Összetettebb feladatok

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Összetettebb feladatok"

Átírás

1 A szinusztétel és koszinusztétel lklmzás Összetettebb feldtok 055..,7 m háom kö közötti síkidom teülete. Kössük össze köök középpontjit, így kpunk egy háomszöget. Legyen m, b m, 5 m. Számítsuk ki koszinusztétellel például e háomszög zon szögét, melynek z 5 m sugú kö középpontj sús. Kpjuk, hogy á 7,. éldául szinusztétellel számíthtjuk z szöget.. 50,. b $ $ sin Ebbôl kpjuk, hogy b á 5,5. Számítsuk ki háomszög teületét! t, ebbôl t. 7,8 m. Most számítsuk ki z egyes köikkek teületét, mjd vonjuk ki ezeket háomszög teületébôl és megkpjuk keesett síkidom teületét. t. 7,99 m ; t b.,05 m ; t.,0 m. Így t idom.,7 m. 05. egység; egység;. 8 egység háomszög oldlink hossz,. 0, ;. 0,8 háomszög ismeetlen szögei. Oldjuk meg feldtbn megdott egyenletendszet! Ekko kpjuk, hogy ; b, illetve fodítv. Íjuk fel oldl koszinusztételt! Ebbôl kpjuk, hogy: á 8. Íjunk fel egy szinusztételt z és oldl! 057. á 09 m; á m háomszög ismeetlen oldlink hossz;. 79, ;., háomszög ismeetlen szögei. Legyen 0 és,99. A háomszög tigonometikus teületképletébôl: () $ b á 9. Íjuk fel oldl koszinusztételt! () 0 + b - - $ $ b $ os,99. H felhsználjuk z elôzô egyenletet, kko zt kpjuk, hogy: () + b á á 5 0. Oldjuk meg z () és () egyenletekbôl álló egyenletendszet! H egy kisit vszbbk vgyunk, kko megkönnyíthetjük megoldást, h észevesszük, hogy: ( + b) - $ $ b á á 5 0. Ebbôl ( + b) á 8 900, s így () + b. 70. Az () és () egyenletekbôl álló egyenletendszet má egy kisit könnyebb megoldni. (Kihsználtuk, hogy háomszög oldli pozitív számok.) Kpjuk, hogy. 09; b., illetve fodítv. Alklmzzuk szinusztételt b és oldlk! Ebbôl kpjuk, hogy b.,, ebbôl pedig. 79,, illetve fodítv m;. 7 m háomszög ismeetlen oldli,. 7,7 ;. 5,75 háomszög ismeetlen szögei. Legyen 5 és 00,98. Ekko feltétel szeint () + b 9. Íjuk fel koszinusztételt oldl! () 5 + b - $ $ b $ os 00,98. Felhsználv ()-et, ebbôl zt kpjuk, hogy () $ b á 8. Oldjuk meg z () és () egyenletbôl álló egyenletendszet! Kisit könnyebb megoldás, h észevesszük, hogy ( + b) - $ $ b á 9, zz ( + b) á, vgyis () + b. 9. Oldjuk meg inkább () és () egyenletbôl álló egyenletendszet! Kpjuk, hogy. ; b. 7, illetve fodítv. Íjunk fel egy szinusztételt z és oldl! Ebbôl kpjuk, hogy á 5,75, ebbôl pedig b á 7,7, illetve fodítv ,9 dm;.,7 dm;, dm háomszög oldlink hossz. Az $ R $ sin képlet lpján számíthtjuk étékét.. 5,9 dm. A háomszög tigonometikus teületképletébôl kpjuk, hogy () b $ á,85. Íjuk fel koszinusztételt z oldl! Kpjuk, hogy (),7 á b b $ $ 0,9 8. Hsználjuk fel z () egyenletet, kpjuk, hogy () b + á 5,. Oldjuk meg z () és () egyenletbôl álló egyenletendszet! Kpjuk, hogy b.,7;.,, illetve fodítv. 00. MN x. 5, m teeppontok távolság. Számítsuk ki z szöget: 50, mjd ebbôl { szöget: {. Alklmzzuk szinusztételt z ABN háomszöge! Ebbôl kpjuk, hogy á 5,8 m. Alklmzzuk most koszinusztételt z MNA háomszöge! Kpjuk, hogy x. 5, m. 0. x. 9,7 m z épület mgsság, {. 8 l lejtô hjlásszöge. Számítsuk ki z AB háomszög A-nál levô szögét! Mjd íjuk fel szinusztételt z AB háomszöge! Ebbôl kphtjuk, hogy y. 58, m. Mjd lklmzzuk koszinuszté-

