IV. Trigonometria. Szögek átváltása fokról radiánra és fordítva. Hegyesszögû trigonometriai alapfeladatok

Átírás

1 Tigonometia Szögek átváltása fokól adiána és fodítva 5 a) 80 ; 90 ; 0 ; 5 ;,5 b) 0 ; 50; 5 ; 0 ; 0 57 a) 00 ; 5 ; ; 70 ; 5 b) 80 57,9 ;,9 ; 9,79 ;,7 ;, 58 a),59 ; 0, ;, ; 8, ; 07, b) 85, ; 8,0 ; 9,50 ; 579,58 ;,97 $ 5 $ $ $ 59 a) ; ; ; ; b) $ ; ; ; ; $ $ $ 5 $ $ 59 $ 0 a) ; ; ; ; b) ; ;,;, $ a) 0,7; 0,795;,0;,8; 5,58 b) 0,7;,79;,55; 0,880; 0, ;,9 ; 0 ; 7,8 ; 5 ;,59 5 $ 0,5;,75; 0,9; 0,909; 5,0 5 $ 5 $ $ 7 $ $ 7 $ 7 $ a) ; ; ; ; b) ; ; ; ; Hegyesszögû tigonometiai alapfeladatok 5,5 cm a megadott szöggel szemközti befogó hossza 5, cm a megadott szög melletti befogó hossza 7,9 cm;,05 cm a befogók hossza 8 0 cm; 5, cm a befogók hossza 9,0 cm az átfogó hossza;,5 cm a keesett befogó hossza 70,8 m az átfogó hossza; 7, m a keesett befogó hossza 7 8,75 dm a másik befogó hossza 7,07 cm a másik befogó hossza 7,75 cm; 7,0 cm a háomszög ismeetlen oldalainak a hossza 7 8, dm; 5, dm a háomszög ismeetlen oldalainak a hossza 75 8,5 cm; 9, cm a háomszög ismeetlen oldalainak a hossza 7 8,79 m;, m a háomszög ismeetlen oldalainak a hossza 77 0 az adott befogóval szemközti szög 78 9,7 az adott befogóval szemközti szög 79 5, a keesett hegyesszög nagysága 80 0,7 az ismet befogóval szemközti szög 8 0 ; 0 a háomszög ismeetlen szögei 8 8, az ismeetlen oldallal szemközti szög, ha az ismeetlen oldal befogó Ha pedig átfogó, akko 90 az ismeetlen oldallal szemközti szög

2 8 Hegyesszögû tigonometiai alapfeladatok ; 0 a háomszög ismeetlen szögei 8,8 az adott befogóval szemközti szög 85 8, a lejáat hajlásszöge a vízszinteshez képest 8, az emelkedés szöge 87,9 m magasól ékezik a lejtô 88, m a lejtô hossza;,0 m a lejtô vízszintese esô meôleges vetülete 89, szöget zá be a fallal a léta 90 5 m magas a toony 9,5 m magasa visz a lejtô 9 7,0 m távol kezdôdjön a feljáó 9 a lépcsôso hajlásszöge a vízszinteshez képest, kissé pontosabban 5,9 9 0 %-os az emelkedô 95 50l szöggel hajlik az út a vízszinteshez képest 9 l szöget zá be a huzal a vízszintessel 97,0 cm a téglalap ismeetlen oldalának a hossza 98, cm, illetve 5, cm a téglalap oldalainak hossza 99 5 m magas a templomtoony Mint a fizikából tudjuk, a beesési szög a beesési meôleges és a beesô fénysugá hajlásszöge l-es szöget zának be a napsugaak a talajjal Itt nem a beesési szöget keessük, hanem annak pótszögét 50 7,8 a napsugaak beesési szöge a talajhoz képest Itt a beesési szöget keessük m széles a folyó 50 AB 50 m a folyó szélessége 50 m távol van tôlünk légvonalban a vitolás 505 a, m; b 5,5 m; c,8 m; d,7 m a négyszög oldalainak a hossza 50 a),7 cm; y 0,0 cm; z 7,7 cm a négyszög ismeetlen oldalhosszai b) 5,7 cm; y,80 cm a négyszög ismeetlen oldalhosszai; b 0 l az ismeetlen szög nagysága Hegyesszög megszekesztése valamely szögfüggvényének étékébôl 507 Megfelelô deékszögû háomszögeket kell szekesztenünk Például az a) feladatnál szekesszünk egy olyan deékszögû háomszöget, amelynek egység az átfogója és egyik befogója egység! Ekko az egység hosszúságú befogóval szemközti szög szinusza éppen

3 Egyenlô száú háomszögek 9 A c) feladatnál hosszúságú szakaszt könnyen szekesztünk, ha veszünk egy egység száhosszúságú egyenlô száú deékszögû háomszöget A d) feladatnál nincsen olyan szög, amelynek szinusza lenne 508 Hasonlóan jáunk el, mint az elôzô feladatnál A b) feladatnál szakaszt könnyen hamadolhatunk, ha emlékszünk a páhuzamos szelôk tételée A c) feladatnál nincs olyan szög, amelynek koszinusza lenne A d) feladatnál egység hosszúságú szakaszt könnyen szekeszthetünk, ha tekintjük az egységnyi oldalhosszúságú szabályos háomszög magasságát 509 Hasonlóan jáunk el, mint az elôzô két feladatnál A d) feladatnál 5 hosszúságú szakaszt például úgy szekeszthetünk, hogy egy kö átméôjének vesszük az + 5 egység hosszúságú szakaszt, majd meôlegest állítunk a két szakasz közös pontjában az átméôe E meôleges egy pontban metszi a köt Ezen pont és az átméô két végpontja deékszögû háomszöget alkot Miét? Ezután alkalmazzuk a magasságtételt a deékszögû háomszöge és megkapjuk a 5 hosszúságú szakaszt 50 Hasonlóan jáunk el, mint az elôzô háom feladatnál 5 Hasonlóan jáunk el, mint az elôzô négy feladatnál Nevezetes hegyesszögek szögfüggvényei 5 a) ; b) - ; c) ; d) a kifejezések pontos étéke 5 a) ; b) 8; c) ; d) a kifejezések pontos étéke 5 a) ; b) ; c) a kifejezések pontos étéke 55 a) 5 ; b) ; c) ; d) 8 a kifejezések pontos étéke 5 a) ; - b) a kifejezések pontos étéke 57 a) ; b) 5- $ a kifejezések pontos étéke Hegyesszögû tigonometiai feladatok Egyenlô száú háomszögek 58,8 cm az egyenlô száú háomszög alapja 59 8, a kettôsléta nyílásszöge 50 7,5 cm magasan állunk a talajhoz képest 5,5 szöget zá be a fonálinga a két szélsô helyzet között 5 0,88 cm a kúp alapköének átméôje 5,85 a kúp nyílásszöge 5 9,5 cm az alapkö sugaa 50

4 70 Hegyesszögû tigonometiai alapfeladatok , cm a kö sugaa 5 Az alap és a szá hajlásszöge 55,9, míg a száak hajlásszöge 8,08 Vegyük figyelembe az ismet tételt, miszeint a háomszög szögfelezôi egy pontban metszik egymást és ez a pont éppen a háomszögbe íható kö középpontja Vegyük azt a deékszögû háomszöget, amelynek egyik befogója az alap fele, míg a másik befogója a kö sugaa 57, cm Vegyük figyelembe az elôzô feladat megoldásához való útmutatást 58 R, cm Elôszö számítsuk ki a száak hajlásszögét! Bocsássunk meôleges szakaszt a köülít kö középpontjából a háomszög egyik szááa! Majd vegyük észe, hogy ezen szög fele szeepel az ábán megjelölt deékszögû háomszögben E háomszöge felít megfelelô szögfüggvény segítségével kiszámíthatjuk a köülít kö sugaát 59 5,0 cm a beít kö sugaa és R 0,8 cm a köülít kö sugaa Mint tudjuk a háomszög szögfelezôje átmegy a beít kö középpontján Tekintsük azt a deékszögû háomszöget, amelyiknek egyik befogója az alap fele, másik befogója a beít kö sugaa Ekko ezzel a beít kö sugáal szemközti szög -os az elôzôek miatt Megfelelô szögfüggvénnyel kiszámíthatjuk a beít kö sugaát ezen deékszögû háomszögbôl Tekintsük most azt a másik deékszögû háomszöget, amelynek egyik befogója az alap fele, míg másik befogója az alaphoz tatozó magasság! Ekko megfelelô szögfüggvényt felíva ezen deékszögû háomszöge, kiszámíthatjuk a deékszögû háomszög átfogóját, ami nem más, mint az eedeti háomszög száa Ezután tekintsük azt a deékszögû háomszöget, amelyet az elôzô feladat megoldási útmutatásában jelöltünk meg Kiszámítjuk ezen deékszögû háomszög megfelelô szögét, ami nem más, mint az eedeti háomszög száai szögének a fele Ezután a megfelelô szögfüggvényt alkalmazva a megjelölt háomszöge, kiszámíthatjuk az eedeti háomszög köé íható kö sugaát Téglalapok, ombuszok, paalelogammák 50 eset:,57 m a téglalap ismeetlen oldala Ha az átlók hajlásszögével szemben a téglalap ismeetlen oldala van, akko húzzunk páhuzamost az átlók metszéspontján át a téglalap adott oldalával! eset:,9 m a téglalap ismeetlen oldala Ha az átlók hajlásszögével szemben a téglalap ismet oldala van, akko húzzunk páhuzamost az átlók metszéspontján át a téglalap ismeetlen oldalával! 5 7,9 cm hosszú az átlók hajlásszögével szemközti oldal hossza, míg,8 cm hosszú a téglalap másik oldala Húzzunk páhuzamost az átlók metszéspontján át a téglalap másik oldalával! 5,9 m; 9,8 m a téglalap oldalai Íjunk fel egy megfelelô szögfüggvényt a két oldalból, mint befogóból álló deékszögû háomszöge! Majd íjuk fel a téglalap teületképletét! Ezután oldjuk meg a két egyenletbôl álló kétismeetlenes egyenletendszet!

5 Téglalapok, ombuszok, paalelogammák 7 5 7,55 cm hosszú a ombusz oldala, 9,9 és 58 0,5 a ombusz szögei 5 0, cm hosszú a ombusz oldala, míg, cm hosszú a ombusz ismeetlen átlója 55 0 és 0 a ombusz szögei 5,77 dm a ombusz oldala Mint tudjuk a ombusz átlói felezik a szögeit Íjunk fel egy megfelelô szögfüggvényt az átlók által négy deékszögû háomszöge osztott ombusz egyik deékszögû háomszögée Másészt az oldal és a kisebbik átló összegébôl kapunk egy második egyenletet Oldjuk meg a két egyenletbôl álló kétismeetlenes egyenletendszet! 57, cm a ombusz oldalhossza 8$ 58 a, cm a ombusz oldala Vegyük figyelembe, hogy OT cm, majd az ATO deékszögû háomszöge alkalmazzunk egy megfelelô szögfüggvényt Ennek segítségével kiszámíthatjuk, hogy AT $ Majd a BTO deékszögû háomszöge íjunk fel egy $ megfelelô szögfüggvényt és ebbôl megkaphatjuk, hogy BT Ezután 8$ a AT + BT 59 a 7,7 és b 0, a ombusz szögei, a 5 cm a ombusz oldalának hossza, t cm a ombusz teülete AB a A Pitagoasz-tétel segítségével: BO a - a OT, a a - a -, () sin ; másészt () sin, ezekbôl (Ezen AO a a egyenletet hasonló háomszögek segítségével is indokolhatjuk) Ebbôl a 5 cm Másészt ()- bôl kaphatjuk az a szöget, ebbôl pedig a b szöget A teületet a és segítségével könnyen kaphatjuk 50 eset: e 0 m; f m a két átló hossza a 87, és b 9,8 Hatáozzuk meg a ombusz oldalának hosszát: a 9 m A ombusz teületébôl kaphatjuk ez elsô egyenletet Majd Pitagoasz tételébôl kaphatjuk a második egyenletet A két egyenletbôl álló egyenletendszebôl egy másodfokú egyenletet kapunk A szögeket megfelelô szögfüggvények segítségével kaphatjuk A eset ugyanaz, mint az elsô, csak megfodítva vannak az átlók hosszai és a szögek 5, cm Húzzuk be a magasságot az ismeetlen oldal egyik végpontjából! 5 00, cm a paalelogamma teülete Alkalmazzuk azt a háomszög teületképletet, amely a két oldal és a közbezát szög segítségével adja meg a háomszög 59 teületét A paalelogamma átlói négy egyenlô teületû háomszöge vágják a paalelogammát Mint tudjuk egy háomszög súlyvonala két egyenlô teületû észe osztja a háomszöget Miét? e$ f$ sin { 5 t a paalelogamma teülete Vegyük figyelembe az elôzô feladat megoldásának útmutatását!

6 7 Hegyesszögû tigonometiai alapfeladatok Szabályos sokszögek 5,8 cm a szabályos háomszög oldala Tekintsük azt a deékszögû háomszöget, amelyben az átfogó a kö sugaa, míg az egyik befogó a szabályos háomszög oldalának a fele! 55 8, cm a szabályos ötszög oldala Nem kell leajzolni a szabályos ötszöget a köbe íva, hanem elég egy oldaláa épített háomszöget leajzolni, amelynek hamadik csúcspontja a köülít kö középpontja Ezen egyenlô száú háomszög száai által bezát szögét megkapjuk, ha 0 -ot elosztjuk a szabályos sokszög oldalszámával Itt 7 -os középponti szöget kaptunk Húzzuk be az egyenlô száú háomszög magasságát, ez felezi a középponti szöget! 5,5 cm a kö sugaa Vegyük figyelembe az elôzô útmutatást! 57 7, cm a kö sugaa Vegyük figyelembe a 55 feladat megoldásához való útmutatást! 58 8, cm a szabályos ötszög teülete Elôszö számítsuk ki az ötszög köé íható kö sugaát az elôbbi módon: 5,95 cm Majd alkalmazzuk a háomszög azon teületképletét, amely a háomszög két oldalának és a közbezát szögüknek a segítségével adja meg a háomszög teületét A szabályos ötszög teülete ötszö akkoa, mint a megfelelô egyenlô száú háomszög teülete 59 08, cm a szabályos nyolcszög teülete Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot 550 9, cm a szabályos tízszög teülete Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô két feladatot 55 9,97 cm a keülete és 9,0 cm a teülete a szabályos tizenegyszögnek Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzôeket 55, cm a keülete és 0,07 cm a teülete a szabályos tizenháomszögnek Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzôeket 55 9,0 cm a teülete és 7,89 cm a keülete a szabályos hétszögnek Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzôeket 55 0, cm a beít és,9 cm a köülít kö sugaa A beít kö sugaa éppen a megfelelô egyenlô száú háomszög alaphoz tatozó magassága Míg az átfogója éppen a köülít kö sugaa 555,9 cm a beít és 5,07 cm a köülít kö sugaa 55 8,5 cm az oldal hossza Elôszö a háomszög szinuszos teületképletébôl számítsuk ki a szabályos hétszög köé íható kö sugaát: 9,9 cm 557 7, cm az oldal hossza Elôszö a háomszög szinuszos teületképletébôl számítsuk ki a szabályos tizenkétszög köé ít kö sugaát:,5 cm 558, cm a keülete, 8,7 cm a teülete a szabályos ötszögnek Elôszö számítsuk ki a szabályos ötszög szögeit: 08 -ot kapunk Tekintsük azt a deékszögû háomszöget, amelynek átfogója az ötszög egyik oldala, egyik befogója az átló fele: 7 cm, és a 7 cm-el szemközti szög az ötszög szögének a fele: 5 Ebbôl kiszámíthatjuk az ötszög oldalhosszát: 8,5 cm Ebbôl kapjuk a keületet Míg a szabályos ötszög teületét hasonlóan számíthatjuk ki, mint ahogyan az elôzô feladatok szabályos sokszögeinek a teületét számítottuk Keessünk másik megoldást! Például azt észevéve, hogy ha az ötszög egyik csúcsából meghúzzuk a két átlót, akko e két átló háom egyenlô nagyságú szöge osztotta fel a szabályos ötszög 08 -os szögét Miét? Folytassuk! 559 a), cm az oldala, 0,7 cm a keülete, 8, cm a teülete a szabályos hétoldalú húsokszögnek b),8 cm az oldala,,7 cm a keülete, 8,9 cm a teülete a szabályos hétoldalú éintôsokszögnek a) kn $ n$ $ sin vagy másképpen kn $ n$ $ sin az sugaú köbe ít n oldalú szabályos húsokszög keülete tn n$ $ sin $ cos, illetve tn n$ $ sin $ cos n n n n n n

7 Köök éintôi, köívek, köcikkek, köszeletek, húok 7 az sugaú köbe ít n oldalú szabályos húsokszög teülete Akik má most ismeik a kétszees szögek szinuszáa vonatkozó azonosságot, azok könnyen megmutathatják, hogy e képletek más n$ 0 n$ $ 80 fomája: tn $ sin, illetve tn $ sin b) K n $ n $ $ tg, illetve K n n n n $ n$ $ tg az sugaú kö köé ít n oldalú éintôsokszög keülete T n tg 80 n $ $, n n illetve Tn n$ $ tg az sugaú kö köé ít n oldalú éintôsokszög teülete c) kn < k n kö < K n, n$ 0 vagyis $ n$ $ sin < k n kö < $ n$ $ tg t n n < t kö < T n, vagyis $ sin < t n kö < < n $ $ tg 80 d) Ha a kö keületét ismetnek vesszük, akko egy becslést kaphatunk -e, n az elôzô eedményeket felhasználva $ n$ $ sin < k n kö < $ n$ $ tg, vagyis $ n $ $ n $ sin <$ $ <$ n $ $ tg Ebbôl n $ sin < < n $ tg Ha ide behelyettesítjük a feladatban javasolt n 80-at, akko azt kapjuk, hogy 80 $ sin< < 80 $ tg (itt az a- n n n n diánban van), ebbôl, < <, 9 becslést kaphatjuk Amúgy, 59 5 iacionális szám tg 80 5 T gyûû $ T n n$ a kögyûû teülete Vegyük észe, hogy T n gyûû T kö - t kö, ha alkalmazzuk Pitagoasz tételét, akko kaphatjuk, hogy T gyûû a $, ahol a azon szabályos n- szög oldalának hossza, amely köé ít kö teülete T kö, míg a beít köének teülete t kö Köök éintôi, köívek, köcikkek, köszeletek, húok 5 0, m a lámpa átméôje A,5 m távolság legyen egy megfelelô deékszögû háomszög átfogója Míg a gömb sugaa legyen ezen deékszögû háomszög egyik befogója, amellyel szemközti szög fele akkoa, mint a megadott szög 5,7 km a Hold átméôje (Ez csak egy becslés, a Hold átméôje pontosabban kb 7 km) Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot 5 5,98 az éintôk hajlásszöge és,9 cm az éintôszakaszok hossza Az ETO háomszögben ET 5,5 cm, megfelelô szögfüggvényt felíva megkapjuk a b szöget: b,5 5

8 7 Hegyesszögû tigonometiai alapfeladatok 5/I 5/II a Ebbôl kaphatjuk az szöget, ebbôl pedig az a 5,98 szöget Például az ETP háomszöge megfelelô szögfüggvényt felíva kapjuk, hogy e,9 cm 55 5, cm a P pont távolsága a kö középpontjától,, cm az éintôszakasz hossza, 8, cm az éintési pontok távolsága Hasonló ábát készítve, mint az elôzô feladatnál, szögfüggvények segítségével megoldhatjuk a feladatot 5 a) 9,9 a külsô éintôk hajlásszöge Tekintsük 5/I ábán megjelölt deékszögû háomszöget, amelynek egyik megfelelô hegyesszöge éppen a külsô éintôk hajlásszögének a fele b) 75, a belsô éintôk hajlásszöge Tekintsük a 5/II ábán megjelölt deékszögû háomszöget! 57 9, az éintôk hajlásszöge Mutassuk meg, hogy f b + c (b és c az éintôk közös átméôvel bezát szöge!) Megfelelô deékszögû háomszögeke felít szögfüggvényekbôl könnyen kaphatjuk b, illetve c étékeit b, és c, 58 h,7 cm a hú hossza 59 7,5 m a kö sugaa Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot ,7 a keesett középponti szög Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô két feladatot 57 8 cm Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzôeket 57,05 a keesett középponti szög 57 0, a keesett keületi szög Használjuk fel a keületi és középponti szögek tételét 57 9, cm a hú hossza Használjuk fel a keületi és középponti szögek tételét 575,5 cm a köülít kö sugaa 57,5 a keesett keületi szög nagysága 577,875 m a kö sugaa 578,0 m a keesett hú hossza Elôszö az ívhossz képletének segítségével számítsuk ki a kö sugaát: 0,7 m 579, dm a hú hossza Elôszö az ívhossz képletének segítségével számítsuk ki a húhoz tatozó középponti szöget:, ,0 m a hú hossza Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot 58,9 m a köszelet teülete Vegyük észe, hogy a köszelet teületét megkapjuk, hogy ha a megfelelô köcikk teületébôl kivonjuk a megfelelô háomszög teületét A köcikk teülete: 9,88 m, míg a háomszög teülete: 7,9 m 58 7,9 cm a köszelet teülete Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot A középponti szög nagysága 77,, a köcikk teülete 7,8 cm, a háomszög teülete,9 cm 58 77, cm a köszelet teülete A kö sugaa, cm, a hú hossza,5 cm, a köcikk teülete,5 cm, a háomszög teülete 87, cm 58, cm az egyik köszelet teülete és,5 cm a másik köszelet teülete A húhoz pontosan 90 -os középponti szög tatozik

9 Tapézok ,% a kisebbik köszelet teülete a kölemez teületének Elôszö számítsuk ki a kisebbik köszelethez tatozó középponti szög felét, ebbôl kapjuk a középponti szöget Majd hatáozzuk meg a megfelelô háomszög teületét:,85 cm A köcikk teülete 7, cm Ezekbôl kapjuk a köszelet teületét: 85, cm Ebbôl és a kö teületébôl kaphatjuk a megfelelô százalékos eedményt Tapézok 58, cm a tapéz másik alapja, míg,97 cm a tapéz másik száa Húzzuk meg a tapéz magasságát a kisebbik alap azon csúcsából, amelyiknél a tompaszög van 587,8 cm hosszú a tapéz deékszögû száa,,8 cm a tapéz meôleges száa, illetve 5,59 cm hosszú a tapéz másik száa, 9, cm a tapéz teülete Hasonlóan indulunk el, mint az elôzô feladatnál A deékszögû szá meghatáozása után mivel ez éppen a tapéz magassága, felíhatjuk a tapéz teületének képletét 588,77 cm a másik szá hossza és 8,07 cm a másik alap hossza Hasonlóan indulhatunk el, mint az elôzô két feladatnál 589,5 cm a tapéz másik száa, 0,85 cm a tapéz másik száának hossza,, cm a tapéz teülete Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô háom feladatot 590 8, cm a tapéz hosszabbik alapja,, cm a tapéz övidebbik alapja, 9,98 cm az egyik szá, 7,98 cm a tapéz másik száa Legyen a a hosszabbik alap, míg c a övidebbik alap hossza, m d a tapéz magassága, illetve a meôleges szá hossza, b a másik száának a hossza A tapéz teületképletét felíva és -vel szoozva kapjuk, hogy () 85 (a + c) $ m Másészt a övidebbik alap másik végpontjából is meghúzva a magasságot kapunk egy deékszögû háomszöget, amelybôl m b $ sin 5,, azaz () m á 0,8 $ b Pitagoasz tételét felíva kapjuk, hogy () (a - c) + m b Legyen a övidebbik átló hossza e A feltétel szeint e a Ismét Pitagoasz tételét alkalmazva kapjuk, hogy m + c e, illetve az elôzôt figyelembe véve () m + c a A () és a () egyenletekbôl, most má egyenlôségjeleket használva a közelítô egyenlôségeknél is, kapjuk, hogy (5) a - c 0, $ b Az () és () egyenletekbôl kaphatjuk, hogy () 0,5 (a + c) $ b Az (5) és a () egyenletekbôl kaphatjuk, hogy (7) a - c,75 Ámde a () egyenletbôl következik, hogy a - c m, használjuk fel a () egyenletet: (8) a - c 0, $ b Ezt összevetve a (7) egyenlettel, kapjuk, hogy: b 9,98 cm Majd ()-bôl kapjuk m d-t Tekintsük a b alapú és a száhosszúságú egyenlô száú háomszöget, amelynek az alapon fekvô szöge az adott 5, -os szög Ebben egy megfelelô szögfüggvényt alkalmazva megkapjuk az a hosszúságot Majd a (8) egyenletbôl kapjuk c-t 59,0, illetve,9 a szimmetikus tapéz szögei Húzzuk be a övidebbik alap végpontjainál a két magasságot! 59,, illetve,57 a szimmetikus tapéz szögei Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot 59 0,9 a töltés oldalának a hajlásszöge a vízszinteshez képest 59 eset: 7,0 m a másik alap hossza Az esetben a tapéz nagyobbik alapja az adott m-es alap eset: 0,9 m másik alap hossza A esetben a tapéz övidebbik alapja az adott m hosszú alap 595 eset: 8, cm a másik alap hossza eset: 5,8 cm a másik alap hossza Az elsô esetben a hosszabbik alap az adott alap, míg a második esetben a övidebbik alap az adott alap 59 89, m a szá hossza, 0 m a másik alapja,, az egyik szöge, míg,57 a másik szöge Húzzuk be a övidebbik alap végpontjainál a magasságokat és keessünk megfelelô deékszögû háomszögeket ,55 cm a tapéz teülete, 9, az átló alappal bezát szöge 598,5 cm a hosszabbik alap hossza,,75 cm a övidebbik alap hossza, 0, cm a száak hossza

10 7 Hegyesszögû tigonometiai alapfeladatok 599 eset: Ha az egyenlô száú tapéz szimmetikus tapéz 8, cm a hosszabbik alap,, cm a övidebbik alap,, cm a száak hossza eset: Ha az egyenlô száú tapéz paalelogamma cm a tapéz alapjainak hossza,, cm a tapéz száainak hossza 00 9,79 a félkúpszög Tekintsük a csonkakúp tengelyét tatalmazó síkot, amely szimmetikus tapézt vág ki a csonkakúpból! A tapéz övidebbik alapjának végpontjaiból húzzuk meg a tapéz magasságait! Tekintsük az egyik megfelelô deékszögû háomszöget! Ennek egyik hegyesszöge éppen a félkúpszög 0 5,9 %-kal nagyobb az alaplap sugaa, mint a fedôlapé Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot 0 9, cm a másik alap hossza, 99, cm a tapéz teülete 0 R $ a tapéz negyedik oldalának hossza, 75, illetve 05 a tapéz szögeivegyük észe, hogy a tapéz övidebbik alapjának két végpontja és a köülít kö középpontja szabályos háomszöget alkot Másészt a tapéz száának két végpontja és a kö középpontja által alkotott egyenlô száú háomszögnek húzzuk meg a tapéz száához, mint alaphoz tatozó magasságát Ekko meghatáozhatjuk, a tapéz száához tatozó középponti szög felét, illetve a középponti szöget 90 -os ez a középponti szög Ezután meghatáozhatjuk a tapéz hosszabb alapjához tatozó középponti szöget: 0 Innen má könnyen kaphatjuk a tapéz szögeit 0 5, illetve,87 a tapéz szögei, egység a hosszabbik alap hossza, 0 egység a tapéz száa Használjuk fel azt az egyszeû tételt, miszeint egy köhöz külsô pontból húzott éintôszakaszok egyenlô hosszúak Ezt alkalmazva kapjuk, hogy a szá hossza egyenlô az alapok összegének a felével Húzzuk be szokás szeint a övidebb alap végpontjaiból a tapéz magasságát Az egyik kapott deékszögû háomszöge íjuk fel Pitagoasz tételét! Ebbôl kaphatjuk a hosszabbik alap hosszát, majd a szá hosszát számíthatjuk ki Szögfüggvénnyel kaphatjuk a tapéz kisebbik szögét 05 7,78 cm a tapéz övidebbik alapja, 8,0 cm a tapéz másik száa A tapéz övidebbik alapjának két végpontjaiból húzzuk meg a tapéz magasságát! Kaptunk két deékszögû háomszöget, amelyekbôl könnyen meghatáozhatjuk a keesett oldalakat 0 8, m a tapéz teülete Húzzuk be a övidebbik alap két végpontjából a tapéz magasságát! 07 eset: Ha a cm-es szá mellett van a 7, -os szög 7,7 cm a tapéz másik alapja, 9,7 cm a tapéz másik száa, 889 cm a tapéz teülete eset: Ha a tapéz cm-es száa mellett az 5,5 -os szög van,0 cm a tapéz másik alapja, 5,8 cm a tapéz másik száa, 87,9 cm a tapéz teülete 08 eset: Ha a 8, cm-es szá mellett a 8, -os szög van 5, cm a másik alap, 8, cm a másik szá, 58,57 cm a tapéz teülete eset: Ha a 8, cm-es szá mellett a 5 -os szög van, cm a másik alap, 7,55 cm a másik szá, 58, cm a tapéz teülete 09, cm az ismeetlen oldal hossza, 7,, illetve 0,9 a tapéz szögei 0,7 cm, illetve 9,0 cm a tapéz száai 7,0, illetve 5,7 a tapéz hegyesszögei, 08,9, illetve, a tapéz másik két szöge, 908, m a tapéz teülete 7,5 cm a tapéz teülete Vegyük észe, hogy a tapéz kisebbik alapja éppen középvonal a kialakuló nagy háomszögben Ezét a háomszög középvonaláa vonatkozó tételbôl kapjuk, hogy hossza fele az 58 cm-es alapnak A két alap között állítsunk fel egy egyenletet, amelybôl meghatáozhatjuk a magasságot Ezután kaphatjuk a teületet 75,5, 0,8, 8,9, 5,0 a tapéz szögei Húzzuk be a tapéz magasságát a övidebbik oldal két végpontjából! Íjunk fel két Pitagoasz-tételt a keletkezô két deékszögû háomszöge Majd alkalmazzunk megfelelô szögfüggvényt a deékszögû háomszögeke!

11 Téelemek hajlásszöge 77 Téelemek hajlásszöge 5, a testátló hajlásszöge az oldallapokkal 5 a) 7, a testátló hajlásszöge egy szomszédos alapéllel (5/I) b),58 a testátló hajlásszöge egy szomszédos oldaléllel (5/II) c) 7, a testátló hajlásszöge az alaplappal (5/III) d) 5,7 a testátló hajlásszöge az oldallappal (5/) a) 7,98 -os szöget zá be a testátló a cm-es éllel,, -os szöget zá be a testátló az 5 cm-es éllel, 0,5 os szöget zá be a testátló a 0 cm-es éllel b) 59,75 -os szöget zá be a testátló a cm # 5 cm-es oldallappal, 5,0 os szöget zá be a testátló az 5 cm # 0 cm-es oldallappal, 5,59 -os szöget zá be a testátló a cm # 0 cm-es oldallappal 7 8,8 cm a gúla magassága 8 a) 0 az oldalél és az alaplap hajlásszöge Tekintsük az elôzô feladat útmutatását! b) 9,9 az oldallap és az alaplap hajlásszöge Tekintsük a következô ábát! 9 a) 5,8 az oldalélnek az alaplappal bezát szöge Elôszö számítsuk ki a felszínbôl egy oldallap teületét, ez 05 cm, majd számítsuk ki az oldallap alapélhez tatozó magasságát, ez 5 cm Ezután Pitagoasz tételének segítségével kiszámíthatjuk a gúla magasságát, ez,7 cm b),8 az oldallap alaplappal bezát szöge 5/I 5/II 5/III 5/ 7 8

12 78 Hegyesszögû tigonometiai alapfeladatok 0 0 a) 9, az alapél szomszédos oldaléllel bezát szöge b) 8,0 az oldallap alaplappal bezát szöge c) 0,50 az oldalél alaplappal bezát szöge d) 8,9 két szomszédos oldallap hajlásszöge A koábban meghatáozott oldallapmagasságból, amely az alapélhez tatozik, Pitagoasz tételének segítségével meghatáozhatjuk a gúla oldalélének hosszát:,9 cm, míg az elôzô oldallapmagasság 0,77 cm Íjuk fel kétféleképpen az oldallap teületét, egyészt az alapélhez tatozó oldallapmagassággal, másészt az oldallap száához, azaz a gúla oldaléléhez tatozó oldalélmagassággal! Ebbôl meghatáozhatjuk az oldalélhez tatozó oldallapmagasságot, ez 7,50 cm Ezen két megfelelô oldalélhez tatozó oldalélmagasság által bezát szög éppen a két oldallap hajlásszöge, amelyet a következô ábán jelöltünk meg A továbbiakban húzzuk be ezen egyenlô száú háomszög magasságát, amely felezi a keesett szöget A kapott egybevágó deékszögû háomszögek bámelyikébôl meghatáozhatjuk a keesett szöget 5 70,5 a szabályos tetaéde két oldallapjának hajlásszöge Vegyük figyelembe, hogy a magasság talppontja éppen az alaplap súlypontja Másészt ismet tétel szeint a háomszög súlypontja : aányban osztja fel a súlyvonalakat úgy, hogy az oldalhoz közelebbi ész a kisebb Egyszeûbb megoldás felé indulhatunk, ha meghúzzuk két oldallap magasságát a) 7, az alapél szomszédos oldaléllel bezát szöge b) 80,89 az alaplap és egy oldallap hajlásszöge c) 7, az oldalél és az alaplap hajlásszöge d), két oldallap hajlásszöge Hasonló módon oldhatjuk meg, mint a 0 d) feladatot, az oldallapnak az alaplappal bezát szöge a) 7, az alapél szomszédos oldaléllel bezát szöge b) 55,7 az oldalél alaplappal bezát szöge c) 59, az alaplap oldallappal bezát szöge d) 9,0 két szomszédos oldallap hajlásszöge 5 a 0 Mutassuk meg, hogy az ACE háomszög egybevágó a CEF háomszöggel Ebbôl következik, hogy az A-ból, illetve az F-bôl induló magasságaik talppontja egybeesik AT FT Íjuk fel az ACE háomszög teületét két- féleképpen! Ebbôl megkaphatjuk, hogy: a$ Tekintsük az ATF egyenlô száú háomszöget és húzzuk meg T-bôl ezen háomszög AF alapjához tatozó magasságát! Ez felezi a keesett szöget Kapunk két egybevágó deékszögû háomszöget Az egyike felít megfelelô szögfüggvénybôl megkaphatjuk a keesett szög felét, s így a keesett szöget is 8,9 a két sík hajlásszöge A DPQ sík az ED szakaszban metszi az ADHE oldallapot, míg az ABFE oldallapot a PE szakaszban metszi PQDE négyszög egy

13 Vegyes, illetve összetettebb hegyesszögû tigonometiai feladatok 79 szimmetikus tapéz Miét? Az A-ból és E-bôl a QD-e bocsátott meôlegesek talppontja azonos: a T pont Miét? Így az ATE szög az ABCD és a DPQ síkok hajlásszöge Az ATD háomszög hasonló a QCD háomszöghöz Miét? Mivel e két háomszög hasonló, ezét megfelelô AT DC $ a oldalaik aánya egyenlô Azaz, ebbôl kaphatjuk, hogy AT, ahol a a kocka AD DQ 5 élének hossza, pesze elôbb kiszámítjuk a DQ hosszát a kocka élével kifejezve Másészt AE 5 tg ATE ; ebbôl kaphatjuk a keesett szöget ATE 8,9 AT Vegyes, illetve összetettebb hegyesszögû tigonometiai feladatok Vegyes feladatok 7 +, m-el van magasabban a végpont, mint a kiindulási pont 8 5,7 m az út valódi hossza 9 05, m a teeppontok közötti út hossza és 7,59 az út emelkedési szöge 0 8 m az út valódi hossza 0, m az ABC út hossza, 9, az AB út hajlásszöge,,09 a BC út hajlásszöge 5 N az eedô eô nagysága, 55l-os szöget zá be az eedô eô iánya a N-os eô iányával l a menetemelkedés szöge Tekintsük azt a deékszögû háomszöget, amelynek egyik befogója a csavamenet keületének hossza (középkeülete), míg másik befogója a menetemelkedés, és a menetemelkedéssel szemközti hegyesszöget keessük,9 mm a menetemelkedés Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot 5 l a menetemelkedés szöge m az épület magassága 7 80 m messze van a két épület egymástól Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot 8 a),57, illetve 8, a keesett két szög b) 8 l, 5 5l, illetve 9l a keesett háom szög 9 a), cm, illetve 58,58 cm a keesett két hosszúság b),79 cm, 0,95 cm, illetve, cm a keesett háom hosszúság m 0,9 Gyô középpontjának sebessége a Föld tengelye köüli fogásban Elôszö szá- s mítsuk ki, hogy mekkoa sugaú köpályán keing a váos, ez 7, km Majd alkalmazzuk az itt ut évényes sebesség összefüggést id w 58, m széles a folyó Fejezzük ki -szel a 70 m-es szakasz két ész szakaszát, ezeket adjuk össze, 70 m-t kapunk és ebbôl az egyenletbôl kiszámíthatjuk -et 70, á 58, m ctg 8lll+ ctg 5 0l

14 80 Hegyesszögû tigonometiai alapfeladatok Tonyok, hegycsúcsok és egyéb magasan levô tágyak m magas a toonyantenna 0, m magas a nyáfa Elôszö számítsuk ki a b szöget, ez,0 Ebbôl a - b -,0 á 9,959 Majd számítsuk ki az -,7 m-t, és ebbôl kapjuk, hogy 0 m -,7 $ tg 9,959 & á 0, m m magas a makotabödögei templomtoony Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot 5,5 m hosszú az ablak Elôszö számítsuk ki y étékét, ez 8 m Majd az + y befogójú deékszöge felíva egy megfelelô szögfüggvényt, ebbôl megkaphatjuk étékét m magas a kápolna Elôszö számítsuk ki az y étékét, ez,0 m Majd számítsuk ki z étékét, ez 5,9 m (Pesze a soend fodított is lehet) Ezután íjunk fel egy megfelelô szögfüggvényt az + y befogójú deékszögû háomszöge, ebbôl megkaphatjuk -et, vagyis a kápolna magasságát 7 5,5 m magasan van a hegytetô a völgy fölött Íjunk fel egy megfelelô szögfüggvényt az és y befogójú deékszögû háomszöge, majd íjunk fel egy hasonló egyenletet, az + m és y befogójú deékszögû háomszöge Ekko két egyenletünk van két ismeetlennel Ha elosztjuk egymással a két egyenlet megfelelô oldalait, akko y kiesik, s így maad -e egy tötes elsôfokú egyenlet, amelyet könnyen megoldhatunk Így kaphatjuk, hogy 5,5 m 8 z,8 m hosszú dótkötéle van szükség Számítsuk ki -et egy megfelelô szögfüggvényt alkalmazva, az befogójú és 8,5 m átfogójú deékszögû háomszöge Kapjuk, hogy,8 m Majd számítsuk ki az y étékét, kapjuk, hogy y 8,5 m (Fodított soendben is dolgozhatunk) Majd Pitagoasz tételének segítségével kiszámíthatjuk z-t, azaz a dótkötél hosszát 9 7, m széles a folyó Alkalmazzunk egy megfelelô szögfüggvényt a 8 m, illetve az + 50 m hoszszú befogókkal endelkezô deékszögû háomszöge, ebbôl kiszámíthatjuk -et, vagyis a folyó szélességét 50 0 m magasan van a hegycsúcs a folyó felett Az és y befogójú deékszögû háomszöge íjunk fel egy megfelelô szögfüggvényt, majd ugyanígy íjunk fel egy ugyanolyan szögfüggvényt az és y + 50 m befogójú 9 50

