértékét! b) Írjuk fel az áram és feszültség időbeli lefolyásának kifejezését, ha feltételezzük, hogy az áram cosinus függvény szerint változik! c) ajzoljuk fel az áram és a feszültség idő szerinti változását és a vektoriális kéet,az áram a cos függvény szerint változik! Készítette a entroszet Szakkézés-Szervezési Nonrofit Kft.

3 Elektrotechnikai alaismeretek a) Először írjuk fel az áram időfüggvényét a feltételnek megfelelően! i cosωt, az áramerősség csúcsértéke:,5, 77 A, behelyettesítve: i,77 cosωt A. A feszültség ohm törvénye szerint:,77 A Ω 7, V. 7 b) Az ohmos jelleg miatt a feszültség menete megegyezik az áraméval: u cosωt 7,7 cosωt V. Az áram és a feszültség eriódusideje: T,5 s ms f Hz 5. c) A tisztán ohmos jelleg miatt az ellenálláson átfolyó áram és az általa létrehozott feszültség azonos fázishelyzetű, vektoraik is azonos irányúak: 5. feladat: Egy tisztán induktív jellegű áramkörben ma erősségű, 5 Hz frekvenciájú szinuszos áram folyik. a) Számítsuk ki, mekkora feszültség esik az mh értékű induktivitáson! b) Írjuk fel az áramerősség és feszültség időfüggvényét! c) ajzoljuk fel az áramerősség és a feszültség idő függvénye szerinti változását! a) Az áram időfüggvénye: i sin ωt sin ωt 4, sin ωt ma. A feszültségesés meghatározásához ismernünk kell, hogy a tekercsnek az adott frekvencián mekkora a látszólagos ellenállása (reaktancia). ω π f,8 5 Hz, H 3, 4 Ω. Az induktív látszólagos ellenálláson átfolyó áram és az általa létrehozott feszültségesés között φ 9 fáziseltérés van. b) A feszültség időfüggvénye a 9 -os fáziseltérés miatt: u cosωt, az 4, A 3,4 Ω, 44V u,44 cosωt V., behelyettesítve: c) ajzoljuk meg a feszültség és az áramerősség időfüggvényét! T, s ms f 5 Hz Készítette a entroszet Szakkézés-Szervezési Nonrofit Kft.

4 Elektrotechnikai alaismeretek A feladatban szerelő feszültség és áram φ 9 fáziseltérésű, a feszültség π -vel hamarabb éri el a maximális és a nulla értékeket, mint a körben folyó áram.. feladat: Egy tisztán kaacitív jellegű áramkörben a nf kaacitású kondenzátoron,5 V szinuszosan váltakozó feszültségesés jön létre. Az áramkört táláló generátor frekvenciája khz. a) Számítsuk ki az áramkörben folyó áram erősség csúcsértékét! b) Írjuk fel a feszültség-áramerősség időfüggvényét! c) ajzoljuk fel az áramerősség és a feszültség idő függvénye szerinti változását, és a vektoriális kéet! a) Írjuk fel a feszültség időfüggvényét: u sin ωt az,5 V,4 3, 53V, u 3,53 sin ωt V. Az áramkörben folyó áram erősségét a kondenzátor reaktanciája és a rajta eső feszültség értékéből tudjuk meghatározni. 3 A kaacitív reaktancia:, Ω. ω 4 8,8 Hz F Az áramkörben folyó áram csúcsértéke: 3,53V, A, ma., kω b) A kondenzátor reaktanciáján eső feszültség 9 -kal később éri el a maximális (és a nulla) értéket, mint a körben folyó áram. A kiindulási feltétel szerint a feszültség szinuszosan változik, a kör árama siet 9 -kal, ezért cosinus függvény szerint írjuk fel az időfüggvényét: i cosω t, cosωt ma. Készítette a entroszet Szakkézés-Szervezési Nonrofit Kft.

