Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)

Átírás

1 Megoldások 1. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f (x) = sin (x π ) + 1 b) f (x) = 3 cos (x) c) f (x) = ctg ( 1 x) 1 a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = sin x h (x) = sin (x π ) alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén (+ π ) - vel (ábrán: kék) f (x) = sin (x π ) + 1 h (x) eltolása az y tengely mentén (+1) gyel (ábrán: piros) 1

2 Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: (k Z) Értelmezési tartomány: D f : x R Értékkészlet: R f : y [0; ] Periodicitás: Periódus: p = π Zérushely: x = 0 + k π Monotonitás: Szigorúan monoton csökkenő: x [ π + k π; 0 + k π] Szigorúan monoton növekvő: x [0 + k π; π + k π] Szélsőérték: Maximum: Helye: x = π + k π Értéke: y = Minimum: Helye: x = 0 + k π Értéke: y = 0 Korlátosság: Pontos alsó korlát: k = 0 Pontos felső korlát: K = Korlátos függvény. Paritás: Páros

3 b) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = cos x h (x) = cos (x) alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) y tengelyre merőleges 1 szeres zsugorítása (ábrán: kék) f (x) = 3 cos (x) h (x) x tengelyre merőleges 3 szoros nyújtása (ábrán: piros) 3

4 Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: (k Z) Értelmezési tartomány: D f : x R Értékkészlet: R f : y [ 3; 3] Periodicitás: Periódus: p = π Zérushely: x = π 4 + k π Monotonitás: Szigorúan monoton csökkenő: x [ π + k π; π + k π] Szigorúan monoton növekvő: x [ π + k π; 0 + k π] Szélsőérték: Maximum: Helye: x = 0 + k π Értéke: y = 3 Minimum: Helye: x = π + k π Értéke: y = 3 Korlátosság: Pontos alsó korlát: k = 3 Pontos felső korlát: K = 3 Korlátos függvény. Paritás: Páros 4

5 c) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = ctg x h (x) = ctg ( 1 x) alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) y tengelyre merőleges szeres nyújtása (ábrán: kék) f (x) = ctg ( 1 x) 1 h (x) eltolása az y tengely mentén ( 1) - gyel (ábrán: piros) 5

6 Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: (k Z) Értelmezési tartomány: D f : x R \ {0 + k π} Értékkészlet: R f : y R Periodicitás: Periódus: p = π Zérushely: x = π + k π Monotonitás: Szigorúan monoton csökkenő: x ]0 + k π; π + k π[ Szélsőérték: Nincs szélsőértéke. Korlátosság: Nincs alsó és felső korlátja. Nem korlátos függvény. Paritás: Nem páros, nem páratlan. 6

7 . Ábrázold és jellemezd az f (x) = tg ( π x) függvényt! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = tg x h (x) = tg (x + π ) alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása x tengely mentén ( π ) - vel (ábrán: kék) f (x) = tg ( x + π ) h (x) tükrözése az y tengelyre (ábrán: piros) 7

8 Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: (k Z) Értelmezési tartomány: D f : x R \ {0 + k π} Értékkészlet: R f : y R Periodicitás: Periódus: p = π Zérushely: x = π + k π Monotonitás: Szigorúan monoton csökkenő: x ]0 + k π; π + k π[ Szélsőérték: Nincs szélsőértéke. Korlátosság: Nincs alsó és felső korlátja. Nem korlátos függvény. Paritás: Páratlan. 8

9 3. Ábrázold a következő trigonometrikus függvényeket! a) f (x) = cos ( 1 3 x) b) f (x) = 1 tg x c) f (x) = 1 ctg (x π ) a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = cos x h (x) = cos ( 1 3 x) alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) y tengelyre merőleges 3 szoros nyújtása (ábrán: kék) k (x) = cos ( 1 3 x) h (x) tükrözése az x tengelyre (ábrán: zöld) f (x) = cos ( 1 x) + k (x) eltolása az y tengely mentén (+) vel (ábrán: piros) 3 9

10 b) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = tg x h (x) = tg x f (x) = tg (x) + 1 alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) tükrözése az x tengelyre (ábrán: kék) h (x) eltolása az y tengely mentén (+1) gyel (ábrán: piros) 10

11 c) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = ctg x h (x) = ctg (x π ) alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén (+ π ) - vel (ábrán: kék) f (x) = 1 ctg (x π ) h (x) x tengelyre merőleges 1 szeres zsugorítása (ábrán: piros) 11

12 4. Ábrázold a következő trigonometrikus függvényeket! a) f (x) = sin ( π x) 4 b) f (x) = sin x c) f (x) = tg ( x ) a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = sin x h (x) = sin (x + π 4 ) alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén ( π ) - gyel (ábrán: kék) 4 k (x) = sin ( x + π 4 ) h (x) tükrözése az y tengelyre (ábrán: zöld) f (x) = sin ( x + π ) k (x) x tengelyre merőleges szeres nyújtása (ábrán: piros) 4 1

13 b) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = sin x h (x) = sin (x) f (x) = sin (x) alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) y tengelyre merőleges 1 szeres zsugorítása (ábrán: kék) h (x) x tengely alatti részének tükrözése a tengelyre (ábrán: piros) 13

14 c) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = tg x alapfüggvény (ábrán: fekete) f (x) = tg ( x ) g (x) x tengely pozitív részének tükrözése az y tengelyre (ábrán: piros) 14

