Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére

Átírás

1 Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMANB Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6

2 . gyakorlat Matematika II.. Az alábbi f függvényeknél adja meg f -t! f() = + 5; (b) f() = 7 4 ; f() = ; (d) f() = 3 3 ; f() = ; (f) f() = Az alábbi f függvényeknél adja meg f -t! Alkalmazza a differenciálható függvények szorzatára vonatkozó deriválási szabályt! f() = ( + ) ; (b) f() = sin ; f() = ( 3 + ) cos ; (d) f() = ( ); f() = 3 5 log 4 ; (f) f() = sin cos. 3. Az alábbi f függvényeknél adja meg f -t! Alkalmazza a differenciálható függvények hányadosára vonatkozó deriválási szabályt! f() = ; (b) f() = ; f() = sin + ; (d) f() = tg; cos f() = + sin cos ; (f) f() = cos + sin. 4. Az alábbi f függvényeknél adja meg f -t! Alkalmazza a differenciálható függvények kompozíciójára vonatkozó deriválási szabályt (láncszabályt)! f() = (3 + 5) ; (b) f() = + 7; ( ) f() = ; (d) f() = ; 3 f() = 3 ( + ) 4 ; (f) f() = cos ( 3 + ). 5. Az alábbi f függvényeknél adja meg f -t! f() = sin ; ctg (b) f() = ( + ) 5 3 sin ; f() = tg ; (d) f() = 3 + cos( 3); f() = 5 sin 3 + tg(5 ); (f) f() = ln

3 6. Az alábbi f függvényeknél adja meg f -t! f() = sin ; (b) f() = cos (4 + ) ln ; 6 + lg f() = ; (d) f() = tg3 + ctg (4 + 5); + cos f() = ln sin 8; (f) f() = log (cos 3 + ) ; ( 3 + e ) 3 3 ln( + f() = (π + tg) ; (h) f() = ) + tg. 7. Határozza meg az f : R R, f() = 3+ függvény grafikonjának az = abszcisszájú pontjához húzott érintő és normális egyenletét! 8. Adja meg az f : R R, f() = 3 3 függvény azon pontjait, amelyekhez tartozó érintők párhuzamosak az y = 3 egyenessel! 9. Határozza meg az f : R R, f() = + cos függvény grafikonjának az = π 3 pontjához tartozó normálisát!. Mutassa meg, hogy az f : R R, f() = egyenletű görbe egységnyi ordinátájú pontjaiba húzott érintők az origóban metszik egymást!. Adja meg az f() = + függvény második deriváltját!. Adja meg az f() = függvény hatodik derivált függvényét! 3. Határozza meg az f() = sin függvény századik deriváltját! 4. Mutassa meg, hogy ha akkor teljesül az egyenlőség! f() = e sin, f () + f () + f() =. 5. Egy tetszőleges pozitív számhoz adja hozzá a reciprokát! Melyik szám esetén lesz ez az összeg minimális, illetve mikor lesz maimális? 6. Határozza meg azt a pozitív valós számot, amelyre az különbség maimális! 7. Ossza fel a 8-at két részre úgy, hogy a részek négyzetösszege minimális legyen! 8. Ossza fel az a távolságot két részre úgy, hogy a részekkel, mint oldalakkal szerkesztett négyzetek területének összege minimális legyen!

4 . feladatlap Implicit függvények differenciálása. Határozzuk meg az alábbi, implicit alakban adott függvények y deriváltját, ha y = y()! + y = ; (b) y + y = ; 4y + y = ; (d) + y y = ; cos y = ; (f) y + 3y 3 = 5; + y = ; (h) cos y + ctg = 3; (i) ln y + y = ; (j) arctg y = ln + y.. Határozzuk meg az y + y = 3 görbe P (, ) pontjához tartozó érintő egyenletét! 3. Határozzuk meg az 9 + 6y = 5 egyenletű ellipszis azon érintőit, amelyek párhuzamosak a 9 8y = egyenessel! 4. Határozzuk meg y -t és y -t, ha y + y = és y = y()! 5. Határozzuk meg y -t és y -t az (, ) pontban, ha a sin y = 3 5 görbe átmegy ezen a ponton és y = y()! 6. Igazoljuk, hogy y = y3, ha + y = y és y = y()! 3 7. Határozzuk meg y = dy d Paraméteres alakban adott függvény deriváltja értékét az { (t) = t 3 + t, y(t) = t 7 + t +, t R paraméteres alakban adott görbére! 8. Határozzuk meg y = dy d értékét az { (t) = cos t, y(t) = sin t, t [, π) paraméteres alakban adott görbére, ha t = π 4!

5 9. Határozzuk meg y = dy d és y = d y értékét az alábbi paraméteres alakban adott görbére! d { (t) = et sin t, t R. y(t) = e t cos t,. Határozzuk meg y = dy d és y = d y értékét az d { (t) = cos 3 t, y(t) = sin 3 t, t [, π) paraméteres alakban adott görbére, ha t = π 3!. Határozzuk meg az { = 5 cos t y = 4 sin t paraméteres alakban adott ellipszisnek a t = π 4 érintő iránytangensét! Vázoljuk a görbét! t [, π) paraméterértékhez tartozó pontjához húzott. Adjuk meg az alábbi paraméteres alakban adott görbe t = paraméterértékű pontjában az érintőegyenes egyenletét! { (t) = 3e t, t R. y(t) = 5e t, 3. Hol konve az görbe? { (t) = 3t, y(t) = 9t 3t, t R Polárkoordinátás alakban adott függvény differenciálása 4. Legyen r = cos ϕ. Számítsuk ki az alábbi kifejezéseket! dr dϕ ; (b) d r dϕ ; d 3 r dϕ ; (d) dr 3 d r ( π ) ; (f) dϕ 4 dϕ ( π 6 d 3 r dϕ 3 ) ; ( 5π 6 ).

6 5. Igazoljuk, hogy az r = 3ϕ archimédeszi spirális érintőjének meredeksége 6 + 3π 6 3 π a ϕ = π 6 pontban! 6. Írjuk fel az r = ϕ hiperbolikus spirális érintőjének egyenletét a ϕ = 3π pontban! 7. Határozzuk meg az r = 8. Adjuk meg az r = 4 cos ϕ 4 cos ϕ parabola érintőjének meredekségét a ϕ = π 3 pontban! parabolának azt a pontját, ahol az érintő meredeksége! 9. Írjuk fel az r = sin ϕ kardioid ϕ = pontjában az érintőegyenes egyenletét!

7 3. feladatlap A határozatlan integrál, integrálási szabályok. Számítsuk ki az alábbi határozatlan integrálokat! (i) ) d; ( ( ) d; (b) d; (d) ( e ) d; ( 5 cos ) ( sin d; (f) sin + 3 cos ( ) d; (h) + + d; ( ) ( + 3) d; (j) ( + 3 ) d.. Vezessük vissza elemi integrálokra a következő integrálok kiszámítását! ) d; (i) 3 e d; (b) + d; d; (d) tg d; cos cos sin d; (f) ch ch d; cos cos d; (h) cth d; 3 3d; (j) ( + ) 3 d; (k) ( + ) d; (l) 5 (8 3)6 d; (m) sin cos d; (n) cos 5 sin d; (o) (q) (s) (t) (u) (v) () d; (p) + d; + d; (r) ch sh d; cos 5 sin 3 d; (sz) sin 5 d; 3 + cos ln d; (ty) tg d; + d; (ü) d; e e + d; (w) ln d; arctg + d; (y) + cos d;

8 3. Számítsuk ki az alábbi határozatlan integrálokat! sin 3 d; (b) cos(4 + π) d; e 5 d; (d) (e 3 + 3e 3 ) d; ( 3) 4 d; (f) 5 6 d; cos (3 4) d; (h) e 7 5 d. Szorzatintegrálással megoldható feladatok 4. Számítsuk ki az alábbi határozatlan integrálokat! e d; (b) sin d; 7 d; (d) cos d; 3 sin d; (f) e d; e 7 d; (h) e +ln d; (i) (k) (m) (o) (q) cos sin 3 d; (j) ln d; ln d; (l) arctg d; arcsin d; (n) arccos d; 3 ln d, (p) arctg d;, arth d, (r) ln d; (s) arctg d; (sz) arctg d; (t) arccos d; (ty) ( + )ch d; (u) ( + ) ln d; (v) ln d; (w) e cos d; () ch sin 5 d; (y) sin 3 cos 5 d; (z) e 3+ ln d.

9 4. feladatlap Integrálás helyettesítéssel. Adjuk meg az alábbi határozatlan integrálokat! (i) (k) (m) (o) (q) cos ( 5) d; (b) 6 sin cos d; (d) d + 4 ; 4 sh( 5 6) d; e cos(e ) d; (f) (h) (j) sin d; (l) e d; (n) sin (4 + 7) d; e cos sin d; d; e + e d; e d; + e e d; e + e d; e e 4 e d; (p) e e + 3 ch d;. Adjuk meg az alábbi határozatlan integrálokat! (r) d; (b) + cos + sin ; (d) cos 4 + sin ; (f) d; (h) + 3 cos + ch d. d; sin d; ln tg sin cos d; sin 3 + cos d; 9 d; (i) (k) (m) + 5 d; ; (j) (l) d ; (n) d; d; d.

10 Racionális törtfüggvények integrálása 3. Állítsuk elő az alábbi határozatlan integrálokat! (i) 4 d; ; ; + + d; (b) (d) (f) (h) d; (j) ( ) + 3 d; + d; ( + ) d; d; d. 4. Parciális törtekre bontással számítsuk ki a következő határozatlan integrálokat! (i) (k) (m) d; (b) ( )( 4) d; (d) ( )( + ) 9 d; (f) (3 5)( 7) d; (h) d; (j) ( ) d; (l) d; (n) ( ) ( + ) d; 3 59 ( + )( ) d; d; d; + ( + ) d; d; + d; Racionális függvények integrálására vezető helyettesítések 5. Állítsuk elő az alábbi határozatlan integrálokat! 3 ( + 3 d; (b) ) e e + 3 d; + 3 d; (d) d.

11 5. feladatlap Riemann-integrál. Tekintsük az f : [, ] R, f() = függvényt! Osszuk fel a [, ] intervallumot öt részre, majd adjuk meg a felosztás osztópontjait, részintervallumait, továbbá a felosztáshoz tartozó alsó és felső integrálközelítő összeget!. Egy egyenes pályán mozgó test gyorsulás-idő függvénye: [ f :, π ] R, f(t) = sin t. Osszuk fel a [, π ] intervallumot négy egyenlő részre, majd adjuk meg a felosztás osztópontjait, részintervallumait, továbbá határozzk meg közelítőleg a sebesség megváltozását, azaz adjuk meg a felosztáshoz tartozó alsó és felső integrálközelítő összeget! 3. Legyen adott az f : [, ] R, f() = 4 függvény. Osszuk fel a [, ] intervallumot nyolc részre, határozzuk meg a felosztás osztópontjait, részintervallumait, valamint a felosztáshoz tartozó alsó és felső integrálközelítő összeget! 4. Legyen f : [ 4, 3] R, f() =, P = { 4,,,, 3} [ 4, 3], továbbá t = 3, t =, t 3 =, t 4 =. Számítsuk ki az s(f, P ), S(f, P ) és σ(f, P ) összegeket! 5. Igazoljuk teljes indukcióval az alábbi azonosságot: (n ) + n = n(n + ), majd ennek felhasználásával bizonyítsuk be a Riemann-integrál definíciójának felhasználásával, hogy b 6. Igazoljuk, hogy az f : [, ] R, f() = d = b. {, ha racionális,, ha irracionális Dirichlet-függvény nem Riemann-integrálható a [, ] intervallumon! 7. Legyen c R és f : [a, b] R, f() = c. Bizonyítsuk be a definíció alapján, hogy f Riemann-integrálható!

12 8. Adjunk meg olyan f : [a, b] R függvényt, amelyik nem Riemann-integrálható [a, b]-n, de f már Riemann-integrálható [a, b]-n! 9. Legyen 4 f() d = 5, f() d =, g() d = 7. Határozzuk meg az alábbi integrálokat! f() d; (b) 4 f() d; 4 3f() d; (d) (f() + 4g()) d; g() d; (f) (f() g()) d; (g() f()) d; (h) (4g() 8f()) d.. Legyen f() d =, f() d = 5, h() d = 4. Határozzuk meg a következő integrálokat! ( )f() d; (b) 9 (f() + h()) d; 9 (f() 3h()) d; (d) 7 f() d; 7 7 f() d; (f) 9 7 (h() f()) d. 9. Mutassuk meg, hogy az + cos d 3 egyenőtlenség fennáll!

13 . A maimum-minimum egyenlőtlenséget alkalmazva adjunk alsó és felső korlátot az értékre! + d 3. Bizonyítsuk be, hogy d < 4. 4 Newton-Leibniz-formula 4. Számoljuk ki az alábbi határozott integrálokat! ( + 5) d; (b) ( + ) d; (d) ( 3 + 3) d; 4 + d; π 3 sin d; (f) π cos sin d; π d; (h) π sin d; (i) (k) 3 ln d; (j) + 3 d; (l) π 4 π + sin d; cos d; (m) 3 sgn( 3 ) d; (n) π sgn(cos ) d. 5. Határozzuk meg az f() = 3 függvény középértékét a [, ] intervallumon! 6. Adjuk meg az f() = [, cos függvény középértékét a π ] intervallumon! 4

14 7. Határozzuk meg a b valós paraméter értékét, ha az f() = 3 + b függvény átlagos értéke a [, ] intervallumon Határozzuk meg az alábbi deriváltakat! Az integrál, mint a felső határ függvénye d d d d 5 + 7t dt; 3 t4 + d; (b) (d) d d d d 4 sin 3 t dt; t dt. 9. Keressük meg dy -et az alábbi feladatokban! d y = y = + t dt; (b) y = sin t dt; (d) y = t dt, ( > ); cos t dt.

15 6. feladatlap Terület számítása határozott integrállal. Határozzuk meg az f() = függvény grafikonja és az -tengely által határolt tartomány teljes területét, ha [ 3, ]!. Számítsuk ki az f() = 3 4 függvény grafikonja és az -tengely által közrezárt véges síkrész területének mérőszámát, ha [, ]! 3. Mekkora területet határolnak az f() =, a g() = + 6, = és az = görbék? 4. Adjuk meg annak a tartománynak a területét, amelyet az f() = +cos függvény grafikonja, valamint az y = és az = π egyenesek zárnak közre! 5. Vázoljuk az f() = 3 függvény grafikonja, az y = és az y = egyenesek által határolt tartományt, majd határozzuk meg a területét! 6. Számítsuk ki az f() = és a g() = + görbék által közrezárt síkrész területét! 7. Adjuk meg az f() = és a g() = parabolák által határolt tartomány területének mérőszámát! 8. Számítsuk ki az értékét úgy, hogy az y-tengely, az f() = egyenletű görbe, valamint e görbének az abszcisszájú pontjához húzott érintője által határolt véges terület mérőszáma legyen! T = 3 9. Vázoljuk az f : R R, f() = függvény grafikonját! Számítsuk ki a b R paraméter + 4 értékét, ha a görbe alatti terület a [ b, b] intervallumon!. Ábrázoljuk ugyanabban a koordináta-rendszerben az f() = sin és a g() = cos függvényt, majd számítsuk ki, hogy mekkora területűek a megadott görbék által közrezárt tartományok!. Mekkora területű síkidomot zár közre az y = parabola és az + y = 4 kör? } (t) = 3 cos t. Számítsuk ki az paraméteres egyenletrendszerrel adott görbe alatti terület y(t) = 3 sin t mérőszámát a t π intervallumban! } (t) = r cos t 3. Számítsuk ki az paraméteres egyenletrendszerrel adott görbe alatti terület y(t) = r sin t mérőszámát a t π 4. Számítsuk ki az intervallumban (r > )! (t) = 3(t sin t) y(t) = 3( cos t) }, t [, π] paraméteres egyenletrendszerrel adott közönséges ciklois egy íve alatti terület mérőszámát!

16 5. Mekkora az (t) = cos t y(t) = cos t }, t [, π] paraméteres egyenletrendszerrel adott görbe és az y tengely közé eső síkrész területe? Készítsünk vázlatot! 6. Számítsuk ki az r = 4 cos ϕ görbe (lemniszkáta) területét! Vázoljuk a görbét! 7. Számítsuk ki azon síktartomány területét, amely az r = + cos ϕ görbén belül és az r = körön kívül van! 8. Számítsuk ki azon síktartomány területét, amely az r = cos ϕ görbén belül és az r = körön kívül van! Készítsünk ábrát! 9. Határozzuk meg az r = sin ϕ kör által határolt tartomány r = cos ϕ kardioidon kívül eső részének a területét!. Számítsuk ki annak a síktartománynak a területét, amely az r = 4 cos ϕ görbén belül, de az r = cos ϕ görbén kívül van! Készítsünk ábrát!. Határozzuk meg az r = 4 kör és az r = 4 cos ϕ lemniszkáta közé eső véges síktartomány területét! Készítsünk ábrát!. Határozzuk meg az r = sin ϕ négylevelű lóhere egyik levelének területét! 3. Számítsuk ki az alábbi görbék ívhosszát! Síkgörbék ívhosszának számítása y = ch, [, 3]; (b) y = 4, [, ]; [ π y = ln sin, 4, π ] ; (d) y = ln( ), y = ( + ) 3, [, ] ; [ 6, ] ; (f) 6y = 4 + 3, [, ] Számítsuk ki az (t) = 3 cos t y(t) = 3 sin t paraméteres egyenletrendszerrel adott görbe ívhosszát a t π intervallumban! Vázoljuk a görbét! } 5. Számítsuk ki az (t) = e t sin t y(t) = e t cos t } paraméteres egyenletrendszerrel adott görbe ívhosszát a t π intervallumban!

17 6. Számítsuk ki az (t) = t sin t y(t) = cos t paraméteres egyenletrendszerrel adott görbe ívhosszát a t π intervallumban! } 7. Számítsuk ki az (t) = cos 3 t y(t) = sin 3 t } paraméteres egyenletrendszerrel adott csillaggörbe ívhosszát a Vázoljuk a görbét! t π intervallumban! 8. Számítsuk ki az (t) = 4(cos t + t sin t) y(t) = 4(sin t t cos t) paraméteres egyenletrendszerrel adott görbe ívhosszát a t π intervallumban! 9. Számítsuk ki az r = + cos ϕ kardioid kerületét! Vázoljuk a görbét! 3. Határozza meg az r = e ϕ spirális ívhosszát, ha ϕ [, ln ]! } 3. Határozza meg az r = cos ϕ görbe ívhosszát, ha ϕ [, π]! Forgástest térfogatának számítása 3. Számítsuk ki az alábbi görbék -tengely körüli forgatásával nyert testek térfogatát! y = 4 + 5, [, 6]; (b) y = , [, 3]; y = ch 3, [, ] ; (d) y = 4 + 3, [, ] ; y = + 3, [, 6]; (f) y = ln, [, e]; y = e, [, ]. (h) y =, [, 4]. 33. Számítsuk ki az y = sin görbe -tengely körüli forgatásakor keletkező végtelen gyöngysor egy gyöngyszemének térfogatát! 34. Az y = sin görbe egy fél hullámát megforgatjuk az -tengely körül. Mekkora az így 3 keletkező test térfogata? 35. Tekintsük az y = 3 egyenletű görbe, az y = egyenes és az y-tengely által közrezárt véges síkrészt! Mekkora térfogatú forgástestet kapunk, ha a tartományt az y-tengely körül megforgatjuk? 36. Forgassuk meg az -tengely körül azt a síktartományt, amelyet az y = hiperbola, az =, az = 3 és az y = egyenesek határolnak! Mekkora a keletkező forgástest térfogata?

18 37. Tekintsük az y = ( 3) és az y = 4 görbék által határolt tartományt! Az - illetve az y-tengely körüli forgatással keletkező forgástestek közül melyiknek nagyobb a térfogata? 38. Számítsuk ki az 9 + y = egyenletű ellipszis -tengely körüli forgatásával keletkező forgási ellipszoid térfogatát! 39. Számítsuk ki az (t) = t sin t y(t) = cos t }, t π közönséges ciklois egy ívének -tengely körüli megforgatásakor keletkező forgástest térfogatát! Forgástest felszínének számítása 4. Számítsuk ki az alábbi görbék -tengely körüli forgatásával nyert testek felszínét: y = 3, [, ] ; (b) y = sin, [, π] ; y = r, [ r, r]; (d) y = +, [4, ] ; y = + 3, [, 5] ; (f) y = 3 (3 ), [, 3]. 4. Az y = e + e egyenletű görbe [, ln ] intervallum feletti ívét forgassuk meg az -tengely körül. Mekkora az így keletkezett forgástest térfogata és teljes felszíne? 4. Számítsuk ki az y = +, [, 3] egyenes szakasz y-tengely körüli forgatásával keletkező csonkakúp palástjának felszínét! 43. Számítsuk ki az 4 + y = egyenletű ellipszis -tengely körüli forgatásával keletkező forgási ellipszoid felszínét! 44. Mekkora az (t) = cos t y(t) = + sin t }, t π paraméteres egyenletrendszerrel adott görbe -tengely körüli forgatásakor keletkező forgástest felszíne? 45. Mekkora annak a forgástestnek a felszíne, amely az (t) = } t 3 3 y(t) =, t 3 t paraméteres egyenletrendszerrel adott görbe y-tengely körüli forgatásakor keletkezik?

19 7. feladatlap Improprius integrálok. Számoljuk ki a következő improprius integrálokat! d; e d; (b) (d) d; e d; (i) (k) ln d;; sin d;; + d; (f) (h) (j) d; (l) + 3 d; sin e e d; d; + d.. Számoljuk ki a következő improprius integrálokat! d; ln d; (b) (d) d; π tg d; (i) 3 d; (f) 4 sh d; d; 9 d (h) (j) π 4 cos d; d. 3. Határozzuk meg az f : R + R, f() = ln függvény grafikonja és az -tengely által közrezárt véges síkrész területét!

20 4. Számítsuk ki a következő integrálokat! (4 ) d; (b) d; (d) ( ) + 3 ( )( + ) d; (f) 3 d; 3 arctg d; ( + )( + ) d. 5. Legyen f : R R,, ha ; f() =, ha < ; e, ha >. Számítsuk ki az f() d és f() d improprius integrálokat! 6. Milyen α R paraméter esetén teljesül az alábbi egyenlőség? e α d = 7. Milyen β R paraméter esetén lesznek az alábbi integrálok konvergensek? (ln ) β d; (b) (ln ) β d. 8. Tekintsük az f : R R, f() = e függvény grafikonja és az -tengely által határolt síkrészt! Mekkora az első síknegyedbe eső síkrész területe? (b) Forgassuk meg az első síknegyedbe eső síkrészt az -tengely körül! Mekkora a keletkező forgástest térfogata? Forgassuk meg az első síknegyedbe eső síkrészt az y-tengely körül is! Mekkora a keletkező forgástest térfogata?

21 Numerikus sorok 9. A lim S n határérték kiszámításával vizsgáljuk meg, hogy az alábbi sorok konvergensek-e és n konvergencia esetén adjuk meg az összegüket! n=n(n + ) ; (b) n=n ; n=4n 4n 3 ; (d) 3 n=n + 3n ; n + n=n (n + ) ; (f) ( n + n); n= ( n + n + + n). n=. Mutassuk meg, hogy a (n + ) n + n n + n= sor konvergens, majd számítsuk ki a sor összegét!. Vizsgáljuk meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! Konvergencia esetén számítsuk ki a sor összegét! ( n=3 ; (b) n ; n n= 4) n=3 ; (d) n n=7 ; n ( 5 n= 9 ) ( ) n 7 ; (f) ; n 9 n+ n= 4 5 (i) n= ; (h) n+ n= ( 5 ) (j) n 5 n+ n= n= ( 5) n 4 n ; + ( ) n n.. A divergencia-kritérium segítségével mutassuk meg, hogy az alábbi sorok divergensek! n n + ; (b) 3n n + 3 n= 8n3 5 + n ; n; (d) ln n; n= n=3 n= ( n) n ; (f) cos (nπ) ; n= (h) n= n 4 3 ; n 6 ( n ) n e n+. n n= n=

22 3. Mutassuk meg a majoráns kritériummal, hogy a sor konvergens! n 4. Igazoljuk a minoráns kritériummal, hogy a hiperharmonikus sor divergens, ha < α <! n α n= 5. Állapítsuk meg, hogy az alábbi hiperharmonikus sorok közül melyek konvergensek! n=n ; 3 n= n n n=n n 3 ; n= n 5 4 ; (f) 5 ; n 7 n= n= n= n= n 4 3 n 6 ; (h) n= ( ) n Az összehasonlító kritériumok segítségével állapítsuk meg, hogy az alábbi sorok közül melyek konvergensek! n n + ; (b) n + n=n ; 3n + 7 n + 9 ; (d) n=n(n + ) ; cos n ; (f) ; n n= n + n + n ; (h) n cos n. n= n= n= n= 7. A Cauchy-féle gyökkritérium segítségével állapítsuk meg, hogy az alábbi sorok közül melyek konvergensek! ( ) n n + 3 n ; (b) n= 4n n= ; n n n=n ; (d) (n + ) 3 n ; n= n n ( ) n n + 4n + 3 n (n + 5) ; (f) ; n + 6n 3 4 n n= 3 n n= n= n= n ; (h) e n 3 n. n=

23 8. A D Alambert-féle hányadoskritérium segítségével állapítsuk meg, hogy az alábbi sorok közül melyek konvergensek! ( ) 3 n n= n! ; (b) n 3 n ; n= 4 (n + )(n + ) (n!) ; (d) ; n= n! n= n n 3 n! ; (f) n n n! ; n= n= n n 3 n n! ; (h) (n!) (n)!. n= 9. Az integrálkritérium segítségével állapítsuk meg, hogy az alábbi sorok közül melyek konvergensek! n=n ln n ; (b) n=n + ; n n=n + ; (d) n n=e ; n n(ln n) ; (f) arctg n n +. n=. A Leibniz-kritérium felhasználásával vizsgáljuk meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! n= n= n= ( ) n n ; (b) n= n= ( ) n ; n! n= ( ) n ln n ; (d) ( ) n+ 3 n + ; (f) n= n= ( ) n n n ; ( ) n+ (n + ). n +. Vizsgáljuk meg, hogy abszolút konvergensek, feltételesen konvergensek vagy divergensek-e az alábbi sorok! ( ) n n= n ; (b) ( ) n+ n ; n= n + ( ( ) n n 5 3 ; (d) 4 n ; 5) n n= n= n= n= ( ) n+ n + 5 n + n ; (f) n= ( ) n ln n ; (h) n= n ( ) n ; 5 n ( ln n ) n.

24 8. feladatlap Hatványsorok. Adott a ( 3 ) n hatványsor. n= 4 Adjuk meg a hatványsor konvergenciasugarát! (b) Határozzuk meg a fenti hatványsor konvergencia-intervallumát!. Állapítsuk meg az alábbi hatványsorok konvergencia-intervallumát: ( + 3) n ; n (b) (n!) 3 (3n)! n ; (d) (n + )! ( + 4) n ; n 3 (f) n= n= n= 3. Mutassuk meg, hogy < esetén: + = +... = n n n ; n= ( + ) n ; 3 n 5 n n! ( )n. n= n= ( ) n n. 4. Fejtsük hatványsorba a következő függvényeket és adjuk meg a hozzájuk tartozó konvergenciaintervallumokat! f() = 3 ; (b) f() = + ; f() = ; (d) f() = 5 + ; f() = ; (f) f() = e e ; f() = sin ; (h) f() = sin 3; (i) f() = cos 5; (j) f() = e ; (k) 5. Igazoljuk, hogy f() = e + e ; (l) f() = e. n! = e. n= n=

25 6. Határozzuk meg az f() = arcsin függvény Maclaurin -sorának első három nemnulla tagját! 7. Mutassuk meg, hogy sin cos = ( ) n n (n + )! n+. n= 8. Írjuk fel a következő függvények Taylor-sorát a megadott pont körül! f() = cos, = π; (b) f() = ln( ), = ; f() = sin 4, = π 8 ; (d) f() = ln, = 3. Közönséges differenciálegyenletek 9. Oldjuk meg a következő, szétválaszható változójú differenciálegyenleteket! ( + )y 3y = ; (b) ( y + 6y)y + (y ) = ; (y + y ) = ( )y ; (d) dy d = e y ; y + ( ) ctg y = ; (f) yy e = cos 3; y = y + 3y 4; (h) y sin = y ln y; (i) ( )y = y ln y; (j) y = y ln y; (k) y + ( + 5)y = ; (l) y + ( + 4y)y = ; (m) ( + y )d + ( + )dy = ; (n) ( y )dy + (y + y )d = ; (o) ( cos y)y = + sin ; (p) y = + y ; (q) y sin + sin y = ; (r) ( )y = y.. Keressük meg az alábbi differenciálegyenletek esetén azt a partikuláris megoldását, amelyik az adott kezdeti érték feltételt kielégíti! y = y ln y; y() = e; ( π ) (b) y sin = y ln y; y = ; y ctg + y = ; y() = ; (d) ( ) y = yy ; y = ; e y e y = ; y() = ln.

26 . Oldjuk meg a következő, alkalmas helyettesítéssel szétválasztható változójú differenciálegyenletre visszavezethető differenciálegyenleteket! (y )y + + y = ; (b) y = y cos y ; yy + y = ; (d) y = e y + y, (y) = ; ( 3 + 3y )y = y + y 3, y() = ; (f) y + ( + 4y)y = ; dy d = + y 3y ; (h) y = (y ) ; (i) ( y) y = 5; (j) y = sin( + y).. Határozzuk meg annak a görbének az implicit egyenletét, ( amely átmegy a P (, 3) ponton, és amelynek a P (, y) ponthoz tartozó meredeksége + y )!

27 9. feladatlap Közönséges elsőrendű lineáris differenciálegyenletek. Oldjuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenleteket! y = y ctg + sin ; (b) y + y = e ; y = 3y + ; (d) y + y tg = cos ; y + y sh = sh ; (f) y + y = e + 3e ; y 3 y = ; (h) y y = e ( + 3 ); (i) y = y + y ln y; (j) ( )y = y + ( ).. Keressük meg az alábbi differenciálegyenletek adott kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldását! y y = ln, ln e y = ; (b) y y =, y () = ; y cos + y = tg, y() = ; (d) y + y + = +, y () = ; + y + y = + 3, y() =. 3. Határozzuk meg annak a P (, ) ponton átmenő görbének az egyenletét, amelynek a P (, y) pontjához húzott érintő meredeksége y e! Bernoulli-féle differenciálegyenletek 4. Oldjuk meg az differenciálegyenletet! y y = 4 3 y 5. Keressük meg az alábbi, Bernoulli-féle differenciálegyenletek áltanános megoldását! ( ) y + 4 y = 3 y ; (b) y y = y 5 ; y y = y 3 ( + ln ); (d) y + y + y = ; y = y y ; (f) yy + y tg = cos ; y + y tg + y3 cos = ; (h) y + y = y.

28 6. Keressük meg az y + y = ln, y3 y() =, ( > ) kezdetiérték feladat megoldását! Görbesereg differenciálegyenlete, ortogonális trajektóriák 7. Írjuk fel az y = C görbesereg differenciálegyenletét! 8. Írjuk fel az + y = C görbesereg differenciálegyenletét! 9. Írjuk fel az első és a harmadik síknegyedben lévő azon körök differenciálegyenletét, amelyek érintik az y = és az = egyeneseket!. Határozzuk meg az y = C, C R \ {},, y parabolasereg ortogonális trajektóriáinak egyenletét!. Írjuk fel az y = C, C R \ {},, y görbesereg ortogonális trajektóriáinak egyenletét!. Írjuk fel az y = C egyenletű hiperbolák ortogonális trajektóriáinak egyenletét! 3. Adjuk meg az = Ce y + y + egyparaméteres görbesereg ortogonális trajektóriáit az első síknegyedben! 4. Határozzuk meg az y = m (m R \ {}) egyenletű, origón áthaladó egyenesek ortogonális trajektóriáit! Magasabbrendű differenciálegyenletek 5. Oldjuk meg az alábbi, hiányos másodrendű differenciálegyenleteket! y = sin cos sin 3 ; (b) ( + sin ) y + cos = ; y (y ) + 4 = ; (d) y = y ln y ; ( )y y = ; (f) ( + )y + (y ) + = ; y y = 3 ; (h) y (y + 3) (y ) = ; (i) y = y y ; (j) yy = (y ) ( y ); (k) 3y = (y ) ; (l) (y ) + yy = yy.

29 6. Határozzuk meg a következő differenciálegyenletek esetén az adott kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldást! y = e, y() =, y () = ; (b) y y = ( ), y() =, y () = ; yy (y ) =, y() =, y () = ; (d) y = y e y, y() =, y () =. 7. Oldjuk meg az alábbi, állandó együtthatójú homogén lineáris differenciálegyenleteket! y + y 3y = ; (b) y + 4y + 4y = ; y y + 5y = ; (d) y (4) 5y + 4y = ; y y + y = ; (f) 4y 4y + y = ; y (5) y (4) + 8y 6y + 6y 3y =. 8. Írjuk fel az y y y =, y() =, y () = 5 differenciálegyenlet adott kezdeti feltételeit kielégítő partikuláris megoldását! 9. Határozzuk meg az y + y 5y + 3y =, y() =, y () = 4, y () = 4 differenciálegyenlet adott kezdeti feltételeit kielégítő partikuláris megoldását!. Oldjuk meg a következő differenciálegyenleteket! y y + y = e 3 + 3e ; (b) y + 4y = sin ; y 6y + 9y = 5e sin ; (d) y + 6y + 9y = 3 sin 4; y + 4y + 4y = 5 cos ; (f) y + 5y + 4y = 3 ; y + y = + ; (h) y y = 3 5; (i) y y = 3 cos + 4; (j) y (4) + y = + e ; (k) y y = + 6; (l) y (4) y = ;.. Oldjuk meg az differenciálegyenletet! y (5) + y = e + 6

30 . Írjuk fel az alábbi differenciálegyenletek adott kezdeti feltételeit kielégítő partikuláris megoldását! y + y y = e 5, y() =, y () = ; (b) y + y 6y =, y() =, y () = ; ( π ) ( π ) y y = cos, y =, y = ; 3 3 (d) y + y + y = sin, y() = 5, y () =.

31 . feladatlap Többváltozós függvények. Határozzuk meg az f(, y) = + y 4 y függvény értelmezési tartományát!. Adjuk meg az f(, y) = ln(6 y ) + ln( + y ) függvény értelmezési tartományát! 3. Határozzuk meg az f(, y) = e ln(y) függvény értelmezési tartományát! 4. Határozzuk meg, hogy R 3 mely legbővebb részhalmazán értelmezhető az f(, y, z) = z y + 4 y z függvény! 5. Nevezzük meg, majd ábrázoljuk az alábbi felületeket! + y = 4; (b) + y z = ; 4 + 4y = z ; (d) + y + z = 4; + 9y = z; (f) 9 + y + z = 9; 9 + 4y = 36z ; (h) + 4z = 6; (i) 4 + 4y z = ; (j) + y + = z. 6. Ábrázoljuk az alábbi felületek által határolt testeket! z = 5 y, z = ; (b) + y + z = 9, z ; z = 6 y, z = + y ; (d) + y = 4, z =, z = 4; z = 4 y, z = 4 + y. 7. Ábrázoljuk azt a térrészt, amelyet a z = 6 + y kúp, a z = + y paraboloid és az + y = 9 egyenletű henger határol! 8. Vázoljuk az + y = egyenletű henger, az y-sík és a z = ( + y ) egyenletű paraboloid által meghatározott testet!

32 9. Ábrázoljuk azt a térrészt, amelyet a z = + y kúp és az + y = egyenletű henger határolnak!. Vázoljuk az 6 + y 9. Határozzuk meg az egyenes, és az ellipszoid metszéspontjait! = egyenletű hengert! 6 3 = y + 6 = z y 36 + z 9 =. Mutassuk meg, hogy a y z = síknak és a z = 9 + y 4 közös pontja van! Adjuk meg a pont koordinátáit! paraboloidnak egyetlen 3. Határozzuk meg az alábbi határértékeket! Kétváltozós függvények határértéke, folytonossága 5 y + 4 lim (,y) (,) + y + 3 (b) lim (,y) (,9) lim + y (d) lim (,y) (3,4) (,y) (4, 3) lim cos + y (,y) (,) + y + sin y lim (,y) (,) + 3 (f) (h) y lim (,y) (,ln ) e y ( + ) y e y sin lim (,y) (,) Határozzuk meg a határértékeket, ha léteznek! lim (,y) (,) 5. Mutassuk meg, hogy a lim 6. Határozzuk meg a határértékeket, ha léteznek! (,y) (,) lim (,y) (,) y és lim + y (,y) (,) y határérték nem létezik! + y y és lim + y (,y) (,) y + y 4 y 4 + y 4 7. Folytonossá tehető-e az origóban az f(, y) = y kétváltozós függvény? + y

33 Parciális deriváltak 8. Határozzuk meg az alábbi függvények elsőrendű parciális deriváltjait! f(, y) = 3 + 4y y + 6; (b) f(, y) = ln ( + y ); f(, y) = y ; (d) f(, y) = + y y ; f(, y) = e y ; (f) f(, y, z) = arctg z y ; f(, y) = ( y + y ) 7 ; (h) f(, y, z) = y +cos z. 9. Határozzuk meg az f y és az f yy parciális deriváltakat, ha f (, y) = 3 y 5 y 3 + 8!. Határozzuk meg az f (,, ) és az f yy (,, ) értékeket, ha f (, y, z) = e z y!. Igazoljuk, hogy a z = arctg y. Mivel egyenlő a kétváltozós függvény teljesíti a z + z yy = egyenlőséget! y f + y f yy kifejezés, ha f(, y) = y ln y? 3. Mivel egyenlő az kifejezés, ha f(, y) = y + y? f + y f y 4. Mivel egyenlő a f y f y kifejezés, ha f(, y) = ln y + y? Az iránymenti derivált, a felület érintősíkja 5. Számítsuk ki az alábbi iránymenti deriváltakat! f (, y) = + y ; P (, ), v = (3, 4). ( π ) (b) f (, y) = sin ( + y); P, π, v = ( 3, ). 6 f (, y) = e y ye ; P (, ), v = (, 5). (d) f (, y) = ln ln y ; P (e, e ), v = (, 5). f (, y) = + y ; P (, ), a v vektor ϕ = π szöget zár be az - tengely pozitív irányával. 3

34 6. (f) f (, y) =sh( + y)ch ( y); pozitív irányával. f (, y) = irányával. (h) f (, y) = y; +y ; P (, ), a v vektor ϕ = π 4 szöget zár be az - tengely P (3, 7), a v vektor ϕ = π szöget zár be az - tengely pozitív P (, 4), a v vektor ϕ = π 6 szöget zár be az - tengely pozitív irányával. Írjuk fel az alábbi felületek esetén a felületi normálist, valamint az érintősík egyenletét a megadott pontban! f (, y) = 3 y y; P (,, ) ( π (b) z = e y sin ( + y); P 6,, ) f (, y) = ln + y ; P (,, ) (d) z = e y ; P (,, ) z = y ; P (,, 3) + y (f) yz 4z 3 = 3; P (,, ) e y cos z = ; P (,, ) (h) z + z y = ; P (, 3, ) 7. Adott az f(, y) = cos πy kétváltozós függvény. + y Írja fel az f függvény P (, ) pontbeli gradiensét! (b) Határozza meg az f függvény iránymenti deriváltját a P (, ) ponton átmenő v = (, ) irányvektorú egyenes mentén! Írja fel a z = f(, y) felület P (, ) pontbeli érintősíkját! 8. Számítsa ki az f(, y) =arctg y függvény P (, ) pontjában az iránymenti deriváltat az a = (, 3) irányban; (b) a z = f(, y) felület P pontbeli érintősíkját! 9. Határozzuk meg az alábbi f : R R függvények Hesse-mátriát! f (, y) = 3 y + y 3 ; (b) f (, y) = e y ; f (, y) = sin (y) ; (d) f (, y) = y ; f (, y) = ln ( + y).

35 A kétváltozós függvény szélsőértéke 3. Határozzuk meg az alábbi többváltozós skalárértékű függvények ((, y) R ) lokális szélsőértékeit! f (, y) = 3 + y + y ; (b) f (, y) = ( ) + 4 (y 3) ; f (, y) = y + e y ; (d) f (, y) = 4 3y 3 y; f (, y) = + y + y; (f) f (, y) = 3 3y + y 3 ; f(, y) = + y y + 4 y + 5; (h) f(, y) = 4 + y 3 3 7y ; (i) f(, y) = y( + 4y + ). 3. Vizsgáljuk meg az f(, y) = + y + 8 8y függvényt lokális szélsőérték szempontjából! 3. Legyen f(, y) = 3 y 4 + 5y függvény adott. Hol van a függvénynek lokális maimuma vagy minimuma? 33. Hol van az f(, y) = 3 y + 5 y függvénynek lokális maimuma vagy minimuma? 34. Hol van lokális maimuma vagy minimuma az f(, y) = e 3 +y 3 3y függvénynek? 35. Mutassuk meg, hogy az f(, y) = ( y)( y) kétváltozós függvénynek nincs sem lokális maimuma, sem pedig lokális minimuma! 36. Adjuk meg azokat az, y, z pozitív valós számokat, amelyekre +y+z = 8 és yz maimális! 37. Határozzuk meg azokat az, y, z pozitív valós számokat, amelyekre yz = 64 és + y + z minimális! 38. Igazoljuk, hogy az adott felszínű, téglatest alakú, tetővel ellátott dobozok közül a kocka alakúnak a legnagyobb a térfogata!

36 . feladatlap Kettős integrálok. Számítsuk ki a 3 5 ( + y) ddy y= = kettős integrál értékét! Értelmezzük a kapott eredményt!. Határozzuk meg a T = {(, y) R, y 3} téglalap fölötti és a z = 3+4y sík alatti térrész térfogatának mérőszámát (a térrészt oldalról a z tengellyel párhuzamos alkotójú hengerpalást határolja)! 3. Határozzuk meg az f(, y) = + 4y, (, y) R függvény integrálját a T = {(, y) R, y } egységnégyzetre! Értelmezzük a kapott eredményt! 4. Határozzuk meg az f(, y) = e 3+4y, (, y) R függvény integrálját a T = {(, y) R ln, y ln 3} tartományra! Értelmezzük a kapott eredményt! 5. Határozzuk meg az f(, y) = sin( + y), (, y) R függvény integrálját a { T = (, y) R π, y π } négyzetre! Értelmezzük a kapott eredményt! 6. Adjuk meg az f(, y) = ye +y, (, y) R függvény integrálját a T = {(, y) R, y } egységnégyzetre! Értelmezzük a kapott eredményt! 7. Integráljuk az f(, y) = kétváltozós függvényt a + y, D f = {(, y) R + y } T = {(, y) R 3, y } téglalap felett! Értelmezzük a kapott eredményt!

37 8. Számítsuk ki a π 4 y sin ddy kettős integrál értékét! = y= 9. Határozzuk meg kettős integrállal annak az első térnyolcadba eső testnek a térfogatát, amelyet a z = y, az = és az y = 4 felületek határolnak!. Határozzuk meg kettős integrállal annak az első térnyolcadba eső testnek a térfogatát, amelyet az y =, az =, az y = 3, a z = és a z + = 4 síkok határolnak!. Számítsuk ki a π y cos( + y) ddy kettős integrál értékét!. Számítsuk ki a y= = y ddy kettős integrál értékét! Értelmezzük a kapott eredményt! 3. Legyen T az y = görbe és az + y = 3 egyenes által határolt tartomány. Határozzuk meg T területét kettős integrállal! 4. Számítsuk ki az y = parabola és az y = egyenes által határolt tartomány területét kettős integrállal!