Kvázistacionárius jelenségek

Átírás

1 0-0 Kvázistacionárius jelenségek Majdnem időben állandó = lassú (periodikus) változás. Időben lassan változó mezők: eltolási áram elhanyagolható a konduktív áram mellet Maxwell-egyenletek: rot E = 1 c B t D t j rot H = 4π c j div D = 4πρ div B = 0 Kontinuitási egyenlet: div j = 0.

2 0-1 töltéssűrűség nem változik az idő folyamán áramsűrűség normális komponense folytonosan változik különböző határán (töltés nem áramlik át vezetőből szigetelőbe) vezető minden keresztmetszetén ugyanakkora áram folyik át rot E 0 miatt az elektromos térnek nincs potenciálja (mágneses tér változása örvényes elektromos mezőt indukál). Fontos gyakorlati alkalmazás: váltóáramú körök. Elektromos erőművekben: forgási energia elektromágneses energia.

3 1 ELEKTROMÁGNESES INDUKCIÓ Elektromágneses indukció Oersted (1820): elektromos töltésáramlás mágneses mező forrása (mágneses momentumokat igyekszik elforgatni). Faraday (1831): időben változó mágneses tér elektromos teret kelt. Mi hasznát vehetjük vajon egy újszülöttnek? Állandó mágneses térben a tér irányára merőleges tengely körül forgatható vezető kereten áramot vezetünk oda-vissza forgatónyomaték hat a keretre (megsokszorozható, ha több meneten át vezetjük az áramot: galvanométerek, elektromos motorok, stb.). Fordítva: keretetet forgatva áram indukálódik benne! Indukált feszültség: indukált áramot fenntartó elektromotoros erő.

4 1 ELEKTROMÁGNESES INDUKCIÓ 0-3 Fluxus-szabály: zárt vezető keretben indukált feszültség arányos a keret által közrezárt mágneses fluxus változási sebességével (de független a vezető ellenállásától vezetőre nincs is szükség). ˆ ( ) d B d f E d r = dt = ˆ B t d f Egy pontra zsugorítva (differenciális alak) rot E = B t Lenz törvény: indukált feszültség minden esetben a fluxus megváltozását igyekszik csökkenteni (energiamegmaradás).

5 1 ELEKTROMÁGNESES INDUKCIÓ 0-4 Nyugalmi indukció: nyugvó vezetékek, időben változó mágneses tér. Mozgási indukció: mozgó vezetékek (pl.: csúszó sín) időben állandó mágneses mezőben. Töltéshordozókra ható mágneses Lorentz erő felfogható mint egy elektromos mező hatása: elektromotoros erő. Nyugalmi és mozgási indukció relativitása. Indukált Foucault áramok (örvényáramok) disszipatív hatása. Váltakozó áramú generátor: elektromos motorban áram lép fel a keret forgatásakor. Jedlik (1861): dinamó effektus.

6 2 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓ ÉS VÁLTÓÁRAMÚ KÖRÖK Indukciós együttható és váltóáramú körök Időben változó elektromos áram időben változó mágneses tér indukált elektromos áram. Ha egy hálózatban a k-adik vezetőkör elektromotoros ereje E k, ellenállása R k, a benne folyó áram I k, míg a rajta átmenő fluxus Φ k, akkor (Ohmtörvény) R k I k = E k 1 c dφ k dt Vezetőkörben folyó I erősségű áram I-vel arányos H mágneses tér vezetőkörön átmenő Φ fluxus arányos I-vel. Φ i = c k L ik I k

7 2 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓ ÉS VÁLTÓÁRAMÚ KÖRÖK 0-6 L ik = L ki a kölcsönös indukciós együttható (L ii elnevezése: önindukciós együttható). Függetlenek az I k áramoktól (vezetőkörök kölcsönös viszonyát jellemzik). Általánosított Ohm-törvény: R k I k = E k 1 c dφ k dt = E k j L kj di j dt Elsőrendű közönséges differenciálegyenlet-rendszer az áramerősségek meghatározására. Példa: RL-kör (R ohmikus ellenállásból és L önindukciójú tekercsből álló áramkör). I(t) az áramerősség és E(t) az elektromotoros erő L di dt = E(t) RI(t)

8 2 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓ ÉS VÁLTÓÁRAMÚ KÖRÖK 0-7 Ha E(t)=E 0 (időben állandó), akkor ( d I E ) 0 dt R = di dt = 1 L (E 0 RI) = R L ( I E ) 0 R amelynek általános megoldása (τ = L R a relaxációs idő) I E 0 R = Ae Rt L = A exp ( t τ ) Másrészt (I(0)=I 0 az áramerősség értéke t=0 időpontban) I 0 E 0 R = A így I(t) = ( I 0 E ) ( 0 exp t R τ ) + E 0 R

