Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag

Átírás

1 Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék oktatási segédanyag Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 01.

2 Köszönetnyilvánítás Az Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék című oktatási segédanyag a TÁMOP-4..1.B-10//KONV jelű projekt részeként az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg.

3 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 1 Paraméteres megadású görbék Görbék paraméteres megadása Paraméteres alakban adott függvény deriváltja Görbék polárkoordinátás megadása 5.1 Polárkoordinátás megadású görbék Polárkoordinátás alakban adott függvény differenciálása Útmutatások és megoldások 9.1 Görbék paraméteres megadása Paraméteres alakban adott függvény deriváltja Polárkoordinátás megadású görbék Polárkoordinátás alakban adott függvény differenciálása Irodalomjegyzék 90

4 1 1 Paraméteres megadású görbék 1.1 Görbék paraméteres megadása Írja fel annak a körnek a paraméteres egyenletrendszerét, amely átmegy az origón és középpontja az M, 0) pont! Adja meg az { xt) = t + 1, yt) = t 1, t [ 1, + ) paraméteresen adott függvény Descartes-koordinátás egyenletét, majd vázolja a függvény grafikonját! Adja meg az { xt) = 1 + cos t, yt) = + sin t, t [0, π) paraméteresen adott görbe Descartes-koordinátás egyenletét, majd vázolja és nevezze meg a görbét! Adja meg az { xt) = 4 + cos t, yt) = 5 + sin t, t [0, π] paraméteresen adott görbe Descartes-koordinátás egyenletét, majd vázolja és nevezze meg a görbét! Köszöbölje ki az { xt) = + 4 cos t, yt) = sin t, t [ π, π ] paraméteresen adott görbe egyenletrendszeréből a t paramétert! Nevezze meg a görbét! Határozza meg az { xt) = + 4 cos t, yt) = 5 + sin t, t [0, π) ellipszis középpontjának koordinátáit és tengelyeinek hosszát! Adja meg az ellipszis Descarteskoordinátás egyenletét! Határozza meg az ellipszis lineáris és numerikus excentricitását, valamint a fókuszpontok koordinátáit! Vázolja a görbét! Adja meg paraméteresen az x + y 4y = 0 egyenletű kört! Adja meg paraméteresen az x 5 + y 144 = 1 egyenletű ellipszist! Vázolja a görbét!

5 1.1 Görbék paraméteres megadása Vázolja az { xt) = sin t, yt) = cos t, t R paraméteres egyenletrendszerrel adott görbét! Adja meg a görbe Descartes-koordinátás egyenletét! Vázolja az xt) = t + 1 t, yt) = t 1 t, t R \ {0} paraméteres egyenletrendszerrel adott görbét! Írja fel a görbe Descartes-koordinátás egyenletét! Adja meg a görbe nevezetes adatait! Vázolja az xt) = 1 cos t, yt) = tg t, { π } t R \ + kπ, k Z paraméteres egyenletrendszerrel adott görbét! Írja fel a görbe Descartes-koordinátás egyenletét! Adja meg a görbe nevezetes adatait! Írja fel annak a hiperbolának a paraméteres egyenletrendszerét, amelynek aszimptotái az y = ±x egyenesek és egyik fókusza az F 1 5, 0) pont! Mekkora az x y = 8 hiperbola valós féltengelye, képzetes féltengelye, lineáris és numerikus excenrticitása? Írja fel a x y = 8 hiperbola paraméteres egyenletrendszerét! Vázolja az { xt) = ch t, yt) = sh t, t R paraméteres egyenletrendszerrel adott görbét! Adja meg a görbe Descartes-koordinátás egyenletét! Vázolja az { xt) = ch t, yt) = sh t, t R paraméteres egyenletrendszerrel adott görbét! Adja meg a görbe Descartes-koordinátás egyenletét! Vázolja az { xt) = ± 4 ch t, yt) = 5 + sh t, t R

6 1. Paraméteres alakban adott függvény deriváltja paraméteres egyenletrendszerrel adott hiperbolát! Adja meg a hiperbola Descartes-koordinátás egyenletét, fókuszpontjait, lineáris és numerikus excentricitását! Küszöbölje ki az asztroida paraméteres egyenletrendszeréből a paramétert! Vázolja a görbét! { xt) = cos t, t R. yt) = sin t, Küszöbölje ki az alábbi paraméteres egyenletrendszerből a paramétert! Nevezze meg a görbét! { xt) = 1 + t, t R. yt) = 1 t, Vázolja az alábbi paraméteresen adott görbéket! Küszöbölje ki a paramétert! Milyen határok között változik x és y? { { xt) = t, xt) = sin t, a) t R; b) t R; yt) = t, yt) = sin t, { xt) = sgn t, { xt) = 1 + t, c) yt) = sgn t, t R; d) yt) = t, t R Vázolja az π ) xt) = cos sin t, π ) yt) = sin sin t, π t π paraméteres egyenletrendszerrel adott görbét! Adja meg a görbe Descartes-koordinátás egyenletét! 1. Paraméteres alakban adott függvény deriváltja Határozza meg y = dy dx paraméteres alakban adott görbére! 1... Határozza meg y = dy dx értékét az { xt) = t + t, értékét az yt) = t 7 + t + 1, { xt) = cos t, yt) = sin t, paraméteres alakban adott görbére, ha t 0 = π 4! t R t R

7 1. Paraméteres alakban adott függvény deriváltja Határozza meg y = dy dx Határozza meg y = dy dx értékét az alábbi paraméteres alakban adott görbére! { xt) = et sin t, értékét az yt) = e t cos t, { xt) = cos t, yt) = sin t, paraméteres alakban adott görbére, ha t 0 = π! Határozza meg az t R. t R { x = 5 cos t y = 4 sin t t [0, π] paraméteres alakban adott ellipszisnek a t 0 = π paraméterértékhez tartozó pontjához húzott érintő 4 iránytangensét! Vázolja a görbét! Határozza meg y = dy dx értékét az alábbi paraméteres alakban adott görbére, ha t 0 = 1! { xt) = t 5 + sinπt), t R. yt) = t + e t, Határozza meg y = dy dx pontban! Határozza meg y = dy dx pontban! értékét az alábbi paraméteres alakban adott görbére a P 1, 1) { xt) = t + e t, yt) = t + e t, t R. értékét az alábbi paraméteres alakban adott görbére a P 1, 0) cos t xt) =, e t sin t yt) =, e t t R Adja meg az alábbi paraméteres alakban adott görbe t 0 = 0 paramétrértékű pontjában az érintőegyenes egyenletét! { xt) = e t, t R. yt) = 5e t,

8 Mikor merőleges az görbe érintője az x + y + = 0 egyenesre? { xt) = t 5, yt) = t + 1, t R Határozza meg a 9x + 16y = 5 egyenletű ellipszis azon érintőit, amelyek párhuzamosak a 4y + x = 4 egyenessel! Határozza meg az { xt) = 8 cos t, yt) = 8 sin t, t [0, π) paraméteres alakban adott asztroida azon pontjait, amelyekhez húzott érintők párhuzamosak az y = x egyenessel! Görbék polárkoordinátás megadása.1 Polárkoordinátás megadású görbék.1.1. Adja meg az alábbi, Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerben adott pontok polárkoordináta-rendszerbeli megfelelőjét! a) P 1, ); b) P 5, 5 ); c) P 0, 1); d) P 4 1, )..1.. Adja meg az alábbi, polárkoordináta-rendszerben adott pontokat Descartes-féle derékszögű koordinátákkal! a) Q 1, π ); b) Q, π ) ; 6 4 c) Q 4, 5π ); d) Q 4 4, π )..1.. Nevezze meg a ϕ = π polárkoordinátás megadású görbét! Adja meg Descartes-koordinátás 4 egyenletét!.1.4. Nevezze meg a ϕ = π polárkoordinátás megadású görbét! Adja meg Descartes-koordinátás egyenletét!.1.5. Vázolja az alábbi, polárkoordinátás megadású köröket! Írja fel a Descartes-koordinátás egyenletet! Adja meg a körök paraméteres egyenletrendszerét is! a) r = 4; b) r = cos ϕ; c) r = 6 sin ϕ; d) r = 6sin ϕ + cos ϕ).

