A soros RL-kör. t, szög [rad] áram feszültség. 1. ábra Feszültség és áramviszonyok az ellenálláson, illetve a tekercsen

Átírás

1 A soros L-kör Mint ismeretes, a tekercsen az áram 90 fokot késik a hez képest, ahogyan az az 1. ábrán látható. A valós terhelésen a és az áramerősség azonos fázisú. Lényegében viszonyítás kérdése, de lássuk meg, hogy a valós terhelésen (ellenálláson) eső hez képest a tekercsen 90 o -ot siet a. π/4 π/ 3π/4 π 5π/4 3π/ 7π/4 π π/4 π/ 3π/4 π 5π/4 3π/ 7π/4 π áram áram 1. ábra Feszültség és áramviszonyok az ellenálláson, illetve a tekercsen U C. ábra a soros C-kör kapcsolási rajza Tekintettel arra, hogy soros körről van szó, megállapítható, hogy közös az áram. Noha a soros egyenáramú köröknél megtanultuk, hogy Kirchhoff. törvénye (huroktörvény) szerint a részek összege egyenlő a forrás ével, itt ez nem járható számítási mód, a valós ellenálláson és a reaktancián eső ek által bezárt szög miatt. Tehát a Pitagorasz-tétel alkalmazása válik szükségessé. A 3. ábrán követhetjük nyomon a soros L-kör viszonyait. A kapacitás és a valós ellenállás ének vektoriális összege adja a soros C-kört tápláló forrás ét (komplex ). Mint említettük, a Pitagorasz-tétel alkalmazása eme helyen kap aktualitást. Egy egyszerű eltolással a ( ) a 3. b) ábra szerinti háromszöget kapva a művelet egyértelműen elvégezhető: = +. a) b) 3. ábra AZ ELEKTOTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor 1/11

2 A -fázorábra elkészítése Soros kapcsolásról beszélünk, vagyis közös az áram. ajzoljuk fel vízszintesen a kör egyetlen közös mennyiségének az áramnak a fázorát (). Jelöljük a fázor forgásirányát! Az ellenálláson a mindig azonos fázisú, ennek megfelelően rajzoljuk fel a fázort ( )! A tekercsen a ( ) pontosan 90 o -ot siet az áramhoz képest. Ennek megfelelően vegyük fel a fázorát! Vektoriálisan összegezzük a tekercs és az ellenállás -fázorát, mely által megkapjuk a soros L-kört tápláló generátor -fázorát ( )! A () szög a kör áramának és a forrás ének fázora között értelmezett. Jelöljük be a () - szöget! 4. ábra A 4. ábra szerinti elrendezésben a következőkre lehetünk figyelmesek: A forrás e a két -komponens vektoriális összege; A () szög a forrás e és a hálózat által igényelt áramerősség fázora között értelmezett; Az ellenálláson eső és a rajta átfolyó áramerősség mindig azonos fázisú, így a fázoraik azonos irányúak. Mindebből az következik, hogy a () szög a forrás, valamint az ellenállás ének fázora között is értelmezhető; Ha az impedancia induktív jellegű, akkor a forrás éhez képest az áram késik! A. b) ábra szerinti eltolással kapott ábrában egy háromszöget kaptunk. A háromszög két befogója az és az komponens, az átfogó pedig az forrás. Trigonometriai ismereteinket felelevenítve (4. ábra) belátható, hogy az fázor az fázor koszinuszos vetülete: = cos, az fázor pedig a szinuszos vetülete: = sin. = sin 5. ábra = cos AZ ELEKTOTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor /11

