462 Trigonometrikus egyenetek II. rész

Átírás

1 Tigonometikus egyenetek II ész - cosx N cosx Alakítsuk át az egyenletet a következô alakúa: + + N p O O Ebbôl kapjuk, hogy cos x $ p- Ennek az egyenletnek akko és csak akko van valós megoldása, ha 0 # $ p - #, azaz ha # p # 7 p # - vagy # p esetén megoldása van az egyenletnek p esetén 5 megoldása van az egyenletnek - < p <, de p Y, akko megoldása van az egyenletnek Az egyenletet a következô alakúa hozhatjuk: _ cos x- i_ cos x+ i p$ _ cos x-sin xi, azaz _ cos x- i_ cos x+ - pi 0, ebbôl következik, hogy a) cos x- 0; b) cos x+ - p 0 Az a)-ból x 5 $ ; x gyökök esnek bele a [0; $ ] intevallumba Tehát az eedeti egyenletnek bámely valós p-e legalább két megoldása van A b)-bôl következik, hogy - # p # esetben van valós megoldása a b) egyenletnek, hiszen a b) N p egyenletet átalakíthatjuk a következô alakúa: sin x + O Ajánlatos felajzolni az f x + N _ i O gafikonját a [0; $ ] intevallumon, hogy a megfelelô következtetéseket könnyen levonhassuk $ 8 eset: a esetén: - + m$ $ # x # + m$ $ a megoldás a) eset: a $ - és a Y esetén x $ a megoldás 5 $ b) eset: a # - esetén x $ a megoldás Emeljük négyzete az egyenletet, majd endezzük nulláa és alakítsuk szozattá Azt kapjuk, hogy: _ a-i_ - cos xi 0 eset: a esetén akko teljesül az egyenlet, ha + cos x$ 0, ezt alakítsuk át a következô alaka úgy, hogy elosztjuk az egyenlôtlenséget -vel, majd alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételt apjuk, hogy + N $ 0 O Ezt az egyenlôtlenséget megoldva kapjuk az eedeti egyenlet egy megoldását eset: Ha a - Y 0, akko - cos x 0, ebbôl tg x, x + l$, de teljesülnie kell, hogy a$ + cos x$ 0 és a$ cos x+ $ 0, ezek l $ k-nél akko állnak fenn, ha a $ - Ha l $ k+, akko az egyenlôtlenségek akko állnak fenn, ha a # eset: p ; eset: p - esetén van megoldása az egyenlôtlenségnek Vizsgáljuk meg elôszö az egyenlôtlenség bal oldalát! p$ + p $ + p$ p$ Alkalmazzuk az összeg két tagjáa a számtani és métani közép közötti egyenlôtlenséget! Ebbôl p $ + kapjuk, hogy p$ + $ 8 Ez pontosan akko áll fenn, ha p$ p$

2 Tigonometikus egyenlôtlenségek II ész p$ Nézzük most az egyenlôtlenség jobb oldalát! Ez cos x-e másodfokú kifejezés Hatáozzuk meg, hogy ez miko veszi fel a maximumát! Azt kapjuk, hogy cos x -nél lesz 5 maximális a kifejezés Mégpedig a maximum étéke 8 Tehát az egyenlôtlenség csak akko teljesülhet, ha benne egyenlôség áll fenn Ekko viszont és p$ Ebbôl azt 5 0 kaphatjuk, hogy p Tigonometikus egyenlôtlenségek II ész 50 a) - $ < x< $ Használjuk fel cos x képletét, majd a sin x-et alakítsuk át sin x + cos x segítségével A cos x-e kapott másodfokú egyenlôtlenséget oldjuk meg! b) x $ ; $ < x< $ Használjuk fel cos x 5 $ $ képletét, majd a cos x-et alakítsuk át sin x + cos x segítségével A -e kapott másodfokú egyenlôtlenséget oldjuk meg! 5 a) - $ < x< 0+ k$ $ ; 0 $ < x< $ Használjuk fel cos x képletét, majd a sin x-et alakítsuk át sin x + cos x segítségével A cos x-e kapott másodfokú egyenlôtlenséget oldjuk meg! b) - < x< Végezzük el a cosx - és a -cos x helyettesítést! Ekko kapunk cos x-e egy másodfokú egyenlôtlenséget, amelyet oldjunk meg! c) # x# Használjuk fel 5 $ cos x képletét, majd a sin x-et alakítsuk át sin x + cos x segítségével Rendezzük nulláa a kapott egyenlôtlenséget, majd alakítsuk szozattá! 5 Hozzuk közös nevezôe a bal oldalon levô két tötet! Majd a számlálóban kapott negyedik hatványok összegét alakítsuk át a sin x + cos x azonosság négyzete emelésével kapott azonosság segítségével A számlálóban alkalmazzuk visszafelé a képletét Ezt pedig alakítsuk át a sin x - cos x azonosság segítségével A nevezôben szintén alkalmazzuk 8$ `+ cos xj visszafelé képletét! apjuk, hogy E tötet csökkentjük, illetve nem növeljük, ha 8-at íunk a számláló helyett és a nevezô helyett pedig -et 5 - < x< Vegyük figyelembe, hogy cos x `j + `cos xj Ezt viszont má könnyen szozattá alakíthatjuk, ha figyelembe vesszük, hogy a + b _ a+ bi`a - a$ b+ b j Ezután használjuk fel a sin x + cos x azonosságot és alkalmazzuk képletét visszafelé! Majd használjuk fel, hogy cosx -, ezután endezzük nulláa az egyenlôtlenséget és azt kapjuk, hogy cosx > 0