15 Vegyes, illetve összetettebb hegyesszögû tigonometiai feladatok 8 deékszögû háomszöge A kapott két egyenletbôl álló kétismeetlenes egyenletendszet oldjuk meg és megkapjuk étékét Az egyenletendsze megoldását például úgy is elvégezhetjük, hogy elosztjuk a két egyenlet megfelelô oldalait egymással, majd ekko kiesik és y-a kapunk egy egyismeetlenes egyenletet Ebbôl meghatáozzuk y-t, majd ezt visszahelyettesítjük az eedeti két egyenlet valamelyikébe, és ebbôl kifejezhetjük -et tg l & y $ tg l, tg 5 l & y y + 50 & (y + 50) $ tg 5 l, y á 550 m, á 0 m 5 8 m magas az antenna Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot 5 7 m magas a templomtoony Mindkét deékszögû háomszöge íjunk fel egy-egy megfelelô szögfüggvényt Ezen egyenletekbôl külön-külön megkapjuk y, illetve a z étékét y, m és z, m Ezeket összeadva kapjuk a templomtoony magasságát 5 79 m széles a folyó Hasonlóan oldhatjuk meg, mint a 50, illetve a 5 feladatot 5 9,8 m magasan van az elsô ablak és 9,8 m magasan a második ablak, 9, m távolságban a teeppont Készítsünk hasonló ábát, mint az elôzô feladatnál, és oldjuk meg hasonlóan a feladatot, mint a 50, 5, illetve 5 feladatot 55 m Hasonlóan oldhatjuk meg, mint a 50, 5, 5, illetve a 5 feladatot Íjunk fel két megfelelô szögfüggvényt az - 5 m és y befogójú deékszögû háomszöge, majd az és y befogójú deékszögû háomszöge! Ezután oldjuk meg a két egyenletbôl álló egyenletendszet például úgy, hogy elosztjuk az egyenletek megfelelô oldalait egymással, ekko y kiesik és a kapott tötes egyenletbôl kifejezhetô! km 5 v, a hajó sebessége h y Vegyük észe, hogy s 0 km + y, másészt tg, 5 s E kétismeetlenes két egyenletbôl álló egyenletendszebôl meghatáozhatjuk az s étékét s 8,8 km Majd az s v $ t egyenletbôl kaphatjuk a v sebességet km 57 v 8, a hajó sebessége h Számítsuk ki az a szöget, ez,5 Vegyünk észe egy alkalmas egyenlô száú háomszöget, amelybôl következtessünk aa, hogy 0 km! Alkalmazzunk egy megfelelô szögfüggvényt az s befogójú és átfogójú deékszögû háomszöge! Ebbôl kiszámíthatjuk, hogy s 8, km Majd az s v $ t egyenletbôl kaphatjuk a v sebességet

16 8 Hegyesszögû tigonometiai alapfeladatok ,8 km magasan van a hôlégballon Egyészt tg 5 és tg 0, másészt a Pitagoasz-tételt alkalmazva kapjuk, hogy a b a + b Ezen egyenletendszebôl meghatáozhatjuk az magasságot Az elsô két egyenletbôl fejezzük ki a-t, illetve b-t -szel, majd ezeket helyettesítsük be a hamadik egyenletbe, $ tg 5 $ tg 0 amelyben má csak lesz az ismeetlen tg 0 + tg 5 59 h 0 m magasan lebeg a léggömb h Vegyük észe, hogy LT TB, ezét TB h Egyészt tg 7, másészt alkalmazzuk AT Pitagoasz tételét az ABT deékszögû háomszöge Fejezzük ki az elôzô egyenletbôl AT-t, majd ezt helyettesítsük be a Pitagoasz-tétel alapján felít egyenletbe Itt má csak h lesz az ismeetlen, 500 tg 7 amelyet könnyen meghatáozhatunk kis számolás után h 0 m Adjunk egy + tg 7 második megoldást, például úgy, hogy észevesszük, hogy az ATL háomszög egybevágó az ABT háomszöggel Miét? Az egybevágóságból következik, hogy AB AL Folytassuk! 0 a) eset: AB 00 m, (0/I); b) eset: AB* 00 m (0/II) Vegyük észe, hogy az ACD háomszög egyenlô száú, ebbôl CD 00 m Alkalmas szögfüggvény alkalmazásával számítsuk ki a étékét a BCD háomszögbôl! Azt kapjuk, hogy a 00 $ 7, m Tekintsük az ABC háomszöget! Vegyük észe, hogy ez egybevágó a BCD háomszöggel! Miét? Ebbôl következik, hogy az ACB szög deékszög Ebbôl következik, hogy AB 00 m Miét? A B*BC háomszög egyenlô száú, ebbôl következik, hogy CB*A szög 0 -os Miét? A B*AC háomszög is egyenlô száú (miét?), ebbôl következik, hogy AB* AC, azaz AB* 00 m 0/I 0/II

17 Vegyes, illetve összetettebb hegyesszögû tigonometiai feladatok 8 0, km magasa emelkedik a hegy a síkság fölé, y, km távolsága, illetve z,9 km távolsága vagyunk az egyes helyeken a hegy csúcsától Alkalmazzunk egy megfelelô szögfüggvényt az és a befogójú deékszögû háomszöge tg 8l, majd innen fejezzük ki a-t segítségével a! Majd ugyanezt a a tg 8l szögfüggvényt alkalmazzuk az és b befogójú deékszögû háomszöge, majd innen fejezzük ki b-t segítségével b! Ezután alkalmazzuk Pitagoasz tételét a síkságon levô deékszögû háomszöge + K tg 8 l J N J N! tg 8lO K tg 8 lo Ebbe az egyenletbe helyettesítsük be az L P L P elôbb kifejezett étékeket, és -e kapunk egy egyismeetlenes egyenletet, ebbôl kisebb számítások után megkaphatjuk a hegy magasságát Az y, illetve z meghatáozását megfelelô szögfüggvény segítségével végezhetjük el 50 m magasan van a hôlégballon a tó fölött Íjunk fel egy megfelelô szögfüggvényt az - 5 m és y befogójú deékszögû háomszöge, majd egy ugyanilyen szögfüggvényt az + 5 m és y befogójú deékszögû háomszöge! Oldjuk meg a két egyenletbôl álló kétismeetlenes egyenletendszet, például úgy, hogy elosztjuk a két egyenlet megfelelô oldalait egymással, majd ekko y kiesik és meghatáozható $ ( tg 8 9 tg ) tg -, tg l + l l l,, 50 m y y tg 8 9l - tg l 8 m magasan van a felhô a hegycsúcs fölött Készítsünk hasonló ábát, mint az elôzô feladatnál, és hasonló módon oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot! 0, m magas a domb és 05 m magasan volt a villámlás a víz színe fölött Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô két feladatot

18 8 Hegyesszögû tigonometiai alapfeladatok Köívek, köcikkek, köszeletek 5 5 h 9, m a hídpilléek távolsága és i 0,5 m az ívhossz,8 m az ívhossz Készítsünk hasonló ábát, mint az elôzô feladatnál! 7 5, cm a tapadási felületek összhossza Elôszö számítsuk ki a { szöget, majd ebbôl az a szöget, ebbôl pedig az i ívhosszat! Vegyük észe, hogy a $ {, ebbôl pedig számítsuk ki az i ívhosszat! i + i a tapadási felületek 7 összhossza 8 75,5 cm a szíj hossza Készítsünk hasonló ábát, mint az elôzô feladatnál! Az elôzôhöz hasonló módon számítsuk ki az i és az i ívhosszat! Majd számítsuk ki az e éintôszakasz hosszát! i + i + $ e a szíj hossza 9 5,9 cm a tapadási felületek összhossza A 9 ába alapján hasonlóan oldhatjuk meg, mint a 7 feladatot 70 8, cm a szíj hossza A 9 ábát felhasználva, hasonlóan oldhatjuk meg, mint a 9 8 feladatot 7 5,8 cm a keesett kölapész teülete A keesett teületet megkapjuk, ha a félkö teületébôl levonjuk a megfelelô köszelet teületét A köszelet teületét megkapjuk, ha a megfelelô köcikk teületébôl levonjuk a megfelelô háomszög teületét 7 08, cm a keesett teület 7 88, cm a keesett teület A keesett teületet megkapjuk, hogy ha a megfelelô deltoid teületébôl levonjuk a megfelelô köcikk teületét 7 cm a kétszeesen fedett ész teülete Vegyük észe, hogy a keesett teület éppen a megfelelô köszelet teületének a kétszeese! m téfogatú a kitemelt kôzet Pitagoasz tételével számítsuk ki a köhenge sugaát, ez 5, m Majd számítsuk ki a köszelethez tatozó háomszög teületét, ez 9, m, majd a megfelelô köcikk teületét, ez,57 m, ebbôl a megfelelô köszelet teülete 5,7 m! Mint tudjuk, a keesett téfogatot megkapjuk, ha a köszelet teületét szoozzuk az alagút hosszával 7 5, lite olaj van a tatályban Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot 77 9 lite olaj van a tatályban Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô két feladatot 78 5, lite víz van a tatályban Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô háom feladatot Egyenlô száú háomszögek, deékszögû háomszögek, négyszögek 79 a, cm az alap hossza, b 8, cm a száak hossza, t 5, cm a háomszög teülete Húzzuk be az alaphoz tatozó magasságot! Íjunk fel egy megfelelô szögfüggvényt! Ebbôl és az a - b,5 egyenletbôl álló egyenletendszet megoldva kapjuk a-t, illetve b-t Ezután számítsuk ki az alaphoz tatozó magasságot, majd a teületet!

19 Vegyes, illetve összetettebb hegyesszögû tigonometiai feladatok a 8, cm az alap hossza, b 7,7 cm a szá hossza, t,9 cm a háomszög teülete Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot 8 a 9, cm az alap hossza, b, cm a szá hossza Íjunk fel a teülete egy egyenletet, majd alkalmazzunk egy megfelelô szögfüggvényt az alaphoz tatozó magasság behúzása után! Ezután oldjuk meg az egyenletendszet! 8 a,07 cm az alap hossza, b 8,77 cm a száak hossza, t 99, cm a háomszög teülete 8 a 5,8 az alappal szemközti szög, b 77, a száakkal szemközti szög A háomszögben húzzuk meg az alaphoz tatozó magasságot és az egyik szához tatozó magasságot! m b m Egyészt sin b, másészt a sin b tg b Ezen egyenletendszebôl meghatáozhatjuk cos b, illetve b étékét a a cos b 8 a $ 5 cm 8,9 cm, b 8$ 5 cm 7,89 cm a deékszögû háomszög befogói, a á,57 és b á, a két hegyesszöge A magasságtétellel számítsuk ki az átfogóhoz tatozó magasságot, m 8 cm! Majd megfelelô szögfüggvény segítségével kaphatjuk meg az egyik szöget, amelybôl megkaphatjuk a másik szöget Pitagoasz tételének segítségével számíthatjuk ki a befogókat 85 a $ 5 cm,7 cm, és b $ 5 cm 8,9 cm a két befogó hossza, a á,57 és b á, a két hegyesszöge Az átfogóhoz tatozó magasság két szelete osztja az átfogót E két szelete kapunk ebbôl egy egyenletet A másik egyenletet a magasságtételbôl kaphatjuk Megoldva az egyenletendszet, egy másodfokú egyenlethez jutunk Megoldva kaphatjuk, hogy a két szelet cm, illetve 8 cm, illetve fodítva Pitagoasz tételével kiszámíthatjuk a befogókat Szögfüggvény segítségével számíthatjuk ki a szögeket 8 R + $ 5, egység a háomszög köé íható kö sugaa Például szögfüggvény segítségével kaphatjuk, hogy BC R Számítsuk ki a beít kö sugaát, amely egység lesz! Vegyük figyelembe, hogy a B-bôl a C-felé induló éintôszakasz hosszát például szögfüggvénnyel megkaphatjuk, hiszen a beít kö középpontja ajta van a szögfelezôkön Ehhez hozzáadva a beít kö sugaának hosszát, megkapjuk a BC távolságot, vagyis R hosszát 87 a 5 cm, b cm a befogók hossza, illetve fodítva a, és b 7,8, a hegyesszögek, illetve fodítva Pitagoasz tételének segítségével kaphatunk egy egyenletet Ha alkalmazzuk a köhöz külsô pontból húzott éintôszakaszok tételét, akko ebbôl kaphatjuk, hogy az átfogó hossza egyenlô a - cm és b - cm összegével Ebbôl nyetük a második egyenletet Oldjuk meg az egyenletendszet, amely másodfokú egyenlete vezet! Ebbôl kaphatjuk a befogókat Szögfüggvény segítségével számíthatjuk ki a szögeket 88 c 0 cm az átfogó hossza a cm és b cm a befogók hossza, illetve fodítva a,87 és b 5,, a hegyesszögek, illetve fodítva Vegyük észe, hogy c $ R! Miét? Alkalmazzuk Pitagoasz tételét és a köhöz húzott éintôszakaszok tételét! Ebbôl két egyenletet kapunk a két befogóa Megoldva az egyenletendszet amely egy másodfokú egyenlete vezet, megkaphatjuk a befogókat Szögfüggvénnyel megkaphatjuk a szögeket 89 a, és b 7,8 a hegyesszögek, vagy fodítva Készítsünk egy olyan deékszögû háomszöget, amelynek beít köének sugaa egység és a köülít kö sugaa pedig egység! Ez hasonló háomszög ahhoz, mint ami a feladatban szeepel Ezután például úgy oldhatjuk meg a feladatot, mint az elôzôt 90, cm a négyszög ismeetlen oldala Bocsássunk meôlegest a,5 cm-es szakasz megfelelô végpontjából a 5 cm-es oldala! Ezt szögfüggvénnyel kiszámíthatjuk A,5 cm-es oldal meôleges vetületét a 5 cm-es oldala szintén szögfüggvénnyel számíthatjuk A,7 cm-es oldal megfelelô végpontjából húzzunk páhuzamost a 5 cm-es oldallal! Így kaptunk egy olyan deékszögû háomszöget is, amelynek átfogója az ismeetlen oldal Ee a háomszöge alkalmazzuk Pitagoasz tételét!

20 8 Hegyesszögû tigonometiai alapfeladatok 9 9, cm és y 9, cm az ismeetlen oldalak hossza Elôszö számítsuk ki a + a étékét a + a 80 -,, majd az a étékét szögfüggvénnyel, és ebbôl kapjuk a étékét Pitagoasz tételével kaphatjuk e-t Az és y az e és a ismeetében szögfüggvénnyel számolható 9 a 9,8 cm és c, cm az alapok hossza A övidebbik alap két végpontjából húzzuk meg a tapéz magasságait! A száak meôleges vetületeit a nagyobbik alapa, szögfüggvénnyel számíthatjuk ki Számítsuk ki a magasságot! Állítsunk fel egy egyenletet az alapoka! Majd íjunk fel egy egyenletet a teülete! Oldjuk meg az egyenletendszet! 9 eset: A szimmetikus tapéz esete a 5, cm és c,57 cm az alapok hossza, a 7,9 és b 08,8 Húzzuk meg a tapéz egyik átlóját! Alkalmazzunk szögfüggvényt, illetve Pitagoasz tételét! eset: A paalelogamma esete a c 5, cm az alapok hossza, a szögek ugyanazok, mint az elsô esetben 9,9 cm az ismeetlen oldal, 0,, illetve 7,8 az ismeetlen szögek Állítsunk meôlegest a 8 cm-es, illetve a 7 cm-es oldal megfelelô végpontjából a cm-es oldala! Ekko a 8, illetve a 7 cm-es oldalak cm-es oldala való meôleges vetületei alkalmas szögfüggvényekkel számolhatók, valamint a vetítô szakaszok hosszai is számolhatók A 7 cm-es oldal megfelelô végpontjából meôlegest állítunk a 8 cm-es oldalt vetítô egyenese, s így kapunk egy deékszögû háomszöget, amelybôl az ismeetlen oldal számítható 95, cm,,8 cm,,97 cm, illetve 8,9 cm a négyszög ismeetlen oldalai Húzzuk meg az AC átlót! Állítsunk meôlegest C-bôl AB-e és állítsunk meôlegest D-bôl az AC átlóa! A keletkezô megfelelô deékszögû háomszögeke alkalmazzunk megfelelô szögfüggvényeket, majd Pitagoasz tételét! Tigonometikus kifejezések 9 a) sin a; b) cos a; c) 97 a) ctg a; b) cos a; c) - tg a 98 a) 0; b) $ sin b; c) - ctg a 99 a) sin a; b) ; c) sin a 700 a) cos a ; tg a ; ctg a b) cos a ; tg a ; ctg a 5 c) cos a $ ; tg a t ; ctg a d) cos a ; tg a + t t ; ctg a $ 5 5 e) sin a ; tg a ; ctg a f) sin a ; tg a ; ctg a $ 5 g) sin a ; tg a ; ctg a h) sin a ; cos a ; ctg a i) sin a ; cos a ; ctg a j) sin a ; cos a ; ctg a 5 5

21 Vegyes, illetve összetettebb hegyesszögû tigonometiai feladatok 87 k) sin a ; cos a ; tg a l) sin a ; cos a ; tg a 7 $ 7 m) sin a ; cos a ; tg a tg a 5 70 a) ; b) 70 a) ; b) ; c) 70 a) ; b) sin a 705 a) Végezzük el a bal oldalon a szozásokat és a jobb oldalon a négyzete emelést! b) Szoozzunk be a nevezôkkel! 70 Alakítsuk szozattá a bal oldal számlálóját, másészt vegyük figyelembe, hogy sin a + + cos a cos a - sin a (cos a - sin a) (cos a + cos a $ sin a + sin a) 707 Végezzük el a bal oldalon a kijelölt mûveleteket! 708 Végezzük el a bal oldalon a kijelölt mûveleteket! 709 Végezzük el a bal oldalon a kijelölt mûveleteket, majd alkalmazzuk a tangens definícióját, és hozzunk közös nevezôe 70 a) és b) használjuk a definíciókat és hozzunk közös nevezôe! 7 a) ; b) ; c) ; d) 7 sin a 7 a) - ctg a; b) cos ; c) tg ; d) 7 A bal oldal számlálójában is és nevezôjében is hozzunk közös nevezôe! 75 a) Emeljük köbe a sin + cos egyenlôséget! b) - Használjuk fel az elôzô feladat eedményét és a sin + cos négyzete emelésével kapott eedményt! 7 a) m - Emeljük négyzete a tg + ctg m egyenletet! b) m - $ m Alakítsuk szozattá a tg + ctg kifejezést! 77 A kifejezés pontos étéke Vegyük figyelembe, hogy sin 75 cos (90-75 ), másészt cos 75 sin (90-75 ), alkalmazzuk még a kotangens definícióját Majd végezzük el a mûveleteket! 78 A kifejezés pontos étéke Vegyük figyelembe, hogy sin 5 cos 7, másészt sin 7 cos 7! Miét? $ 79 A kifejezés pontos étéke Vegyük figyelembe, hogy sin cos és 7 $ cos sin! Miét? 7 70 A kifejezés pontos étéke Vegyük figyelembe, hogy sin (5 - a) cos (a + 5 ) és cos (0 + a) sin (0 - a)! Miét? Szögfüggvények általánosítása 7 a) sin a; b) - cos a; c) - tg a; d) - ctg a 7 a) - sin a; b) - cos a; c) tg a; d) - ctg a; e) - sin a; f) cos a; g) tg a; h) ctg a 7 a) cos a; b) sin a; c) cos a; d) - sin a; e) sin a; f) - tg a; g) ctg a; h) - ctg a; i) tg a; j) - cos a 7 a) ; - ; - ; - ; - ; b) - ; - ; ; ; - ; - c) -; ; -; -; ; - d) - ; ; - ; - ; ; 75 Mindegyik észfeladat eedménye 0 7 a) - ; b) - ; c) - ; d) ; e) - ; f) -

22 88 Tigonometikus függvények gafikonjai 77 A kifejezés pontos étéke 78 Mindegyik észfeladat eedménye 0 79 Mindegyik észfeladat eedménye 0 70 a) - ; b) ; c) 7 Vegyük figyelembe, hogy a szinuszfüggvény peiódusa 0, másészt sin (80 + a) -sin a! 7 A kifejezés pontos étéke -8 Vegyük figyelembe, hogy a tangensfüggvény peiódusa 00 $ $, másészt tg (- a) tg a! Ezeket alkalmazva igazolhatjuk, hogy tg tg, $ J N J N másészt tg tg - tg - tg K O K O L P L P 7 A kifejezés pontos étéke Vegyük figyelembe, hogy a koszinuszfüggvény peiódusa $, másészt a tangensfüggvény peiódusa Ezt felhasználva mutassuk meg, hogy a négyzete emelendô töt számlálója cos, míg a nevezôje tg Az utóbbi pedig egyenlô $ tg J- N K O -mal! Folytassuk! L P J N 7 a) Végeedmény: Vegyük figyelembe, hogy cos ( + ) -cos és cos + K O L P -sin! b) Végeedmény: Vegyük figyelembe, hogy sin (80 - ) sin és sin (70 - ) sin ( ) -sin ( + 90 )! 75 a) Végeedmény: Vegyük figyelembe, hogy az elsô szozat mindkét tényezôje - sin, míg a második szozat mindkét tényezôje cos! b) Végeedmény: Igazoljuk, hogy az elsô szozat mindkét tényezôje sin, míg a második szozat elsô tényezôje cos, a második tényezôje - cos! 7 a) ctg a; b) - cos a; c) - cos a 77 ctg a - ; cos a - ; sin a Végeedmény: sin $ cos Mutassuk meg, hogy + tg, másészt 5 cos tg sin $ cos! + tg 79 Használjuk fel, hogy + ctg, ezután a négyzetgyök alatt alakítsunk ki teljes négyzetet! Gondoljuk meg, hogy a feltételek miatt + ctg a --ctg a! sin 70 A kifejezés pontos étéke: 0 Használjuk fel, hogy tg (80 - a) -tg a, ezét tg 77 -tg Hasonló módon ctg 57 -ctg Tigonometikus függvények gafikonjai 7 a) Vegyük figyelembe: sin ( - ) sin! b) Gondoljuk meg: cos (- ) cos! 7 a) (7/I) b) (7/II) 7 a) Gondoljuk meg, hogy tg (- ) -tg, ezét tüközzük a tg függvény gafikonját az tengelye b) Vegyük figyelembe, hogy ctg (- ) -ctg, ezét tüközzük a ctg függvény gafikonját az tengelye

23 Tigonometikus függvények gafikonjai 89 7/I 7/II 7 a) (7/I) b) (7/II) 75 a) Vegyük észe, hogy f () minden valós - e! b) Gondoljuk meg, hogy g() (sin + cos ) 7 a) Igazoljuk, hogy f () 0 b) Igazoljuk, hogy g() 0 77 a) Vegyük figyelembe, hogy f () -cos b) Gondoljuk meg, hogy g() cos 78 a) Vegyük észe, hogy f () -sin b) Vegyük figyelembe, hogy g() sin 79 a) A tg függvény gafikonját toljuk el -vel az tengely iányában a pozitív iányba b) A tg függvény gafikonját toljuk el -vel az tengely iányában a negatív iányba 750 a) A ctg függvény gafikonját toljuk el -vel az tengely iányában a negatív iányba! b) A ctg függvény gafikonját toljuk el -vel az tengely iányában a pozitív iányba! 75 a) f () tg ; b) g() tg 75 a) Igazoljuk, hogy f () 0 b) Igazoljuk, hogy g() $ sin 75 a) Gondoljuk meg, hogy f () $ sin, ha sin $ 0 és f () 0, ha sin < 0! b) Vegyük figyelembe, hogy g() $ cos, ha cos $ 0 és g() 0, ha cos <0! 75 a) Vegyük észe, hogy f () - $ sin, ha sin <0 és f () 0, ha sin $ 0! b) Vegyük figyelembe, hogy g() 0, ha cos $ 0 és g() - $ cos, ha cos <0! 755 a) Gondoljuk meg, hogy f (), ha sin >0 és f () -, ha sin < 0 b) Figyeljük meg, hogy g(), ha cos >0 és g() -, ha cos <0 75 Lásd az ábát! 7/I 7/II 75

24 90 Tigonometikus függvények gafikonjai Lásd az ábákat!

25 Tigonometikus függvények gafikonjai a) (78/I); b) (78/II); c) (78/III) 79 a) (79/I); b) (79/II); c) (79/III) Lásd az ábákat! 75 78/II 78/III 7 79/I 77 79/II 79/III 78/I

26 9 Tigonometikus függvények gafikonjai 770 a) (770/I); b) (770/II); c) (770/III) 77 a) (77/I); b) (77/II) 77 a) (77/I); b) (77/II) 77 a) (77/I); b) (77/II) 77 Lásd az ábákat! 770/I 77/I 770/II 77/II 770/III 77/I 77/II 77/I 77/II 77

27 Tigonometikus függvények gafikonjai a) (77/I); b) (77/II) Lásd az ábákat! /I 77/II

28 9 Tigonometikus egyenletek I ész Tigonometikus egyenletek I ész Bevezetô feladatok A következôkben k, illetve az m tetszôleges egész számokat jelent 5 $ 777 a) + k$ $ ; + m$ $ ( 0 + k $ 0 ; 50 + m $ 0 ) $ b) + k$ $ ; + m$ $ ( 0 + k $ 0 ; 0 + m $ 0 ) 7 $ c) - + k$ $ ; + m$ $ ( -0 + k $ 0 ; 0 + m $ 0 ) $ d) - + k$ $ ; + m$ $ ( -0 + k $ 0 ; 0 + m $ 0 ) $ e) + k$ $ ; ( 90 + k $ 0 ) f) - + k$ $ ; + + m $ $ ( k $ 0 ; 70 + m $ 0 ) (A két megoldás megegyezik) $ g) + k$ $ ; + m$ $ ( 5 + k $ 0 ; 5 + m $ 0 ) 5 $ h) - + k$ $ ; + m$ $ ( -5 + k $ 0 ; 5 + m $ 0 ) i) 0 + k $ $ ; + m $ $ ( k $ 0 ; 80 + m $ 0 ) A két megoldássoozatot össze lehet vonni a következôbe: n $, ahol n tetszôleges egész szám j) Nincs megoldás a valós számok halmazán k) á 0,97 + k $ $ ; á, + m $ $ ( á 5, + k $ 0 ; á,87 + m $ 0 ) l) Nincs megoldás a valós számok halmazán 778 a) + k$ $ ; - + m$ $ ( 0 + k $ 0 ; -0 + m $ 0 ) $ $ b) + k$ $ ; - + m$ $ ( 0 + k $ 0 ; -0 + m $ 0 ) c) + k$ $ ; - + m$ $ ( 0 + k $ 0 ; -0 + m $ 0 ) 5 $ 5 $ d) + k$ $ ; - + m$ $ ( 50 + k $ 0 ; m $ 0 ) e) + k$ $ ; - + m$ $ ( 5 + k $ 0 ; -5 + m $ 0 ) $ $ f) + k$ $ ; - + m$ $ ( 5 + k $ 0 ; -5 + m $ 0 ) g) 0 + k $ $ ; ( k $ 0 ) h) ( + k $ $ ; - + m $ $ ) (A két megoldás ugyanaz) i) Nincs megoldás a valós számok halmazán j) + k$ $ ; - + m$ $ ( 90 + k $ 0 ; m $ 0 ) A két megoldást összefoglalhatjuk a következôbe: + n$, ahol n tetszôleges egész szám k) Nincs megoldás a valós

29 Alapvetô feladatok 95 számok halmazán l) á,09 + k $ $ ; á -,09 + m $ $ ( á 70,5 + k $ 0 ; á - 70,5 + m $ 0 ) 779 a) + k$ ( 5 + k $ 80 ) b) - + k$ ( -5 + k $ 80 ) c) 0 + k$ k$ ( k $ 80 ) d) + k$ ( 0 + k $ 80 ) e) - + k$ ( -0 + k $ 80 ) f) + k$ ( 0 + k $ 80 ) g) - + k$ ( -0 + k $ 80 ) h), 85 + k$ ( á,95 + k $ 80 ) 780 a) + k$ ( 5 + k $ 80 ) b) + k$ ( 0 + k $ 80 ) c) + + k $ ( 0 + k $ 80 ) d) 0, k$ ( á 8,98 + k $ 80 ) Alapvetô feladatok A következôkben k, l, m, n tetszôleges egész számokat jelentenek $ $ 78 a) + k$ $ ; - + l$ $ ; + m$ $ ; - + n$ $ $ 5 $ b) + k$ $ ; + l$ $ ; - + m$ $ ; + n$ $ c) + k$ ; - + l$ d) + k$ ; - + l$ 78 a) + k$ ; - + l$ b) + k$ ; + l$ c) + k$ d) + k$ 8 78 a) + k$ ; - + l$ ( 5 + k $ 80 ); ( -5 + l $ 80 ) $ $ b) + k$ ; - + l$ 9 7 $ $ $ $ 78 a) + k$ b) k$ ; + l$ $ 785 a) + k$ b) + k$ 78 a) + k$ ; l - + b) + k $ ; + l $ $ $ $ 787 a) - + k$ ; + l$ b) + k$ ; + l$ ; 9 $ $ $ + m$ ; + n$ 9 5 $ 788 a) - + k$ ; - + l$ b) + k$ ; + l$ 789 a) eset: + + k $ $, ebbôl k $ $ eset: + + l $ $, ebbôl

30 9 Tigonometikus egyenletek I ész $ $ $ + m$ b) k$ ; + l$ 5 5 $ $ 790 a) k$ ; + l$ b) + k$ ; - + l$ a) eset: + k $ $, ebbôl k $ $ eset: + l $ $, ebbôl $ l$ b) k$ ; l $ 79 a) k$ ; l 50 $ b) + k$ ; - + l$ a) + k $, ebbôl k $ Meg kell vizsgálni, hogy a tangensek nevezôi miko nem nullák Ha ezt megtesszük, akko azt kapjuk, hogy a kizát valós számok nem esnek bele az elôbb megadott megoldásjelöltbe, ezét az valóban megoldás Behelyettesítéssel is ellenôizhetjük, hogy kielégíti az egyenletet b) k$ megoldásjelöltet kapjuk, ha megoldjuk az egyenletet De ezen soozat nem minden eleme megoldás Ha a tangensek nevezôit megvizsgáljuk, miszeint azok nem lehetnek nullák, akko azt kapjuk, hogy csak a következô észsoozatai megoldások az elôbb kapott megoldásjelöltnek: l$ ; + m$ ; $ + n$ 79 a) + k$ b) + k$ a) k $ megoldásjelöltet kapjuk, ha megoldjuk az egyenletet Ámde, ha megvizsgáluk a kotangensek nevezôit, miszeint azok nem lehetnek nullák, akko azt kapjuk, hogy a megoldásjelölt számok esetén nulla lenne a nevezô Ez nem lehet, ezét az egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán b) k$ megoldásjelöltet kapunk, de ha megvizsgáljuk a kotangensek nevezôit, miszeint azok nem lehetnek nullák, akko azt kapjuk, hogy csak $ a következô észsoozatok a megoldások: + l$ ; + m$ $ $ 79 a) sin sin (-), ezt pedig megoldva: k$ ; + l$ 5 b) k$ ; l + $ $ $ 7 $ 797 a) k$ ; l + $ b) + k$ ; - + l$ a) eset: - + k $ $, ebbôl + k $ $ eset: + + l $ $, $ ebbôl + l$ b) + k$ ; + l$ 8 7 $ $ $ 799 a) + k$ ; + l$ b) k $ ; + l$ 800 a) k$ a megoldásjelölt, de ebbôl csak a következô észsoozatok a megoldások: $ l$ ; + m$ ; + n$ b) k$ a megoldásjelölt, de ebbôl csak a

31 Alapvetô feladatok 97 $ következô észsoozatok a megoldások: + l$ ; + m$ J 80 a) Vegyük figyelembe, hogy cos sin + N K ; O ezt felhasználva, átíhatjuk az egyenletet a következô alakba: sin sin + N K L P J, O ez pedig má koábban tágyalt típusú A megoldások: + k$ $ ; + l$ b) + k$ ; + l$ L P $ 8 $ 80 a) + k$ ; + l$ b) + k$ ; - + l$ a) - + k$ ; + l$ b) - + k $ ; - - l$ m $, ahol m- l vagy + k $ 5 $ 80 a) - + k$ ; - + l$ 8 $ b) -k$ ; - -l$ $ a) Rendezzük nulláa az egyenletet, ezután alakítsuk szozattá! Használjuk fel, hogy egy szozat akko és csak akko nulla, ha legalább az egyik tényezôje nulla! sin $ ( sin - ) 0 k$ ; + l$ $ b) + k$ ; l$ $ ; + m$ $ (Összefoglalhatjuk a következô egyenletbe: n$, ahol n tetszôleges egész szám) 80 a) + k$ ; + l$ $, összefoglalva: + m$ b) k$ ; l$ $, összefoglalva: m$ 807 a) k$ ; + l$ $ ; - + m$ $ b) + k$ ; 5 $ + l$ $ ; + m$ $ 808 a) + k$ $ ; - + l$ $ b) k$ ; + l$ $ ; - + m$ $ 809 a) + k$ ; - + l$ ; b) + k$ ; - + l$ 80 a) + k$ b) - + k$ 8 a), 07 + k$, (, + k$ 80 ) b) + k$ 8 a) + k$ ; - + l$ b) + k$ ; - + l$ $ $ 9 $ 8 a) - + k$ $ ; + l$ $ ; + m$ $ ; $ + n $ $ b) + k$ $ ; + l$ $ A sin -bôl nincs valós megoldás

32 98 Tigonometikus egyenletek I ész 8 a) + k$ $ ; á - 0,98 + l $ $ ; á,8 + m $ $ ( 90 + k $ 0 ; á - 9,7 + l $ 0 ; á 99,7 + m $ 0 ) b) á 0,995 + k $ $ ; á,7 + + l $ $ ; á - 0,08 + m $ $ ; á,8 + n $ $ ( á 5,98 + k $ 0 ; á,0 + + l $ 0 ; á -,80 + m $ 0 ; 9,80 + n $ 0 ) 85 a) 0 + k $ $ b) k $ ; á 0,05 + l $ ; á - 0,05 + m $ 8 a) + k$ ; á,90 + l $ b) + k$ ; + l$ $ 87 a) + k$ b) + k$ ; - + l$ $ 88 a) + k$ ; - + l$ b) + k$ ; - + l$ ; + m$ ; - + n$ 5 $ 89 a) + k$ b) + k$ $ ; + l$ $ ; - + m$ $ ; 7 $ + n$ $ 80 a) + k$ $ ; - + l$ $ cos -bôl nem kapunk megoldást b) + k $ $ ; + l$ $ ; - + m$ $ $ 8 a) k $ ; + l$ $ b) + k$ ; 0 + l $ $ 5 $ 8 a) + k $ $ ; + l$ $ b) + k$ $ ; + l$ $ sin --bôl nem kapunk megoldást 5 $ 8 a) + k$ $ ; + l$ $ J N b) + k$ ; á -,07 + k $ ( á -, + k $ 80 ) + tg K L cos O Alakítsuk át az egyenletet például a következô alakúa: tg + tg - 0! P $ $ 8 a) + k$ $ ; + l$ $ ; - + m$ $ ; + n$ $ $ $ Rövidebben: + k$ ; - + l$ b) + k$ $ ; - + l$ $ ; á,09 + m $ $ ; á -,09 + n $ $ 85 a) Az egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán + cos! 0& & cos! - &! + k$ ; cos 0 & + k$ ; ellentmondás b) + k$ $ 8 a) + k$ b) Nincs megoldása a valós számok halmazán 87 a) Nincs megoldása a valós számok halmazán b) - + k$ 5 $ 5 $ 88 a) + k$ $ ; + l$ $ b) + k$ $ ; + l$ $

33 Összetettebb feladatok a) + k$ $ ; - + l$ $ cos -bôl nincs megoldás b) + k$ 80 Azonosság, tehát minden valós szám megoldása az egyenletnek Egyészt emeljük négyzete a sin + cos azonosságot, másészt emeljük az elôzô azonosságot hamadik hatványa és a kapott eedményeket használjuk fel 7 $ 8 + k$ $ ; - + l$ $ ; + m$ $ 8 0 Vázoljuk az f () cos és a g() + függvény gafikonját közös koodinátaendszeben! 8 Nincs megoldás a valós számok halmazán Vázoljuk az f () sin és a g() -(-) függvény gafikonját közös koodináta-endszeben! $ 8 + k$ $ ; y + l$ Alakítsunk ki teljes négyzetet az -es tagokból, az y-os tag má teljes négyzet 85 { ; y k $ $ }, { ; y + l $ } Hozzuk a következô alaka: - $ $ cos y + 0 Tekintsük ezt -e másodfokú egyenletnek! Ennek akko és csak akko van valós megoldása, ha a diszkiminánsa nemnegatív Összetettebb feladatok 8 + k$ 87 + k$ ; + l$ 88 + k$ $ ; - + l$ $ 89 + k$ $ ; - + l$ $ $ 5 $ 80 + k$ $ ; + l$ $ ; - + m$ $ ; + n$ $ 8 á 0,0 + k $ ; á 0,78 + l $ Vezessünk be új változót, például: + tg y Ekko másodfokú egyenlete vezethetjük vissza az eedeti egyenletet - tg 8 á - 0,8 + k $ ; á - 0,5 + l $ Vegyük észe, hogy: - tg Így cos az egyenlet: tg + $ ctg tg - Különböztessünk meg két esetet, egyészt amiko 9 tg > 0, másészt amiko negatív (nulla nem lehet) 5 $ 8 + k$ ; + l$ $ ; - + m$ $ ; + n$ $ ; 5 $ 5- + p$ $ Itt k, l, m, n, p tetszôleges egész számok Vegyük észe, hogy cos ( - ) -cos