5 Elektrotechnikai alaismeretek c) ajzoljuk fel a feszültség és az áramerősség idő szerinti változását, valamint az áramkörre jellemző vektorábrát! A eriódusidő: T, ms µ s 4 f Hz 7. feladat: Számítsuk ki, mekkora a hatásos teljesítménye az,5 H és Ω elemekből álló soros körnek, ha f Hz frekvenciájú és 4 V feszültségű generátorra kacsoljuk!,5 H Ω f Hz 4 V P? πf π,5 8, 3 Ω Z ,3 59, 4 Ω cos ϕ (soros imedancia vektorábra; link.8.) Z cos ϕ,33 4, 34 A Z 59,4 P cos ϕ 4,34,33, W 8. feladat: Számítsuk ki egy 45 VA látszólagos teljesítményű motornak a hatásos és meddő áramát! A motort 4 V feszültségű és 5 Hz frekvenciájú hálózatról működtetjük, a teljesítménytényezője cosφ,. S 45 VA 4 V f 5 Hz cosφ, h? m? P cos ϕ P S cosϕ 45, S P 7 P h h, 43 A 4 7W Készítette a entroszet Szakkézés-Szervezési Nonrofit Kft.

6 Elektrotechnikai alaismeretek A fogyasztó áram vektorábrája (link.7 fejezet, TK.. ábra) cosϕ, ϕ 53, 3 m tgϕ m h tgϕ,43,34 8, A h 9. feladat: Számítsuk ki, mekkora annak a berendezésnek a hatásos teljesítménye, amely a 3 V-os hálózatból A áramot vesz fel! A berendezés hatásfoka η 85 %, a teljesítménytényezője cosφ,. 3 V A η 85 % cosφ, P? S 3 7VA P fel S cos ϕ 7, 5W (a hálózatból felvett teljesítmény) P P η 47, W (a berendezés által leadott teljesítmény) le fel. feladat: Egy egyfázisú motor A áramot vesz fel a 3 V-os hálózatból. Számítsuk ki a teljesítménytényezőjét, ha 8%-os hatásfok mellett 4 W hatásos teljesítményt fejt ki! A 3 V η 8 % P le 4 W cosφ? S 3 4VA Ple 4 Pfel 33W η,8 P fel 33W cos ϕ,7 S 4VA. feladat: Számítsuk ki, mekkora kaacitású kondenzátorral tudjuk komenzálni a 3 V, 5 Hz-es hálózatról működő, A áramfelvételű induktív fogyasztó fázistolását, ha a berendezés teljesítménytényezője cosφ,84! 3 V f 5 Hz A cosφ,84 Készítette a entroszet Szakkézés-Szervezési Nonrofit Kft.

7 Elektrotechnikai alaismeretek? A fogyasztó áram vektorábra (link ugyanaz mint a /4-ben) cosϕ, ϕ 3, 8 m sin ϕ m sinϕ,54 3,55 A Olyan értékű kondenzátort kell alkalmazni, amelyen ugyanakkora áram folyik keresztül, mint a tekercs gerjesztő árama ( m ). 3 7, Ω m 3,55,45 45 F πf πf π 5 7, µ. feladat: Egy soros kacsolás 54 Ω-os ellenállásból és 95 mh induktivitású tekercsből áll. Mekkora az áramkörben folyó áram effektív értéke, és mekkora az ellenálláson ill. az induktivitáson eső feszültség, ha a soros - kacsolásra, V amlitúdójú, khz frekvenciájú feszültséget kacsolunk? Számítsuk ki a feszültség és az áram közötti fáziseltérést! 54 Ω 95 mh, V f khz?;?;?; φ? 3 πf π 95 59,9 Ω Z ,9 84, 9 Ω 5V 5 8, ma Z 84,9 7,87 54, V,87 59,9, V 59,9 tgϕ,53 ϕ 47, feladat: Számítsuk ki, mekkora ohmos ellenállás kell bekötnünk az μh induktivitású soros körbe, hogy az áramkör határfrekvenciája 3 khz legyen! Készítette a entroszet Szakkézés-Szervezési Nonrofit Kft.

8 Elektrotechnikai alaismeretek μh F h 3 khz? f π π h f h π 3 3 8,84 Ω 4. feladat: Kacsoljunk árhuzamosan egy mh induktivitású tekercset és egy 3 Ω értékű ellenállást. Az áramkört táláló generátor frekvenciája Hz és 5 V feszültség esik a árhuzamosan kacsolt - áramkörön. Számítsuk ki az ágáramokat és az eredő áramerősséget! Határozzuk meg a feszültség áram fázisszögét! mh 3 Ω f Hz 5V?;?;? φ? πf π, 75, 3 5, 7 A 3 5, A 75,3 +,7 +,, 8 A 3 tg ϕ 3,98 ϕ 75, 8 75,3 Ω 5. feladat: Írjuk fel a árhuzamos -tagra kacsolt szinuszos feszültség időfüggvényét, ha a tekercsen átfolyó áram időfüggvénye: i 85 sin(34,t 3 ) ma, a tekercs induktivitása 4 mh! Mekkora az -tagon átfolyó eredő áram csúcsértéke, ha az ellenállás 7 Ω-os? Ellenőrizzük számításainkat áramköri szimulációval! Készítette a entroszet Szakkézés-Szervezési Nonrofit Kft.

9 Elektrotechnikai alaismeretek u, sin(34,t + ) V ; 74, Ω ecs 8, ma, mivel i sin( ω t + ϕ ) 85 sin(34,t 3 ) cs cs 85 ma ω 34, s i cs cs 34, 4 85, ϕ u ϕ i u cs sin( ω t + ϕu ), sin(34,t + ) V u, sin(34,t + ) V A feszültség 9 -kal siet az induktivitás áramához kéest. cs, ics ma 7 iecs cs + cs , ma V. feladat: Egy nagy vasmagos tekercsen, 5 hertzes hálózatban: 8 V, A, P 8 W. Mekkora a tekercs induktivitása és veszteségi ellenállása? S 8 VA; Z 4 Ω P 8 cos ϕ,5; ϕ 87, ; sinϕ,998; S Z sinϕ sinϕ 4,998 4 Ω ; r v Z cosϕ 4,5 Ω ; 4,7 H. ω π 5 Más úton: P 8 P Pv rv ; rv Ω ; 4 Z + rv ; rv Ω Készítette a entroszet Szakkézés-Szervezési Nonrofit Kft.

10 Elektrotechnikai alaismeretek 7. feladat: Az ábrán látható áramkört V, 4 Hz frekvenciájú feszültséggel táláljuk. Számítsuk ki, mekkora: az áramkör eredő imedanciája, az ohmos és kaacitív tagon eső feszültség, az eredő feszültség, az áramkör fázisszöge! ajzoljuk meg: az eredő feszültség és az áramerősség időfüggvényét, a feszültség áramerősség vektorábrát Az áramkör eredő imedanciája: Z + Határozzuk meg a kaacitív reaktanciát! 398 Ω. ω 7 5 π f,8 4 5, Számítsuk ki az eredő imedanciát! 3 Z + ( ) + (398), Ω A részfeszültségek kiszámításához ismerni kell a körben folyó áramot: V,9 3 A, 9 ma. Z 4454 Ω 3 Az ohmos tagon eső feszültség:,9 A Ω 5, 38V A kaacitív tagon eső feszültség: 3,9 A 3,98 Ω, 7 V. Az eredő feszültség: e + 5,38 +,7 8,9 + 4,5, 97 V. Az eredő feszültség tulajdonkéen a generátor feszültsége. A,3 V eltérés a számolási elhanyagolások következménye. A fázisszög az áramkör feszültség és áramerősség forgásvektorainak egymáshoz viszonyított helyzetét adja meg. ajzoljuk meg a vektorábrákat, számítsuk ki az áramkör fázisszögét! Készítette a entroszet Szakkézés-Szervezési Nonrofit Kft.

