Feladatok matematikából 3. rész

Átírás

1 Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz

2 Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat! + + i.) ( + e ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) + + k.) l.) m.) n.) o.) p.) q.) r.) s.) t.) (t + 6t 5)dt ( e ( 3) cos ). Határozzuk meg a következő integrálokat! + + ( 4) ln tg sin + sin i.) k.) l.) e + e

3 3 3. Határozzuk meg a következő határozatlan integrálokat! e 3 ( + 3 ) 3 ( + ) (8 + 7) 3 3 e sin ln e cos e cos e sin ln sin 3 cos sin cos3 arc tg 3 i.) + tg cos 4. Számítsuk ki a következő határozatlan integrálokat! e i.) ( )e 5. Számítsuk ki a következő integrálokat! 3 ( + ) ( + ) 3 e 4 + e k.) l.) m.) n.) o.) p.) ( + ) cos ( 3 3 7) sin ( + ) ln 7 ln arc tg arc tg arcsin e (Alkalmazzuk az e = t helyettesítést!)

4 4 tg 3 (Alkalmazzuk az t = tg helyettesítést!) e + 6. Határozzuk meg a következő integrálokat! e + e + (Alkalmazzuk az = sin t helyettesítést!) 5 ( )( + 5) i.) + 3 ( )( + 5) 3 k.) l.) m.) + + n.) Alkalmas helyettesítéssel számítsuk ki az alábbi határozatlan integrálokat! + cos (Alkalmazzuk az t = tg helyettesítést!) ln b) c) d) + sin + cos + ln e) cos f) cos g) sin(ln ) 8. Integráljuk az alábbi racionális törtfüggvényeket, illetve helyettesítéssel ilyenekre visszavezethető függvényeket. + 3 a) b) c) ( )( + 5) d) 3 3 e) ( + ) ( + ) f) ln +

5 5 Határozott integrál 9. Számítsuk ki a következő határozott integrálokat! ; 3 ; π sin ; cos ; π ; ; 3 ( e + + ).. Legyen ha < f() = 3 ha = ha > ; g() = { ha < ha >. Mennyi a következő integrálok értéke? 3 f() ; g() ; 3 5 f() ; g() ; 3 f() ; g(). Mennyi b f() és b g()? a. Számítsuk ki a következő integrálokat! a 3 e ; ( ) 7 ; π/ π/3 ctg () ;,5.. Számítsuk ki a következő határozott integrálokat! 3 e ; 4 ; e e 4 + e ; Ha egy [a, b]-n értelmezett f() függvény görbéjét megforgatjuk az -tengely körül, akkor az általa határolt forgástest térfogata b V = f () π. a Ezt felhasználva számítsuk ki egy gömb és egy kúp térfogatát!

6 6 4. Léteznek-e a következő impropius integrálok? Ha igen, számítsuk ki őket! ln ; e ln ; ln ; ; ; + e ; e ; ; ; 3 ; Léteznek-e az alábbi improprius integrálok? Ha igen, számítsuk ki őket! 3 ; ( ) ; 4 e ; ; + 6 e /3 ; 3 ; ; Legyen f() = ( ( )). Melyek léteznek a következő integrálok közül? f() ; f() ;,5 f() ; f() ;,5 f() ; f() ; f(). 7. Mennyi π ( ) ; ; 4 ; e ; π e ; ln ; ln ; ; 976 ; 8. Következik -e a lim A A f() határérték létezéséből, hogy A f() konvergens?

7 9. Mennyi π sin és 4. Próbáljuk meg az eredményt megtalálni a 7 π primitív függvény kiszámítása nélkül!. Tegyük fel, hogy a GNP növekedési üteme az n-edik évben f(n) % év. Hányszorosára nő ekkor a GNP az n és n -edik évek között?. Legyen A = {(, y) y } és B = {(, y) y + }. Mennyi A B területe?. Mennyi az a + y = ellipszis területe? b 3. Mennnyi az f() = 4 függvény görbéjének a hossza =, 5 és = között? 4. Forgassuk meg az y tengely körül az y = 8 egyenletű parabolának az első síknegyedbe eső részét! Mekkora térfogatú test keletkezik?

8 8 Differenciálegyenletek 5. Oldjuk meg a következő differenciálegyenleteket! a) y = e sin f) y = + y b) ( + sin )y = g) + y + yy = c) ( + e )y = e h) y sin = y ln y d) y y = y 3 i) ( )y + y = e) + 5 = yy j) e y y + =. 6. Határozzuk meg az ( + e )yy = e differenciálegyenlet y() = kezdeti feltételt teljesítő megoldását! 7. Oldjuk meg a következő differenciálegyenleteket! a) y = ( y) + b) y = sin( y) c) (y ) = + y + (y > ) (Javaslat: előbb alkalmazzunk helyettesítést) 8. Oldd meg! a) + y + y = b) y = y ln y y ln c) ( y)y = + y d) + y + y y = e) y = y f) (3y + )y = 6y + 4 y g) yy + y + y = h) y = y. y (Javaslat: előbb alkalmazzuk z = y helyettesítést!) 9. Oldjuk meg a következő lineáris differenciálegyenleteket! a) y = y g) y y = e sin b) y y = e h) y + y tg = sin c) y + 3y 3e = i) y sin + y cos = cos d) y = y j) y y e = e) y 3y + 5 = k) y = y + 3y f) ( + )y y = l) y = y Oldja meg az y +y = e differenciálegyenletet! Határozza meg a megoldásfüggvények határértékét esetén! a) y + y = e b) y + y = 3 3. Jelölje y() egy iparág dolgozóinak összlétszámát az időpillanatban. Tegyük fel, hogy a létszámcsökkenés sebessége olyan hogy y () = λy(), ahol λ >, az iparágra jellemző kilépési együttható, konstans. = -ban a kezdő létszám ismert. Mennyi idő alatt csökken le a kezdő létszám a 3/4-ére?