34 00 Tigonometikus egyenletek I ész 8 á,779 + k $ $ ; á -,779 + l $ $ Különböztessünk meg két esetet, egyészt amiko cos nemnegatív, másészt amiko negatív 85 k; l Alakítsuk át tangense a kotangenst! Ebbôl kapjuk, hogy $ cos ( $ $ ) + k$ Ebbôl következik, hogy cos ( $ $ ) (k 0 lehet csak) 8 ; - ; - 5, + 5, ; - 5, - 5, ; 5 $ $ k $, ebbôl 0 (k - ) $ + (k - 7) $ - + k Ennek a diszkiminánsa nemnegatív kell hogy legyen, ebbôl következik, hogy: 0 $ k + k - 5 Ezt oldjuk meg, majd vegyük figyelembe, hogy k egész! Ebbôl következik, hogy k lehetséges étékei -, 0, 87 + k + ; - k +, ahol k nemnegatív egész szám - + l + ; - - l +, ahol l nemnegatív egész szám 88 k$ + k $ + ; k$ - k $ + Itt k tetszôleges egész szám l$ + l $ - ; l$ - l $ - Itt l tetszôleges nem nulla egész szám A továbbiakban k, l, m, n, p, q,, s tetszôleges egész számokat jelent 89 + k$ ; á,07 + l $ Osszuk el az egyenletet cos -szel, amiko ez nem nulla! Ezzel tg -e másodfokú egyenletet kapunk k$ ; á 0, + l $ Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot 85 á 0,9 + k $ ; á -,99 + l $ Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot, ha elôbb felhasználjuk, hogy sin + cos 85 á,059 + k $ ; á - 0,77 + l $ Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot 85 + k$ ; á - 0,50 + l $ 85 + k$ ; á -,07 + l $ Szoozzunk be a nevezôvel, ezután olyan típusú lesz, mint az elôzô feladatokban megoldottak! k$ ; á,89 + l $ ; á,90 + m $ 85 + k$ ; - + l$ ; + m$ ; - + n$ 5 $ k$ $ ; - + l$ $ ; + m$ $ ; 5 $ $ - + n$ $ ; 5 + p$ $ ; - + q$ $ ; 7 + $ $ ; $ 8- + s$ $ Emeljük hamadik hatványa a sin + cos azonosságot! Ezt felhasználva elôbb-utóbb cos -e negyedfokú egyenletet kapunk, amely másodfokú egyenlete vezethetô vissza (Lehet sin -e negyedfokú is az egyenlet)

35 Összetettebb feladatok 0 $ k$ ; + l$ ; - + m$ Osszuk el az egyenletet a nem 8 8 nulla cos -szel! Majd vegyük figyelembe, hogy ( + tg ), ezt felhasználva kapjuk, cos hogy: tg - $ tg + $ tg - 0; ezt alkalmas módon alakítsuk szozattá Azt kapjuk, hogy (tg - ) $ (tg - $ tg - ) k$ ; + l$ Szoozzunk a nevezôvel, a sin -et alakítsuk át cos -e, majd endezzük nulláa az egyenletet, ezután alakítsuk szozattá! $ $ 80 + k$ ; + l$ $ ; - + m$ $ Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot $ 8 k $ ; + l$ $ ; + m$ $ Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot, csak most a cos -et alakítjuk át sin segítségével 8 á -0,8 + k $ A jobb oldalon emeljünk ki sin -et, vegyük észe amit ezután észe kell venni Majd az egyenletet tangense alakíthatjuk át, ha cos -szel osztunk 8 k $ ; + l$ $ Rendezzünk nulláa, majd alakítsuk szozattá az egyenletet! 8 k $ $ ; + l$ Alakítsuk át a tangenst, szoozzunk koszinusszal, endezzük nulláa az egyenletet, majd alakítsuk szozattá! 85 + k$ ; + l $ $ Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot 8 + k$ $ ; l $ $ Rendezzük nulláa az egyenletet, majd alakítsuk szozattá, például úgy, hogy (sin - )-et kiemelünk 87 + k $ $ ; + l$ $ Rendezzük nulláa az egyenletet és alakítsuk szozattá úgy, hogy ( + cos )-et emeljünk ki! 5 $ k$ ; + l$ $ ; + m$ $ Alakítsuk át a kotangenst, szoozzunk szinusszal, majd endezzük nulláa az egyenletet! Ezután alakítsuk szozattá, például úgy, hogy kiemeljük a (sin + cos )-et $ $ 89 + k$ $ ; - + l$ $ Alakítsuk át a tangenst, szoozzunk a nevezôkkel, egyszeûsítsünk, majd a nulláa endezett egyenletet alakítsuk szozattá! 870 l k$; + l$ $ ; - + m$ $ ; + n$ $ ; 5 $ 5 + p$ $ Az elsô két tagból emeljünk ki $ sin -et, ezután láthatjuk, hogy szozattá J N alakíthatjuk a bal oldalt, ha sin - $ tg K O -et kiemelünk L P k$ ; + l$ ; - + m$ Rendezzük nulláa az egyenletet Az elsô két tagból emeljünk ki tg -et, a második két tagból emeljünk ki (-)-at! Ezután láthatjuk, hogy a bal oldalt szozattá alakíthatjuk

36 0 Tigonometikus egyenlôtlenségek I ész 87 Nincs megoldása az egyenletnek a valós számok halmazán Hozzuk az egyenletet a következô alaka: tg $ (tg + ) + (tg - ) 0 Ez akko és csak akko igaz, ha az egyes tagok külön-külön nullák $ $ $ 87 k$ $ ; + l$ $ ; - + m$ $ ; + n$ $ ; 5 $ $ $ 5- + p$ $ ; + q$ $ ; 7- + $ $ Az elsô két tagból emeljük ki a cos -et Ezután láthatjuk, hogy szozattá alakíthatjuk az egyenletet, ha kiemelünk (cos - )-et: ( cos - ) $ `8$ cos $ ( cos + ) - j 0 A második tényezô további szozattá alakítása: 8 $ cos + 8 $ cos - (8 $ cos + ) + 8 $ cos - J N J N 8 $ cos $ K cos - O K O L P L P J N J N J N J N 8 $ cos + $ cos - cos $ $ K cos - $ cos + O K O K O K O Folytassuk! L P L P L P L P k$ Alakítsuk át a kotangenst és a tangenst a definícióikat használva! Emeljünk ki a bal oldalon (sin + cos )-et! Majd ugyanezt végezzük el a jobb oldalon is, ezután endezzük nulláa az egyenletet és alakítsuk szozattá! 875 á,75 + k $ $ ; l $ $ Alakítsuk át a sin -et cos segítségével! Majd endezzük nulláa az egyenletet és alakítsuk szozattá! cos + sin cos - sin, bcos - sin lbcos + sin l- bcos + sin l 0 A tigonometikus egyenlôtlenségek megoldásánál célszeû felvázolni a megfelelô függvény gafikonját, vagy alkalmazni a szögfüggvény egységköös definícióját Tigonometikus egyenlôtlenségek I ész Bevezetô feladatok 87 a) 0 + k $ $ # # + k $ $ b) - + k$ $ # # + k$ $ c) 0 + k$ # < + k$ d) 0 + k$ < # + k$ $ 877 a) + k $ $ < <$ + k $ $ b) + k$ $ < < + k$ $ c) - + k$ < < 0 + k$ d) + k$ < < + k$ 5 $ 878 a) - + k$ $ < < + k$ $ b) + k$ $ # # + k$ $ 5 $ c) + k$ $ # # + k$ $ d) 0+ k$ $ < < + k$ $ ; 5 $ 5 $ $ + k$ $ < < $ + k$ $ Másképpen: + k$ $ < < + k$ $

37 Alapvetô feladatok 0 $ 879 a) + k$ $ # # + k$ $ b) 0+ k$ $ # < + k$ $ ; $ $ 7 $ + k$ $ < # $ + k$ $ Rövidebben: + k$ $ < < + k$ $ $ c) + k$ $ # # + k$ $ d) 0+ k$ $ < < + k$ $ ; $ + k$ $ < < + k$ $ Rövidebben: - + k$ $ < < + k$ $ $ 880 a) + k$ $ # # + k$ $ b) 0+ k$ $ < < + k$ $ ; $ $ 9 $ + k$ $ < < $ + k$ $ vagy + k$ $ < < + k$ $ 7 $ c) 0+ k$ $ # # + k$ $ ; + k$ $ # # $ + k$ $ vagy 7 $ - + k$ $ # # + k$ $ d) + k$ $ < < + k$ $ 88 a) 0 + k$ # < + k$ b) - + k$ < # + k$ c) + k$ < < + k$ d) - + k$ < < + k$ 88 a) + k$ < < + k$ b) 0 + k$ < # + k$ c) 0 + k$ < < + k$ d) 0 + k$ < # + k$ Alapvetô feladatok $ 88 a) k $ $ b) + k$ $ c) Nincs megoldása a valós számok halmazán d) Nincs megoldása a valós számok halmazán $ 88 a) + k$ $ # # + k b) + k$ < < + k$ 8 8 c) k$ < # + k$ d) - + k $ < # - + k $ $ 7 $ 885 a) - + k$ $ < < + k$ $ b) + k$ < < + k$ 8 8 $ $ 5 $ 88 a) + k$ # # + k$ b) + k$ # # + k$ 887 a) - + k$ # # + k$ b) + k$ < < + k$ ; - + k$ < < - + k$ 888 a) 0 + k $ $ # # + k $ $ Alakítsuk át az egyenletet: sin sin, ebbôl következik, hogy sin $ 0 b) + k $ $ < # $ + k $ $ Az egyenlet átalakítása és a következtetés után: sin # 0 c) - + k$ < # 0 + k$

38 0 Tigonometikus egyenlôtlenségek I ész 889 a) Minden valós száma ételmezett a kifejezés, tehát az ételmezési tatomány a valós számok halmaza b) + k$ c) k $ d) + k$ $ $ $ 890 a) + k$ # # + k$ b) k$ ; k $ + l $ c) k # # + k d) - + k # # + k 89 a) Y k $ b) Y + k$ c) Y, (ahol k! ) d) Y, (ahol k! ) k + k 89 a) Minden valós száma ételmezett, tehát a valós számok halmaza az ételmezési tatomány b) k c) k + ; + l d) k - + $ # # + k $ 89 a) + k $ $ # # $ + k $ $ b) + k$ # < + k$ c) 0 + k$ < # + k$ d) k; l + Összetettebb feladatok 5 $ 5 $ 89 a) + k$ $ # # + k$ $ b) Nincs megoldása az egyenlôtlenségendszenek a valós számok halmazán 5 $ c) + k$ $ < # + k$ $ ; + k$ $ # # $ + k$ $ 5 $ 7 $ 895 a) + k$ $ # # + k$ $ ; + k$ $ < # + k$ $ $ b) 0 + k$ < # + k$ ; + k$ < < + k$ c) + k$ $ # # + k$ $ 89 a) + k$ $ ; + k $ $ # # $ + k $ $ Rendezzük nulláa az egyenlôtlenséget, majd alakítsuk szozattá! $ b) 0+ k$ $ < < + k$ $ ; + k$ $ < < $ + k$ $, vagy övidebben - + k$ $ < < + k$ $ c) 0 + k $ $ # # + k $ $ 5 $ 897 a) 0+ k$ $ # # + k$ $ ; + k$ $ # # $ + k$ $ ; másképpen $ - + k$ $ # # + k$ $ ; + k$ $ # # + k$ $ $ b) + k$ $ # # + k$ $ ; + k $ $ # # $ + k $ $

39 Összetettebb feladatok 05 $ c) + k$ $ < < + k$ $ ; + k $ $ < <$ + k $ $ 5 $ 898 a) 0+ k$ $ # # + k$ $ ; + k$ $ # # $ + k$ $ ; + k$ $ Oldjuk meg elôszö a sin -e másodfokú egyenlôtlenséget! 5 $ b) 0+ k$ $ # # + k$ $ ; + k$ $ # # $ + k$ $ $ $ 899 a) + k$ $ # # + k$ $ ; 0+ k$ $ # # + k$ $ ; 7 $ + k$ $ # # $ + k$ $ b) 0+ k$ $ # # + k$ $ ; $ 7 $ $ + k$ $ # # + k$ $ ; + k$ $ # # $ + k$ $ 7 $ $ 900 a) + k$ $ < < + k$ $ A cos -et alakítsuk át sin segítségével, majd ekko sin -e egy másodfokú egyenlôtlenséget kapunk, amelyet oldjunk meg! 5 $ b) + k$ $ < < + k$ $ 5 $ 90 a) + k$ $ # # + k$ $ ; - + k$ $ # # + k$ $ 5 $ b) 0+ k$ $ # # + k$ $ ; + k$ $ # # $ + k$ $ ; $ + k$ $ # # + k$ $ $ 5 $ $ 90 a) + k$ $ # # + k$ $ ; + k$ $ # # + k$ $ 5 $ 7 $ b) + k$ $ # # + k$ $ ; - + k$ $ # # + k$ $ $ 90 a) + k$ # # + k$ ; - + k$ # # + k$ $ $ b) 0 + k$ # # + k$ ; + k$ # # + k$ ; + k$ # # + k$ $ 90 a) - + k$ # # + k$ b) + k$ # # + k$ 905 a) 0 + k$ # < + k$ ; - + k$ < # - + k$ b) - + k$ < < + k$ $ 90 a) 0 + k $ $ # # + k $ $ b) + k$ $ < < + k$ $ c) 0 + k $ $ # # + k $ $ d) 0+ k$ $ # # + k$ $ ; $ + k$ $ # # $ + k$ $

40 0 Tigonometikus egyenlôtlenségek I ész $ 907 a) 0 + k $ $ # < + k $ $ b) + k$ $ < < + k$ $ $ $ c) + k$ $ < < + k$ $ d) 0+ k$ $ < < + k$ $ ; $ + k$ $ < < + k$ $ $ 908 a) + k$ $ # # + k$ $ ; 0+ k$ $ < < + k$ $ ; 5 $ + k$ $ < < $ + k$ $ b) 0+ k$ $ # # + k$ $ ; $ 7 $ + k$ $ # # $ + k$ $ ; + k$ $ < < + k$ $ $ $ 7 $ c) + k$ $ < # + k$ $ ; + k$ $ < # + k$ $ $ $ 5 $ d) + k$ $ < < + k$ $ ; + k$ $ < < + k$ $ $ 909 a) + k$ $ < < + k$ $ ; + k$ $ < < + k$ $ b) 0+ k$ $ < < + k$ $ ; + k$ $ < < + k$ $ c) 0+ k$ $ < < + k$ $ ; + k$ $ < < + k$ $ $ d) + k$ $ < < + k$ $ ; + k$ $ < < + k$ $ $ 90 a) 0+ k$ $ < < + k$ $ ; + k$ $ < < $ + k$ $ Használjuk a tangens definícióját, majd endezzük nulláa az egyenlôtlenséget! Ezután kapunk egy tötet, ha közös nevezôe hozunk 5 $ $ b) + k$ $ # < + k$ $ ; + k$ $ # < + k$ $ Hasonló módon jáhatunk el, mint az elôzô feladat megoldásánál c) + k $ $ < <$ + k $ $ 7 $ d) + k$ $ # < + k$ $ ; + k$ $ # < $ + k$ $ $ 9 a) 0+ k$ $ < < + k$ $ ; + k$ $ < < + k$ $ b) 0+ k$ $ # # + k$ $ ; + k$ $ < # + k$ $ ; $ 5 $ + k$ $ < # + k$ $ c) 0+ k$ $ < # + k$ $ ; $ + k$ $ < # + k$ $ d) + k$ $ < # + k$ $ ; $ $ + k$ $ # < $ + k$ $ ; + k$ $ # < + k$ $

41 Összetettebb feladatok 07 9 a) Az egyenlôtlenség minden valós száma fennáll Egyenlôség akko és csak akko, ha k $ $ b) 0+ k$ $ # < + k$ $ ; + k$ $ < # + k$ $ $ c) + k$ $ # < + k$ $ ; + k$ $ < # + k$ $ d) 0+ k$ $ < < + k$ $ ; + k$ $ < < + k$ $ e) + k$ $ # < + k$ $ ; 0+ k$ $ # # + k$ $ ; 5 $ $ 5 $ + k$ $ # # + k$ $ ; + k$ $ < # + k$ $ f) + k$ $ # < + k$ $ ; 0+ k$ $ # < + k$ $ ; $ 7 $ $ + k$ $ # # $ + k$ $ ; + k$ $ # < + k$ $ ; $ + k$ $ < # + k$ $ 9 - # # ; + k$ $ k$ < < + k$ A sin -et alakítsuk át cos segítségével! Az egyenlôtlenséget alakítsuk át a következô alaka: 0< $ cos + $ cos - E cos -e másodfokú egyenlôtlenség megoldásából cos > egyenlôtlenséget kapjuk 5 $ k$ $ < < + k$ $ ; + k$ $ < < + k$ $ Alkalmazzuk a tangens definícióját, majd alakítsuk át az egyenlôtlenséget a következô alakúa: 0< $ sin + $ 8 $ sin + Oldjuk meg ezen sin -e másodfokú egyenlôtlenséget, azt kapjuk, hogy: - < sin $ 9 + k$ $ < < + k$ $ ;! + l$ $ Alakítsuk át az egyenlôtlenséget úgy, hogy sin -et alakítjuk át cos segítségével Azt kapjuk, hogy ( ) $ cos - # 0 cos 97 Y k$ Ha k$, akko sin + cos, tehát ezeke a számoka nem teljesül az egyenlôtlenség Ha Y k$, akko sin > sin és cos > cos, így sin + cos > sin + cos Az egyenlôtlenség k$ kivételével minden valós száma igaz 98 0 < # esetén > sin, ezét sin > sin $, másészt cos > cos Adjuk össze a két egyenlôtlenséget! 99 -cos - $ sin ( - sin ) + ( - ) $ sin > 0

42 08 Tigonometikus egyenlôtlenségek I ész Szélsôétékfeladatok 90 a) f ma 5, ma - + k $ $ ; f min -, min + l $ $ b) g ma, ma k $ $ ; g min -, min + l $ $ 9 a) f ma, ma k $ ; f min, min + l $ $, min - + m $ $ b) g ma, ma 0 + k $ $, ma + l $ $ ; g min -, min + m $ 9 a) f ma, ma k $ $, ma + l $ $ ; f min, min + m $ b) g ma, ma k $ ; g min, min + l $ $, min - + m $ $ c) h ma, ma + k $ ; h min, min l $ $, min - + m $ $ 9 f ma, ma k $ ; f min, min + l $ $, min - + m $ $ $ 9 f ma, ma + k $ $ ; f min -, min + l $ $ Ha felhasználjuk a sin + cos, azonosság négyzete emelésével kapott azonosságot, akko megmutathatjuk, hogy: f() sin 7 $ 95 f ma, ma á 0,880, 8 ma á,95; f min -, min J N 7 Alakítsunk ki teljes négyzetet! f () - $ sin - K + O A minimum a sin függvény 8 L P vizsgálatával kapható meg 7 9 f ma $ + 7, ma + k $ $ ; f min, min + l $ $, J N 7 min - + m $ $ Alakítsunk ki teljes négyzetet! f () $ cos - + K O L P 97 f min, min k $ Vegyük figyelembe, hogy: tg +, ezt felhasználva cos megmutathatjuk, hogy: f() $ tg + 98 f ma, ma k $ $ ; f min -, min + l $ $ Alkalmazzuk a számtani és + cos métani közép közötti egyenlôtlenséget -e és cos -e! $ $ cos cos, cos ebbôl mutassuk meg, hogy: - # # + cos 99 f min Alakítsuk át f-et a következô alakúa: f () 9 $ $ sin +! Ha ezen $ sin összeg két tagjáa alkalmazzuk a számtani és métani közép közötti egyenlôtlenséget, akko megkaphatjuk a minimális étéket

43 Alapvetô feladatok 09 A szinusztétel alkalmazása Bevezetô alapfeladatok 90 5,7 ;,9 a háomszög ismeetlen szögei,,89 cm a háomszög ismeetlen oldala 9, cm a háomszög ismeetlen oldala,,7 ; 5,8 a háomszög ismeetlen szögei 9 5, cm a háomszög ismeetlen oldala, 7, ; 7,9 a háomszög ismeetlen szögei 9 Ez a háomszög nem létezik 9 eset:,5 cm a háomszög ismeetlen oldala,,9 ; 0,09 a háomszög ismeetlen szögei eset:,5 cm a háomszög ismeetlen oldala, 7,09 ; 9,9 a háomszög ismeetlen szögei 95 8,5 cm; 9, cm a háomszög ismeetlen oldalai 9 cm; 9,7 cm a háomszög ismeetlen oldalai Alapvetô feladatok 97 Nem létezik ez a háomszög 98 eset: 7, ;,5 a háomszög ismeetlen szögei, 7,05 cm a háomszög ismeetlen oldala eset: 08,79 ; 8,9 a háomszög ismeetlen szögei,,5 cm a háomszög ismeetlen oldala 99 eset: 7 l; 08 l a háomszög ismeetlen szögei,, cm a háomszög ismeetlen oldala eset: 8l; 7l a háomszög ismeetlen szögei, 0,7 cm a háomszög ismeetlen oldala 90 eset: 85 8l; 5 50l a háomszög ismeetlen szögei,, cm a háomszög ismeetlen oldala eset: 9 l; l a háomszög ismeetlen szögei,, cm a háomszög ismeetlen oldala 9,9 cm; 5,0 cm; 5,79 cm a háomszög ismeetlen oldalai 9 0, cm; 8, cm; 7, cm a háomszög ismeetlen oldalai 9,8 cm;,97 cm; 5, cm a háomszög ismeetlen oldalai 9, cm;,5 cm; 7, cm a háomszög ismeetlen oldalai 95 Alkalmazzuk a háomszög oldalaia az a $ R $ sin a összefüggést! a$ b$ sinc 9 Alkalmazzuk a t képletet, és alkalmazzuk a szinusztételt az a és b oldalaka! 97 7,87 cm;, cm a paalelogamma oldalainak a hossza 98,9 cm; 8,87 cm a paalelogamma oldalainak a hossza 99 8, N;, N az összetevôk nagysága 950 l-es szöget bezáó iányban evezzünk a víz folyásiányához képest 95,7 cm;,05 cm;,7 cm hosszúságú észeke osztják az egyenesek a szöggel szemközti oldalt

44 0 A szinusztétel alkalmazása Összetettebb feladatok 95 cm; 5 cm; cm a háomszög oldalainak a hossza Alkalmazzuk a háomszög megfelelô teületképletét, ebbôl kapjuk, hogy a $ b á 95! Alkalmazzuk a szinusztételt a-a és b-e, majd oldjuk meg az egyenletendszet! 95 a cm; b 89 cm; c cm a háomszög oldalainak a hossza, b, ; c 7,9 a háomszög másik két szöge, illetve b á 8,8 és c 07, Alkalmazzuk a háomszög megfelelô teületképletét és a feltételi egyenletet! Ebbôl kapjuk a c szöget, majd ebbôl a b szöget Alkalmazzuk a szinusztételt a-a és b-e, ebbôl és a feltételi egyenletbôl kapjuk a-t és b-t Íjunk fel egy újabb szinusztételt c-e és például a-a, ebbôl kapjuk c-t 95 CD 9, cm; AC 5$ 7,07 cm; AD 5 cm A keületi szögek tételébôl következik, hogy az ADCs 5 Ebbôl következik, hogy CADs 05 Alkalmazzuk a szinusztétel következô változatát a $ R $ sin a, az ACD háomszög oldalaia! 955 8, cm; 8, cm a tapéz alapjai,,5 cm a tapéz száa 95 5, dm a tapéz száa,,5 dm a tapéz hosszabbik alapja,,0 dm a tapéz teülete 957 9, cm a tapéz száa,, cm a tapéz övidebbik alapja Toljuk el önmagával páhuzamosan a 7,5 cm-es száat úgy, hogy a övidebbik alap másik végpontjából induljon ki Ekko kaptunk egy olyan háomszöget, amelynek egyik oldala 7,5 cm, másik oldala b, hamadik oldala (8 cm - c) Gondoljuk meg, hogy ezen háomszögnek ismejük a szögeit Ezét két szinusztételt felíva megkaphatjuk a keesett oldalakat 958, cm a tapéz övidebbik alapja, 07, ; 0 l; 9 l a tapéz ismeetlen szögei Toljuk el önmagával páhuzamosan a 7, cm hosszú száat úgy, hogy az a övidebbik alap másik végpontjából induljon ki Ekko kaptunk egy alkalmas háomszöget, amelye alkalmazzuk a szinusztételt cm a tapéz másik száa, 78, cm a tapéz teülete Toljuk el a,5 cm hosszúságú száat önmagával páhuzamosan úgy, hogy a övidebbik alap másik végpontjából induljon ki! Ekko kaptunk egy megfelelô háomszöget, amelynek egy oldalát ismejük, és ismejük a szögeit 90, cm;,09 cm; 7, cm a háomszög oldalai, 5 0l; 85 5l a háomszög ismeetlen szögei Elôszö hatáozzuk meg a magasság és a szögfelezô hajlásszögét, az ezt tatalmazó deékszögû háomszögbôl Ennek segítségével megkaphatjuk az eedeti háomszög ismeetlen szögeit Ezután szinusztételekkel számíthatjuk a háomszög oldalait 9 9,57 cm; 9,85 cm;, cm;,7 cm a négyszög ismeetlen oldalai Alkalmazzuk a szinusztételt négysze, a két háomszöge, amelyek az ismet átló megajzolásával keletkeznek! 9,5 m messze van egymástól a két épület Hatáozzuk meg a PCA szöget, majd a PAC szöget! Ezután alkalmazzuk a szinusztételt a PCA háomszöge! Ekko megkapjuk az AC szakasz hosszát Majd számítsuk ki az ABC háomszög szögeit Ezután alkalmazzuk a szinusztételt az ABC háomszöge! 9 80 m a két fa távolsága Számítsuk ki a háomszögek szögeit! Íjunk fel egy szinusztételt az ACD háomszöge, ebbôl megkaphatjuk az AC távolságot Majd íjunk fel egy szinusztételt a BCD háomszöge! Ebbôl megkaphatjuk a BC szakasz hosszát Majd AB AC + BC 9 9

45 Összetettebb feladatok AB 8 m a két teeptágy távolsága CBDs 7l, CADs Alkalmazzuk a AD sin75, 8 szinusztételt az ACD háomszöge! Ebbôl megkaphatjuk az AD szakaszt & 50 sin & AD 80, 8 m Majd alkalmazzuk a szinusztételt az ABD háomszöge! Ebbôl számíthatjuk az AB szakaszt AB 8 m 95 BC 00 m; AC 985 m Pitagoasz tételével kiszámíthatjuk az AB távolságot Majd szögfüggvény segítségével számítsuk ki az ABP háomszög szögeit Ezután kiszámíthatjuk az ABC háomszög szögeit Majd az ABC háomszöge felít szinusztétel segítségével kiszámíthatjuk a-t, majd egy másik szinusztétel felíásából kiszámíthatjuk b-t BC sin, AC sin7, ; 000 sin7, sin7, m a közelebbi hegycsúcs magassága; y 7 m; z 8 m a hegycsúcsok távolsága Elôszö számítsuk ki a U szöget, majd alkalmazzunk egy szinusztételt az a oldala és a 50 m-es oldala, amelybôl kiszámíthatjuk a-t Ezután szögfüggvénnyel kiszámíthatjuk -et Számítsuk ki az f szöget, majd íjunk fel egy szinusztételt a z + a oldala és a 50 m-es oldala, ebbôl kiszámíthatjuk z-t Ezután szögfüggvény segítségével kapjuk az y távolságot t $ sina$ sinc t $ sinb$ sinc 97 ; y ; 9 m; y 5 m magasan vannak a sin( c- a) sin( c- b) hegycsúcsok a síkság felett Íjunk fel egy szinusztételt az 97 ACP háomszöge! Másészt vegyük észe, hogy U c - a, ezekbôl kapjuk a PC távolságot Szögfüggvény segítségével ebbôl kaphatjuk képletét Vegyük még figyelembe, hogy f c - b Másészt alkalmazzuk a szinusztételt az ACQ háomszöge, ebbôl kapjuk a CQ távolságot! Ebbôl szögfüggvény segítségével kaphatjuk az y képletét 98 5 m magas az antenna Az ABPl háomszöge íjunk fel a szinusztételt az APl és az AB 00 m-es 98 oldala, ebbôl kaphatjuk az APl szakasz hosszát Ezután az APPl háomszöge felíva egy megfelelô szögfüggvényt, meghatáozhatjuk az PPl szakasz hosszát AP l 00 sin5 l, APl 05,5 m 05,5 $ tg9 9l sin 59 l

46 A koszinusztétel alkalmazása PPl 7 m magasa emelkedik a hegy a síkság fölé Alkalmazzuk a szinusztételt az AP és a 800 m- es oldala, ebbôl kapjuk AP étékét Az APPl deékszögû háomszöge alkalmazzunk egy megfelelô szögfüggvényt és ekko megkaphatjuk a PPl étékét AP 800 sin,, AP 058 m sin , m magas az antenna Fejezzük ki -szel az a és a b távolságokat szögfüggvényt alkalmazva! Ezután alkalmazzuk a szinusztételt az ABPl háomszöge! Ekko kiesik és az egyenletbôl meghatáozhatjuk az ABPl szöget Ezen szög segítségével meghatáozhatjuk az APlB szöget Íjuk fel a szinusztételt az APlB háomszögben az a és az AB 00 m-es oldala Ebbôl kaphatjuk az a 50, m hosszúságot A BPPl háomszöge egy megfelelô szögfüggvényt alkalmazva kiszámíthatjuk -et Nehezebb feladatok 97 BC 97 BK 5 97 AK 97 AB a 5 AC b QM < RS A koszinusztétel alkalmazása Alapvetô feladatok 97 a) 8, cm a hamadik oldal hossza b) 7, a háomszög legnagyobb szöge c), a háomszög legkisebb szöge d), ; 9,5 ; 8,05 a háomszög szögei 977 a) 9l szög alatt látjuk a két távvezetékoszlop távolságát b), cm az óamutatók végpontjainak távolsága c) eset: 5 m az ôházak távolsága eset: m az ôházak távolsága d) 7, N az eedô eô nagysága,, az eedô eô hajlásszöge a N-os eôvel e) 8,78 cm; 9, cm a paalelogamma oldalai; 5 l és l a paalelogamma szögei f) 590,88 cm a paalelogamma teülete,,9 cm a paalelogamma keesett átlójának hossza 978 0, cm a másik oldal hossza, 7,7 cm a hosszabbik átló hossza 979 eset: 5 cm a hamadik oldal hossza; eset:,7 cm a hamadik oldal hossza

47 Összetettebb feladatok ,75 m;,7 m a háomszög ismeetlen oldalai, 88,07 ; 5, a háomszög ismeetlen szögei 98 cm a háomszög teülete Íjuk fel a koszinusztételt a BC szakasza! Legyen például AC, ekko BC 7 - A koszinusztételbôl kaphatjuk, hogy Ekko a háomszög oldalhosszai cm, cm, 5 cm Vegyük észe, hogy e háomszög deékszögû Miét? 98 Alkalmazzuk a koszinusztételt a c oldala, ebbôl fejezzük ki cos c-t és helyettesítsük be a bizonyítandó egyenletbe 98 0 km lesz a két hajó távolsága óa múlva 98 AB 9, cm Összetettebb feladatok 985 AB,7 m Számítsuk ki elôszö az AP távolságot, majd a BP távolságot és az APB szöget Ezután alkalmazzuk a koszinusztételt az ABP háomszögben az AB oldala! 98 AB,5 km a két község távolsága légvonalban Elôszö számítsuk ki a PQB szöget, majd a PB szakasza íjuk fel a koszinusztételt a PQB háomszögben Szinusztétellel vagy koszinusztétellel számítsuk ki QBP szöget Ezután az AB szakasza íjuk fel a koszinusztételt az APB háomszögben cm és 8 cm hosszúak az óamutatók Legyen a nagymutató hossza a, a kismutató hossza b óako 0 -os szöget zának be az óamutatók, íjuk fel a koszinusztételt: a + b - $ a $ b $ cos 0 Másészt 9 óako az óamutatók deékszöget zának be, íjuk fel Pitagoasz tételét: a + b 7 Oldjuk meg az egyenletendszet!

48 A koszinusztétel alkalmazása 988 5,9 cm a övidebbik alap hossza, 7, cm a száak hossza, 50 7l; 9 l a tapéz szögei Számítsuk ki elôszö a tapéz száát koszinusztétellel Majd számítsuk ki a tapéz hosszabbik alapján levô szögét, szintén koszinusztétellel Húzzuk be a tapéz magasságait a övidebbik alap végpontjainál Folytassuk! 989 8,05 cm a tapéz ismeetlen száa, 9l; l a tapéz ismeetlen szögei Toljuk el a 7,5 cm-es száat önmagával páhuzamosan úgy, hogy a övidebbik alap másik végpontjából induljon ki Ekko kapunk egy olyan háomszöget, amelye felíva egy koszinusztételt, megkaphatjuk az ismeetlen száat Ugyanee a háomszöge felít egy másik koszinusztétellel kaphatjuk a hosszabbik alapon levô ismeetlen szöget l; 50 l; l; 55 l; a tapéz szögei Toljuk el önmagával páhuzamosan az 5 m-es száat, úgy, hogy a övidebbik alap másik végpontjából induljon ki Ekko kaptunk egy alkalmas háomszöget, amelye alkalmazhatjuk a koszinusztételt 99 5,8 cm a háomszög ismeetlen oldala Elôszö számítsuk ki az ismeetlen oldallal szemközti szöget koszinusztétel segítségével, amelyet az ismet súlyvonala íunk fel Majd alkalmazzuk a koszinusztételt az eedeti háomszögben az ismeetlen oldala! 99,8 cm a hamadik oldal hossza Tüközzük a háomszöget az ismeetlen oldal felezôpontjáa! Ekko egy paalelogammát kapunk, ha az eedeti háomszöget és a tüköképét együtt tekintjük Tekintsük ennek a paalelogammának azt a észháomszögét, amelynek egyik oldala az ismet súlyvonal kétszeese, vagyis 0,8 cm, a többi oldala 8, cm és,8 cm Koszinusztétel segítségével meghatáozhatjuk ennek a háomszögnek azt a szögét, amely a,8 cm-es oldallal van szemben Ezután íjunk fel egy újabb koszinusztételt aa a háomszöge, amelyben az ismeetlen oldal fele, a 8, cm és a 0, cm-es oldalak, illetve az elôbb meghatáozott szög, szeepel 99 7, cm a hamadik oldalhoz tatozó súlyvonal hossza Tüközzük a háomszöget a hamadik oldal felezôpontjáa! Ekko kapunk egy paalelogammát Íjunk fel egy koszinusztételt a paalelogamma azon észháomszögée, amelynek egyik oldala az ismeetlen súlyvonal kétszeese, másik két oldala 8 cm, illetve 5 cm Ezen két oldal által bezát szöget elôbb pesze könnyen kiszámítjuk 99,5 cm; 9, cm a paalelogamma oldalai Íjunk fel egy koszinusztételt a 8 cm-es oldala Az a és b a háomszög másik két oldala Másészt a feltételbôl a + b cm Oldjuk meg az egyenletendszet! cm, illetve 9 cm a két átló hossza Íjunk fel egy koszinusztételt az hosszúságú átlóa, majd az + hosszúságú átlóa! Használjuk fel, hogy cos(80 - a) -cos a Oldjuk meg ezután az egyenletendszet Például úgy, hogy összeadjuk az egyenletek megfelelô oldalait, ekko cos a kiesik és egy másodfokú egyenletet kapunk -e, amelyet könnyen megoldunk 99 Mindegyik oldala íjunk fel egy-egy koszinusztételt! Mégpedig azon háomszögekben, amelyeknek oldalai az ismeetlen oldal és az átlók félhosszúságai Legyen { az átlók hajlásszöge, ekko használjuk fel, hogy cos(80 - {) -cos { Adjuk össze az elôbb felít két koszinusztételt, használjuk fel az elôbbi összefüggést és endezés után megkapjuk a bizonyítandó állítást 997 a) Íjunk fel két koszinusztételt, az egyiket az a, c, s c oldalakkal bíó háomszögben az a oldala A másikat a b, c, s c oldalú háomszögben a b oldala Legyen { az s c és a c oldal hajlásszöge, ekko használjuk ki, hogy cos(80 - {) -cos { Adjuk össze a két koszinusztétel megfelelô oldalait, ekko a {-t tatalmazó tagok kiesnek, és endezés után megkapjuk s c keesett képletét b) Az elôbb igazolt súlyvonalképlet segítségével íjuk fel a súlyvonalak hosszának négyzeteit, majd adjuk ezeket össze és megkapjuk a bizonyítandó összefüggést 998 Íjunk fel két koszinusztételt az s a, illetve s b súlyvonalaka: J a N a J b N sa K + b - $ $ b $ cosc O ; s a a b cos b + K - $ $ $ c O Képezzük a két egyenlet kü- L P L P

