KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II."

Átírás

1 KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 10

2 X PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Elsőrendű kvázilineáris parciális DIFFERENCIÁLEGYENLETEk Elméleti alapok Elsőrendű kvázilineáris parciális differenciálegyenlet általános alakja (1) ahol az ismeretlen függvény a b c pedig az x y és u változók adott függvénye A v= (a b c) vektor a P(x y u) pontban egy irányt határoz meg amelyet karakterisztikus iránynak nevezünk Ezek összessége az (1) egyenlet iránymezeje Az iránymezőre illeszkedő görbék a karakterisztikák (424 és 425 ábra) 424 ábra 425 ábra Legyen a differenciálegyenlet megoldása (integrálfelülete) az u = u(x y) függvény Ekkor az vektor az integrálfelület normálvektora A v és n vektor felhasználásával az (1) egyenlet alakban is felírható Innen látható hogy az integrálfelületek normálisai minden pontban merőlegesek a ponthoz tartozó karakterisztikus irányra Ebből következik hogy a karakterisztikus irány vagyis a v vektor az integrálfelületek érintősíkjában fekszik Mindezek a következőképpen képzelhetők el: A P ponton keresztül végtelen sok integrálfelület megy át Mindegyik integrálfelületnek van egy-egy (P pontbeli) érintősíkja Ezen érintősíkok közös metszésvonalában van a v vektor amely párhuzamos a P ponton átmenő karakterisztika érintővektorával (424 ábra) Ennek következtében a karakterisztikák differenciálegyenletrendszere:

3 (2) Legyen a (2) rendszer két egymástól független megoldása és állandók (3) Ekkor az (1) differenciálegyenlet általános megoldása ( ) azaz (4) ahol folytonosan differenciálható egyébként tetszőleges függvény A gyakorlatban a (4) végtelen sok megoldásból rendszerint csak egyet kell kiválasztani Ehhez a függvényt kell megadni Geometriailag ez azt jelenti hogy a teret kitöltő végtelen sok karakterisztika közül ki kell választani azokat amelyek a kívánt integrálfelületet alkotják Ez úgy történhet hogy megadunk egy kezdeti görbét és az ezen átmenő karakterisztikákat választjuk ki amelyek egy felületté állnak össze (mintha ezeket a karakterisztikákat felfűznénk a kezdeti görbére) Ha a kezdeti görbe nem karakterisztika akkor a feladatnak egyetlen megoldása van Az (1) egyenlet ilyen megoldását azaz adott kezdeti görbére illeszkedő integrálfelületének meghatározását Cauchy-féle feladatnak nevezzük A Cauchy-féle feladat megoldásához az általános megoldás felírása nélkül is eljuthatunk Ennek az eljárásnak az a lényege hogy a és integrálási állandók közötti kapcsolatot kell felírni kihasználva a kezdeti görbe adatait 2 MINTApÉLDÁk Megoldások: láthatók nem láthatók Keressük meg az alábbi elsőrendű parciális differenciálegyenletek általános megoldását (az u ismeretlen függvény kétváltozós) 1 ; Megoldás Legyen a megoldás u = u(x y) Mivel ezért u csak x -től függ azaz u = C (x) ahol C tetszőleges folytonosan differenciálható függvény Az u = C (x) függvény valóban általános megoldás mert egyrészt kielégíti a pde -et másrészt C tetszőleges függvény 2 ; Megoldás Integráljuk a pde -et x szerint úgy hogy közben az y változót konstansnak tekintjük Ekkor az általános megoldást nyerjük ahol C(y) tetszőleges egyszer folytonosan differenciálható egyváltozós függvény 3

4 Megoldás Mivel a pde -ben az y változó nem jelenik meg explicite ezért az egyenlet megoldása visszavezethető közönséges de megoldására Legyen az u(x y) kétváltozós függvény a fenti pde egy tetszőleges megoldása Rögzítsük az utóbbi függvényben az y változó értékét legyen például állandó Ekkor a új egyváltozós függvényt bevezetve a helyett -et írva a = v közönséges de -hez jutunk Ez szétválasztható változójú egyenlet A változókat szétválasztva majd mindkét oldalt integrálva megkapjuk az általános megoldást: ahol C teszőleges valós szám Az eredeti pde általános megoldását a fenti megoldásból kiindulva úgy kaphatjuk meg hogy a C állandó helyére egy y -tól függő tetszőleges folytonosan differenciálható függvényt írunk Így az eredeti pde általános megoldása: Határozzuk meg a következő elsőrendű kvázilineáris differenciálegyenletek adott g kezdeti görbére illeszkedő megoldását: 4 ; Megoldás Jelen esetben a = u b = c = 4 Tehát a (2) egyenletrendszer: A azaz a 4dx = u du differenciálegyenlet megoldása: A azaz a 4dy = differenciálegyenlet megoldása: Ezzel megkaptuk a (3) megoldásokat Az eredeti differenciálegyenlet (4) alakú általános megoldása: Az ismeretlen függvényt abból a feltételből határozzuk meg hogy a kezdeti görbe rajta van az integrálfelületen Ez azt jelenti hogy a kezdeti görbével adott x = y = t u= 1 értékeket behelyettesítve az általános megoldásba az egyenlőség változatlanul fennáll Tehát A helyettesítéssel a egyenletet kapjuk Ezzel meghatároztuk a függvényt Ezt használjuk most fel az általános megoldásnál Ekkor

5 azaz Feladatunk megoldása tehát: 5 ; Megoldás A karakterisztikák differenciálegyenletrendszere vagyis a (2) egyenletrendszer: A egyenlet megoldása: azaz A egyenlet megoldása: azaz Az általános megoldás: Megjegyezzük hogy a és paramétereket akár akár módon öszekapcsolhatjuk A kezdeti görbén áthaladó megoldáshoz használjuk fel hogy u = t + 1 Ezeket behelyettesítve az általános megoldásba a egyenletet kapjuk A azaz a helyettesítéssel a egyenlethez jutunk Innen a függvény szerkezete látható Ezt felhasználva a Cauchy-féle feladat megoldása: 6 Megoldás Ennél a differenciálegyenletnél Mivel ezért a (2) rendszert most írjuk fel az alábbi módon: E három egyenlet közül csak kettő független Ha akkor az első egyenlet 0 = ady vagyis dy = 0 Innen A második egyenlet Használjuk ki hogy Ekkor azaz Integrálva mind a két oldalt az egyenlőséget kapjuk Az integrációs állandót célszerűségi okból választottuk kissé szokatlan módon

6 Rendezés után majd mindkét oldal tangensét véve: Itt felhasználtuk hogy A (4) alakú általános megoldás Most használjuk ki a kezdeti görbe által adott feltételeket vagyis azt hogy y = t u = 0 Ekkor és így a keresett megoldás Érdemes meggyőződni arról hogy a kapott megoldás valóban kielégíti az eredeti differenciálegyenletet és a kezdeti görbe tényleg rajta van az integrálfelületen 7 Keressük meg az differenciálegyenletnek az z = 1 körön átmenő megoldását Megoldás Írjuk fel először az pde-hez tartozó (2) karakterisztikus de rendszert és határozzuk meg az első integrálokat (azaz oldjuk meg ezt a de rendszert): Második lépésben írjuk fel paraméteres alakban a z = 1 kört (a kezdeti görbét): x = cos t y = sin t z = 1 majd helyettesítsük be ezeket a első integrálokba az x y és z változók helyére Emeljük négyzetre az első egyenletet és alkalmazzuk a azonosságot: Mivel ezért ha ezt a kifejezést behelyettesítjük a fenti egyenletbe akkor a

7 összefüggéshez jutunk Végül írjuk be a és első integrálokat az utóbbi egyenletbe Ekkor az megoldást nyerjük Természetesen ugyanerre az eredményre jutunk az általános megoldás felhasználásával is A (4) alakú általános megoldás jelen esetben (*) Ismerve azt hogy x = cos t y = sin t z = 1 a egyenlőséghez jutunk Innen a függvény jellege már leolvasható Ezt felhasználva a (*) egyenletben az megoldást kapjuk 8 Írjuk fel a függvénnyel adott felületek parciális de -ét ahol tetszőleges folytonosan differenciálható egyváltozós függvény Megoldás Differenciáljuk a függvényt az x és y változók szerint Ekkor a összefüggéseket nyerjük A fenti első egyenletbe helyettesítsük be a helyére a függvényt a helyére pedig a parciális deriváltat:

8 Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát x -szel és rendezzük át Ekkor az elsőrendű pde-et nyerjük amely a feladat megoldása 3 FELADATOk Oldja meg az alábbi elsőrendű parciális differenciálegyenleteket Ahol kezdeti görbe is adott ott határozza meg a kezdeti görbén áthaladó megoldást is 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 állandók; 6 ; 7 z = 1 ; 8 x = 0 ; 9 ; 10 x = 2 ; 11 z = 1 ; 12 x = 1 ; 13 y = 1 ; 14 y = 1 ; 15 y = 1 ;

9 16 x = 1 ; Megoldások 1 Integráljuk először a elsőrendű pde -et x szerint Ekkor a eredményt kapjuk ahol tetszőleges folytonosan differenciálható egyváltozós függvény A függvényt az kezdeti feltételből lehet meghatározni Írjunk az y helyére x -et a fenti megoldásban és tegyük egyenlővé azt a megadott függvénnyel: Ez utóbbi egyenletből Tehát a feladat megoldása: 2 Mivel a pde -ben explicite nem jelenik meg az y változó ezért az egyenletet tekinthetjük közönséges differenciálegyenletnek (amely lineáris és inhomogén) Legyen ez az egyenlet u helyett v -t írva Ennek megoldása: Ha ezt a pde megoldásának tekintjük akkor C az y változónak tetszőleges függvénye lehet Így az eredeti pde általános megoldása: ahol tetszőleges folytonosan differenciálható függvény 3 Oldjuk meg a pde -et mint közönséges elsőrendű szétválasztható változójú differenciálegyenletet: Innen általános megoldása: Figyelembe véve hogy C az y változónak tetszőleges függvénye lehet az eredeti pde ahol tetszőleges folytonosan differenciálható függvény 4 Mivel x nem szerepel az egyenletben oldjuk meg azt mint közönséges differenciálegyenletet Szétválasztás és integrálás után u = C y De C az x változónak tetszőleges függvénye lehet így az eredeti pde általános megoldása: ahol tetszőleges folytonosan differenciálható függvény 5 Írjuk fel a karakterisztikák (2) differenciálegyenletrendszerét Mivel most c = 0 ezért ez a rendszer: b dx = a dy d u = 0

10 Ennek (3) alakú megoldása így a pde általános megoldása: ahol tetszőleges folytonosan differenciálható függvény 6 A karakterisztikák de-rendszere: Az első egyenlet megoldása azaz A egyenlet megoldásánál használjuk fel azt hogy Ekkor a megoldást kapjuk Az eredeti pde általános megoldása a (4) szerint: ahol tetszőleges folytonosan differenciálható függvény A karakterisztikák de rendszere: Ennek megoldása: Az általános megoldás Figyelembe véve hogy z = 1 a egyenlőséget kapjuk Bevezetve a = v jelölést a összefüggéshez jutunk Ezt felhasználva Így a keresett megoldás: 8 Írjuk fel az homogén pde -hez tartozó karakterisztikus de rendszert t -t választva paraméternek: Ha az első egyenlet mindkét oldalát deriváljuk t szerint majd az eredményt a második egyenletbe behelyettesítjük akkor a másodrendű állandó együtthatójú de -et nyerjük Keressük az utóbbi egyenlet megoldását alakban ahol r egyelőre ismeretlen állandó Ha az

11 függvényt és annak második deriváltját beírjuk a fenti de -be akkor egyszerűsítés után az karakterisztikus egyenletet nyerjük melynek gyökei és Ezekhez a gyökökhöz az általános megoldás tartozik Az egyenletből pedig az függvényt kapjuk ahol és tetszőleges valós számok lehetnek Végül a karakterisztikus de rendszer harmadik egyenletből a = állandó megoldást nyerjük Összefoglalva a karakterisztikus görbék olyan körök amelyek a z = állandó (z tengelyre merőleges) síkokban fekszenek és középpontjuk a z tengelyen van Válasszuk ki a karakterisztikus görbékből azokat amelyek keresztülmennek az x = 0 megadott kezdőgörbén Válasszuk a közös kezdő- pontban a t paramétert zérusnak ekkor teljesülnie kell a egyenletrendszernek Ha a most kiszámított és értékeket visszahelyettesítjük a karakterisztikus görbék egyenletébe akkor az kétparaméteres megoldásfelülethez jutunk Ha a harmadik összefüggést ( ) behelyettesítjük az első kettőbe (x = z sin t y = z cos t) majd a t paramétert kiküszöböljük akkor megkapjuk a megoldásfelület egyenletét 9 Írjuk fel a elsőrendű pde -hez tartozó karakterisztikus de rendszert t -t választva paraméternek: Az utóbbi egyenleteket integrálva az és megoldásokhoz jutunk ahol és tetszőleges állandók Keressük meg a karakterisztikus görbék közül azokat amelyek átmennek a megadott az kezdőgörbén Válasszuk meg a közös metszéspontban a t paramétert zérusnak ekkor teljesülnie kell a egyenletrendszernek Ha a kiszámított és értékeket visszahelyettesítjük a karakterisztikus görbék egyenletébe akkor az

12 kétparaméteres megoldásfelülethez jutunk Ha az első két egyenletből a t és paramétereket kifejezzük és behelyettesítjük a harmadik egyenletbe akkor a megoldáshoz jutunk 10 Írjuk fel az lineáris de -hez tartozó karakterisztikus de rendszert: Határozzuk meg az első integrálokat: Helyettesítsük be mindkét fenti első integrálba az x = 2 megadott kezdeti értékeket Ekkor a egyenletekhez jutunk A két egyenletből kiküszöbölhető így az összefüggést kapjuk Ha az utóbbi egyenletbe behelyettesítjük az első integrálokat akkor a összefüggésből z -t kifejezve a megoldást nyerjük 11 Írjuk fel az kvázilineáris pde -hez tartozó karakterisztikus de rendszert: x > 0 y > 0 z > 0 Határozzuk meg az első integrálokat:

13 Helyettesítsük be a első integrálba a kezdőgörbe z = 1 adatait Innen az megoldáshoz jutunk 12 Írjuk fel az elsőrendű pde -hez tartozó karakterisztikus de rendszert: x > 0 y > 0 A egyenlet megoldása: A változókban homogén de megoldása: Helyettesítsük be a fenti két első integrálba a megadott x = 1 értékeket Ekkor a összefüggést kapjuk Ha az utóbbi összefüggésbe beírjuk a fenti első integrálokat akkor a egyenletet nyerjük amiből z -t kifejezve a megoldást kapjuk 13 Írjuk fel az elsőrendű pde -hez tartozó karakterisztikus de rendszert: x > 0 y > 0 Megoldása: Írjuk be mindkét első integrálba a megadott y = 1 értékeket Ekkor a és összefüggésekből a formulát nyerjük Végül helyettesítsük vissza az utóbbi formulába a fenti és első integrálokat: majd a z változót kifejezve a

14 megoldást nyerjük 14 A és jelöléseket bevezetve írjuk fel az pde -et alakban Állítsuk elő az egyenlethez tartozó karakterisztikus de rendszert A megadott y = 1 kezdőgörbét sávvá egészítjük ki a sávfeltétel felhasználásával A sávfeltétel szerint a megadott kezdőgörbe (1 0 1) érintővektora merőleges a megoldásfelület érintősíkjának ( ) normálvektorára a kezdőgörbe pontjaiban azaz Emellett az y = 1 függvényötösnek ki kell elégítenie az pde - et amely behelyettesítés után alakú lesz ahonnan miatt Ezután a karakterisztikus de rendszer olyan megoldásait kell megkeresnünk amelyek eleget tesznek a y = 1 kezdeti feltételeknek a helyen Integráljuk a karakterisztikus de rendszer második negyedik és ötödik egyenletét és használjuk fel a kezdeti feltételeket is a t = 0 helyen: Helyettesítsük be a most kiszámított kezdeti feltételt is felhasználva határozzuk meg az függvényt a karakterisztikus de rendszer első egyenletébe és a függvényt: Végül az x p és q függvényeket írjuk be a karakterisztikus de rendszer harmadik egyenletébe és határozzuk meg az függvényt: Fejezzük ki az és egyenletekből a t valamint a változót Ekkor a t = y

15 értékeket nyerjük amelyeket behelyettesítve az függvénybe az megoldáshoz jutunk 15 A és jelöléseket bevezetve az pde átírható az xp + pq = u alakba Állítsuk elő az egyenlethez tartozó karakterisztikus de rendszert: Az adott y = 1 kezdőgörbét sávvá egészítjük ki a sávfeltétel fel- használásával A sávfeltétel szerint az adott kezdőgörbe (1 0 1) érintővektora merőleges a megoldásfelület érintősíkjának normálvektorára a kezdőgörbe pontjaiban így a egyenlet teljesül és innen meghatározható Természetesen az y = 1 = 1 sávnak ki kell elégítenie az xp + pq = 0 megoldandó pde -et amely behelyettesítés után alakú lesz ahonnan Ezután a karakterisztikus de rendszer olyan megoldásait kell megkeresnünk amelyek eleget tesznek a y = 1 p = 1 kezdeti feltételeknek a helyen Integráljuk a karakterisztikus de rendszer negyedik és ötödik egyenletét és használjuk fel a kezdeti feltételeket is a t = 0 helyen: Helyettesítsük be a most kiszámított q és p értéket a karakterisztikus de rendszer első illetve második egyenletébe és határozzuk meg az x és y függvényeket a kezdeti értékeket is felhasználva: Végül az x p és q függvényeket írjuk be a harmadik egyenletbe és határozzuk meg az megoldást: Ha összevetjük az x = és u = megoldásokat akkor azonnal megkapjuk a kezdetiértékfeladat megoldását: u(x y) = x 16 A és jelöléseket bevezetve az pde -et átírjuk az

16 de rendszert: alakba Az függvényhez állítsuk elő a karakterisztikus ahol a harmadik egyenletet felírhatjuk alakban is ha felhasználjuk a megoldandó pde -et A megadott x = 1 kezdőgörbét egészítsük ki sávvá a sávfeltétel felhsználásával A sávfeltétel szerint a megadott kezdőgörbe (0 1 1) érintővektora merőleges a megoldásfelület érintősíkjának normálvektorára a kezdőgörbe pontjaiban azaz ahonnan meghatározható Ezenfelül az x = 1 = 1 sávnak ki kell elégítenie a megoldandó xp + yq + = 0 pde -et amely behelyettesítés után alakú lesz ahonnan Második lépésben a karakterisztikus de rendszer olyan megoldásait kell meghatározni amelyek teljesítik az x = 1 = 1 kezdeti feltételeket a helyen Integráljuk a karakterisztikus de rendszer első negyedik és ötödik egyenletét felhasználva a kezdeti feltételeket is a t = 0 helyen: Ezután helyettesítsük be a feltételt is figyelembe véve: függvényt a második és harmadik egyenletbe és oldjuk meg őket a kezdeti Végül ha az és függvényekből kifejezzük a t és változót majd beírjuk az - ba akkor az u(x y) = ln x + megoldást nyerjük 4 Másodrendű LINEÁRIS parciális DIFFERENCIÁLEGYENLETEk Elméleti alapösszefüggések

17 Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenlet általános alakja (1) ahol az együtthatók az x és y változók adott függvényei Úgyszintén adott az f függvény is az ismeretlen függvény Az (1) egyenlet valamely tartományon elliptikus hiperbolikus vagy parabolikus típusú attól függően hogy a (2) determináns értéke ezen a tartományon pozitív negatív vagy nulla Ha az együtthatók állandók akkor az (1) egyenletet állandó együtthatósnak mondjuk A továbbiakban csak ilyen egyenletekkel foglalkozunk Ezek kanonikus alakja elliptikus esetben: hiperbolikus esetben: parabolikus esetben: Ezeknek az egyenleteknek a megoldásakor szinte kizárólag csak egy-egy partikuláris megoldás megkeresése a cél 1 Elliptikus esetben keressük az egyenletnek azt a megoldását egy korlátos T tartományon amely a tartomány S peremén egy adott g függvény értékeit veszi fel Ezt a feladatot Dirichlet-feladatnak más szóval első peremérték feladatnak nevezzük Szokásos jelölése: (3) Ennek a feladatnak legfeljebb egy megoldása van Kereshetjük az peremén kielégíti egyenletnek azt a megoldását a T tartományon amely a tartomány S feltételt ahol g adott függvény Ezt a feladatot Neumann-feladatnak más szóval második peremérték-feladatnak nevezzük Szokásos jelölése: (4) ahol n a tartományból kifelé mutató normális Ennek a feladatnak végtelen sok megoldása van (ha egyáltalán van megoldása) és ezek csak állandóban különböznek egymástól Megemlítjük hogy a egyenletet Poisson-egyenletnek a egyenletet pedig Laplace-egyenletnek nevezzük a egyenlet megoldásait pedig harmonikus függvényeknek 2 Hiperbolikus esetben az y változó helyett használjuk a t változót Keressük az egyenlet olyan u(x t) megoldását esetén amely kielégíti az és kezdeti feltételeket ahol és adott függvények Ezt a feladatot kezdetiérték-feladatnak (Cauchyfeladatnak) nevezzük Szokásos jelölése: (5) Itt tehát a feladat megoldását végtelen intervallumon ( ) keressük A feladatnak egyetlen megoldása

