Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Átírás

1 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)... Trigonometrikus függvények (sin, cos, tan)... 4 Eponenciális függvények:... 4 Hiperbolikus függvények... 5 Koszinusz-hiperbolikusz függvény... 5 Szinusz-hiperbolikusz függvény... 5 Tangens-hiperbolikusz függvény... 6 Inverz függvények... 7 Természetes alapú logaritmus függvény... Nevezetes határértékek... Határozatlan határértékű alakok összefoglaló táblázata....4 Határozott határértékű alakok, konvergencia kritériumok...5 Gyakorló feladatok megoldással:...6 Függvények ábrázolása a kritikus helyeken vett határértékek segítségével... Reciprokfüggvények ábrázolása, határértékek a kritikus helyeken...5 Racionális törtfüggvények...6 Racionális törtfüggvények ábrázolása, határértékek a kritikus helyeken...6 Összetett függvények ábrázolás a határértékek alapján...0

2 Valós változós valós értékű függvények f Hatványfüggvények: k ahol k pozitív egész szám f f f 4 f 4 5 f 5 6 f 6 7 Páratlan gyökfüggvények: f () f () f () f 4 ()

3 Páros gyökfüggvények f () f () f () Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai) y y

4 Trigonometrikus függvények (sin, cos, tan) f a Eponenciális függvények: (a>0) y y e f()=^ f()=e^ f()=(/)^ y Természetes alapú eponenciális függvény y e ahol az alapszám egy nevezetes sorozat határértéke: n n n e 4

5 Hiperbolikus függvények Koszinusz-hiperbolikusz függvény e ch e Definíció: szokásos jelölés még y cosh y e y e f()=cosh() f()=e^ f()=e^(-) e y e ch Szinusz-hiperbolikusz függvény Definíció: e e sh szokásos jelölés még y sin h y e e y sh e y e f()=sinh() f()=e^ f()=e^(-) 5

6 Tangens-hiperbolikusz függvény Definíció: s h e e th ch e e szokásos jelölés még y tanh sh y th ch f()=tanh() f()=sinh() f()=cosh() f()=- f()= 6

7 Inverz függvények Definíció:inverz függvény Az f függvény inverz függvényének nevezzük és f -el jelöljük azt a függvényt, mely minden valós a számhoz (mely az f függvény az értékkészletéhez tartozik), azt a b számot rendeli, melyhez az f az a -t rendelte, vagyis: Ha f b Innen következik, hogy a, akkor f a b f f a a és f f b b Innen következik, hogy az értékkészlete az f értelmezési tartománya. f értelmezési tartománya az f értékkészlete, és Jelben: D f R f, és R f D f f Tehát csak kölcsönösen egyértelmű függvénynek van inverze, hiszen szükséges, hogy b egyértelmű legyen. Tétel: invertálhatóság elégséges feltétele A függvény invertálhatóságának elégséges feltétele a függvény szigorú monotonitása, hiszen szig. monoton függvény esetén ha, akkor f f 7

8 Az f függvény és az f függvény grafikonja egymásnak az y tükörképe egyenesre vett A képen az és inverze az y függvény y látható Az y sin függvény nem invertálható a, intervallumon, mert nem kölcsönösen egyértelmű. Invertálható a, tartományon, itt szigorúan monoton nő. Az inverz függvényét arkusz-szinusz függvénynek nevezzük, jele arcsin 8

9 Az y arcsin értelmezési tartománya a, intervallum,értékkészlete, Hasonlóan ábrázolhatjuk a trigonometrikus függvények inverzeit a szigorúan monoton szakaszokon. Példa Adjuk meg, hogy az y Megoldás: A függvény nem kölcsönösen egyértelmű, függvény hol invertálható és ott adjuk meg az inverzét. y De felbontható két szigorúan monoton (kölcsönösen egyértelmű) szakaszra:. y ha 0. y, ha 0 9