49 Összetettebb feladatok 5 lönbségét, majd használjuk fel, hogy a feltétel szeint a < b! sa- sb `b -a j & s a > s b Hiszen b - a pozitív szám b > a miatt cm a háomszög teülete Legyen ABC a keesett teületû háomszög, ahol AC 0 cm, és F az AB oldal felezôpontja, míg E a BC oldal felezôpontja Legyen S az ABC háomszög súlypontja Ekko AS 8 cm, CS cm Miét? t ABC $ t ACF Miét? Alkalmazzuk az ASC háomszöge a koszinusztételt, mégpedig az AS oldala felíva! Legyen { az AS oldallal szemközti szög az említett háomszögben Ekko az elôzô koszinusztételbôl kaphatjuk, hogy cos{ Ebbôl sin{, miét? Íjuk fel az ACF háomszög teületképletét, amelybôl 5 5 kaphatjuk, hogy t ACF cm Ebbôl pedig t ABC 7 cm 000 BC 0 cm, cm Az ABF háomszögben és a BCE háomszögben íjunk fel egy-egy koszinusztételt az AF szakasza, illetve a CE szakasza Itt F a BC oldal felezôpontja és E az AB oldal felezôpontja Oldjuk meg az egyenletendszet, amelyben az egyik ismeetlen BC a, míg a másik ismeetlen cos b DB 00 AD egység Alkalmazzuk a szögfelezôtételt, amelybôl kaphatjuk, hogy CD Legyen CD és így DB Alkalmazzuk a koszinusztételt a CAD háomszöge és a DAB háomszöge! Az egyenletendszet megoldva kaphatjuk, hogy AD y Keessünk elemibb megoldást, amely nem használ koszinusztételt Legyen az E pont olyan, hogy BE páhuzamos DA-val és ABE szabályos háomszög Ekko a BEC háomszög hasonló a DAC háomszöghöz Miét? 5 00, egység a keesett kö sugaa Legyen a és a egység hosszúságú oldalak által bezát szög c Legyen O a keesett sugaú kö középpontja, ekko O ajta van a c 9 szög szögfelezôjén Alkalmazzuk a szögfelezôtételt ee a szögfelezôe! Ebbôl megkaphatjuk, 5 5 hogy az O pont és 5 - egységnyi észeke osztja fel a 5 egység hosszúságú oldalt Íjuk 9 9 fel a koszinusztételt az eedeti háomszöge, mégpedig a egység hosszúságú oldala! Ebbôl megkaphatjuk, hogy a egység és a 5 egység hosszúságú oldalak a szögée fennáll, hogy: 5 5 cosa Ebbôl következik, hogy sina Miét? Másészt sin a, ahol eset: $ 88, egység; 5 $ 970, egység a másik két oldal hossza 7 7 eset: $ 50, egység; 5 $ 5, egység a másik két oldal hossza 7 Legyen c az AB oldallal szemközti szög Alkalmazzuk az a $ R $ sin a képletet! Ebbôl sinc, és ebbôl cosc vagy cosc - Legyen a másik két oldal hossza, illetve Íjunk fel egy koszinusztételt a 8 egység hosszúságú oldala! Ekko -e kapunk egy egyenletet, amelybôl -et könnyen kifejezhetjük 00 a paalelogamma két szomszédos oldalának aánya, vagy, de ez ugyanaz a paalelogamma Íjunk fel az átlóka egy-egy koszinusztételt, majd képezzük az átlók négyzeteinek

50 A koszinusztétel alkalmazása a hányadosát! Az a és b oldalakat tatalmazó kapott töt számlálóját és nevezôjét osszuk el b - a tel S így olyan egyenletet kapunk, amelyben lesz az ismeetlen Oldjuk meg ee az egyenletet! Kapjuk, hogy, illetve ennek a ecipokát b b a 005 7,9 m a tapéz hosszabbik alapja és ugyanekkoa a tapéz egyik száa; 5,7 m a tapéz övidebbik alapja;,9 m a tapéz másik száa Hatáozzuk meg elôszö a szabályos háomszög, illetve a másik háomszög teületét Kapjuk, hogy a szabályos háomszög teülete 000 m Íjuk fel ee a szabályos háomszöge a tigonometikus teületképletet! Ebbôl kaphatjuk, hogy a 7, 9 m a tapéz hosszabbik alapja, illetve az egyik száa A másik 8000 háomszöge felít tigonometikus teületképletbôl kaphatjuk, hogy a tapéz övidebbik alapja c á 5,7 m hosszú Az ismeetlen b száa íjunk fel egy koszinusztételt! l; l a négyszög ismeetlen szögei,, cm a négyszög ismeetlen oldala Húzzuk be a négyszög azon átlóját, amely a 8 cm-es és a cm-es oldalak közös csúcspontjából indul ki Számítsuk ki ezen átló hosszát koszinusztétellel! Majd az ismeetlen oldalt, illetve az egyik ismeetlen szöget egy-egy koszinusztétellel számíthatjuk ki 007 0l; 8 9l; 8 l a négyszög ismeetlen szögei Húzzuk meg a négyszög azon átlóját, amely a 8 cm-es és az 5 cm-es oldalak közös csúcspontjából indul ki Számítsuk ki koszinusztétellel ezen átló hosszát! Ezután háom koszinusztételt felíva meghatáozhatjuk a négyszög két ismeetlen szögét Az utolsó szöget ezután könnyen kaphatjuk AC 7 egység, t ABCD 5$ + $ 8,7 teületegység Íjuk fel a koszinusztételt az ABC háomszögben az AC oldala! Ebbôl kaphatjuk, hogy AC 7 Vegyük észe, hogy az ADC háomszög deékszögû! Mibôl következik ez? Eztán számítsuk ki az ACD háomszög teületét és az ABC háomszög teületét! l; 97 9l; 9l; l a húnégyszög szögei Húzzuk meg a húnégyszög átlóit! Tekintsük azt az e átlót, amely a cm-es és a 5 cm-es oldalak közös csúcspontjából indul ki Ez két háomszöge vágja a húnégyszöget Alkalmazzuk a koszinusztételt mindegyik háomszögben az e átlóa! Ekko oldjuk meg az egyenletendszet, felhasználva, hogy cos(80 - a) -cos a Ebbôl kapjuk, hogy a 8 5l Ebbôl kapjuk, hogy c 97 9l Íjunk fel most az f átlóa két koszinusztételt! Használjuk fel, hogy cos(80 - b) -cos b Az egyenletendsze megoldásából kapjuk, hogy: b 9l Ebbôl kapjuk, hogy d l 00 Legyen a + c b + d Íjunk fel négy koszinusztételt az átlók behúzása után keletkezett négy háomszöge! Legyen { az átlók hajlásszöge, és e - az e átló két szakasza, y és f - y az f átló két szakasza Ekko a + y - $ $ y $ cos(80 - {); c (e-) + ( f - y) - $ (e - ) $ ( f - y) $ cos(80 - {); b + ( f - y) - $ $ ( f - y) $ cos {; d y + (e - ) - $ y $ (e - ) $ cos { Ezeket helyettesítsük be az a + c b + d egyenletbe! Addig facsajuk a kapott egyenletet, amíg például a következôt nem kapjuk: (e $ f - $ y) $ cos { 0 Ebbôl következik, hogy cos { 0, vagyis { 90, tehát a négyszög átlói meôlegesek egymása 0 { 9,7 Legyen AB, és legyen az O pont az AC szakasz felezôpontja A Pitago- asz-tételt felhasználva kaphatjuk, hogy OB, másészt OH és HB Vegyük észe, hogy a BHO szög a keesett szög! Alkalmazzuk a koszinusztételt a HOB háomszögben $ az OB oldala! Ekko megkaphatjuk, hogy a {-vel jelölt BHO szöge: cos {, ebbôl { 9,7

51 Összetettebb feladatok m a két hajó távolsága Megfelelô szögfüggvény segítségével számítsuk ki az y távolságot, majd a z távol- 05 ságot! Ezután íjunk fel egy koszinusztételt az, y, z oldalú háomszögben az oldala! m a két helység távolsága Elôszö számítsuk ki a QC a és a PC b távolságokat Majd alkalmazzuk a koszinusztételt a PQC háomszöge! 0 AB 95, m a keesett távolság hossza Számítsuk ki megfelelô szögfüggvény segítségével a BT a és az AT b távolságokat Íjuk fel a koszinusztételt az ABT háomszöge! 05 PPl 0 m magas az antenna BPl, miét? Az egyes deékszögû háomszögeke tangens szögfüggvényt alkalmazva kaphatjuk, hogy: APl $, CPl Íjunk fel egy-egy koszinusztételt az ABPl háomszögben, illetve a BCPl háomszögben az APl oldala, illetve a CPl oldala! Legyen az ABPl szög öviden {-vel jelölve Ekko: b $ l J N $ 80 $ $ cos{, másészt K O $ 0 $ $ cos( 80 -{) Használjuk K O L P fel, hogy cos( 80 -{) -cos{ Ezután oldjuk meg az egyenletendszet! Például úgy, hogy az egyik egyenletbôl kifejezzük $ cos{ -t és ezt behelyettesítjük a másik egyenletbe Ekko má csak lesz az ismeetlen, amelyet könnyen meghatáozhatunk a kapott egyenletbôl 0 Alkalmazzuk kétsze a koszinusztételt egyészt a c oldala felíva, másészt a b oldala felíva Fejezzük ki ezekbôl cos c-t, illetve cos b-t, majd ezeket helyettesítsük be a megadott feltételi egyenletbe Ebbôl kapjuk, hogy b c, vagyis a háomszög egyenlô száú 07 Alkalmazzuk kétsze a koszinusztételt egyészt az a oldala felíva, másészt a b oldala felíva Majd fejezzük ki ezekbôl cos a-t, illetve cos b-t, majd ezeket helyettesítsük be a megadott egyenletbe Kapjuk, hogy a b, vagyis a háomszög egyenlô száú 08 Alkalmazzuk kétsze a koszinusztételt egyészt a c oldala felíva, másészt a b oldala felíva Fejezzük ki ezekbôl cos c-t, illetve cos b-t, majd ezeket helyettesítsük be a bizonyítandó egyenlôség bal oldalába Átalakítások után kaphatjuk, hogy teljesül a bizonyítandó egyenlôség 09 Alkalmazzuk háomszo a koszinusztételt az a, b, illetve a c oldala Ezekbôl fejezzük ki a szögek koszinuszait és helyettesítsük be a bizonyítandó egyenlôség bal oldalába A megfelelô átalakítások után kapjuk, hogy valóban teljesül a bizonyítandó egyenlôség cosa 00 Vegyük figyelembe, hogy ctg a, másészt a koszinusztételbôl cosa sina b + c - a b + c -a b c a, így ctga + - Folytassuk! $ b$ c $ b$ c$ sina $ t

52 8 A koszinusztétel alkalmazása 0 Alkalmazzuk a koszinusztételt az egyes oldalaka és mindegyikbôl fejezzük ki a szög koszinuszát! A kapott képleteket helyettesítsük be a bizonyítandó egyenlôség bal oldalába, majd ezt addig alakítsuk amíg meg nem kapjuk a bizonyítandó egyenlôség jobb oldalát 0 Kissé egyszeûsítsük a feltételi egyenlôség bal oldalát úgy, hogy elvégezzük a kijelölt mûveleteket! Majd alkalmazzuk a koszinusztételt az a oldala felíva Ezt helyettesítsük be az elôzô egyenletbe, a endezés után kapjuk, hogy cosa, ebbôl a 0 0 Hozzunk közös nevezôe a bal oldalon, majd szoozzunk a bal oldal és a jobb oldal nevezôjével Az átalakítások után kapjuk, hogy a - ac + c b Alkalmazzuk most a koszinusztételt a b oldala, majd az így kapott b kifejezését helyettesítsük be az elôzô egyenletbe Ezután kaphatjuk, hogy cosb, és ebbôl b 0 0 Szoozzunk be a nevezôkkel, az átalakítások után kaphatjuk, hogy a + c + ac b Alkalmazzuk a koszinusztételt a b oldala! A b -e kapott képletet helyettesítsük be az elôzô egyenletbe, amelybôl kaphatjuk, hogy cosb -, ebbôl b 0 05 Alkalmazzuk a koszinusztételt a b oldala és a c oldala is! Ezekbôl fejezzük ki a megfelelô szögek koszinuszait, majd ezeket helyettesítsük be feltételi egyenlet bal oldalába A kapott egyenletnél szoozzunk a nevezôkkel, majd endezés után kaphatjuk, hogy: a $ b + a c - - (b + c ) b c + bc & a (b + c) - (b + c)(b - bc + c ) bc (b + c) & a b + c & a 90 0 Alkalmazzuk a koszinusztételt az a, illetve a b oldala! Ezekbôl fejezzük ki a megfelelô szögek koszinuszait, majd ezeket helyettesítsük be a feltételi egyenletbe! Szoozzunk a nevezôkkel, endezzük az egyenletet és például azt kaphatjuk, hogy: 0 (a - b ) + (b c - a c ), ebbôl 0 (a - b )(a + b ) - c (a - c ), ebbôl 0 (a - b )(a + b - c ), ebbôl pedig az következik, hogy a b vagyis a háomszög egyenlô száú, vagy pedig a háomszög deékszögû Miét? (Vigyázat! Itt a vagy temészetesen nem kizáó vagy, ezét a háomszög lehet egyenlô száú deékszögû háomszög is) $ 07 A két egyenletbôl egyészt () $ a b + c Másészt a második megadott egyenletet négyzete emelve: () $ a ( b+ c) Végezzük el itt a négyzete emelést, majd a a kapott egyenletbôl vonjuk ki az () egyenletet Kapjuk, hogy () bc $ b- l Alkalmazzuk most a koszinusztételt az a oldala! A kapott egyenletbe helyettesítsük be bc képletét a () egyenletbôl, ezenkívül helyettesítsük be b + c képletét az () egyenletbôl! Majd oszthatjuk a kapott egyenletet a -tel, ekko a kiesik Az egyenletbôl kifejezhetjük, cosa, a 0 08 Szoozzunk be a nevezôvel! Emeljünk ki mindegyik oldalon (b + c)-t, majd osszunk ezzel a nem nulla kifejezéssel, kapjuk, hogy b - bc + c a Alkalmazzuk a koszinusztételt az a oldala! Az a -e kapott kifejezést helyettesítsük be az elôzô egyenletbe Rendezés és bc-vel való osztás után kaphatjuk, hogy cosa, ebbôl a 0 09 t + teületegység a háomszög teülete Alkalmazzuk a koszinusztételt az a oldala, majd helyettesítsük be ide a megadott cos a étéket! Egyészt azt kapjuk, hogy () bc b + c - Másészt a megadott egyenlet négyzete emelése után azt kaphatjuk, hogy

53 Nehezebb feladatok 9 () b + c + $ - $ bc ()-bôl helyettesítsük be ()-be a b + c képletét! Kapjuk, bc $ sina hogy () bc + $ Másészt t, ide behelyettesítve bc-t ()-ból és az a 0 -os szöget, kapjuk, hogy t + teületegység a háomszög teülete 00 t $ teületegység a legkisebb keületû megfelelô háomszög teülete Alkalmazzuk a c oldala a koszinusztételt! A feltételi egyenletbôl: c 5a - b, ezt helyettesítsük be az elôbb felít koszinusztételbe Kapjuk, hogy a - 9ab 0, ebbôl 8a b, met a > 0 Legyen a $ k és b 8 $ k, ahol k tetszôleges pozitív egész szám A legkisebb oldalak akko lesznek, ha ab $ sinc k, ekko a és b 8 A feltételi egyenletbôl c 7 A t egyenletbôl kaphatjuk a keesett teületet 0 Alkalmazzuk a koszinusztételt az a oldala! Fejezzük ki innen a megfelelô szög koszinuszát, miután behelyettesítettük az a megadott képletét, kapjuk, hogy: egyészt cosa b + c b + c -, másészt $ bc Miét? Ezeket felhasználva kapjuk, hogy: cosa $ $ bc Ebbôl következik, hogy: a # 0 Tehát a feladat kédésée a válasz: igaz 0 a # 0 következik a háomszög a szögée Alkalmazzuk a koszinusztételt az a oldala! Majd a kapott a -e való képletet helyettesítsük be a megadott egyenletbe Ezután fejezzük ki b $ c a megfelelô szög koszinuszát, kapjuk, hogy: cos + b $ c a, ebbôl cosa + $ bc $ c $ b Alkalmazzuk a számtani és métani közép közötti egyenlôtlenséget az elôzô összeg két pozitív b $ c + tagjáa! Kapjuk, hogy $ c $ b b $ c $ $ Ebbôl cosa $, innen $ c $ b pedig a # 0 következik 0 a # 0 következik a háomszög a szögée Alkalmazzuk a koszinusztételt a háomszög a oldaláa! Majd az itt a -e kapott képletet helyettesítsük be a megadott egyenletbe Innen b c kifejezve a megfelelô szöget, kapjuk, hogy: cos + b c a Ebbôl cosa $ bc $ c + Alkalmazzuk most az elôzô összeg két tagjáa a számtani és métani közép közötti egyenlôtlenséget! $ b b c + Kapjuk, hogy: $ c $ b b c $ $ Ebbôl cosa $, innen pedig a # 0 $ c $ b következik Nehezebb feladatok 0 Vegyük észe, hogy a> b> c Miét? Ebbôl következik, hogy az a a legnagyobb szög ebben a háomszögben Íjuk fel az a oldala a koszinusztételt és az egyenletbôl fejezzük ki a szög koszinuszát! A endezés és egyszeûsítés után azt kapjuk, hogy cosa -, ebbôl pedig a 0 következik

54 0 A szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazása A háomszög legnagyobb oldala + + Miét? Íjuk fel a legnagyobb oldala a koszinusztételt! ( + + ) ( + ) + ( - ) - $ ( + )( - ) $ cos c -` -j-` - j Ebbôl cos c - Miét? Ebbôl $ _ + i` -j következik, hogy a 0 0 t teületegység a háomszög teülete 07 egység a háomszög keülete 08 $ - 9 0,5 egység a keesett kö sugaa 09 V ma 8$ téfogategység a gúla maimális téfogata 00 8 egység az e és f egyenesek távolsága A szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazása Alapvetô feladatok 0 b,5 cm a másik oldal hossza, f,8 cm a másik átló hossza Íjunk fel egy koszinusztételt a paalelogamma ismeetlen oldaláa! Kapjuk, hogy b,5 cm Majd íjunk fel egy szinusztételt az a 8 cm, a b oldal és az e 57 cm oldal alkotta háomszöge! Kapjuk, hogy a 8 cm-es oldallal szemközti szög d 0, Ezután könnyen megkaphatjuk a paalelogamma szögeit:,, illetve 5, Az ismeetlen átlóa íjunk fel például egy újabb koszinusztételt! 0 5, cm a másik oldal hossza,,7 cm a teülete, 9,87 és 0, a szögei Koszinusztétellel számíthatjuk az ismeetlen oldalt Majd szinusztételt alkalmazva kaphatjuk a paalelogamma egyik szögét, majd ebbôl a másik szögét Ezután számíthatjuk a paalelogamma teületét 0 7,5 cm a kö sugaa Alkalmazzuk a koszinusztételt a megadott szöggel szemközti háomszögoldala Ebbôl kapjuk, hogy 0, cm az adott szöggel szemközti hú Majd használjuk fel az a $ R $ sin a változatát a szinusztételnek Ebbôl kaphatjuk a sugaat 0 79,89 cm a köszelet teülete Koszinusztétellel kaphatjuk a 5 cm-es oldallal szemközti szöget: c á 85, A szinusztétel c $ R $ sin c változatával kaphatjuk a kö sugaát: R á 7,5 cm Számítsuk ki a megfelelô köcikk teületét: 8,5 cm, majd számítsuk ki a megfelelô háomszög teületét: td, cm Majd vonjuk ki a köcikk teületé- R $ sin( $ c) bôl a háomszög teületét és megkapjuk a köszelet teületét 05 8 cm; 0 cm a háomszög ismeetlen oldalai,, ; 55,77 a háomszög ismeetlen szögei Íjuk fel az ismet a cm-es oldala a koszinusztételt: b + c - $ b $ c $ cos 8,8 Másészt tudjuk, hogy b + c Oldjuk meg az egyenletendszet! b 8 cm; c 0 cm, illetve fodítva Íjuk fel a szinusztételt az a és a b oldala Ebbôl kapjuk a b á, szöget és ebbôl a c á 55,77 szöget, illetve fodítva 0 9 cm, cm a háomszög ismeetlen oldalai, 0,9 ;,5 a háomszög ismeetlen szögei Legyen a cm, ekko b - c cm a feltétel szeint Íjuk fel a koszinusztételt az a oldala! b + c - $ b $ c $ cos, Oldjuk meg az egyenletendszet! Kapjuk,

55 Alapvetô feladatok hogy: c cm, és ebbôl b 9 cm Íjuk fel a szinusztételt az a és a b oldala! Ebbôl kapjuk, hogy b á 75, vagy b á 0,9 Az elsô lehetôség nem lehet Miét? Ezét b á 0,9, ebbôl c á,5 07 cm; cm; a háomszög ismeetlen oldalai,, ;,5 a háomszög ismeetlen szögei A feltétel szeint a + b 7 Másészt íjuk fel a koszinusztételt az ismet oldala: a + b - $ a $ b $ cos 0, Oldjuk meg az egyenletendszet! a cm; b cm, illetve fodítva Alkalmazzuk a szinusztételt az a és c oldala! Ebbôl kapjuk az a á, szöget, ebbôl pedig a b á,5 szöget, illetve fodítva 08 8 cm; cm a háomszög ismeetlen oldalai,,0 ; 5,5 a háomszög ismeetlen szögei A feltételbôl: a + b Másészt a koszinusztételt felíva az ismet oldala: 5 a + b - $ a $ b $ cos 7, Oldjuk meg az egyenletendszet! Kapjuk, hogy a 8 és b, illetve fodítva Íjuk fel a szinusztételt az a és c oldala! Ebbôl kapjuk, hogy a,0, ebbôl b 5,5, illetve fodítva 09 7, cm;, cm; cm a háomszög ismeetlen oldalai, 9,5 ; 0,7 a háomszög ismeetlen szögei Elôszö a c $ R $ sin c összefüggéssel számítsuk ki a c oldalt: c á cm A feltétel szeint a + b Íjuk fel a koszinusztételt a c oldala! á a + b - $ a $ b $ cos 7,7 Oldjuk meg az egyenletendszet! a 7,; b,, illetve fodítva Íjuk fel, hogy a $ R $ sin a, ebbôl kapjuk, hogy: a 9,5, majd ebbôl b 0,7, illetve fodítva 050 cm; 0 cm a háomszög többi oldalának a hossza, l; 79 8l a háomszög többi szöge Legyen c 59l és a 09 cm Ekko a t teületképletbôl a$ b$ sinc kapjuk, hogy b cm Íjuk fel a koszinusztételt a háomszög c oldaláa! Ebbôl kapjuk, hogy c 0 cm Íjuk fel a szinusztételt a háomszög b és c oldaláa! Ebbôl kapjuk, hogy b l, ebbôl pedig a 79 8l 05 megoldás: á 8 cm a hamadik oldal hossza, 7,8 ;,87 ; 75,75 a háomszög szögei t Legyen a 80; b 5, ekko a teületképletbôl: c á 75,75 a$ b$ sinc Íjuk fel a koszinusztételt a c oldala! Ebbôl kapjuk, hogy c 8 Íjuk fel a szinusztételt az a és c oldalaka! Ebbôl kapjuk, hogy a 7,8, ebbôl pedig b,87 A megoldás: c 0,5 ; c 05, cm, 7,5 ; 8,5 05 cm; cm;, cm a háomszög oldalai,, ; 7,9 a háomszög többi szöge A feltétel szeint a + b 8 A háomszög t teületképletébôl: a$ b$ sinc a $ b á 95 Oldjuk meg az egyenletendszet! Ebbôl a cm és b cm, illetve fodítva Íjuk fel a koszinusztételt a c oldala! Ebbôl c, Íjuk fel a szinusztételt az a és c oldala! Ebbôl kapjuk, hogy a, ebbôl pedig b 7,9, illetve fodítva cm; 5 cm; 05 cm a háomszög oldalainak hossza, 7 l; 5l a háomszög többi szöge A feltételbôl a - b 5 és c 75 5l Ekko a háomszög tigonometikus teületképletébôl a $ b á 500 Oldjuk meg az egyenletendszet! Ebbôl a 00 és b 5 Íjuk fel a koszinusztételt a c oldala! Ebbôl kapjuk, hogy c 05 Íjunk fel egy szinusztételt a b és c oldalaka! Ebbôl kapjuk, hogy: b á 5l, ebbôl pedig a á 7 l 05 8,85 cm;, cm; 7 cm a háomszög oldalai, 80,9 ; 7,77 a háomszög b ismeetlen szögei Legyen a 7, a 5, Alkalmazzuk a szögfelezôtételt! Ebbôl c Ezét legyen b és c Íjuk fel az a oldala a koszinusztételt! 7 () + () - $ $ $ cos 5, Ebbôl,5, s innen b á 8,85; c á, Íjuk fel a szinusztételt a c és az a oldala! Ebbôl kapjuk, hogy c á 7,77, ebbôl pedig b á 80,9

56 A szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazása Összetettebb feladatok 055,7 cm a háom kö közötti síkidom teülete Kössük össze a köök középpontjait, így kapunk egy háomszöget Legyen a cm, b cm, c 5 cm Számítsuk ki koszinusztétellel például e háomszög azon szögét, amelynek az 5 cm sugaú kö középpontja a csúcsa Kapjuk, hogy c á 7, Például szinusztétellel számíthatjuk az a szöget a 50, ab $ $ sinc Ebbôl kapjuk, hogy b á 5,5 Számítsuk ki a háomszög teületét! t, ebbôl t 7,8 cm Most számítsuk ki az egyes köcikkek teületét, majd vonjuk ki ezeket a háomszög teületébôl és megkapjuk a keesett síkidom teületét t a 7,99 cm ; t b,05 cm ; t c,0 cm Így t idom,7 cm 05 egység; egység; 8 egység a háomszög oldalainak a hossza, 0, ; 0,8 a háomszög ismeetlen szögei Oldjuk meg a feladatban megadott egyenletendszet! Ekko kapjuk, hogy a ; b, illetve fodítva Íjuk fel a c oldala a koszinusztételt! Ebbôl kapjuk, hogy: c á 8 Íjunk fel egy szinusztételt az a és c oldala! 057 á 09 cm; á cm a háomszög ismeetlen oldalainak a hossza; 79, ;, a háomszög ismeetlen szögei Legyen c 0 és c,99 A háomszög tigonometikus teületképletébôl: () a $ b á 9 Íjuk fel a c oldala a koszinusztételt! () 0 a + b - - $ a $ b $ cos,99 Ha felhasználjuk az elôzô egyenletet, akko azt kapjuk, hogy: () a + b á á 5 0 Oldjuk meg az () és () egyenletekbôl álló egyenletendszet! Ha egy kicsit avaszabbak vagyunk, akko megkönnyíthetjük a megoldást, ha észevesszük, hogy: (a + b) - $ a $ b á á 5 0 Ebbôl (a + b) á 8 900, s így () a + b 70 Az () és () egyenletekbôl álló egyenletendszet má egy kicsit könnyebb megoldani (Kihasználtuk, hogy a háomszög oldalai pozitív számok) Kapjuk, hogy a 09; b, illetve fodítva Alkalmazzuk a szinusztételt a b és c oldalaka! Ebbôl kapjuk, hogy b,, ebbôl pedig a 79,, illetve fodítva 058 cm; 7 cm a háomszög ismeetlen oldalai, 7,7 ; 5,75 a háomszög ismeetlen szögei Legyen c 5 és c 00,98 Ekko a feltétel szeint () a + b 9 Íjuk fel a koszinusztételt a c oldala! () 5 a + b - $ a $ b $ cos 00,98 Felhasználva ()-et, ebbôl azt kapjuk, hogy () a $ b á 8 Oldjuk meg az () és () egyenletbôl álló egyenletendszet! Kicsit könnyebb a megoldás, ha észevesszük, hogy (a + b) - $ a $ b á 9, azaz (a + b) á, vagyis () a + b 9 Oldjuk meg inkább a () és () egyenletbôl álló egyenletendszet! Kapjuk, hogy a ; b 7, illetve fodítva Íjunk fel egy szinusztételt az a és c oldala! Ebbôl kapjuk, hogy a á 5,75, ebbôl pedig b á 7,7, illetve fodítva ,9 dm;,7 dm;, dm a háomszög oldalainak a hossza Az a $ R $ sin a képlet alapján számíthatjuk a étékét a 5,9 dm A háomszög tigonometikus teületképletébôl kapjuk, hogy () b $ c á,85 Íjuk fel a koszinusztételt az a oldala! Kapjuk, hogy (),7 á b + c - - b $ c $ 0,9 8 Használjuk fel az () egyenletet, kapjuk, hogy () b + c á 5, Oldjuk meg az () és () egyenletbôl álló egyenletendszet! Kapjuk, hogy b,7; c,, illetve fodítva 00 MN 5, m a teeppontok távolsága Számítsuk ki az a szöget: a 50, majd ebbôl a { szöget: { Alkalmazzuk a szinusztételt az ABN háomszöge! Ebbôl kapjuk, hogy c á 5,8 m Alkalmazzuk most a koszinusztételt az MNA háomszöge! Kapjuk, hogy 5, m 0 9,7 m az épület magassága, { 8 l a lejtô hajlásszöge Számítsuk ki az ABP háomszög A-nál levô szögét! Majd íjuk fel a szinusztételt az ABP háomszöge! Ebbôl kaphatjuk, hogy y 58, m Majd alkalmazzuk a koszinuszté-

57 Összetettebb feladatok telt a PQA háomszöge! Ebbôl kapjuk, hogy 9,7 m Számítsuk ki a c szöget, például úgy, hogy szinusztételt íunk fel a PQA háomszögben Kapjuk, hogy c 5 9l Ebbôl és a 9 0les szög segítségével kaphatjuk a lejtô hajlásszögét: { 8 l 0 0,7 cm; 5,7 cm a háomszög ismeetlen oldalai, 0, ; 8,5 a háomszög ismeetlen szögei Legyen c 8 cm és s c 0 cm, a,8 Az s c súlyvonal két észe vágja a c szöget Legyen c azon észe c-nak, amely a b oldal felé esik Szinusztétellel kiszámíthatjuk c sinc ezt a szöget Jelöljük {-vel azt a szöget, amely az AFC háomszögben az F-nél sin, 8 sc van, ahol F az AB oldal felezôpontja Ekko {-t könnyen kiszámíthatjuk: {,5 Íjuk fel a koszinusztételt az AFC háomszögben az AC b oldala! Kapjuk, hogy b 5,7 cm Íjuk fel most a koszinusztételt a BFC háomszögben a BC a oldala! Kapjuk, hogy a 0,7 cm Íjuk fel a szinusztételt az ABC háomszögben az a és c oldalaka! Ebbôl kapjuk, hogy c 8,5, ebbôl pedig b 0, 0,09 cm; 9, cm a háomszög ismeetlen oldalai; 9,9 ; 88, a háomszög ismeetlen szögei Legyen c 8 cm, c,, s c 0 cm Jelöljük {-vel a BFC háomszögben F-nél levô szöget, ahol F az AB oldal felezôpontja Ekko az AFC háomszögben 80 - { szög van az F csúcsnál Íjuk fel a koszinusztételt a BFC háomszögben a BC a oldala, majd az AFC háomszögben az AC b oldala! Használjuk fel, hogy cos(80 - {) -cos { Majd c adjuk össze a két egyenletet! Kapjuk, hogy a + b $ s c +, ha behelyettesítjük az ismet adatokat, akko kapjuk, hogy () a + b A következôkben íjuk fel a koszinusztételt az ABC háomszögben a c oldala és helyettesítsük be ide az ismet adatokat, majd használjuk fel az () egyenletet, és azt kaphatjuk, hogy () a $ b Oldjuk meg az () és () egyenletbôl álló egyenletendszet! Kicsit könnyebb a megoldás, ha észevesszük, hogy (a + b) - $ a $ b és felhasználva ()-t: () a + b á,5 Így elég megoldani az () és () egyenletbôl álló egyenletendszet Azt kapjuk, hogy a,09; b 9,, illetve fodítva Íjuk fel a szinusztételt az ABC háomszögben a b és c oldala! Ebbôl kapjuk, hogy b 9,9, ebbôl pedig a 88,, illetve fodítva 0,8 cm;,5 cm a háomszög ismeetlen oldalai; 8,0 ;,58 a háomszög ismeetlen szögei Legyen c cm, c 75,8, s c 9,5 cm Az elôzô feladat megoldásához c hasonlóan kaphatjuk, hogy a + b $ s c + Ebbôl pedig () a + b 08,5 Íjuk fel a koszinusztételt az eedeti háomszögben a c oldala, ha ide behelyettesítjük az adatokat, akko kaphatjuk, hogy () a $ b á 0 Oldjuk meg az () és () egyenletbôl álló egyenletendszet! Vagy az elôzô útmutatásban szeeplô fogással konstuálunk egyszeûbb egyenletendszet és azt oldjuk meg Aká így, aká úgy csináljuk, azt kapjuk, hogy a,8 cm; b,5 cm, illetve fodítva Íjuk fel a szinusztételt az eedeti háomszögben a b és c oldala! Kapjuk, hogy b,58, ebbôl pedig a 8,0, illetve fodítva 05 $ egység, egység a háomszög hamadik oldalának a hossza, 0 ;,9 ;, a háomszög szögei Legyen AC b, AB c, AE s a Legyen CE és ekko BE a - Alkalmazzuk a szögfelezôtételt!, ebbôl a, s így a - a - Alkalmazzuk a koszinusztételt az AEC háomszöge, majd az ABE háomszöge! + - a a -$ $ $ cos, _ i + - $ $ $ cos Oldjuk meg az egyenletendszet! a és cos,9, ebbôl c á, Ebbôl a 0, és a $ Szinusztétellel számíthatjuk a b szöget b

58 A szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazása 0,0 ; 5,9 ; 9,0 a háomszög szögei,,97 cm a háomszög ismeetlen oldala Legyen a, b, f c 0 A szögfelezô, illetve c - hosszúságú szakaszoka osztja fel a c oldalt Legyen az szakasz az a oldal mellett és így a c - szakasz a b oldal mellett Alkalmazzuk a szögfelezôtételt! Kapjuk, hogy Íjunk fel két koszinusztételt a két ész- c - c c háomszöge! Kapjuk, hogy fc + a - $ fc $ a$ cos és ( c ) f b - c + - $ f c $ b $ cos Osszuk el a két egyenletet egymással és alkalmazzuk a szögfelezôtételbôl kapott összefüggést, c J N $ 0 $ $ cos ezenkívül helyettesítsük be az adatokat! Ekko K O Ebbôl c L P $ 0 $ $ cos c cos 0, 9, s így c 9,0 Alkalmazzuk most a koszinusztételt az eedeti háomszögben a c oldala! Ebbôl kapjuk, hogy c,97 cm Alkalmazzuk most a szinusztételt az eedeti háomszögben az a és c oldala! Ebbôl kapjuk, hogy a,0, és ebbôl pedig b 5,9 cosa cosb cosc 07 Alakítsuk át a feltételi egyenletet a következô alakúa: + $ A továbbiakban pedig alkalmazzuk az a $ R $ sin a összefüggést mindháom oldala! Ebbôl sin a sinb sinc cosa cosb cosc kapjuk, hogy + $ Alkalmazzuk most a koszinusztételt mindegyik oldala! A háom felít koszinusztétel mindegyikébôl fejezzük ki a szög koszinuszát és helyettesítsük a b c be az elôzô egyenletbe! Átalakítások után könnyen kaphatjuk a bizonyítandó egyenlôséget 08 b + c 5 $ a összefüggés van az oldalak között Alkalmazzuk a kotangens definícióját, sina sina majd a feltételi egyenletet hozzuk a következô alakúa: $ cos a cos b$ + cosc $ sinb sinc Alkalmazzuk itt a szinusztételt majd a koszinusztételt háomszo b + c - a a + c -b a a b c a $ $ $ Ezt pedig addig alakítsuk, amíg azt nem bc ac b ab c kapjuk, hogy b + c 5 $ a 09 Alkalmazzuk a szinusztételt és a sin $ sin $ cos azonosságot! Kapjuk, hogy a sina sinb $ sinb$ cosb a $ cosb Ebbôl () cosb Alkalmazzuk most a b sinb sinb sinb b a koszinusztételt a b oldala és használjuk fel még az () összefüggést! b a + c - ac$ b Ebbôl kapjuk, hogy b $ (b - c) $ (b + c) a $ (b - c) eset: ha b - c Y 0, akko lehet osztani vele, s így b $ (b + c) a, ebbôl pedig a - b bc eset: ha b - c 0, ekko b c, ebbôl következik, hogy b c Felhasználva, hogy a $ b, kapjuk, hogy b c 5 és a 90 Alkalmazzuk Pitagoasz tételét e deékszögû háomszöge: a b + c, ebbôl a - b c, de mivel a esetben b c, ezét a - b bc, tehát a esetben is igaz az állítás 070 A feltételi egyenlet bal oldalán alkalmazzuk kétsze a szinusztételt, kapjuk, hogy: c b + $ sina! Alkalmazzuk most a koszinusztételt az a oldala és fejezzük ki a szög koszinuszát! cosa + - Használjuk fel, hogy sin a + cos a! Helyettesítsük be ide az b c b c a bc

59 Nehezebb feladatok 5 J b c + N J b + c -a N elôzôkben kapott képletekbôl a szögfüggvényeket! K O + K O! Alakítsuk K bc O K bc O L P L P át ezt az egyenletet a következô alakúa: b c ` - j + `b + c - a j 0! Ebbôl következik, hogy b c, vagyis a háomszög egyenlô száú Ezenkívül még az következik, hogy b + c a, ebbôl pedig következik, hogy a háomszög deékszögû is Miét? Tehát a háomszög egyenlô száú és deékszögû Nehezebb feladatok 07 a : b : c 5 : 8 : a háomszög oldalainak az aánya A feltételekbôl kapjuk, hogy tga sina cosb, ebbôl $ Alkalmazzuk a szinusztételt, majd kétsze a koszinusztételt, amelyekbôl fejezzük ki a szögek koszinuszait! A behelyettesítés után: tg b cosa sinb a + b -c a $ ac Ezen egyenletet kissé átalakítva, kapjuk, hogy () $ a - $ b + c 0 b b + c -a bc tgb sinb cosc A feltételbôl kapjuk, hogy, ebbôl $ Alkalmazva a szinusztételt és tg c cosb cosb a + b -c b kétsze a koszinusztételt, kaphatjuk, hogy $ ab, ebbôl kaphatjuk, hogy () c a + c -b ac a + 5 $ b - 5 $ c 0 Vizsgáljuk meg az () és () egyenletbôl álló egyenletendszet! Például a 5 fejezzük ki ()-bôl c -et és ezt helyettesítsük be ()-be! Ebbôl azt kapjuk, hogy, s így b 8 a 5 Másészt a -et innen kifejezve és behelyettesítve c kifejezésébe és ezt átalakítva b 8 b 8 b 8 kapjuk, hogy, ebbôl c 9 c R $ egység a kö sugaa PQ $ R $ sina és 5 PN $ R $ sin a, ebbôl következik, hogy PQ PN, vagy használjuk ki a keületi szögek tételét Alkalmazzuk a koszinusztételt az MNP háomszöge, majd az MPQ háomszöge, mindkettôben az oldala! Az egyenletendszebôl kaphatjuk, hogy cosa és Az $ R$ sina-ból következik, hogy R $ 5

60 A szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazása 07/I 07/II 07/III 07 R $ egység a kö sugaa Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot 55 sin a sin y b 07 Alkalmazzuk kétsze a szinusztételt: () és () Ezekbôl sin a f sin c f ab $ ab $ sin $ sin y $ sina$ sinc Átalakítva sin $ sin y $ _ cosa$ cosc- cos( a+ c) i Alkalmazva kétsze a koszinusztételt, kapjuk, hogy: cos + - f f a d f b c f a és cosc + - $ ad $ $ bc $ Ezeket behelyettesítve az elôzô egyenletbe, kapjuk, hogy: ab $ J a + d - f b + c -f N (*) sin $ sin y $ K $ cos( ) - a+ c O Másészt sin f K $ ad $ $ bc $ O $ sin y L P cos $ cos y- cos( + y) Háomszo alkalmazva a koszinusztételt, kapjuk, hogy: f d a cos + - f c b ; cos y + - c d e ; cos( + y) + - Ezeket beíva az elôzô egyenletbe, kapjuk, hogy: (**) sin $ sin y + - $ $ f $ d $ f $ c $ c$ d f d a f c b c d e $ f $ d $ f $ c $ c$ d f + d - a f + c -b c + d - e A (*) és (**) egyenletbôl kapjuk, hogy: $ - $ f $ d $ f $ c $ c$ d ab $ J a + d - f b + c -f N $ K $ cos( ) - a+ c O A továbbiakban addig facsajuk az egyenletet, amíg ki nem jön belôle Betschneide tétele: e $ f a $ c + b $ d - $ a $ b $ c $ d $ cos(a + c) f K $ ad $ $ bc $ O L P 075 Alkalmazzuk Betschneide tételét: e $ f a $ c + b $ d - $ a $ b $ c $ d $ cos(a + c) Mivel - # cos( a+ c )#, ezét $ a $ b $ c $ d $ $ a $ b $ c $ d $ cos(a + c) $ $ a $ b $ c $ d Ezt felhasználva kapjuk, hogy e $ f # a $ c + b $ d + $ a $ b $ c $ d, azaz e $ f # (a $ c + b $ d ), ebbôl pedig következik, hogy e $ f # a $ c + b $ d, ezzel igazoltuk az általánosított Ptolemaiosz-tételt Itt egyenlôség akko és csak akko van, ha cos(a + c), azaz ha a + c 80, vagyis ha a négyszög húnégyszög Ha van kedvünk, akko könnyen igazolhatjuk azt is, az elôzôeket figyelembe véve, hogy e $ f $u a $ c - b $ du Keessünk más bizonyítást is az általánosított Ptolemaiosz-tétele!

