Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda

Átírás

1 Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 1 mintapélda Frissítve: 01. novermber 19. :07:41 1. Azonosságok 1.1. Azonosság. A sin és cos szögfüggvények derékszög háromszögben vett, majd kiterjesztett deníciója és a Pithagorasz-tétel miatt teljesül a következ : sin ϕ + cos ϕ = 1 1) 1.. Következmény. 1.. Következmény. sin ϕ = 1 cos ϕ ) cos ϕ = 1 sin ϕ ) 1.4. Azonosság. Mivel tgϕ = sinϕ cosϕ és ctgϕ = cosϕ sinϕ, ezért ctgϕ = 1 tgϕ 4) 1.5. Azonosság. Fentiek miatt igaz a következ is: tgϕ = 1 ctgϕ 5) 1.6. Megjegyzés. Mivel számológép segítségével a tangens értékét könnyebb meghatározni, ezért ha lehetséges, a 4)-es és 5)-ös azonosságok közül válasszuk a 4)-est.. Példák.1. Példa. Oldjuk meg a következ egyenletet a valós számok halmazán! 7sinx = cos x + 4 Felhasználva a )-as azonosságot, a következ t kapjuk: 7sinx = 1 sin x) + 4 7sinx = sin x + 4 1

2 Legyen most y = sinx. Ekkor: 7y = y + 4 y 7y 4 = 0 Oldjuk meg ezt az egyenletet a másodfokú egyenlet megoldóképlete felhasználásával: y 1, = 7 ± ) = 7 ± 81 = 7 ± y 1 = 4 és y = 1 Térjünk vissza az általunk bevezetett y = sinx jelöléshez. y 1 = 4 sinx = 4 Ebben az esetben nincs megoldás, hiszen a sinx értékkészlete a [ 1; 1] intervallum. y = 1 sinx = 1 x 1 = π 6 + k π x = 7π 6 + k π.. Példa. Oldjuk meg a következ egyenletet a valós számok halmazán! tgx + ctgx = Felhasználva a 4)-es azonosságot, a következ t kapjuk: tgx + 1 tgx = Tegyük fel, hogy tgx 0. Mindkét oldalt beszorozva tgx-szel: tg x + 1 = tgx

3 Legyen most y = tgx. Ekkor: y + 1 = y y y + 1 = 0 Oldjuk meg ezt az egyenletet a másodfokú egyenlet megoldóképlete felhasználásával: y 1, = ± = ± 5 y 1 = + 5 y = 5, 618 0, 8 Térjünk vissza az általunk bevezetett y = tgx jelöléshez. y 1, 618 tgx, 618 x 1 69, 09 + k 180 y 0, 8 tgx 0, 8 x 0, 91 + k 180 A feladat megoldása során tettünk egy tgx 0 kikötést. Meg kell vizsgálnunk, hogy ezzel vesztettünk-e megoldást. Nyilvánvalóan nem, hiszen ahol a tangens függvény a 0-t veszi fel értékként, ott a kotangens függvény nem értelmezett, így az eredeti egyenlet sem értelmezett ezeken a helyeken. Megjegyzés. Ezek a helyek: tgx = 0 x = 0 + k π x 1 69, 09 + k 180 x 0, 91 + k 180

4 .1. Példa. Oldjuk meg a következ egyenletet a valós számok halmazán! 4 cos x = 1 cos x = 1 4 cosx = ± 1 x 1 = + π + k π x = π + k π x = + π + k π x 4 = π + k π.. Példa. Oldjuk meg a következ egyenletet a valós számok halmazán! sin 5x π ) = 4 5x π = π k π 5x = 0 + k π x = k π 5 5x π 4 = 5π 4 + k π 5x = 6π 4 + k π 5x = π + k π x = π 10 + k π 5 x 1 = k π 5 x = π 10 + k π 5 4

5 .. Példa. Oldjuk meg a következ egyenletet a valós számok halmazán! cosx 1 + cosx = 0 Kikötés: 1 + cosx 0 cosx 1 x π + k π x π + kπ cosx = 0 x 1, = ± π + k π A kikötés miatt nincs megoldás..4. Példa. Oldjuk meg a következ egyenletet a valós számok halmazán! cos x sin x = 1 1 sin x sin x = 1 1 sin x = 1 sin x = 1 1 sin x = 1 sin x = 1 sin x = 1 4 sinx = ± 1 5