2 Összetettebb feldtok telt QA háomszöge! Ebbôl kpjuk, hogy x. 9,7 m. Számítsuk ki szöget, például úgy, hogy szinusztételt íunk fel QA háomszögben. Kpjuk, hogy. 5 9l. Ebbôl és 9 0les szög segítségével kphtjuk lejtô hjlásszögét: {. 8 l ,7 m;. 5,7 m háomszög ismeetlen oldli,. 0, ;. 8,5 háomszög ismeetlen szögei. Legyen 8 m és s 0 m,,8. Az s súlyvonl két észe vágj szöget. Legyen zon észe -nk, mely b oldl felé esik. Szinusztétellel kiszámíthtjuk sin ezt szöget.. Jelöljük {-vel zt szöget, mely z AFC háomszögben z F-nél sin, 8 s vn, hol F z AB oldl felezôpontj. Ekko {-t könnyen kiszámíthtjuk: {.,5. Íjuk fel koszinusztételt z AFC háomszögben z AC b oldl! Kpjuk, hogy b. 5,7 m. Íjuk fel most koszinusztételt BFC háomszögben BC oldl! Kpjuk, hogy. 0,7 m. Íjuk fel szinusztételt z ABC háomszögben z és oldlk! Ebbôl kpjuk, hogy. 8,5, ebbôl pedig b. 0,. 0..,09 m;. 9, m háomszög ismeetlen oldli;. 9,9 ;. 88, háomszög ismeetlen szögei. Legyen 8 m,,, s 0 m. Jelöljük {-vel BFC háomszögben F-nél levô szöget, hol F z AB oldl felezôpontj. Ekko z AFC háomszögben 80 - { szög vn z F súsnál. Íjuk fel koszinusztételt BFC háomszögben BC oldl, mjd z AFC háomszögben z AC b oldl! Hsználjuk fel, hogy os(80 - {) -os {. Mjd djuk össze két egyenletet! Kpjuk, hogy + b $ s +, h behelyettesítjük z ismet dtokt, kko kpjuk, hogy () + b. A következôkben íjuk fel koszinusztételt z ABC háomszögben oldl és helyettesítsük be ide z ismet dtokt, mjd hsználjuk fel z () egyenletet, és zt kphtjuk, hogy () $ b.. Oldjuk meg z () és () egyenletbôl álló egyenletendszet! Kisit könnyebb megoldás, h észevesszük, hogy ( + b) - $ $ b és felhsználv ()-t: () + b á,5. Így elég megoldni z () és () egyenletbôl álló egyenletendszet. Azt kpjuk, hogy.,09; b. 9,, illetve fodítv. Íjuk fel szinusztételt z ABC háomszögben b és oldl! Ebbôl kpjuk, hogy b. 9,9, ebbôl pedig. 88,, illetve fodítv. 0..,8 m;.,5 m háomszög ismeetlen oldli;. 8,0 ;.,58 háomszög ismeetlen szögei. Legyen m, 75,8, s 9,5 m. Az elôzô feldt megoldásához hsonlón kphtjuk, hogy + b $ s +. Ebbôl pedig () + b 08,5. Íjuk fel koszinusztételt z eedeti háomszögben oldl, h ide behelyettesítjük z dtokt, kko kphtjuk, hogy () $ b á 0. Oldjuk meg z () és () egyenletbôl álló egyenletendszet! Vgy z elôzô útmuttásbn szeeplô fogássl konstuálunk egyszeûbb egyenletendszet és zt oldjuk meg. Aká így, ká úgy sináljuk, zt kpjuk, hogy.,8 m; b.,5 m, illetve fodítv. Íjuk fel szinusztételt z eedeti háomszögben b és oldl! Kpjuk, hogy b..,58, ebbôl pedig. 8,0, illetve fodítv. 05. $ egység., egység háomszög hmdik oldlánk hossz, 0 ;.,9 ;., háomszög szögei. Legyen AC b, AB, AE s. Legyen CE x és x ekko BE - x. Alklmzzuk szögfelezôtételt!, ebbôl x, s így - x x. - x Alklmzzuk koszinusztételt z AEC háomszöge, mjd z ABE háomszöge! x + - -$ $ $ os, x _ i + - $ $ $ os. Oldjuk meg z egyenletendszet! x és os.,9, ebbôl á,.. Ebbôl 0, és $. Szinusztétellel számíthtjuk b szöget. b.

3 A szinusztétel és koszinusztétel lklmzás 0..,0 ;. 5,9 ;. 9,0 háomszög szögei,.,97 m háomszög ismeetlen oldl. Legyen, b, f 0. A szögfelezô x, illetve - x hosszúságú szkszok osztj fel oldlt. Legyen z x szksz z oldl mellett és így - x szksz b oldl mellett. Alklmzzuk szögfelezôtételt! Kpjuk, hogy. Íjunk fel két koszinusztételt két ész- - x x háomszöge! Kpjuk, hogy x f + - $ f$ $ os és ( x) f b $ f $ b $ os. Osszuk el két egyenletet egymássl és lklmzzuk szögfelezôtételbôl kpott összefüggést, J N $ 0 $ $ os ezenkívül helyettesítsük be z dtokt! Ekko K O. Ebbôl L $ 0 $ $ os os. 0, 9, s így. 9,0. Alklmzzuk most koszinusztételt z eedeti háomszögben oldl! Ebbôl kpjuk, hogy.,97 m. Alklmzzuk most szinusztételt z eedeti háomszögben z és oldl! Ebbôl kpjuk, hogy.,0, és ebbôl pedig b. 5,9. os osb os 07. Alkítsuk át feltételi egyenletet következô lkú: + $. A továbbikbn pedig lklmzzuk z $ R $ sin összefüggést mindháom oldl! Ebbôl sin sinb sin os osb os kpjuk, hogy + $. Alklmzzuk most koszinusztételt mindegyik oldl! A háom felít koszinusztétel mindegyikébôl fejezzük ki szög koszinuszát és helyettesítsük b be z elôzô egyenletbe! Átlkítások után könnyen kphtjuk bizonyítndó egyenlôséget. 08. b + 5 $ összefüggés vn z oldlk között. Alklmzzuk kotngens definíióját, sin sin mjd feltételi egyenletet hozzuk következô lkú: $ os os b$ + os $. sinb sin Alklmzzuk itt szinusztételt mjd koszinusztételt háomszo. b b b $ $ $. Ezt pedig ddig lkítsuk, míg zt nem b b b kpjuk, hogy b + 5 $. 09. Alklmzzuk szinusztételt és sin x $ sin x $ os x zonosságot! Kpjuk, hogy sin sinb $ sinb$ osb $ osb. Ebbôl () osb. Alklmzzuk most b sinb sinb sinb b koszinusztételt b oldl és hsználjuk fel még z () összefüggést! b + - $. b Ebbôl kpjuk, hogy b $ (b - ) $ (b + ) $ (b - ).. eset: h b - Y 0, kko lehet osztni vele, s így b $ (b + ), ebbôl pedig - b b.. eset: h b - 0, ekko b, ebbôl következik, hogy b. Felhsználv, hogy $ b, kpjuk, hogy b 5 és 90. Alklmzzuk itgosz tételét e deékszögû háomszöge: b +, ebbôl - b, de mivel. esetben b, ezét - b b, tehát. esetben is igz z állítás A feltételi egyenlet bl oldlán lklmzzuk kétsze szinusztételt, kpjuk, hogy: b + $ sin! Alklmzzuk most koszinusztételt z oldl és fejezzük ki szög koszinuszát! os + -. Hsználjuk fel, hogy sin + os! Helyettesítsük be ide z b b b

4 Nehezebb feldtok 5 J b + N J b + - N elôzôkben kpott képletekbôl szögfüggvényeket! K O + K O! Alkítsuk K b O K b O L L át ezt z egyenletet következô lkú: b ` - j + `b + - j 0! Ebbôl következik, hogy b, vgyis háomszög egyenlô száú. Ezenkívül még z következik, hogy b +, ebbôl pedig következik, hogy háomszög deékszögû is. Miét? Tehát háomszög egyenlô száú és deékszögû. Nehezebb feldtok 07. : b : 5 : 8 : háomszög oldlink z ány. A feltételekbôl kpjuk, hogy tg sin osb, ebbôl $. Alklmzzuk szinusztételt, mjd kétsze koszinusztételt, melyekbôl fejezzük ki szögek koszinuszit! A behelyettesítés után: tg b os sinb + b - $. Ezen egyenletet kissé átlkítv, kpjuk, hogy () $ - $ b + 0. b b + - b tgb sinb os A feltételbôl kpjuk, hogy, ebbôl $. Alklmzv szinusztételt és tg osb osb + b - b kétsze koszinusztételt, kphtjuk, hogy $ b, ebbôl kphtjuk, hogy () + -b + 5 $ b - 5 $ 0. Vizsgáljuk meg z () és () egyenletbôl álló egyenletendszet! éldául 5 fejezzük ki ()-bôl -et és ezt helyettesítsük be ()-be! Ebbôl zt kpjuk, hogy, s így b 8 5. Másészt -et innen kifejezve és behelyettesítve kifejezésébe és ezt átlkítv b 8 b 8 b 8 kpjuk, hogy, ebbôl R $ egység kö sug. Q $ R $ sin és 5 N $ R $ sin, ebbôl következik, hogy Q N x, vgy hsználjuk ki keületi szögek tételét. Alklmzzuk koszinusztételt z MN háomszöge, mjd z MQ háomszöge, mindkettôben z x oldl! Az egyenletendszebôl kphtjuk, hogy os és x. Az x $ R$ sin-ból következik, hogy R $. 5

5 A szinusztétel és koszinusztétel lklmzás 07/I. 07/II. 07/III. 07. R $ egység kö sug. Hsonlón oldhtjuk meg, mint z elôzô feldtot. 55 sin x sin y b 07. Alklmzzuk kétsze szinusztételt: () és (). Ezekbôl sin f sin f b $ b $ sin x$ sin y $ sin$ sin. Átlkítv sin x$ sin y $ _ os$ os- os( + ) i. Alklmzv kétsze koszinusztételt, kpjuk, hogy: os + - f f d f b f és os + -. $ d $ $ b $ Ezeket behelyettesítve z elôzô egyenletbe, kpjuk, hogy: b $ J + d - f b + -f N (*) sin x$ sin y $ K $ os( ) - + O. Másészt sin f K $ d $ $ b $ O x$ sin y L os x$ os y- os( x+ y). Háomszo lklmzv koszinusztételt, kpjuk, hogy: f d os x + - f b ; os y + - d e ; os( x+ y) + -. Ezeket beív z elôzô egyenletbe, kpjuk, hogy: (**) sin x$ sin y + - $ $ f $ d $ f $ $ $ d f d f b d e $ f $ d $ f $ $ $ d f + d - f + -b + d - e A (*) és (**) egyenletbôl kpjuk, hogy: $ - $ f $ d $ f $ $ $ d b $ J + d - f b + -f N $ K $ os( ) - + O. A továbbikbn ddig fsjuk z egyenletet, míg ki nem jön belôle Betshneide tétele: e $ f $ + b $ d - $ $ b $ $ d $ os( + ). f K $ d $ $ b $ O L 075. Alklmzzuk Betshneide tételét: e $ f $ + b $ d - $ $ b $ $ d $ os( + ). Mivel - # os( + )#, ezét $ $ b $ $ d $ $ $ b $ $ d $ os( + ) $ $ $ b $ $ d. Ezt felhsználv kpjuk, hogy e $ f # $ + b $ d + $ $ b $ $ d, zz e $ f # ( $ + b $ d ), ebbôl pedig következik, hogy e $ f # $ + b $ d, ezzel igzoltuk z áltlánosított tolemiosz-tételt. Itt egyenlôség kko és sk kko vn, h os( + ), zz h + 80, vgyis h négyszög húnégyszög. H vn kedvünk, kko könnyen igzolhtjuk zt is, z elôzôeket figyelembe véve, hogy e $ f $u $ - b $ du. Keessünk más bizonyítást is z áltlánosított tolemiosz-tétele!

6 Szinusztételt, illetve koszinusztételt nem igénylô (igénylô) könnyû feldtok 7 Néhány könnyû teületszámítási feldt Szinusztételt, illetve koszinusztételt nem igénylô könnyû feldtok ,8 m háomszög teülete eset:., -os;. eset:., -os szöget zánk be z dott oldlk , m z dott szög melletti ismeetlen oldl hossz ,7 m ombusz teülete , m plelogmm teülete ,5 m plelogmm teülete. 08. Vegyük figyelembe, hogy z átlók négy egyenlô teületû háomszöge vágják plelogmmát! Miét? Másészt tudjuk, hogy sin(80 - {) sin {. Alklmzzuk háomszög tigonometikus teületképletét! 08. A konvex négyszög f átlój x és e - x hosszúságú szkszok osztj z e átlót, míg z e átló y és f - y hosszúságú szkszok osztj z f átlót. Legyen { z átlók hjlásszöge. A négy észháomszög teületének összege megegyezik négyszög teületével. t + x$ y$ sin( 80 - {) x$ ( f- y) $ sin{ ( f y) $ ( e x) $ sin( 80 ) y$ ( e x) $ sin { - { +.Vegyük figyelembe, hogy e$ f $ sin{ sin(80 - {) sin {, mjd lkítsuk képletet és hmosn megkpjuk, hogy t ,8 m;.,8 m;. 5,97 m háomszög oldli. Az - b egyenletbôl és háomszög tigonometikus teületképletée felít egyenletbôl álló egyenletendszet oldjuk meg. Ez másodfokú egyenlete vezet, melyet könnyen megoldhtunk. Kpjuk, hogy b.,8. Ebbôl. 9,8. Íjuk fel koszinusztételt oldl! Ebbôl. 5, t. 8,0 m háomszög teülete. t t, t $ t, t $ t, 085. így t $ t. Miét? 08..,59 m háomszög teülete. Számítsuk ki megfelelô középponti szögeket, mjd z egyes középponti szögekhez ttozó észháomszögek teületét, melyeket összedv kpjuk háomszög teületét A köülít kö középpontját kössük össze háomszög súspontjivl! Így háom észháomszöget kpunk. Alklmzzuk középponti és keületi szögek tételét, melybôl kpjuk, hogy észháomszögeknek z szöge, mely kö középpontjánál vn, megegyezik z eedeti háomszög megfelelô szögének kétszeesével. Íjuk fel észháomszögek teületeit tigonometikus teületképlettel, mjd ezeket összedv megkpjuk háomszög teületée bizonyítndó összefüggést. Háom esetet különböztessünk meg: hegyesszögû, deékszögû és tompszögû háomszög esetét. Szinusztételt, illetve koszinusztételt igénylô könnyû feldtok , m háomszög teülete. Hsználjuk szinusztételt és háomszög tigonometikus teületképletét! 089. m; m;.,8 m háomszög oldli, 0 ;.,8 ;. 08,9 háomszög szögei. b $ $ sin $ m Legyen x, b x, ekko t és t, hol m 8 m. Másészt $ R $ sin,

7 8 Néhány könnyû teületszámítási feldt hol R m. Ezekbôl meghtáozhtjuk, hogy x m. Ebbôl pedig m és b m. Az $ R $ sin -ból kpjuk, hogy 0. Ugynilyen módon kpjuk, hogy b,8. Ezekbôl következik, hogy 08,9. A étékét $ R $ sin egyenletbôl kphtjuk:.,8 m ,7 m;. 7,8 m;. m háomszög oldli. hektá m. b $ $ sin b sinb $ sin$ sinb t, és szinusztétel:, ezekbôl: t. Innen megkphtjuk, sin $ sin hogy.. Az és oldl felít szinusztételbôl:. 8,7. A b és oldl felít szinusztételbôl: b. 7, Az elôzô feldt megoldásához vló útmuttásábn lényegében levezettük e feldt képletét. b $ $ sin 09. t és $ R $ sin, b $ R $ sin b, ezekbôl kphtjuk bizonyítndó képletet. b $ $ sin 09. t és $ R $ sin, ezekbôl kphtjuk bizonyítndó képletet. 09. m; 8 m;.,9 m háomszög oldli. Egyészt + b feltétel szeint, másészt háomszög tigonometikus teületképletébôl kphtjuk, hogy $ b. Oldjuk meg z egyenletendszet, zt kpjuk, hogy és b 8, illetve fodítv. Íjuk fel koszinusztételt oldl! Ebbôl kpjuk, hogy.,9 m m négyszög teülete. Húzzuk be négyszög zon átlóját, mely 5 m-es és 8 m-es oldlk közös súspontjából indul ki. Ekko nnk háomszögnek könnyen kiszámíthtjuk teületét, melynek m-es és 5 m-es oldli vnnk és ismet ezek hjlásszöge is. Ezután számítsuk ki koszinusztétellel z elôbb meghúzott átló hosszát! Ekko másik észháomszöge felív koszinusztételt, megkphtjuk 5 m-es és 8 m-es oldlk közötti szöget. Ennek segítségével kiszámíthtjuk ezen észháomszög teületét is. Adjuk össze észháomszögek teületeit és megkpjuk négyszög teületét. 09..,05 m;. 5,08 m;., m, háomszög oldli. Legyen x, b 5x, b $ $ sin,7. A t képletbôl kiszámíthtjuk x-et. x. 7,0. Ebbôl.,05; b. 5,08 m. Íjuk fel koszinusztételt oldl! Ebbôl kpjuk, hogy., m eset:.,5 ;. 8, ;.,0 háomszög szögei,., m hmdik oldl. A háomszög tigonometikus teületképletébôl kiszámíthtjuk, hogy.,0. Íjuk fel koszinusztételt oldl! Ebbôl kpjuk, hogy.,. Alklmzzuk szinusztételt z oldl és oldl! Ebbôl kpjuk, hogy.,5, ebbôl pedig: b. 8,.. eset:. ;. 7, m;.,8 ; b., ,8 dm; á 9,87 dm háomszög ismeetlen oldli;., ;., háomszög ismeetlen szögei. Legyen 8,7 dm, b,5, t 58 dm. A b szöge felít teületképletbôl kpjuk, hogy. 9,87 dm. Alklmzzuk koszinusztételt b oldl! Ebbôl kpjuk, hogy b.,5 dm. Alklmzzuk szinusztételt z és b oldlk! Ebbôl kpjuk, hogy., és ebbôl pedig, felhsználv másik ismet szöget is, kpjuk, hogy., m;. 5 m;. 5, m háomszög ismeetlen oldli,. 7, ;. 70,97 háomszög ismeetlen szögei. + b 88 feltételbôl, míg háomszög tigonometikus b $ $ sin7, 8 teületképletébôl kphtjuk, hogy 90. Oldjuk meg z egyenletendszet! Azt kpjuk, hogy. ; b. 5, illetve fodítv. Íjuk fel koszinusztételt oldl! Ebbôl kpjuk, hogy. 5, m. Alklmzzuk szinusztételt z és oldl! Ebbôl kpjuk, hogy. 7, és ezután könnyen kphtjuk, hogy b. 70,97, illetve fodítv dm;. dm háomszög ismeetlen oldli. Egyészt () + b, másészt háomszög teületképletébôl kphtjuk, hogy () $ b $ sin, hmdészt koszinusztételt

8 Alpvetô feldtok 9 felív z ismet oldl: (), + b - $ $ b $ os. Ezen egyenletendszebôl kphtjuk következô egyenletendszet: (I) $ b $ sin á ; (II) $ b $ os á 0,0. H elosztjuk két egyenlet megfelelô oldlit egymássl, kko zt kpjuk, hogy tg á 50, ebbôl. 89,9. H visszhelyettesítjük ezt z (I) egyenletbe, kko kpjuk, hogy: (III) $ b á. Oldjuk meg z (I) és (III) egyenletbôl álló egyenletendszet! Kpjuk, hogy., b., illetve fodítv. Összegzési tételek lklmzás Bevezetô lpfeldtok 0. ) sin ; b) - os ; ) sin ; d) - os ; e) - sin ; f) sin ; g) - os ; h) os. 0. ) - sin ; b) - os ; ) sin ; d) - sin. 0. ) os ; b) sin ; ) - os ; d) - sin. 0. ) os ; b) - sin ; ) - os ; d) sin. 05. ) ; b) ; ) ; d). 0. ) ; b) 0; ) - ; d). 07. ) -tg; b) tg; ) tg; d) -tg; 08. ) Alklmzzuk sin( + b)- vló összegzési képletet, h b x. b) Alklmzzuk os ( + b)- vló összegzési képletet, h b x. 09. Alklmzzuk z elôzô feldtbn bizonyított képleteket x helyett x -e! Alpvetô feldtok 0. ) $ os; b) $ os; ) os; d) os. + tg - tg. ) ; b). - tg + tg. ) ; b) 0.. Alklmzzuk bizonyítndó zonosságok bl oldli tnult összegzési (ddíiós) tételeket!. Az elôzô feldt zonosságibn végezzük el z x + y x- y és b helyettesítést! Ekko + b x és - b y. Így z ottni ), b), ), d) zonosságokból ende következnek z itteni ), b), ), d) zonosságok. 5. A bizonyítndó zonosságok bl oldli lklmzzuk megfelelô összegzési tételeket, és hsználjuk fel, hogy sin x + os x minden vlós x-e teljesül. 9. tg ( + b). Alklmzzuk tngensnél tnult megfelelô összegzési tételt! 8 7. ) tg ( + b) ; b) tg ( - b) 7. Alklmzzuk megfelelô összegzési tételeket! 8. ) os x; b) ; ) ; d) os x; e) os x; f).

9 0 Összegzési tételek lklmzás 9. ) Helyettesítsük be os x megfelelô képletét, mjd endezzük nullá z egyenlôtlenséget, os x-et lkítsuk át sin x segítségével! Ezután lkítsunk ki teljes négyzetet és zt kpjuk, hogy 0 # (sin x - ), ez pedig minden x vlós szám teljesül. b) Hsonlón bizonyíthtjuk, mint z elôzô feldtot, sk itt sin x-et lkítjuk át os x segítségével. Azt kpjuk, hogy 0 # (os x - ). 0. ) sin sin ( + ). Alklmzzuk most megfelelô összegzési tételt, mjd hsználjuk fel sin és os ismet képleteit, másészt zt, hogy sin + os. Kpjuk, hogy sin $ sin - $ sin. b) Hsonló módon oldhtjuk meg. Kpjuk, hogy os $ os - $ os. ) sin 8 $ os $ sin - $ os $ sin. d) os 8 $ os - 8 $ os $ sin + 8 $ sin.. ) Végeedmény. Alklmzzuk os elôbb kpott képletét és sin képletét! b) Végeedmény. Alklmzzuk sin elôzôekben kpott képletét és sin képletét!. ) Alklmzzuk tg ( + b)- tnult összegzési képletet b x-e! Másészt vegyük figyelembe második egyenlôségnél, hogy tg x megfelelô ételmezési tto- tg x mánybn. $ tg x b) tg x és vegyük figyelembe z elôzô feldt eedményét! ) -et ddig tgx + tg x lkítjuk tngens definíiójánk felhsználásávl, közös nevezôe hozássl, egyszeûsítéssel, míg sin x-et nem kpunk. Másészt tg x felhsználásávl mutssuk meg, hogy tg x $ tg x $ tg x. d) Addig lkítsuk középsô képletet tngens definíiójánk felhsználásávl, közös nevezôe vló hozássl, egyszeûsítéssel, míg os x-et nem kpunk. Más- + tg x tg x + észt tg x lklmzásávl ddig lkítsuk más módon, mint z elôbb, középsô tg x képletet, míg hmdik képletet meg nem kpjuk. - osx + osx. ) kifejezést lkítsuk, os x képletét felhsználv! b) kifejezést lkítsuk, os x képletét felhsználv! ) Az kifejezést lkítsuk, míg tg x nem - osx sinx - osx sinx lesz. Másészt mutssuk meg, hogy, szoozzunk be itt nevezôkkel! sinx + osx - osx d) tg x és vegyük figyelembe z elôzô feldt állítását! e) Az kifejezést lkítsuk ddig, míg tg x nem lesz. f) tg x és vegyük figyelembe z elôzô feldt állítását! tg x + osx tg x eset: sin ; os ; tg ; tg eset: sin - ; os ; tg - ; tg eset: sin ; os ; tg ; tg eset: sin - ; os ; tg - ; tg

10 Gykolófeldtok 0 0. sinx ; osx ; tgx ; tgx x 7. ) Alklmzzuk sin - tnult képletet -e! b) Alklmzzuk os - tnult képletet -e! ) Alklmzzuk tg - tnult képletet -e! Másészt vegyük x x x figyelembe, hogy tg. d) Vegyük figyelembe, hogy x tg, mjd lklmzzuk tg x tg - os x z elôzô eedményt! e) kifejezésbôl induljunk ki, mjd lklmzzuk z ) és b) feldtok eedményeit! Másészt, itt szoozzunk nevezôkkel! f) Vegyük sin x - os x sin x sin x + os x x - os x figyelembe, hogy tg, mjd lklmzzuk z elôzô feldt eedményét. g) + os x tg kifejezésbôl induljunk ki, mjd lklmzzuk z ) és b) feldtok eedményeit! h) Vegyük x figyelembe, hogy tg, mjd lklmzzuk z elôzô feldt eedményét! tg 8.. eset: sin ; os ; tg ;. eset: sin ; os - ; tg - os eset: sin - 5 ; tg. ; os sin ; os ; tg ; tg - ;. eset: sin - ; 5 Gykolófeldtok 0. A bizonyítndó zonosságok bl oldlib helyettesítsük be megfelelô összegzési tételekbôl kpott képleteket, mjd vegyük figyelembe, hogy sin x + os x. Az e) és z f) feldtoknál jobb oldlon édemes még elvégezni kijelölt szozást. A g) és h) feldtoknál sin x + os x zonosságot esetleg kétsze édemes lklmzni.. Végeedmény:. A bl oldlon lklmzzuk megfelelô összegzési tételeket, végezzük el mûveleteket, mjd két sopotb osztott tgoknál mindkét sopotból végezzünk kiemelést. Mjd hsználjuk fel, hogy sin + os, ezután ugynezt hsználjuk fel mégegysze, de most b- lklmzv.. A bl oldlon lklmzzuk megfelelô összegzési tételeket, mjd végezzük el beszozást. Ezután íjuk be megfelelô nevezetes hegyesszögek pontos étékeit! Mjd lklmzzuk sin + os zonosságot és ezután bizonyítndó állítást kpjuk.. Végeedmény:. Alklmzzuk kifejezése megfelelô összegzési tételeket, mjd végezzük el kijelölt mûveleteket! A kpott kifejezésben levô sin x-et lkítsuk át os x-e, sin x + os x zonosság segítségével. Ezután emeljünk ki os x-et zon tgokból, melyek-

