BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

Átírás

1 BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 6. Differenciálegyenletekről röviden Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád

2 A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Elsőrendű differenciálegyenletek Definíciók Kezdetiérték-probléma Szétválasztható változójú differenciálegyenletek Példa Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek Példa 3 A Lotka-Volterra modell

3 Bevezetés MI A DIFFERENCIÁLEGYENLET? A természetben lejátszódó összes folyamatot függvények segítségével tudjuk leírni. Ha adott egy mérendő mennyiség, aminek változását az idő függvényében szeretnénk vizsgálni, akkor gyakran a kapott f : R R függvény és annak deriváltjai közötti egyenlőség segítségével tudjuk ezt megtenni. Példa Egy Malthus-féle (azaz korlátlanul növő) populáció tömegének időbeli változását a [0,T] időszakban az y(x) = y 0 e kx (x [0,T]) függvény adja meg, ahol k > 0 a populációra jellemző állandó, y 0 pedig a kezdeti tömeg. Látható, hogy y (x) = ky(x), azaz az x-edik pillanatban a növekedés pillanatnyi sebessége (y (x)) arányos a pillanatnyi y(x) tömeggel.

4 Elsőrendű differenciálegyenlet Definíció Legyen adott egy f : R R R, az I,J R nyílt intervallumokon folytonos függvény, továbbá egy D y intervallumon értelmezett, differenciálható y : R R függvény. Ekkor, ha D y I és R y J, úgy az y (x) = f (x,y(x)) kifejezést elsőrendű differenciálegyenletnek nevezzük. Példa Az y (x) = 8x2 y(x) egyenlet egy elsőrendű differenciálegyenlet (feltéve, hogy y(x) 0).

5 Kezdetiérték-probléma Egy differenciálegyenletnek végtelen sok megoldása van, melyek az integrálnál látottaktól eltérően nem feltétlenül egy konstans tagban térnek csak el egymástól. Így annak a megoldásnak a kiválasztásához, ami ténylegesen leírja a vizsgált folyamatot szükségünk van az adott folyamat kiindulási értékére (vagy legalábbis valamelyik időpillanatban felvett értékére). Definíció Legyen adott egy (a,b) I J pont. Azt mondjuk, hogy az y függvény a fenti differenciálegyenletre vonatkozó kezdetiérték-probléma megoldása, ha y megoldás, a D y és y(a) = b.

6 Szétválasztható változójú differenciálegyenletek Definíció Szétválasztható változójú differenciálegyenlet alatt az y (x) = g(x)h(y(x)) alakú differenciálegyenleteket értjük, ahol h(y(x)) 0. Megjegyzés Természetesen h-ra és g-re több folytonossági és egyéb feltétel is szükséges, ám jelen előadásnak nem célja minden definíció és tétel teljes precizitással történő megfogalmazása. Megjegyzés A későbbiekben az y(x) és y (x) jelölések helyett egyszerűen y-t és y -at írunk.

7 Szétválasztható változójú differenciálegyenletek A fenti megjegyzés értelmében az egyenletet szokás y = g(x)h(y) alakban is írni. Mi mostantól ezt a jelölést követjük. A megoldás menete A megoldás gyakorlatban használt menete a következő: 1 y -at átírjuk dy dy dx alakban: dx = g(x)h(y). 2 1 dy Osztunk h(y)-al: dx = g(x). h(y) 3 Integráljuk mindkét oldalt: 1 h(y) dy = g(x) dx. Megjegyzés A fenti leírás igen pontatlan, ám a gyakorlati alkalmazás során számunkra elegendő.