9 2 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓ ÉS VÁLTÓÁRAMÚ KÖRÖK 0-8 Az áramerősség exponenciálisan telítődik, aszimptotikusan megközelítve a stacioner I = E 0/R értéket (folyamat sebességét a τ relaxációs idő határozza meg). Ha kikapcsoljuk a feszültségforrást (E 0 = 0), akkor az áramerősség exponenciálisan csökken (tranziens jelenség): indukált elektromotoros erő a Lenz törvénynek megfelelően bekapcsoláskor csökkenti, míg kikapcsoláskor növeli a kör elektromotoros erejét (negatív visszacsatolás). E(t) = E 0 cos ωt periodikus gerjesztés esetén di dt + R L I(t) = E 0 L cos ωt Inhomogén lineáris egyenlet általános megoldása = homogén egyenlet általános megoldása + inhomogén egyenlet partikuláris megoldása.

10 2 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓ ÉS VÁLTÓÁRAMÚ KÖRÖK 0-9 ( I(t) = A exp t τ ) + I p (t) Homogén egyenlet A exp ( ) t τ megoldása a tranziens jelenségeket írja le, a hosszú idejű (stacioner, azaz aszimptotikus) viselkedésért a partikuláris megoldás a felelős. Keressük a partikuláris megoldást I p (t) = A cos ωt + B sin ωt alakban (A és B integrációs állandók). Fenti alakot az egyenletbe behelyettesítve: (A cos ωt + B sin ωt) + τ ( Aω sin ωt + Bω cos ωt) = E 0 R cos ωt

11 2 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓ ÉS VÁLTÓÁRAMÚ KÖRÖK 0-10 megoldása A + Bωτ = E 0 R B Aωτ = 0 A = B = E 0 R(1 + ω 2 τ 2 ) = E 0 R R 2 + ω 2 L 2 = E 0 R2 + ω 2 L 2 E 0 ωτ R(1 + ω 2 τ 2 ) = E 0 ωl R 2 + ω 2 L 2 = E 0 R2 + ω 2 L 2 R R2 + ω 2 L 2 ωl R2 + ω 2 L 2 Válasszuk δ-t úgy, hogy cos δ = sin δ = R R2 + ω 2 L 2 ωl R2 + ω 2 L 2

12 2 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓ ÉS VÁLTÓÁRAMÚ KÖRÖK 0-11 Partikuláris megoldás I p (t) = E 0 R2 + ω 2 L 2 (cos δ cos ωt + sin δ sin ωt) = E 0 Z cos (ωt δ) δ =arctan ( ) ωl R a fáziskésés (ωl az induktív ellenállás), míg Z = R 2 + ω 2 L 2 az impedancia. Hosszú idő után a tranziens tagok eltűnnek, és csak a (partikuláris megoldásból származó) I (t) = 1 Z E(t δ /ω) stacioner tag marad meg. A P (t)=e(t) I(t) teljesítmény átlagértéke (T = 2π ω a periódusidő)

13 2 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓ ÉS VÁLTÓÁRAMÚ KÖRÖK 0-12 P = 1 T ˆT 0 P (t) dt = ω 2π E 2 0 Z 2π ˆω 0 cos ωt cos(ωt δ) dt Mivel ˆT cos 2 (ωt) dt= π ω és ˆT cos(ωt) sin(ωt) dt=0 0 0 ezért P = E 2 0 2Z cos δ δ = π 2 esetén P = 0, a Joule-hő eltűnik ( wattnélküli áram, pl. csengőinduktorban vagy terheletlen transzformátorban), ha az R ohmikus ellenállás sokkal kisebb az ωl induktív ellenállásnál: R ωl.

14 2 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓ ÉS VÁLTÓÁRAMÚ KÖRÖK 0-13 Transzformátor: induktíve csatolt primér és szekunder áramkör. Primér körben E(t) elektromotoros erő hatására I 1 (t) áram folyik, amely I 2 (t) áramot gerjeszt a szekunder körben. ezért di 1 R 1 I 1 (t) = L 11 dt L di 2 12 dt + E(t) R 2 I 2 (t) = L 21 di 1 dt L 22 di 2 dt di 1 R 2 I 2 (t)= L 21 dt L di 2 22 dt = L di 1 21 dt L 22 L 12 = L 22 L 12 (E(t) R 1 I 1 (t)) ( di 1 E(t) R 1 I 1 (t) L 11 dt ) di1 ( L 21 L 22 L 12 L 11 dt )

15 2 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓ ÉS VÁLTÓÁRAMÚ KÖRÖK 0-14 L ij indukciós együttható arányos mindkét kör menetszámával ha primér tekercs menetszáma n 1 és szekunderé n 2, akkor L 12 L 11 = n 2 n 1 = L 22 L 12 Primér kör ellenállása általában elhanyagolható (R 1 = 0 a hővesztesség minimalizálása végett), így R 2 I 2 (t) = L 22 L 12 E(t) = n 2 n 1 E(t) = E (t) Olyan, mintha szekunder körben E (t) elektromotoros erő keltené az áramot, a primér körével ellentétes fázisban arányosan megnövelt (csökkentet) elektromotoros erő.