11 Összegzési tételek lklmzás ben ezenkívül még 0 szögfüggvénye is szeepel. Mjd lklmzzuk sin x + os x zonosságot 0 -, s végül íjuk be megfelelô nevezetes hegyesszög szögfüggvényének étékét és megkpjuk végeedményt.. Végeedmény: -. Alklmzzuk kifejezése megfelelô összegzési tételeket, mjd végezzük el kijelölt mûveleteket. Ezután helyettesítsük be 5 -os nevezetes hegyesszög megfelelô szögfüggvényeinek z étékeit. Az egyszeûsítések után megkpjuk végeedményt. 5. Alklmzzuk megfelelô összegzési tételeket, végezzük el kijelölt mûveleteket és egyszeûsítsünk! ) ; b) 0; ) 0; d) ; e) ; f)0; g) 0; h).. 5, ezét elég igzolni, hogy b + 5. tgb és tg. Alklmzzuk tg (b + )- megfelelô összegzési tételt. Azt kpjuk, hogy tg (b + ), ebbôl pedig következik, hogy b + 5. Keessünk elemi megoldást, mely nem hsznál szögfüggvényt! Édemes megtlálni szép elemi megoldást, met vn ilyen. 7. Végeedmény:. Vegyük észe, hogy + b 5, így tg 5 tg( + b). Alklmzzuk most megfelelô összegzési tételt, szoozzunk nevezôvel, endezzük nullá z egyenletet, mjd djunk mindkét oldlhoz -et. Ezután szozttá lkítv kphtjuk, hogy: ( + tg ) $ ( + tg b). 8. ). b). ) -. d) -. e) -. f). 9. ). b) 0. ). d) ) tg x. b) sin x. ) tg x. d) tg x.. Az ) és b) feldtoknál lklmzzuk kijelölt mûveleteket és z ismet összefüggéseket kétszees szögeke! A ) feldtnál hsználjuk fel z - b ( - b)( + b) zonosságot, melynek segítségével lkítsuk szozttá bl oldlt. A d) feldtnál hsználjuk fel kétsze sin - vontkozó zonosságot!. Alklmzzuk kotngens, illetve tngens definíióját, hozzunk közös nevezôe, lklmzzuk kétszees szögeke ismet képleteket! Illetve hsználjuk sin x + os x zonosságot sinx ; osx - ; tgx - ; tgx tg x. sinx. Vázlt: Mutssuk meg, hogy sin x ; os x, + tg x + tg x mjd hsználjuk ezeket fel sin x képletében. Keessünk másik megoldást is! 5. Az osx. Mutssuk meg, hogy os x $ os x - ; os x és ezeket felhsználv kphtjuk z eedményt! tg x +. osx. A másodfokú egyenletet megoldv és két jelölt közül kiválsztv megfelelôt, kpjuk, hogy: tg x. Tekintsük zt deékszögû háomszöget, melynek egyik befo- 5 gój, másik befogój egység, ekko számítsuk ki z átfogó hosszát, illetve z x szög szinuszát és koszinuszát! Mjd lklmzzuk os x képletét!

12 Gykolófeldtok eset: tg x ;. eset: tg x - 5. Alklmzzuk tg x képletét! Mjd behelyettesítés után kpunk egy másodfokú egyenletet tg x-e. Ezt megoldv kpjuk z 5 eedményeket eset: sin x! ;. eset: sin x!. Alklmzzuk tngens és kotngens definíióját. Hsználjuk fel, hogy sin x+ os x és sin x képletét. Kpjuk, hogy sinx. Ebbôl számítsuk ki, hogy osx vgy osx -. Hsználjuk fel, osx hogy sin x -. Ebbôl számíthtjuk végeedményeket. x 5 9. tg + - osx. Ismet, hogy tg x, lásd például. e) feldtot! + osx Alklmzzuk ezt x -e és vegyük figyelembe, hogy tg x > 0! Másészt vegyük észe, hogy os x x + os x < 0! Ismet, hogy os. 50. sinx. Egyészt sin x $ sin x $ os x $ sin x $ os x $ (os x - sin x). Osszunk 5 sinx os x -szel, mi nem null, ekko kpjuk, hogy: $ tg x$ `-tg xj. Másészt mutssuk os x meg, hogy + tg x! Ezeket felhsználv, tg x-ekbôl felépített kifejezést kpunk. Keessünk egy második megoldást, mely egy olyn deékszögû háomszögön lpszik, melynek os x z x szöggel szemközti befogój egység, míg másik befogój egység! 5. Szoozzunk -vel, mjd lklmzzuk sinx képletét! 5. Bôvítsük bl oldlt sin 0 -kl és lklmzzuk sinx képletét többszö is. 8$ sin0 $ os0 $ os0 $ os0 $ $ sin0 $ os0 $ os0 $ os0 sin0 sin0 $ sin0 $ os0 $ os0. Folytssuk! A végén hsználjuk fel, hogy sin 80 os (90-80 )! sin0 5. Szoozzuk meg z egyenletet sin -vl, mjd lklmzzuk sin képletét többszö is, mjd z elôzô feldt megoldásához hsonló módon egye övidítsük bl oldlt, egészen ddig míg meg nem kpjuk kívánt eedményt. 5. Végeedmény:. Legyen K kifejezés. Hsználjuk fel sinx képletét többszö is. $ sin $ K Induljunk ki bból, hogy K 5 $ sin 5 $ $ 8 $ $ $ $ sin $ os $ os $ os $ os $ os $ os $ sin 5

13 Összegzési tételek lklmzás $ $ $ 8 $ $ $ sin $ os $ os $ os $ os $ os $ sin 5 $ $ 8 $ $ $ sin $ os $ os $ os $ os Folytssuk! A végén hsználjuk fel, $ sin 5 $ J N hogy sin sin - sin 5 K 5 O. 5 L sinx 55. Hsználjunk teljes indukiót! n 0-: os x ez pedig igz. Tegyük fel, hogy $ sin x k + sin` $ xj k z állítás igz n k-! Ekko fennáll, hogy os x$ osx$ f $ os` $ xj k +. Szoozzuk ezt os k + k k + $ sin x ` $ xj-szel! Így os x$ osx$ f $ os` $ xj$ os` $ xj k + k + sin` $ xj$ os` $ xj k +. Mutssuk meg, hogy kpott egyenlet jobb oldl éppen: $ sin x k + sin` $ xj k +. H ezt megmuttjuk, kko igzoltuk z állítást n k + -e, s teljes indukió elvének megfelelôen igzoltuk minden nemnegtív n egész szám. 5. Alklmzzuk bl oldl megfelelô összegzési tételt és sin képletét és sin + + os! Kpjuk, hogy : + sin$ os. A jobb oldl szintén lklmzzuk z összegzési tételt és sin + os képletet! Kpjuk, hogy + sin$ os. 57. ) Végeedmény: 0. Alklmzzuk megfelelô összegzési tételeket és sin képletét, ezenkívül sin + os zonosságot! b) Végeedmény: 0. Alklmzzuk megfelelô összegzési tételeket és os képletét! Mjd osszuk el hmdik töt számlálóját is és nevezôjét is os -vl s így lkítsuk át tngenseket ttlmzó kifejezéssé hmdik tötet. Ehhez hsználjuk fel, hogy + tg. Az elsô két tötet hozzuk közös nevezôe! Vegyük észe os hogy z elsô két töt összegébôl kivonv hmdik töt átlkított kifejezését, éppen nullát kpunk. ) Végeedmény: sin. Alklmzzuk megfelelô összegzési tételeket, mjd számlálóbn és nevezôben hozzunk közös nevezôe, mjd egyszeûsítsünk! Mjd mûveletek elvégzése után lklmzzuk tngens definíióját, sin + os zonosságot és sin képletét! 58. ) Végeedmény:. Alklmzzuk megfelelô összegzési képleteket és megfelelô nevezetes hegyesszögek szögfüggvényeinek étékeit helyettesítsük be! Hsználjuk fel sin + + os zonosságot! b) Végeedmény:. Hsonlón jájunk el, mint z elôzô feldtbn.

