4. Konzultáció: Periodikus jelek soros RC és RL tagokon, komplex ellenállás Részlet (nagyon béta)

Átírás

1 4. Konzultáció: Periodikus jelek soros és tagokon, komplex ellenállás észlet (nagyon béta) "Elektrós"-Zoli 203. november 3.

2

3 A jegyzetről Jelen jegyzet a negyedik konzultációm anyagának egy részletét tartalmazza. A jegyzetben található levezetések nem szükségesek az Elektronika és méréstechnika című tárgy teljesítéséhez, viszont a második féléves Differenciálegyenletek megoldása című tárgyhoz jól jöhetnek. Emellett a fizikában máshol is vannak hasonló egyenletek és levezetések, így érdemes átnézni őket. A jegyzet bárki szabadon letöltheti a honlapomról, viszont nem járulok hozzá, hogy a jegyzeteimet bárki más terjessze, továbbadja, vagy módosítsa! Frissített változatért látogasd meg a honlapomat (ami jelenleg az ls86.net névre hallgat), vagy küldj t: lightside86@gmail.com A jegyzet esetlegesen hibákat tartalmazhat, ha netán valaki találna ilyet, akkor kérem jelezze azt ben! Budapest 2

4 Tartalomjegyzék. Periodikus jelek soros és tagokon: 4.. Periodikus négyszögjel: Állandósult jelalak: Egyenáramú leválasztás: Szinuszos jel soros és tagokon Szinuszos áram: Szinuszos feszültség: Komplex ellenállások Az eddigi tapasztalatok összefoglalása A komplex ellenállások:

5 . Periodikus jelek soros és tagokon:.. Periodikus négyszögjel: Mi van, ha nem szimpla töltődés van, hanem valami változik?... Állandósult jelalak: Mi történik sok sok idő múlva?..2. Egyenáramú leválasztás: Mire jók a nagy kondenzátorok? 2. Szinuszos jel soros és tagokon Emlékeztetőül: Elem (t) = I(t) = (t) I(t) di(t) d(t) (t ) I(t ) d(t) d(t) 2.. Szinuszos áram: Mint ahogy korábban is láthattuk, soros é kapcsolás esetén az áram határozza meg a feszültségeket. egyen az áram: I(t) = Î sin(ω t) (2.) Soros : Vagyis: Soros : (t) = I(t) (t) = Î sin(ωt) = Û sin(ωt) (t) = I(t) (t) = (t) = (t) = di(t) I(t ) (2.2) Î sin(ωt ) = Î cos(ωt) (2.3) (t) = Î sin(ωt) = Û sin(ωt) d(î sin(ωt)) (t) = = Îω cos(ωt) (2.5) Most pedig vegyünk elő néhány trigonometriai azonosságot: sin(x + π/2) = sin(x) cos(π/2) + cos(x) sin(π/2) = sin(x)0 + cos(x) = cos(x) (2.6) sin(x π/2) = sin(x) cos(π/2) cos(x) sin(π/2) = sin(x)0 cos(x) = cos(x) (2.7) (2.4) Vagyis írhatjuk azt, hogy (t) = Î cos(ωt) = Î sin(ωt π/2) (2.8) (t) = ωî cos(ωt) = ω Î sin(ωt + π/2) (2.9) Ha ezekre ránézünk, akkor rádöbbenhetünk, hogy /, valamint ω ellenállás jellegű mennyiségek lehetnek, ugyanis a fázisban eltolt árammal vannak beszorozva. Összefoglalásul azt mondhatjuk, hogy soros és kapcsolásoknál szinuszos áramforrás esetén a kapacitás és induktivitás ellenállása és fázistolása: X := 90 -os fázistolás (2.0) X := ω +90 -os fázistolás (2.) A 90 -os fázistolásra azt is szokás mondani, hogy 90 -ot "késik" a feszültség az áramhoz képest, a +90 -osra pedig hogy "siet". 4