11 Elektrotechnikai alaismeretek A fázisszög: tg ω ϕ, ω behelyettesítve: tg ϕ, 99, 3 7,8 4 5,4 ebből ϕ arc tg,99 3, 3. dőfüggvények: 8. feladat: Számítsuk ki, mekkora az ábrán látható négyólus határfrekvenciája és az ezen a frekvencián mérhető kimeneti feszültsége! Számítsuk ki, mekkora frekvencián lesz az áramkör kimeneti feszültsége árhuzamosan kötünk egy 5 nf kaacitású kondenzátort! Adatok: be V Ω nf be, ha a kimenetével Készítette a entroszet Szakkézés-Szervezési Nonrofit Kft.

12 Elektrotechnikai alaismeretek f h 54 Hz 7 π π ki be + Mivel határfrekvencián ki be be 7, 7 V Ha a nf kondenzátorral árhuzamosan kacsolunk még egy 5 nf-os kondenzátort, az eredő kaacitásuk 5 nf lesz. ( e ) f Hz h π π e 9. feladat: Egy 85 Ω-os ellenállással 5 nf kaacitású kondenzátor van árhuzamosan kötve. A kondenzátoron 5 khz frekvenciájú, 54 ma effektív értékű áram folyik. Mekkora az ellenálláson folyó áram? Mekkora a két áram közötti fáziskülönbség és az eredő imedancia? Ellenőrizzük az áramkörben folyó eredő áramot a feszültség és imedancia, valamint az áramháromszög felhasználásával! 85 Ω 5 nf f 5 khz 54 ma?; Z?; φ? 3, 9 9 πf π 5 5 Z 85 3,9 5Ω 34,4, 4 A 54 3,9 34, 4V tg ϕ ϕ 53, 3,9 Ω. feladat: Egy kondenzátor kaacitása,7 μf. A vele árhuzamosan kacsolt fogyasztó ellenállása 57 Ω. Mekkora áram folyik az áramkör két ágában, ha a kétólus kacsain 4 V amlitúdójú, khz frekvenciájú szinuszos feszültség mérhető? Mekkora az eredő áram és mekkora a fázisszöge?,7 μf 57 Ω 4 V f khz?;?;?; φ? 7 V Készítette a entroszet Szakkézés-Szervezési Nonrofit Kft.

13 Elektrotechnikai alaismeretek 3, 8 Ω 3 πf π,7 7, A 3 3,8 7, A ,3 +,3, 7 A 57 tg ϕ ϕ 7, 4 3,8. feladat: Egy kondenzátor veszteségi ellenállás 3,7 Ω, kaacitása 3 μf. Mekkora frekvencián mértünk -as jósági tényezőt? Mekkora a kondenzátor eredő imedanciája, fázisszöge és veszteségi tényezője ezen a frekvencián? f 39 Hz; Z Ω; ϕ 89 ; tgδ,, mivel Q ; rv Q r v ; π f f 39 Hz; π Q rv π 3 3,7,97 Ω ω π f π 39 3 ; Z + 3,7 +,3 Ω ; ϕ arctg arctg 89 ; rv 3,7 tgδ,. tgϕ Q Készítette a entroszet Szakkézés-Szervezési Nonrofit Kft.

14 Elektrotechnikai alaismeretek. feladat: Adatok be 5 V f khz, kω 8 Ω kω Feladatok a) Határozza meg a generátort terhelő imedanciát és áramot (Z, )! b) Határozza meg a reaktaniák és az ohmos ellenállás feszültségét (,, )! c) Készítsen vektorábrát! Az ábrának minden feszültséget és áramot tartalmaznia kell! d) Határozza meg a bemeneti ( be ) és a kimeneti ( ki ) feszültség közötti fázisszöget (φ)! e) Határozza meg a kaacitás és az induktivitás értékét (, )! a) Z + ( ) (,8 kω) + (, kω kω) kω Z be 5V 5 ma kω b) 5 ma, kω 8V 5 ma kω V 5 5 ma,8 kω 4V c) d) ki 4V cosϕ,8 ϕ 3, 9 be 5V e) 9,95 nf 4 3 π f π Hz, Ω 3 Ω f) 5,9 mh 4 π f π Hz Készítette a entroszet Szakkézés-Szervezési Nonrofit Kft.