14 Gykolófeldtok 5 J x N J 90 + x N 59. ) tg 5 + K tg O K O. Alklmzzuk most következô képletet: L L - osx tg x. Lásd. e) feldtot! Hsználjuk fel, hogy os( 90 + x) - sin x! + osx J x N J 90 - x N b) tg 5 - K tg O K O. Hsonlón oldhtjuk meg, mint z elôzô feldtot. Hsználjuk L L J x N J 90 - x N fel, hogy os (90 - x) sin x. ) tg 5 - K tg O K O. Alklmzzuk következô képletet: tg x. Lásd. ) feldtot! Mjd hsználjuk fel, hogy os (90 - x) sin x. L L sinx + osx J x N J 90 + x N sinx d) tg K 5 + tg O K O. Hsználjuk fel, hogy: tg x és + osx L L os( 90 + x) - sin x. 0. Végeedmény: sin, ez tényleg nem függ x-tôl. Alklmzzuk megfelelô összegzési tételeket! Ezután végezzük el sin x - os x helyettesítést. Mjd két megfelelô tgból emeljünk ki os x -et, ezután lklmzzuk következô zonosságot: sin + os Végeedmények: sin 5 os 75 ; os 5 os 75 ; + tg 5 tg 75 - ; tg 5 tg 75 + ; sin 05 ; - os 05 - ; tg ; tg Induljunk ki bból, hogy sin 5 sin (5-0 ), mjd lklmzzuk megfelelô összegzési tételt és megfelelô nevezetes hegyesszögek szögfüggvényeinek étékeit! Hsználjuk fel, hogy sin os (90 - ). Ugynígy htáozhtjuk meg os 5 és sin 75 étékeit. A tg 5 étékének meghtáozásá hsználjuk tngens definíióját és z elôzôekben kiszámított étékeket. Hsználjuk fel még, hogy tg tg (90 - )! A tg 5 meghtáozásánál legegyszeûbb, h tg 5 -bôl számítjuk ki. tg 05 tg (05-80 ) tg ( 75 ) -tg 75. A tg 05 -ot hsonlón számíthtjuk ki.. sin 75 sin (5 + 0 ) ee lklmzzuk megfelelô összegzési tételt, ezután pedig helyettesítsük be megfelelô nevezetes szögfüggvények étékeit. sin 5 sin (5-0 ), ezt hhoz hsonlón lkítsuk át, mint z elôzôt.. tg 5 tg (0-5 ). Alklmzzuk ee megfelelô összegzési tételt és nevezetes hegyesszögek tngenseinek megfelelô étékeit. Mjd hsználjuk fel, hogy tg 5! tg 5. Hsználjuk fel, hogy sin 75 os 5, os 75 sin 5, tg 5 tg (5-80 ) tg (- 5 ) -tg 5 -! 5. sin 8 os 7 tg 8 tg $ 5 ; os 8 sin 7 ; 5-0 $ 5 ; tg 8 tg 7 5+ $ 5. Tekintsünk egy olyn egyenlô 5

15 Összegzési tételek lklmzás száú háomszöget, melynek szögei 7 ; 7 ;, száink hossz egység és z lp hossz legyen x egység! Húzzuk meg z egyik 7 -os szög szögfelezôjét! Mutssuk meg, hogy ennek hosszúság is x! Vegyük észe, hogy szögfelezô x és - x hosszúságú észe osztj fel szát. x Miét? Alklmzzuk szögfelezôtételt: - x x. Ebbôl htáozzuk meg x-et! x Ebbôl pedig: sin8. Számítsuk ki z említett egyenlô száú háomszög mgsságát 0 + $ 5 itgosz-tétellel: m, ebbôl kiszámíthtjuk os 8 -ot. A tg 8 -ot tngens definíiójánk és z elôzô eedmények felhsználásávl kphtjuk. Némely lgebi átlkításokt zét néhol vége kell hjtni, például nevezô gyöktelenítését, h zokt z eedményeket szeetnénk kpni, melyeket elôbb megdtunk.. os os( $ 8 ) os 8 -sin 8, másészt hsználjuk fel z elôzô feldtból megfelelô képleteket. 7. Mutssuk meg, hogy sin -os, ezt pedig má z elôzô feldt megoldásábn kiszámítottuk. Hsználjuk fel sin 8 pontos étékét és megfelelô szozás elvégzése után megkpjuk bizonyítndó egyenlôség jobb oldlát. 8. Végeedmény: kifejezés pontos étéke. Hsználjuk fel, hogy os 90 os ( )! Alklmzzuk ee megfelelô összegzési tételt és mutssuk meg, hogy os 90 os ( ) sin 0! Másészt sin 50 sin (70-0 ), ezt kifejtve megfelelô összegzési tétellel, kphtjuk, hogy sin 50 os 0. Felhsználv z eddigieket, kphtjuk, hogy kiszámítndó kifejezés egyenlô következô kifejezéssel: -. Ebbôl sin0 os 0 $ os0 - sin0 os0 - sin0 $ sin0 $ os0 - os0 $ sin0 $ $ sin0 $ os0 $ sin0 $ os0 $ sin0 $ os0 sin ( 0-0 ) $ f $ sin 0 $ os ( + b ), ezt felhsználv: tg$ tgb+ tg$ ( tgb+ tg) J N tg$ tgb+ tg -( + b) K $ ( tg+ tgb) O tg $ tg b + tg ( + b) $ (tg + tg b). Ezután L lklmzzuk kotngense vló összegzési tételt! H ez éppen nem jut eszünkbe, kko lkítsuk át kotngenst tngense és lklmzzuk tngense ismet összegzési tételt. 70. Hsználjuk tngense ismet összegzési tételt többszö is. Számítsuk ki elôszö, hogy 7 tg, másészt számítsuk ki, hogy tg ( + b ). Ezután mutssuk meg, hogy tg( + b) tg_ $ ( + b) i, mjd ezután következik, hogy tg( 5+ b) tg_ ( + b) + i. Ebbôl következik, hogy 5 + b 5 + k $ 80, hol k tetszôleges egész szám. Mutssuk meg, hogy 0< < 5, mjd zt, hogy 0< < 5. Hsonlón mutssuk meg, hogy b, + b és + b is 0 és 5 közé esik, ezét k 0.