10 A függvénykapcsolatból -et kifejezve adódik az inverz függvénykapcsolat, ezután és y szerepét felcserélve kapjuk az inverz függvényt az ykoordináta-rendszerben., Vagyis y, y, y,, az 0 ágra, illetve a 0 ágra. y y Felcserélve és y szerepét kapjuk,hogy: Az y ( 0 ) inverze y Az y ( 0 ) inverze y 0

11 Természetes alapú logaritmus függvény: f ln A függvény szigorúan monoton, tehát mindenhol létezik az inverze, ezt a függvényt nevezzük természetes alapú logaritmus függvénynek y ln A továbbiakban az eddig felsorolt függvényekből összeállított függvényeket fogjuk vizsgálni. Összeállítás jelenti a fenti függvények konstans szorosát, összegét, különbségét, szorzatát, hányadosát, összetett függvényét, inverz függvényét fogjuk vizsgálni. Megvizsgáljuk a különböző helyeken és a végtelenben a határértékeiket. A célunk az, hogy minél pontosabban fel tudjuk vázolni a grafikonjukat.

12 Nevezetes határértékek sin sin 0, 0 sin Mivel és 0 és 0 sin 0 sin, bizonyítás rendőrelvvel 0 Ívmértekkel mérve az szöget sin tan, innen sin-el osztva sin cos bizonyítás rendőrelv segítségével Mivel ezért a rendőrelv szerint 0 cos 0 sin sin 0 0 sin e A függvény csak ott van értelmezve, ahol az alap pozitív, vagyis <- vagy >0 0,, azaz y

13 e, bizonyítás vázlat. Belátjuk, hogy ha, akkor van a függvénynek határértéke. Ez nem lehet más, mint az egész helyeken véve a határértéket ami n n n e

14 Határozatlan határértékű alakok összefoglaló táblázata. Határozatlan határértékű alakok: Ha egy függvény akkor a f g f 0 g alakú és f g 0 0 szimbolikusan nem egyértelműen meghatározott (). A határérték az f() és g() függvénytől függ. Hasonlóan kell érteni az alábbi táblázatban szereplő szimbólumokat. A határozatlan alakokat határozott alakúvá kell alakítani úgy, hogy már ismert határérték függvénye legyen. Ismertnek tételezzük a következő határértékeket: sin 0 valamint e 0 0 (a lehet akár vagy ) e (a 0 lehet akár 0 vagy 0 ) 0 helyettesítéssel Szimbolikusan. példa. példa sin sin sin sin sin sin e ln e ln e 0 4

15 Határozott határértékű alakok, konvergencia kritériumok Szimbolikusan A szimbólum tartalma Példa C Ha a számláló konstanshoz tart 4. ( C 0 ) és a nevező 0.hoz, akkor 0 a tört - hez tart 5 7 C C C 6. 0 (0<C<) (C>) c 7. (c>0) 8. 0 C (c>0) 0 korlátos Ha a számláló konstanshoz tart és a nevező.hez, akkor a tört -0 hoz tart Ha a számláló végtelenhez tart és a nevező 0.hoz, akkor a tört - hez tart Ha a számláló 0.hoz tart és a nevező végtelenhez, akkor a tört - 0 hoz tart Ha egy függvény alapja egynél nagyobb konstanshoz tart és a kitevője -hez, akkor a tört - hez tart Ha egy függvény alapja egynél kisebb pozitív konstanshoz tart és a kitevője -hez, akkor a tört 0-hoz tart Ha egy függvény alapja -hez tart és a kitevője konstanshoz ami nagyobb mint 0, akkor a tört -hez tart Ha egy függvény alapja pozitív konstanshoz tart és a kitevője 0 -hoz, akkor a tört -hez tart Ha egy függvény alapja 0-hoz tart és a kitevője -hez, akkor a tört 0-hoz tart 0 0 Ha egy szorzat egyik tényezője korlátos a másik pedig 0-hoz tart, akkor a szorzat 0.hoz tart. sin ln 4 sin arcsin sin