61 Szinusztételt, illetve koszinusztételt nem igénylô (igénylô) könnyû feladatok 7 Néhány könnyû teületszámítási feladat Szinusztételt, illetve koszinusztételt nem igénylô könnyû feladatok 07 8,8 cm a háomszög teülete 077 eset:, -os; eset:, -os szöget zának be az adott oldalak 078 8, cm az adott szög melletti ismeetlen oldal hossza 079,7 cm a ombusz teülete 080, cm a paalelogamma teülete 08 0,5 cm a paalelogamma teülete 08 Vegyük figyelembe, hogy az átlók négy egyenlô teületû háomszöge vágják a paalelogammát! Miét? Másészt tudjuk, hogy sin(80 - {) sin { Alkalmazzuk a háomszög tigonometikus teületképletét! 08 A konve négyszög f átlója és e - hosszúságú szakaszoka osztja az e átlót, míg az e átló y és f - y hosszúságú szakaszoka osztja az f átlót Legyen { az átlók hajlásszöge A négy észháomszög teületének összege megegyezik a négyszög teületével t + $ y$ sin( 80 - {) $ ( f- y) $ sin{ ( f y) $ ( e ) $ sin( 80 ) y$ ( e ) $ sin { - { + Vegyük figyelembe, hogy e$ f $ sin{ sin(80 - {) sin {, majd alakítsuk a képletet és hamaosan megkapjuk, hogy t 08 9,8 cm;,8 cm; 5,97 cm a háomszög oldalai Az a - b egyenletbôl és a háomszög tigonometikus teületképletée felít egyenletbôl álló egyenletendszet oldjuk meg Ez másodfokú egyenlete vezet, amelyet könnyen megoldhatunk Kapjuk, hogy b,8 Ebbôl a 9,8 Íjuk fel a koszinusztételt a c oldala! Ebbôl c 5, t 8,0 cm a háomszög teülete t t, t $ t, t $ t, 085 így t $ t Miét? 08,59 cm a háomszög teülete Számítsuk ki a megfelelô középponti szögeket, majd az egyes középponti szögekhez tatozó észháomszögek teületét, amelyeket összeadva kapjuk a háomszög teületét 087 A köülít kö középpontját kössük össze a háomszög csúcspontjaival! Így háom észháomszöget kapunk Alkalmazzuk a középponti és keületi szögek tételét, amelybôl kapjuk, hogy a észháomszögeknek az a szöge, amely a kö középpontjánál van, megegyezik az eedeti háomszög megfelelô szögének kétszeesével Íjuk fel a észháomszögek teületeit a tigonometikus teületképlettel, majd ezeket összeadva megkapjuk a háomszög teületée a bizonyítandó összefüggést Háom esetet különböztessünk meg: a hegyesszögû, a deékszögû és a tompaszögû háomszög esetét Szinusztételt, illetve koszinusztételt igénylô könnyû feladatok 088 0, cm a háomszög teülete Használjuk a szinusztételt és a háomszög tigonometikus teületképletét! 089 cm; cm;,8 cm a háomszög oldalai, 0 ;,8 ; 08,9 a háomszög szögei ab $ $ sinc c$ mc Legyen a, b, ekko t és t, ahol m c 8 cm Másészt c $ R $ sin c,

62 8 Néhány könnyû teületszámítási feladat ahol R cm Ezekbôl meghatáozhatjuk, hogy cm Ebbôl pedig a cm és b cm Az a $ R $ sin a-ból kapjuk, hogy a 0 Ugyanilyen módon kapjuk, hogy b,8 Ezekbôl következik, hogy c 08,9 A c étékét a c $ R $ sin c egyenletbôl kaphatjuk: c,8 cm 090 8,7 m; 7,8 m; m a háomszög oldalai hektá m bc $ $ sina b sinb c $ sina$ sinb t, és a szinusztétel:, ezekbôl: t Innen megkaphatjuk, c sinc $ sinc hogy c Az a és c oldala felít szinusztételbôl: a 8,7 A b és c oldala felít szinusztételbôl: b 7,8 09 Az elôzô feladat megoldásához való útmutatásában lényegében levezettük e feladat képletét ab $ $ sinc 09 t és a $ R $ sin a, b $ R $ sin b, ezekbôl kaphatjuk a bizonyítandó képletet ab $ $ sinc 09 t és c $ R $ sin c, ezekbôl kaphatjuk a bizonyítandó képletet 09 cm; 8 cm;,9 cm a háomszög oldalai Egyészt a + b a feltétel szeint, másészt a háomszög tigonometikus teületképletébôl kaphatjuk, hogy a $ b Oldjuk meg az egyenletendszet, azt kapjuk, hogy a és b 8, illetve fodítva Íjuk fel a koszinusztételt a c oldala! Ebbôl kapjuk, hogy c,9 cm cm a négyszög teülete Húzzuk be a négyszög azon átlóját, amely a 5 m-es és a 8 m-es oldalak közös csúcspontjából indul ki Ekko annak a háomszögnek könnyen kiszámíthatjuk a teületét, amelynek a m-es és 5 m-es oldalai vannak és ismet ezek hajlásszöge is Ezután számítsuk ki a koszinusztétellel az elôbb meghúzott átló hosszát! Ekko a másik észháomszöge felíva a koszinusztételt, megkaphatjuk a 5 m-es és a 8 m-es oldalak közötti szöget Ennek segítségével kiszámíthatjuk ezen észháomszög teületét is Adjuk össze a észháomszögek teületeit és megkapjuk a négyszög teületét 09,05 cm; 5,08 cm;, cm, a háomszög oldalai Legyen a, b 5, ab $ $ sinc c,7 A t képletbôl kiszámíthatjuk -et 7,0 Ebbôl a,05; b 5,08 cm Íjuk fel a koszinusztételt a c oldala! Ebbôl kapjuk, hogy c, cm 097 eset:,5 ; 8, ;,0 a háomszög szögei,, cm a hamadik oldala A háomszög tigonometikus teületképletébôl kiszámíthatjuk, hogy c,0 Íjuk fel a koszinusztételt a c oldala! Ebbôl kapjuk, hogy c, Alkalmazzuk a szinusztételt az a oldala és a c oldala! Ebbôl kapjuk, hogy a,5, ebbôl pedig: b 8, eset: c ; c 7, cm; a,8 ; b, 098,8 dm; á 9,87 dm a háomszög ismeetlen oldalai;, ;, a háomszög ismeetlen szögei Legyen a 8,7 dm, b,5, t 58 dm A b szöge felít teületképletbôl kapjuk, hogy c 9,87 dm Alkalmazzuk a koszinusztételt a b oldala! Ebbôl kapjuk, hogy b,5 dm Alkalmazzuk a szinusztételt az a és b oldalaka! Ebbôl kapjuk, hogy a, és ebbôl pedig, felhasználva a másik ismet szöget is, kapjuk, hogy c, 099 cm; 5 cm; 5, cm a háomszög ismeetlen oldalai, 7, ; 70,97 a háomszög ismeetlen szögei a + b 88 a feltételbôl, míg a háomszög tigonometikus ab $ $ sin7, 8 teületképletébôl kaphatjuk, hogy 90 Oldjuk meg az egyenletendszet! Azt kapjuk, hogy a ; b 5, illetve fodítva Íjuk fel a koszinusztételt a c oldala! Ebbôl kapjuk, hogy c 5, cm Alkalmazzuk a szinusztételt az a és c oldala! Ebbôl kapjuk, hogy a 7, és ezután könnyen kaphatjuk, hogy b 70,97, illetve fodítva 00 dm; dm a háomszög ismeetlen oldalai Egyészt () a + b, másészt a háomszög teületképletébôl kaphatjuk, hogy () a $ b $ sin c, hamadészt a koszinusztételt

63 Alapvetô feladatok 9 felíva az ismet oldala: (), a + b - $ a $ b $ cos c Ezen egyenletendszebôl kaphatjuk a következô egyenletendszet: (I) a $ b $ sin c á ; (II) a $ b $ cos c á 0,0 Ha elosztjuk a két egyenlet megfelelô oldalait egymással, akko azt kapjuk, hogy tg c á 50, ebbôl c 89,9 Ha visszahelyettesítjük ezt az (I) egyenletbe, akko kapjuk, hogy: (III) a $ b á Oldjuk meg az (I) és (III) egyenletbôl álló egyenletendszet! Kapjuk, hogy a, b, illetve fodítva Összegzési tételek alkalmazása Bevezetô alapfeladatok 0 a) sin a; b) - cos a; c) sin a; d) - cos a; e) - sin a; f) sin a; g) - cos a; h) cos a 0 a) - sin a; b) - cos a; c) sin a; d) - sin a 0 a) cos a; b) sin a; c) - cos a; d) - sin a 0 a) cos a; b) - sin a; c) - cos a; d) sin a 05 a) ; b) ; c) ; d) 0 a) ; b) 0; c) - ; d) 07 a) -tga; b) tga; c) tga; d) -tga; 08 a) Alkalmazzuk a sin(a + b)-a való összegzési képletet, ha a b b) Alkalmazzuk a cos (a + b)-a való összegzési képletet, ha a b 09 Alkalmazzuk az elôzô feladatban bizonyított képleteket helyett -e! Alapvetô feladatok 0 a) $ cosa; b) $ cosa; c) cosa; d) cosa + tga - tga a) ; b) - tga + tga a) ; b) 0 Alkalmazzuk a bizonyítandó azonosságok bal oldalaia a tanult összegzési (addíciós) tételeket! Az elôzô feladat azonosságaiban végezzük el az a + y - y és b helyettesítést! Ekko a + b és a - b y Így az ottani a), b), c), d) azonosságokból ende következnek az itteni a), b), c), d) azonosságok 5 A bizonyítandó azonosságok bal oldalaia alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételeket, és használjuk fel, hogy sin + cos minden valós -e teljesül 9 tg (a + b) Alkalmazzuk a tangensnél tanult megfelelô összegzési tételt! 8 7 a) tg (a + b) ; b) tg (a - b) 7 Alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételeket! 8 a) cos ; b) ; c) ; d) cos ; e) cos ; f)

64 0 Összegzési tételek alkalmazása 9 a) Helyettesítsük be cos megfelelô képletét, majd endezzük nulláa az egyenlôtlenséget, a cos -et alakítsuk át sin segítségével! Ezután alakítsunk ki teljes négyzetet és azt kapjuk, hogy 0 # (sin - ), ez pedig minden valós száma teljesül b) Hasonlóan bizonyíthatjuk, mint az elôzô feladatot, csak itt sin -et alakítjuk át cos segítségével Azt kapjuk, hogy 0 # (cos - ) 0 a) sin a sin (a + a) Alkalmazzuk most a megfelelô összegzési tételt, majd használjuk fel sin a és cos a ismet képleteit, másészt azt, hogy sin a + cos a Kapjuk, hogy sin a $ sin a - $ sin a b) Hasonló módon oldhatjuk meg Kapjuk, hogy cosa $ cos a - $ cos a c) sin a 8 $ cos a $ sin a - $ cos a $ sin a d) cos a 8 $ cos a - 8 $ cos a $ sin a + 8 $ sin a a) Végeedmény Alkalmazzuk cos a elôbb kapott képletét és a sin a képletét! b) Végeedmény Alkalmazzuk sin a elôzôekben kapott képletét és a sin a képletét! a) Alkalmazzuk a tg (a + b)-a tanult összegzési képletet a b -e! Másészt vegyük figyelembe a második egyenlôségnél, hogy ctg a megfelelô ételmezési tato- tg mányban $ tg b) ctg és vegyük figyelembe az elôzô feladat eedményét! c) -et addig tg + tg alakítjuk a tangens definíciójának a felhasználásával, közös nevezôe hozással, egyszeûsítéssel, amíg sin -et nem kapunk Másészt tg felhasználásával mutassuk meg, hogy ctg $ tg $ ctg d) Addig alakítsuk a középsô képletet a tangens definíciójának a felhasználásával, közös nevezôe való hozással, egyszeûsítéssel, amíg cos -et nem kapunk Más- + tg ctg + észt tg alkalmazásával addig alakítsuk más módon, mint az elôbb, a középsô ctg képletet, amíg a hamadik képletet meg nem kapjuk - cos + cos a) kifejezést alakítsuk, cos képletét felhasználva! b) kifejezést alakítsuk, cos képletét felhasználva! c) Az kifejezést alakítsuk, amíg tg nem - cos sin - cos sin lesz Másészt mutassuk meg, hogy, szoozzunk be itt a nevezôkkel! sin + cos - cos d) ctg és vegyük figyelembe az elôzô feladat állítását! e) Az kifejezést alakítsuk addig, amíg tg nem lesz f) ctg és vegyük figyelembe az elôzô feladat állítását! tg + cos tg 7 7 eset: sina ; cosa ; tga ; ctga eset: sina - ; cosa ; tga - ; ctga eset: sina ; cosa ; tga ; ctga eset: sina - ; cosa ; tga - ; ctga

65 Gyakolófeladatok 0 0 sin ; cos ; tg ; ctg a) Alkalmazzuk a sin a-a tanult képletet a -e! b) Alkalmazzuk a cos a-a tanult képletet a -e! c) Alkalmazzuk a tg a-a tanult képletet a -e! Másészt vegyük figyelembe, hogy tg a d) Vegyük figyelembe, hogy ctg, majd alkalmazzuk tg ctg - cos az elôzô eedményt! e) kifejezésbôl induljunk ki, majd alkalmazzuk az a) és b) feladatok eedményeit! Másészt, itt szoozzunk a nevezôkkel! f) Vegyük sin - cos sin sin + cos - cos figyelembe, hogy ctg, majd alkalmazzuk az elôzô feladat eedményét g) a + cos tg kifejezésbôl induljunk ki, majd alkalmazzuk az a) és a b) feladatok eedményeit! h) Vegyük figyelembe, hogy ctg, majd alkalmazzuk az elôzô feladat eedményét! a tg a a a a a 8 eset: sin ; cos ; tg ; eset: sin ; cos - ; a tg - a cos - 5 a eset: sin - 5 a ; tg a ; cos sina ; cosa ; tga a ; tg - a ; eset: sin - ; 5 Gyakolófeladatok 0 A bizonyítandó azonosságok bal oldalaiba helyettesítsük be a megfelelô összegzési tételekbôl kapott képleteket, majd vegyük figyelembe, hogy sin + cos Az e) és az f) feladatoknál a jobb oldalon édemes még elvégezni a kijelölt szozást A g) és a h) feladatoknál a sin + cos azonosságot esetleg kétsze édemes alkalmazni Végeedmény: A bal oldalon alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételeket, végezzük el a mûveleteket, majd a két csopotba osztott tagoknál mindkét csopotból végezzünk kiemelést Majd használjuk fel, hogy sin a + cos a, ezután ugyanezt használjuk fel mégegysze, de most b-a alkalmazva A bal oldalon alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételeket, majd végezzük el a beszozást Ezután íjuk be a megfelelô nevezetes hegyesszögek pontos étékeit! Majd alkalmazzuk a sin a + cos a azonosságot és ezután a bizonyítandó állítást kapjuk Végeedmény: Alkalmazzuk a kifejezése a megfelelô összegzési tételeket, majd végezzük el a kijelölt mûveleteket! A kapott kifejezésben levô sin -et alakítsuk át cos -e, sin + cos azonosság segítségével Ezután emeljünk ki cos -et azon tagokból, amelyek-

66 Összegzési tételek alkalmazása ben ezenkívül még 0 szögfüggvénye is szeepel Majd alkalmazzuk a sin + cos azonosságot 0 -a, s végül íjuk be a megfelelô nevezetes hegyesszög szögfüggvényének étékét és megkapjuk a végeedményt Végeedmény: - Alkalmazzuk a kifejezése a megfelelô összegzési tételeket, majd végezzük el a kijelölt mûveleteket Ezután helyettesítsük be a 5 -os nevezetes hegyesszög megfelelô szögfüggvényeinek az étékeit Az egyszeûsítések után megkapjuk a végeedményt 5 Alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételeket, végezzük el a kijelölt mûveleteket és egyszeûsítsünk! a) ; b) 0; c) 0; d) ; e) ; f)0; g) 0; h) a 5, ezét elég igazolni, hogy b + c 5 tgb és tgc Alkalmazzuk tg (b + c)-a a megfelelô összegzési tételt Azt kapjuk, hogy tg (b + c), ebbôl pedig következik, hogy b + c 5 Keessünk elemi megoldást, amely nem használ szögfüggvényt! Édemes megtalálni a szép elemi megoldást, met van ilyen 7 Végeedmény: Vegyük észe, hogy a + b 5, így tg 5 tg(a + b) Alkalmazzuk most a megfelelô összegzési tételt, szoozzunk a nevezôvel, endezzük nulláa az egyenletet, majd adjunk mindkét oldalhoz -et Ezután szozattá alakítva kaphatjuk, hogy: ( + tg a) $ ( + tg b) 8 a) b) c) - d) - e) - f) 9 a) b) 0 c) d) 0 0 a) tg b) sin c) ctg d) ctg Az a) és a b) feladatoknál alkalmazzuk a kijelölt mûveleteket és az ismet összefüggéseket a kétszees szögeke! A c) feladatnál használjuk fel az a - b (a - b)(a + b) azonosságot, amelynek segítségével alakítsuk szozattá a bal oldalt A d) feladatnál használjuk fel kétsze a sin a-a vonatkozó azonosságot! Alkalmazzuk a kotangens, illetve a tangens definícióját, hozzunk közös nevezôe, alkalmazzuk a kétszees szögeke ismet képleteket! Illetve használjuk a sin + cos azonosságot sin ; cos - ; tg - ; ctg tg sin Vázlat: Mutassuk meg, hogy sin ; cos, + tg + tg majd használjuk ezeket fel a sin képletében Keessünk másik megoldást is! 5 Az cos Mutassuk meg, hogy cos $ cos - ; cos és ezeket felhasználva kaphatjuk az eedményt! tg + cos A másodfokú egyenletet megoldva és a két jelölt közül kiválasztva a megfelelôt, kapjuk, hogy: tg Tekintsük azt a deékszögû háomszöget, amelynek egyik befo- 5 gója, a másik befogója egység, ekko számítsuk ki az átfogó hosszát, illetve az szög szinuszát és a koszinuszát! Majd alkalmazzuk cos képletét!

67 Gyakolófeladatok 5 7 eset: tg ; eset: tg - 5 Alkalmazzuk tg képletét! Majd behelyettesítés után kapunk egy másodfokú egyenletet tg -e Ezt megoldva kapjuk az 5 eedményeket eset: sin! ; eset: sin! Alkalmazzuk a tangens és a kotangens definícióját Használjuk fel, hogy sin + cos és a sin képletét Kapjuk, hogy sin Ebbôl számítsuk ki, hogy cos vagy cos - Használjuk fel, cos hogy sin - Ebbôl számíthatjuk a végeedményeket 5 9 tg + - cos Ismet, hogy tg, lásd például a e) feladatot! + cos Alkalmazzuk ezt -e és vegyük figyelembe, hogy tg > 0! Másészt vegyük észe, hogy cos + cos < 0! Ismet, hogy cos 50 sin Egyészt sin $ sin $ cos $ sin $ cos $ (cos - sin ) Osszunk 5 sin cos -szel, ami nem nulla, ekko kapjuk, hogy: $ tg $ `-tg j Másészt mutassuk cos meg, hogy + tg! Ezeket felhasználva, tg -ekbôl felépített kifejezést kapunk Keessünk egy második megoldást, amely egy olyan deékszögû háomszögön alapszik, amelynek cos az szöggel szemközti befogója egység, míg a másik befogója egység! 5 Szoozzunk -vel, majd alkalmazzuk sin képletét! 5 Bôvítsük a bal oldalt sin 0 -kal és alkalmazzuk sin képletét többszö is 8$ sin0 $ cos0 $ cos0 $ cos0 $ $ sin0 $ cos0 $ cos0 $ cos0 sin0 sin0 $ sin0 $ cos0 $ cos0 Folytassuk! A végén használjuk fel, hogy sin 80 cos (90-80 )! sin0 5 Szoozzuk meg az egyenletet sin a-val, majd alkalmazzuk a sin a képletét többszö is, majd az elôzô feladat megoldásához hasonló módon egye övidítsük a bal oldalt, egészen addig amíg meg nem kapjuk a kívánt eedményt 5 Végeedmény: Legyen K a kifejezés Használjuk fel sin képletét többszö is $ sin $ K Induljunk ki abból, hogy K 5 $ sin 5 $ $ 8 $ $ $ $ sin $ cos $ cos $ cos $ cos $ cos $ cos $ sin 5

68 Összegzési tételek alkalmazása $ $ $ 8 $ $ $ sin $ cos $ cos $ cos $ cos $ cos $ sin 5 $ $ 8 $ $ $ sin $ cos $ cos $ cos $ cos Folytassuk! A végén használjuk fel, $ sin 5 $ J N hogy sin sin - sin 5 K 5 O 5 L P sin 55 Használjunk teljes indukciót! n 0-a: cos ez pedig igaz Tegyük fel, hogy $ sin k + sin` $ j k az állítás igaz n k-a! Ekko fennáll, hogy cos $ cos$ f $ cos` $ j k + Szoozzuk ezt cos k + k k + $ sin ` $ j-szel! Így cos $ cos$ f $ cos` $ j$ cos` $ j k + k + sin` $ j$ cos` $ j k + Mutassuk meg, hogy a kapott egyenlet jobb oldala éppen: $ sin k + sin` $ j k + Ha ezt megmutatjuk, akko igazoltuk az állítást n k + -e, s a teljes indukció elvének megfelelôen igazoltuk minden nemnegatív n egész száma 5 Alkalmazzuk a bal oldala a megfelelô összegzési tételt és sin a képletét és sin a + + cos a! Kapjuk, hogy : + sina$ cosa A jobb oldala szintén alkalmazzuk az összegzési tételt és a sin a + cos a képletet! Kapjuk, hogy + sina$ cosa 57 a) Végeedmény: 0 Alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételeket és sin a képletét, ezenkívül a sin a + cos a azonosságot! b) Végeedmény: 0 Alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételeket és cos a képletét! Majd osszuk el a hamadik töt számlálóját is és nevezôjét is cos a-val s így alakítsuk át tangenseket tatalmazó kifejezéssé a hamadik tötet Ehhez használjuk fel, hogy + tg a Az elsô két tötet hozzuk közös nevezôe! Vegyük észe cos a hogy az elsô két töt összegébôl kivonva a hamadik töt átalakított kifejezését, éppen nullát kapunk c) Végeedmény: sin a Alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételeket, majd a számlálóban és a nevezôben hozzunk közös nevezôe, majd egyszeûsítsünk! Majd a mûveletek elvégzése után alkalmazzuk a tangens definícióját, a sin a + cos a azonosságot és sin a képletét! 58 a) Végeedmény: Alkalmazzuk a megfelelô összegzési képleteket és a megfelelô nevezetes hegyesszögek szögfüggvényeinek étékeit helyettesítsük be! Használjuk fel a sin a + + cos a azonosságot! b) Végeedmény: Hasonlóan jájunk el, mint az elôzô feladatban

69 Gyakolófeladatok 5 J N J 90 + N 59 a) tg 5 + K tg O K O Alkalmazzuk most a következô képletet: L P L P - cos tg Lásd a e) feladatot! Használjuk fel, hogy cos( 90 + ) - sin! + cos J N J 90 - N b) tg 5 - K tg O K O Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot Használjuk L P L P J N J 90 - N fel, hogy cos (90 - ) sin c) tg 5 - K tg O K O Alkalmazzuk a következô képletet: tg Lásd a c) feladatot! Majd használjuk fel, hogy cos (90 - ) sin L P L P sin + cos J N J 90 + N sin d) tg K 5 + tg O K O Használjuk fel, hogy: tg és + cos L P L P cos( 90 + ) - sin 0 Végeedmény: sin a, ez tényleg nem függ -tôl Alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételeket! Ezután végezzük el a sin - cos helyettesítést Majd két megfelelô tagból emeljünk ki cos -et, ezután alkalmazzuk a következô azonosságot: sin a + cos a - + Végeedmények: sin 5 cos 75 ; cos 5 cos 75 ; + tg 5 ctg 75 - ; ctg 5 tg 75 + ; sin 05 ; - cos 05 - ; tg ; ctg 05 - Induljunk ki abból, hogy sin 5 sin (5-0 ), majd alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételt és a megfelelô nevezetes hegyesszögek szögfüggvényeinek étékeit! Használjuk fel, hogy sin a cos (90 - a) Ugyanígy hatáozhatjuk meg cos 5 és a sin 75 étékeit A tg 5 étékének meghatáozásáa használjuk a tangens definícióját és az elôzôekben kiszámított étékeket Használjuk fel még, hogy ctg a tg (90 - a)! A ctg 5 meghatáozásánál a legegyszeûbb, ha tg 5 -bôl számítjuk ki tg 05 tg (05-80 ) tg ( 75 ) -tg 75 A ctg 05 -ot hasonlóan számíthatjuk ki sin 75 sin (5 + 0 ) ee alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételt, ezután pedig helyettesítsük be a megfelelô nevezetes szögfüggvények étékeit sin 5 sin (5-0 ), ezt ahhoz hasonlóan alakítsuk át, mint az elôzôt tg 5 tg (0-5 ) Alkalmazzuk ee a megfelelô összegzési tételt és a nevezetes hegyesszögek tangenseinek megfelelô étékeit Majd használjuk fel, hogy ctg 5! tg 5 Használjuk fel, hogy sin 75 cos 5, cos 75 sin 5, tg 5 tg (5-80 ) tg (- 5 ) -tg 5 -! 5 sin 8 cos 7 tg 8 ctg $ 5 ; cos 8 sin 7 ; 5-0 $ 5 ; ctg 8 tg 7 5+ $ 5 Tekintsünk egy olyan egyenlô 5

70 Összegzési tételek alkalmazása száú háomszöget, amelynek szögei 7 ; 7 ;, a száainak hossza egység és az alap hossza legyen egység! Húzzuk meg az egyik 7 -os szög szögfelezôjét! Mutassuk meg, hogy ennek a hosszúsága is! Vegyük észe, hogy a szögfelezô és - hosszúságú észe osztja fel a száat Miét? Alkalmazzuk a szögfelezôtételt: - Ebbôl hatáozzuk meg -et! Ebbôl pedig: sin8 Számítsuk ki az említett egyenlô száú háomszög magasságát 0 + $ 5 a Pitagoasz-tétellel: m, ebbôl kiszámíthatjuk cos 8 -ot A tg 8 -ot a tangens definíciójának és az elôzô eedmények felhasználásával kaphatjuk Némely algebai átalakításokat azét néhol vége kell hajtani, például a nevezô gyöktelenítését, ha azokat az eedményeket szeetnénk kapni, amelyeket elôbb megadtunk cos cos( $ 8 ) cos 8 -sin 8, másészt használjuk fel az elôzô feladatból a megfelelô képleteket 7 Mutassuk meg, hogy sin -cos, ezt pedig má az elôzô feladat megoldásában kiszámítottuk Használjuk fel sin 8 pontos étékét és a megfelelô szozás elvégzése után megkapjuk a bizonyítandó egyenlôség jobb oldalát 8 Végeedmény: a kifejezés pontos étéke Használjuk fel, hogy cos 90 cos ( )! Alkalmazzuk ee a megfelelô összegzési tételt és mutassuk meg, hogy cos 90 cos ( ) sin 0! Másészt sin 50 sin (70-0 ), ezt kifejtve a megfelelô összegzési tétellel, kaphatjuk, hogy sin 50 cos 0 Felhasználva az eddigieket, kaphatjuk, hogy a kiszámítandó kifejezés egyenlô a következô kifejezéssel: - Ebbôl sin0 cos 0 $ cos0 - sin0 cos0 - sin0 $ sin0 $ cos0 - cos0 $ sin0 $ $ sin0 $ cos0 $ sin0 $ cos0 $ sin0 $ cos0 sin ( 0-0 ) $ f $ sin 0 $ cos 0 9 c -( a+ b ), ezt felhasználva: tga$ tgb+ tgc$ ( tgb+ tga) J N tga$ tgb+ tg -( a+ b) K $ ( tga+ tgb) O tg a $ tg b + ctg (a + b) $ (tg a + tg b) Ezután L P alkalmazzuk a kotangense való összegzési tételt! Ha ez éppen nem jut eszünkbe, akko alakítsuk át a kotangenst tangense és alkalmazzuk a tangense ismet összegzési tételt 70 Használjuk a tangense ismet összegzési tételt többszö is Számítsuk ki elôszö, hogy 7 tga, másészt számítsuk ki, hogy tg ( a+ b ) Ezután mutassuk meg, hogy tg( a+ b) tg_ $ ( a+ b) i, majd ezután következik, hogy tg( 5a+ b) tg_ ( a+ b) + ai Ebbôl következik, hogy 5a + b 5 + k $ 80, ahol k tetszôleges egész szám Mutassuk meg, hogy 0< a < 5, majd azt, hogy 0< a < 5 Hasonlóan mutassuk meg, hogy b, a + b és a + b is 0 és 5 közé esik, ezét k 0

71 Geometiai feladatok 7 7 Számítsuk ki elôszö, hogy cosb 5, ezután pedig tgb 8 5 következhet Alkalmazzuk a tangense ismet összegzési tételt! Kaphatjuk, hogy tg( a+ b ) Vegyük figyelembe, hogy 0 < a+ b < 80 Ebbôl és az elôzôbôl következik, hogy a + b 0 7 Számítsuk ki, hogy cosb, másészt tgb Majd az utóbbiból tgb 0 Majd végül tg (a + b) Mutassuk meg, hogy 0< a+ b<, így ezekbôl következik, hogy a+ b Geometiai feladatok 7 8 l; 9 l; 5 7l a háomszög szögei,,7 cm a háomszög ismeetlen oldala Alkalmazzuk a szinusztételt! Majd alkalmazzuk a sinα képletét 7 5 l; 8 57l a háomszög ismeetlen szögei Alkalmazzuk a szinusztételt! Ezután alkalmazzuk a szögek különbségée a megfelelô összegzési tételt Kapunk egy egyenletet, amelyben az egyik szög szinusza és koszinusza szeepel Osszuk el az egyenletet a szög koszinuszával, ekko olyan egyenletet kapunk, amelyben a szög tangense lesz Ebbôl megkaphatjuk a megfelelô szöget 75,09 cm; 9, cm a háomszög ismeetlen oldalai, 7l; 88 l a háomszög ismeetlen szögei Hasonlóan számíthatjuk ki a szögeket, mint az elôzô feladatban Ezután az ismeetlen oldalakat szinusztétellel számíthatjuk ki 7 0,55 egység a P pont távolsága a deékszögû csúcstól Számítsuk ki, hogy PC cos a PC sinb sin( a - 0 ) Másészt b a-0 Alkalmazzuk a szinusztételt: Ebbôl cos a sin0 sin0 + Alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételt, utána osszunk cos a-val Kapjuk, hogy tga Ebbôl számítsuk ki az a szöget, majd ebbôl pedig a PC szakasz hosszát 77 0 m-e közelítettük meg a felhôkacolót Az út kezdetén a szögben látjuk a felhôkacolót, ekko 00 m + távolsága vagyunk a felhôkacolótól tga, menjünk méteel közelebb a felhôkacolóhoz: tg( a + 5 ) Alkalmazzuk ee a megfelelô összegzési tételt Majd oldjuk meg az 7 egyenletendszet! -e másodfokú egyenletet kapunk, amelyet megoldva, kapjuk, hogy ,7 ;,8 ; 8,9 a háomszög ismeetlen szögei, 0, cm; 5,8 cm a háomszög ismeetlen oldalai sina Alkalmazzuk a szinusztételt! Az összegzési tétel segítségével íjuk fel a sin a kifejezést sin a, illetve cos a segítségével, sina vagy használjuk fel a 0 a) feladat eedményét Ebbôl meghatá-

72 8 Összegzési tételek alkalmazása ozhatjuk az a szöget, ebbôl a b szöget, ezekbôl pedig a c szöget Majd a szinusztételt kétsze felíva, meghatáozhatjuk a két ismeetlen oldal hosszúságát sin 79 Nincs ilyen háomszög Alkalmazzuk a szinusztételt: Majd fejezzük ki a 8 sin megfelelô kifejezéseket sin a, illetve cos a segítségével Például a következô egyenletet kaphatjuk: $ cos - $ cos - 0, ebbôl olyan -eket kapunk, amelyeke nem létezik a megfelelô háomszög 80 7 l ; 7 l; l a háomszög ismeetlen szögei Alkalmazzzuk a szinusztételt! a 8 cm, b 5 cm, c b, ekko a 80 - b Alakítsuk át ezt 8 sin( 80 - b ) 5 sinb úgy, hogy csak sin b, illetve cos b legyen az egyenletben Ezt az összegzési tétel segítségével kaphatjuk meg vagy használjuk fel a 0 a) feladat eedményét A endezés után kapjuk, hogy: cos b 0,5 Ebbôl kapjuk a b l szöget S ebbôl pedig számíthatjuk a többi szöget 8 megoldás: a 8,8 ; b 8, ; c 8,59 a háomszög ismeetlen szögei, a 5,89 cm; b,9 cm a háomszög ismeetlen oldalai megoldás: a 8 ; b 0, ; c,, a 7,5 cm; b 5, cm Legyen c cm, R 8 cm, ekko a c $ R $ sin c képletbôl kaphatjuk a c szöget: c 8,59, c,, a $, b $ Íjuk fel a c oldala a koszinusztételt! Ebbôl kapjuk, hogy: á,97, á,877 Ezekbôl kaphatjuk az ismeetlen oldalakat Az a szöget például az a $ R $ sin a egyenletbôl hatáozhatjuk meg 8,57 ; 5, ; 00, a háomszög szögei; 5 cm; 8,9 cm a háomszög m ismeetlen oldalai Legyen m a háomszög cm-es oldalához tatozó magassága tg a; m tg a Alkalmazzuk a tg a képletét, majd oldjuk meg az egyenletendszet! Kapjuk, hogy 8 J N tga tga - nem lehet K O Ebbôl kapjuk, hogy: a,57 A háomszög megfelelô oldalait megfelelô szögfüggvénnyel kaphatjuk L P 8 c 5 a háomszög hamadik szöge A feltételbôl következik, hogy tg a + tg b - tg a $ tg b Elôszö mutassuk meg, hogy - tg a $ tg b Y 0 Ha ezt megmutattuk, akko tga+ tgb oszthatunk vele, ebbôl tg(a + b) Ebbôl következik, hogy a + b 5, s - tga$ tgb innen c 5 8 eset: 9,5 cm a tapéz teülete eset: 85, cm a tapéz teülete Legyen m a tapéz magassága Húzzuk meg a tapéz egyik átlóját! Legyen b + l a hosszabbik alapon fekvô szög Ekko tg ( b + l) és m tgb Alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételt, m 5 5 majd oldjuk meg az egyenletendszet! Ekko tg b-a kapunk egy másodfokú egyenletet, amelyet megoldva, kapjuk, hogy: eset: tg b á,, b á 55,5, m á,58, t á 9,5 cm, eset: tg b á 0,75, b á 7,78, m á, cm, t á 85, cm 85 á,85, á,5, a középponti szög két észe A két szöge a feltétel: () a + a 0 A két megfelelô húa: Húzzuk meg a megfelelô háomszög magasságait Ekko y a a kaphatjuk, hogy $ $ sin és y $ $ sin Ezeket behelyettesítve kapjuk, hogy: ()