9 .1 Polárkoordinátás megadású görbék Adja meg az alábbi körök polárkoordinátás egyenletét! a) x + y = 100; b) x + y 4) = 16; c) x 6) + y = 6; d) x + y = 8x; e) x + y = y; f) x 4) + y 4) =. Írja fel a Descartes Vázolja és nevezze meg az alábbi, polárkoordinátás megadású görbéket! koordinátás egyenletet! Adja meg a paraméteres egyenletrendszert is! a) r = 10 cos ϕ; b) r = cos ϕ ; c) r = 4 sin ϕ ; d) r = cos ϕ ; e) r = 1 sin ϕ ; f) r = 5 π ); cos + ϕ g) r = cos ϕ π ); h) r = 8 cos ϕ π ) Vázolja az alábbi polárkoordinátás egyenlettel adott görbéket! Írja fel a Descarteskoordinátás egyenleteket is! a) r = 8 sin ϕ; b) r = sin ϕ; c) r = cos ϕ; d) r = sin ϕ; e) r = cos ϕ; f) r = 1 + cos ϕ; g) r = 4 + cos ϕ; h) r = sin ϕ; i) r = sin 4ϕ; j) r = + cos ϕ Vázolja az alábbi polárkoordinátás egyenlettel adott kardioidokat! Írja fel a Descarteskoordinátás egyenleteket is! a) r = 1 + cos ϕ; b) r = 1 cos ϕ; c) r = 1 + sin ϕ; d) r = 1 sin ϕ Vázolja az r = cos ϕ polárkoordinátás megadású görbe grafikonját! Milyen kapcsolat van az r = cos ϕ és az r = 1 + cos ϕ görbék grafikonjai között?

10 .1 Polárkoordinátás megadású görbék Vázolja az r = sin ϕ polárkoordinátás megadású görbe grafikonját! Adja meg a görbe Descartes-koordinátás egyenletét!.1.1. Vázolja az r = sin ϕ polárkoordinátás megadású görbe grafikonját! Milyen kapcsolat van az r = sin ϕ és az r = 1 cos ϕ görbék grafikonjai között?.1.1. Vázolja az r = sin ϕ és az r = + cos ϕ limakonok grafikonját! Milyen kapcsolat van a görbék grafikonjai között? a) Írja fel az alábbi kúpszeletek egyenletét poláris koordinátákkal! x 4 + y = 1; b) x 5 + y 16 = 1; c) x = y; d) y = 16x; e) x 5 y Vázolja az r = polárkoordinátás megadású görbét és adja meg a Descarteskoordinátás egyenletét! = 1; f) xy = sin ϕ Vázolja az alábbi spirálisokat! a) r = 4ϕ; b) r = ϕ ; c) r = ϕ ; d) r = 6 ϕ + ; e) r = ± ϕ; f) r = ± ϕ; g) r = e ϕ ; h) r = 1 4 eϕ Írja fel az alábbi görbe polárkoordinátás egyenletét és vázolja a görbét! x + y ) y = x + xy Határozza meg a ϕ = π egyenes és az r = 5ϕ archimedesi spirális metszéspontjait! Számítsa ki az r = 4 1 cos ϕ) kardioid és az r = 4 sin ϕ kör metszéspontjait!.1.0. Vázolja az r = 4 sin ϕ és az r = 4 cos ϕ görbéket közös koordináta-rendszerben, majd határozza meg a metszéspontjaikat!.1.1. Keresse meg az r = 4 cos ϕ és az r = 4 sin ϕ görbék metszéspontjait!

11 . Polárkoordinátás alakban adott függvény differenciálása 8. Polárkoordinátás alakban adott függvény differenciálása..1. Legyen r = cos ϕ. Számítsa ki az alábbi kifejezéseket! a) c) e) dr dϕ ; b) d r dϕ ; d r dϕ ; d) dr d r π ) ; f) dϕ 4 π... Határozza meg az r = cos 4 ϕ derivált értékét, ha ) dϕ π 6 d r dϕ ) ; 5π 6 a) ϕ = π ; b) ϕ = π. ). polárkoordinátás megadású függvény esetén a dr dϕ... Határozza meg az r = 1 + cos ϕ, 0 ϕ < π) polárkoordinátákkal adott függvény dy dx deriváltjának értékét a ϕ 0 = π 6 helyen!..4. Határozza meg az r =..5. Adja meg az r = 4 1 cos ϕ 4 1 cos ϕ parabola érintőjének meredekségét a ϕ 0 = π pontban! parabolának azt a pontját, ahol az érintő meredeksége 1!..6. Írja fel az r = ϕ archimedesi spirálishoz húzott érintő egyenletét a ϕ 0 = π 6 pontban!..7. Írja fel az r = eϕ logaritmikus spirálishoz húzott érintő egyenletét a ϕ 0 = π 6 pontban!..8. Írja fel az r = 4 4 cos ϕ ellipszis érintőjének polárkoordinátás egyenletét a ϕ 0 = π pontban!..9. Írja fel az r = 1 ϕ hiperbolikus spirális normálisának polárkoordinátás egyenletét a ϕ 0 = π pontban!..10. Hol metszi a ϕ = 0 egyenest az r = sin ϕ görbéhez a ϕ 0 = π 6 pontba húzott érintő?..11. Írja fel az r = 1 cos ϕ kardioid ϕ 0 = π pontjában az érintőegyenes egyenletét!..1. Keresse meg az r = 1 + sin ϕ kardioid vízszintes és függőleges érintőit!

12 9 Útmutatások és megoldások.1 Görbék paraméteres megadása Az x ) + y = 9 kör paraméteres egyenletrendszere: { xt) = + cos t, t [0, π). yt) = sin t, A paraméteres egyenletredszerből: t = x 1 adódik, ha t [ 1, + ). A paraméteres egyenletrendszer másik összefüggését felhasználva az y = x 1) 5 Descartes-koordinátás egyenlethez jutunk, ha x [0, + ). A függvény grafikonja:

13 .1 Görbék paraméteres megadása A paraméteres egyenletrendszerből: továbbá: azaz felhasználva, hogy t R esetén adódik, hogy 0 x és y 4, cos t = x 1 és sin t = y, cos t + sin t = 1, x 1) + y ) = 1, amely egy K1, ) középpontú r k = 1 sugarú kör Descartes-koordinátás egyenlete. A görbe grafikonja: A paraméteres egyenletrendszerből: 5 x és 5 y 6, továbbá: cos t = x + 4 és sin t = y 5. Felhasználva, hogy t R esetén cos t + sin t = 1,

14 .1 Görbék paraméteres megadása 11 adódik, hogy x + 4) + y 5) = 1, y 5, amely egy K 4, 5) középpontú r k = 1 sugarú félkör Descartes-koordinátás egyenlete. A görbe grafikonja: A paraméteres egyenletrendszerből: x és y 1, továbbá: 4 cos t = x és 4 sin t = y 1. Felhasználva, hogy t R esetén 4 cos t) + 4 sin t) = 16, adódik, hogy x ) + y 1) = 16, x, y 1, amely egy K, 1) középpontú r k = 4 sugarú negyedkör Descartes-koordinátás egyenlete A paraméteres egyenletrendszerből: x 6 és y 8,

15 .1 Görbék paraméteres megadása 1 továbbá: cos t = x és sin t = y 5 4. Felhasználva, hogy t R esetén cos t + sin t = 1, adódik, hogy ) ) x y 5 + = 1, 4 amely egy K, 5) középpontú ellipszis Descartes-koordinátás egyenlete. A görbe grafikonja: Az ellipszis vízszintes féltengelyhossza: a függőleges féltengelyhossza: a = 4, b =. A vízszintes tengelyhossz tehát a = 8, a függőleges tengelyhossz pedig b = 6 egység. A két fókusz távolságának fele az ellipszis lineáris excentricitása: c = a b, ha a > b,

16 .1 Görbék paraméteres megadása 1 azaz A fókuszpontok: Az ellipszis numerikus excentricitása: c = 16 9 = 7. F 1 7, 5) és F + 7, 5). ε = c a = Az x + y 4y = 0 kör paraméteres egyenletrendszere: { xt) = cos t, t [0, π). yt) = + sin t, Az ellipszis paraméteres egyenletrendszere: { xt) = 5 cos t, Grafikonja: yt) = 1 sin t, t [0, π).