3 Az impedancia-fázorábra elkészítése Ohm törvénye alapján tudjuk, hogy az ellenállás úgy számítható ki, hogy a kétpóluson eső et elosztjuk a rajta átfolyó áramerősséggel. Ez igaz valós ellenállás esetén. Hasonlóan számítható a kapacitás látszólagos ellenállása is, vagyis a reaktanciája. smételjünk néhány vonatkozó fogalmat! ellenállás: az impedancia valós része: = ; a tekercs induktív látszólagos ellenállása: induktív reaktancia, induktancia, az impedancia induktív képzetes része: = L= ; impedancia: komplex ellenállás, amely valós ellenállásból és látszólagos ellenállásból tevődik össze. Mivel az impedancia képzetes és valós része nem azonos fázisú ( 90 o -os szöget zárnak be), ezért az impedancia kiszámítása a Pitagorasz-tétel segítségével lehetséges: Z = + = Tanulmányaink folyamán láttuk, hogy mind a induktív, reaktancia frekvenciafüggő. nduktív reaktancia: X C = L= π f L, valamint frekvenciafüggése: f. ha nő, akkor L, vagyis nő Amennyiben tehát egy adott soros L-kapcsolás esetén változtatjuk a frekvenciát (f, ), úgy az induktív reaktancia értéke is változik, akkor is, ha a forrás ét ( ) nem változtattuk. Ha az induktív reaktancia ( ) értéke változik, s vele együtt az impedancia (Z) értéke, az impedancia és a valós ellenállás által bezárt szög (), valamint a köráram () is változik. Ha csökkentjük a frekvenciát, akkor az induktív reaktancia csökken, vele együtt a () szög és az impedancia is, az áram viszont nő. Ha növeljük a frekvenciát, megfordul a helyzet: az induktív reaktancia értéke nő, vele együtt a () szög és az impedancia is, miközben a köráram csökken. Amennyiben a fázorábra valamennyi komponensét elosztjuk a soros C-kör egyetlen közös mennyiségével (vagyis az árammal), akkor az impedancia komponenseket kapjuk eredményül. Lássuk meg, hogy az eredményül kapott impedancia-fázorábra a -fázorábrával arányos. Az impedancia koszinuszos vetülete az ellenállás, a szinuszos vetülete pedig az induktív reaktancia. = ; = ; Z =. = + => / => Z = + A fázorábra komponenseit osszuk el az egyetlen közös mennyiséggel, vagyis az árammal / = Z cos és = Z sin Z= = =Z cos = U C =Z sin 6. ábra Az impedancia-fázorábra származtatása AZ ELEKTOTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor 3/11

4 A teljesítmény-fázorábra elkészítése Egyenáramú körök esetén megtanultuk, hogy egy valós terhelésen (ellenállás) hővé alakuló teljesítmény az ellenállás kapcsain mérhető, valamint a rajta átfolyó áramerősség szorzataként számítható. Hővé alakuló teljesítmény (valós) jön létre az ellenálláson váltakozó áramú körben is, ám ilyenkor a pillanatnyi teljesítményt, csúcsteljesítményt, valamint effektív teljesítményt értelmezünk. Valós teljesítmény csak valós (ohmos, rezisztív) ellenálláson tud létrejönni, amely kétpóluson eső és a rajta átfolyó áramerősség azonos fázisú. Egyenáramú teljesítmény: Váltakozó áramú teljesítmény: P= Pillanatnyi teljesítmény: p=u i Csúcsteljesítmény: ^P= Û ^ Effektív teljesítmény: P eff = ^P = Û ^ = Û ^ =U eff eff Az induktív reaktancia áramához képest a e pontosan 90 o -ot siet. A 7. ábrán látható, hogy ebben az esetben negyed periódusig azonos, negyed periódusig pedig ellentétes előjelű a és az áramerősség. Ennek megfelelően negyed periódusig teljesítményt vesz fel a hálózatból, mely teljesítményt a következő negyed periódusban leadja. Lényegében teljes periódusra vonatkoztatva elmondható, hogy az induktív reaktancia teljesítménye nulla, tehát nincs hatásos teljesítmény ( P=0). 1. negyed periódus: P (1) =U =(+) (+)=(+) => felvesz. negyed periódus: P () =U =(+) (-)=(-) => lead 3. negyed periódus: P (3) =U =(+) (+)=(+) => felvesz 4. negyed periódus: P (4) =U =(+) (-)=(-) => lead ahol: P (1) = P () és P (3) = P (4 ) ; P (1) =P (3) és P () =P (4). Mindebből következik, hogy: P=P 1 +P +P 3 + P 4 =0 Látszólag: P=U Valójában: P=0 T T lead felvesz lead felvesz felvesz felvesz -π/4 π/4 π/ 3π/4 π 5π/4 3π/ 7π/4 π -π/4 π/4 π/ 3π/4 π 5π/4 3π/ 7π/4 π áram áramerősség 7. ábra Az induktív reaktancia teljesítménye 8. ábra Az ellenállás teljesítménye Lássuk meg: a tekercsen (mint reaktancián) eső és a rajta átfolyó áram szorzata tehát nem ad valós teljesítményt (7. ábra)! Ez a teljesítmény az úgynevezett meddő teljesítmény: Q= [VAr]. Emellett jól megfigyelhető a 8. ábrán, hogy az ellenálláson bármely félperiódus esetén a teljesítményszorzat pozitív értékű, tehát a rezisztív (ohmos) terheléseken mindig valós, más néven hatásos (hővé, fénnyé, mozgási energiává alakuló) a teljesítmény: 1. félperiódus: P (1) =U =(+) (+)=(+) => felvesz;. félperiódus: P () =U =(-) (-)=(+) => felvesz. AZ ELEKTOTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor 4/11