73 Geometiai feladatok 9 J a a N sin sin 0 - K O Oldjuk meg az () és () egyeletbôl álló egyenletendszet! L P a a sin sin Alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételt! Majd oldjuk meg az egyenletet! Kapjuk, hogy a á,85 8 A kifejezés pontos étéke Íjuk fel a szinusztételt kétsze az ABC háomszöge! sin00 BC sin0 és Használjuk fel, hogy sin 00 cos 0 és sin 0 AC sin0 sin00 $ sin 0 $ cos 0 Majd a vége felé használjuk fel, hogy cos0 - $ sin0 $ sin( 0-0 ) 87 A keesett szögek: 0 ; 0 ; 90 Legyenek a háomszög szögei a - d, a, a + d Mutassuk meg, hogy a 0! A feltétel szeint sin( 0 - d) + sin0 + sin( 0 + d) + Alkal- mazzuk a megfelelô összegzési tételt, endezés után kapjuk, hogy cos d, ebbôl d : : vagy más fomában 7 : : 85 a háomszög oldalainak aánya Legyen tg a, tg b, tg c 5 Itt tgc tg_ 80 -( a+ b) i- tg( a+ b) 0 tga+ tgb - Ha ide behelyettesítjük a megfelelô kifejezéseket, akko -e kapunk egy - tga$ tgb egyenletet, amelynek a feladatnak megfelelô megoldása: Ebbôl kaphatjuk a szögek szinuszait, 5 ha felhasználjuk, hogy: sina tga Majd alkalmazzuk a szinusztételt: a : b : c + tg sin a : sin b : sin c 89 PC á 9,7 m, a P pont C ponttól való távolsága Számítsuk ki elôszö, hogy { + } 8 0l! Íjuk fel kétsze a szinusztételt: és! Ezekbôl sin{ sin} a sina b sinb a $ sin{ b $ sin} kapjuk, hogy: Helyettesítsük be ide a sina sinb megfelelô adatokat és kapjuk, hogy, 5 9 $ sin{ sin( 8 0l - {)! Alkalmazzuk a megfelelô összegési tételt, majd osszunk cos {-vel és kapjuk, hogy tg { á 0,7 77 Ebbôl hatáozzuk meg {-t és helyettesítsük vissza a megfelelô egyenletbe és kapjuk, hogy: á 9,7 m 89

74 0 Összegzési tételek alkalmazása A háomszög tigonometiájáól 90 Hozzuk a feltételt a következô alaka: sin c $ cos c sin b $ cos b, ebbôl sin c sin b Ebbôl vonjuk le a megfelelô következtetéseket 9 c 80 - (a + b), ebbôl sin c sin a $ cos b + cos a $ sin b Így kaphatjuk, hogy sinc $ cosa f sina$ ctgb+ cosa Ebbôl ctg a ctg b Egy második megoldást kaphatunk, ha alkalmazzuk a szinusztételt a b és a c oldala, majd alkalmazzuk a koszinusztételt az sinb a oldala 9 Végeedmény: Deékszögû a háomszög (és nem egyenlô száú, hiszen ezt kizátuk) a sin a tga sina$ cosb Alkalmazzuk a szinusztételt! f Ebbôl: sin a sin b b sin b tgb cosa$ sinb sina+ sinb 9 sin( a+ b) Alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételt! Majd szoozzunk a nevezôvel! Az átalakítások után cos a $ cos b $ (cos a + cos b) + cos a $ sin b + sin a $ cos b cosa+ cosb sin a + sin b, cos a $ cos b $ (cos a + cos b) sin a $ ( - cos b) + sin b $ ( - cos b), cos a $ cos b $ (cos a + cos b) sin a $ sin b $ (sin a + sin b), (sin a + sin b)(cos a $ cos b - sin a $ sin b) 0, (sin a + sin b) $ cos (a + b) 0 Ebbôl cos (a + b) 0, met (sin a + sin b) Y 0 Ebbôl következtessünk! c c 9 Használjuk fel, hogy: sinc $ sin $ cos Ebbôl kaphatjuk, hogy - $ sina$ sinb c c - $ cos Ebbôl pedig cos( ) cos( ) cos a+ b - a- b - $, -cosc-cos( a- b) c - $ cos Ebbôl kaphatjuk, hogy cos(a - b) Ebbôl következik, hogy a - b 0 a+ b a-b 95 sin c cos a + cos b, ebbôl () sinc $ cos $ cos, másészt c c a+ b a+ b () sinc $ sin $ cos A () egyenletbôl sin c $ cos $ cos Az () és () a+ b a+ b a+ b a-b a+ b egyenletbôl: $ cos $ sin $ cos $ cos, cos $ J a+ b a- b N a+ b $ sin - cos K 0 O Mutassuk meg, hogy cos 0 nem állhat fenn Ebbôl L P a+ b a- b a+ b J a-b N következik, hogy sin - cos 0 Tovább folytatva: sin sin 90 - K O L P a+ b a-b a+ b J a-b N Ebbôl eset: 90 -, innen pedig a 90 eset: K O, L P ebbôl pedig b 90 a+ b a- b a+ b a-b a+ b 9 eset: $ sin $ cos $ cos $ cos, ebbôl sin a+ b a+ b a+ b cos Innen pedig tg, ebbôl Innen következik, hogy c 90 eset: Ha c 90, akko sin a cos b és sin b cos a, tehát sin a + sin b cos a+ cos b

75 A háomszög tigonometiájáól 97 sin c sin (a + b), így sin a + sin b + sin c sin a + sin b + sin (a + b) sin a + sin b + sin a $ cos b + $ sin a $ cos b $ cos a $ sin b + cos a $ sin b Ebbôl ( - sin a) + + ( - sin b) sin a $ cos b + $ sin a $ cos b $ cos a $ sin b + cos a $ sin b, cos a + cos b sin a $ cos b + $ sin a $ cos b $ cos a $ sin b + cos a $ sin b,0 $ sin a $ cos a $ sin b $ cos b + + cos b $ (sin a - ) + cos a $ (sin b - ), 0 sin a $ cos a $ sin b $ cos b - cos a $ cos b, cos a $ cos b $ (sin a $ sin b - cos a $ cos b) 0 Ebbôl kaphatjuk, hogy cos a $ cos b $ cos c 0 98 cos c -cos(a + b) Ezt felhasználva kapjuk, hogy: cos a $ cos b $ cos c cosa$ cosb$ _- cos( a+ b) i #,0# 8 $ cos a $ cos b $ cos (a + b) # 8$ $ _ cos( a+ b) + cos( a- b) i $ cos( a+ b) +, 0 # $ cos (a + b) + $ cos(a - b) $ cos (a + b) + cos (a - b) + sin (a - b) 0 # _ $ cos( a+ b) + cos( a- b) i + sin ( a-b) Vizsgáljuk meg az egyenlôség esetét is! Azt kapjuk, hogy akko és csak akko van egyenlôség, ha a háomszög szabályos 99 Használjuk majd fel a koszinuszok összegének a szozattá alakításáa ismet képletet a+ b a- b sin a + sin b + sin c sin a + sin b + sin(a + b) $ sin $ cos + a+ b a+ b a+ b J a- b a+ b N + $ sin $ cos $ sin $ cos + cos K O L P a+ b J J a+ b a- b NN J J a+ b a- b NN $ sin $ $ cos K $ + O$ cos K $ - O K K O K K O L L PP L L PP a+ b a b c b a $ sin $ cos $ cos $ cos $ cos $ cos 00 cosa+ cosb+ cosc cosa+ cosb+ cos_ 80 - ( a+ b) i a cosa+ cosb- cos( a+ b) $ cos + b a $ cos - b J a - cos + b a - sin - b N K O L P + $ cos a + b $ cos a - b $ cos a + b $ cos a + b J $ cos a b - cos a b N K O L P a+ b J J a- b a+ b NN J J a-b a+ b NN + $ cos $ _- i $ sink $ + O$ sink $ - O K K O K K O L L PP L L PP a+ b a b a b c + $ cos $ sin $ sin + $ sin $ sin $ sin 0 tga+ tgb+ tgc tga+ tgb+ tg_ 80 - ( a+ b) i tga+ tgb+ tg80 - tg( a+ b) tga+ tgb + tga+ tgb- tg( a+ b) tga+ tgb- f + tg80 $ tg( a+ b) - tga$ tgb -tga$ tgb tga+ tgb ( tga+ tgb) $ - $ tga$ tgb- tg( a+ b) $ tga$ tgb -tga$ tgb - tga$ tgb tg a $ tg b $ tg c 0 - cos( a+ b+ c) cos_ ( a+ b) + ci cos( a+ b) $ cosc- sin( a+ b) $ sinc cos a $ cos b $ cos c - sin a $ sin b $ sin c - sin a $ cosb $ sin c - cosa $ sin b $ sin c Osszuk el az

76 Összegzési tételek alkalmazása - egyenletet sin a $ sin b $ sin c-val, kapjuk, hogy: ctga$ ctgb$ ctgc-ctgc- sin a$ sin b$ sin c -ctgb-ctga Ebbôl kapjuk a bizonyítandó állítást 0 sina+ sinb+ sinc sina+ sinb+ sin_ 0 -( a+ b) i sina+ sinb- a+ b a-b - sin (a + b) $ sin $ cos - $ sin ( a+ b) $ cos ( a+ b ) $ sin( a+ b) $ _ cos( a-b) - cos( a+ b) i J N J N $ sin( a+ b) $ (-) $ sin K $ _( a- b) + ( a+ b) i $ sin $ ( a-b) -( a+ b) O K _ i O L P L P - $ sin(a + b) $ sin a $ sin (- b) $ sin a $ sin b $ sin c 0 cosa+ cosb+ cosc cosa+ cosb+ cos_ 0 - $ ( a+ b) i cosa+ cosb+ cos_ $ ( a+ b) i a+ b a-b $ cos $ cos + cos ( a+ b) - sin ( a+ b) f - + $ cos( a+ b) $ _ cos( a- b) + cos( a+ b) i J J a - b a + b NN J J a - b a + b NN - + $ cos( a+ b) $ cos K $ + O$ cos K $ - O K K O K K O L L PP L L PP - + $ cos(a + b) $ cos a $ cos b -- $ cos a $ cos b $ cos c sina sinb sinc sina$ cosb+ cosa$ sinb 05 tga+ tgb+ tgc cosa cosb cosc cosa$ cosb sin_ 0 - $ ( a+ b) i sin_ $ ( a+ b) i sinc -sinc sinc cosc cosa$ cosb cosc cos a$ cos b cosc sin $ cos cos $ cos $ sin - c c + a b c -sinc$( cosc-cosa$ cosb) cosa$ cosb$ cosc cosa$ cosb$ cosc - sinc$ `cos_ $ ( a+ b) i -cosa$ cosbj sin $ ( sin $ sin ) f - c - a b cosa$ cosb$ cosc cosa$ cosb$ cosc tga$ tgb$ tgc 0 Ismet, hogy tg a + tg b + tg c tg a $ tg b $ tg c ha a szögek egy háomszög szögei Vegyük észe, hogy K J a N J b N J cn O K O K O Ezét a záójelekben levô szögek L P L P L P J a N is egy háomszög szögei, ezét alkalmazhatjuk ezeke a megfelelô tételt tg 90 - K + O L P J b N J cn J a N J b N J cn + tg tg 90 - tg 90 - K $ tg 90 - $ tg 90 - O K O K O K O K O L P L P L P L P L P a b c a b c Ebbôl ctg + ctg + ctg ctg $ ctg $ ctg Keessünk másik megoldást! Alkalmazzuk a kotangens definícióját, majd az elsô két tötet hozzuk közös nevezôe! Alkalmazzuk majd a megfelelô helyeken a megfelelô összegzési tételt! Folytassuk! Jóval hosszabb megoldása számítsunk, mint az elôzô

77 A háomszög tigonometiájáól 07 sin a+ sin b+ sin c sin a+ sin b+ sin _ 80 -( a+ b) i sin a + sin b + + sin (a + b) Alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételt, majd végezzük el a négyzete emelést, alakítsuk át a sin b-t és a sin a-t és kapjuk, hogy: sin a + cos a $ ( - cos b) + sin b + + cos b $ ( - cos a) + $ sin a $ sin b $ sin c - $ cos a $ cos b + + $ sin a $ cos a $ sin b $ cos b - $ cos a $ cos b $ (cos a $ cos b - sin a $ sin b) - $ cos a $ cos b $ cos (a + b) $ ( + cos a $ cos b $ cos c) 08 Ismet, hogy: sin a + sin b + sin c $ ( + cos a $ cos b $ cos c) Így - cos a cos b + - cos c + $ cos a $ cos b $ cos c Tehát cos a + cos b + cos c - $ cos a $ cos b $ cos c Ha van kedvünk és idônk, akko keessünk másik megoldást, amely nem használja fel az elôzô tételt Ez kissé hosszabb megoldás lesz J a N J b N J cn 09 Vegyük észe, hogy K O K O K O Ezét a záójelben L P L P L P levô szögek is egy háomszög szögei Másészt tudjuk, hogy: cos a + cos b + cos c - $ cos a $ cos b $ cos c, tetszôleges háomszög szögeie J a N J b N J cn Ide behelyettesítve cos cos 90 - K + cos 90 - O K O K O L P L P L P J a N J b N J cn -$ cos 90 - $ cos 90 - K $ cos 90 - O K O K O Ebbôl kapjuk, hogy: L P L P L P a b c a b c sin + sin + sin -$ sin $ sin $ sin 0 Ismet, hogy sin a + sin b + sin c $ ( + cos a $ cos b $ cos c), tetszôleges háomszög szögeie Vegyük észe, hogy K J a N J b N J cn O K O K O Tehát a záójelekben levô szögek is egy háomszög szögei Ezeke alkalmazva a szinuszok négyzetösszegée L P L P L P J a N J b N J cn igazolt tételt, kapjuk, hogy: sin sin 90 - K + sin 90 - O K O K O L P L P L P J J a N J b N J cn N $ K+ cos 90 - $ cos K 90 - $ cos 90 - O K O K O K Ebbôl kapjuk, hogy O L L P L P L PP cos a + cos b + cos c J $ + sin a $ sin b $ sin c N K O L P a$ b$ sinc Ismet, hogy t, másészt alkalmazzuk a-a is és b-e is a következô tételt: a $ R $ sin a! Ismet, hogy t $ R $ sin a $ sin b $ sin c Másészt ismet, hogy a b c a a t $ R$ $ cos $ cos $ cos Majd használjuk fel, hogy sin a $ sin $ cos, ezt alkalmazzuk b-a és c-a is! a b c Ismet, hogy t $ R$ $ cos $ cos $ cos, másészt a b c $ R$ sin $ sin $ sin Osszuk el a két egyenlet megfelelô oldalait egymással!

78 Összegzési tételek alkalmazása a b c Tudjuk, hogy t $ R$ $ cos $ cos $ cos, másészt ismet, hogy a b c $ R$ sin $ sin $ sin Osszuk el a második egyenletet az elsôvel, majd szoozzuk - el, ezután t-vel a kapott egyenlet oldalait Majd használjuk fel, hogy t s $ a b c 5 Ismet, hogy t s $, másészt t $ R$ $ cos $ cos $ cos b c a a) A koszinusztételbôl kapjuk, hogy cosa + -, másészt tudjuk, hogy $ b$ c a - cosa a a -( b-c) sin, met < 90 Így - cos a $ b$ c ( a b c)( a c b) , ezeket felhasználva kapjuk, hogy: sin $ b$ c ebbôl pedig sin a ( s-b) $ ( s-c) b) + cos a ( b+ c ) -a b$ c $ b$ c ( b c a)( b c a) Másészt ismet, hogy cos $ b$ c a ( a+ b- c)( a+ c-b), $ b$ c a + cosa a, met < 90 Ezek- a ( b+ c+ a)( b+ c-a) a s$ ( s- a) bôl kapjuk, hogy cos, innen pedig cos $ b$ c b$ c 7 Használjuk fel az elôzô két feladat végeedményét és használjuk a tangens definícióját! 8 A szögfelezô két észháomszöge osztja az eedeti háomszöget Íjuk fel, hogy az eedeti háomszög teülete egyenlô a észháomszögek teületeinek az összegével! b$ c$ sina a a b$ fa$ sin c$ fa$ sin + a a Másészt használjuk fel, hogy sin a $ sin $ cos a a a ( s-b) $ ( s-c) 9 Ismet, hogy sin a $ sin $ cos, másészt sin és b$ c a s$ ( s- a) cos Ezekbôl kaphatjuk a bizonyítandó összefüggést b$ c 0 Mutassuk meg, hogy s - a, ehhez használjuk fel, hogy a köhöz külsô pontból a húzott éintôszakaszok egyenlô hosszúak Így tg 0 s - a a b c Ismet, hogy t s $ tg $ tg $ tg, másészt tudjuk, hogy a tg, hamadészt t s $ s - a Ismet, hogy t s $, másészt tudjuk, hogy ( s-a)( s-b)( s- c) Egy második megoldást kaphatunk, ha s

79 A háomszög tigonometiájáól 5 b$ c$ sina abból indulunk ki, hogy t és sina $ b$ c $ s$ ( s-a)( s-b)( s- c) Keessünk további megoldásokat! b$ a c$ a a $ a a) t ACO ; t a ABO ; t a BCO ; a t taco + tabo - t a a BCO b + c - a t $ a a Ebbôl a s- a a a b) s c +, így tg s t Ismet, hogy a, másészt t s $, hamadészt ( )( )( ) s- a t s$ s-a s-b s- c Induljunk el a $ a$ b$ c kifejezésbôl és ezt alakítsuk az elôzôeket figyelembe véve 5 a) Tudjuk, hogy a $ R $ sin a Alkalmazzuk ezt b-e és c-e is, majd adjuk össze a háom egyenletet b) Ismet, hogy $ sin $ sin $ sin Másészt cosa+ cosb+ cosc a b c R a b c $ sin $ sin $ sin + Ezekbôl megkaphatjuk a bizonyítandó állítást Íjuk fel az a és b oldala a szinusztételt! Majd adjunk az egyenlet mindkét oldalához -et! Hozzunk közös nevezôe és kapunk egy egyenletet Induljunk ki úja az elôbb felít szinusztételbôl, de most az egyenlet mindkét oldalából vonjunk le -et Ezután hozzunk közös nevezôe és így kaptuk a második egyenletet Osszuk el a második egyenletet az elsô egyenlettel! Majd használjuk fel, hogy sina- sinb $ cos $ sin és sina+ sinb a+ b a-b a+ b a-b $ sin $ cos 7 a) Íjuk fel a szinusztételt az a és b oldala! Adjunk mindkét oldalhoz -et, majd hozzunk közös nevezôe Majd íjuk fel a szinusztételt a b és c oldala! Ezután szoozzuk össze a a+ b sina+ sinb kapott két egyenlet megfelelô oldalait! Kapjuk, hogy Használjuk fel, c sinc a+ b a-b hogy sin c sin(a + b) és sina+ sinb $ sin $ cos, másészt sin ( a+ b) a+ b a+ b $ sin $ cos b) Induljunk ki az a és b oldalaka felít szinusztételbôl, majd mindkét oldalból vonjunk le -et, ezután hozzunk közös nevezôe! Hasonló módon jájunk el, a+ b a-b mint az a) feladatban, csak itt a sina- sinb $ cos $ sin azonosságot használjuk fel

80 Tigonometikus egyenletek II ész Tigonometikus egyenletek II ész 8 a) Vegyük észe, hogy f() sin, ha sin Y 0, ha pedig sin 0, azaz k $, ahol k tetszôleges egész szám, akko ezeken a helyeken a függvény nincs ételmezve b) Vegyük észe, hogy f() cos, ha cos Y 0 Ha pedig cos 0, akko + k$, ahol k tetszôleges egész szám, és ezeken a helyeken a függvény nincsen ételmezve c) Vegyük észe, hogy a függvény f () $ sin cos 9 a) Gondoljuk meg, hogy f () cos + + $ cos cos cos b) Vegyük figyelembe, hogy f () sin - - J N c) Alakítsuk át kissé a következô módon: f () sin + cos $ K $ sin + cos O K O L P J N J $ cos $ sin + sin $ cos K O $ sin + N K O L P L P Alapvetô feladatok A következôkben szokás szeint k, l, m, n, p, q tetszôleges egész számokat jelöl 0 a) k$ ; + l$ $ ; - + m$ $ Alkalmazzuk sin képletét, majd endezzük nulláa az egyenletet és alakítsuk szozattá a kapott kifejezést! Koábban tanult módszeel is megoldhatjuk az egyenletet, miszeint eset: + k $ ; eset: - + l $ $ $ b) k$ ; + l$ $ ; - + m$ $ Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladat elsô megoldását c) k$ ; + l$ $ ; - + m$ $ Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô két feladatot a) + k$ Végezzük el a négyzete emelést, majd használjuk fel, hogy sin + 5 $ + cos! b) + k$ ; + m$ Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot 5 $ a) + k$ Szoozzuk -vel! b) + k$ ; + l$ $ Szoozzunk sin -szel, majd osszunk -vel k $ ; + l$ Szoozzuk -vel! + k$ ; + l$ Szoozzuk -vel!

81 Alapvetô feladatok 7 $ 5 k$ ; + l$ $ ; - + m$ $ ; + n$ $ ; $ 5- + p$ $ Rendezzük nulláa, alkalmazzuk a tangens definícióját és sin képletét, majd alakítsuk szozattá a kifejezést! 7 $ k$ ; - + l$ $ ; + m$ $ Alkalmazzuk cos képletét, majd endezzük nulláa az egyenletet és alakítsuk szozattá a kifejezést! 5 $ 7 k$ ; + l$ $ ; + m$ $ Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot 5 $ 8 + k$ $ ; + l$ $ ; + m$ $ Alkalmazzuk cos képletét, majd alakítsuk csak szinuszokat tatalmazóvá az egyenletet Ekko sin -e egy másodfokú egyenletet kapunk, melyet könnyen megoldhatunk 9 + k$ ; - + l$ Alkalmazzuk a kétszees szögek megfelelô képleteit, majd alakítsuk szozattá a kifejezést! k$ ; l$ $ ; - + m$ $ Alkalmazzuk cos képletét, majd ezt bontsuk szozattá Ezután endezzük nulláa az egyenletet, majd az egész kapott kifejezést alakítsuk szozattá $ $ $ a) + k$ $ ; - + l$ $ ; + m$ $ ; $ - + p$ $ Használjuk fel, hogy cos cos - sin $ $ + k $ $ ; + l$ $ ; - + m$ $ Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot 7 $ k $ $ ; - + l$ $ ; + m$ $ Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô két feladatot 5 $ k $ $ ; + l$ $ ; + m$ $ Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô háom feladatot $ $ 5 + k $ $ ; + l$ $ ; - + m$ $ Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô négy feladatot + k$ ; + l$ Alkalmazzuk sin képletét, majd endezzük nulláa az egyenletet és alakítsunk szozattá! $ k$ ; + l$ Alkalmazzuk sin képletét és használjuk fel, 8 8 hogy: sin + cos A kapott egyenletet osszuk el cos -szel, amiko ez nem nulla Így tg - e egy másodfokú egyenletet kapunk, amelyet könnyen megoldhatunk Mutassuk meg, hogy cos nem lehet nulla!

82 8 Tigonometikus egyenletek II ész 8 Az egyenlet azonosság és minden valós száma fennáll az egyenlôség Vegyük figyelembe, hogy sin( + ) - sin és cos( + ) - cos! 9 + k$ Alkalmazzuk a kétszees szögeke vonatkozó megfelelô képleteket, majd alakítsuk szozattá a megfelelô kifejezést! Csak az egyik tényezôbôl kapunk valós megoldást 50 + k$ ; + l$ Alkalmazzuk a sin -e való képletet, majd alakítsunk szozattá! $ 5 $ 5 + k$ $ ; + l$ $ ; - + m$ $ ; + n$ $ Alkalmazzuk a sin -e való képletet, kapunk egy hiányos negyedfokú egyenletet, amelyet könynyen visszavezethetünk másodfokú egyenlete 5 + k$ ; 0,988 + l $ Alkalmazzuk a kétszees szögek megfelelô képleteit, majd endezzük nulláa, ezután pedig alakítsuk szozattá! 5 0, + k $ Alkalmazzuk sin képletét, majd a kapott egyenletet osszuk el cos -szel, amiko ez nem nulla Ekko tg -e kapunk egy másodfokú egyenletet, amelyet nagyon könnyen megoldhatunk Mutassuk meg, hogy cos nem lehet nulla! 5 + k$ ; - + l$ Alkalmazzuk a tangens és a kotangens definícióit, a sin képletét, majd a bal oldalon hozzunk közös nevezôe! Szoozzunk a nevezôvel és vegyük észe, hogy a számláló -gyel egyenlô 55 + k$ ; + l$ Alkalmazzuk a tangens és a kotangens definícióit, majd végezzük el a szozást A bal oldalon hozzunk közös nevezôe! Vegyük észe, hogy a számláló étéke Szoozzunk a bal oldal nevezôjével és osszunk -vel 5 a) k $ ; - + l$ Alkalmazzuk sin képletét, majd endezzük nulláa az egyenletet, ezután pedig alakítsuk szozattá! Közben használjuk fel, hogy sin + cos b) + k$ ;,90 + l $ Alkalmazzuk sin képletét, majd a kapott egyenletet osszuk el cos -szel, amiko ez nem nulla, kapunk tg -e egy másodfokú egyenletet, amelyet oldjunk meg Mutassuk meg, hogy cos nem lehet nulla 5 $ k$ ; + l$ Hasonló módon oldhatjuk meg, mint az elôzô cos két feladatot Egy második megoldáshoz jutunk, ha felhasználjuk, hogy sin - 58,89 + k $ $ ;,89 + l $ $ Alkalmazzuk cos képletét és ekko kapunk cos -e egy másodfokú egyenletet, amelyet oldjunk meg! 59 + k$ ; + l $ ; + m$ Emeljünk ki a két megfelelô tagból -at, majd alkalmazzuk visszafelé cos képletét Ezután alakítsunk szozattá! 7 $ k$ ; + l$ $ ; - + m$ $ Alkalmazzuk visszafelé cos képletét a bal oldalon, majd endezzük nulláa az egyenletet és ezután alakítsuk szo-

83 Alapvetô feladatok 9 zattá Az egyik tényezô $ _ cos -sin i - 0, ezt alakítsuk át a következô alakúa: $ cos - $ sin, cos5 $ cos - sin5 $ sin, ebbôl cos_ + 5 i A továbbiakban is k, l, m, n, p, q, u, v tetszôleges egész számokat jelölnek 9 $ + k$ $ ; + l$ $ ; - + m$ $ ; $ $ 7 $ $ + n$ $ ; 5 + p$ $ ; + q$ $ ; 7- + u$ $ ; $ 8 + v$ $ Alkalmazzuk sin képletét és kapunk egy másodfokú egyenlete visszavezethetô negyedfokú egyenletet! 0,90 + k $ ; 0,50 + l $ Alkalmazzuk sin képletét, majd osszuk az egyenletet cos -szel, amiko ez nem nulla tg -e másodfokú egyenletet kapunk A végén mutassuk még meg, hogy cos nem lehet nulla + k$ ; - + l$ $ Alkalmazzuk sin képletét, majd osszunk cos - szel Ekko egy olyan negyedfokú egyenletet kapunk, amelyet könnyen másodfokú egyenlete vezethetünk vissza Mutassuk meg, hogy cos nem lehet nulla k $ ; - + l$ $ Végezzük el a négyzete emeléseket, majd alkalmazzuk a kétszees szögeke való megfelelô képleteket, ezután endezzük nulláa az egyenletet, majd alakítsuk szozattá! 5 Azonosság, az egyenletnek minden olyan valós szám a megoldása, amelye az egyenlet ételmezve van Vagyis Y + k$ + cos + k$ ; - + l$ $ Vegyük észe, hogy cos, ha ezt felhasználjuk, akko azt kapjuk, hogy tg $ $ $ 7 k$ ; l + $ ; - + m $ ; + n $ ; p$ $ Alkalmazzuk a tangens definícióját, majd szoozzunk a nevezôvel, endezzünk nulláa és alakítsunk szozattá! 5 $ 8 + k $ $ ; + l$ $ ; + m$ $ Alakítsuk szozattá! $ sin $ (cos + ) - (cos + ) 0 Folytassuk! 5 $ 9 + k$ ; + l$ $ ; + m$ $ Elôszö használjuk fel, hogy sin + cos, majd endezzük nulláa az egyenletet, ezután alakítsuk szozattá! $ sin $ (cos - sin ) - (cos - sin ) 0 Folytassuk! $ 70 + k$ $ ; + l$ $ ; - + m$ $ ; $ 5 $ + n$ $ ; 5 + p$ $ ; + q$ $ ; u$ $ ;

84 50 Tigonometikus egyenletek II ész 7 $ 8 + v$ $ Alkalmazzuk cos képletét, majd alakítsuk át például a cos -et úgy, hogy kicseéljük - sin -e sin + - sin 0, ebbôl sin + 0 Vezessünk be sin új ismeetlent, legyen y sin! Ezt helyettesítsük be az egyenletbe, majd szoozzunk a nevezôvel, y-a kapunk egy másodfokú egyenletet, ezt oldjuk meg, majd számítsuk ki -et! cos 7 a) + k Használjuk fel, hogy sin -, majd a endezés után oszszuk az egyenletet cos -szel Mutassuk meg, hogy cos nem lehet nulla! b) + k$ cos Használjuk fel, hogy cos + Ezután hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot 7 + k$ ; - + l$ Alkalmazzuk a tangens és a kotangens definícióját és szoozzunk a nevezôkkel! Alkalmazzuk visszafelé a kétszees szögeke vonatkozó megfelelô képleteket! Ezután alakítsuk át az egyenletet úgy, hogy csak a cos legyen benne szögfüggvény! Kaptunk ee egy másodfokú egyenletet, ezt oldjuk meg 5 $ 7 + k$ $ ; - + l$ $ ; + m$ $ ; 5 $ - + n$ $ Alkalmazzuk cos képletét, majd végezzük el a négyzete emelést! Alakítsuk át a szinuszt koszinusza! Kaptunk cos -e egy olyan negyedfokú egyenletet, amelyet másodfokú egyenlete vezethetünk vissza 7 a) + k$ ; - + l$ Emeljük négyzete a sin + cos azonosságot! Ebbôl fejezzük ki (sin + cos )-et és helyettesítsük be a feladat egyenletébe! Majd használ- juk fel visszafelé sin képletét! b) + k$ $ ; + l $ $ ; - + m$ $ ; $ + n $ $ Hasonlóan jájunk el, mint az elôzô feladatban, csak itt a sin + cos azonosságot emeljük négyzete c) + k$ ; - + l$ Az egyenlet bal oldalát alakítsuk szozattá, felhasználva, hogy a - b (a - b)(a + b) Ezután használjuk fel még, hogy sin + cos 75 a) k $ ; + l$ Hasonlóan kezdhetjük el, mint a 7 a) feladatot b) 0,07 + k $ ;,0 + l $ Hasonlóan kezdhetjük el, mint a 7 a) feladatot Kapunk sin -e egy másodfokú egyenletet, amelyet oldjunk meg 7 + k$ ; + l$ Használjuk fel a tangens és a kotangens definícióját, majd szoozzunk a nevezôkkel! Használjuk fel visszafelé sin képletét, ezenkívül a sin + cos azonosságot! Egy második megoldásnál fejezzünk ki a ctg -et tg -szel! 77 k $ ; + l$ ; - + m$ Fejezzük ki tg -et tg -szel! Majd alakítsuk szozattá az egyenletet!

85 Alapvetô feladatok 5 5 $ 78 + k$ ; + l$ Alkalmazzuk a tangense való összegzési képletet, majd kapunk egy egyenletet tg -e Szoozzunk be a nevezôvel és tg - e egy másodfokú egyenletet kapunk, amelyet oldjunk meg 79,50 + k $ ; -,50 + l $ A tg -et fejezzük ki tg -szel, majd szoozzunk a nevezôvel Rendezés után alakítsuk szozattá az egyenletet! 80 a) + k$ Alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételt a bal oldalon, majd helyettesítsük be a megfelelô nevezetes hegyesszögek szögfüggvényeinek étékeit, ezután osszunk cos - szel, amiko ez nem nulla Mutassuk meg, hogy cos nem lehet nulla b) + k$ Hasonló módon jájunk el, mint az elôzô feladatnál! c) + k$ Hasonló módon jájunk el, mint az elôzô két feladatnál! d) k $ ; + l$ $ ; - + m$ $ Hasonlóan kezdjük el, mint az elôzôeket, majd endezzük nulláa és alakítsuk szozattá! e) + k$ ; 5 $ + l$ $ ; + m$ $ Hasonlóan jájunk el, mint az elôzô feladatnál f) + k$ ; + l$ $ ; - + m$ $ Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô két feladatot 8 a) 0, 8 + k$ Vegyük figyelembe, hogy sin $ sin $ cos, másészt sin + cos, a kapott egyenletet osszuk el cos -szel, amiko ez nem nulla! Ekko tg -e kapunk egy másodfokú egyenletet, amelyet oldjunk meg! Mutassuk meg, hogy cos $ $ nem lehet nulla! b) - 0, k$ ; 0, 70 + k $ Hasonló módon kezdhetjük megoldani, mint az elôzô egyenletet Kapunk sin 5-e egy másodfokú egyenletet, ha 5 5 cos 5 -sin 5-et figyelembe vesszük $ $ 8 a) + k$ ; + l$ $ ; - + m$ $ Használjuk fel cos képletét és a sin + cos azonosságot! Ezután alakítsunk szozattá! $ cos $ _ sin - cos i+ _ sin - cos i 0 Folytassuk! b) k$ $ ; + k$ Alkalmazzuk sin képletét, majd alakítsunk szozattá! $ sin $ cos $ _ -cos i-_ - cos i 0 Folytassuk! 8 a) k$ $ ; + l$ $ ; $ sin + $ cos, cos sin $ + J N + sin $ cos, sin + K O b) k$ ; + l$ Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot c) + k$ $ ; + l$ $ Hasonlóan old- L P hatjuk meg, mint az elôzô két feladatot, csak itt -vel osszuk el az egyenletet! d) k$ ; + l$ Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot e) - + k$ ;

86 5 Tigonometikus egyenletek II ész - + l$ Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô két feladatot f) + k$ ; 7 $ + l$ Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô két feladatot g) k$ ; 0, 55 + l$ Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatokat, csak itt 5 -tel osszuk el az egyenletet! 8 a), 5 + k$ $ ; - + l$ $ Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatokat, csak itt -gyel osszuk el az egyenletet! b) k$ $ ;, 95 + l$ $ -mal osszuk el az egyenletet! c) + k$ $ ; + l$ $ Alkalmazzuk a tangens definícióját, majd szoozzunk a nevezôkkel, ezután pedig osszuk az egyenletet -vel! J 85 + k$ ; + l$ Az egyenlet bal oldala egyenlô sin + N K O -mal L P k$ ; + l $ Osszuk az egyenletet -vel! Ezután vegyük 7 9 J észe, hogy a kapott egyenlet bal oldala egyenlô sin 5 + N K O -gyel! Ez pedig tovább egyenlô L P J N cos K O -vel L P $ 87 + k$ $ ; + k$ Szoozzunk a nevezôkkel, majd osszuk az egyenletet -vel! Vegyük észe, hogy a kapott egyenlet bal oldala éppen sin + N K O! J L P 5 $ k$ ; + l $ Adjunk az egyenlet mindkét oldalához 0 J $ cos -et! Majd vegyük észe, hogy a kapott egyenlet bal oldala éppen sin + N K O -nak a L P négyzete! Eôl pedig gondoljuk meg, hogy éppen egyenlô a következô kifejezéssel: J J - cos $ + NN K O K K O L L PP Összetettebb, illetve nehezebb tigonometikus egyenletek $ $ 89 + k$ ; + k$ ; + k $ ; - + l $ Alkalmazzuk a tangens definícióját, másészt vegyük figyelembe, hogy sin $ sin$ cos! Hamadészt a koszinuszok összegée vonatkozó azonosság segítségével alakítsuk szozattá az 0 5 egyenlet bal oldalát: cos + cos $ cos $ cos Ezután endezzük nulláa az egyenletet, majd alakítsuk szozattá!