6 Mindkét esetben sinx = 1 és sinx = 1 ) két megoldáshalmaz van: sinx = 1 x 1 = π 6 + k π x = 5π 6 + k π sinx = 1 x = π 6 + k π x 4 = 5π 6 + k π.5. Példa. Oldjuk meg a következ egyenletet a valós számok halmazán! sinx 1 cosx = 1 + cosx Kikötés: 1 cosx 0 cosx 1 x k π sinx = 1 + cosx)1 cosx) sinx = 1 cos x sinx = 1 1 sin x) sinx = sin x sinx = sin x 0 = sin x sinx 0 = sinx sinx 1) Egy szorzat 0, ha valamelyik szorzótényez je 0. sinx = 0 x = k π sinx 1 = 0 sinx = 1 x = π + k π 6

7 A kikötés miatt az x = k π megoldások közül nem mindegyik jó, csak a páratlan együtthatójúak. x 1 = π + k π x = π + k π 7

8 4.1. Példa. Oldjuk meg a következ egyenletet a valós számok halmazán! tg 7x π ) = tg x + 5π ) 7x π = x + 5π + kπ 4x = π + kπ x = π + kπ Példa. Oldjuk meg a következ egyenletet a valós számok halmazán! tg x 4tgx + = 0 y 4y + = 0 y 1, = 4 ± 16 1 = 4 ± y 1 = tgx 1 = x 1 = 71, 57 + kπ y = 1 tgx = 1 x = 45 + kπ x 1 = 71, 57 + kπ x = 45 + kπ 8

9 4.. Példa. Oldjuk meg a következ egyenletet a valós számok halmazán! y 1, = ± ctgx tgx = 1 tgx tgx = 1 y y = 1 y = y 0 = y + y 1 = ± 4 = ± y 1 = + tgx 1 = + x 1 = 15 + kπ y = tgx = x = 75 + kπ Kikötés. tgx 0, és ez nem is teljesül. x 1 = 15 + kπ x = 75 + kπ 9

10 4.4. Példa. Oldjuk meg a következ egyenletet a valós számok halmazán! tg x + ctg x = 4 tg x + 1 tg x = 4 y = tg x y + 1 y = 4 y + 1 = 4y y 4y + 1 = 0 y 1, = 4 ± 16 1 = 4 ± 6 6 y 1 = 1 tg x = 1 tgx 1 = 1 x 1 = 45 + kπ y = 1 tgx = 1 x = 45 + kπ tg x = 1 tgx = 1 = x = 0 + kπ tgx 4 = 1 = x 4 = 0 + kπ Kikötés. tgx 0, de az nem is teljesül. x 1 = 45 + kπ x = 45 + kπ x = 0 + kπ x 4 = 0 + kπ 10

11 4.5. Példa. Oldjuk meg a következ egyenletet a valós számok halmazán! tg x 5 = 1 cosx sin x cos x 5 = 1 cosx sin x cosx 5cosx = 1 sin x 5cos x = cosx 1 cos x 5cos x = cosx cosx 1, = 1 ± cos x = cosx 0 = 6cos x + cosx 1 = 1 ± 5 1 cosx 1 = 4 1 = 1 cosx = 6 1 = 1 x 1 ±70, 5 + k 60 x = ±10 + k 60 11

12 Házi feladat 01. november a) cos x + π ) = 1 Megoldás. cos x + π ) = 1 x + π = k π x = π + k π x 1 = π 4 + k π cos x + π ) = 1 x + π = π + k π x = π + k π x = π 4 + k π x 1 = π 4 + k π x = π 4 + k π 1

13 787. b) 4sin x π ) = sin x π sin x π ) ) = 4 = x π = π + k π x = π + k π x 1 = π + k π sin x π ) = x π = π + k π x = π + k π x = π 9 + k π x 1 = π + k π x = π 9 + k π 1

14 817. a) tgx + ctgx = tgx + 1 tgx = y = tgx y + 1 y = y + 1 = y y y + 1 = 0 y 1, = ± 5 y 1 = + 5, 618 y = 5 0, 8 tgx 1, 618 tgx 0, 8 x 1 69, 09 + kπ x 0, 91 + kπ Kikötés. Adott megoldásoknál mind a tangens, mind a kotangens függvény értelmezett, így a megoldások helyesek. 14

15 817. b) tgx ctgx = tgx 1 tgx = y = tgx y 1 y = y 1 = y y y 1 = 0 y 1, = ± 8 = ± = 1 ± y 1 = 1 +, 414 y = 1 0, 414 tgx 1, 414 tgx 0, 414 x 1 67, 5 + kπ x, 5 + kπ Kikötés. Adott megoldásoknál mind a tangens, mind a kotangens függvény értelmezett, így a megoldások helyesek. 15