4.1. VÁLTÓÁRAMÚ HÁLÓZATSZÁMÍTÁS

Átírás

1 4. VÁTAKOZÓ ÁRAM A váltóáramú hálózatszámításhoz szükséges általános alapismeretek a Váltóáramú hálózatszámítás c. részben vannak leírva, de a legfontosabbakat itt is összefoglaljuk. 4.. VÁTÓÁRAMÚ HÁÓZATSZÁMÍTÁS Ha a feszültség, illetve az áramerısség idıfüggése harmonikus, azaz U(t) = U cos (ωt + ϕ U ) illetve I(t) = I cos (ωt + ϕ I ) alakú, váltófeszültségrıl, illetve váltóáramról beszélünk. Itt U ill. I az amplitúdó; ωt + ϕ U ill. ωt + ϕ I a fázis; ω a körfrekvencia [s ]; ω = π ν, ahol ν a frekvencia [Hz], és ν = /T, ahol T a periódusidı; ϕ U ill. ϕ I a fázisállandó vagy kezdıfázis [rad] Ellenállás, kondenzátor és önindukciós tekercs váltóáramú hálózatban Egy tetszıleges R ellenálláson a feszültség minden pillanatban arányos a pillanatnyi áramerısséggel: U R (t) = R I(t) zöld: I(t), sárga: U R (t) Kondenzátor és önindukciós tekercs esetén azonban nem ilyen egyszerő I(t) és U(t) viszonya. A kondenzátor feszültsége a rajta lévı töltés pillanatnyi értékével arányos: U (t) = Q(t). Itt a kondenzátor kapacitása egysége a Farad, [F] Mivel az áram az adott felületen átmenı töltésmennyiség deriváltja, ezért a töltés átfolyó áram integrálja: U (t) = I (t) dt. Ha beírjuk az idıfüggı áramot I (t) = I cos ωt alakban és integrálunk, akkor azt kapjuk, hogy az U feszültség idıfüggése U (t) = I cos ωt dt = I ω sin ωt = I ω cos(ωt - π/). átható, hogy a feszültség is harmonikus függvénye az idınek, melynek frekvenciája megegyezik az áraméval, de a feszültség π/ fázissal késik az áramerısséghez képest, és amplitúdója U, = I /ω. zöld: I(t), kék: U (t) 4. Váltóáram /

2 Önindukciós tekercs: Ha a tekercsben folyó áram megváltozik, akkor az általa körülhatárolt területen a mágneses fluxus is megváltozik, és a tekercsben feszültség indukálódik. Ez az indukált feszültség a mágneses fluxus változási sebességével, a fluxus pedig az áramerısséggel arányos: dφ(t) di (t) U (t) = =. Itt a tekercs önindukciós együtthatója, egysége a Henry [H] dt dt Váltóáram esetén a tekercsen a feszültség di cosωt U (t) = = I ω sin ωt = I ω cos (ωt + π/), dt azaz önindukciós tekercsen a feszültség π/ fázissal siet az áramerısséghez képest, és amplitúdója U, = I ω. zöld: I(t), piros: U (t) Képzeljük el, hogy sorosan kötünk egy ellenállást, egy kondenzátort és egy tekercset. Mivel sorosan vannak kötve, tudjuk, hogy ugyanaz az áram folyik át rajtuk, és a fentiek szerint ismerjük a rajtuk esı feszültségeket is. A három áramköri elemen esı teljes feszültség az egyes feszültségek (U R, U, U ) összege. Ez az összeadás azonban a fáziskülönbségek miatt nem egyszerő, az eredı feszültség amplitúdója és fázisa elég hosszadalmas számításokkal határozható meg. A következı ábra mutatja a fenti három áramköri elemen esı feszültséget és az összegüket. sárga: U R (t), kék: U (t), piros: U (t), barna: U R (t) eredı feszültség. Általánosan, mivel mind a kondenzátornál, mind a tekercsnél a feszültség és az áram hányadosa idıben változik, ezért az egyenáramú hálózatoknál használt Kirchhoff-törvények (csomóponti és huroktörvény) csak a pillanatnyi értékekre alkalmazhatók, az amplitúdókra nem. Az eredı áramok ill. feszültségek amplitúdóját a rész-áramok ill. -feszültségek amplitúdójából csak a fázisok ismeretében lehet meghatározni. Formális hasonlóság hozható viszont létre a váltó- és egyenáramú hálózatszámítás között az alábbi módszerrel. 4. Váltóáram /