15 5. Ábrázold a következő trigonometrikus függvényeket! a) f (x) = cos x sgn (sin x) b) f (x) = tg x sgn (ctg x) c) f (x) = [x] sin (π x) d) f (x) = sin x sin x e) f (x) = cos x + cos x a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = sgn (sin x) f (x) = cos x sgn (sin x) (ábrán: fekete) (ábrán: piros) 15

16 b) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = sgn (ctg x) f (x) = tg x sgn (ctg x) (ábrán: fekete) (ábrán: piros) c) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = sin (π x) f (x) = [x] sin (π x) (ábrán: fekete) (ábrán: piros) 16

17 d) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = sin x h (x) = sin x f (x) = sin x sin x (ábrán: fekete) (ábrán: kék) (ábrán: piros) e) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = cos x h (x) = cos x f (x) = cos x + cos x (ábrán: fekete) (ábrán: kék) (ábrán: piros) 17

18 6. Határozd meg a következő függvények f ( π ) helyettesítési értékét! a) f (x) = sin (x + π 4 ) b) f(x) = cos(3x π) c) f (x) = ctg (x π 5 ) A helyettesítési érték megmutatja, hogy az adott függvény x = π höz milyen y értéket rendel. Ezt úgy kaphatjuk meg, hogy a hozzárendelési szabályt egyenlővé tesszük y nal és az x helyére való behelyettesítés után megoldjuk a kapott egyenletet. a) f (x) = sin (x + π 4 ) y = sin ( π + π 4 ) = sin ( π 4 ) = b) f (x) = cos(3x π) y = cos (3 ( π ) π) = cos ( 5π ) = 0 c) f (x) = ctg (x π ) y = ctg ( π π 7π ) = ctg ( ) 0, Határozd meg, hogy a következő függvények hol veszik fel a értéket! a) f(x) = 5 + sin x b) f (x) = cos (x) + 1 c) g (x) = tg (x + π 4 ) Ebben az esetben azt keressük, hogy az adott függvények milyen x értékek esetén veszik fel az y = értéket. Ezt úgy kaphatjuk meg, hogy a hozzárendelési szabályt egyenlővé tesszük y nal és az y helyére való behelyettesítés után megoldjuk a kapott egyenletet. a) f (x) = 5 + sin x = 5 + sin x Nincs megoldás. b) f (x) = cos (x) + 1 = cos(x) + 1 x = π + k π c) g (x) = tg (x + π 4 ) = tg (x + π 4 ) x 1 = 0 + k π (k Z) 18

19 8. Döntsd el ábrázolás nélkül, hogy illeszkedik e a P ( π; 4) pont a következő függvények grafikonjára! a) f(x) = cos(x) + 3 b) g (x) = tg (x π) Azt, hogy egy adott pont illeszkedik e a függvény grafikonjára úgy vizsgálhatjuk meg, hogy a hozzárendelési szabályt egyenlővé tesszük y nal, majd a pont koordinátáit behelyettesítjük a kapott egyenletbe. Abban az esetben, ha azonosságot kapunk, akkor a pont illeszkedik a függvény grafikonjára, ha pedig ellentmondást, akkor a pont nincs rajta a függvény képén. a) f (x) = cos(x) = cos( ( π)) = 4 Illeszkedik. b) g (x) = tg (x π) 4 = tg ( π π) 4 0 Nincs rajta. 9. Határozd meg a P (x; 0) és Q (π; y) pontok koordinátáit úgy, hogy illeszkedjenek a következő függvényekre! a) f (x) = sin (x 3π ) b) g (x) = ctg ( x 4 ) 1 A keresett koordinátát úgy kaphatjuk meg, hogy a hozzárendelési szabályt egyenlővé tesszük y nal, majd a pontok megfelelő koordinátáit behelyettesítjük az egyenletbe, s megoldjuk az így kapott egyenletet. a) f (x) = sin (x 3π ) 0 = sin (x 3π ) x = 3π + k π (k Z) y = sin (π 3π ) y = 1 b) g (x) = ctg ( x ) 1 0 = ctg 4 (x ) 1 x = π + k 4π (k Z) 4 y = ctg ( π 4 ) 1 y = 0 19

20 10. Határozd meg ábrázolás nélkül a következő függvények zérushelyeit! a) f (x) = cos 7x b) g (x) = tg x A zérushelyet úgy számíthatjuk ki, hogy a hozzárendelési szabályt egyenlővé tesszük 0 val, majd megoldjuk a kapott egyenletet. a) f (x) = cos 7x cos 7x = 0 x = π 14 + k π 7 (k Z) b) f (x) = tg x tg x = 0 x 63,43 + k 180 (k Z) 11. Írd fel annak a g (x) függvénynek a hozzárendelési szabályát, amelyet úgy kapunk, hogy az adott f (x) függvényt eltoljuk az adott v vektorral! a) f (x) = sin x és v (π; 6) b) f (x) = ctg x és v ( π 11 ; 8) A megoldáshoz a függvénytranszformációkat megfelelően kell jelölnünk. a) f (x) = sin x és v (π; 6) Az f függvényt el kell tolni x tengely mentén π vel és y tengely mentén 6 tal. Ezek alapján a keresett függvény hozzárendelési szabálya: g (x) = sin(x π) + 6. b) f (x) = ctg x és v ( π 11 ; 8) Az f függvényt el kell tolni x tengely mentén π gyel és y tengely mentén 8 cal. 11 Ezek alapján a keresett függvény hozzárendelési szabálya: g (x) = ctg (x + π 11 ) 8. 0