8 Szétválasztható változójú differenciálegyenletek - Példa A Victoria amazonica kör alakú levele területének növekedési sebessége a megfigyelések szerint arányos a levél sugarával és a napsugárzásból időegység alatt felvett energiával. Ez utóbbi energia a levél területével és a napsugár beesési szögének koszinuszával arányos. Tegyük fel, hogy a nap reggel 6 órakor kel és este 6 órakor nyugszik, továbbá a napsugarak beesési szöge π 2 és π 2 között változik úgy, hogy délben ez a szög 0. Ekkor éjféltől számítva az időt órákban a beesési szög x órakor π 12 x π. A levél területét az idő függvényében leíró x y(x), (x [6,18]) függvényre így valamilyen k > 0 konstanssal az y (x) = ky(x) ( π ) y(x)cos 12 x π adódik. Feladat: határozzuk meg az y függvényt, ha mérés alapján tudjuk, hogy y(6) = 1600 cm 2 és y(18) = 2500 cm 2!

9 Szétválasztható változójú differenciálegyenletek - Példa A megoldandó differenciálegyenlet (elhagyva az y-ok mögül az x-eket): ( y = ky 3 π 2 cos ), 12 x π így ( h(y) = y 3 π ) 2 és g(x) = k cos 12 x π Alkalmazva a megoldóképletet: dy ( dx = y 3 π ) 2 k cos 12 x π ( π ) dy = k cos 12 x π dx 2 = 12k ( π ) y π sin 12 x π + c y 3 2 y = ( 12k π 4 sin( π 12 x π) + c) 2

10 Szétválasztható változójú differenciálegyenletek - Példa Ahhoz, hogy meghatározzuk k és c értékét szükségünk van a kezdeti feltételekre: = ( 12k π + c) = ( 12k π +. c)2 A fentiekből kifejezve c és k értékét a végleges y(x) függvényre y(x) = [ 9 sin ( π 12 t π)] 2 adódik.

11 Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy másik igen fontos típusa a differenciálegyenleteknek az ún. elsőrendű lineáris differenciálegyenlet, melynek alakja: y (x) + g(x)y(x) = h(x), vagy a korábbi, egyszerűsített jelölések alapján y + g(x)y = h(x). A megoldás menete egy fokkal már bonyolultabb, mint a szétválasztható változójú differenciálegyenleteknek, hiszen a lépései között szerepel az előző típus megoldásának összes lépése is. 1 Első lépésként megoldjuk a homogén lineáris differenciálegyenletet (azaz az y + g(x)y = 0 egyenletet). 2 Majd az ún. konstansvariálás módszerével meghatározzuk az inhomogén lineáris differenciálegyenlet megoldásait.

12 Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek 1 Első lépésben a homogén lineáris differenciálegyenletet oldjuk meg, mely lényegében egy szétválasztható változójú differenciálegyenlet: y = g(x)y 1 y dy = g(x) dx ln y = G(x) + c, ahol G(x) a g(x) primitív függvénye y(x) = Ce G(x) Ez az úgynevezett homogén elsőrendű lineáris differenciálegyenlet általános megoldása. Először mindig ezt kell kiszámolni, majd ezt követően térhetünk rá az eredeti egyenlet megoldásának kiszámítására.

13 Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek 2 Helyettesítsük vissza a kiindulási y + g(x)y = h(x) egyenletbe az előző lépés végén kapott y = Ce G(x) értéket úgy, hogy a C helyett C(x)-et írunk és függvényként kezeljük. Ez az ún. konstansvariálás módszere. (C(x)e G(x) ) + g(x)c(x)e G(x) = h(x). 3 Végezzük el a deriválást. Ha jól számoltunk, akkor a g(x)c(x)e G(x) kiesik. h(x) = C (x)e G(x) C(x)e G(x) g(x) + g(x)c(x)e G(x) h(x) = C (x)e G(x). 4 Vigyük át a másik oldalra e G(x) -et: C (x) = h(x)e G(x).

14 Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek 5 Innen C(x) értékét egyszerű integrálással kapjuk meg: C(x) = h(x)e G(x) dx. 6 Végül visszahelyettesítve az így kapott C(x)-et felírjuk a teljes megoldást: y(x) = e G(x) h(x)e G(x) dx. Megjegyzés Természetesen a végeredményben is lesz egy konstans tag, ami a kezdeti feltételek alapján meghatározható.

