4. Hálózatszámítás: a hurokmódszer

Átírás

1 4. Hálózatszámítás: a hurokmódszer Kirchhoff törvényeinek alkalmazásával bármely hálózatban meghatározhatók az egyes ágakban folyó áramok és a hálózat tetszés szerinti két pontja közötti feszültség. A hurokmódszer egyszerűsíti, gépiessé teszi az áramok meghatározását. Lényege az, hogy az áramokat a hurkokhoz rendeljük az ágak helyett. ekintsük a következő áramkört: R 1 = Ω R = 3 Ω R 3 = 1 Ω R 4 = 4 Ω R 5 = 15 Ω R 6 = 5 Ω R 7 = 5 Ω R 8 = 6 Ω E 1 = 4 V E = 1 V E 3 = 1 V E 4 = 46 V E 5 = 49 V Határozzuk meg az R 8 ellenálláson folyó áramot és az U AB feszültséget! Megoldás: Vegyünk fel minden egyszerű hurokban egy-egy áramot. Célszerű azonos körüljárási irányt választani, mint az ábrán látható. A szabad ágakon a hurokáram, azokon az ágakon viszont, melyek egy másik hurokkal közösek, a saját áram és az idegen áram különbsége folyik. Ezzel az áramfelvétellel Kirchhoff I. törvénye automatikusan teljesül. (Pl. az A pontnál befolyik I áram és kifolyik I 1, az AB közös ágon viszont befolyik I 1 és kifolyik I, azaz az A csomópontban az áramok összege valóban zérus.) Írjuk fel a hurokegyenleteket (azaz a potenciálváltozások összegét az egyes hurkokra) a felvett körüljárási irányokat követve! - R 1 I 1 - E 1 - R 3 I 1 + E 3 - R 4 (I 1 -I 3 ) - R (I 1 -I ) + E = - R 6 I + E 4 - R 5 I - E - R (I -I 1 ) - R 7 (I -I 3 ) = - R 8 I 3 - R 7 (I 3 -I ) - R 4 ( I 3 -I 1 ) - E 3 - E 5 = Rendezzük az egyenletrendszert az ismeretlen áramokra! (R 1 +R +R 3 +R 4 ) I 1 - R I - R 4 I 3 = - E 1 + E + E 3 - R I 1 + (R +R 5 +R 6 +R 7 ) I - R 7 I 3 = - E + E 4 - R 4 I 1 - R 7 I + (R 4 +R 7 +R 8 ) I 3 = - E 3 - E 5 Behelyettesítve a számértékeket: 1 I 1-3 I - 4 I 3 = 16-3 I I - 5 I 3 = 36-4 I 1-5 I + 15 I 3 = -59 Az áramok: I 1 =,1 A I =, A I 3 = -,3 A Az R 8 ellenálláson I 3 = -,3 A áram folyik, tehát a tényleges áramirány ellentétes a felvett áramiránnyal. Az AB ágban folyó áram,1 A, iránya A B, tehát az A pont potenciálja pozitívabb, mint a B ponté. Az E telepen a potenciál 1 V- t, az R ellenálláson 3 V-t esik, tehát U AB = 13 V. 7

2 5. Váltóáramú hálózatok Ha a feszültség, illetve az áramerősség időfüggése harmonikus, azaz U(t) = U cos (ωt + φ) illetve I(t) = I cos (ωt + ϕ) alakú, váltófeszültségről, illetve váltóáramról beszélünk, melynek körfrekvenciája ω = π ν, (ν a frekvencia), a feszültség amplitúdója U, fázisállandója φ, az áramamplitúdó I, és az áram fázisállandója ϕ. Egy tetszőleges R ellenálláson a feszültség minden pillanatban arányos a pillanatnyi áramerősséggel, U(t) = R I(t), de kondenzátoroknál és tekercseknél nem. A kondenzátor feszültsége a rajta lévő töltéssel arányos: és ha U C (t) = 1 C Q(t) = 1 C I C(t) dt I C (t) = I cos ωt, a feszültség, U C : U C = 1 I cos ωt dt = I C ωc sin ωt = I ωc cos(ωt - π/). A feszültség is harmonikus függvénye az időnek, frekvenciája megegyezik az áraméval, de π/ fázissal késik az áramerősséghez képest. Az önindukciós tekercsen a feszültség a fluxus időderiváltjával, a fluxus pedig az áramerősséggel arányos: U L (t) = d Φ( t ) L di L () = t, dt