5 Amennyiben a -fázorábra valamennyi komponensét megszorozzuk a soros L-kör egyetlen közös mennyiségével (vagyis az árammal), akkor a kör teljesítménykomponenseit kapjuk eredményül. Megfigyelhető, hogy az eredményül kapott teljesítmény-fázorábra a -fázorábrával arányos. Az induktív reaktancia meddő teljesítményének, valamint az ellenállás valós teljesítményének vektoriális összege a hálózatból felvett komplex teljesítmény, vagyis a látszólagos teljesítmény. Mindezek tükrében az is belátható, hogy a komplex teljesítmény (látszólagos teljesítmény, S ) koszinuszos vetülete az ellenálláson létrejövő valós, vagyis a hatásos teljesítmény (P), a szinuszos pedig az induktív reaktancia meddő teljesítménye. P= [ W] ; Q L = [VAr ] ; S= [VA ]. = + => => S = P +Q L P= S cos és Q L = S sin Összegezzünk minden eddig megismert adatot! P Z S U C X C Q C / x 9. ábra A soros L-kör fázorábrái (-, impedancia- és teljesítmény-) Forrás (komplex fesz.): = + Az ellenálláson eső : = cos Fázistényező: cos= mpedancia (komplex ellenállás): Z = + Az ellenállás: = Z cos Fázistényező: cos= Z A látszólagos teljesítmény (komplex teljesítmény): S = P +Q L A valós teljesítmény: P= S cos Fázistényező: cos= P S A valós (valamint áram) és a forrás által bezárt szög: =arccos A kondenzátoron eső : = sin A valós ellenállás és az impedancia által bezárt szög: =arccos Z Az induktív reaktancia (induktív látszólagos ellenállás, kapacitancia): = Z sin A valós teljesítmény és a látszólagos teljesítmény által bezárt szög: =arccos P S A meddő teljesítmény: Q L = S sin 1. táblázat AZ ELEKTOTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor 5/11

6 Nézzünk egy számpéldát! Állítsunk össze egy soros L-kört, a következő értékek és adatok mellett! =1k Ω ; L=10 H ; =100V ; f 1 =50 1 s =50 Hz ; f =5 1 =100 Hz s U C 10. ábra Készítsük el a -, az impedancia-, valamint a teljesítmény fázorábrát két különböző frekvenciájú forrás esetén! Eme feladat kidolgozása során képet kaphatunk arról, hogy állandó mellett, ámde különböző frekvenciákon hogyan változnak a ek, az ellenállások, a teljesítmények, s vele együtt a fázisszög. A tekercs induktív látszólagos ellenállása, 50 Hz esetén: 50 = L= π f L= π 50 1 s 10 H= π 50 1 Vs 10 =1000π Ω=3141,59Ω s A Az impedancia, 50 Hz esetén: Z 50 = + = 1000Ω +3141,59 Ω =396,9Ω Az áramerősség, 50 Hz esetén: 50 = Z = 100V =30,33 ma 396,9 Ω A tekercsen eső, 50 Hz esetén: 50 = 50 =3141,59 Ω 30,33mA=433,70V =95,9V Az ellenálláson eső 50 Hz esetén: 50 = 50 =1000Ω 30,33 ma=30,33v A forrás ellenőrzése, 50 Hz esetén: = +U C = (95,9V ) +(30,33V ) =100V A tekercs meddő teljesítménye, 50 Hz esetén: Q C50 =U C =95,9V 30,33 ma=,89var Az ellenállás hatásos teljesítménye, 50 Hz esetén: P 50 = =30,33V 30,33mA=0,9W A látszólagos teljesítmény, 50 Hz esetén: S 50 = P +Q C = 0,9W +,89 var =3,033VA A cos (a -fázorábrából), 50 Hz esetén: S 50 = 0 =100 V 30,33 ma=3,033va cos 50 = 50 = 30,33V 100V = Z 50 = 1000Ω 396,9 Ω = P 50 S 50 = 0,9W =0, ,033VA A fázisszög (a -fázorábrából), 50 Hz esetén, : 50 =arccos(0,3033)=7,345 o AZ ELEKTOTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor 6/11

7 A tekercs induktív látszólagos ellenállása, 5 Hz esetén: 5 = L= π f L= π 5 1 s 10 H= π 5 1 Vs 10 =500π Ω=1570,8 Ω s A Az impedancia, 5 Hz esetén: Z 5 = + = 1000Ω +1570,8 Ω =186,1Ω Az áramerősség, 5 Hz esetén: 5 = = 100V =53,7 ma Z 5 186,1Ω A kondenzátoron eső, 5 Hz esetén: 5 =5 5 =1570,8Ω 53,7 ma=433,70 V =84,35V Az ellenálláson eső, 5 Hz esetén: 5 = 5 =1000Ω 53,7mA=53,7V A forrás ellenőrzése, 5 Hz esetén: = 5 +5 = (84,35V ) +(53,7V ) =100V A kondenzátor meddő teljesítménye, 5 Hz esetén: Q L5 = 5 5 =84,35V 53,7 ma=4,5var Az ellenállás hatásos teljesítménye, 5 Hz esetén: P 5 = 5 5 =53,7 V 53,7 ma=,88w A látszólagos teljesítmény, 5 Hz esetén: S 5 = P 5 +Q L5 =,88W +4,5var =5,37VA S 5 = 5 =100V 53,7 ma=5,37 VA A cos, 5 Hz esetén: cos 5 = 5 = 53,7V 100V = Z 5 = 1000Ω 186,1Ω = P 100 S 100 =,88W 5,37VA =0,537 A fázisszög (a -fázorábrából), 5 Hz esetén, : 5 =arccos (0,537)=57,5 o 50 Hz esetén 5 Hz esetén Az ellenállás, 1000 Ω 1000 Ω A reaktancia, 3141,59Ω 1570,8Ω Az impedancia, Z 396,9Ω 186,1Ω Az ellenállás e, 30,33V 53,V A kondenzátor e, 95,9V 84,35V A forrás e, 100V 100V Az áramerősség, 30,33 ma 53,7 ma A hatásos teljesítmény, P 0,9W,88W A meddő teljesítmény, Q L,89VAr 4,5VAr A látszólagos teljesítmény, S 3,033 VA 5,37 VA A fázistényező, cos 0,3033 0,537 A fázisszög, 7,54 o 57,5 o. táblázat AZ ELEKTOTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor 7/11

8 x / Z Q L S P 11. ábra A fázorábrák 50 Hz-es frekvenciájú forrás esetén (-, impedancia- és teljesítmény-) x / Z Q L S P 1. ábra A fázorábrák 5 Hz-es frekvenciájú forrás esetén (-, impedancia- és teljesítmény-) A fázorábrákból megállapítható, hogy csökkenő frekvencia esetén a tekercs reaktanciája csökken, a hatásos teljesítményhez képest arányaiban csökken a meddő teljesítmény, valamint a szög is. A cos értéke nő, így az impedancia kevésbé induktív jellegű. f => => P és Q L és => a soros L-kör impedanciája kevésbé induktív AZ ELEKTOTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor 8/11