15 Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek - Példa Az egyszerűség kedvéért egy tisztán matematikai példát számolunk végig. Adjuk meg az xy y = x + 2 differenciálegyenlet megoldását az y(1) = 3 feltétel mellett! Először tegyük fel, hogy x 0 (egyébként az y(x) = 2 megoldáshoz jutunk), majd osszunk el x-el. y 1 x y = x. Hagyjuk el a jobb oldalt, rendezzük át az egyenletet, írjuk át y -t dy dx -re és integráljunk: 1 y dy = 1 x dx

16 Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek - Példa Kiszámolva az integrálok értékét: ln y = ln x + c y = Cx. \alkalmazzuk az exp függvényt Ezzel megkaptuk az inhomogén egyenlet megoldását. Helyettesítsünk be most a kiindulási egyenletbe és alkalmazzuk a konstansvariálás módszerét! (C(x)x) 1 x C(x)x = x C (x)x + C(x) C(x) = x C (x) = 1 x + 2 x 2 C(x) = 1 x + 2 x 2 dx = ln x 2 x + d

17 Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek - Példa Következő lépésben helyettesítsük vissza az így kapott C(x)-et az y = Cx-be: ahol d tetszőleges konstans szám. y(x) = xln x 2 + dx, Végül számoljuk ki d értékét a megadott kezdeti feltétel alapján: Mivel y(1) = 3, így 3 = 1 ln1 2 + d d = 5. Tehát a végső megoldás: y(x) = xln x 2 + 5x.

18 A Lotka-Volterra modell A LOTKA-VOLTERRA-FÉLE POPULÁCIÓDINAMIKAI MODELL A címben említett modell egy nemlineáris differenciálegyenlet-rendszeren alapul és egymással ragadozó-préda kapcsolatban álló, együtt élő populációpár mennyiségi kölcsönhatására lehet belőle következtetni. Legyenek az együtt élő fajok P (préda) és R (ragadozó). Jelöljük p(t)-vel és r(t)-vel a két populáció egyedszámát a t-edik időpillanatban. Tegyük fel továbbá, hogy a P populáció t-beli növekedési sebessége p(t)-vel arányos, míg a kipusztulási sebessége a p(t)r(t) szorzattal. Az R populációról tételezzük fel, hogy a szaporodási sebessége a p(t)r(t) szorzattal, míg fogyási sebessége r(t)-vel arányos. Azaz alkalmas a,b,c,d > 0 állandók mellett p (t) = ap(t) bp(t)r(t) r (t) = cp(t)r(t) dr(t)

19 A Lotka-Volterra modell A fenti nemlineáris, elsőrendű differenciálegyenlet-rendszert nevezzük Lotka-Volterra-féle egyenletrendszernek. Ha az R populáció nincs jelen (azaz a b paraméter értéke 0), akkor a P populáció Malthus-típusú lenne (azaz korlátlanul növő). Míg ha c = 0, azaz a préda populáció nincs jelen, úgy az R populáció kipusztulna. A modell működéséhez szükségesek bizonyos elméleti feltételek: A ragadozók korlátlan étvággyal rendelkeznek. A prédák számára végtelen sok táplálék áll rendelkezésükre. A ragadozó csak a prédával táplálkozik. A populáció növekedési rátája arányos a méretével. A környezet nem változik és az evolúciós tényezők elhanyagolhatóak.

20 A Lotka-Volterra modell Az egyenletrendszer megoldásai nem állíthatóak elő elemi függvények segítségével, ám numerikus módszerekkel tetszőleges pontossággal közelíthetőek. Linearizálás után az alábbi, az egyszerű harmonikus mozgáshoz nagyon hasonló eredményhez jutunk: