A soros RC-kör. t, szög [rad] feszültség áramerősség. 2. ábra a soros RC-kör kapcsolási rajza. a) b) 3. ábra

Átírás

1 A soros RC-kör Az átmeneti jelenségek vizsgálatakor soros RC-körben egyértelművé vált, hogy a kondenzátoron a késik az áramhoz képest. Váltakozóáramú körökben ez a késés, pontosan 90 fok. Ezt figyelhetjük meg az 1. ábrán. A valós terhelésen a és az azonos fázisú. Lényegében viszonyítás kérdése, de lássuk meg, hogy a valós terhelésen (ellenálláson) eső hez képest a kondenzátoron 90 o -ot késik a (1. ábra). π/4 π/ 3π/4 π 5π/4 3π/ 7π/4 π π/4 π/ 3π/4 π 5π/4 3π/ 7π/4 π R 1. ábra Feszültség és áramviszonyok az ellenálláson, illetve a kondenzátoron C. ábra a soros RC-kör kapcsolási rajza Tekintettel arra, hogy soros körről van szó, megállapítható, hogy közös az áram. Noha a soros egyenáramú köröknél megtanultuk, hogy Kirchhoff. törvénye (huroktörvény) szerint a részek összege egyenlő a forrás ével, itt ez nem járható számítási mód, a valós ellenálláson és a reaktancián eső ek által bezárt szög miatt. Tehát a Pitagorasz-tétel alkalmazása válik szükségessé. A 3. ábrán követhetjük nyomon a soros RC-kör viszonyait. A kapacitás és a valós ellenállás ének vektoriális összege adja soros RC-kört tápláló forrás ét (komplex ). Mint említettük, a Pitagorasz-tétel alkalmazása eme helyen kap aktualitást. Egy egyszerű eltolással a ( ) a. b) ábra szerinti háromszöget kapva a művelet egyértelműen elvégezhető: = +. a) b) 3. ábra AZ ELEKTROTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor 1/9

2 A -fázorábra elkészítése Soros kapcsolásról beszélünk, vagyis közös az áram. Rajzoljuk fel vízszintesen a kör egyetlen közös mennyiségének az áramnak a fázorát (). Jelöljük a fázor forgásirányát! Az ellenálláson a mindig azonos fázisú, ennek megfelelően rajzoljuk fel a fázort ( )! A kondenzátoron a ( ) pontosan 90 o -ot késik az áramhoz képest. Ennek megfelelően vegyük fel a fázorát! Vektoriálisan összegezzük a kondenzátor és az ellenállás -fázorát, mely által megkapjuk a soros RC-kört tápláló generátor -fázorát! A () szög a kör áramának és a forrás ének fázora között értelmezett. Jelöljük be a () - szöget! 4. ábra A 4. ábra szerinti elrendezésben a következőkre lehetünk figyelmesek: A forrás e a két -komponens vektoriális összege; A () szög a forrás e és a hálózat által igényelt fázora között értelmezett; Az ellenálláson eső és a rajta átfolyó mindig azonos fázisú, így a fázoraik azonos irányúak. Mindebből az következik, hogy a () szög a forrás, valamint az ellenállás ének fázora között is értelmezhető; Ha az impedancia kapacitív jellegű, akkor a forrás éhez képest az áram siet! A. b) ábra szerinti eltolással kapott ábrában egy háromszöget kaptunk. A háromszög két befogója az és az komponens, az átfogó pedig az forrás. Trigonometriai ismereteinket felelevenítve (4. ábra) belátható, hogy az fázor az fázor koszinuszos vetülete: = cos, az fázor pedig a szinuszos vetülete: = sin. = cos = sin 5. ábra AZ ELEKTROTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor /9