3 4... Komplex mennyiségek bevezetése Egy komplex számot megadhatunk az R valós és az X képzetes részével: Z = R + i X, vagy a Z abszolút értékével és a ϕ fázisával: Z = Z e iϕ (Euler alak) A ϕ fázis a valós tengellyel bezárt szög. Az ábráról látható, hogy Z = R + X R = Zcos ϕ, tgϕ = X / R X = Zsin ϕ KA labor vagyis Z felírható Z = Z cos ϕ + i Z sin ϕ alakban is. Az Euler alakból kiolvasható, hogy komplex számok szorzásakor az abszolút értékek szorzódnak, és a fázisok összeadódnak. Elvben feltételezhetjük, hogy a feszültség ill. az áramerısség komplex függvénye az idınek: i( t U ) U U ω ϕ = e + i( ωt+ ϕi ), I = I e. Bár ennek fizikai értelme nincs, mégis, ha vesszük U ill. I valós részét, az már a közönséges harmonikus idıfüggés: Re ( U ) = U cos (ωt+ϕ U ), Re ( I ) = I cos (ωt+ϕ I ). Mindaddig, míg lineáris mőveleteket (összeadást, konstanssal való szorzást, differenciálást és integrálást) hajtunk végre a feszültségen és áramokon, ezt elvégezhetjük a komplex függvényalakon, és azután vesszük az eredmény valós részét. i( ωt+ ϕi ) Tételezzük fel tehát, hogy az áramerısség I = I e alakú, és határozzuk meg a komplex feszültségeket az egyes áramköri elemeken: U i( ωt+ϕi ) R = R I e = R I +ϕ I ω +ϕ = ω U i( t I ) i( t I ) I e dt = e = I, iω ωi d I e U i( ωt+ϕi ) i( ωt+ϕi ) = = I iω e = ωi I. dt átható, hogy a komplex alakban már a kondenzátor és a tekercs feszültségének és áramának hányadosa is egy-egy idıtıl nem függı (viszont komplex) szám. Ezeket a hányadosokat komplex impedanciáknak nevezzük, Z -vel jelöljük, és velük a komplex feszültség és komplex áram közötti összefüggés az egyenáramú Ohm-törvényhez hasonló alakba írható: U = Z I. Az ellenállás, a kondenzátor és a tekercs impedanciáját a fenti képletekbıl olvashatjuk ki: ZR = R, Z = = i, Z ωi ωi ω =. Z Im( Z ) Ezeket a komplex impedanciákat mutatja az ábra: Re( Z ) Z R Z 4. Váltóáram / 3