87 Összetettebb, illetve nehezebb tigonometikus egyenletek k$ ; 0, 87 + k$ $ ; - 0, 87 + l$ $ ;, m $ $ ; 5 -, 59 + n$ $ Használjuk fel, hogy cos $ cos - $ cos Ezt helyettesítsük be, majd endezzük nulláa az egyenletet és ezután alakítsuk szozattá! 5 $ 9 + k$ $ ; - + l$ $ ; + m$ $ ; + n$ $ Használjuk fel, hogy sin $ sin -$ sin és cos - $ sin! Ezeket helyettesítsük be, majd endezzük nulláa az egyenletet és ezután alakítsuk szozattá! sin $ _ $ sin -i-_ $ sin - i 0 Folytassuk! 9 + k$ ; - + l$ Alkalmazzuk a kotangens és a tangens definícióját, majd szoozzunk a nevezôkkel! Alkalmazzuk visszafelé a kétszees szögek megfelelô szögfüggvényeie vonatkozó képleteket! Ezután alakítsuk át az egyenletet úgy, hogy csak cos legyen benne a szögfüggvény, ee kapunk egy másodfokú egyenletet, amelyet oldjunk meg 9 + k$ $ Osszuk az egyenletet -vel, majd a kapott egyenletôl vegyük J észe, hogy a bal oldala éppen sin + N K O! Vegyük figyelembe, hogy a kapott egyenlet bal L P oldala nem nagyobb -nél, míg a jobb oldala nem kisebb -nél Ebbôl következik, hogy az egyenlet csak akko állhat fenn, ha mindegyik oldala külön-külön -gyel egyenlô k$ ; l$ $ ; + m$ $ Vegyük figyelembe, hogy sin + cos és alkalmazzuk sin képletét! Ekko észevehetjük, hogy az egyenlet bal oldala éppen sin + cos négyzete Rendezzük nulláa az egyenletet, majd alakítsuk szozattá! $ 95 + k$ ; + l$ ; - + m$ ; + n$ A bal oldalon hozzunk közös nevezôe, majd vegyük észe, hogy a kapott számláló étéke! Míg a kapott nevezô éppen sin fele 9 + k$ $ ; + l$ $ Alakítsuk szozattá a bal oldalt még jobban! A jobb oldalon végezzük el a négyzete emelést és használjuk fel, hogy sin + cos! Majd a kapott egyenletet endezzük nulláa és alakítsuk szozattá! 9 $ $ 97 + k$ $ ; + l$ $ ; - + m$ $ ; + n$ $ Különböztessünk meg két esetet, az esetben sin $ 0, míg a esetben sin < 0 $ tg 98 + k$ Mutassuk meg elôszö, hogy sin Ezután ezt helyettesítsük be az egyenletbe, majd szoozzunk a nevezôvel! Ekko kapunk tg -e egy hamadfokú + tg egyenletet Azt alakítsuk szozattá a következô módon: tg - $ tg + $ tg - 0, `tg -tg j-` tg - tg j+ $ _ tg - i 0 Folytassuk! 99 k$ $ ; + l$ $ ; 0, 5 + m$ $ ; 0, 97 + n$ $ Vezessünk be új változót: y sin + cos Ekko y-a egy másodfokú egyenletet kapunk, amelyet oldjunk meg! Utána a szokott módon megoldhatjuk a kapott két észegyenletet, ha mindegyiket osztjuk -vel

88 5 Tigonometikus egyenetek II ész 5 $ 00 + k$ $ ; - + l$ $ ; + m$ $ ; + n$ $ Használjuk fel, hogy sin $ sin $ cos -sin és cos - $ sin Ezeket helyettesítsük be és endezzük nulláa az egyenletet, majd alakítsuk szozattá! `$ sin -$ sin j-`- sin j 0 Folytassuk! k$ ; + l $ Osszuk el az egyenletet -vel! A bal oldalon levô J második és hamadik tag összege éppen sin + N J K O Így cos - sin + N K O, L P L P J cos sin -- N J K O, cos cos N K O L P L P 0 k$ ; l + $ ; + m$ $ Összefoglalva a megoldásokat: J N n$ Használjuk fel, hogy cos sin + K - O és - cos sin Alakítsuk át L P ezután a szinuszok összegée vonatkozó tétellel az egyenlet jobb oldalát: sin + sin $ sin$ cos Majd endezzük nulláa az egyenletet és alakítsuk szozattá! 5 $ 0 k$ ; + l$ $ ; - + m$ $ ; + n$ $ ; 5 $ 5- + p$ $ Alkalmazzuk a tangens definícióját, másészt sin $ sin$ cos $ sin $ cos $ `$ cos -j Szoozzunk a nevezôvel, majd endezzük nulláa az egyenletet és alakítsuk szozattá! 0 0,0 + k $ $ ;,998 + l $ $ ; 0,0 + m $ $ ;,88 + n $ $ eset: $ cos - $ sin + p$ $, ebbôl sin + cos + $ p Osszuk ezt az egyenletet -vel és gondoljuk meg, hogy csak p 0 lehet Kapjuk, hogy J N J N sin K + O Folytassuk! A esetben: $ cos - - $ sin + q$ $ K O Hasonlóan folytathatjuk, mint az esetnél L P L P 05 + k$ ; Az egyenlet a következôe vezet: - 5 $ cos _ -i $ cos Alkalmazzuk az esetek szétválasztását! eset: cos 0 eset: cos >0 eset: cos < k$ ; + l $ Osszuk el az egyenletet -vel! Az így kapott 9 J egyenlet második és hamadik tagjának összege sin 5 + N J K O ; sin 7 sin 5 N + + K 0 O ; L P L P J sin7- sin 5+ N J K O ; sin 7 sin N K O L P L P

89 Összetettebb, illetve nehezebb tigonometikus egyenletek 55 5 $ 07 + k$ ; + l $ $ ; + m$ $ Alkalmazzuk a tangens és a kotangens definícióját! Hozzunk közös nevezôe a bal oldal számlálójában, majd alkalmazzuk visszafelé a cos képletét! Ezután szoozzunk (sin $ cos )-szel, majd endezzük nulláa az egyenletet, ezután pedig alakítsuk szozattá! 08 $ + k$ $ Gondoljuk meg, hogy az egyenlet bal oldala nem nagyobb, mint Ezét pontosan akko teljesülhet az egyenlet, amiko az sin J - $ N és cos K O L P 7 $ 09 + k$ $ ; + l$ $ Összefoglalva: + m$ Osszuk el az J N J K O N egyenletet -vel! $ sin + $ cos $ sin, sin + $ sin K O K O Gondoljuk meg, L P L P hogy ez pontosan akko lehet, ha mindkettô tényezô -gyel egyenlô, vagy ha mindkét tényezô (-)-gyel egyenlô! 0 k$ $ ; + l$ $ Adjunk mindkét oldalhoz -et, majd alakítsuk szozattá a bal oldalt! _ sin + i_ cos + i Gondoljuk meg, hogy ez pontosan akko lehet, ha az elsô tényezô és a második tényezô, illetve fodítva! Miét nem lehetnek negatívak a tényezôk? + k$ ; - 0, 97 + l$ ; - 0, 97 + m$ Használjuk fel, hogy cos $ cos - $ cos, cos $ cos -$ cos és J cos cos cos + N ` j K O Helyettesítsük be ezeket az egyenletbe, endezzük az egyenletet és cos -e egy másodfokú egyenletet kapunk $ cos + 5$ cos + 0 (k; 0) és (k; ) ahol k tetszôleges egész szám Gondoljuk meg, hogy az egyenlet akko L P és csak akko állhat fenn, ha: sin _ $ i 0 és log (y - y + ) 0! - + k$ és y + l $ Gondoljuk meg, hogy az egyenlet akko és csak J N akko teljesülhet, ha tg + 0 és ctg y - K 0 O L P k + ; Az egyenletbôl a következô egyenlet következik: 8 8$ $ ctg _ $ i+ 5$ $ ctg _ $ i $ ctg _ $ i Ezt endezzük nulláa és alakítsuk szozattá! $ $ 5 + k$ ; - + l$ ; + m$ ; - + n$ Használjuk fel, hogy sin - cos cos és cos + és ezeket helyettesítsük be az egyenletbe! Végezzük el az ötödik hatványa való emelést például a binomiális tétellel, endezzük az egyenletet és kapjuk, hogy: 0 $ cos -0$ cos - Ezt másodfokú egyenlete vezethetjük vissza

90 5 Tigonometikus egyenetek II ész $ a) + k$ ; - + l$ Alkalmazzuk a sina$ sinb $ `cos _ a-bi- cos _ a+ bij azonosságot! b) - + k$ ; - + l$ Alkalmazzuk a cosa$ cosb $ `cos _ a- bi+ cos _ a+ bij azonosságot! c) - + k$ Alkalmazzuk a sin a$ cos b $ ` sin _ a+ bi+ sin _ a-bij azonosságot! d) - + k$ ; + l$ Alkalmazzuk a cosa$ sinb $ 7 $ $ `sin _ a+ bi-sin _ a-bij azonosságot! e) k$ Alkalmazzuk a tangens definícióját, majd alkalmazzuk a következô két azonosságot: sina$ sinb $ `cos _ a-bi- cos _ a+ bij, cosa$ cosb $ `cos _ a- bi+ cos _ a+ bij $ $ 7 a) + k$ ; - + l$ ; + m $ Alkalmazzuk a a+ b a-b cosa+ cosb $ cos $ cos azonosságot! Rendezzük nulláa az egyenletet és $ alakítsuk szozattá! b) k$ $ ; - + l$ Alakítsuk szozattá az egyenlet bal oldalát, a jobb oldalát, majd endezzük nulláa az egyenletet és alakítsuk szozattá! $ $ c) + k$ ; l $ $ ; m$ Az egyenlet mindkét oldalát alakítsuk szozattá, majd endezzük nulláa az egyenletet és alakítsuk szozattá! 8 a) k$ ; l $ Alkalmazzuk a cosa$ cosb $ `cos _ a- bi+ cos _ a+ bij azonosságot! Majd ezután a koszinuszok különbségének szozattá alakításáa való azonosságot b) k$ ; $ + l $ Alkalmazzuk mindkét oldala a sina$ cosb $ `sin _ a+ bi+ sin _ a-bij azonosságot! 0 9 k$ ; l + $ ; - + m $ Alkalmazzuk az egyenlet bal oldaláa a sina- sinb $ cos $ sin azonosságot! Majd endezzük nulláa az a+ b a-b egyenletet és alakítsuk szozattá! $ 5 $ $ 0 + k$ ; + l $ ; + m $ Alkalmazzuk az elsô 8 8 két taga szinuszok összegének szozattá alakításáa való azonosságot! Majd vegyük figyelembe, hogy $ sin - cos Ezután endezzük az egyenletet, majd alakítsuk szozattá! $ $ k$ ; l + $ $ ; - + m$ $ Az egyenlet elsô két tagja által alkotott összeget alakítsuk szozattá! Ezután az egész egyenletet szozattá alakíthatjuk

91 Összetettebb, illetve nehezebb tigonometikus egyenletek 57 $ $ + k$ $ ; - + l$ $ ; + m$ ; + n$ ; 5 $ 5 + p$ ; _ sin+ sin i+ sin cos + _ + cosi, $ sin$ cos + sin cos + $ cos Mindkét oldalt alakítsuk szozattá, majd endezzük nulláa az egyenletet és alakítsuk szozattá! $ + k$ ; l$ ; + m $ $ 5 _ sin+ sin i+ _ sin+ sini 0 Majd mindkét záójeles kifejezést alakítsuk szozattá! Ezután az egész egyenletet szozattá alakíthatjuk $ + k$ ; + l$ ; + m $ $ 5 5 _ cos+ cos i+ _ cos+ cosi 0 Mindkét záójeles kifejezést alakítsuk szozattá! Ezután az egész egyenletet szozattá alakíthatjuk 5 k$ ; l$ Az egyenlet bal oldalát alakítsuk szozattá! + k$ ; + l$ ; _ sin+ sini- _ cos+ cosi 0 Mindkét záójeles kifejezést alakítsuk szozattá! Ezután az egyenletet is szozattá alakíthatjuk $ $ 7 a) + k$ ; + l $ ; _ sin+ sin i- _ cos+ cos i 0 Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô két feladatot b) + k$ ; 0 5 $ $ - + l $ 0 5 $ _ sin+ sin i+ _ cos+ cos i 0 c) + k$ $ ; + l$ _ sin+ sin i- _ cos+ cos i k$ Alkalmazzuk a sina$ sinb $ `cos _ a-bi- cos _ a+ bij és a cosa$ cosb $ `cos _ a- bi+ cos _ a+ bij azonosságokat! 9 a) 0, 05 + k$ ; - 0, 05 + l $ Alkalmazzuk a sina$ sinb $ `cos _ a-bi- cos _ a+ bij azonosságot! A jobb oldalon végezzük el a következô átalakítást: $ sin - - $ cos -$ A endezés után az + cos8 egyenletünk a következô alakúvá válik: cos b) k $ ; l + $ 8 $ sin $ $ sin $ cos $ sin$ cos Ezután endezzük nulláa az egyenletet, majd alakítsuk szozattá! c) k$ ; l + $ ; + m$ $ ; 5 $ a+ b a-b + n$ $ Használjuk fel, hogy cosa- cosb- $ sin $ sin és

92 58 Tigonometikus egyenetek II ész a+ b a-b sina+ sinb $ sin $ cos Majd endezzük nulláa az egyenletet és alakítsuk cos szozattá! d) + k$ ; + l$ Használjuk fel, hogy sin - és cosa$ cosb $ `cos _ a- bi+ cos _ a+ bij e) + k$ ; + l$ Használjuk cos fel, hogy sin - és sina$ sinb $ `cos _ a-bi- cos _ a+ bij 0 a) + k$ ; + l $ Szoozzunk a nevezôkkel és hozzuk az egyenletet a következô alakúa: $ sin$ cos $ cos + sin Majd alkalmazzuk a sina$ cosb `sin _ a+ bi+ sin _ a-bij azonosságot! Rendezzük, majd pedig -vel osszuk el az egyenletet! J N Kapjuk, hogy sin $ cos - $ sin, ebbôl sin sin - K O b) k + $ ; 8 L P cos + l$ ; - + m$ Alkalmazzuk a cos + azonosságot háomszo, endezés után kapjuk, hogy: cos+ cos+ cos 0 Alkalmazzuk most a cosa+ cosb a+ b a-b $ cos $ cos azonosságot, mégpedig a -es taga és a -es taga Ezután szozattá alakíthatjuk az egyenletet! c) + k$ ; + l $ ; + m $ Alkalmazzuk a sin - azonosságot négysze! Ekko kaphatjuk endezés után, hogy: 0 0 cos cos+ cos8+ cos+ cos 0; _ cos+ cosi+ _ cos+ cos8i 0 Alkalmazzuk a+ b a-b most a záójeles összegeke a cosa+ cosb $ cos $ cos azonosságot! Ezután szozattá alakíthatjuk az egyenletet 7 - ; Fogás: J N K - ctg _ $ $ i O - ctg _ $ $ i $ K $ cos_ $ i + $ sin_ $ i O K - ctg _ $ $ i - ctg _ $ $ i O L P J N J N K - ctg _ $ $ i O K O Ez azét lesz hasznos, met: K O + K O K - ctg _ $ $ i O K - ctg _ $ $ i O L P L P - ctg _ $ $ i Így van olyan a szög, amelye: sina és cosa - ctg _ $ $ i - ctg _ $ $ i Ezeket felhasználva kapjuk, hogy: - ctg _ $ $ i $ `sina$ cos _ $ i+ cosa$ sin _ $ ij,

93 Paamétees tigonometikus egyenletek 59 - ctg _ $ $ i $ sin _ $ + ai Másészt - ctg _ $ $ i # és sin _ $ + ai # Így az egyenlet akko és csak akko teljesülhet, ha mindkét elôzô egyenlôtlenségben egyenlôség áll elô Elég vizsgálni a - ctg _ $ $ i egyenletet Ezt megoldva, kapjuk, hogy +, ahol k tetszôleges egész szám Az eedeti egyenlet gyökei ezek kö- k zül keülhetnek ki Ha a -gyel való oszthatóság szempontjából vizsgáljuk a k étékét és a négy esetet behelyettesítéssel kipóbáljuk az eedeti egyenletnél, akko azt kapjuk, hogy pontosan akko lesz megoldás, ha k $ m, ahol m tetszôleges egész szám Tehát + $ m a megoldás, de ezek közül a feladat csak azokat kéi, amely a [-; intevallumba esnek Ezek pedig 7 m 0-nál, illetve m --nél vannak, azaz, illetve - Paamétees tigonometikus egyenletek k $ $ az egyenlet azon megoldása, amely tetszôleges a valós szám esetén megoldása az egyenletnek Ismet, hogy cos $ cos - $ cos, ezt helyettesítsük be az egyen- letbe, majd endezzük nulláa és alakítsuk szozattá! cos $ `$ cos -- aj 0 eset: ha cos 0, ebbôl kapjuk, hogy k $ $ és ez tetszôleges a valós szám esetén megoldása az egyenletnek a eset: ha $ cos -- a 0, ebbôl cos +, ennek csak akko van megoldása a valós + a számok halmazán, ha 0 # cos # miatt 0 # #, ebbôl pedig - # a # Tehát a második eset nem áll fenn minden a valós száma - # p < étékeke van az egyenletnek olyan megoldása, amelye 0 < < Ismet, hogy sin $ sin - $ sin, ezt helyettesítsük be, majd endezzük nulláa az egyenletet és alakítsuk szozattá! Kapjuk, hogy sin $ `-$ sin - pj 0 eset: sin 0, ebbôl k$, ez a feltétel miatt nem lehet, hiszen 0 < < p eset: -$ sin - p 0, ebbôl sin -, és 0 < < miatt 0< sin # - p Így 0 < #, ebbôl - # p < eset: Ha a- Y + _ n- mi $, ahol n és m tetszôleges egészek, akko k $ ; - a+ n$ a megoldások, ahol k tetszôleges egész szám eset: Ha a- + _ n- mi $, akko k $ a megoldás cos $ cos _ a+ i cos a, alkalmazzuk a cosa$ cosb $ `cos _ a- bi+ cos _ a+ bij azonosságot

94 0 Tigonometikus egyenetek II ész $ ` cos _ a + - i+ cos _ a + + ij cos a, ebbôl cos _ + ai cos a Ebbôl k $, illetve - a+ n$ következik cos Y 0, ebbôl Y + m$ Így k$ Y + m$, ebbôl k Y + m, itt az egyenlôség nem is következhet be Másészt + m$ - Y a+ n$, ebbôl a- Y + _ n- mi $ 5 - # m # paaméteétékek mellett van megoldása az egyenletnek a valós számok halmazán Használjuk fel cos képletét, ezután kapunk cos -e egy másodfokú egyenletet $ m Oldjuk meg! Azt kapjuk, hogy eset: cos, ebbôl következik, hogy - # m # eset: cos - m, ebbôl következik, hogy - # m # A két eset egyenlôtlenségeinek egyesítése (uniója): - # m # - # p # valós paaméte esetén van az egyenletnek valós megoldása Tekintsük a cos -e másodfokú egyenletet! Ennek akko és csak akko van valós megoldása, ha a diszkiminánsa nemnegatív Ebbôl következik, hogy () $ p Másészt tekintsük a megoldóképletbôl 9 kapott cos étékeket! Ezeknek a [-; intevallumba kell esni Az egyik eset nem állhat fenn, a másik esetbôl () - # p # következik Az () és () egyenlôtlenségnek egyaánt teljesülnie kell Ez a közös ész pedig - # p # 7-5 # p # paaméteétékek esetén van az egyenletnek valós megoldása A sin -e másodfokú egyenletnek akko és csak akko van valós megoldása, ha a diszkiminánsa nemnegatív Ebbôl következik, hogy () p # Másészt az egyenlet gyökeinek a [-; intevallumba kell esniük Az egyikbôl nem kapunk megoldást Míg a másikból kapjuk, hogy () - 5 # p # Az () és () egyenlôtlenség közös észe: - 5 # p # 5 $ 8 a - + k $ $ ; a + m $ $ esetén lesz az egyenletnek két egyenlô valós gyöke Feltételek: cosa > 0 és sina Y 0, ezekbôl - + n $ $ < a< 0+ $ ; 0+ n$ $ < a< + n$ $ Az egyenletnek akko és csak akko van két egyenlô gyöke, J N J N K O amiko a diszkiminánsa nulla: - $ + $ 0 K K sina O sina O Ennek a megoldásaiból L P L P válogassuk ki azokat, amelyek eleget tesznek a feltételeknek 9 Pontosan egy valós megoldása akko van az egyenletnek, ha c iacionális szám 0 megoldása az egyenletnek Tehát azt kell megállapítanunk, hogy mely c-e nincs az egyenletnek nullától különbözô megoldása Mivel + sin _ ci $ és cos #, ezét az egyenlet akko és k $ csak akko teljesül, ha sin _ ci 0 és cos Tehát és m $ $ Ezekbôl c k $ k m $ $, így c, azaz c acionális szám Ha viszont c acionális szám, akko van c $ p az egyenletnek nem nulla megoldása Legyen ugyanis c, ahol p és q egész számok, akko q mutassuk meg, hogy $ q$ kielégíti az egyenletet Ezekbôl következik, hogy az egyenletnek akko és csak akko van 0-tól különbözô megoldása a valós számok halmazán, ha c acionális szám Tehát az egyenletnek egyetlen megoldása ( 0) akko van, ha c iacionális szám

95 Paamétees tigonometikus egyenletek 0 p # 0 vagy p vagy p $ paaméte étékeknél lesz gyöke az egyenletnek a valós számok halmazán Elôszö tekintsük a p esetet, ee azt kapjuk, hogy az egyenletnek minden valós szám megoldása Ha p Y, akko oszthatjuk az egyenletet (p - )-gyel Tekintsük a kapott másodfokú egyenlet diszkiminánsát, ez pedig pozitív lesz Oldjuk meg az egyenletet, kapjuk, hogy eset: sin ; eset: sin - _ p+ i Valós gyök akko van, ha ezek p - közül legalább az egyik a [-; intevallumba esik Oldjuk meg a két kettôs egyenlôtlenséget! (0; 0) vagy (; 0) azon számpáok, amelyeke az egyenlôség minden valós száma teljesül Elôszö helyettesítsünk -t, majd helyettesítsünk $ -t! A második kapott eedménybôl b 0 következik Ezt visszahelyettesítve az elôzô eedménybe, kapjuk, hogy a k, ahol k egész szám Vegyük figyelembe, hogy a cos _ a $ i a [-; intevallumba esik, ebbôl következtessünk aa, hogy a 0 vagy a # p # paaméteétékek esetén van valós megoldása az egyenletnek Alkalmazzuk a következô helyettesítést: p p$ `sin + cos j A nulláa endezés után osszuk el az egyenletet cos -szel, amiko ez nem nulla Ekko tg -e kapunk egy egyenletet Ha p, akko van az egyenletnek valós megoldása Ha p Y, akko tg -e másodfokú egyenletünk van Ennek pontosan akko van valós megoldása, ha a diszkiminánsa nemnegatív Vizsgáljuk meg még azt az esetet, amiko cos 0! - # p # paaméteétékeke van az egyenletnek valós megoldása A cos -sin helyettesítést végehajtva, egy olyan egyenletet kapunk, amely sin -e másodfokú Ennek pontosan akko van valós megoldása, ha a diszkiminánsa nemnegatív Ebbôl kapjuk, hogy () - # p # Oldjuk meg az egyenletet sin -e! Használjuk fel, hogy 0 # sin #! Az egyik gyök nem eshet ide, a másikból viszont azt kapjuk, hogy () - # p # Az () és () közös észe a () egyenlôtlenség - + k$ az egyenlet megoldása tetszôleges p valós paaméte esetén Alakítsuk szozattá még jobban az egyenlet jobb oldalát az a + b _ a+ bi`a - a$ b+ b j azonosság segítségével eset: Ha sin + cos 0, akko - + k$, minden p valós szám esetén eset: Ha sin + cos Y 0, akko 0 psin - _ p+ i$ sin $ cos + p$ cos alaka alakíthatjuk az egyenletet a) eset: Ha cos Y 0, akko oszthatjuk az elôzô egyenletet cos -szel Ekko kapunk tg -e egyenletet, amelynek p 0 esetén is van megoldása és ha p Y 0, akko a kapott másodfokú egyenletnek pontosan akko van valós megoldása, ha az egyenlet diszkiminánsa nemnegatív Ebbôl következik, hogy - # p # és p Y 0 Tehát ebben az esetben nem minden valós p-e van megoldás b) eset: Ha cos 0, akko az egyenletnek pontosan akko van megoldása, ha p 0 $ 5 + k$, tetszôleges p valós paaméte esetén, l $ $ p - +,ha _ i p - $ p Y, - m $ $ p - +, ha p Y Használjuk fel a _ i p - a+ b a-b cosa+ cosb $ cos $ cos azonosságot! Ennek a segítségével a következô alaka hozhatjuk az egyenletet: cos $ a$ cos`_ p-i $ j - k 0

96 Tigonometikus egyenetek II ész J - cos N J cos Alakítsuk át az egyenletet a következô alakúa: + + N K p O K O L P L P Ebbôl kapjuk, hogy cos $ p- Ennek az egyenletnek akko és csak akko van valós megoldása, ha 0 # $ p - #, azaz ha # p # 7 p # - vagy # p esetén megoldása van az egyenletnek p esetén 5 megoldása van az egyenletnek - < p <, de p Y, akko megoldása van az egyenletnek Az egyenletet a következô alakúa hozhatjuk: _ cos - sin i_ cos + sin i p$ _ cos -sin i, azaz _ cos - sin i_ cos + sin - pi 0, ebbôl következik, hogy a) cos - sin 0; b) cos + sin - p 0 Az a)-ból 5 $ ; gyökök esnek bele a [0; $ intevallumba Tehát az eedeti egyenletnek bámely valós p-e legalább két megoldása van A b)-bôl következik, hogy - # p # esetben van valós megoldása a b) egyenletnek, hiszen a b) J N p egyenletet átalakíthatjuk a következô alakúa: sin + K O Ajánlatos felajzolni az L P J f sin + N _ i K O gafikonját a [0; $ intevallumon, hogy a megfelelô következtetéseket L P könnyen levonhassuk $ 8 eset: a esetén: - + m$ $ # # + m$ $ a megoldás a) eset: a $ - és a Y esetén + k$ $ a megoldás 5 $ b) eset: a # - esetén + k$ $ a megoldás Emeljük négyzete az egyenletet, majd endezzük nulláa és alakítsuk szozattá Azt kapjuk, hogy: _ a-i_ sin - cos i 0 eset: a esetén akko teljesül az egyenlet, ha sin + cos $ 0, ezt alakítsuk át a következô alaka úgy, hogy elosztjuk az egyenlôtlenséget -vel, majd alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételt Kapjuk, hogy sin + N K J $ 0 O Ezt az egyenlôtlenséget megoldva kapjuk az eedeti L P egyenlet egy megoldását eset: Ha a - Y 0, akko sin - cos 0, ebbôl tg, + l$, de teljesülnie kell, hogy a$ sin + cos $ 0 és a$ cos + sin $ 0, ezek l $ k-nél akko állnak fenn, ha a $ - Ha l $ k+, akko az egyenlôtlenségek akko állnak fenn, ha a # eset: p ; eset: p - esetén van megoldása az egyenlôtlenségnek Vizsgáljuk meg elôszö az egyenlôtlenség bal oldalát! p$ sin + p $ sin + p$ sin p$ sin Alkalmazzuk az összeg két tagjáa a számtani és métani közép közötti egyenlôtlenséget! Ebbôl p $ sin + kapjuk, hogy p$ sin + $ 8 Ez pontosan akko áll fenn, ha p$ sin p$ sin

97 Tigonometikus egyenlôtlenségek II ész p$ sin Nézzük most az egyenlôtlenség jobb oldalát! Ez cos -e másodfokú kifejezés Hatáozzuk meg, hogy ez miko veszi fel a maimumát! Azt kapjuk, hogy cos -nél lesz 5 maimális a kifejezés Mégpedig a maimum étéke 8 Tehát az egyenlôtlenség csak akko teljesülhet, ha benne egyenlôség áll fenn Ekko viszont sin és p$ sin Ebbôl azt 5 0 kaphatjuk, hogy p Tigonometikus egyenlôtlenségek II ész 50 a) - + k$ $ < < + k$ $ Használjuk fel cos képletét, majd a sin -et alakítsuk át sin + cos segítségével A cos -e kapott másodfokú egyenlôtlenséget oldjuk meg! b) + k$ $ ; + k$ $ < < + k$ $ Használjuk fel cos 5 $ $ képletét, majd a cos -et alakítsuk át sin + cos segítségével A sin -e kapott másodfokú egyenlôtlenséget oldjuk meg! 5 a) - + k$ $ < < 0+ k$ $ ; 0+ k$ $ < < + k$ $ Használjuk fel cos képletét, majd a sin -et alakítsuk át sin + cos segítségével A cos -e kapott másodfokú egyenlôtlenséget oldjuk meg! b) - + k$ < < + k$ Végezzük el a cos sin - és a sin -cos helyettesítést! Ekko kapunk cos -e egy másodfokú egyenlôtlenséget, amelyet oldjunk meg! c) + k$ # # + k$ Használjuk fel 5 $ cos képletét, majd a sin -et alakítsuk át sin + cos segítségével Rendezzük nulláa a kapott egyenlôtlenséget, majd alakítsuk szozattá! 5 Hozzuk közös nevezôe a bal oldalon levô két tötet! Majd a számlálóban kapott negyedik hatványok összegét alakítsuk át a sin + cos azonosság négyzete emelésével kapott azonosság segítségével A számlálóban alkalmazzuk visszafelé a sin képletét Ezt pedig alakítsuk át a sin - cos azonosság segítségével A nevezôben szintén alkalmazzuk 8$ `+ cos j visszafelé sin képletét! Kapjuk, hogy E tötet csökkentjük, illetve nem növeljük, ha 8-at íunk a számláló helyett és a nevezô helyett pedig -et sin k$ < < + k$ Vegyük figyelembe, hogy 8 8 sin + cos `sin j + `cos j Ezt viszont má könnyen szozattá alakíthatjuk, ha figyelembe vesszük, hogy a + b _ a+ bi`a - a$ b+ b j Ezután használjuk fel a sin + cos azonosságot és alkalmazzuk sin képletét visszafelé! Majd használjuk fel, hogy sin cos -, ezután endezzük nulláa az egyenlôtlenséget és azt kapjuk, hogy cos > 0

98 Tigonometikus egyenlôtlenségek II ész 5 Hasonlóan jájunk el, mint az elôzô feladatban Azt kapjuk, hogy elég igazolni a következô egyenlôtlenséget: # - $ sin # n n 55 $ sin$ cos$ cos$ $ cos ` $ j #, sin$ cos$ $ cos ` $ j # n - n - Folytassuk! (Ha pecízek vagyunk, akko teljes indukcióval) Kapjuk a végén, hogy sin n n n + $ ` $ j$ cos ` $ j #, azaz sin ` $ j # 5 Alkalmazzuk a $ cosa$ cosb cos _ a+ bi+ cos _ a-bi azonosságot! Majd alkalmazzuk a cos a + a cos azonosságot és még egysze az elôzô azonosságot! Azt kaphatjuk, hogy a feladatbeli egyenlôtlenség ekvivalens a következô egyenlôtlenséggel: 0 # sin b # 57 a) + k$ < < + k$ Osszuk el az egyenlôtlenséget -vel, majd alkalmazzuk a J megfelelô összegzési tételt és kapjuk, hogy sin + N K < O L P $ $ 9 $ $ b) + k$ < < + k$ Hasonlóan jájunk el, mint az elôzô feladatban $ 5 $ $ c) + k$ < < + k$ Rendezzük nulláa az egyenlôtlenséget, majd osszuk el -vel Ezután hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô két feladatot 5 $ cos d) - + k$ < < + k$ Alkalmazzuk a sin a - a azonosságot, majd vegyük figyelembe, hogy - cos + K J N sin O Azután osszuk el az egyenletet -vel! Ezután L P hasonlóan folytatható, mint az elôzô háom feladat folytatása 5 $ 58 a) + k$ $ < < + k$ $ Az egyenlôtlenségbôl következik, hogy sin > cos Miét? Rendezzük nulláa a kapott egyenlôtlenséget, majd osszuk el -vel! J Alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételt és kapjuk, hogy sin - N K > 0 O L P $ b) - + k$ $ < < + k$ $ A feladat egyenlôtlenségébôl következik, hogy sin < cos Miét? Ezután hasonlóan folytathatjuk, mint az elôzô feladat megoldását k$ < < 0 + k$ A feladat egyenlôtlensége ekvivalens a következôvel: - < sin + cos < Osszuk el ezt az egyenlôtlenséget -vel, majd alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételt és kapjuk, hogy: - < sin + N < J K O L P 5 $ 0 a) + k$ < < + k$ Az egyenlôtlenség bal oldalának számlálóját és nevezôjét egyaánt osszuk el -vel, majd alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételeket és kap-

99 Tigonometikus egyenlôtlenségek II ész 5 J N cos - K O J juk, hogy: L P > J N, azaz ctg - N K > O b) 0 + k$ # # + k$ A feladat cos K - L P O L P sin - cos egyenlôtlenségével ekvivalens a következô: - # # Ezután hasonlóan jájunk sin + cos J el, mint az elôzô feladat megoldásában Kapjuk, hogy - # tg - N K # O L P $ 7 $ 7 $ a) + k$ $ < < + k$ $ ; + l$ $ < < + l$ $ Alkalmazzuk cos képletét, majd alakítsuk szozattá a jobb oldalt! Ezután endezzük nulláa az egyenlôtlenséget, majd alakítsuk szozattá az egyenlôtlenséget! Kapjuk, hogy _ sin + cos ib- $ _ cos -sin il > 0 b) + _ $ k+ i $ $ Osszuk el az egyenlôtlenséget -vel, majd alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételt! Kapjuk, hogy J N (*) $ sin + K # sin - O Mutassuk meg, hogy a (*) egyenlôtlenségben csak az egyenlôség esete állhat fenn, mégpedig pontosan akko, ha sin N + K L P J - O és sin L P $ - + k$ $ # # + k$ $ Ha négyzete emeljük az egyenlôtlenséget és felhasználjuk sin képletét visszafelé, kapjuk endezés után, hogy sin + $ cos sin + $ cos Ez azonosság, de nem minden valós -e teljesül, hanem csak azoka, amelyeke fennáll, hogy (*) sin + $ cos $ 0 és (**) + cos+ $ sin$ 0 A (*) egyenlôtlenséget osszuk el -vel, majd alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételt és kapjuk, hogy J sin + N $ K $ 0 O Ennek megoldása - + k$ $ # # + k$ $ A(**) egyenlôtlenséget osszuk el -vel, majd alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételt és kapjuk, hogy: L P J N + sin + K $ - O Ez pedig minden valós száma fennáll L P $ tg + k$ < < + k$ Használjuk fel, hogy sin (ha Y + k$ ), + tg majd szoozzunk be a nevezôvel és kapjuk a következô egyenlôtlenséget: tg - $ tg + + $ tg - $ 0 Alakítsuk szozattá ezt az egyenlôtlenséget! tg -tg -`tg - tg j+ + _ $ tg -i $ 0 Folytassuk! $ 7 $ - + k$ $ < < + k$ $ ; + l$ $ < < + l$ $ ; 5 $ 7 $ + m$ $ < < + m$ $ Rendezzük nulláa az egyenlôtlenséget, majd alkal-

100 Tigonometikus egyenlôtlenségek II ész mazzuk cos képletét és kapjuk, hogy $ sin + $ sin -$ sin - < 0 Alakítsuk J N J N szozattá ezen egyenlôtlenséget! Kapjuk, hogy $ sin - $ K sin + < 0 O K O, ebbôl L P L P J N J N J N K O K O sin - $ sin + $ sin + < 0 K O K O K O L P L P L P cos- cos $ sin$ cos- $ sin$ cos 5 sin $ sin$ sin sin$ sin+ sin-sin < Miét? Mutassuk meg, hogy egyenlôség valóban nem állhat fenn + y - y megoldás vázlata: Legyen z cos, ekko z $ - $ z $ cos + J - y N J - y N $ z - $ cos + $ -cos K $ 0 O K O L P L P megoldás vázlata: Az a, b, és c vektook közös kezdôpontúak legyenek Legyen az a és a b vektook hajlásszöge és y pedig a b és a c vektook hajlásszöge, míg + y vagy $ -_ + yi a c és az a vektook hajlásszöge Ekko a + b + c 0, azaz a + b + c + $ a $ b $ cos + $ b $ c $ cos y+ $ c $ a $ cos _ + yi $ 0, és legyen a c és b 7 Alkalmazzuk sin képletét -e és y-a is, majd emeljünk ki a két megfelelô tagból sin $ sin y-t, kapjuk, hogy 8$ sin $ sin y$ _ cos $ cos y-sin $ sin yi - # 0 cos _ -yi- cos _ + yi Ebbôl 8$ sin $ sin y$ cos _ + yi - # 0, 0 # - 8$ $ cos _ + yi Tovább folytatva: 0 # sin _ - yi+ cos _ - yi+ $ cos _ + yi- $ cos _ + yi$ cos _ -yi, 0 # ` $ cos _ + yi-cos _ - yij + sin _ -yi 8 Használjuk fel a megfelelô összegzési tételt a bal oldalon, végezzük el itt a négyzete emelést és végezzük el a szozást a jobb oldalon! Kissé endezzük át a kapott egyenlôtlenséget a következô alakúa: cos $ $ cos $ y- $ sin $ sin y$ cos $ cos y+ sin $ sin y# # - $ _ sin $ cos y+ cos $ sin yi Ebbôl: cos _ + yi # - $ sin _ + yi, - sin _ + yi # - $ sin _ + yi, # sin _ + yi- $ sin _ + yi +, # `sin _ + yi -j Ez miét teljesül minden valós, y száma? 9 sin $ sin $ cos, sin $ sin $ cos - sin Felhasználva az elôzô azonosságokat, kapjuk, hogy: sin + $ sin+ $ sin sin $ `+ $ cos + $ cos j sin cos $ c_ + i + _ + cos i+ $ cos m > 0, met sin > 0, ha 0 < <, míg a második tényezô tagjai nemnegatívak (és egyszee mindháom tag nem lehet nulla) Fejé Lipót ( ) híes magya matematikus igazolta, hogy bámely pozitív egész n-e teljesül, hogy sin + $ sin+ $ sin+ + $ sin n> 0, ha 0 < < fennáll n $

101 Tigonometikus egyenlôtlenségek II ész Indiekt módon tegyük fel, hogy cos + $ cos+ $ cos< Ebbôl cos + $ cos+ _ $ cos+ i < -, cos + $ cos+ $ cos < -, J N J N $ $ cos + cos+ K + cos < - O, $ $ cos+ K + cos < - O Ez nem teljesülhet, met a záójeles kifejezés nemnegatív, míg cos $ - Tehát nem igaz a feltevésünk, ezét L P L P az eedeti egyenlôtlenség teljesül 7 Alkalmazzuk a számtani és métani közép közötti egyenlôtlenséget a bal oldali összeg két pozitív tagjáa! 7 Alkalmazzuk a számtani és métani közép közötti egyenlôtlenséget a bal oldali összeg két pozitív tagjáa! Majd használjuk fel, hogy sin + cos J $ sin + N K O Miét? Másészt használjuk fel a következô becslést: sin + K L P J N $ - O L P -cos 7 Megmutatjuk, hogy (*) -sin + $ és (**) $ sin y+ cos y (*) mindkét bal oldali tagja pozitív, ezét alkalmazhatjuk a számtani és a métani közép közötti egyenlôtlenséget Majd használjuk fel, hogy sin + cos (**)-nál osszuk el az egyenlôtlenséget J -vel, majd alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételt és kapjuk, hogy $ sin y + N K O, ez L P pedig teljesül S mivel átalakításaink megfodíthatóak, ezét (**) is teljesül (*)-ból és (**)-ból következik a feladat egyenlôtlenségének fennállása 7 az egyenlôtlenség megoldása Használjuk fel, hogy cos cos - sin, kapjuk, hogy ` - $ + j $ log `cos _ $ i + j $ Ebbôl kaphatjuk, hogy -` - $ + j $ log`cos _ $ i + j $ Ha # vagy $, akko az elôbbi egyenlôtlenség bal oldala negatív vagy nulla Ezt az elsô tényezô vizsgálatából nyehetjük, hiszen a második tényezô mindig nemnegatív Tehát < < -nak kell lennie, de kivételével -` - $ + j <, míg -nél a másodfokú kifejezés étéke Másészt gondoljuk meg, hogy $ log`cos _ $ i + j > 0 fennáll, ha < < Ezt az étéket a lehetséges intevallumban gondoljuk meg, hogy pontosan -nél veszi fel Tehát az eedeti egyenlôtlenség akko és csak akko áll fenn, ha és itt egyenlôség lép fel az egyenlôtlenségben 75 az egyenlôtlenség megoldása log `+ $ cos - cos+ $ cos _ $ ij log `+ $ cos _ $ ij $ log