3 Tigonometikus egyenlôtlenségek II ész 5 Hasonlóan jájunk el, mint az elôzô feladatban Azt kapjuk, hogy elég igazolni a következô egyenlôtlenséget: # - $ # n n 55 $ sinx$ cosx$ cosx$ $ cos ` $ xj #, sinx$ cosx$ $ cos ` $ xj # n - n - Folytassuk! (Ha pecízek vagyunk, akko teljes indukcióval) apjuk a végén, hogy sin n n n + $ ` $ xj$ cos ` $ xj #, azaz sin ` $ xj # 5 Alkalmazzuk a $ cosa$ cosb cos _ a+ bi+ cos _ a-bi azonosságot! Majd alkalmazzuk a cos a + a cos azonosságot és még egysze az elôzô azonosságot! Azt kaphatjuk, hogy a feladatbeli egyenlôtlenség ekvivalens a következô egyenlôtlenséggel: 0 # sin b # 57 a) < x< + k$ Osszuk el az egyenlôtlenséget -vel, majd alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételt és kapjuk, hogy + N < O $ $ 9 $ $ b) < x< Hasonlóan jájunk el, mint az elôzô feladatban $ 5 $ $ c) < x< Rendezzük nulláa az egyenlôtlenséget, majd osszuk el -vel Ezután hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô két feladatot 5 $ cos d) - < x< Alkalmazzuk a sin a - a azonosságot, majd vegyük figyelembe, hogy - cos x+ N sinx O Azután osszuk el az egyenletet -vel! Ezután hasonlóan folytatható, mint az elôzô háom feladat folytatása 5 $ 58 a) $ < x< $ Az egyenlôtlenségbôl következik, hogy > cos x Miét? Rendezzük nulláa a kapott egyenlôtlenséget, majd osszuk el -vel! Alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételt és kapjuk, hogy - N > 0 O $ b) - $ < x< $ A feladat egyenlôtlenségébôl következik, hogy < cos x Miét? Ezután hasonlóan folytathatjuk, mint az elôzô feladat megoldását 59 - < x< 0 A feladat egyenlôtlensége ekvivalens a következôvel: - < + cos x< Osszuk el ezt az egyenlôtlenséget -vel, majd alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételt és kapjuk, hogy: - < + N < O 5 $ 0 a) < x< Az egyenlôtlenség bal oldalának számlálóját és nevezôjét egyaánt osszuk el -vel, majd alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételeket és kap-