6 2.2. Szinuszos feszültség: Ha szinuszos feszültségforrásunk van, akkor kicsit más a helyzet. Induljunk ki a huroktörvényből: di(t) (t) + (t) = g (t) (2.2) di(t) + I(t) = sin(ωt) / : (2.3) di(t) + I(t) = sin(ωt) (2.4) + I(t) = sin(ωt) t := x I(t) := y(x) := a; := b (2.5) y (x) + a y(x) = b sin(ωx) (2.6) Ez természetesen egy inhomogén, lineáris, elsőrendű differenciálegyenlet, melynek teljes megoldása: y(x) = Y (x) + y 0 (x) (2.7) Ahol Y a homogén egyenlet általános megoldása, y 0 pedig az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása. A homogén rész: dy (x) + a Y = 0 Y (x) = adx e = e ax (2.8) dx Ahol integrációs konstans. Ez alapján az inhomogén egyenlet partikuláris megoldása: Visszahelyettesítve: y 0 (x) := (x)e ax = dy 0(x) dx = (x)e ax + ( a)(x)e ax (2.9) y 0(x) + ay 0 (x) = b sin(ωx) (2.20) (x)e ax a(x)e ax + a(x)e = b sin(ωx) (2.2) / (x) = b sin(x)e ax dx (2.22) (x) = b sin(ωx)e ax dx (2.23) Itt egy parciális integrálba jutunk : sin(ωx) }{{}}{{} e ax dx = ω cos(ωx) }{{} e ax f (x) g(x) }{{} ω cos(ωx) ae }{{} ax dx = g(x) }{{} ω cos(ωx)eax + a ω g (x) f(x) f(x) cos(ωx)e ax dx (2.27) Most ismét integrálunk egyet parciálisan: cos(ωx) }{{}}{{} e ax dx = ω sin(ωx) }{{} e ax f (x) g(x) }{{} ω sin(ωx) ae }{{} ax dx = g(x) }{{} ω sin(ωx)eax a ω g (x) f(x) f(x) sin(ωx)e ax dx (2.28) (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x) dx (2.24) f(x)g(x) = f (x)g(x)dx + f(x)g (x)dx (2.25) f (x)g(x)dx = f(x)g(x) f(x)g (x)dx (2.26) 5

7 Ha (2.27)-be behelyettesítjük (2.28)-t, akkor: sin(ωx)e ax dx = ω cos(ωx)eax + a ( ω ω sin(ωx)eax a ω = ω cos(ωx)eax + a ω 2 sin(ωx)eax a2 ω 2 ) sin(ωx)e ax dx = (2.29) sin(ωx)e ax dx (2.30) Ezt szépen átrendezzük: ) ( + a2 ω 2 ( ω 2 + a 2 ) ω 2 sin(ωx)e ax dx = ω cos(ωx)eax + a ω 2 sin(ωx)eax (2.3) sin(ωx)e ax dx = a ω 2 sin(ωx)eax ω cos(ωx)eax (2.32) ( ) [ ω sin(ωx)e ax 2 a dx = ω 2 + a 2 ω 2 sin(ωx)eax ] ω cos(ωx)eax (2.33) sin(ωx)e ax e ax dx = ω 2 [a sin(ωx) ω cos(ωx)] (2.34) + a2 Tehát Így a teljes megoldás: e ax (x) = b ω 2 [a sin(ωx) ω cos(ωx)] (2.35) + a2 y(x) = Y (x) + y 0 (x) = e ax e ax + b ω 2 + a 2 [a sin(ωx) ω cos(ωx)] e ax = (2.36) = e ax b + ω 2 [a sin(ωx) ω cos(ωx)] (2.37) + a2 És most térjünk vissza az eredeti mennyiségekre: I(t) = e t + ( ) 2 + ω 2 [ ] sin(ωt) ω cos(ωt) (2.38) Az egyetlen ismeretlen integrációs konstans a. A tag, amiben szerepel, egy időben exponenciálisan lecsengő tag ( := τ, szokásos jelölés) tehát ez nyílván azt jelenti, hogy van egy kezdeti mennyiség, ami idővel "elhal", lecseng a veszteségek miatt (). ogikus következtetés, hogy a kezdeti áram, I 0. Az időállandónak megfeleltethető egy frekvencia, ezt jelöljük ω h -val (ω h := /τ). Tehát: I(t) = I 0 e t τ + ωh 2 + [ω ω2 h sin(ωt) ω cos(ωt)] (2.39) Itt ismét érdemes a cos-t átírni sin-á, mert akkor szuperponálhatjuk a sin-al 2. I(t) = I 0 e t τ + És akkor a jelölések: Így: A = ω 2 h + ω2 [ω h sin(ωt) ω cos(ωt)] = I 0 e t τ + ω 2 h + ω2 [ω h sin(ωt) + ω sin(ωt π/2)] (2.42) A = ω h A 2 = ω ϕ = 0 ϕ 2 = π/2 (2.43) A 2 + A A A 2 cos(ϕ 2 ϕ ) = ω 2 h + ω 2 + ω h ω cos(π/2 0) = ω h2 + ω }{{} 2 (2.44) =0 2 Szinuszos rezgések szuperponálása (Bronstejn 8. kiadás ezgések szuperpozíciója, vagy összetétele, 84. oldal) A sin(ωt + ϕ ) + A 2 sin(ωt + ϕ 2 ) = A sin(ωt + ϕ) (2.40) ahol A = A 2 + A A A 2 cos(ϕ 2 ϕ ) tan(ϕ) = A sin(ϕ ) + A 2 sin(ϕ 2 ) A cos(ϕ ) + A 2 cos(ϕ 2 ) (2.4) 6