dt ahol L az önindukciós együttható. Váltóáram esetén a tekercsen a feszültség U L = L di cosω t = - I ωl sin ωt = I ωl cos (ωt + π/), dt π/ fázissal siet az áramerősséghez képest. Mind a kondenzátornál, mind a tekercsnél a feszültség és az áram hányadosa időben változik, ezért az egyenáramú hálózatokra érvényes számítási módszerek itt nem alkalmazhatók. Formális hasonlóság hozható viszont létre az alábbi módszerrel. Komplex mennyiségek bevezetése A komplex algebrában értelmeztük az e ix függvényt: e ix = cos x + i sin x, vagyis cos x = Re (e ix ), vagy cos x = (e ix + e -ix ). Elvben feltételezhetjük, hogy az áramerősség komplex függvénye az időnek:!i =! I e iωt, ahol a " ^ " utal arra, hogy komplex mennyiségről van szó. Bár ennek fizikai értelme nincs, ha vesszük! I valós részét, az már egy közönséges harmonikus időfüggés. Mindaddig, míg lineáris műveleteket (összeadást, konstans-szorzást, differenciálást és integrálást) hajtunk végre a feszültségen és áramokon, ezt elvégezhetjük a komplex függvényalakon, és azután vesszük az eredmény valós részét. 8

3 ételezzük fel tehát, hogy az áramerősség! I =! I e iωt alakú, és határozzuk meg ennél az időfüggésnél a kondenzátor és tekercs komplex feszültségét:! 1!! U! C I e iωt dt 1 I iωt I C = = e = C iω iω C,! iωt!u L = L di e = L! I iω e iωt = iωl! I. dt A komplex alakban a kondenzátor és a tekercs feszültségének és áramának hányadosa egy-egy időtől nem függő komplex szám, melyet a kondenzátor illetve tekercs komplex impedanciájának nevezünk. Ha most ellenállásokból, tekercsekből és kondenzátorokból tetszőleges kétpólust építünk, ennek a két pólusán a komplex feszültség arányos lesz a komplex árammal, mert ez az arányosság minden egyes elemen fennáll. Egy kétpólus komplex feszültségének és áramának hányadosát a kétpólus komplex impedanciájának nevezzük és Z! -vel jelöljük:!z = U! /! I. Az ellenállás, tekercs és kondenzátor komplex impedanciája:!z R = R,! ZL = i ωl,! ZC = 1 1 = iωc ωc i. Ha sorba kapcsolunk egy R ellenállást, egy L önindukciójú tekercset és egy C kapacitású kondenzátort, (soros rezgőkör), az U! AB feszültség az egyes elemeken eső feszültségek összege. Ha a kétpóluson! I =! I e iωt áram folyik, az egyes komplex feszültségek:!u R =! I R, U! L = i ωl! I, U! C = -i/(ωc)! I, és a teljes feszültség!u AB = U! R + U! L + U! C = (R + iωl - i/(ωc))! I = Z!! I, Z! = R + iωl - i/(ωc) Hálózatszámítás komplex mennyiségekkel etszőleges passzív kétpólusokból felépített kétpólus impedanciáját ugyanazokkal a módszerekkel tudjuk meghatározni, mint az ellenállások esetében. Így sorba kapcsolt impedanciák eredője az egyes komplex impedanciák összege; párhuzamos kapcsolásnál pedig az impedanciák reciprokai, az admittanciák (! Y = 1/! Z) összegződnek. Soros kapcsolásnál Z! = Σ Z! j, párhuzamosnál Y! = Σ Y! j. Ugyanígy a Kirchhoff-törvények is érvényesek maradnak a komplex áramokra, feszültségekre és impedanciákra. A komplex számok megadhatók vagy valós és képzetes részükkel:!z = R + i X, vagy abszolút értékükkel és fázisukkal; az utóbbi az Euler-alak:!Z = Z e i φ, ahol Z = Z! = R + X az abszolút érték, és φ a fázis, a komplex szám mint kétdimenziós vektor és a valós tengely által bezárt szög és tg φ = X /R. 9