4 Tigonometikus egyenlôtlenségek II ész 5 N cos x - O juk, hogy: > N, azaz ctg x - N > O b) 0 # x# A feladat cos x - O - cos x egyenlôtlenségével ekvivalens a következô: - # # Ezután hasonlóan jájunk + cos x el, mint az elôzô feladat megoldásában apjuk, hogy - # tg x - N # O $ 7 $ 7 $ a) $ < x< $ ; + l$ $ < x< + l$ $ Alkalmazzuk cosx képletét, majd alakítsuk szozattá a jobb oldalt! Ezután endezzük nulláa az egyenlôtlenséget, majd alakítsuk szozattá az egyenlôtlenséget! apjuk, hogy _ + cos xib- $ _ cos x-sin xil > 0 b) x + _ $ k+ i $ $ Osszuk el az egyenlôtlenséget -vel, majd alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételt! apjuk, hogy x N (*) $ sin + # - O Mutassuk meg, hogy a (*) egyenlôtlenségben csak az egyenlôség esete állhat fenn, mégpedig pontosan akko, ha N + - O és $ - $ # x# $ Ha négyzete emeljük az egyenlôtlenséget és felhasználjuk sinx képletét visszafelé, kapjuk endezés után, hogy sin x+ $ cos x sin x+ $ cos x Ez azonosság, de nem minden valós x-e teljesül, hanem csak azoka, amelyeke fennáll, hogy (*) + $ cos x$ 0 és (**) + cosx+ $ sinx$ 0 A (*) egyenlôtlenséget osszuk el -vel, majd alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételt és kapjuk, hogy + N $ $ 0 O Ennek megoldása - $ # x# $ A(**) egyenlôtlenséget osszuk el -vel, majd alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételt és kapjuk, hogy: N + sin x + $ - O Ez pedig minden x valós száma fennáll $ tg x < x< Használjuk fel, hogy sinx (ha x Y ), + tg x majd szoozzunk be a nevezôvel és kapjuk a következô egyenlôtlenséget: tg x- $ tg x+ + $ tg x - $ 0 Alakítsuk szozattá ezt az egyenlôtlenséget! tg x-tg x-`tg x- tg xj+ + _ $ tg x -i $ 0 Folytassuk! $ 7 $ - $ < x< $ ; + l$ $ < x< + l$ $ ; 5 $ 7 $ + m$ $ < x< + m$ $ Rendezzük nulláa az egyenlôtlenséget, majd alkal-

5 Tigonometikus egyenlôtlenségek II ész mazzuk cosx képletét és kapjuk, hogy $ + $ -$ - < 0 Alakítsuk N N szozattá ezen egyenlôtlenséget! apjuk, hogy $ - $ + < 0 O O, ebbôl N N N O O - $ + $ + < 0 O O O cosx- cosx $ sinx$ cosx- $ sinx$ cosx 5 $ sinx$ sinx sinx$ sinx+ sinx-sinx < Miét? Mutassuk meg, hogy egyenlôség valóban nem állhat fenn x+ y x- y megoldás vázlata: egyen z cos, ekko z $ - $ z $ cos + x- y N x- y N $ z - $ cos + $ -cos $ 0 O O megoldás vázlata: Az a, b, és c vektook közös kezdôpontúak legyenek egyen x az a és a b vektook hajlásszöge és y pedig a b és a c vektook hajlásszöge, míg x + y vagy $ -_ x+ yi a c és az a vektook hajlásszöge Ekko a + b + c 0, azaz a + b + c + $ a $ b $ cos x+ $ b $ c $ cos y+ $ c $ a $ cos _ x+ yi $ 0, és legyen a c és b 7 Alkalmazzuk képletét x-e és y-a is, majd emeljünk ki a két megfelelô tagból $ sin y-t, kapjuk, hogy 8$ $ sin y$ _ cos x$ cos y-$ sin yi - # 0 cos _ x-yi- cos _ x+ yi Ebbôl 8$ $ sin y$ cos _ x+ yi - # 0, 0 # - 8$ $ cos _ x+ yi Tovább folytatva: 0 # sin _ x- yi+ cos _ x- yi+ $ cos _ x+ yi- $ cos _ x+ yi$ cos _ x-yi, 0 # ` $ cos _ x+ yi-cos _ x- yij + sin _ x-yi 8 Használjuk fel a megfelelô összegzési tételt a bal oldalon, végezzük el itt a négyzete emelést és végezzük el a szozást a jobb oldalon! issé endezzük át a kapott egyenlôtlenséget a következô alakúa: cos $ x$ cos $ y- $ $ sin y$ cos x$ cos y+ sin x$ sin y# # - $ _ $ cos y+ cos x$ sin yi Ebbôl: cos _ x+ yi # - $ sin _ x+ yi, - sin _ x+ yi # - $ sin _ x+ yi, # sin _ x+ yi- $ sin _ x+ yi +, # `sin _ x+ yi -j Ez miét teljesül minden valós x, y száma? 9 sinx $ $ cos x, sinx $ $ cos x- Felhasználva az elôzô azonosságokat, kapjuk, hogy: + $ sinx+ $ sinx $ `+ $ cos x+ $ cos xj cos x $ c_ + i + _ + cos xi+ $ cos xm > 0, met > 0, ha 0 < x <, míg a második tényezô tagjai nemnegatívak (és egyszee mindháom tag nem lehet nulla) Fejé ipót ( ) híes magya matematikus igazolta, hogy bámely pozitív egész n-e teljesül, hogy + $ sinx+ $ sinx+ + $ sin nx> 0, ha 0 < x < fennáll n $

6 Tigonometikus egyenlôtlenségek II ész Indiekt módon tegyük fel, hogy cos x+ $ cosx+ $ cosx< Ebbôl cos x+ $ cosx+ _ $ cosx+ i < -, cos x+ $ cosx+ $ cos x< -, N N $ $ cos x+ cosx+ + cos x< - O, $ $ cosx+ + cos x< - O Ez nem teljesülhet, met a záójeles kifejezés nemnegatív, míg cos x $ - Tehát nem igaz a feltevésünk, ezét az eedeti egyenlôtlenség teljesül 7 Alkalmazzuk a számtani és métani közép közötti egyenlôtlenséget a bal oldali összeg két pozitív tagjáa! 7 Alkalmazzuk a számtani és métani közép közötti egyenlôtlenséget a bal oldali összeg két pozitív tagjáa! Majd használjuk fel, hogy + cos x $ + N O Miét? Másészt használjuk fel a következô becslést: sin x + N $ - O -cos 7 Megmutatjuk, hogy (*) x -sin x + $ és (**) $ sin y+ cos y (*) mindkét bal oldali tagja pozitív, ezét alkalmazhatjuk a számtani és a métani közép közötti egyenlôtlenséget Majd használjuk fel, hogy sin x + cos x (**)-nál osszuk el az egyenlôtlenséget -vel, majd alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételt és kapjuk, hogy $ sin y + N O, ez pedig teljesül S mivel átalakításaink megfodíthatóak, ezét (**) is teljesül (*)-ból és (**)-ból következik a feladat egyenlôtlenségének fennállása x x 7 x az egyenlôtlenség megoldása Használjuk fel, hogy cos x cos - sin, kapjuk, hogy ` x - $ x+ j $ log `cos _ $ xi + j $ Ebbôl kaphatjuk, hogy -` x - $ x+ j $ log`cos _ $ xi + j $ Ha x # vagy x $, akko az elôbbi egyenlôtlenség bal oldala negatív vagy nulla Ezt az elsô tényezô vizsgálatából nyehetjük, hiszen a második tényezô mindig nemnegatív Tehát < x < -nak kell lennie, de x kivételével -`x - $ x+ j <, míg x -nél a másodfokú kifejezés étéke Másészt gondoljuk meg, hogy $ log`cos _ $ xi + j > 0 fennáll, ha < x < Ezt az étéket a lehetséges intevallumban gondoljuk meg, hogy pontosan x -nél veszi fel Tehát az eedeti egyenlôtlenség akko és csak akko áll fenn, ha x és itt egyenlôség lép fel az egyenlôtlenségben 75 x az egyenlôtlenség megoldása log `+ $ cos x- cosx+ $ cos _ $ xij log `+ $ cos _ $ xij $ log

7 8 Tigonometikus egyenlôtlenségek II ész 5 5 N Másészt mutassuk meg, hogy x-x - # - Ebbôl - x-x - $ O, így 5 N - x-x - $ log `+ $ cos x- cosx+ $ cos _ $ x $ $ O ij, tehát 5 N x-x - $ log `+ $ cos x- cosx+ $ cos _ $ x # - O ij Vegyük figyelembe az eedeti egyenlôtlenséget és azt kapjuk, hogy 5 N x-x - $ log `+ $ cos x- cosx+ $ cos _ $ x - O ij Gondoljuk meg, hogy ez az N egyenlôség akko és csak akko állhat fenn, ha x - 0 O, azaz ha x 7 x ; # x#, ahol k tetszôleges negatív egész szám; - + l$ # x# - + l$, ahol l tetszôleges nempozitív egész szám eset: Ha x, akko könnyen kimutathatjuk, hogy ez megoldás eset: Ha x Y, akko fenn kell állniuk a következô egyenlôtlenségeknek: a) - $ x > 0, ebbôl > x; b) 8$ cos x - Y 0, ebbôl x Y! + n$ $ és x! $ Y + n$ $ ; c) Y 0, ebbôl x Y n$ ; d) Y!, ebbôl összefoglalás után x Y + n$ N tg x cos x e) log ` + j $ O ` + tg x j$ cos x < 0 Az e)-bôl kapjuk, hogy > Ezt pedig 8$ cos x - O 8$ cos x - + tg x alakítsuk a következô alakúa: $ Rendezzük nulláa, hozzunk közös nevezôe - $ tg x $ tg x+ tg x - $ tg x + tg x - és kapjuk, hogy $ 0, $ 0 - $ tg x - $ tg x e) eset: Ha $ tg x + tg x -$ 0 és - $ tg x> 0 Itt az elsô egyenlôtlenségôl mutassuk ki, hogy pontosan akko teljesül, ha tg x $ Míg a második egyenlôtlenség pontosan akko teljesül, ha tg x # A két egyenlôtlenségnek egyszee kell fennállnia: # tg x # Ebbôl következik, hogy # tg x #, ennek a megoldása # x#, de itt figyelembe kell venni, hogy x <, ezét k tetszôleges negatív egész szám lehet - # tg x #-, ennek a megoldása - + l$ # x# - + l$, itt l-nek tetszôleges nempozitív egész számnak kell lennie, x < miatt