8 Vagyis =0 = {}}{{}}{ tan(ϕ) = A sin(ϕ ) + A 2 sin(ϕ 2 ) A cos(ϕ ) + A 2 cos(ϕ 2 ) = ω h sin(0) +ω sin( π/2) = ω (2.45) ω h cos(0) +ω cos( π/2) ω h }{{}}{{} = =0 ) ( ϕ = arctan ( ωωh = arctan Tehát a pusztán sin-al leírt áram: I(t) = I 0 e t τ + = I 0 e t τ + = I 0 e t τ + = I 0 e t τ + = I 0 e t τ + ω ) = arctan ( ) ( ) ω X = arctan (2.46) [ ωh2 + ω 2 ω ωh 2 + sin ωt arctan = (2.47) ω2 ω ωh2 + ω sin arctan = (2.48) 2 [ ω ( ) sin ωt arctan = (2.49) 2 + ω 2 2 +ω [ sin ωt arctan 2 + ω 2 2 sin arctan I(t) = I 0 e t τ ω 2 2 sin arctan ω = (2.50) ω ω Az áram ismeretében az ellenálláson és induktivitáson eső feszültség már könnyen számítható: (t) = I(t) = I 0 e t ω τ ω 2 sin arctan 2 = 0 e t ω τ ω 2 sin arctan 2 (t) = 0 e t τ X sin X arctan Az induktivitásé: (t) = di(t) d ( ) = I 0 e t τ ( [ d + sin ωt arctan 2 + ω 2 2 ω = I 0 τ e t τ + ω 2 + ω 2 2 cos arctan = I 0 [ e t X τ X sin ωt + π ( 2 arctan X = 0 e t τ + X 2 + X 2 sin + arctan ( X )] )] ) ω (2.5) (2.52) (2.53) (2.54) (2.55) (2.56) (2.57) (2.58) (2.59) Felhasználtuk, hogy tan(ϕ) = cot(ϕ ) = cot(π/2 ϕ), valamint hogy tan(ϕ) = / cot(ϕ), így tan(ϕ) = / tan(π/2 ϕ) (t) = 0 e t τ X sin + arctan (2.60) X És most nézzük a soros -t, de csak röviden. Ekkor a huroktörvény: (t) + (t) = g (t) (2.6) I(t) + I(t ) / d = sin(ωt) (2.62) di(t) + I(t) = ω cos(ωt) / (2.63) di(t) + ω I(t) = cos(ωt) T (2.64) 7