9 i Q L S u P áramerősség 13. ábra A feladatban szereplő soros L-kör áram- és viszonya, valamint a teljesítményfázorábrája 50 Hz esetén ( =100V, =30,33mA, =7,54 o ) i Q L S u 14. ábra A feladatban szereplő soros L-kör áram- és viszonya, valamint a teljesítményfázorábrája 5 Hz esetén ( =100V, =53,7 ma, =57,5 o ) A 11. és 1. ábra tanúsága szerint, amennyiben csökken a frekvencia, a csökkenő induktív reaktancia miatt a hatásos teljesítmény és a meddő teljesítmény aránya javul, a szög csökken, a cos értéke nő. Ennek eredménye az, hogy a soros L-kör, mint impedancia egyre kevésbé mutat induktív jelleget. A teljes periódusra vonatkoztatott hatásos (felvett) teljesítmény egyre nagyobb. áramerősség P 3. táblázat Tisztán induktív terhelés nduktív jellegű terhelés ( >0 ; >0) Tisztán ohmos terhelés ( =0 ;>0) Fázistényező, cos : 0 [0 ; 1] 1 Fázisszög, : 90 [0 ; 90] 0 Teljesítmény: S= P +Q L ; P=0 S= P +Q L ; Q L =0 S= P +Q S=Q L L S=P AZ ELEKTOTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor 9/11

10 Z [ohm] Z (=1kohm, L=10H) A soros L-kör impedanciáját a frekvencia-fázisszög, valamint frekvencia-impedancia karakterisztikájával is jellemezhetjük, melyekkel a fázisszög és az impedancia frekvenciafüggéséről kaphatunk képet. Ez fontos lehet az ilyen jellegű impedanciákból kialakított négypólusok viselkedésének vizsgálatakor is π/ fázistolás [rad] határfrekvencia alatt határfrekvencia felett ohmos dominancia induktív dominancia f [Hz] Létezik egy nevezetes frekvencia, melyet határfrekvenciának nevezünk (f h ). A határfrekvencián az induktív reaktancia nagysága megegyezik az ellenállás értékével: (f h ) => =. = Z= π/4 =45 o 16. ábra Fázorábra a határfrekvencián ábra A soros L-kör fázisszögének és impedanciájának frekvenciafüggése f [Hz] A reaktanciák egyezése esetén természetesen a komponensek einek, valamint a teljesítményeinek nagysága is megegyező: f h => = ; Q L =P. f h => = L= π f h L= f h = π L A fázisszög kiszámítására két mód van: 1. cos = Z = +X = L +( L) = +( π f L). sin = Z = + X = L π f L L +( L) = +( π f L) => =arccos ( Z ) => =arcsin ( Z ) AZ ELEKTOTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor 10/11

11 Végezetül tekintsük át, hogy a 15. ábra szerinti f - Z és f - karakterisztikák függvényeit miként tudjuk megalkotni. Frekvencia-impedancia karakterisztika Az impedancia frekvenciafüggősége: Z= + ebből Z= +( L) Z= +( π f L) Példánkban =1k Ω és L=1 H, így Z= (1000 Ω) +( π f 10 H) Az állandókat írjuk be mértékegység nélkül: Z= π f 10 A független változó a frekvencia, a függvényérték pedig az impedancia, így az ábrázolandó függvény: y= π x 1 Átírva hatványalakba: y=( π x ) A Graph függvényrajzoló program 1 segítségével könnyen ábrázolhatjuk a kapott függvényt: 1 y=( π x ) ebből a Graph megadás: y=(10^6+400*pi^*x^)^(1/) Frekvencia-fázisszög karakterisztika A fázisszög frekvenciafüggősége: cos = Z = + X = L +( L) = +( π f L) =arccos ( Z ) tehát =arccos +( π f L) Példánkban =1k Ω és L=1 H, így 1000Ω =arccos (1000Ω) +( π f 10 H) 10 3 Az állandókat írjuk be mértékegység nélkül: =arccos π f 10 A független változó a frekvencia, a függvényérték pedig a fázisszög, így az ábrázolandó függvény: y=arccos átírva hatványalakba: y= π x ( π x ) Az y=arccos ( π x ) 1 függvényből a Graph alak: y=acos(10^3/((10^6+400*pi^*x^)^(1/))) 1 Graph függvényrajzoló program: AZ ELEKTOTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor 11/11