8 Tigonometikus egyenlôtlenségek II ész 9 eset: Ha $ tg x + tg x - # 0 és - $ tg < 0 Ekko az elsôbôl az következik, hogy (*) - # tg x # és (**) # tg x vagy - $ tg x (*) és (**) közös észe az ües halmaz, tehát ebben az esetben nem kapunk megoldást 77 f max 5; f min -5 Osszuk el f(x) kifejezését 5-tel, majd alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételt! + $ 78 f max, ezt akko veszi fel a függvény, amiko x ; 8 - f min, ezt akko veszi fel a függvény, amiko x- + l$ Vegyük figyelembe, hogy 8 cosx -, másészt f (x) kifejezését osszuk el -vel, majd alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételt! 7 cosx 79 f max ; fmin Vegyük figyelembe, hogy sin x -, majd hozzuk a következô alaka: f _ xi - $ $ cosx- $ sinx Ezután alkalmazzuk a megfelelô N 7 O O összegzési tételt! 80 Az egyenlô száú deékszögû háomszögeknél lesz maximális a keület N a+ b c$ sina+ c$ cosa c$ $ $ + $ cos x O O c $ $ + N O Folytassuk egy következtetéssel! 8 Akko a legkisebb a beít négyzet keülete, amiko a csúcsai a nagy négyzet oldalfelezô pontjain helyezkednek el egyen x a beít négyzet oldalhossza, ekko x$ cosa+ x$ sina, ebbôl x sina+ cosa Így k $ x $ sina+ cosa $ sina+ $ cosa $ N Folytassuk! sin a + O 8 a) f max, ezt akko veszi fel, ha x k$, f min, ezt akko veszi fel, amiko x Emeljük négyzete a + cos x azonosságot és fejezzük ki a kapott eedménybôl a negyedik hatványok összegét, majd alkalmazzuk a sinx képletét visszafelé b) f max, ezt akko veszi fel, ha x k$, f min, ezt akko veszi fel, ha x + l$ vagy x- + m$ Induljunk ki abból, hogy + cos x `j + `cos xj, ezt pedig alakítsuk szozattá figyelembevéve az a + b _ a+ bi`a - a$ b+ b j azonosságot Használjuk

9 70 Tigonometikus egyenlôtlenségek II ész fel, hogy sin x+ cos x, a negyedik hatványok összegével hasonlóan bánhatunk el, mint az elôzô feladatban apjuk, hogy f _ xi - $ sin x $ 8 f max, és ezt x + k $ -nél veszi fel f min és ezt x + l $ -nél veszi 8 fel + $ $ cos x N N f _ xi $ $ - $ - + $ $ cos x + $ cos x O + sinx O N N apjuk, hogy f _ xi # $ - O Másészt f _ xi $ $ - + _ - i O + O 8 8 f max, és ezt ott veszi fel, ahol x vagy 85 5 $ 5 x + l$, f min -, és ezt ott veszi fel, ahol x + m$ Használjuk fel, hogy -cos x és cosx cos x + N apjuk, hogy f _ xi - cosx- O 85 a R$ sinz és b $ R$ cosz, így t a$ b sin z, 8 tehát t max és ezt z 5 -nál éi el q p 8 a ; b cos{ sin{ Így a$ b p$ q t f sin{ Tehát tmin p$ q és ez akko következik be, ha { 5 87 a) f min, ezt akko veszi fel, ha x vagy $ x + l$ Hozzunk közös nevezôe, alkalmazzuk a sin x+ cos x azonosságot, majd alkalmazzuk visszafelé sinx képletét apjuk elôbbutóbb, hogy fx () b) g min 9, ezt akko veszi fel, ha x vagy x- + l$ gx () f 5 + cos x 88 f min 8 és ezt x -nél veszi fel Alkalmazzuk a számtani és métani közép közötti összefüggést az összeg két pozitív tagjáa! apjuk egy kis endezés után, hogy fx () $ 8 8 $ cos x $ 89 fmin, ezt akko veszi fel, ha x sin cos fx () x x cos x + $ cos x sinx