9 Ha ezt végigszámolnánk, akkor azt kapnánk eredményül, hogy: I(t) = I 0 e t τ X sin X + arctan (t) = 0 e t τ X sin X + arctan (t) = 0 e t X τ X sin arctan X (2.65) (2.66) (2.67) 3. Komplex ellenállások 3.. Az eddigi tapasztalatok összefoglalása Az eddigi tapasztalatok soros kapcsolásoknál: Áramgenerátor esetén a kondenzátorok feszültsége 90 -os késésben van az áramhoz képest (ami mellékesen egybeesik az ellenállás fázisával, mivel az ellenállás feszültsége "leköveti" az áramot. A kondenzátorok ellenállása alacsony frekvenciákon nagy, magas frekvenciákon kicsi. Feszültséggenerátor esetén a kondenzátorokon eső szinuszos feszültség alacsony frekvenciánál közel egybeesik a bemenő jel fázisával, magas frekvenciákon közel 90 -os eltolást szenved. Az ellenállás és a kondenzátor feszültsége közt mindíg van egy 90 -os fáziskülönbség. Hasonlóképpen a tapasztalataink soros kapcsolások esetén: Áramgenerátor esetén a tekercsek feszültsége 90 -ot siet az áramhoz képest. A tekercsek ellenállása alacsony frekvenciákon kicsi, míg magas frekvenciákon nagy. Feszültséggenerátor esetén a tekercseken eső szinuszos feszültség alacsony frekvenciánál közel +90 -os eltolást szenved, míg magas frekvenciákon közel egybeesik. A tekercs és az ellenállás feszültsége közt minden pillanatban +90 fáziskülönbség van. Tehát akkor vegyük sorra, hogy mi milyen fázisban van? Mivel soros kapcsolásokról van szó, ezért az áram minden alkatrésznél azonos, de csak az ellenálláson eső feszültség fázisával esik egybe. Feszültséggenerátorok esetén a bemenő feszültség az eredő ellenálláson esik, ezáltal fázisa különbözik mind az ellenállás, mind a frekvenciafüggő ellenállások 3 fázisától, azok "eredőjén" esik. Mindezen tulajdonságok precíz matematikai leírása a komplex számok segítségével lehetséges! 3.2. A komplex ellenállások: Ellenállások alatt általában az "Ohm-os" ellenállást értjük. A kapacitív és induktív ellenállásokat (valamint az olyan hálózatok eredő ellenállását, melyek frekvenciafüggő és ohmos ellenállásokat is tartlmaznak) impedanciáknak nevezzük. Az impedanciáknak két fő jellemzője van: fázis és abszolút érték. Szokásos ezen mennyiségeket a komplex számok segítségével leírni. A kapacitások impedanciájának a fázisa 90, ami a komplex számok nyelvén: j (ahol j 2 = ), az abszolút értéket jelöljük X -vel, így a kapacitív impedancia: 3 Ezáltal az áramhoz képesti fázistolásban van. Z = jx = j = j Z = X = (3.) 8

10 Az induktivitások impedanciájának a fázisa +90, ami a komplex számok nyelvén: j, az abszolút értéket jelöljük X -el, így az induktív impedancia: Z = jx = jω Z = X = ω (3.2) Egyesekben felmerülhet a kérdés, hogy miként kell bánni ezekkel a komplex ellenállásokkal? A válasz: ugyan úgy, ahogy az Ohm-osakkal! ;-) A különbség csak annyi, hogy nem szimplán -ek lesznek a képletekbnen, hanem lesznek benne Z -ek és Z -k is. sak annyi a különbség, hogy a kiszámításkor kell tudni bánni a komplex számokkal.. Példa soros kapcsolás eredője: Z e = + Z + Z = + jx jx = + j (X X ) = + j = ( ω 2 ) + j ( ω ) = (3.3) Ha csak az abszolút érték érdekel minket, akkor a komplex számoknál szokásos módon számolunk 4 Vagyis a példánknál maradva: [ ( Z e = + j ω )] [ ( j ω )] ( = 2 + ω ) 2 (3.6) 2. Példa: egy párhuzamosan kapcsolt kapacitással és induktivitással sorosan kapcsolt ellenállás esetén: (3.4) Z e = + Z Z = + Z Z = + jω j Z + Z jω j = j ω 2 ω = j ω 2 = + j ( ) ω = (3.7) (3.8) És így az abszolút érték: ( ) 2 Z e = 2 ω + ω 2 (3.9) A komplex ellenállások és feszültségek ábrázolása: komplex vektorábrák Ide kellenének. 4 A komplex szám szorozva önmaga komplex konjugáltjával megadja az abszolútértékének négyzetét. a + i b 2 = (a + i b) (a i b) = a 2 + b 2 a + i b = a 2 + b 2 (3.5) 9