17 .1 Görbék paraméteres megadása A paraméteres egyenletrendszerből: továbbá: 1 x 1 és 1 y 1, y = cos t = cos t sin t = 1 sin t = 1 x, ahol 1 x 1. A görbe tehát egy alulról nyitott parabolaív. A parabola csúcsa a C0, 1) pont, szimmetriatengelye az y-tengely. A görbe grafikonja: A paraméteres egyenletrendszerből: Az első egyenletből kivonva a másodikat az x = t t és y = t + 1 t. x y = 4 hiperbolát kapjuk, amelynek egymásra merőleges aszimptotái az y = ±x egyenesek. A valós és képzetes féltengelyhossz: a = b =. A hiperbola lineáris excentricitása: c = a + b = =,

18 .1 Görbék paraméteres megadása 15 A fókuszpontok koordinátái: A hiperbola numerikus excentricitása: F 1, 0) és F, 0). Grafikonja: ε = c a = = > A paraméteres egyenletrendszerből: vagyis az x = 1 cos t = sin t + cos t cos t x y = 1 = tg t + 1 = y + 1, hiperbolát kapjuk, ahol a = b = 1. A hiperbola lineáris excentricitása: c = a + b =.

19 .1 Görbék paraméteres megadása 16 A fókuszpontok koordinátái: F 1, 0) és F, 0). A hiperbola numerikus excentricitása: ε = c a = > 1. Egymásra merőleges aszimptotái az y = ±x egyenesek. Grafikonja: Ha az x a y = 1 hiperbola két azimptotája b akkor tehát y = x és y = x, b a =, b = a. Ha az egyik fókusz az F 1 5, 0) pontban van, akkor c = 5, vagyis a c = a + b

20 .1 Görbék paraméteres megadása 17 összefüggésből adódik, hogy Felhasználva, hogy b = a adódik, hogy azaz A hiperbola Descartes-koordinátás egyenlete: A fenti hiperbola paraméteres egyenletrendszere: 5 xt) = cos t, yt) = 5 tg t, Egy másik lehetőség: a + b = 5. 5a = 5, a = 5 és b = 5. xt) = 5t + x 5 y 0 = t, yt) = 5t 5 4t, { π } t R \ + kπ, k Z t R \ {0} Az x y = 8 egyenletből a hiperbola középponti egyenlete: x 8 y 4 = 1, vagyis a hiperbola valós féltengelye a = 8 =, képzetes féltengelye b = 4 =. Lineáris excentricitása: c = a + b = = 1 =. Numerikus excenrticitása: ε = c a = = A fenti hiperbola paraméteres egyenletrendszere: xt) = cos t, t R \ yt) = tg t, Egy másik lehetőség:. { π + kπ, k Z } xt) = t + t, yt) = t 1 t R \ {0}. t,

21 .1 Görbék paraméteres megadása A paraméteres egyenletrendszerből kapjuk, hogy x 1 és y R, továbbá x = ch t és y = sh t. Felhasználva, hogy t R esetén ch t sh t = 1 adódik, hogy a görbe Descartes-koordinátás egyenlete: x y = 1, x 1. Tehát az x y = 1 hiperbola jobb oldali ágáról van szó. Grafikonja: A paraméteres egyenletrendszerből kapjuk, hogy x és y R, továbbá x = 4 ch t és y = 9 sh t.

22 .1 Görbék paraméteres megadása 19 Felhasználva, hogy t R esetén ch t sh t = 1 adódik, hogy a görbe Descartes-koordinátás egyenlete: Tehát az x 4 y 9 x 4 y 9 = 1, x. = 1 hiperbola bal oldali ágáról van szó. Grafikonja: A paraméteres egyenletrendszerből kapjuk, hogy továbbá Felhasználva, hogy t R esetén x R \, 6) és y R, x ) = 16 ch t és y 5) = 9 sh t. ch t sh t = 1 adódik, hogy a hiperbola Descartes-koordinátás egyenlete: x ) 16 y 5) 9 = 1.

23 .1 Görbék paraméteres megadása 0 A hiperbola aszimptotái a K, 5) pontban metszik egymást, valós féltengelyének hossza a = 16 = 4, képzetes féltengelyének hossza pedig b = 9 =. Lineáris excentricitása: c = a + b = = 5 = 5. Numerikus excenrticitása: ε = c a = 5 4. Fókuszpontjai: A hiperbola aszimptotái a F 1, 5) és F 7, 5). x + 4y = 14 és x + 4y = 6 egyenesek. Grafikonja:

24 .1 Görbék paraméteres megadása A paraméteres egyenletrendszerből kapjuk, hogy x = cos t és y = sin t. Felhasználjuk, hogy t R esetén azaz cos t + sin t = 1, x + y = 1, amely az asztroida Descartes-koordinátás egyenlete. Grafikonja: A paraméteres egyenletrendszerből kapjuk, hogy t = x 1, így y = 1 x 1) = x. A görbe tehát az x + y = egyenes.

25 .1 Görbék paraméteres megadása a) A paraméteres egyenletrendszerből kapjuk, hogy x R és y R + {0}, továbbá x = t, vagyis a függvény az y = x, x R parabola. b) A paraméteres egyenletrendszerből kapjuk, hogy 1 x 1 és 0 y 1, továbbá x = sin t, vagyis a függvény az y = x parabola [ 1, 1] intervallum feletti íve. Grafikonja:

26 .1 Görbék paraméteres megadása c) A paraméteres egyenletrendszerből kapjuk, hogy x { 1, 0, 1} és y {0, 1}, továbbá vagyis a függvény az parabola alábbi három pontja: x = sgn t, y = x P 1 1, 1), P 0, 0), P 1, 1). Grafikonja: d) A paraméteres egyenletrendszerből kapjuk, hogy x 1 és y R, továbbá azaz t = y, x = 1 + y) = y 6y + 10,

27 .1 Görbék paraméteres megadása 4 vagyis a görbe az x 1 = y ) parabola, amelynek csúcsa a C1, ) pont, szimmetriatengelye pedig az y = egyenes. Grafikonja: Ha π t π, akkor π π sin t π, így cos π x cos 0 és sin π ) y sin π, azaz x és y. A paraméteres egyenletrendszerből kapjuk, hogy π ) π ) x = 9 cos sin t és y = 9 sin sin t, összeadva a fenti két egyenletet és felhasználva, hogy α = π sin t esetén is fennáll a cos α + sin α = 1

28 . Paraméteres alakban adott függvény deriváltja 5 azonosság, adódik az π ) π ) x + y = 9 cos sin t + 9 sin sin t = 9. implicit egyenlet. Tehát az π ) x = cos sin t, π ) y = sin sin t, π t π paraméteres megadású görbe az origú középpontú r k = sugarú kör Grafikonja: [ ], intervallum feletti íve.. Paraméteres alakban adott függvény deriváltja ẋt) = dx dt = t + 1 és ẏt) = dy dt = 7t Így y = dy dx = ẏt) ẋt) = 7t6 + 1 t + 1.

29 . Paraméteres alakban adott függvény deriváltja ẋt) = dx dt = sin t és ẏt) = dy dt = cos t. Így y = dy dx = ẏt) ẋt) = cos t sin t = ctg t. Ha t 0 = π 4, akkor π ) y t0) = y = ctg π 4 4 = A szorzat deriválási szabályát használva: ẋt) = dx dt = et sin t+e t cos t = e t sin t+cos t) és ẏt) = dy dt = et cos t e t sin t = e t cos t sin t). Így y = dy dx = ẏt) ẋt) = cos t sin t sin t + cos t Az összetett függvény deriválási szabályát használva: ẋt) = dx dt = cos t sin t) és ẏt) = dy dt = sin t cos t. Így Ha t 0 = π, akkor y = dy dx = ẏt) ẋt) = sin t cos t cos t sin t) = sin t cos t π ) y t0) = y = tg π =. = tg t Ha t 0 = π 4, akkor Az érintő meredekségét a π ) xt 0 ) = x = 5 4 pontban keressük. Határozzuk meg y -t! és 5 P 0, 4 ) π ) yt 0 ) = y = 4 4. így ẋt) = dx dt = 5 sin t és ẏt) = dy dt y = dy dx = ẏt) ẋt) cos t = 4 5 sin t = 4 ctg t. 5 = 4 cos t,

30 . Paraméteres alakban adott függvény deriváltja 7 Ha t 0 = π 4, akkor π ) m = y t 0 ) = y = ctg π 4 = 4 5. Az érintő meredeksége tehát 4. Az ellipszis grafikonja: A deriválási szabályok alapján: Így Ha t 0 = 1, akkor ẋt) = dx dt = 5t4 + π cosπt) és ẏt) = dy dt = 1 + et. y = dy dx = ẏt) ẋt) = 1 + e t 5t 4 + π cosπt). y t 0 ) = y 1) = 1 + e 5 + π A P 1, 1) pont a t 0 = 0 paraméterértéknek felel meg. A deriválási szabályok alapján: Így ẋt) = dx dt = t + et és ẏt) = dy dt = 1 + et. y = dy dx = ẏt) ẋt) = 1 + et t + e t.

31 . Paraméteres alakban adott függvény deriváltja 8 Ha t 0 = 0, akkor y t 0 ) = y 0) = A P 1, 0) pont a t 0 = 0 paraméterértéknek felel meg. A deriválási szabályok alapján: ẋt) = dx dt = sin t et cos t e t e t és ẏt) = dy dt = cos t et sin t e t e t. Így Ha t 0 = 0, akkor y = dy dx = ẏt) ẋt) = cos t sin t sin t + cos t. y t 0 ) = y 0) = Ha t 0 = 0, akkor x 0 = xt 0 ) = x0) = és y 0 = yt 0 ) = y0) = 5, vagyis az érintőt a P, 5) pontban kell meghatározni. A deriválási szabályok alapján: ẋt) = dx dt = et és ẏt) = dy dt = 5e t. Így Ha t 0 = 0, akkor y = dy dx = ẏt) ẋt) = 5 e t. m = y t 0 ) = y 0) = 5. A P, 5) pontban az érintőegyenes egyenlete: y = 5 x ) + 5, átrendezve: 5x + y 0 = A deriválási szabályok alapján: Így ẋt) = dx dt Az x + y + = 0 egyenes explicit alakja: = 4t és ẏt) = dy dt = t + 1. y = dy dx = ẏt) ẋt) = t t y = x,

32 . Paraméteres alakban adott függvény deriváltja 9 vagyis az egyenes meredeksége 1, a rá merőleges egyeneseké pedig 1. Olyan pontokat keresünk, ahol y = dy dx = 1, azaz t + 1 = 1. 4t A felírt egyenletet megoldva két gyököt kapunk: A keresett pontok: t 1 = 1 P 1 4 9, 10 ) 7 és t = 1. és P, ) A 9x + 16y = 5 egyenletű ellipszis paraméteres egyenletrendszere: xt) = 1 cos t, t [0, π). 1 yt) = sin t, A deriválási szabályok alapján: ẋt) = dx 1 dt = Így A 4y + x = 4 egyenes explicit alakja: sin t és ẏt) = dy dt = y = dy dx = ẏt) ẋt) = ctg t. 4 y = 4 x + 1, 1 cos t. vagyis az egyenes meredeksége. Olyan pontokat keresünk az ellipszisen, ahol 4 azaz Ekkor y = dy dx = 4, 4 ctg t = 4. ctg t =,

33 . Paraméteres alakban adott függvény deriváltja 0 azaz t 1 = π 6 és t = 7π 6. A keresett pontok: P 1 1, A P 1 pontba húzott érintő egyenlete: A P pontba húzott érintő egyenlete: ) 1 4 y = 4 y = 4 ) 1 1 és P,. 4 x x + ) )

34 . Paraméteres alakban adott függvény deriváltja A deriválási szabályokat használva: ẋt) = dx dt = 4 cos t sin t) és ẏt) = dy dt = 4 sin t cos t. Így y = dy dx = ẏt) ẋt) = 4 sin t cos t 4 cos t sin t) = sin t = tg t. cos t Az y = x egyenes meredeksége 1. Olyan pontokat keresünk az asztroidán, ahol y = dy dx = 1, azaz tg t = 1, tehát A keresett pontok: t 1 = π 4 és t = 7π 4. P 1, ) és P, ).

35 . Polárkoordinátás megadású görbék. Polárkoordinátás megadású görbék.1.1. Ha a Descartes-féle koordináta-rendszer x-tengelyének pozitív fele a polártengely és a pólus az origóban van, akkor ugyanannak a pontnak a Descartes-féle koordinátái és a polárkoordinátarendszerbeli koordinátái között, ha x, y és r mértékegységei megegyeznek, akkor az alábbi összefüggések állnak fenn: Tehát a feladat megoldása: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ és r = x + y. a) A P 1, ) pont a Descart-féle derékszögű koordinátarendszer II. síknegyedében van és r = ) + =, továbbá azaz cos ϕ = = és sin ϕ = = ϕ = π 4., Tehát a P 1 pont polárkoordináta-rendszerbeli megfelelője a P 1, π ) 4 pont. b) A P 5, 5 ) pont a Descart-féle derékszögű koordinátarendszer I. síknegyedében van és r = ) = = 100 = 10, továbbá azaz cos ϕ = 5 10 = 1 és sin ϕ = 5 10 = ϕ = π., Tehát a P pont polárkoordináta-rendszerbeli megfelelője a P 10, π ) pont. c) A P 0, 1) pont a Descart-féle derékszögű koordinátarendszer y-tengelyének pozitív felé van és r = = 1, továbbá cos ϕ = 0 és sin ϕ = 1,

36 . Polárkoordinátás megadású görbék azaz ϕ = π. Tehát a P pont polárkoordináta-rendszerbeli megfelelője a P 1, π ) pont. d) A P 4 1, ) pont a Descart-féle derékszögű koordinátarendszer III. síknegyedében van és r = 1) + ) = 1 + = 4 =, továbbá azaz cos ϕ = 1 és ϕ = 4π. sin ϕ =, Tehát a P 4 pont polárkoordináta-rendszerbeli megfelelője a P 4, 4π ) pont..1.. Felhasználjuk az két koordináta-rendszer közötti x = r cos ϕ, y = r sin ϕ és r = x + y összefüggéseket. a) A Q 1, π ) pont esetén r = és ϕ = π 6 6, azaz x = cos π 6 = = és y = sin π 6 = 1 = 1. Tehát a Q 1, π ) pont megfelelője a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben a 6 ) Q 1, 1 pont. b) A Q, π 4 ) pont esetén r = és ϕ = π 4, azaz x = cos π ) 4 = = és y = sin π 4 = =.

37 . Polárkoordinátás megadású görbék 4 Tehát a Q 1, π 4 ) pont megfelelője a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben a Q, ) pont. c) A Q 4, 5π ) pont esetén r = 4 és ϕ = 5π, azaz x = 4 cos 5π = 4 1 = és y = 4 sin 5π ) = 4 =. Tehát a Q 4, 5π pont. ) pont megfelelője a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben a Q, ) d) Ha r értéke negatív, akkor megállapodás szerint az r, ϕ) pont helyét a síkon úgy állapítjuk meg, hogy r -et mérünk fel a ϕ+π hajlásszögű félegyenesre. A Q 4 4, π ) pont esetén tehát r = 4 = 4 és π + ϕ = π + π = 4π, azaz x = 4 cos 4π = 4 1 ) ) = és y = 4 sin 4π = 4 =. Tehát a Q 4 4, π ) pont megfelelője a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben a Q 4, ) pont. Megjegyezzük, hogy a 4, π ) és 4, 4π ) polárkoordinátás megadású pontokok egybeesnek..1.. A ϕ = π 4 görbe az x-tengely pozitív felével π szöget bezáró origón átmenő egyenes, vagyis az 4 y = x egyenes. Megjegyezzük, hogy az egyenes alsó fele is a grafikonhoz tartozik, mivel r negatív értéket is felvehet A ϕ = π y-tengelye. polárkoordinátás megadású görbe a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszer

38 . Polárkoordinátás megadású görbék Felhasználjuk az két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket. x = r cos ϕ, y = r sin ϕ és r = x + y a) Az r = 4 polárkoordinátás egyenletű görbe az origó középpontú 4 egység sugarú kör, melyenek Descartes-koordinátás egyenlete: x + y = 16. A x + y = 16 egyenletű kör paraméteres egyenletrendszere: { xt) = 4 cos t, yt) = 4 sin t, t [0, π). b) Először adjuk meg a görbe Descartes-koordinátás egyenletét! Az r = cos ϕ egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg r-rel! Ekkor r = r cos ϕ adódik. Alkalmazzuk a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket, így a fenti egyenlet alapján az x + y = x Descartes-koordinátás egyenlet adódik. Ez az egyenlet ekvivalens az x x + y = 0

39 . Polárkoordinátás megadású görbék 6 és az x 1) + y = 1 egyenletekkel. Tehát az r = cos ϕ polárkkordinátás egyenletű görbe az 1, 0) középpontú egység sugarú kör. Az x 1) + y = 1 egyenletű kör paraméteres egyenletrendszere: { xt) = 1 + cos t, t [0, π). yt) = sin t, c) Az r = 6 sin ϕ egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg r-rel! Ekkor r = 6r sin ϕ adódik. Alkalmazzuk a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket, így a fenti egyenlet alapján az x + y = 6y Descartes-koordinátás egyenlet adódik. Ez az egyenlet ekvivalens az és az x + y 6y = 0 x + y ) = 9 egyenletekkel. Tehát az r = 6 sin ϕ polárkkordinátás egyenletű görbe a 0, ) középpontú egység sugarú kör, melynek paraméteres egyenletrendszere:

40 . Polárkoordinátás megadású görbék 7 { xt) = cos t, yt) = + sin t, t [0, π). Grafikonja: d) Az r = 6sin ϕ + cos ϕ) egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg r-rel! Ekkor r = 6r sin ϕ + 6r cos ϕ adódik. Alkalmazzuk a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket, így a fenti egyenlet alapján az x + y = 6y + 6x Descartes-koordinátás egyenlet adódik. Ez az egyenlet ekvivalens az és az x 6x + y 6y = 0 x ) + y ) = 18 egyenletekkel. Tehát az r = 6sin ϕ + cos ϕ) polárkkordinátás egyenletű görbe a, ) középpontú sugarú kör, melynek paraméteres egyenletrendszere: { xt) = + cos t, yt) = + sin t, t [0, π).

41 . Polárkoordinátás megadású görbék 8 Az r = 6sin ϕ + cos ϕ) polárkkordinátás egyenletű görbe grafikonja:.1.6. Felhasználjuk az két koordináta-rendszer között fennálló x = r cos ϕ, y = r sin ϕ és r = x + y összefüggéseket. a) Az x + y = 100 körre r = 100 adódik, vagyis a polárkoordinátás egyenlet: r = 10. b) Az x + y 4) = 16 kör ekvivalens alakja: x + y = 8y. Felhasználva a két koordinátarendszer közötti összefüggéseket az r = 8r sin ϕ polárkoordinátás egyenlethez jutunk. Mindkét oldalt végigosztva r-rel az r = 8 sin ϕ összefüggést kapjuk.

42 . Polárkoordinátás megadású görbék 9 c) Az x 6) + y = 6 kör ekvivalens alakja: x + y = 1x. Alkalmazva a két koordinátarendszer közötti összefüggéseket az r = 1r cos ϕ polárkoordinátás egyenlethez jutunk. Mindkét oldalt végigosztva r-rel az r = 1 cos ϕ összefüggést kapjuk. d) Az x + y = 8x kör esetén felhasználva a két koordinátarendszer közötti összefüggéseket az r = 8r cos ϕ polárkoordinátás egyenlethez jutunk. Mindkét oldalt végigosztva r-rel az r = 8 cos ϕ polárkoordinátás összefüggés adódik. e) Az x + y = y kör esetén felhasználva a két koordinátarendszer közötti összefüggéseket az r = r sin ϕ polárkoordinátás egyenlethez jutunk. Mindkét oldalt végigosztva r-rel az r = sin ϕ polárkoordinátás összefüggést kapjuk. f) Az x 4) + y 4) = kör ekvivalens alakja: x + y = 8x + 8y. Felhasználva a két koordinátarendszer közötti összefüggéseket az r = 8rcos ϕ + sin ϕ) polárkoordinátás egyenlethez jutunk. Mindkét oldalt végigosztva r-rel az r = 8cos ϕ + sin ϕ) összefüggést kapjuk Felhasználjuk az két koordináta-rendszer között fennálló x = r cos ϕ, y = r sin ϕ és r = x + y összefüggéseket.

43 . Polárkoordinátás megadású görbék 40 a) Először adjuk meg a görbe Descartes-koordinátás egyenletét! mindkét oldalát szorozzuk meg r-rel! Ekkor Az r = 10 cos ϕ egyenlet r = 10r cos ϕ adódik. Alkalmazzuk a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket, így a fenti egyenlet alapján az x + y = 10x Descartes-koordinátás egyenletet kapjuk. Ez az egyenlet ekvivalens az és az x + 10x + y = 0 x + 5) + y = 5 egyenletekkel. Tehát az r = 10 cos ϕ polárkkordinátás egyenletű görbe a 5, 0) középpontú 5 egység sugarú kör. Az r = 10 cos ϕ kör paraméteres egyenletrendszere: { xt) = cos t, yt) = 5 sin t, t [0, π).

44 . Polárkoordinátás megadású görbék 41 b) Az r = cos ϕ, π < ϕ < π ) a polártengelyre merőleges egyenes egyenlete, melynek ekvivalens alakja: r cos ϕ =. Descartes-koordinátás egyenlete: x =. Az r = cos ϕ, π < ϕ < π ) egyenes paraméteres egyenletrendszere: { xt) =, t R. yt) = t, c) Az r = 4, 0 < ϕ < π) a polártengellyel párhuzamos egyenes egyenlete, melynek ekvivalens sin ϕ alakja: r sin ϕ = 4. Descartes-koordinátás egyenlete: y = 4. Az r = 4, 0 < ϕ < π) egyenes paraméteres egyenletrendszere: sin ϕ { xt) = t, t R. yt) = 4,

45 . Polárkoordinátás megadású görbék 4 Az r = 4, 0 < ϕ < π) egyenes grafikonja: sin ϕ ) a polártengelyre merőleges egyenes egyenlete, melynek ekvi- d) Az r = cos ϕ, valens alakja: π < ϕ < π Descartes-koordinátás egyenlete: x =. r cos ϕ =.

46 . Polárkoordinátás megadású görbék 4 Az r = π cos ϕ, < ϕ < π ) egyenes paraméteres egyenletrendszere: { xt) =, yt) = t, t R. e) Az r = 1, π < ϕ < π) a polártengellyel párhuzamos egyenes egyenlete, melynek ekvivalens alakja: sin ϕ r sin ϕ = 1. Descartes-koordinátás egyenlete: y = 1. Az r = 1, π < ϕ < π) egyenes paraméteres egyenletrendszere: sin ϕ { xt) = t, t R. yt) = 1, f) Először adjuk meg a görbe Descartes-koordinátás egyenletét! Az r = ekvivalens alakja: Az addíciós tételt alkalmazva: π ) π ) r cos + ϕ = 5, ha cos + ϕ 0. r cos ϕ cos π sin ϕ sin π ) = 5, 5 π ) egyenlet cos + ϕ

47 . Polárkoordinátás megadású görbék 44 azaz r ) 1 cos ϕ sin ϕ = 5. Alkalmazzuk a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket! Ekkor az 1 x y = 5, vagyis az x y = 10 egyenes Descartes-koordinátás egyenletét kapjuk. Az egyenes explicit alakja: y = 1 x 10. Az r = 5 π ) egyenes paraméteres egyenletrendszere: cos + ϕ xt) = t, yt) = 1 t 10, t R.

48 . Polárkoordinátás megadású görbék 45 g) Az r = cos ϕ π ) egyenlet ekvivalens alakja: 4 r cos ϕ π ) =, ha cos ϕ π ) Az addíciós tételt alkalmazva: azaz r r cos ϕ cos π 4 + sin ϕ sin π ) =, 4 ) cos ϕ + sin ϕ =. Alkalmazzuk a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket! Ekkor a x + y =, vagyis az x + y = egyenes Descartes-koordinátás egyenletét kapjuk. Az r = 5 π ) egyenes paraméteres egyenletrendszere: cos + ϕ { xt) = t, yt) = t, t R.

49 . Polárkoordinátás megadású görbék 46 h) Az r = 8 cos ϕ π ) egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg r-rel! Ekkor r = 8r cos ϕ π ) adódik. Az addíciós tételt alkalmazva: r = 8r cos ϕ cos π + sin ϕ sin π ), azaz r = 4r cos ϕ + 4 sin ϕ. Alkalmazzuk a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket, így a fenti egyenlet alapján az x + y = 4x + 4 y Descartes-koordinátás egyenletet kapjuk. Ez az egyenlet ekvivalens az x 4x + y 4 y = 0 és az x ) + y ) = 16 egyenletekkel. Tehát az r = 8 cos ϕ π ) polárkoordinátás egyenletű görbe a, ) középpontú 4 egység sugarú kör. Az r = 8 cos ϕ π ) kör paraméteres egyenletrendszere: { xt) = + 4 cos t, yt) = t [0, π). + 4 sin t,

50 . Polárkoordinátás megadású görbék A görbék vázlatának elkészítséhez célszerű értéktáblázatot készíteni. a) Az r = 8 sin ϕ görbe grafikonja az alábbi értéktáblázat alapján könnyen elkészíthető: ϕ sin ϕ sin ϕ r = 8 sin ϕ A görbe grafikonja: 0, π, π π 6, 5π 6 π 4, π 4 π, π π π

51 . Polárkoordinátás megadású görbék 48 A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához az r = 8 sin ϕ egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg r -tel! Ekkor r = 8r sin ϕ adódik. Alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket a x + y ) = 8y Descartes-koordinátás egyenletet kapjuk. b) Az r = sin ϕ görbe grafikonjának megrajzolásához az alábbi értéktáblázat szolgál alapul: ϕ sin ϕ r = sin ϕ 0, π, π, π, π 0 0 π 6, π, 7π 6, 4π π 4, 5π 1 4 π, 5π π 4, 7π 4 1 Az r = sin ϕ görbét négyes rozettának nevezik. Grafikonja:

52 . Polárkoordinátás megadású görbék 49 A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához az r = sin ϕ egyenletet írjuk át az alábbi alakba: r = 6 sin ϕ cos ϕ. Az egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg r -tel! Ekkor r = 6 r sin ϕ r cos ϕ adódik. Alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket a x + y ) = 6xy Descartes-koordinátás egyenletet kapjuk. c) Az r = cos ϕ görbe értéktáblázatának elkészítése előtt vegyük észre, hogy r értéke csak akkor számolható ki, ha cos ϕ 0, azaz π 4 ϕ π 4 vagy π 4 ϕ 5π 4. ϕ cos ϕ r = cos ϕ 0, π, π 1 1 π 6, 5π 6, 7π 6, 11π π 4, π 4, 5π 4, 7π Az r = cos ϕ görbét lemniszkátának nevezik. Grafikonja:

53 . Polárkoordinátás megadású görbék 50 A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához az r = cos ϕ egyenlet mindkét oldalát emeljük négyzetre! Az r = cos ϕ egyenlet jobb oldalán alkalmazzuk a megfelelő trigonometrikus azonosságot, így az r = cos ϕ sin ϕ egyenletet írhatjuk fel. Az egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg r -tel! Ekkor r 4 = r cos ϕ r sin ϕ adódik. Alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket az x + y ) = x y Descartes-koordinátás egyenletet kapjuk. d) Az r = sin ϕ görbét hármas rozettának vagy háromlevelű lóherének nevezzük. Grafikonja: A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához felhasználjuk az alábbi trigonometrikus azonosságot: sin ϕ = sinϕ + ϕ) = sin ϕ cos ϕ + cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ sin ϕ. Tehát az r = sin ϕ egyenlet felírható az alábbi alakban: r = 6 sin ϕ cos ϕ sin ϕ.

54 . Polárkoordinátás megadású görbék 51 A kapott egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg r -nal! Ekkor r 4 = 6 r sin ϕ r cos ϕ r sin ϕ adódik. Alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket az x + y ) = 6yx y, vagyis az x + y ) = yx y ) Descartes-koordinátás egyenletet kapjuk. e) Az r = cos ϕ görbét ugyancsak hármas rozettának vagy háromlevelű lóherének nevezzük. Grafikonja: A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához felhasználjuk az alábbi trigonometrikus azonosságot: cos ϕ = cosϕ + ϕ) = cos ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ = cos ϕ sin ϕ cos ϕ. Tehát az r = cos ϕ egyenlet felírható az alábbi alakban: r = cos ϕ 6 sin ϕ cos ϕ. A kapott egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg r -nal! Ekkor r 4 = r cos ϕ 6 r sin ϕ r cos ϕ

55 . Polárkoordinátás megadású görbék 5 adódik. Alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket az x + y ) = x 6y x, vagyis az x + y ) = xx y ) implicit alakú Descartes-koordinátás egyenletet kapjuk. f) Az r = 1 + cos ϕ görbét limakonnak nevezzük. Grafikonja: ϕ cos ϕ r = 1 + cos ϕ 0, π π, π π, 4π π 1 A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához szorozzuk meg az r = 1+ cos ϕ egyenlet mindkét oldalát r-rel! A kapott r = r + r cos ϕ egyenletre alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket az x + y = x + y + x implicit alakú Descartes-koordinátás egyenletet kapjuk.

56 . Polárkoordinátás megadású görbék 5 g) Az r = 4 + cos ϕ görbét is limakonnak hívják, de a grafikonján nincs hurok. Mivel cos ϕ, így azonnal látszik, hogy 4 + cos ϕ 6, azaz r értéke mindig pozitív ezért nincs hurok), sőt r 6. Az r = 4 + cos ϕ görbéhez tartozó értéktáblázat: ϕ cos ϕ r = 4 + cos ϕ 0, π 6 π, π π, 4π π A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához szorozzuk meg az r = 4+ cos ϕ egyenlet mindkét oldalát r-rel! A kapott r = 4r + r cos ϕ egyenletre alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket az x + y = 4 x + y + x implicit alakú Descartes-koordinátás egyenletet kapjuk.

57 . Polárkoordinátás megadású görbék 54 h) Az r = sin ϕ görbét lemniszkátának nevezzük. Grafikonja: Az r = sin ϕ egyenletből azonnal adódik, hogy r legnagyobb felvett értéke 1. Vegyük észre azt is, hogy r értéke csak akkor számolható ki, ha sin ϕ 0, azaz 0 ϕ π vagy π ϕ π. A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához az r = sin ϕ egyenletet írjuk fel r = sin ϕ cos ϕ alakba, majd szorozzuk meg mindkét oldalt r -tel. Ekkor r 4 = r sin ϕ r cos ϕ adódik, amelyre alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket az x + y ) = xy implicit alakú Descartes-koordinátás egyenlet adódik. Megjegyezzük, hogy a görbe grafikonja az r = cos ϕ lemniszkáta grafikonjából π radiánnal történő elforgatással származtatható, 4 mert: r = cos ϕ π )) = cos ϕ π ) = sin ϕ. 4

58 . Polárkoordinátás megadású görbék 55 i) Az r = sin 4ϕ görbét nyolcas rozettának nevezzük. A grafikon elkészítéséhez célszerű az alábbi értéktáblázatot elkészíteni: ϕ r = sin 4ϕ 0, π 4, π, π 4, π, 5π 4, π, 7π 4, π 0 π 8, 5π 8, 9π 8, 1π 8 π 8, 7π 8, 11π 8, 15π A görbe grafikonja: A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához felhasználjuk az alábbi trigonometrikus azonosságot: sin 4ϕ = sin ϕ cos ϕ = 4 sin ϕ cos ϕcos ϕ sin ϕ) = 4 sin ϕ cos ϕ 4 sin ϕ cos ϕ. Tehát az r = sin 4ϕ egyenlet felírható az alábbi alakban: r = 4 sin ϕ cos ϕ 4 sin ϕ cos ϕ. A kapott egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg r 4 -nel! Ekkor r 5 = 4 r sin ϕ r cos ϕ 4 r sin ϕ r cos ϕ

59 . Polárkoordinátás megadású görbék 56 adódik. Alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket a x + y ) 5 = 4yx 4y x, vagyis a x + y ) 5 = 4xyx y ) implicit alakú Descartes-koordinátás egyenletet kapjuk. j) Az r = + cos ϕ görbe grafikonja szimmetrikus az origóra, mert cosϕ + π) = cos ϕ. Könnyen látható az is, hogy 1 cos ϕ 1, így 1 + cos ϕ, vagyis r nem vesz fel negatív értéket. A görbe grafikonja: A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához az r = + cos ϕ egyenletet írjuk fel r = + cos ϕ sin ϕ alakba, majd szorozzuk meg mindkét oldalt r -tel. Ekkor r = r + r cos ϕ r sin ϕ adódik, amelyre alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket a x + y ) = x + y ) + x y implicit alakú Descartes-koordinátás egyenlet írható fel.

60 . Polárkoordinátás megadású görbék A kardioidok szívgörbék) vázlatának elkészítséhez célszerű értéktáblázatot készíteni. a) Ha r = 1 + cos ϕ, akkor 1 cos ϕ 1 miatt 0 r adódik, azaz r értéke sehol sem negatív. Az értéktáblázat: ϕ cos ϕ r = 1 + cos ϕ 0, π 1 π, π Az r = 1 + cos ϕ szívgörbe grafikonja: 0 1 π 1 0 A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához az r = 1 + cos ϕ egyenletet mindkét oldalát szorozzuk meg r-rel. Ekkor r = r + r cos ϕ adódik, amelyre alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket az x + y = x + y + x implicit alakú Descartes-koordinátás egyenlet írható fel.

61 . Polárkoordinátás megadású görbék 58 b) Ha r = 1 cos ϕ, akkor 1 cos ϕ 1 miatt 0 r adódik, azaz r értéke sehol sem negatív. Az értéktáblázat: ϕ cos ϕ r = 1 cos ϕ 0, π 1 0 π, π Az r = 1 cos ϕ szívgörbe grafikonja: 0 1 π 1 Megjegyezzük, hogy az r = 1+cos ϕ grafikonjából π radiánnal történő, az óramutató járásával ellentétes irányú elforgatással is származtatható az r = 1 cos ϕ kardioid grafikonja, mert r = 1 + cosϕ π) = 1 cos ϕ. A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához az r = 1 cos ϕ egyenletet mindkét oldalát szorozzuk meg r-rel. Ekkor r = r r cos ϕ adódik, amelyre alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket az x + y = x + y x implicit alakú Descartes-koordinátás egyenlet írható fel.

62 . Polárkoordinátás megadású görbék 59 c) Ha r = 1 + sin ϕ, akkor 1 sin ϕ 1 miatt 0 r adódik, azaz r értéke sehol sem negatív. Az értéktáblázat: ϕ sin ϕ r = 1 + sin ϕ 0, π, π 0 1 π π Az r = 1 + sin ϕ szívgörbe grafikonja: Az r = 1 + cos ϕ grafikonjából π radiánnal történő, az óramutató járásával ellentétes irányú elforgatással is származtatható az r = 1 + sin ϕ kardioid grafikonja, mert r = 1 + cos ϕ π ) = 1 + sin ϕ. A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához az r = 1 + sin ϕ egyenletet mindkét oldalát szorozzuk meg r-rel. Ekkor r = r + r sin ϕ adódik, amelyre alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket az x + y = x + y + y implicit alakú Descartes-koordinátás egyenlet írható fel.

63 . Polárkoordinátás megadású görbék 60 d) Ha r = 1 sin ϕ, akkor 1 sin ϕ 1 miatt 0 r adódik, azaz r értéke sehol sem negatív. Az értéktáblázat: ϕ sin ϕ r = 1 + sin ϕ 0, π, π 0 1 π π Az r = 1 sin ϕ szívgörbe grafikonja: Az r = 1 + cos ϕ grafikonjából π radiánnal történő, az óramutató járásával ellentétes irányú elforgatással is származtatható az r = 1 sin ϕ kardioid grafikonja, mert r = 1 + cos ϕ π ) = 1 sin ϕ. A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához az r = 1 sin ϕ egyenletet mindkét oldalát szorozzuk meg r-rel. Ekkor r = r r sin ϕ adódik, amelyre alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket az x + y = x + y y implicit alakú Descartes-koordinátás egyenlet írható fel.

64 . Polárkoordinátás megadású görbék Könnyen észrevehető, hogy r = cos ϕ = 1 + cos ϕ, vagyis az r = cos ϕ kicsinyített képe. görbe grafikonja az r = 1 + cos ϕ kardioid grafikonjának az origóból felére A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához az r = sin ϕ négyzetre! egyenlet mindkét oldalát emeljük Ismert, hogy r = sin ϕ sin ϕ = 1 cos ϕ, azaz r = 1 cos ϕ. Szorozzuk meg a kapott egyenlet mindkét oldalát r-rel! Ekkor a r = r r cos ϕ

65 . Polárkoordinátás megadású görbék 6 egyenletet kapjuk, amelyre alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket a x + y ) = x + y x implicit alakú Descartes-koordinátás egyenlet írható fel. Ha r = sin ϕ, akkor 1 sin ϕ 1 miatt 1 r 1 teljesül, vagyis r pozitív és nagatív értékeket is felvehet. Az y = sin x függvény periódusa 4π, így a görbe vázlatának elkészítéséhez ϕ értékeit a [0, 4π] intervallumból választjuk. Az értéktáblázat: ϕ r = sin ϕ 0, π, 4π 0 π, π π 1 5π, 7π π 1 Az r = sin ϕ görbe grafikonja: Látható, hogy ϕ [0, π] esetén egy kardioid görbét kapunk, majd ϕ [π, 4π] esetén egy másik kardioid adódik, ami éppen a ϕ [0, π] esetben kapott kardioid y-tengelyre való tükörképe.

66 . Polárkoordinátás megadású görbék Könnyen észrevehető, hogy r = sin ϕ = 1 cos ϕ, vagyis az r = sin ϕ kicsinyített képe. görbe grafikonja az r = 1 cos ϕ kardioid grafikonjának az origóból felére.1.1. Az r = + cos ϕ limakon grafikonján sincs hurok, mert cos ϕ, így azonnal látszik, hogy 1 + cos ϕ 5, azaz r értéke mindig pozitív. Az r = + cos ϕ görbéhez tartozó értéktáblázat: ϕ cos ϕ r = + cos ϕ 0, π 5 π, π π, 4π 0 1 π 1

67 . Polárkoordinátás megadású görbék 64 Az r = sin ϕ limakon grafikonja megkapható az r = + cos ϕ limakon grafikonjának az óramutató járásával ellentétes irányú π radiánnal történő elforgatásával, mert: r = + cos ϕ π ) = sin ϕ a) Az ellipszis polárkoordinátás egyenletének felírásához az x 4 +y = 1 egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg 4-gyel! Az x + 4y = 4 egyenletet zárójelezzük: x + y ) + y = 4, majd alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket az r + r sin ϕ = 4 összefüggés adódik. A kapott egyenlet bal oldalán kiemeljük r -et: r 1 + sin ϕ) = 4,

68 . Polárkoordinátás megadású görbék 65 majd mindkét oldalt elosztjuk a zárójelben lévő összeggel, így r = sin ϕ írható fel, tehát az ellipszis egyenlete poláris koordinátákkal: r = 1 + sin ϕ. b) Az ellipszis polárkoordinátás egyenletének felírásához az x 5 + y 16 szorozzuk meg 400-zal! A 16x + 5y = 400 = 1 egyenlet mindkét oldalát egyenletet zárójelezzük: 5x + y ) 9x = 400, majd alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket a 5r 9r cos ϕ = 400 összefüggés adódik. A kapott egyenlet bal oldalán kiemeljük r -et: r 5 9 cos ϕ) = 400, majd mindkét oldalt elosztjuk a zárójelben lévő különbséggel, így r = cos ϕ írható fel, tehát az ellipszis egyenlete poláris koordinátákkal: r = cos ϕ. c) Az x = y parabola esetén, ha alkalmazzuk a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket, akkor az r cos ϕ = r sin ϕ egyenlet adódik. Mindkét oldalt osszuk el r-el és cos ϕ-vel, így megkapjuk a parabola egyenletét poláris korrdinátákkal: r = sin ϕ cos ϕ. Ennek egy ekvivalens alakja: r = tg ϕ cos ϕ.

69 . Polárkoordinátás megadású görbék 66 d) Ha alkalmazzuk a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket az y = 16x parabolára, akkor az r sin ϕ = 16r cos ϕ egyenlet adódik. Mindkét oldalt osszuk el r-el és sin ϕ-vel, így megkapjuk a parabola egyenletét poláris korrdinátákkal: 16 cos ϕ r = sin ϕ. Ennek egy ekvivalens alakja: 16 ctg ϕ r = sin ϕ. e) A hiperbola polárkoordinátás egyenletének felírásához az x 5 y = 1 egyenlet mindkét oldalát 16 szorozzuk meg 400-zal! A 16x 5y = 400 egyenletetre alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket a 16r cos ϕ 5r sin ϕ = 400 összefüggés adódik. A kapott egyenlet bal oldalán alkalmazzuk a cos ϕ = cos ϕ sin ϕ azonosságot és emeljünk ki r -et! Az r 16 cos ϕ 9 sin ϕ) = 400 egyenlet mindkét oldalát osszuk el a zárójelben lévő különbséggel, így r = cos ϕ 9 sin ϕ írható fel, tehát a hiperbola egyenlete poláris koordinátákkal: r = 0 16 cos ϕ 9 sin ϕ. f) Ha alkalmazzuk a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket az xy = 4 hiperbolára, akkor az r cos ϕ r sin ϕ = 4 egyenlet adódik, azaz r cos ϕ sin ϕ = 4. Mindkét oldalt szorozzuk meg -vel és alkalmazzuk a sin ϕ = sin ϕ cos ϕ azonosságot: azaz tehát r cos ϕ sin ϕ = 8, r sin ϕ = 8, r = 8 sin ϕ, r = 8 sin ϕ.

70 . Polárkoordinátás megadású görbék A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához az r = emeljük négyzetre! A kapott egyenlet ekvivalens a r = sin ϕ. 9r 5r sin ϕ = 6 6 egyenlet mindkét oldalát 9 5 sin ϕ egyenlettel. Alkalmazzuk a két koordinátarendszer közötti összefüggéseket! Ekkor a vagyis összevonás után a egyenlet adódik. egyenletét: Grafikonja: 9x + y ) 5y = 6, 9x + 4y = 6 Mindkét oldalt elosztva 6-tal megkapjuk egy ellipszis Descartes-koordinátás x 4 + y 9 = 1.

71 . Polárkoordinátás megadású görbék a) Az r = 4ϕ archimedesi spirális grafikonja, ha ϕ [0, 4π]: Jól látható, hogy minden görbepontnál a rádiuszvektor hossza r) arányos a polárszöggel ϕ). Ha ϕ < 0 esetében negatív rádiuszvektorokat is megengedünk, akkor a görbe két ága a ϕ = ± π egyenesre vonatkozólag egymásnak tükörképe. Az r = 4ϕ archimedesi spirális grafikonja, ha ϕ [ 4π, 4π]:

72 . Polárkoordinátás megadású görbék 69 b) Az r = ϕ spirális grafikonja, ha ϕ [0, π]: A ϕ < 0 esetekben r = ϕ miatt a rádiuszvektor értéke pozitív lesz, a görbe két ága a polártengely egyenesére vonatkozólag egymásnak tükörképe.az r = ϕ spirális grafikonja, ha ϕ [ π, π]:

73 . Polárkoordinátás megadású görbék 70 c) Az r = ϕ hiperbolikus spirális grafikonja, ha ϕ [0, 4π]: Az r = ϕ hiperbolikus spirális aszimptotája az y = egyenes. Ha ϕ < 0 esetében negatív rádiuszvektorokat is megengedünk, akkor a görbe két ága a ϕ = ± π egyenesre vonatkozólag egymásnak tükörképe. Ha ϕ értéke minden határon túl nő, akkor a két ág egyre többször csavarodik a pólus körül. Az hiperbolikus spirális grafikonja, ha ϕ [ 6π, 6π]: ϕ

74 . Polárkoordinátás megadású görbék 71 d) Az r = 6 + spirális grafikonja, ha ϕ [0, 4π]: ϕ e) Az r = ± ϕ parabolikus spirális Fermat-féle spirál) grafikonja, ha ϕ [0, 4π]:

75 . Polárkoordinátás megadású görbék 7 A parabolikus spirális két görbére bontható fel, az r = ϕ és az r = ϕ spirálisok egymásra középpontosan tükrösek az origóra nézve: f) Az r = ± ϕ spirális grafikonja, ha ϕ [0, π]:

76 . Polárkoordinátás megadású görbék 7 g) Az r = e ϕ logaritmikus spirális grafikonja, ha ϕ [0, π]: Az origó aszimptotikus pont. g) Az r = e ϕ és az r = 1 4 eϕ logaritmikus spirálisok grafikonja, ha ϕ [0, π]: Az origó aszimptotikus pont Az x + y ) y = x + xy egyenlet ekvivalens az x + y ) = x + y ) + xy egyenlettel, amelyre alkalmazzuk a két koordinára-rendszer közötti összefüggéseket, így r = r + r cos ϕ sin ϕ

77 . Polárkoordinátás megadású görbék 74 adódik. A kapott egyenlet mindkét oldalát osszuk el r -tel és alkalmazzuk a megfelelő trigonometrikus azonosságot! Ekkor az r = 1 + sin ϕ poláregyenletet kapjuk. Mivel 1 sin ϕ 1, így 0 r. A görbe grafikonja: Nyilvánvaló, hogy a ϕ = π egyenes és az r = 5ϕ archimedesi spirális metszéspontjai az 5π + 5kπ, π ) + kπ, k = 0, ±1, ±,... polárkoordinátás megadású pontok Az r = 4 1 cos ϕ) kardioid és az r = 4 sin ϕ kör metszéspontjainak meghatározásához első lépésként szorozzuk meg mindkét egyenletet r-rel. Ekkor adódik. Vagyis a r = 4 r r cos ϕ) és r = 4r sin ϕ 4 r r cos ϕ) = 4r sin ϕ

78 . Polárkoordinátás megadású görbék 75 egyenletet kell megoldanunk. Osszuk el mindkét oldalt 4 -mal és térjünk át Descartes-féle derékszögű koordinátákra! Ekkor a x + y x = y egyenlet adódik, ami ekvivalens az x + y = y + x egyenlettel. Emeljük négyzetre a kapott egyenlet mindkét oldalát! Így x + y = y + x + xy, azaz yy + x) = 0 adódik. Vagyis y = 0 vagy y + x = 0. Ha y = 0, akkor azonnal adódik, hogy x = 0 is fennáll, tehát az egyik közös pont az origó P 1 ).

79 . Polárkoordinátás megadású görbék 76 A másik közös pontot az y + x = 0 összefüggésből kapjuk, ugyanis ekkor azaz, visszatérve poláris koordinátákra ahonnan ϕ = π. Ekkor y x =, tg ϕ =, r = 4 sin π =. A másik közös pont tehát a P, π ) polárkoordinátás megadású pont Az r = 4 sin ϕ és az r = 4 cos ϕ görbék egymást metsző körök: Az egyik metszéspont az origó P 1 ). A másik metszéspontot akkor kapjuk, ha megoldjuk az

80 . Polárkoordinátás megadású görbék 77 { r = 4 sin ϕ, egyenletrendszert. Ekkor azaz r = 4 cos ϕ 4 sin ϕ = 4 cos ϕ, tg ϕ = 1. A keresett szög tehát ϕ = π. A másik metszéspont ennek megfelelően a 6 P, π ) 6 polárkoordinátás megadású pont Az r = 4 cos ϕ és az r = 4 sin ϕ görbék egymást metsző lemniszkáták: A metszéspontok meghatározásához a 4 cos ϕ = 4 sin ϕ,

81 .4 Polárkoordinátás alakban adott függvény differenciálása 78 vagyis a egyenletet kell megoldani. Ekkor tg ϕ = 1 ϕ = π 4 vagy ϕ = 5π 4. Ez utóbbi nem lehetséges ebben az esetben, mert Vagyis ϕ = π 8 és azaz Eddig tehát két metszéspontunk van: P 1, π ) 8 4 cos 5π 4 < 0. r = 4 cos π ) =, 8 r 1, = ±. és P, π ). 8 Vegyük észre, hogy mindkét görbe áthalad az origón, ez a harmadik metszéspont: P 0, 0)..4 Polárkoordinátás alakban adott függvény differenciálása..1. Ha r = cos ϕ, akkor a) dr dϕ = 1 b) d r dϕ = 1 sin ϕ cos ϕ) sin ϕ) =. cos ϕ cos ϕ cos ϕ + sin ϕ cos ϕ c) d r dϕ = sin ϕ cos ϕ ). cos5 ϕ sin ϕ cos ϕ = cos ϕ + sin ϕ cos ϕ = 1 + cos ϕ cos ϕ. d) dr π ) = sin π dϕ 6 cos π = 6 =. e) Nincs értelmezve. ) f) d r 5π = dϕ 6