3 Az impedancia-fázorábra elkészítése Ohm törvénye alapján tudjuk, hogy az ellenállás úgy számítható ki, hogy a kétpóluson eső et elosztjuk a rajta átfolyó gel. Ez igaz valós ellenállás esetén. Hasonlóan számítható a kapacitás látszólagos ellenállása is, vagyis a reaktanciája. smételjünk néhány vonatkozó fogalmat! ellenállás: az impedancia valós része: R= ; a kondenzátor kapacitív látszólagos ellenállása: kapacitív reaktancia, kapacitancia, az impedancia kapacitív képzetes része: X C = 1 C = ; impedancia: komplex ellenállás, amely valós ellenállásból és látszólagos ellenállásból tevődik össze. Mivel az impedancia képzetes és valós része nem azonos fázisú ( 90 o -os szöget zárnak be), ezért az impedancia kiszámítása a Pitagorasz-tétel segítségével lehetséges: Z = R + X C = Tanulmányaink folyamán láttuk, hogy mind a kapacitív, reaktancia frekvenciafüggő. Kapacitív reaktancia: X C = 1 C = 1 π f C, valamint frekvenciafüggése: X C 1 f. hanő,akkor az 1 C,vagyis X C csökken Amennyiben tehát egy adott soros RC-kapcsolás esetén változtatjuk a frekvenciát (f, ), úgy a kapacitív reaktancia értéke is változik, akkor is ha a forrás ét ( ) nem változtattuk. Ha a kapacitív reaktancia (X C ) értéke változik, s vele együtt az impedancia (Z ) értéke, az impedancia és a valós ellenállás által bezárt szög (), valamint a köráram () is változik. Ha csökkentjük a frekvenciát, akkor a kapacitív reaktancia megnő, vele együtt a () szög és az impedancia is, az áram viszont csökken. Ha növeljük a frekvenciát, megfordul a helyzet: a kapacitív reaktancia értéke csökken, vele együtt a () szög és az impedancia is, miközben a köráram megnő. Amennyiben a fázorábra valamennyi komponensét elosztjuk a soros RC-kör egyetlen közös mennyiségével (vagyis az árammal), akkor az impedancia komponenseket kapjuk eredményül. Lássuk meg, hogy az eredményül kapott impedancia-fázorábra a -fázorábrával arányos. Az impedancia koszinuszos vetülete az ellenállás, a szinuszos vetülete pedig a kapacitív reaktancia. R= ; X C = ; Z =. = + => / => Z = R + X C R= Z cos és X C = Z sin A fázorábra komponenseit osszuk el az egyetlen közös mennyiséggel, vagyis az árammal / X C = =Z sin R= =Z cos Z = 6. ábra Az impedancia-fázorábra származtatása AZ ELEKTROTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor 3/9

4 Foglaljuk táblázatba az eddig ismert adatokat! Forrás (komplex fesz.): = + Az ellenálláson eső : = cos Fázistényező: cos= A valós (valamint áram) és a forrás által bezárt szög: =arccos A kondenzátoron eső : = sin mpedancia (komplex ellenállás): Z = R + X C Az ellenállás: R= Z cos Fázistényező: cos= R Z A valós ellenállás és az impedancia által bezárt szög: =arccos R Z A kapacitív reaktancia: X C = Z sin 1. táblázat A teljesítmény-fázorábra elkészítése Egyenáramú körök esetén megtanultuk, hogy egy valós terhelésen (ellenállás) hővé alakuló teljesítmény az ellenállás kapcsain mérhető, valamint a rajta átfolyó szorzataként számítható. Hővé alakuló teljesítmény (valós) jön létre az ellenálláson váltakozó áramú körben is, ám ilyenkor a pillanatnyi teljesítményt, csúcsteljesítményt, valamint effektív teljesítményt értelmezünk. Valós teljesítmény csak valós (ohmos, rezisztív) ellenálláson tud létrejönni, amely kétpóluson eső és a rajta átfolyó azonos fázisú. Egyenáramú teljesítmény: P= R Váltakozó áramú teljesítmény: Pillanatnyi teljesítmény: p=u R i R Csúcsteljesítmény: P^ =U^ ^ Effektív teljesítmény: P eff = P^ = U ^ ^ = U ^ ^ =U eff eff A kapacitív reaktancián átfolyó áramhoz képest a e pontosan 90 o -ot késik. A 7. ábrán látható, hogy ebben az esetben negyed periódusig azonos irányú az, negyed periódusig pedig ellentétes irányú. Ennek megfelelően negyed periódusig teljesítményt vesz fel a hálózatból, mely teljesítményt a következő negyed periódusban leadja. Lényegében teljes periódusra vonatkoztatva elmondható, hogy a kapacitív reaktancia teljesítménye nulla, nincs hatásos teljesítmény ( P=0) T 1. negyed periódus: P=U =(+) (+)=(+) => felvesz. negyed periódus: P () =U =(+) (-)=(-) => lead 3. negyed periódus: P (3) =U =(+) (+)=(+) => felvesz 4. negyed periódus: P (4) =U =(+) (-)=(-) => lead π/4 π/ 3π/4 π 5π/4 3π/ 7π/4 π ahol: P (1) = P () ; P (3) = P (4) és P (1) =P (3) és P () =P (4) felvesz lead felvesz lead Mindebből következik, hogy: P=P 1 +P +P 3 +P 4 =0 látszólag: P=U valójában: P=0 7. ábra A kapacitív reaktancia teljesítménye (a kondenzátor teljesítménye váltakozóáramú körben) AZ ELEKTROTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor 4/9