4 A komplex mennyiségekkel a váltóáramú hálózatszámítás visszavezethetı az egyenáramú hálózatszámításra, a Kirchhoff-törvények érvényesek maradnak a komplex áramokra és feszültségekre. Ha ellenállásokból, tekercsekbıl és kondenzátorokból tetszıleges kétpólust építünk, annak a két pólusán is arányos lesz a komplex feszültség a komplex árammal, mert ez az arányosság minden egyes elemen fennáll. Egy kétpólus komplex feszültségének és áramának hányadosát a kétpólus eredı komplex impedanciájának nevezzük, és az egyenáramú hálózatoknál megismert szabályok szerint számolható ki az egyes áramköri elemek komplex impedanciájából, azaz soros kapcsolásnál a komplex impedanciák összeadódnak: Z e = Z i, párhuzamos kapcsolásnál pedig az egyes impedanciák reciprokának összege adja az eredı reciprokát: = Z e Z. i Im( Z ) Z Ez azt jelenti, hogy soros kapcsolásnál a komplex síkon az eredı impedancia az egyes impedanciáknak megfelelı vektorok eredıjének megszerkesztésével nyerhetı: Z R Z R Re( Z ) Z komplex impedanciák vektorábrája Mivel tudjuk, hogy komplex számok szorzásánál az abszolút értékek szorzódnak, a fázisok pedig összeadódnak, a komplex mennyiségekkel érvényes az Ohm-törvénybıl következik, hogy a feszültség amplitúdója az impedancia abszolút értékének és az áram amplitúdójának szorzata: U = Z I, a feszültség fázisa viszont az impedancia és az áram fázisának összegével egyenlı: ϕ U = ϕ Z + ϕ I. ϕ Z helyett általában röviden csak ϕ-t írunk. Tehát U(t) = Z I cos (ωt + ϕ + ϕ I ). Ellenırizhetjük, hogyan kapjuk vissza ellenállásra, kondenzátorra és tekercsre az 4... pontban levezetett összefüggéseket: Az ellenállás impedanciája Z = R R. Ennek abszolút értéke R, így U R, = R I, és fázisa, vagyis a feszültség és az áram azonos fázisban vannak. A kondenzátor impedanciája Z = = i. Ennek abszolút értéke /(ω), így ωi ω U, = I / (ω), és fázisa π/, vagyis a feszültség π/-vel késik az áramhoz képest. A tekercs impedanciája Z = ωi. Ennek abszolút értéke ω, így U, = ω I, és fázisa π/, vagyis a feszültség π/-vel siet az áramhoz képest. Ezen elemek összekapcsolásával az eredı impedancia fázisa π/ és π/ közötti érték. 4. Váltóáram / 4

5 A komplex számsíkon ábrázolhatjuk nemcsak a komplex impedanciák, hanem a komplex váltóáramok és feszültségek vektorábráját is: Im U U = Z I ϕ I ϕ U ϕ I Re Váltóáramú teljesítmény számítása Periodikusan változó áram és feszültség esetén a pillanatnyi teljesítmény helyett az átlagteljesítménynek van gyakorlati jelentısége. Az átlagteljesítmény a pillanatnyi valós feszültség és áram szorzatának (a pillanatnyi teljesítménynek) az idıátlaga egy periódusra. Számoljuk ki szinuszos idıfüggés esetén az átlagteljesítményt. egyen ϕ I =, így ϕ U = ϕ. T T U I cos(ωt + ϕ) + cosϕ P = U cos( ωt + ϕ) I cos( ωt) dt = T dt T = U I cos ϕ Bevezetve az effektív értékeket U I U eff =, Ieff = a teljesítmény az alábbi alakba írható: P = U eff I eff cos ϕ. Az egyenáramú teljesítményhez képest tehát az az eltérés, hogy a teljesítményben megjelenik az impedancia fázisa. Ohmos ellenállásnál cos ϕ =, kondenzátornál és tekercsnél viszont cos ϕ =. Ez azt jelenti, hogy teljesítmény csak az ellenállásokon disszipálódik Rezgıkörök Gyakran elıfordul, hogy egy váltóáramú hálózat eredı impedanciájának az abszolút értéke a frekvencia függvényében szélsıértéken megy át. A két legnevezetesebb a soros és a párhuzamos rezgıkör. A mérés során csak a soros rezgıkörrel fogunk foglalkozni. Soros rezgıkör Sorba kapcsolunk egy R ellenállást, egy önindukciójú tekercset és egy kapacitású kondenzátort, és egy ω körfrekvenciájú váltóáramú generátorra kötjük:. ábra. Soros rezgıkör A soros rezgıkör komplex impedanciája: Z Z Z R = R + + = R + ωi + = R + ω i () ωi ω Az olyan önindukciós tekercset, amelynek ohmos ellenállása is van, reális tekercsnek nevezzük. Ennek impedanciája Z R = R + ωi. A mérés során is ilyet használunk. 4. Váltóáram / 5