4 Komplex számokat összeszorozva az abszolút értékek szorzódnak, a fázisok pedig összeadódnak. Így ha!u =! Z! I, a feszültség abszolút értéke az impedancia abszolút értékének és az áram abszolút értékének szorzata; a feszültség fázisa viszont az impedancia és az áram fázisának összegével egyenlő. A komplex mennyiségeket a komplex számsíkon ábrázolva kapjuk a váltóáramok, feszültségek, impedanciák vektorábráját: érjünk vissza a valós mennyiségekre! Az! I komplex amplitúdó Euler-alakja! I = I e iϕ, így!i = I e i (ωt +ϕ) = I (cos(ωt+ϕ) + i sin(ωt+ϕ)). A valóságos áramerősség a fenti komplex áram valós része: I valós = Re (! I ) = I cos (ωt+ϕ), melynek amplitúdója megegyezik a komplex áram abszolút értékével, fázisa a komplex áram fázisával. Ha! Z = Z e iφ, akkor a valós feszültségamplitúdó az áram és impedancia abszolút értékének szorzata, a feszültség fázisa pedig az áram fázisának és az impedancia fázisának összege, vagyis a valós feszültség: U valós = I Z cos(ωt+ϕ+φ). Váltóáramú teljesítmény számítása Periodikusan változó áram és feszültség esetén a pillanatnyi teljesítmény helyett az átlagteljesítménynek van gyakorlati jelentősége. Az átlagteljesítmény a pillanatnyi valós feszültség és áram szorzatának (a pillanatnyi teljesítménynek) az időátlaga egy periódusra. Legyen az áram fázisa ϕ =, így a feszültség fázisa egyenlő az impedancia fázisával, φ-vel. P = 1 U cos( ωt + φ) I cos( ωt) dt = U I cos( ωt + φ) + cosφ dt Felhasználva, hogy U = Z I, mely fennáll az effektív értékekre is: U eff = Z I eff, a teljesítmény = U I cosφ = U eff I eff cosφ P = I eff Z cosφ = I eff Re( Z! ) A váltóáramú átlagteljesítmény egy ellenállásokból és reaktív elemekből álló kétpóluson az impedancia valós részén disszipálódó teljesítménnyel egyenlő, azaz az egyes ohmos ellenállásokon disszipálódó teljesítmények összegével. Vigyázat: nem igaz viszont az egyenáram analógiájára, hogy a teljesítmény az U Re( Z! képlettel lenne ) számítható, hanem eff eff eff. U U P = Ueff cosφ = Z Z cosφ U Re( Z! ) = Z Z eff 3

5 6. Példa váltóáramú hálózat számítására Az önindukciós tekercsen I L,eff = ma effektív értékű váltóáram folyik, ω = 1 1/s. a. Mennyi a generátorfeszültség és a generátoron folyó áram effektív értéke? b. Mennyi a generátorfeszültség fázisa a generátoráramhoz képest? c. Határozzuk meg a kör impedanciáját az A, B pontok között, valamint az impedancia abszolút értékét és fázisát! d. Mennyi teljesítmény disszipálódik az áramkörben? e. Mekkora a kondenzátoron a maximális feszültség? Megoldás: a. Írjuk fel a tekercs és a kondenzátor komplex impedanciáját! (Az impedanciákat kω-ban, az áramokat ma-ben, a feszültséget V-ban fogjuk számolni.)!z C = -i/ωc = -i kω, ZL! = iωl = i kω Az LR tag impedanciája:!z LR = R + Z! L = (1 + i) kω Az LR tagon folyó komplex áramerősség, az áram fázisszögét zérusnak választva:!i LR = I L,eff = ma, és az LR tagon a komplex feszültség:!u LR = Z! LR! I LR = (1 + i ) V = U! C = U! G. Ugyanez a kondenzátoron és a generátoron is a feszültség, mert párhuzamosan van kapcsolva az LR taggal. Így a kondenzátoron folyó komplex áramerősség:!i C = U! LR / Z! C = (1 + i) / (-i) = -1 (-i) ma. A generátoron folyó áram, vagyis a teljes áramerősség az A,B pontok között a kondenzátoron és az LR tagon folyó komplex áramerősségek összege:!i G =! I C +! I LR = ( - 1 (-i) ) = 1 i ma. ehát a generátorfeszültség effektív értéke:!u LR U G,eff = = 5 V, a generátoron átfolyó áram effektív értéke pedig:!i G I G,eff = = 1 ma. b. A komplex generátorfeszültség fázisa ϕ U = arctg() = 1,17 (radián), az áram tisztán képzetes, fázisa ϕ I = π/ = 1,571 (radián), a feszültség fázisa az áramhoz képest ϕ = ϕ U - ϕ I = -,467 (= - 6,6 ). c. Az eredő impedancia,! Z AB a kondenzátor és az LR tag impedanciáinak párhuzamos eredője: 1/! Z AB = 1/! Z C + 1/! Z LR = 1/(-i) + 1/(1+i) =,5i + (1-i)/5 =,5i +, -,4i =, +,1i!Z AB = 1 / (, +,1i) = (, -,1i) /,5 = (-i) kω. Az impedancia abszolút értéke: Z = 5 kω, fázisa ϕ = arctg(-,5) = -6,6. Éppen ennyit kaptunk a feszültség és az áramerősség közötti fáziskülönbségre a b pontban. A feszültség és áramerősség abszolút értékének -illetve effektív értékének- hányadosa pedig éppen 5 kω. 31

6 d. A körben disszipálódó teljesítmény P = U G,eff I G,eff cosϕ = 5 1 cos (-6,6 ) = 4 mw. Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha az ellenálláson számítjuk ki a teljesítményt: P = I L,eff R = 4 mw. e. A kondenzátoron a maximális feszültség a komplex feszültség amplitúdója, U C,max = 5 = 63, V. A kondenzátorokon általában megadják az átütési feszültséget. Ennél a kondenzátoron eső maximális feszültséget kell figyelembe venni. 7. Műszerek Áramerősséget ampermérővel, feszültséget voltmérővel mérünk. A voltmérőt arra a két pontra csatlakoztatjuk, melyek között mérni akarjuk a feszültséget. Árammérésnél meg kell szakítanunk az áramkört és a műszert abba az ágba kell beiktatnunk, amelyikben mérni akarjuk az áramerősséget. Fontos, hogy a műszer ne változtassa meg az áramköri viszonyokat. Az ampermérő akkor ideális, ha nem esik rajta feszültség, tehát a belső ellenállása zérus. Az ideális voltmérőn viszont áram nem folyik, tehát a belső ellenállása végtelen. A valóságban a műszerek belső ellenállása véges érték. Ez a belső ellenállás árammérésnél sorba kapcsolódik azzal az elemmel, melynek az áramát mérjük; a feszültség mérésénél pedig párhuzamosan kapcsolódik ahhoz a két ponthoz, melyek között a feszültséget mérni akarjuk. A Deprez-rendszerű ampermérő működési elve: a mérendő áramerősség egy meghatározott törtrésze átfolyik a műszer forgótekercsén, melyre egy állandó mágnes terében az áramerősséggel arányos forgatónyomaték hat. Ezt a forgatónyomatékot egy spirálrugó megnyúlása ellensúlyozza, a megnyúlás a tekercs meghatározott szögelfordulásával ekvivalens, és ezt a szögelfordulást mutatja a tekercsre erősített mutató. A műszer használatánál vigyázni kell a polaritásra és arra, hogy ne kapjon a végkitérésének megfelelő áramnál nagyobb áramot, mert a mutató kiakadhat, a műszer tönkremehet. Az analóg (mutatós) műszerekkel ellentétben, melyek az elektromos áram mágneses vagy hőhatását felhasználva a mérendő elektromos jelet a mutató elmozdulásává alakítják át, a digitális kijelzésű műszerek az analóg feszültséget digitalizálják, számjellé alakítják, és ez a számjel vezérel egy -általában folyadékkristályos- kijelzőt. Árammérésnél az áram által adott ellenálláson létrehozott potenciálesést digitalizálják. A digitális műszerek általában védve vannak túlfeszültség és túláram ellen. Ez azt jelenti, hogy ha a bemenő jel nagyobb, mint a kiválasztott méréshatár, akkor a műszer kijelzőjén "1" jelenik meg, de a műszer nem károsodik. A műszerek egy része többfunkciós, univerzális: áram-, feszültség- és ellenállásmérésre, vagy egyen- és váltóáramú mérésekre is alkalmas, és a mérendő mennyiség több nagyságrendet kitevő tartományában is használható a méréshatár változtatásával. Az áramkörbe úgy kötjük be a műszert, hogy az egyik csatlakozási pont a "COM" (közös) jelű bemenet, a másikat pedig a mért mennyiségnek (és esetleg annak nagyságának) megfelelően válasszuk ki (feszültség- és ellenállásmérésnél a V - Ω/kΩ jelű, árammérésnél a ma/1a jelű bemenet - a jelölések műszertípusonként változóak). A megfelelő kapcsolókkal ki kell még választani a kívánt funkciót és méréshatárt, valamint hogy egyen- vagy váltójelű üzemmódot kívánunk-e használni. Mindig nagyobb méréshatárt válasszunk, mint a mérendő mennyiség várható legnagyobb értéke, de azok közül a pontosság érdekében mindig a lehető legkisebb méréshatáron mérjünk. Mérési sorozat felvétele közben ne változtassuk a méréshatárt, mert ezzel megváltozik a műszer belső ellenállása, és ez befolyásolja a mérési eredményt! 3

7 A műszer pontossága, érzékenysége, hibája A műszer leolvasásánál a leolvasási hiba a műszer számlapján a legkisebb skálarésznek, digitális kijelzésű műszernél az utolsó számjegy helyiértékének megfelelő mennyiség. A műszer érzékenysége: a kijelzés változása (mutató kitérésének megváltozása skálarészben) osztva a mért mennyiség értékének megváltozásával. Digitális kijelzésű műszernél ez az utolsó digitnek megfelelő mennyiség reciproka. (Pl. az ampermérő érzékenysége A -1, ha skálája 1 ma beosztású, vagy ha az utolsó leolvasható digit,1 A. A műszerek a leolvasási hibától eltekintve sem abszolút pontosak. A műszer skáláján általában feltűntetik a műszer pontossági osztályát. Ez,1;,;,5; 1; 1,5; ;,5; 5 lehet. Ezek a számok a végkitérés (méréshatár) százalékában adják meg a műszer maximális abszolút értékű hibáját. A hibahatárt a gyártó cég csak a referenciafeltételek fennállása esetén garantálja. A referenciafeltételekről, melyek tartalmazhatják a hőmérsékletet, a műszer helyzetét, váltóáram esetén a frekvenciát stb., az MSz 88 szabvány rendelkezik. A műszereken található leggyakoribb jelek: egyenáramú műszer ~ váltóáramú műszer helyzetjelzés: vízszintes függőleges 6 -os a műszer pontossági osztálya a feszültségpróba jele. A beírt szám a feszültséget jelenti; ha nincs szám, a feszültségpróba 5 V-on történt Deprez- (forgó tekercses) műszer nullapont állító 33