18 van Kereshetjük a feladat megoldását félegyenesen vagy véges intervallumon is Az ilyen ún vegyes feladat megoldásához az előbbi két kezdeti feltétel mellett peremfeltételt is meg kell adni E két feladat a következő: Félegyenesen: (6) ahol g adott függvények Véges intervallumon: (7) ahol g h adott függvények Mindkét feladatnak egyetlen megoldása van 3 Parabolikus esetben keressük az egyenlet olyan megoldását esetén amely kielégíti az u(x 0) = kezdeti feltételt Szokásos jelölése: (8) ahol f és egyetlen megoldása van adott függvények Ezt a feladatot kezdetiérték-feladatnak (Cauchy-feladatnak) nevezzük A feladatnak Kereshetjük azonban a feladat megoldását félegyenesen vagy véges intervallumon Az ilyen ún vegyes feladat megoldásához peremfeltételt is meg kell adni E két feladat a következő: Félegyenesen: (9) ahol g adott függvények Véges intervallumon: (10) ahol g h adott függvények Mindkét feladatnak egyetlen megoldása van A fenti feladatok megoldására egységes a gyakorlat számára egyszerűen alkalmazható eljárás nem létezik Néhány alapelv és módszer alkalmazása azonban gyakran célhoz vezet Ezek közül megemlítjük a Fourier-módszert Ennek az a lényege hogy az ismeretlen u(x y) függvényt szorzat alakjában keressük Ezzel a feladat visszavezethető közönséges differenciálegyenletek megoldására Megemlítjük hogy néha elemi módszerek is célravezetők lehetnek

19 5 MINTApÉLDÁk Megoldások: láthatók nem láthatók 1 Igazoljuk hogy az függvény kielégíti a Laplace-egyenletet Írjuk fel hogy milyen értékeket vesz fel a függvény a T tartomány határán ha T a) a téglalap; b) az körlap Írjuk fel mindkét esetben az u -ra vonatkozó peremfeltételt is vagyis azt hogy u milyen feltételt elégít ki a tartomány peremén Megoldás Innen látható hogy tehát a függvény kielégíti a egyenletet a) A tartomány pereme egyrészt az x = 0 ill x = 1 egyenes intervallumra eső egy-egy szakasza másrészt az y = 0 ill egyenes intervallumra eső egy-egy szakasza Ha x = 0 akkor u = sin y 426 ábra 427 ábra ha x = 1 akkor u = e sin y ha y = 0 vagy peremfeltételként felírva: akkor u = 0 (426 ábra) Mindezek b) A tartomány pereme az kör (427 ábra) A felső félköríven ezért ott

20 Az alsó félköríven ezért ott Tehát 2 Oldjuk meg az parciális differenciálegyenletet majd keressünk meg egy olyan partikuláris megoldást amely kielégíti az kezdeti feltételeket Megoldás Integráljuk az egyenlet mindkét oldalát x szerint Ekkor az egyenletet kapjuk ahol f tetszőleges (folytonos) függvény Ennek helyességéről úgy győződhetünk meg hogy deriváljuk mindkét oldalt x szerint Mivel f(y) nem függ x -től annak x szerinti deriváltja 0 Így az egyenletet kapjuk ami igazolja állításunkat Integráljuk most az egyenletet kapjuk ahol egyenletet y szerint Ekkor az az integrációs állandó szerepét veszi át Ha bevezetjük az jelölést akkor az differenciálegyenlet általános megoldása ahol és tetszőleges differenciálható függvények Írjuk most fel a két kezdeti feltételt figyelembe véve hogy : Innen látszik hogy egyrészt és másrészt ahol k állandó De mivel ezért k = 0 Tehát a keresett partikuláris megoldás: Megjegyezzük hogy is megoldás 3 Vizsgáljuk meg hogy az függvény (t > 0) megoldása-e az differenciálegyenletnek továbbá u(x t) kielégíti-e az kezdeti feltételt és az peremfeltételeket Számítsuk ki az u(50; t) értéket majd állapítsuk meg hogy u(50; t) mikor csökken 20 alá Megoldás Képezzük az és deriváltakat: Rövid összehasonlítás után látható hogy megoldása az differenciálegyenletnek tehát az adott u(x t) függvény valóban A kezdeti feltételt úgy kapjuk hogy elvégezzük a t = 0 helyettesítést:

21 Ez pedig megegyezik az adott u(x0) kezdeti függvénnyel vagyis u(x t) kielégíti a kezdeti feltételt A két peremfeltételt úgy kapjuk hogy elvégezzük az x = 0 majd x = 100 helyettesítést: mert Tehát u(x t) kielégíti a két peremfeltételt is Most számítsuk ki u(50; t) értékét: mert A kapott u(50; t) érték akkor csökken 20 alá ha u(50; t) < 20 Ehhez tehát oldjuk meg a azaz egyenletet Mindkét oldal logaritmusát véve a egyenletet kapjuk Innen Tehát u(50; t) értéke itt csökken 20 alá (u(50; t) csökkenő!) Állítsuk elő az alábbi másodrendű pde -ek általános megoldását: 4 ; Megoldás Mivel az y változó nem szerepel az egyenletben ezért tekinthetjük a pde-t közönséges differenciálegyenletnek Integráljuk az egyenlet mindkét oldalát x szerint Ekkor az egyenletet kapjuk Ismételt integrálás után az általános megoldáshoz jutunk ahol és tetszőleges folytonosan differenciálható függvények 5 Megoldás Írjuk fel az egyenletet alakban Innen látható hogy nem függ x -től (csak y -tól) tehát = f(y) alakú ahol f tetszőleges folytonosan differenciálható függvény Ez utóbbi egyenletet integráljuk y szerint Ekkor Bevezetve a jelöléseket a pde általános megoldása

22 alakban írható fel ahol és tetszőleges folytonosan differenciálható függvények 6 Oldjuk meg az alábbi peremérték-feladatot: Megoldás Mivel a másodfokú polinom alakjában azaz legyen pde jobb oldalán nulladfokú polinom áll ezért a megoldást keressük ahol az A B C D E az F egyelőre ismeretlen állandók Képezzük az u(x y) függvény x és y szerinti első és második parciális deriváltjait: Ha ezeket behelyettesítjük a pde be akkor az A + B = 2 egyenlethez jutunk Ezután használjuk ki a feladatban megadott peremfeltételeket és határozzuk meg az u(x y) ban szereplő állandókat: A másik két peremfeltétel alkalmazása esetén már használjuk fel az előzőekben kiszámított állandók értékét is: Könnyen ellenőrizhető hogy az így kiszámított kétváltozós függvény valóban megoldása a fenti peremértékfeladatnak mert a peremfeltételek mellett teljesíti az A + B = 2 feltételt is 7 Oldjuk meg az alábbi peremérték-feladatot:

23 Megoldás A pde olyan u(x y) megoldását keressük az ellipszis tartományon amely zérus értéket vesz fel a tartomány peremén az ellipszisen Keressük a peremértékfeladat megoldását alakban ahol A egyelőre ismeretlen állandó Az ilyen alakú u(x y) függvény már eleve teljesíti a megadott (homogén) peremfeltételt Deriváljuk x és y szerint kétszer parciálisan a fenti u(x y) függvényt: A második deriváltakat helyettesítsük be a pde -be Ekkor a kapott azonosságból A meghatározható nevezetesen Így a peremértékfeladat megoldása 8 Oldjuk meg a 0 < x < 1 0 < y < 1 ún sajátértékfeladatot ahol S a tartomány pereme pedig ismeretlen szám (a sajátérték) Megoldás Meg kell keresni azokat az u(x y) kétváltozós függvényeket (a sajátfüggvényeket) amelyek kielégítik a fenti pde-et és eleget tesznek az adott peremfeltételnek Továbbá meg kell keresni a sajátértékeket A feladatot Fourier-mószerrel oldjuk meg Ez azt jelenti hogy a megoldást szorzat alakjában keressük Behelyettesítve ezt az differenciálegyenletbe az egyenletet kapjuk Osztva XY -nal majd a változókat szétválasztva az egyenlethez jutunk Mivel a bal oldal csak x -től a jobb oldal csak y -tól függ az egyenlőség csak úgy állhat fenn minden x -re és y -ra ha mindkét oldal állandó Legyen ez az állandó Könnyen belátható hogy ez csak negatív lehet Ekkor az egyenlet az alábbi két közönséges

24 differenciálegyenletre esik szét: A peremfeltétel szerint az függvény értéke a 0 < x <1 0 < y < 1 négyzet peremén nulla Ezért X(0) = X(1) = 0 Y(0) = Y(1) = 0 A feladatot tehát visszavezettük az alábbi két (egydimenziós) peremértékfeladat megoldására: X(0) = X(1) = 0 (*) Y(0) = Y(1) = 0 (**) A (*) feladat megoldása: n = 1 2 ; A (**) feladat megoldása: m = 1 2 ; A szorzót célszerűségi okból választottuk Felhasználva a azaz összefüggést a sajátértékek a sajátfüggvények pedig n m = 1 2 n m = Oldjuk meg az alábbi első peremérték-feladatot: S a T tartomány pereme Megoldás A feladatot a 0 < x y < 1 négyzettartományon a sajátfüggvények szerinti sorfejtés módszerével oldjuk meg Az S perem a négyzetalakú tartomány oldalaiból áll Ismeretes hogy a sajátértékfeladat sajátértékei és sajátfüggvényei a 0 < x y < 1 négyzeten: ill ahol n m = (l az előző mintapéldát) A saját-függvények szerinti sorfejtés azt jelenti hogy a feladat megoldását alakban kapjuk meg ahol a együtthatót a n m = kettős integrál segítségével lehet kiszámolni Ha a most kiszámított értékét valamint a

25 sajátértékeket és az sajátfüggvényeket behelyettesítjük u(x y) fenti kifejezésébe akkor az megoldást kapjuk ahol az összegzés az n mellett csak m páratlan értékeire megy hiszen értéke zérus ha m páros szám 10 Oldjuk meg az alábbi második peremérték-feladatot: S a T tartomány pereme Megoldás A feladatot a négyzeten a sajátfüggvények szerinti sorfejtés módszerével oldjuk meg Ismeretes hogy a sajátértékfeladat sajátértékei és sajátfüggvényei ill ahol n m = A sajátfüggvények szerinti sorfejtés módszere szerint a feladat megoldását az alakban lehet előállítani ahol A tetszőleges állandó és a együtthatókat a kettős integrál segítségével lehet meghatározni Könnyen meggyőződhetünk arról hogy az integrál értéke minden olyan esetben nulla amikor Ezért csak a és alakú együtthatókat kell kiszámítani azaz n = 1 2 m = 1 2 Ezután felírható a feladat megoldása: ahol A tetszőleges állandó az összegzés pedig csak páratlan n és m értékekre megy

26 11 Oldjuk meg az alábbi kezdetiérték-feladatot: t > 0 Megoldás A kezdetiérték feladat megoldása az D'Alembert-féle formulával történik Helyettesítsük be az utóbbi egyenletbe a formulákat majd végezzük el a kijelölt integrálást Ekkor az és megoldáshoz jutunk 12 Oldjuk meg az alábbi vegyes feladatot: 0 < x < 1 t > 0 u(x 0) = u(0 t) = u(1 t) = 0 Megoldás A feladat megoldására a Fourier-módszert alkalmazzuk Keressük a megoldást az alakban ahol X(x) és T(t) egyelőre ismeretlen egyváltozós függvény Helyettesítsük be az u(x t) függvényt a pde be Ekkor az egyenletet kapjuk amely XT -vel való osztás után az alakra hozható Mivel a bal oldal csak az x változótól a jobb oldal pedig csak a t- től függ ezért az egyenlőség csak úgy állhat fenn ha mindkét oldal ugyanazzal az állandóval egyenlő Legyen ez a közös állandó amiről meg fogjuk mutatni hogy csak negatív szám lehet Ekkor a és

27 egyenleteket kapjuk Az peremfeltételekből az miatt feltételekhez jutunk Keressük a állandó együtthatós de megoldását alakban ahol r egyelőre ismeretlen állandó Ha ezt behelyettesítjük a fenti de -be akkor az karakterisztikus egyenlethez jutunk Itt három eset lehetséges nevezetesen ha akkor és ; ha akkor és ha akkor pedig és Ezekhez az esetekhez tartozó általános megoldások rendre: és Az első két eset azonban az feltétel miatt nem jöhet számításba hiszen ekkor értékeket kapnánk ahonnan miatt a adódik a megoldásra minket pedig a nemtriviális megoldás érdekel A harmadik esetben az feltétel következtében így Ha pedig kihasználjuk még az feltételt is akkor a egyenletből a n = értékeket nyerjük -et 1 -nek véve n = Ezután a ismeretében oldjuk meg a egyenletet Megoldása: ahol n = és valamint tetszőleges állandók A pde mindkét peremfeltételt is kielégítő megoldásai: A szuperpozíció elve alapján az függvény is megoldás bizonyos feltételek esetén Az utóbbi egyenletben szereplő állandókat a két kezdeti feltételt is felhasználva lehet meghatározni azaz teljesülnie kell az és egyenleteknek A második egyenletből a n = Az együtthatókat pedig a jól ismert formulából kaphatjuk meg Legyen n = 2k +1 ekkor a feladat megoldása:

28 13 Oldjuk meg az alábbi vegyes feladatot: 0 < x < 1 t > 0 u(x 0) = x( ) u(0 t) = u(1 t) = 0 Megoldás A feladat megoldására a Fourier-módszert alkalmazzuk Keressük a megoldást az alakban ahol X(x) és T(t) egyelőre ismeretlen egyváltozós függvények Helyettesítsük be az u(x t) függvényt a pde-be Ekkor az egyenletet kapjuk amely XT - vel való osztás után az alakra hozható Mivel az utóbbi egyenlet bal oldala csak az x változótól a jobb oldal pedig csak a t változótól függ ezért az egyenlőség csak úgy állhat fenn ha mindkét oldal ugyanazzal az állandóval egyenlő Legyen ez állandó Ekkor az és egyenleteket kapjuk Az peremfeltételekből az miatt az feltételekhez jutunk Az feladat megoldása az előző mintapélda részeredményét felhasználva n = Ezután a ismeretében oldjuk meg a elsőrendű de -et Megoldása: ahol n = és tetszőleges állandó A pde mindkét peremfeltételt is kielégítő megoldásai: A szuperpozíció elve alapján az függvény is megoldás bizonyos feltételek esetén Az utóbbi egyenletben szereplő kezdeti feltételt is felhasználva lehet meghatározni Teljesülnie kell tehát az állandót a egyenletnek Az együtthatókat az

29 formulából kaphatjuk meg Legyen n = 2k +1 ekkor a feladat megoldása: 14 Oldjuk meg az alábbi vegyes feladatot: 0 < x < 1 t > 0 u(x 0) = 0 u(0 t) = u(1 t) = 0 Megoldás Keressük a feladat megoldását az u(0 t) = u(1 t) = 0 peremfeltételeket eleve kielégítő alakban ahol egyelőre ismeretlen függvények Fejtsük sorba a pde jobb oldalán álló függvényt a n = függvényrendszer szerint: ahol az együttható jelen esetben nem függ a t változótól és n = Így az függvény alakban írható fel a sorfejtés után Helyettesítsük be az u(x t) feltételezett alakját és az f(x t) sorbafejtett alakját a fenti inhomogén pde-be Ekkor a egyenletet kapjuk ahonnan az n = 1 2 3

30 elsőrendű de -eket nyerjük Ezek állandó együtthatójú és inhomogén tipusú egyenletek Az homogén de általános megoldása: A próbafüggvény módszerrel könnyen előállíthatunk egy partikuláris megoldást amely jelen esetben Így az inhomogén de általános megoldása n = Az utóbbi egyenletben szereplő konstansokat az u(x 0) = 0 kezdeti feltételből következő (n = ) feltételekből lehet meghatározni Nevezetesen Ha most kiszámított értékét visszahelyettesítjük a fenti általános megoldásba akkor az eredményt kapjuk A feladat megoldása 6 FELADATOk Keresse meg az alábbi másodrendű parciális differenciálegyenletek általános megoldását: 1 ; 2 ; 3 ; 4 Oldja meg az alábbi első peremértékfeladatokat: 5 ha ha ha ha ; 6

31 ; 7 ; 8 ahol S a T tartomány pereme; 9 ahol S a T tartomány pereme; 10 ahol S a T tartomány pereme Oldja meg az alábbi kezdetiérték-feladatokat: 11 u(x 0) = x + 1 u(0 y) = ; 12 u(x 0) = u(0 y) = ; 13 u(x 0) = u(0 y) = 2 + sin y; 14 u(x 0) = ; 15 u(x 0) = 0 ; 16 u(x 0) Oldja meg az alábbi hiperbolikus pde -re vonatkozó vegyes feladatokat: 17 0 < x < 1 u(x 0) = sin x u(0 t) = u(1 t) = 0;

32 18 0 < x < 1 ; u(0 t) = u(1 t) = 0; 19 0 < x < 1 u(x 0) = sin x sin 2 x u(0 t) = u(1 t) = 0 Oldja meg az alábbi parabolikus pde -re vonatkozó vegyes feladatokat: 20 0 < x < 1 u(x 0) = u(0 t) = u(1 t) = 0; 21 0 < x < 1 u(0 t) = u(1 t) = 0; 22 0 < x < 1 u(x 0) = 40 sin 4 x u(0 t) = u(1 t) = 0; 23 0 < x < 1 u(x 0) = 0 u(0 t) = u(1 t) = 0 Megoldások 1 Integráljuk először a pde et x szerint: ahol C(y) tetszőleges folytonosan differenciálható egyváltozós függvény Második lépésben integráljuk az előbbi egyenlet mindkét oldalát y szerint: Vezessük be a jelölést Ezzel a másodrendű pde általános megoldása:

33 ahol és tetszőleges folytonosan differenciálható egyváltozós függvények 2 A másodrendű pde visszavezethető közönséges de -re mert az egyenlet nem tartalmazza az y változót explicite Legyen az u(x y) kétváltozós függvény a fenti pde egy tetszőleges megoldása Rögzítsük az y változót valamely = állandó helyen Ekkor bevezetve egy új egyváltozós függvényt és a parciális derivált helyett -et írva a másodrendű közönséges de et kapjuk Ez állandó együtthatós és inhomogén típusú egyenlet Megoldása: Ebből úgy kaphatjuk meg az eredeti pde u(x y) általános megoldását hogy a és állandók helyett a ill tetszőleges kétszer folytonosan differenciálható egyváltozós függvényeket írunk: 3 A pde megoldásához vezessünk be egy új függvényt a képlet segítségével Ezzel a jelöléssel a fenti pde helyett a elsőrendű egyenlethez jutunk Az y és v változókat szétválasztva majd integrálva a megoldáshoz jutunk Felhasználva hogy a továbbiakban a egyenletet kell megoldani Itt x szerint integrálva az általános megoldást kapjuk ahol és tetszőleges folytonosan differenciálható függvények és 4 A pde et a független változók transzformációjával oldjuk meg úgy hogy az (x y) változók helyett a és formulákkal új változókat vezetünk be Ekkor az inverz transzformáció: és Legyen u(x y) a fenti pde egy tetszőleges megoldása Helyettesítsük be u(x y) ba az inverz transzformációs összefüggéseket Ezzel egy új kétváltozós függvényt nyerünk:

34 Deriváljuk az utóbbi egyenlet mindkét oldalát x és y szerint kétszer parciálisan és használjuk ki hogy : A második deriváltakat helyettesítsük be az eredeti pde be Ekkor egyszerűsítések után a egyenletet nyerjük Először majd az változó szerint integrálva megkapjuk az általános megoldást (l a 2 mintapéldát is): ahol és tetszőleges kétszer folytonosan differenciálható egyváltozós függvények Végül az eredeti pde u(x y) megoldását úgy kaphatjuk meg hogy az utóbbi egyenletben szereplő függvénybe helyettesítsük be a és formulákat: 5 Mivel a pde jobb oldalán elsőfokú polinom áll ezért a megoldást harmadfokú polinom alakjában keressük azaz alakban ahol a második parciális deriváltjait: együtthatók ismeretlen állandók Állítsuk elő a fenti u(x y) függvény x és y szerinti első ill Ha a második parciális deriváltakat behelyettesítjük a fenti pde -be akkor a