6 Az eredı impedancia az ω körfrekvencia (a ν frekvencia) függvénye. Z Z R Z Z R Z Z R Z R R R R Z R Z Z R Z Z ω ω ω. ábra. Kondenzátor, reális tekercs és soros eredıjük impedanciája ω <ω, ω és ω >ω körfrekvencián étezik egy ω körfrekvencia, ahol Z R képzetes része zérus: ω = ; () ω ekkor az impedancia valós, és az ohmos ellenállással, R-rel egyenlı: Z ( ω ) = R. (3) Ezen a körfrekvencián az () impedancia abszolút értékének, Z R = R + ω (4) -nek minimuma van: ω 3. ábra. Soros rezgıkör eredı impedanciájának frekvenciafüggése (R = 5 Ω, = 5 H, =, µf, ν = 5 Hz) Ez a körfrekvencia kifejezhetı ()-bıl és értékével: ω = Thomson-formula (5) 4. Váltóáram / 6

7 A ω ν = frekvencia az áramkör rezonanciafrekvenciája. (6) π Konstans feszültség mellett ennél a frekvenciánál az áram maximumon megy át, ezért a jelenséget áramrezonanciának nevezzük. I I max U = konst. I max ν ν ν ν 4. ábra Soros rezgıkör rezonanciagörbéje Párhuzamos rezgıkör Párhuzamos rezgıkörnél az impedancia reciprokát, az admittanciát érdemes kiszámítani: Y i, Y Z = = + ω = + ω R ω R ω Ebben az esetben Z(ω)-nak az ω = helyen maximuma van, értéke R. Állandó áram esetén a feszültség megy át maximumon, ez a feszültségrezonancia. R 5. ábra. Párhuzamos rezgıkör A rezonancia élességét a Q jósági tényezıvel jellemezzük. Soros rezgıkör esetén ez a rezonanciafrekvenciához tartozó egyes reaktanciák és az ohmikus ellenállás hányadosa: Q ω = = =. (7) R Rω R (A harmadik alakot a Thomson-formula felhasználásával kaphatjuk.) A jósági tényezıt számolhatjuk a rezonanciagörbébıl is: ω ν Q = =, (8) ω ω ν ν ahol ω és ω (ill. ν és ν ) az a két körfrekvencia (ill. frekvencia), amelynél az áramerısség a maximális érték -edére csökken (ld. 4. ábra) állandó feszültség mellett. Q értéke annál nagyobb, minél szőkebb az a frekvenciatartomány, ahol jelentısen megnövekedett áramokat mérhetünk. Az ω ill. ω körfrekvenciákon a rezgıkör által felvett teljesítmény a rezonanciafrekvencián felvett maximális teljesítménynek éppen a fele: P(ω ) = P(ω ) = I(ω ) R = I(ω ) R I max = R I max R P max = = 4. Váltóáram / 7

8 4.. Soros rezgıkör rezonanciagörbéjének és áramköri jellemzıinak mérése KA labor A mérés célja: egy könnyen megvalósítható modellen, a soros váltóáramú rezgıkörön tanulmányozni a rezonancia jelenségét, amely a mérnöki gyakorlatban sokszor elıfordul (mechanikus rezgések gépeken, spektroszkópiai módszerek, adatátvitel). Eszközök: Kondenzátor: Jó közelítéssel ideálisnak tekinthetı (azaz nincs ohmikus ellenállása). Kényelmi okokból egy plexi dobozba szereltük és banánhüvely kivezetésekkel láttuk el. Tekercs: Fénycsıelıtétként használt vasmagos tekercs. Reális tekercsként viselkedik, azaz van ohmikus ellenállása. Ez két részbıl tevıdik össze: a rézveszteségbıl, vagyis a tekercset alkotó rézhuzal ellenállásából (néhány Ω), és a vasveszteségbıl, ami abból származik, hogy a váltóárammal átjárt tekercs vasmagján energia disszipálódik, más szóval a vasmag melegszik. Ez utóbbi is modellezhetı ohmikus ellenállással, ami többek között függ a vasmag anyagi minıségétıl, geometriai elrendezésétıl, a frekvenciától és az áramerısségtıl; nagyságrendje fél kω. Függvénygenerátor: Különbözı jelalakú és frekvenciájú váltófeszültség elıállítására szolgál. Amikor szinuszos kimenetet használunk, hanggenerátorként fogunk rá hivatkozni. Fontosabb kezelıszervei: a hálózati kapcsoló, a frekvencia beállítására való tartományváltó és finomszabályozó gombok, a frekvencia digitális kijelzıje, a jelalakváltó gomb és végül a kimenıfeszültség amplitúdóját szabályozó gombok. A készülék nem ideális feszültséggenerátor abban az értelemben, hogy kapocsfeszültsége megváltozik, ha a terhelést vagy a frekvenciát megváltoztatjuk. A szabályozható kimenıfeszültség azonban lehetıséget nyújt arra, hogy a rezgıkörön konstans feszültséget tartsunk a rezonanciagörbe felvételénél. Digitális univerzális mőszerek: Áram-, feszültség- és ellenállásmérésre alkalmasak. Általános szabály, hogy egy mőszert mindig a legnagyobb méréshatárba kötünk be, majd fokozatosan csökkentjük a méréshatárt a mérendı értéknél nagyobb legkisebbig. Szinuszos váltakozó áram esetén a mőszerrıl leolvasható érték az effektív érték (az amplitúdó -e) Soros rezgıkör rezonanciagörbéjének mérése Feladat: Állítsuk össze a 6. ábra szerinti kapcsolást. A voltmérıt kötjük be utoljára, úgy, hogy a teljes rezgıkörön, U vagyis a kondenzátor és a tekercs soros eredıjén esı V feszültséget mérjük vele. ν I A Mielıtt az áramkörre rákapcsolnánk a feszültséget, ellenıriztetni kell a mérésvezetıvel! 6. ábra. Tájékozódás céljából közelítıleg meghatározzuk a rezonanciafrekvenciát: a hanggenerátoron maximális amplitúdót állítunk be, az ampermérın keresünk egy alkalmas méréshatárt, majd folyamatosan növelve a frekvenciát 5 Hz-tıl indulva, az ampermérın árammaximumot keresünk. Eközben értelemszerően váltunk a hanggenerátoron frekvenciatartományt és az ampermérın méréshatárt. A maximumhely a közelítı rezonanciafrekvencia (azért csak közelítı, mert közben a feszültséget nem szabályoztuk).. Kiválasztjuk a rezonanciagörbe felvételénél alkalmazandó konstans feszültséget: leolvassuk a közelítı rezonanciafrekvencián maximális generátoramplitúdó mellett a rezgıkörön esı feszültséget, és választunk egy tetszıleges értéket ennek kb. a /3-ánál. A rezonanciagörbe, R 4. Váltóáram / 8

9 felvételekor minden beállított frekvencián ezt fogjuk beállítani a hanggenerátor amplitúdó gombjával (vagyis a hanggenerátor által leadott feszültség amplitúdójának változtatásával). 3. Felvesszük a rezonanciagörbét: legalább - mérési pontban a) kiválasztjuk a frekvenciát, b) beállítjuk a konstans feszültséget, c) leolvassuk az áramerısséget. Ügyeljünk arra, hogy úgy vegyünk fel mérési pontokat, a mérési pontok alapján megrajzolt rezonanciagörbébıl egyrészt a rezonanciafrekvencia -3 Hz pontossággal, másrészt a jósági tényezı meghatározható legyen. Ez más szavakkal azt jelenti, hogy egyrészt a maximális áramhoz tartozó frekvencia (a rezonanciapont) környékén -3 Hz-enként vegyünk fel mérési pontokat lefelé és felfelé is, másrészt hogy a rezonanciapontban mért áramerısség -e alatt kevéssel is legyen egy-egy mérési pont a rezonanciafrekvenciánál kisebb és nagyobb frekvenciák irányába is. Kiértékelés: Ábrázoljuk milliméterpapíron a rezonanciagörbét! A rezonanciagörbébıl állapítsuk meg a rezonanciafrekvenciát (ν ), és számoljuk ki a jósági tényezıt és a tekercs ohmikus ellenállását: ν U Q =, R =. ν ν I max 4... Soros rezgıkör áramköri jellemzıinek mérése Feladat: Állítsunk be a maximális amplitúdó /3-a környékén egy tetszıleges értéket a hanggenerátoron, és ezt a továbbiakban már ne változtassuk. Sorban be fogunk állítani három különbözı frekvenciát:,8 ν, ν,, ν (ν értékét az elızı mérési sorozatból tudjuk). Ezután minden egyes frekvenciánál a) a voltmérıt a kondenzátor sarkaira kötjük, leolvassuk az áramerısség (I ) és a kondenzátoron esı feszültség (U ) értékét; b) a voltmérıt a tekercsre kötve leolvassuk I -t és U R -t; c) a voltmérıt a kondenzátor és a tekercs soros eredıjére kötve leolvassuk I 3 -at és U R -t. Ideális voltmérıt feltételezve, egy adott frekvencián I, I és I 3 teljesen azonos lenne. A közöttük megfigyelhetı kis különbségek mutatják a voltmérı befolyását. Kiértékelés:. Számítsuk ki a rezonanciafrekvencián mért adatokból a kapacitást és az induktivitást: I a) kondenzátort ideálisnak tekintjük, tehát = ω U, U b) a tekercsnél figyelembe vesszük annak ohmikus ellenállását, vagyis = R I. ω (A számolás természetesen elvégezhetı a,8ν ill. az,ν frekvencián mért adatokból is.). A fenti értékek felhasználásával számítsuk ki a rezonanciafrekvenciát az (5) képlettel és a jósági tényezıt a (7) képlettel: ν =, Q =, π R majd vessük össze a rezonanciagörbébıl kapottakkal. 4. Váltóáram / 9

10 3. A,8ν, ν, ill.,ν frekvenciákon mért adatok felhasználásával mindhárom esetben szerkesszük meg az áramkör vektorábráját az alábbi feltételezésekkel: - a voltmérı és a kondenzátor ideális, - a tekercs reális, vagyis impedanciájának fázisa és π/ közé esik. A vektorábrában az áram- és feszültségvektorok hosszának a mért effektív értékeket feleltetjük meg, a vektorok irányát pedig az egyes mennyiségek fázisa szabja meg. Sorosan kapcsolt áramköri elemeken a feszültségek összegzıdnek, ez a vektorábrában a feszültségvektorok vektori összegzését jelenti. A szerkesztés menete: - vegyük fel elıször a közös áramvektort (sorosan kapcsolt elemeken ugyanaz az áram folyik); - majd erre merılegesen lefelé a kondenzátor feszültségét (a kondenzátoron a feszültség az áramhoz képest π/-vel késik); - körzıvel szerkesszük meg az U + U R = U R vektorháromszög U -vel szemközti csúcsát; - rajzoljuk meg U R -t, és párhuzamos eltolással az U R vektort. (A feszültségek vektorábrája hasonló a. ábrán látható impedancia-vektorábrához.) 4. Váltóáram /