16 Gyakorló feladatok megoldással:. =? határozott alakú C C 4 behelyettesítve = et. =? Határozott C 0 alakú, de pontosabban a kérdés azaz, hogy mennyi a határérték ha jobbról tart az -hez. y f()=(^-+)/(-) Ekkor azt kell megvizsgálni, hogy vagy hez tart a függvény. A függvény grafikonján látható, hogy a válasz az, hogy a függvény Az ábra ismerete nélkül a függvény előjeléből lehet megállapítani ugyanezt. Azt kell mondani, hogy végtelenhez tart és ha akkor a függvény előjele pozitív (úgy állapíthatom meg, hogy behelyettesítek egy -nél nagyobb számot pl. =- t) =? ? határozott alakú C C 6

17 5. 0? gyorsabban -hez tartóval azaz 0 0, a számlálót és a nevezőt a leg -el osztva: már határozott C 0 alakú, mert a számláló konstanshoz a nevező pedig 0-hoz tart. Az előjel pedig + behelyettesítéssel láthatjuk ? határozott alakú C C 7. 0? ? ? 0 0? =? A leggyorsabban -hez tartóval 0 = 0 el osztva a számlálót és a nevezőt 7

18 0 0 már határozott 0 0 alakú, azaz 0 0.? A 0 0 ságát úgy meg lehet szüntetni, hogy mind a számláló, mind a nevező konjugáltjával szorozzuk a számlálót is és a nevezőt is: ? 0 0. sin 5? sin5 sin 5 5 5, mert (precízen a 5 helyettesítéssel ha 0 sin akkor 0, a és sin a ) a0 a 4. sin 5 tart! =? Korlátos függvény szorozva 0-hoz tartó függvénnyel 0-hoz sin5 sin 5 0 sin 5 (precízen rendőrelvvel mivel mindkét oldal 0-hoz tart 8

19 5. 6. sin 5 0 =? 0 sin 5 sin 5 0 sin 5 0 cos0 0 tg0 0 tg sin0 cos 0? =? tg 0 cos cos cos cos sin cos cos cos sin 0 cos 7. cos? A 6. példa eredményét felhasználva cos cos cos tg sin? 0 =? 0 0 tg sin sin cos sin cos sin cos cos cos 9. =? e 0. =? Az alap tart -höz a kitevő pedig -hez, ez nem, ez tart végtelenhez precízen: ha C ahol C>,, akkor ha elég nagy, akkor >,9 így 9

20 ,9,9 és, tehát.? Az alap -hoz, egynél kisebb számhoz tart, a kitevő pedig -hez, ez nem határozatlan alak, hanem ez mindig 0-hoz tart (határozott alakok táblázata 6. sor) precízen rendőr elvvel: 0 és 0.? e e e alapján -hez tart.. Tehát = 7 8 és mivel e 7,44 és e e = rendőrelvvel e 7 =, valamint a feladat első része 8 =, ezért a középső is. ln(00 50) ln 50? ln(00 50) ln 50 ln ln ln ln ln( e) 0 0

21 0 e precízen a helyettesítéssel e 0 a a a sin 0? sin sin sin sin = = sin, tehát a szorzat határértéke 8. 0 sin? sin sin ? 4 8.? 0 th th 9.? 0, mert th és 0. táblázat 0. sor,

22 Függvények ábrázolása a kritikus helyeken vett határértékek segítségével Kritikus helynek nevezzük a -t valamint azokat a helyeket ahol valamelyik függvény nevezője nulla. sin sin Ábrázoljuk a y függvényt y y y Vegyük észre, hogy ha az y f ( ) függvényt megszorozzuk az y sin -el, akkor ahol a szinusz függvény nulla volt ott a szorzat függvény is nulla, ahol a szinusz függvény értéket vett fel ott a szorzat függvény f( ) értékét veszi fel, ahol pedig a szinusz függvény - értéket vett fel ott a szorzat függvény - f( ) értékét veszi fel. Ezért a szorzat függvény az f( ) és a - f( ) görbéje között hullámzik Ebből következik, hogy az lehet határértéke ha f( ) 0 Ábrázoljuk a y e sin Állapítsuk meg a határértékét a végtelenben ( ) f sin függvénynek a végtelenben akkor és csak akkor y e y e y sin

23 y e y e y sin y e sin Ábrázoljuk az y függvényt (ezt a függvényt később, mikor már tudunk deriválni, meg fogjuk részletesen vizsgálni) y y

24 f()=+ f()=^(/) y f()=+ f()=^(/) f()=(+)*^(/) 4

25 Reciprokfüggvények ábrázolása, határértékek a kritikus helyeken Kritikus helynek nevezzük a -t valamint azokat a helyeket ahol a nevező nulla. Vegyük észre, hogy ha az y f( ) függvény görbéje úgy keletkezik az f ( ) görbéjéből, hogy ahol f( ) az értéket vett fel ott a reciproka is az értéket veszi fel, ahol f( ) a - értéket vette fel ott a reciproka is a - értéket veszi fel, ahol f( ) 0 értékét vette fel, ott a reciprokának végtelen a határértéke ( vagy,függően attól, hogy pozitív vagy negatív értékeken keresztül vette fel a 0 értéket. Ahol pedig a függvénynek vagy volt a határértéke, ott a reciprokának 0 a határértéke. f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) 5

26 Racionális törtfüggvények Definíció Két polinom hányadosát racionális törtfüggvénynek nevezzük, jelben: P Q n m Racionális törtfüggvények ábrázolása, határértékek a kritikus helyeken Kritikus helynek nevezzük a -t valamint azokat a helyeket ahol a nevező nulla. Vegyük észre, hogy ahol a racionális törtfüggvény nevezője nulla, és a számlálója nem nulla, ott a függvénynek a határértéke (szimbolikusan 0 c ). Ahol a nevező is és a számláló is nulla, ott ki kell számolni a határértékét (szimbolikusan 0 0 határozatlan alak) A végtelenben vett határértékét az dönti el, hogy a számláló foka nagyobb-e mint a nevező foka, vagy fordítva, vagy egyenlő. Ha P Q n m esetén ha n m, akkor ha m ha n n m, akkor, akkor P n Q m, Pn 0 Q m P n Q m, C, ahol C a két polinomok legmagasabb fokú tagja együtthatóinak hányadosa. Példa: Ábrázoljuk és állapítsuk meg a határértékeket a kritikus helyeken ha P n Qm 9 ( ) n=4 és m= Nézzük meg, hogy ahol a nevező =0, azaz =, =-, és = helyeken,, van-e határértéke 4 4? 9 ( ) Ha akkor a számláló tart -5 höz (behelyettesítjük a C számlálóba az = értéket), a nevező pedig tart nullához. Szimbolikusan: 0. Ez nem határozatlan alak, ez mindig. A kérdés csak az, hogy vagy. 6

27 Ha az = helyhez közelítünk jobbról, azaz -nál nagyobb értékeket helyettesítünk a törtbe, akkor a kapott tört értéke negatív, egyre kisebb szám, azaz ( ) Ha az = helyhez közelítünk balról, azaz -nál kisebb értékeket helyettesítünk a törtbe, akkor a kapott tört értéke pozitív, egyre nagyobb szám, azaz ( ) A = ben mind a számláló mind a nevező nulla ( ) 9 ( ) Azaz itt véges határértéke van függvénynek. Továbbá a zérushelyek, ahol az -tengelyt elmetszi a görbe: -, 0, 4 7

28 Állapítsuk meg a kritikus helyeken a határértékét a következő függvényeknek: 4 f()=((^-)*(+))/((+)^*(+4)*(+)) Megoldás: 8

29 y 5 8 Megoldás: 9

30 Összetett függvények ábrázolás a határértékek alapján y y e y y y y e helyen balról a határértéke: Az 0 y 0 y y. Tekintve, hogy ln y y ln y, y Ezt később mutatjuk meg. Jobbról közelítve a 0-hoz nincs értelmezve a függvény, hiszen <- vagy >0 y ln y e e z z z y 0

31 e 0 y e e 0 0 y 5