15 Elektrotechnikai alaismeretek 3. feladat: Adatok: mh nf 5 Ω 4 V f 8 Hz Feladatok: a) Határozza meg az kör imedanciáját (Z) és áramfelvételét ()! b) Határozza meg, és értékét a megadott frekvencián! c) Készítsen vektorábrát! A vektorábrának tartalmaznia kell,, és értékét. d) Határozza meg a táfeszültség () és a tááram () közötti fázisszög (φ) abszolút értékét! a) π f π 8 Hz, H, kω, Ω f Hz k 8, F 7 π π Z ( ) + (, kω, kω) + (,5 kω), 8 kω 4V 4, ma Z,8 kω b) 4,88 ma, kω 4, 93V 4,88 ma, kω 8, V 4,88 ma,5 kω, 44V c) 8, V 4,93V d) tgϕ,3 ϕ 5, 4,44V 4. feladat: Egy rezgőkör adatai: Q f Hz nf a) Mekkora a kacsolás tekercsének önindukciós tényezője? b) Mekkora soros kacsolás esetében a veszteségi ellenállás? c) Mekkora a kacsolás sávszélessége? (a két határfrekvencia különbsége) d) Ha a soros kacsolásra V-os, rezonancia frekvenciájú feszültséget kacsolunk, mekkora feszültséget mérhetünk a kondenzátoron? Készítette a entroszet Szakkézés-Szervezési Nonrofit Kft.

16 Elektrotechnikai alaismeretek a) f, mh π b) Q rs 7, 93 Ω r s f c) B Hz Q g d),5 A e e 99,4V r s ( e Q g V ) 5. feladat: Adatok: mh Q nf tgδ c g 5V Feladatok: a) Határozza meg a rezgőkör rezonancia frekvenciáját (f )! b) Határozza meg a rezgőkör eredő árhuzamos veszteségi ellenállását ( )! c) Határozza meg a rezgőkör sávszélességét (B)! d) Határozza meg az értékét, hogy a kacsoló zárásával dulájára növekedjen a sávszélesség ( B B)! e) Határozza meg a rezonanciafrekvencián a generátort terhelő áramot a kacsoló nyitott állaotában () és a kacsoló zárt állaotában ( )! a) f, khz π π mh nf b) Q Q Q ω, khz mh 4 kω ω f, khz c) B 5, 3 Hz Q d) B B 5,3 Hz, Hz Q Q f, khz, Hz B π mh 7 kω ω Készítette a entroszet Szakkézés-Szervezési Nonrofit Kft.

17 Elektrotechnikai alaismeretek 7 kω 4 kω 4 kω + 4 kω 7 kω g 5V e) 35, µ A 4 kω. feladat: Adatok f MHz 5 μh 8 kω 4 mv g 5V 7,4 µ A 7 kω Feladatok: a) Határozza meg a rezgőköri kondenzátor kaacitását ()! b) Határozza meg a rezgőkör jósági tényezőjét (Q) és sávszélességét (B)! c) Határozza meg,, és értékét rezonanciafrekvencián! d) Mekkora külső ellenállást ( ) kell a fenti rezgőkörrel árhuzamosan kacsolni, hogy a sávszélesssége khz-re növekedjen? a) f π 8, 9 F 4 4 π f 4 π ( Hz ),5 H 4 b) π f π Hz,5 H 94,5 Ω 8 kω f khz Q 84,9 B, 8 khz,945 kω Q 84,9 4 mv c) 5 µ A 5 µ A 8 kω 4 mv 44,4 A,945 kω µ 44,4 µ A f khz d) Q ' 5 ' Q' 5,945 kω 47, kω B' khz ' 8 kω 47, kω + 4,5 kω ' ' 8 kω 47, kω Készítette a entroszet Szakkézés-Szervezési Nonrofit Kft.