5 A kondenzátoron (mint kapacitív reaktancián) eső és a rajta átfolyó áram szorzata tehát nem ad valós teljesítményt. Ez a teljesítmény az úgynevezett meddő teljesítmény: Q=U [var]. Amennyiben a -fázorábra valamennyi komponensét megszorozzuk a soros RC-kör egyetlen közös mennyiségével (vagyis az árammal), akkor a kör teljesítménykomponenseit kapjuk eredményül. Megfigyelhető, hogy az eredményül kapott teljesítmény-fázorábra a -fázorábrával arányos. A kapacitív reaktancia meddő teljesítményének, valamint az ellenállás valós teljesítményének vektoriális összege a hálózatból felvett komplex teljesítmény, vagyis a látszólagos teljesítmény. Mindezek tükrében az is belátható, hogy a komplex teljesítmény (látszólagos teljesítmény, S ) koszinuszos vetülete az ellenálláson létrejövő valós, vagyis a hatásos teljesítmény ( P), a szinuszos pedig a kapacitív reaktancia meddő teljesítménye. P= [ W] ; Q C = [var] ; S= [VA ]. = + => / => Z = R + X C P= S cos és Q C = S sin Összegezzünk minden eddig megismert adatot! R P Z S X C Q C a) Feszültség-fázorábra b) mpedancia-fázorábra c) Teljesítmény-fázorábra Forrás (komplex fesz.): = + Az ellenálláson eső : = cos Fázistényező: cos= A valós (valamint áram) és a forrás által bezárt szög: =arccos A kondenzátoron eső : = sin / 7. ábra A soros RC-kör fázorábrái mpedancia (komplex ellenállás): Z = R + X C x Az ellenállás: R= Z cos Fázistényező: cos= R Z A valós ellenállás és az impedancia által bezárt szög: =arccos R Z A kapacitív reaktancia (kapacitív látszólagos ellenállás, kapacitancia): X C = Z sin A látszólagos teljesítmény (komplex teljesítmény): S = P +Q C A valós teljesítmény: P= S cos Fázistényező: cos= P S A valós teljesítmény és a látszólagos teljesítmény által bezárt szög: =arccos P S A meddő teljesítmény: Q C = S sin. táblázat AZ ELEKTROTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor 5/9