35 (*) azonosságból a és egyenletekhez jutunk Ezután használjuk fel a megadott peremfeltételeket: ; Ha most felhsználjuk a (*) azonosságból származó egyenleteket is akkor és is meghatározható: Az eddig meghatározott együtthatók ismeretében az függvényhez jutunk Használjuk ki a megmaradt két peremfeltételt is: Így a peremértékfeladat megoldása: 6 A pde olyan u(x y) megoldását keressük az körtartományon amely zérus értéken vesz fel a tartomány peremén vagyis az körvonal pontjaiban Érdemes a peremértékfeladat megoldását az alakban keresni amely már eleve teljesíti a peremfeltételt ahol A B és C egyelőre ismeretlen állandók Állítsuk elő az u(x y) függvény x és y szerinti első és második deriváltjait: Behelyettesítve a második deriváltakat a pde -be az A B és C konstansok meghatározhatók: Mindezek ismeretében a peremértékfeladat megoldása: 7 Első lépésben az eredeti peremértékfeladat helyett a pde -et oldjuk meg homogén peremfeltétel azaz mellett ahol az S perem az kör A megoldás ismeretében az eredeti peremértékfeladat megoldása Keressük a homogén peremértékfeladat megoldását alakban (ahol A B

36 és C egyelőre ismeretlen állandók) Ez a függvény már eleve kielégíti a homogén peremfeltételt Deriváljuk a fenti függvényt x és y szerint kétszer Ekkor a összefüggéseket kapjuk A második deriváltakat helyettesítsük be a pde -be: ahonnan B = 0 és Ennek felhasználásával a homogén peremfeltételű feladat megoldása Végül az eredeti peremértékfeladat megoldása: 8 A feladatot a tartományon a sajátfüggvények szerinti sorfejtés módszerével oldjuk meg Az S perem a T tartomány oldalait jelenti Ismeretes hogy a sajátértékfeladat sajátértékei ill sajátfüggvényei a T tartományon ill ahol n m = (l a 8 mintapéldát) A sajátfüggvények szerinti sorfejtés módszere szerint a feladat megoldását az alakban lehet előállítani ahol Végül a feladat megoldása: 9 A feladatot a (egységkocka) tartományon a sajátfüggvények szerinti sorfejtéssel oldjuk meg Az S perem a T tartomány peremét jelenti Ismert hogy sajátértékfeladat sajátértékei ill sajátfüggvényei a T tartományon ill ahol n m k = (l a 8 mintapéldát) A sajátfüggvények szerinti sorfejtés módszere szerint a feladat

37 megoldását alakban lehet előállítani ahol A együttható ismeretében a feladat megoldása: ahol az összegzés csak páratlan n m és k értékekre megy 10 A tartományon vizsgált feladatot első lépésben visszavezetjük homogén peremfeltételű feladatra az helyettesítéssel Ekkor a miatt a homogén peremérték-feladatot kapjuk ahol S a T tartomány pereme Az utóbbi peremfeltétel a egyenletből megkapható: Második lépésben a homogén peremfeltételű feladatot a sajátfüggvények szerinti sorfejtéssel oldjuk meg Ismeretes hogy a sajátértékfeladat sajátértékei és sajátfüggvényei a fenti T tartományon ill ahol n = A sajátfüggvények szerinti sorfejtés módszere szerint a feladat megoldását a alakban lehet előállítani ahol a Így a homogén peremfeltételű feladat megoldása:

38 Végül az eredeti feladat megoldása: 11 A pde -ben írjunk x helyett -t és y helyett pedig -t így a egyenletet kapjuk Első lépésben integráljuk az utóbbi egyenletet 0 -tól x -ig a változó szerint: Második lépésben integráljuk az utóbbi egyenlet mindkét oldalát szerint 0 -tól y -ig: u(x y) (0 y) (x 0) + u(0 0) Használjuk fel az utóbbi egyenletben az u(x 0) = x + 1 és u(0 y) = u(0 0) = 1 Ezekkel a feladat megoldása: kezdeti feltételeket valamint azt hogy u(x y) = Írjunk x és y helyébe és változót Ekkor a pde -et kell megoldani Integráljuk szerint ezt a pde -et 0 -tól x -ig Ekkor az elsőrendű pde -et kapjuk Integráljuk ezt szerint nullától y -ig Ennek eredményeként u(x y) (0 y) (x 0) + u(0 0) Végül használjuk fel az és kezdeti feltételeket és azt hogy u(0 0) = 0 Ekkor a

39 feladat megoldása: 13 Integráljuk a egyenletet először szerint 0 -tól x -ig majd az így kapott egyenletet mellékfeltételeket A megoldás: szerint 0 -tól y -ig (mint ahogy azt tettük az előző két feladatban) Végül használjuk fel az adott 14 A u(x 0) = = kezdetiértékfeladatot legegyszerűbben az D'Alembert-féle formulával lehet megoldani Helyettesítsük be a és formulákat majd számítsuk ki az integrál értékét Ekkor az megoldáshoz jutunk 15 A u(x 0) = 0 kezdetiérték-feladatot a Duhamel-elv felhasználásával oldhatjuk meg Vezessünk be egy új v(x 0) = 0 segédfeladatot amit a D'Alembert-féle formulával oldunk meg úgy hogy benne a mint paraméter szerepel: Végül a Duhamel-elv szerint az eredeti kezdetiérték-feladat megoldása:

40 16 A u(x 0) = 0 kezdetiértékfeladatot a Duhamel-elv segítségével oldjuk meg Ennek érdekében először oldjuk meg a v(x 0) = 0 feladatot Ez utóbbi feladat megoldása a D'Alembert-féle formulával (ahol mint paraméter szerepel): Végül a Duhamel-elv szerint az eredeti kezdetiérték-feladat megoldása: 17 A feladatot a Fourier-féle módszerrel oldjuk meg A megoldás lépései megegyeznek a 12 mintapélda megoldásának lépéseivel A pde mindkét peremfeltételt kielégítő megoldása a szuperpozíció elv alapján: Az együtthatókra az eredményt nyerjük míg A feladat megoldása: 18 A feladatot a Fourier-módszerrel oldjuk meg A megoldás menete teljesen azonos a 12 mintapéldáéval A pde mindkét peremfeltételt is kielégítő megoldása a szuperpozíció elv alapján:

41 Mivel a jelenlegi feladat a 17 feladattól csak a kezdeti feltételben tér el itt is így ) ezért n = Legyen n = 2k + 1 Ekkor k = Így a megoldás: 19 A feladatot a Fourier-féle módszerrel oldjuk meg hasonló gondolatmenetet követve mint a 12 mintapéldában A megoldás menete teljesen azonos a peremfeltételeket is kielégítő függvény előállításáig Az és konstansok előállításához az és parciális deriváltját: kezdeti feltételekre van szükség Képezzük a fenti u(x t) megoldás t szerinti Ezután írjuk fel a két kezdeti feltételt: Az utóbbi két egyenletből kiolvashatók és értékei nevezetesen:

42 Ezek felhasználásával a feladat megoldása: 20 A feladatot a Fourier- módszerrel oldjuk meg a 13 mintapélda mintájára Mindkdét feladatban a pde és a u(0 t) = u(1 t) = 0 peremfeltételek megegyeznek eltérés csak a a pde -et és a peremfeltételt is kielégítő megoldás ugyanaz mint ott azaz kezdeti feltételben van Emiatt A két feladat közötti különbség a kezdeti feltétel különbözősége miatt az kezdeti feltétel szerint: állandók meghatározásában van A ahonnan az állandókat a jól ismert képlettel határozhatjuk meg Végül a feladat megoldása: (0 < x < 1) 21 A feladat megoldására a Fourier-módszert alkalmazzuk hasonlóan mint a 13 mintapéldában A megoldás menete teljesen azonos a peremfeltételeket is kielégítő megoldás előállításáig Ennek az az oka hogy a pde és peremfeltételek ugyanazok mindkét feladat esetén Eltérés csak a kezdeti feltételben van amely a jelen feladat esetén:

43 Az együtthatókat tehát az u(x 0) = kezdeti feltételekből lehet meghatározni az összefüggés alapján: n = Látható az utóbbi egyenletből hogy minden páros indexű együttható értéke zérus így elegendő csak a páratlan indexűeket figyelembe venni Legyen n = 2k + 1 ekkor a feladat megoldása: 22 A feladatot a Fourier-módszerrel oldjuk meg A megoldás lépései ugyanazok mint a 13 mintapéldában Mivel a pde és a peremfeltételek mindkét feladatnál megegyeznek ezért a pde -et és a peremfeltételeket is kielégítő megoldás: A két feladat között a különbség a kezdeti feltételben van ami a jelenlegi feladat esetén Az együtthatókat az u(x 0) = kezdeti feltételből lehet meghatározni azaz teljesülnie kell az egyenletnek ahonnan és Tehát a feladat megoldása: 23 A feladat megoldását az u(0 t) = u(1 t) = 0 homogén peremfeltételeket kielégítő alakban keressük ahol egyelőre ismeretlen függvények Fejtsük sorba a pde jobb oldalán szereplő f(x t) függvényt a n = függvényrendszer szerint: Az együtthatók jelen esetben t -től függetlenek és értékük:

44 Így az f(x t) függvény az alakban írható fel Ha az utóbbi egyenletben szereplő függvényt és az u(x t) feltételezett alakját behelyettesítjük a pde -be akkor a egyenletet nyerjük ahonnan az n = elsőrendű de -eket kapjuk amelyek állandó együtthatójú de -ek Megoldásuk: Az utóbbi egyenletben szereplő állandókat az u(x 0) = 0 kezdeti feltételből következő (n = ) feltételekből lehet meghatározni és így a de megoldása is felírható: Végül a feladat megoldása Digitális Egyetem Copyright Kovács Béla 2011

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC 016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

Differenciálegyenletek. Vajda István március 4.

Differenciálegyenletek. Vajda István március 4. Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx = Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!

Részletesebben

5. fejezet. Differenciálegyenletek

5. fejezet. Differenciálegyenletek 5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén

Részletesebben

I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3

I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3 Tartalomjegyzék Előszó 1 I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3 1. Topológia R n -ben 5 2. Lebesgue-integrál, L p - terek, paraméteres integrál 9 2.1. Lebesgue-integrál, L p terek................... 9

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =, Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 4 IV HATVÁNYSOROk 1 ELmÉLETI ALAPÖSSZEFÜGGÉSEk Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények, függvénysornak nevezzük Ha a tagok hatványfüggvények, akkor a sor neve hatványsor

Részletesebben

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása

Részletesebben

λx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)

λx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j) Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények

Részletesebben

(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,

(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0, Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ

Részletesebben

A brachistochron probléma megoldása

A brachistochron probléma megoldása A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.

Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

Parciális dierenciálegyenletek

Parciális dierenciálegyenletek Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

Kétváltozós függvény szélsőértéke

Kétváltozós függvény szélsőértéke Kétváltozós függvény szélsőértéke Sütő Andrea Kétváltozós függvény szélsőértéke Legyen adott f ( xy, ) kétváltozós függvény és ez legyen folytonosan totálisan differenciálható, azaz létezzenek az elsőrendű

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx

Részletesebben

Definíció Függvényegyenletnek nevezzük az olyan egyenletet, amelyben a kiszámítandó ismeretlen egy függvény.

Definíció Függvényegyenletnek nevezzük az olyan egyenletet, amelyben a kiszámítandó ismeretlen egy függvény. 8. Differenciálegyenletek 8.1. Alapfogalmak Korábbi tanulmányaink során sokszor találkoztunk egyenletekkel. A feladatunk általában az volt, hogy határozzuk meg az egyenlet megoldását (megoldásait). Az

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 6 VI TÉRGÖRbÉk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk A térgörbe (1) alakú egyenletével írható le Ez a vektoregyenlet egyenértékű az (2) skaláris egyenletrendszerrel A térgörbe három nevezetes

Részletesebben

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy

Részletesebben

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód: Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be! MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 6. Differenciálegyenletekről röviden Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Elsőrendű differenciálegyenletek Definíciók Kezdetiérték-probléma

Részletesebben

2. (b) Hővezetési problémák. Utolsó módosítás: február25. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

2. (b) Hővezetési problémák. Utolsó módosítás: február25. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék 2. (b) Hővezetési problémák Utolsó módosítás: 2013. február25. A változók szétválasztásának módszere (5) 1 Az Y(t)-re vonakozó megoldás: Így: A probléma megoldása n-re összegzés után: A peremfeltételeknek

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................

Részletesebben

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy: Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás)

6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás) Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz 6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1. Írjunk fel egy olyan legalacsonyabbrendű valós,

Részletesebben

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25) I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Differenciálegyenletek december 13.

Differenciálegyenletek december 13. Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Nemlineáris programozás 2.

Nemlineáris programozás 2. Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő exponenciális egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) 5 3 x 2 2 y = 7 2 3 x + 2 y = 10 7 x+1 6 y+3 = 1 6 y+2 7 x = 5 (6 y + 1) c) 25 (5 x ) y = 1 3 y 27 x = 3 Megoldás:

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek

A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek 10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 14 XIV NEVEZETES GÖRbÉk 1 AZ EGYEnES EGYEnLETE A és pontokon átmenő egyenes egyenlete: (1), Az hányados neve iránytényező (iránytangens, meredekség) A ponton átmenő, m iránytangensű

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,

Részletesebben

Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15

Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15 Egyenes és sík Wettl Ferenc 2006. szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2006. szeptember 29. 1 / 15 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny 007. április 16. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak 9. osztályosoknak 1. feladat a) Vegyük észre, hogy 7 + 5 felírható 1 + 3 + 6 + alakban, így

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +

Részletesebben

Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével

Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2013. szeptember 23. Javítva: 2013.10.09.

Részletesebben

Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék,   Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20 Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Egészrészes feladatok

Egészrészes feladatok Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Elhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban. Mindkét csoport. Rövidítve.

Elhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban. Mindkét csoport. Rövidítve. TTK, Matematikus alapszak Differenciálegyenletek 1 (BMETE93AM15) Elhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban Mindkét csoport Rövidítve 1 gyakorlat 017 szeptember 7 T01 csoport Elsőrendű közönséges

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Végeselem modellezés alapjai 1. óra

Végeselem modellezés alapjai 1. óra Végeselem modellezés alapjai. óra Gyenge alak, Tesztfüggvény, Lagrange-féle alakfüggvény, Stiness mátrix Kivonat Az óra célja, hogy megismertesse a végeselem módszer (FEM) alkalmazását egy egyszer probléma,

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő

Részletesebben