102 8 Tigonometikus egyenlôtlenségek II ész 5 J 5 N Másészt mutassuk meg, hogy - - # - Ebbôl $ K O, így L P J 5 N K $ log `+ $ cos - cos+ $ cos _ $ $ $ O ij, tehát L P J 5 N - - K $ log `+ $ cos - cos+ $ cos _ $ # - O ij L P Vegyük figyelembe az eedeti egyenlôtlenséget és azt kapjuk, hogy J 5 N - - K $ log `+ $ cos - cos+ $ cos _ $ - O ij Gondoljuk meg, hogy ez az L P J N egyenlôség akko és csak akko állhat fenn, ha - K 0 O, azaz ha L P 7 ; + k$ # # + k$, ahol k tetszôleges negatív egész szám; - + l$ # # - + l$, ahol l tetszôleges nempozitív egész szám eset: Ha, akko könnyen kimutathatjuk, hogy ez megoldás eset: Ha Y, akko fenn kell állniuk a következô egyenlôtlenségeknek: a) - $ > 0, ebbôl > ; b) 8$ cos - Y 0, ebbôl Y! + n$ $ és! $ Y + n$ $ ; c) sin Y 0, ebbôl Y n$ ; d) sin Y!, ebbôl összefoglalás után Y + n$ J N tg cos e) log K ` + j $ O ` + tg j$ cos sin < 0 Az e)-bôl kapjuk, hogy > Ezt pedig K 8$ cos - O 8$ cos - L P + tg alakítsuk a következô alakúa: $ Rendezzük nulláa, hozzunk közös nevezôe - $ tg $ tg + tg - $ tg + tg - és kapjuk, hogy $ 0, $ 0 - $ tg - $ tg e) eset: Ha $ tg + tg -$ 0 és - $ tg > 0 Itt az elsô egyenlôtlenségôl mutassuk ki, hogy pontosan akko teljesül, ha tg $ Míg a második egyenlôtlenség pontosan akko teljesül, ha tg # A két egyenlôtlenségnek egyszee kell fennállnia: # tg # Ebbôl következik, hogy # tg #, ennek a megoldása + k$ # # + k$, de itt figyelembe kell venni, hogy <, ezét k tetszôleges negatív egész szám lehet - # tg #-, ennek a megoldása - + l$ # # - + l$, itt l-nek tetszôleges nempozitív egész számnak kell lennie, < miatt

103 Tigonometikus egyenlôtlenségek II ész 9 eset: Ha $ tg + tg - # 0 és - $ tg < 0 Ekko az elsôbôl az következik, hogy (*) - # tg # és (**) # tg vagy - $ tg (*) és (**) közös észe az ües halmaz, tehát ebben az esetben nem kapunk megoldást 77 f ma 5; f min -5 Osszuk el f() kifejezését 5-tel, majd alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételt! + $ 78 f ma, ezt akko veszi fel a függvény, amiko + k$ ; 8 - f min, ezt akko veszi fel a függvény, amiko - + l$ Vegyük figyelembe, hogy 8 cos sin -, másészt f () kifejezését osszuk el -vel, majd alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételt! 7 cos 79 f ma ; fmin Vegyük figyelembe, hogy sin -, majd hozzuk a következô alaka: f _ i - $ $ cos- $ sin Ezután alkalmazzuk a megfelelô J N K 7 O K O L P összegzési tételt! 80 Az egyenlô száú deékszögû háomszögeknél lesz maimális a keület J N J a+ b c$ sina+ c$ cosa c$ $ K $ sin + $ cos O K O c $ $ sin + N K O L P L P Folytassuk egy következtetéssel! 8 Akko a legkisebb a beít négyzet keülete, amiko a csúcsai a nagy négyzet oldalfelezô pontjain helyezkednek el Legyen a beít négyzet oldalhossza, ekko $ cosa+ $ sina, ebbôl sina+ cosa Így k $ $ sina+ cosa $ sina+ $ cosa $ J N Folytassuk! sin K a + O L P 8 a) f ma, ezt akko veszi fel, ha k$, f min, ezt akko veszi fel, amiko + k$ Emeljük négyzete a sin + cos azonosságot és fejezzük ki a kapott eedménybôl a negyedik hatványok összegét, majd alkalmazzuk a sin képletét visszafelé b) f ma, ezt akko veszi fel, ha k$, f min, ezt akko veszi fel, ha + l$ vagy - + m$ Induljunk ki abból, hogy sin + cos `sin j + `cos j, ezt pedig alakítsuk szozattá figyelembevéve az a + b _ a+ bi`a - a$ b+ b j azonosságot Használjuk

104 70 Tigonometikus egyenlôtlenségek II ész fel, hogy sin + cos, a negyedik hatványok összegével hasonlóan bánhatunk el, mint az elôzô feladatban Kapjuk, hogy f _ i - $ sin $ 8 f ma, és ezt + k $ -nél veszi fel f min és ezt + l $ -nél veszi 8 fel + $ sin $ cos J N J N f _ i $ $ - $ - + $ sin $ cos K + sin $ cos O K + sin O L P L P J N Kapjuk, hogy f # $ K J N _ i - O Másészt f _ i $ $ - K + _ - i O K + O 8 L P L P 8 f ma, és ezt ott veszi fel, ahol + k$ vagy 85 5 $ 5 + l$, f min -, és ezt ott veszi fel, ahol + m$ Használjuk fel, hogy sin -cos és cos cos + J N Kapjuk, hogy f _ i - cos- K O L P 85 a R$ sinz és b $ R$ cosz, így t a$ b sin z, 8 tehát t ma és ezt z 5 -nál éi el q p 8 a ; b cos{ sin{ Így a$ b p$ q t f sin{ Tehát tmin p$ q és ez akko következik be, ha { 5 87 a) f min, ezt akko veszi fel, ha + k$ vagy $ + l$ Hozzunk közös nevezôe, alkalmazzuk a sin + cos azonosságot, majd alkalmazzuk visszafelé sin képletét Kapjuk elôbbutóbb, hogy f () sin b) g min 9, ezt akko veszi fel, ha + k$ vagy - + l$ g () f 5 + sin cos sin 88 f min 8 és ezt -nél veszi fel Alkalmazzuk a számtani és métani közép közötti összefüggést az összeg két pozitív tagjáa! Kapjuk egy kis endezés után, hogy f () $ 8 8 sin $ cos sin $ 89 fmin, ezt akko veszi fel, ha sin cos f () cos + sin sin $ cos sin

105 Tigonometikus egyenlôtlenségek II ész 7 90 a) a min, ezt akko veszi fel, ha Hozzunk közös nevezôe, alakítsuk át a következô alakúa: a () sin cos sin cos $ $ + $ $ sin + sin b) bmin $, ezt akko veszi fel, ha Mivel b ()> 0 a megadott intevallumon, ezét J N pontosan ott van a minimuma, ahol a négyzetének b () + K f cos sin O L P J N + $ + $ 8 sin cos sin cos $ $ $ K sin sin O L P c) cmin $ +, ezt akko veszi fel, ha Alkalmazzuk a számtani és métani közép közötti egyenlôtlenséget a pozitív és -e! Kapjuk, hogy + $ sin cos sin cos $ Itt egyenlôség akko és csak akko van, ha Mutassuk meg, sin $ cos sin cos hogy ez $ -nél teljesül! Tehát c () $ + f + sin $ cos sin $ cos sin + $ $ + d) dmin $ +, ezt -nél veszi fel Hasonlóan jáhatunk el, sin mint az elôzô feladat megoldásánál e) A kifejezés minimuma $ + és ezt -nél veszi fel A kifejezést hozzuk a következô alakúa: + + Alkalmazzuk az cos sin sin $ cos elsô két taga a számtani és métani közép közötti egyenlôtlenséget, kapjuk hogy + cos $ + + $ $ + + $ $ + sin sin $ cos cos $ sin sin $ cos sin sin n 9 K ma és ezt f n a + b -nél veszi fel Alkalmazzuk az a$ b # sin + cos ismet és könnyen igazolható egyenlôtlenséget! sin $ cos #, sin $ cos # sin + cos sin n- + cos n sin n+ cos #,, sin n- $ cos n#, sin n$ cos # Adjuk össze ezen egyenlôtlenségeket, kapjuk, hogy: K # $ a`sin + cos j+ `sin + cos j+ f + `sin n+ cos njk n $ ( + + f + )

106 7 Tigonometikus egyenletendszeek 9 a) ama 8 és ezt J -nál veszi fel a () cos cos N $ $ - $ cos K O Alkalmazzuk e háom tényezôe a számtani és métani közép közötti egyenlôtlenséget! L P J N cos + cos + - $ cos cos $ cos $ - $ cos # K O Ebbôl következik, hogy a ()# 8 L P 8 Egyenlôség akko és csak akko van, ha cos - $ cos b) bma, ezt akko veszi fel 7 a függvény, amiko ac cos 0, 8 b () cos $ cos $ ( - $ cos ), ezután hasonlóan 8 jájunk el, mint az elôzô feladatnál c) cma, és ezt akko veszi fel, ha, 7 ac sin Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô két feladatot A következôkben is k, l, m, n, p, q, u, v tetszôleges egész számokat jelentenek Tigonometikus egyenletendszeek 9 ( k- l) $ ; y ( k+ l) $ $ + k$ $, m, 9 a) + $ $ [ [ Adjuk össze az egyenletendszet! y + l$ ; y + n$ b) + k$ $, - + m$ $, $ $ [ [ + p$ $, - + u$ $, [ [ y l$ ; y n$ ; y q$ ; y v$ Adjuk össze az egyenletendszet! k$, m$, 0, 57+ p$ $,, u$ $, 95 a) [ $ y + l$ ; [ ; y + n$ ; [ y q ; y v + $ [ + $ $ + k$ $, m, b) + $ $ [ [ y + l$ ; y + n$ + k$, 9 a) [ Fejezzük ki a második egyenletbôl y-t és helyettesítsük be az elsô y -k$ egyenletbe, majd alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételt! Használjuk fel a konstans eltün-

107 Tigonometikus egyenletendszeek 7 tetésée az sin + cos azonosságot, majd osszuk el az egyenletet cos -szel, amiko ez nem nulla! Kapunk tg -e egy másodfokú egyenletet (Mutassuk meg, hogy cos nem lehet nulla!) k$, + l$, b) $ [ [ y -k$ ; y -l$ Hasonlóan jáhatunk el, mint az elôzô feladatban, a végén kis eltééssel Ugyanis a végén endezzük nulláa az egyenletet és alakítsuk szozattá! $ + k$, 97 a) [ Hasonlóan kezdhetjük el, mint az elôzô két feladatot A továbbiakban az összegzési tétel alkalmazása után cos y-nal osszuk el az egyenletet (ha -et fejeztük y- + k$ ki koábban)! $ + k$, + k$, 5 $ + k$, 0 b) [ c) [ d) [ $ y -k$ y + k$ y -k$ 0 + l$, + k$, 98 a) [ [ y l y 0 k$ ; - + $ + Fejezzük ki -et az elsô egyenletbôl és helyettesítsük be a második egyenletbe! Alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételt, szoozzunk a nevezôvel, endezzük nulláa az egyenletet, majd alakítsuk szozattá! 7 $ + k$, 5 $ + l$, b) [ 5 $ [ y- + k$ ; y l - + $ 0 Hasonlóan kezdhetjük el, mint az elôzôeket, itt tg y-a másodfokú egyenletet kapunk c) Az egyenletendszenek nincs megoldása a valós számpáok halmazán Hasonló módszeel oldhatjuk meg, mint az elôzôt d) Az egyenletendszenek nincs megoldása a valós számpáok halmazán, k, + m$ $ 99 * y l$ $ ; [ ^ sin h + cos sin y+ cos y Másészt a y + n$ $ sin cos + azonosság négyzete emelése után kaphatjuk, hogy sin + cos - $ sin $ cos Így - $ sin $ cos Folytassuk!

108 7 Tigonometikus egyenletendszeek + k$, + k$, + k$, + k$, 00 [ [ $ [ [ 5 $ y + l$ $ ; y + m$ $ ; y n ; - + $ $ y p + $ $ sin + cos, sin + cos ^sin h + ^ cos h f $ _ sin y+ cos yi Így [ sin $ sin y cos Használjuk fel, hogy sin - cos és cos +, ezeket beíva az elôbbi egyenletendsze elsô egyenletébe, majd endezve az egyenletet, azt kapjuk, hogy cos 0, 07 + m$, k, 0 + $ [ [ Vegyük figyelembe, hogy az elsô egyenlet a y n y l$ ; + $ J N következô alaka hozható: sin( + y) sin -( -y) K O L P $ $ + k$, l, + $ 0 a) [ [ 5 $ y + k$ ; y + l$ 0 Fejezzük ki az elsô egyenletbôl -et, majd ezt helyettesítsük be a második egyenletbe! Alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételt, majd szoozzunk a nevezôvel és tg y-a kapunk egy másodfokú egyenletet - + k$, - + l$, b) [ 7 $ [ 9 $ y -k$ ; y l - $ + $ l$, 9 0 [ $ $ y + $ l$ 9 5$ + 5$ - 5$ - 5$ -,, 0 [ [ 5$ - 5$ - 5$ + 5$ - y ; y Az elsô egyenletbôl kaphatjuk, hogy $ y A második egyenletet endezzük át úgy, hogy az magányosan álljon a jobb oldalon! Majd alkalmazzuk a bal oldala a megfelelô összegzési tételt! Vegyük majd figyelembe a megoldásnál, hogy > 0 és y > 0, ezét az összegük is pozitív

109 Tigonometikus egyenletendszeek 75 $ $ + k$ $, - + m$ $, $ 05 + p$ $, [ [ [ 5 $ y + l$ $ ; y + n$ $ ; y q ; + $ $ $ - + u$ $, [ 5 $ A második egyenletbôl hatáozzuk meg -et és ezt helyettesítsük be az y- + v$ $ elsô egyenletbe! -, 0 y -, Fejezzük ki az elsô egyenletbôl y-t és helyettesítsük be a második [ z + k$ egyenletbe! Szoozzunk a nevezôvel és kapunk -e egy másodfokú egyenletet Ennek akko és csak akko van valós megoldása, ha a diszkiminánsa nemnegatív + k$, k, 07 + $ [ [ Használjuk fel, hogy cos -$ sin és y- + l$ ; y- + m$ cosy $ cos $ y- Ezeket behelyettesítve, kapjuk, hogy sin - cos y, ezt alakítsuk szozattá, majd használjuk fel a másik egyenletet és kapjuk, hogy: sin + cos y Oldjuk sin - cos y, meg a [ egyenletendszet! sin + cos y l, k, + $ $ $ $ 08 ) y k$ ; [ Az elsô egyenletbôl kapjuk, hogy $ y, ezt he- y + l$ lyettesítsük be a második egyenletbe és oldjuk meg az egyenletet! + k$ $, 09 a) [ A második egyenletet alakítsuk át a következô módon: y -k$ $ + y - y + $ sin $ cos k, l, + $ $ + $ $ b) [ [ Fejezzük ki az elsô egyenletbôl y-t és helyettesít- y- - l$ $ y -k$ $ ;

110 7 Tigonometikus egyenletendszeek sük be a második egyenletbe, alkalmazzunk egy megfelelô összegzési tételt, majd endezés után osszuk el az egyenletet + -mal! $ 5 $ + k$, l, 0 a) - + $ $ [ [ 7 $ Hasonló módon is megoldhatjuk, y + k$ $ ; y- + l$ $ mint az elôzô feladatot + k$ $, + k$ $, b) + k$ $, [ c) [ $ d) y + k$ $ [ y + k$ $ y -k$ $ + ( k+ l) $, a) [ Adjuk össze a két egyenletet, majd alkalmazzuk a megfelelô y + ( k-l) $ + ( k+ l) $, összegzési tételt! b) - + ( k+ l) $, [ [ Használjuk fel a tangens y + ( l-k) $ ; y ( k l) $ definícióját! Majd az elsô egyenletet használjuk fel a második egyenlet átalakításában és kapjuk, hogy: cos $ cos y Ezt adjuk össze elôszö az elsô egyenlettel, majd másodszo pedig vonjuk ki belôle az elsô egyenletet, kapjuk a következô egyenletendszet: cos $ cos y+ sin $ sin y [ Alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételeket, majd oldjuk cos $ cos y- sin $ sin y- 5 $ + ( k+ l) $, 7 $ meg az egyenletendszet! c) + ( k+ l) $, [ 5 $ [ 5 $ Elôszö ad- y + ( k-l) $ ; y ( k l) $ 0 0 juk össze a két egyenletet, majd másodszo vonjuk ki egymásból a két egyenletet! Ekko egy újabb egyenletendszet kapunk Alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételeket és ekko ismét 5 $ + ( k+ l) $, újabb egyenletendszet kapunk, amelyet má könnyen megoldhatunk d) [ y + ( l-k) $ ; - + ( k+ l) $, + ( k+ l) $, 5 $ + ( k+ l) $, [ 5 $ [ 5 $ [ Hasonlóan y- + ( k- l) $ ; y ( k l) ; + - $ y ( k l) $ oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot

111 Tigonometikus egyenletendszeek 77 + k$ $, + k$ $, - + n$ $, [ [ [ y + l$ $ ; y- + m$ $ ; y l ; + $ $ - + n$ $, [ Az elsô egyenletet alakítsuk át a következô alakúa a megfelelô azonos- y- + m$ $ ság segítségével: $ ( cos + cos y) Fejezzük ki innen például cos y étékét és helyettesítsük be a második egyenletbe! $ + m$ $, + m$ $, a) + m$ $, [ [ [ y + k$ $ ; y + k$ $ ; y k ; - + $ $ $ + m$ $, 5- + p$ $, - + p$ $, $ 7 + p$ $, [ [ 5 $ [ 5 $ [ 5 $ y- + k$ $ ; y n ; y n ; 5 + $ $ - + $ $ y n ; 7 + $ $ $ 8 + p$ $, [ 5 $ Alkalmazzuk a következô azonosságokat: cos - $ sin ; y8- + n$ $ cosy $ cos y- Ezeket felhasználva az elsô egyenletbôl a következôt kapjuk: sin + cos y Oldjuk meg a második egyenletbôl és az új egyenletbôl kapott egyenletendszet! b) [ [ [ 5 $ y - + ( k-m) $ ; y ( k m) ; + ( k+ m) $, - + ( k+ m) $, 7 $ + ( p+ m) $, + - $ y ( p m) ; $ + ( p+ m) $, [ 7 $ A második egyenletet a következô alaka hozhatjuk a szinuszok y + ( p-m) $ + y - y összegének szozattá alakításáa való azonosság segítségével: $ sin $ cos, ebbôl az elsô egyenlet felhasználásával kapjuk, hogy: cos( - y) 5 $ + ( m+ n) $ $, - + ( n+ m) $, a) [ [ 5 $ y + ( n-m) $ $ ; y ( n m) ; $

112 78 Tigonometikus egyenletendszeek 7 $ + ( m+ n) $ $, $ + ( m+ n) $ $, [ $ [ 7 $ Mindkét egyenletet alakítsuk y- + ( n- m) $ $ ; y ( n m) $ $ + y - y át a megfelelô azonosságok segítségével a következô alakúa: $ cos $ sin - + y - y + ; $ cos $ cos Osszuk el egymással a két új egyenletet - y + ( n+ m) $ $, és kapjuk, hogy: tg - b) + ( m+ n) $ $, [ [ y + ( m-n) $ $ ; y ( m n) ; + - $ $ $ + ( m+ p) $ $, + ( m+ p) $ $, [ [ $ y + ( m-p) $ $ ; y ( m p) + - $ $ + ( m+ n) $, 5 $ + ( m+ n) $, 5 $ 5 a) 0 + ( m+ n) $, [ 5 $ [ [ 7 $ y + ( m-n) $ ; y ( m n) ; + - $ y ( m n) ; $ 7 $ + ( m+ n) $, [ 5 $ Használjuk fel a tangens és a kotangens definícióját! Legyen a és y + ( m-n) $ J N b $ + $ K O Ekko az elsô egyenletet a következô alaka hozhatjuk: L P sin ( + y) a$ cos $ cos y Míg a második egyenletet a következô alaka hozhatjuk: sin ( + y) b$ sin $ sin y Ezeket alakítsuk át még a következô módon: () sin ( + y) $ a $ cos ( - y) + $ a $ cos ( + y) és () sin ( + y) $ b $ cos ( - y) - $ b $ cos ( + y) Az () egyenletet szoozzuk b-vel, a () egyenletet szoozzuk a-val, majd a kapott elsô egyenletbôl vonjuk ki a kapott második egyenletet, kapjuk, hogy: (b - a) $ sin ( + y) a $ b $ cos ( + y), ebbôl (*)tg ( + y) b - Ha a a$ b most összeadjuk a b-vel, illetve a-val való szozás után kapott egyenleteket, akko azt kapjuk, hogy (**) (a + b) $ sin ( + y) a $ b $ cos ( - y) A (*) és (**) egyenletekbôl álló egyenletendszet má könnyebben megoldhatjuk, fôleg, ha visszahelyettesítjük a, illetve b étékeit + ( n+ m) $, 5 $ b) + ( m+ n) $, [ [ y- + ( m+ n) $ ; y ( m n) ; $

113 ( ), ( ) ; m n y m n 5 $ $ $ $ [ ( ), ( ) m n y m n $ $ $ [ a), k y k $ $ $ + - [ A második egyenletet alakítsuk át a következô alakúa: ( ) ( ) cos cos y y $ $ _ b i l b), k y k $ $ $ $ [ Alakítsuk át a második egyenletet a következô alakúvá: ( ) ( ) cos cos y y 8 $ $ _ i 7 a), k y k $ $ $ + - [ b), ; k y k $ $ - + [, m y m $ $ $ [ 8 a), ; k y k $ $ - [, l y l $ $ + - [ b), k y k $ $ $ + - [ 9, ; k y k $ $ - [, m y m $ $ + - [ 0 a), k y k $ $ + + [ b), ; k y k $ $ + - [, m y m $ $ + - [ a), ; k y k $ $ + - [, m y m 5 $ $ $ [ b), k y k [ ( ), ( ) ; m k y m k $ $ [ ( ), ( ) m k y m k $ $ [ Alkalmazzuk a tangens definícióját, ekko kapjuk a második egyenletbôl, hogy cos cos y $ $, ha felhasználjuk közben az elsô egyenletet is Adjuk össze az új egyenletet az elsô egyenlettel, kapjuk, hogy cos cos sin sin y y $ $ + Ezután a koábban kapott egyenletbôl most vonjuk le az elsô egyenletet, kapjuk, hogy: cos cos sin sin y y $ $ - - Tigonometikus egyenletendszeek 79

114 80 Néhány nehezebb tigonometiai feladat Majd alkalmazzuk a megfelelô összegzési tételeket és a kapott új egyenletendszet má könynyen megoldhatjuk ( k- n+ m) $ y ( n+ k-m) $ Adjuk össze az elsô két egyenletet, majd ebbôl vonjuk le a z ( + $ n-k-m) $ hamadik egyenletet! Kapjuk, hogy sin + sin y- sin z+ sin( + y+ z) 0 ( sin + sin y) + _ sin( + y+ z) - sin zi 0 Alakítsuk szozattá a záójeles kifejezéseket: + y - y + y+ z+ z + y+ z- z $ sin $ cos + $ cos $ sin 0, + y J - y + y+ $ z N sin $ cos + cos 0 K O Alakítsuk szozattá a záójeles kifejezést! Kis L P + y + z y+ z átalakítás után kapjuk, hogy sin $ cos $ cos 0 Ebbôl elôbb-utóbb: + y k $ $; + z + m$ $ ; y+ z + n$ $ Oldjuk meg a kapott egyszeû egyenletendszet! Néhány nehezebb tigonometiai feladat 0 ( y l$ $ Gondoljuk meg, hogy + - # Alkalmazzuk a negatív kitevôjû hatvány definícióját, szoozzunk a nevezôvel, endezzük nulláa és oldjuk meg a -e másodfokú egyenlôtlenséget! Vegyük észe, hogy teljes négyzetet alakíthatunk ki: ( - ) # 0, ebbôl következik, hogy, azaz 0 5 A háomszög oldalai ; 5; egységnyiek, a szögei, ; 55,8 ; 8,8 Legyen az n - hosszúságú oldallal szemközti szög, az n + hosszúságú oldallal szemközti szög $, ekko az n hosszúságú oldallal szemközti szög 80 - $ A szinusztételt alkalmazva n + sin n +, ebbôl elôbb-utóbb cos $ Alkalmazzuk a koszinusztételt! n - sin n - _ n - i n + n + _ n+ i - $ n_ n+ i $ cos Ebbôl cos Ha összevetjük a $ ( n + ) cos -e kapott két egyenletet, akko azt kaphatjuk a kapott egyenlet megoldása után, hogy n 5 Legyen K az AlBl szakasz felezôpontja, OK, OK J N sin - a OA K O, Ezekbôl a 5-0 ( 5 ) m $ L P $ $ m tg5 - tg0 tga, és így t $ $ tga $ $ + tg5 $ tg0 f $ b- l

115 Néhány nehezebb tigonometiai feladat 8 7 Nem lehetséges AB c, BE y, ED AE, BE y, AD CD $, CBEs ABEs { Alkalmazzuk a szögfelezôtételt az ABC háomszöge: AB y, ebbôl BC $ c Alkalmazzuk a szögfelezôtételt a BCE háomszöge: BC $ $ c c$ $ c$ sin{, ebbôl y $ c, t t t $ ABC ABE+ BCE, azaz c$ $ c$ sin{ $ c$ $ c$ sin{ +, ebbôl elôbb-utóbb levezethetjük, hogy cos {, tehát { 0 Ez nem lehetséges 8 Legyen AB BC CA a Tegyük fel például, hogy PB a leghosszabb a PA, PB, PC közül Alkalmazzuk Betschneide tételét az ABCP négyszöge! PB $ AC AB $ PC + BC $ PA - $ AB $ BC $ PC $ PA $ cos({ + 0 ), ahol ABCs 0 és APCs { Az egyenletbôl kaphatjuk, hogy PB PC + PA - $ PC $ PA $ cos({ + 0 ) Alkalmazzunk ee egy felsô becslést! PB PC + PA - $ PC $ PA $ cos({ + 0 ) # PC + PA + $ PA $ PC (PC + PA) Ebbôl PB < PA + PC Egyenlôség nem lehet, met akko cos({ + 0 ) lenne, de ekko { 0 lenne Ez pedig akko és csak akko lenne, ha P ajta lenne a köülít köön Keessünk további megoldásokat a feladata, met vannak! 9 EDBs 0 EDBs, BEDs 0 - Alkalmazzuk a szinusztételt a BED háomszöge, majd a BCD háomszöge! () ; () és BD sin( 0 - ) BD sin80 BE sin BC sin0 tudjuk, hogy sin 80 $ sin 0 $ cos 0 és BE BC Ezekbôl kaphatjuk, hogy sin( 0 - ) $ cos0 Ebbôl kaphatjuk, hogy sin (0 + ) $ cos 0 $ sin sin sin 0 $ cos + cos 0 $ sin $ (cos 0 $ cos 0 - sin 0 $ sin0 ) $ sin Ezt addig alakítsuk, amíg cos $ sin, azaz tg nem lesz 0 0c az átlók hajlásszöge Legyen az átlók hajlásszöge és E az átlók metszéspontja ABEs - 5 ; BCEs 90 - ; CDEs - 0 ; DAEs 05 - Alkalmazzuk a AE sin( - 5 ) szinusztételt az AEB, BEC, CED, illetve a DEA háomszöge! ; BE sin5 BE sin( 90 - ) CE sin( - 0 ) DE sin( 05 - ) ; ; Szoozzuk össze az CE sin90 DE sin0 AE sin75 sin( -5 ) sin( 90 -) sin( -0 ) egyenletek megfelelô oldalait! Kapjuk, hogy $ $ sin5 sin90 sin0 sin( -5 ) $ sin( 90 -) $ sin( -0 ) $ sin( 05 - ) $ sin5 $ sin75, _ $ sin( -5 ) $ sin( 05 -) i$ _ $ sin( -0 ) $ sin( 90 - ) i $ sin5 $ sin75, _ cos( $ -0 ) -cos90 i$_ cos( $ -0 ) - cos0 i, cos ( $ -0 ) - $ cos( $ -0 ) - 0 Oldjuk meg a kapott egyenletet!

116 8 Néhány nehezebb tigonometiai feladat Alkalmazzuk a koszinusztételt kétsze az f átlóa felíva! f a + d - $ a$ d$ cosa; f c + d - $ c$ d$ cos y, ebbôl a + d - $ a$ d$ cosa c + d - $ c$ d$ cos y, a + d - $ a$ d$ cosa c + d - $ c$ d$ cos( 80 -a), a + d - $ a$ d$ cosa c + d + $ c$ d$ cosa, tehát a + d -c -d cosa $ ( a$ d+ c$ d) a - cosa a a) Mint tudjuk, sin, met < 90, másészt cosa a + d -b - c ( b+ c+ a- d)( b+ c+ d- a) Így - cos a Ezekbôl kaphatjuk, $ ( a$ d+ b$ c) $ ( a$ d+ b$ c ) a ( b+ c+ d- a)( a+ b+ c-d) a hogy sin $ b) Használjuk fel, hogy cos a$ d+ b$ c + cosa a a, ha < 90 Az a) feladathoz hasonlóan kaphatjuk, hogy cos ( a+ d+ b- c)( a+ d+ c-b) $ c) Vegyük figyelembe, hogy a+ b+ c+ d $ s; a$ d+ b$ c b+ c+ d- a $ ( s- a) ; a+ c+ d- b $ ( s- b) ; a+ b+ d- c $ ( s- c) ; a+ b+ c- d $ ( s- d) Ha ezeket alkalmazzuk az a) és a b) megfelelô tételeie, akko kap- a ( s-a)( s-d) a ( s-b)( s-d) juk, hogy sin ; cos Osszuk el egymással a kapott a$ d+ b$ c a$ d+ b$ c a ( s a)( s d) egyenletek megfelelô oldalait! Kapjuk, hogy tg - - ( s-b)( s-c) Legyen AB a, BC b; CD c és DA d, BADs a, BCDs c az ABCD a$ d$ sina b$ c$ sinc húnégyszögben t ABD ; tbcd Így t t ABD+ t BCD a a $ ( a $ d + b $ c) $ sin a Használjuk fel, hogy sin a $ sin $ cos! Koábban láttuk, hogy sin a ( s-a)( s-d) a ( s-b)( s-c) és cos, ezeket felhasználva kapjuk, a$ d+ b$ c a$ d+ b$ c hogy t ( s-a)( s-b)( s-c)( s- d) Legyen AB a, BC b; CD c és DA d, AC e, BD f, BADs a, BCDs c az ABCD húnégyszögben () f a + d - $ a$ d$ cosa, () f b + c - $ b$ c$ cosc Vegyük figyelembe, hogy cosa-cosc Ezután szoozzuk az () egyenletet b$ c-vel, majd a () egyenletet szoozzuk a$ d-vel, majd adjuk össze a kapott két új egyenletet! Némely egyenletendezés után innen kaphatjuk, hogy: f Hasonlóan kaphatjuk ( a$ c+ b$ d)( a$ b+ c$ d) a$ d+ b$ c a másik átló hosszát

117 Néhány nehezebb tigonometiai feladat 8 5 Legyen AB a, BC b; CD c és DA d, AC e, BD f, BADs a, BCDs c az ABCD húnégyszögben Ekko f $ R$ sina Miét? Az elôzô feladatban kaptuk, hogy f ( a$ c+ b$ d)( a$ b+ c$ d) a a Másészt sina $ sin $ cos Használjuk még fel a ko- a$ d+ b$ c ábban levezetett sin a ( s-a)( s-d) a$ d+ b$ c és cos a ( s-b)( s-c) a$ d+ b$ c képleteket Ezenkívül tudjuk, hogy t ( s-a)( s-b)( s-c)( s- d) Ezeket felhasználva kaphatjuk, hogy t ( a$ b+ c$ d)( a$ c+ b$ d)( a$ d+ b$ c) $ t Legyen sin Y 0, ekko szoozzuk meg az egyenlôséget ennek a kétszeesével $ sin $ Sn $ sin $ sin + $ sin $ sin + f + $ sin $ sin n Használjuk fel, hogy $ sina$ sinb cos( a-b) - cos( a+ b ) cos( b-a) - cos( a+ b ) Így $ sin $ Sn J N J 5 N J JJ N N JJ N NN K cos - cos + cos - cos + f + K O K O cosk n- $ O K - cosk n+ $ O K K O O KK O O L P L P L LL P P LL P PP JJ N N JJ N N cos - cosk n+ $ O cos - cosk n + $ O KK O O, ebbôl KK O O Sn LL P P Má ez is lehet végeedmény, de tovább is fejleszthetjük Majd alkalmazzuk a koszinuszok különbségée ismet követ- LL P P $ sin J a + b N J a - b N kezô képletet: cosa- cosb- $ sin K $ sin O K O Kapjuk, hogy J L P L P ( n+ ) $ N J nn sin $ sin K O K O Sn L P L P Másészt gondoljuk meg, hogy ha sin 0, akko S n 0 sin 7 Igazoljuk elôszö a (*) összefüggést: (*) $ cos( k) $ sin -cos_( k- ) $ i+ $ cos( k) - cos_ ( k+ ) $ i, mégpedig úgy, hogy az összefüggés jobb oldalából indulunk ki és kétsze alkalmazzuk á a koszinuszok különbségée vonatkozó azonosságot Ezután alkalmazzuk a (*) azonosságot k -tôl k n-ig, majd ezeket adjuk össze $ sin $ ( cos + cos+ cos+ f + cos n) - + cos + cos n- cos_ ( n+ ) $ i Ezt alakítsuk tovább! - $ sin + cos n- cos_ ( n + ) $ i - $ sin + cos n- cos( n+ ) - $ sin + cos n- cos n$ cos + sin n$ sin - $ sin + cos n$ $ sin + sin n$ $ sin $ cos (Legyen elôszö sin Y 0)

118 8 Néhány gyakolatibb tigonometiai feladat sin n$ cos Ebbôl kaphatjuk, hogy cos + cos+ cos+ f + cos n - + cos n+ sin J n + N sin $ cos n+ sin n$ cos sin $ - + K O - + L P Ha van kedvünk, akko sin sin mutassuk meg, hogy más alakú végeedmény is lehet, például: sin n$ cos_ ( n + ) $ i cos + cos+ cos+ f + cos n Legyen most sin 0, ekko sin gondoljuk meg, hogy a vizsgált összeg étéke 0 Néhány gyakolatibb tigonometiai feladat 8 a) London az 5 l északi szélességen (és 0 földajzi hosszúságon) fekszik b) London és ellenlábasának távolsága éppen a Föld átméôje: 75 km c) 99,9 km London távolsága a Föld fogástengelyétôl sin 5 l, ahol R 78 km a Föld sugaa R km $ $ d) v, 5 London sebessége a Föld tengelye köüli fogásban v, ahol h T T h 9 a) R 9-sze távolabb van a Nap a Földtôl, mint a Hold a Földtôl, Aisztakhosz sze- R int cos {, ahol { 87 b) 90-sze távolabb van a Nap a Földtôl, mint a Hold a R Földtôl a modenebb méés szeint Itt { 89 5l0ll 0 a),09 $ 0 km paszek tg {, ahol a Nap és a Föld távolsága, { ll b) 9,7 $ 0 km fényév c),7 fényév paszek d),7 paszek 8,8 fényév 9 0

119 Néhány gyakolatibb tigonometiai feladat 85 m a), a csónak eedô sebessége b) a,8 iányba evezzünk, enyhén szembe a folyó folyásiányával c) 5, s az átkelési idônk s a) { 80 + k $ 0, k! szögeknél lesz a keesztfej a legtávolabb a fogáscentumtól, és,75 m a legtávolabbi távolság b) { 0 + k $ 0 szögeknél van a keesztfej a legközelebb a fogáscentumtól és,5 m a legközelebbi távolság c) $ cos{ + l - $ sin { 05, $ cos{ +, 5-0, 05 $ sin { (méte) a keesztfej távolsága a fogáscentumtól { szög függvényében a),05 m 05 lite az olajtatály téfogata b) 0 lite olaj van a tatályban, a$ $ $ sina 59 lite a hiány a 0,5, t szelet t cikk - t háomszög - 0,975 m 0 V olaj t szelet $ l,00 7 m 0 lite a) e,8 cm a két tácsa közös éintôszakaszainak a hossza b) i,07 cm a nagyobbik tácsán a tapadási felület hossza c) i, cm a kisebbik tácsán a tapadási felület hossza d) l 5, cm a meghajtószíj hossza 5 a) a 0, a keesett szög nagysága, 5m b) A 7,8 m a dongaboltozat keesztmetszete A T cikk a$ R $ a$ $ - t cikk -, ahol R b + c) V 5,8 m a dongaboltozat téfogata d) m 8,5 tonna a boltozat tömege Híes dongaboltozatos templomok 0 0 például a Santa Maia de Naanco templom Ovideo mellett, a St Senin templom Toulouseban és a La Madeleine templom (Vézelay) Egy koábbi feladatunkban említettük a lébényi Ápád-koi Szent Jakab templomot, ennek szintén dongaboltozata van, de ez nem az eedeti, met a Bécs ellen vonuló töökök 59-ben felgyújtották a templomot és beomlott az eedeti boltozat, 8-ban másodszo is felgyújtották a töökök egy újabb Bécs elleni támadásnál AT BT m a úd és a teodolit vízszintes távolsága tg a, tgb, l BT - AT 7 a),8 km-e vagyunk a lébényi templomtól a hôlégballonnal b) y 5,0 km a hôlégballon és a Fehé-tó távolsága c) z 5,7 km-e van egymástól a tó és a templom 7

120 8 Néhány gyakolatibb tigonometiai feladat k 8 a) t (másodpec), ahol k!, t l + (másodpec), ahol l!, 0 50 idôpontokban lesz a feszültség étéke a maimális feszültség felével egyenlô U ma Uma $ sin( $ $ f $ t) b) tl 00 s, tl 0 s, tl 7 00 s, tl 00 idôpontokban lesz a feszültség abszolútétéke egyenlô a maimális feszültség felével, az elsô s-ban 50 c),7%-ban lesz nagyobb a feszültség abszolútétéke a maimális feszültség felénél $ Dt Dt tl-tl és $ 00,7%, ahol T s Édemes leajzolnunk a szinuszfüggvény T 50 gafikonját k 9 a) t (másodpec), ahol k!, t l + (másodpec), ahol l!, idôpontokban lesz a feszültség étéke az effektív feszültséggel egyenlô Ueff Uma$ sin( $ $ f$ t), Ueff Ueff $ $ sin( $ $ f $ t) b) tl 00 s, tl 00 s, tl 80 s, t l 7 s idôpontokban lesz a feszültség abszolútétéke az effektív feszültséggel egyenlô az 00 elsô s alatt , m Alkalmazzuk a koszinusztételt! 5 a) 00 m az Aanyszavas és a megfigyelô távolsága b) 80 m a spanyol gálya és a megfigyelô távolsága c) 50 méte az Aanyszavas és a gálya távolsága Alkalmazzuk a koszinusztételt! d) 9l-es szögben látja Si Fancis Dake a spanyol hajó és a megfigyelô távolságát Alkalmazzuk a szinusztételt! 5 y, m magas a toony Elôszö számítsuk ki a b szöget a koszinusztétel segítségével a b + s - $ b $ s $ cos b Kapjuk, hogy b,78 Majd sin b-ból kapjuk -et b y +,5 m 80 5 a) 07 m távolsága van az elsô méésnél a hajó a toony aljától tg a 80 b) y 0 m távolsága van a második méésnél a hajó a toony aljától tg b y 5 5