16 2 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓ ÉS VÁLTÓÁRAMÚ KÖRÖK 0-15 Rezgőkör: sorosan kapcsolt R ohmikus ellenállás, L induktivitás és C kapacitású kondenzátor. Ha E(t) a kör elektromotoros ereje, I(t) a benne folyó áram erőssége, és Q(t) a kondenzátor fegyverzetein felhalmozódó töltés, akkor és RI(t) = E(t) L di dt Q(t) C I(t) = dq dt E(t) = 0 esetén a megoldás (csillapított rezgés) Q(t) = q 0 exp( βt) sin(ωt+δ)

17 2 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓ ÉS VÁLTÓÁRAMÚ KÖRÖK 0-16 ahol ω = 1 LC R2 4L 2 β = R 2L a körfrekvencia és a csillapítási tényező (q 0 és δ a kezdeti feltételek által meghatározott integrációs állandók).

18 3 A FÖLD MÁGNESES TERE A Föld mágneses tere Gilbert (XVI. sz.): 1. Föld jó közelítéssel egy centrális mágneses dipólus; 2. pólusok a sarkok közelében találhatók (forgástengely és mágneses tengely szöge kb. 11 ); 3. dipólnyomaték nagysága kb. a Földdel azonos tömegű acélmágnes momentumának fele! Valójában excentrikus dipólus (mágneses és tömegközéppont különbözik, a térerősség komponensei a mágneses egyenlítő átellenes pontjaiban eltérnek), dipólmező járuléka kb. 90%. Naptevékenység jelentős befolyása (ionoszférában áram indukálódik háborgások, napfoltciklus).

19 3 A FÖLD MÁGNESES TERE 0-18 Szekuláris (lassú) változások: pólusok vándorlása (átlagban a mágneses pólusok egybeesnek a földrajzi pólusokkal), dipólmomentum csökkenése. Paleomágneses vizsgálatok: kb. 2.5 milliárd éve létezik dipólmező, amely időről-időre megfordul (kb. félmillió évente, utolsó térfordulás vagy 700 ezer éve volt); fontos érv a lemeztektonika (kontinensvándorlás, óceáni kéreg szétterülése) mellett. Mágneses mező eredete: 1. ferromágneses elmélet (cáfolat: paramágneses átalakulás magas hőmérsékleten); 2. terresztrikus áramok (fenntartó elektromotoros erő, Joule-hő??); 3. dinamóelmélet: differenciális rotáció a Föld képlékeny rétegeiben (külső mag) plazmaáramokat hozz létre, ezek önfenntartó mágneses mezőt indukálnak.

20 3 A FÖLD MÁGNESES TERE 0-19 Magnetoszféra: Föld külső mágneses burka, ahol a töltött részecskék mozgását a mágneses tér határozza meg (alsó határa az ionoszféra). Nem szimmetrikus, elnyújtott cseppalakját a napszél alakítja: kiterjedése néhánytól földsugárnyi, térerősség nagysága kb T. Mágneses mező kettős sugárzási övezetbe (van Allen-övek) csapdázza a világűrből (napszél és kozmikus sugárzás) származó töltött részecskéket, amelyek 1 s-os periódusidővel oszcillálnak spirális pályákon a mágneses pólusok között. Pólusváltáskor sugárzási övek megszűnnek, de az ionoszféra továbbra is védelmet nyújt. Belső övezet: 1-6 ezer km, főleg protonok. Külső övezet: ezer km, főleg elektronok. Ha a beeső részecskék sebessége kis szöget zár be az indukciós vektorral, akkor nem csapdázódnak, hanem az É-i és D-i 60-ik szélességi fokok fölött behatolnak a légkörbe és ionizálják azt sarki fény.

21 3 A FÖLD MÁGNESES TERE 0-20 Merkúr, Jupiter: hasonló jellegű mágneses mező. Neptunusz: momentuma az egyenlítői síkban. Vénusz, Hold, Mars: nincs számottevő mágneses mező. Dinamóeffektushoz valószínűleg gyors forgás (ellenpélda: Vénusz, Hold), plazmatikus mag (ellenpélda: Hold), és kellő méretű árapályt keltő kisérők szükségesek (ellenpélda: Mars).