6 Nézzünk egy számpéldát! Állítsunk össze egy soros RC-kört, a következő értékek és adatok mellett! R R=1k Ω ; C=1μ F ; =100V ; C f 1 =50 1 s =50 Hz ; f =100 1 =100 Hz s 8. ábra Készítsük el a -, az impedancia-, valamint a teljesítmény fázorábrát két különböző frekvenciájú forrás esetén! Eme feladat kidolgozása során képet kaphatunk arról, hogy állandó mellett, ámde különböző frekvenciákon hogyan változnak a ek, az ellenállások, a teljesítmények, s vele együtt a fázisszög. A kondenzátor kapacitív látszólagos ellenállása, 50 Hz esetén: X C 50 = 1 C = 1 π f C = 1 1 π 50 1 = s 1μ F π 50 1 = 106 V As 100π A = 104 π V A 636,6Ω=3183,01Ω 10 6 s V Az impedancia, 50 Hz esetén: Z = R + X C = 1000Ω +3183,01Ω =3336,4Ω Az, 50 Hz esetén: 50 = Z = 100V 3336,4Ω =30mA A kondenzátoron eső, 50 Hz esetén: 50 =X C =3336,4Ω 30 ma=433,70 V =95,5V Az ellenálláson eső 50 Hz esetén: 50 =R 50 =1000Ω 30mA=30V A forrás ellenőrzése, 50 Hz esetén: = + = (95,5V ) +(30V ) =100V A kondenzátor meddő teljesítménye, 50 Hz esetén: Q C 50 = =95,5V 30mA=,865var Az ellenállás hatásos teljesítménye, 50 Hz esetén: P 50 =50 50 =30 V 30 ma=0,9 W A látszólagos teljesítmény, 50 Hz esetén: S 50 = P +Q C = 0,9W +,865var =3VA S 50 = 0 =100V 30mA=3VA A cos (a -fázorábrából), 50 Hz esetén: cos= = 30V 100V = R Z 50 = 1000Ω 3336,4Ω = P 50 S 50 = 0,9 W 3VA =0,3 A fázisszög (a -fázorábrából), 50 Hz esetén, : =arccos(0,3)=7,54 o AZ ELEKTROTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor 6/9

7 A kondenzátor kapacitív látszólagos ellenállása, 100 Hz esetén: X C 100 = 1 C = 1 π f C = 1 1 π = s 1μ F π As 10 6 s V = π Az impedancia, 100 Hz esetén: Z 100 = R +X C = 1000 Ω +1591,55Ω =1879,64Ω Az, 100 Hz esetén: 100 = Z = 100V 1879,64Ω =53,mA V A = 5000 π V A 636,6Ω=1591,55Ω A kondenzátoron eső, 100 Hz esetén: 100 =X C 100 =1591,55Ω 53,mA=433,70V =84,67V Az ellenálláson eső, 100 Hz esetén: =R =1000Ω 53,mA=53,V A forrás ellenőrzése, 100 Hz esetén: = + = (84,67 V ) +(53,V ) =100 V A kondenzátor meddő teljesítménye, 100 Hz esetén: Q C 100 = =84,67 V 53, ma=4,49 var Az ellenállás hatásos teljesítménye, 100 Hz esetén: P 100 = =53,V 53,mA=,83W A látszólagos teljesítmény, 100 Hz esetén: S 100 = P +Q C =,83W +4,49var =5,3VA S 100 = 0 =100V 53,mA=5,3VA A cos, 100 Hz esetén: cos= 100 = 53, V 100V = R Z 100 = 1000Ω 1879,64Ω = P 100 S 100 =,83W 5,3VA =0,53 A fázisszög (a -fázorábrából), 100 Hz esetén, : =arccos(0.3)=7,54 o 50 Hz esetén 100 Hz esetén Az ellenállás, R 1000 Ω 1000 Ω A reaktancia, X C 3183,01Ω 1591,55Ω Az impedancia, Z 3336,04 Ω 1879,64 Ω Az ellenállás e, 30V 53,V A kondenzátor e, 95,5V 84,67V A forrás e, 100V 100V Az, 30 ma 53, ma A hatásos teljesítmény, P 0,9 W,83 W A meddő teljesítmény, X C,865var 4,49 var A látszólagos teljesítmény, S 3 VA 5,3VA A fázisszög, 7,54 o 57,86 o 3. táblázat AZ ELEKTROTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor 7/9

8 / x a) -fázorábra b) impedancia-fázorábra c) teljesítmény-fázorábra 9. ábra Arányos fázorábrák 50 Hz-es frekvenciájú forrás esetén R P Z S X C Q C / x a) -fázorábra b) impedancia-fázorábra c) teljesítmény-fázorábra 10. ábra Arányos fázorábrák 100 Hz-es frekvenciájú forrás esetén AZ ELEKTROTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor 8/9

9 LEAD FELVESZ LEAD FELVESZ 11. ábra A feladatban szereplő soros RC-kör áram- és viszonya, 50 Hz esetén LEAD FELVESZ LEAD FELVESZ 1. ábra A feladatban szereplő soros RC-kör áram- és viszonya, 100 Hz esetén AZ ELEKTROTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor 9/9