16 Geometii feldtok 7 7. Számítsuk ki elôszö, hogy osb 5, ezután pedig tgb 8 5 következhet. Alklmzzuk tngense ismet összegzési tételt! Kphtjuk, hogy tg( + b ). Vegyük figyelembe, hogy 0 < + b < 80. Ebbôl és z elôzôbôl következik, hogy + b Számítsuk ki, hogy osb, másészt tgb. Mjd z utóbbiból tgb. 0 Mjd végül tg ( + b). Mutssuk meg, hogy 0< + b<, így ezekbôl következik, hogy + b. Geometii feldtok l;. 9 l;. 5 7l háomszög szögei,.,7 m háomszög ismeetlen oldl. Alklmzzuk szinusztételt! Mjd lklmzzuk sinα képletét l;. 8 57l háomszög ismeetlen szögei. Alklmzzuk szinusztételt! Ezután lklmzzuk szögek különbségée megfelelô összegzési tételt. Kpunk egy egyenletet, melyben z egyik szög szinusz és koszinusz szeepel. Osszuk el z egyenletet szög koszinuszávl, ekko olyn egyenletet kpunk, melyben szög tngense lesz. Ebbôl megkphtjuk megfelelô szöget. 75..,09 m;. 9, m háomszög ismeetlen oldli,. 7l;. 88 l háomszög ismeetlen szögei. Hsonlón számíthtjuk ki szögeket, mint z elôzô feldtbn. Ezután z ismeetlen oldlkt szinusztétellel számíthtjuk ki ,55 egység pont távolság deékszögû sústól. Számítsuk ki, hogy C os. C sinb sin( - 0 ) Másészt b -0. Alklmzzuk szinusztételt:. Ebbôl os. sin0 sin0 + Alklmzzuk megfelelô összegzési tételt, után osszunk os -vl. Kpjuk, hogy tg. Ebbôl számítsuk ki z szöget, mjd ebbôl pedig C szksz hosszát. 77. x 0 m-e közelítettük meg felhôkolót. Az út kezdetén szögben látjuk felhôkolót, ekko 00 m + x távolság vgyunk felhôkolótól. tg, menjünk x 0 00 méteel közelebb felhôkolóhoz: tg( + 5 ). x Alklmzzuk ee megfelelô összegzési tételt. Mjd oldjuk meg z 7. egyenletendszet! x-e másodfokú egyenletet kpunk, melyet megoldv, kpjuk, hogy x ,7 ;.,8 ;. 8,9 háomszög ismeetlen szögei,. 0, m;. 5,8 m háomszög ismeetlen oldli. sin Alklmzzuk szinusztételt!. Az összegzési tétel segítségével íjuk fel sin kifejezést sin, illetve os segítségével, sin vgy hsználjuk fel 0. ) feldt eedményét. Ebbôl meghtá-

17 8 Összegzési tételek lklmzás ozhtjuk z szöget, ebbôl b szöget, ezekbôl pedig szöget. Mjd szinusztételt kétsze felív, meghtáozhtjuk két ismeetlen oldl hosszúságát. sinx 79. Nins ilyen háomszög. Alklmzzuk szinusztételt:. Mjd fejezzük ki 8 sinx megfelelô kifejezéseket sin, illetve os segítségével. éldául következô egyenletet kphtjuk: $ os x - $ os x - 0, ebbôl olyn x-eket kpunk, melyeke nem létezik megfelelô háomszög l ;. 7 l;. l háomszög ismeetlen szögei. Alklmzzzuk szinusztételt! 8 m, b 5 m, b, ekko 80 - b.. Alkítsuk át ezt 8 sin( 80 - b ) 5 sinb úgy, hogy sk sin b, illetve os b legyen z egyenletben. Ezt z összegzési tétel segítségével kphtjuk meg vgy hsználjuk fel 0. ) feldt eedményét. A endezés után kpjuk, hogy: os b 0,5. Ebbôl kpjuk b. l szöget. S ebbôl pedig számíthtjuk többi szöget. 8.. megoldás:. 8,8 ; b. 8, ;. 8,59 háomszög ismeetlen szögei,. 5,89 m; b.,9 m háomszög ismeetlen oldli.. megoldás:. 8 ; b. 0, ;.,,. 7,5 m; b. 5, m. Legyen m, R 8 m, ekko $ R $ sin képletbôl kphtjuk szöget:. 8,59,.,, $ x, b $ x. Íjuk fel oldl koszinusztételt! Ebbôl kpjuk, hogy: x á,97, x á,877. Ezekbôl kphtjuk z ismeetlen oldlkt. Az szöget például z $ R $ sin egyenletbôl htáozhtjuk meg. 8..,57 ;. 5, ;. 00, háomszög szögei;. 5 m; 8,9 m háomszög m ismeetlen oldli. Legyen m háomszög m-es oldlához ttozó mgsság. tg ; m tg. Alklmzzuk tg képletét, mjd oldjuk meg z egyenletendszet! Kpjuk, hogy 8 J N tg. tg - nem lehet. K O Ebbôl kpjuk, hogy:.,57. A háomszög megfelelô oldlit megfelelô szögfüggvénnyel kphtjuk. L 8. 5 háomszög hmdik szöge. A feltételbôl következik, hogy tg + tg b - tg $ tg b. Elôszö mutssuk meg, hogy - tg $ tg b Y 0. H ezt megmutttuk, kko tg+ tgb oszthtunk vele., ebbôl tg( + b). Ebbôl következik, hogy + b 5, s - tg$ tgb innen eset: 9,5 m tpéz teülete.. eset: 85, m tpéz teülete. Legyen m tpéz mgsság. Húzzuk meg tpéz egyik átlóját! Legyen b + l hosszbbik lpon fekvô szög. Ekko tg ( b + l) és m tgb. Alklmzzuk megfelelô összegzési tételt, m 5 5 mjd oldjuk meg z egyenletendszet! Ekko tg b- kpunk egy másodfokú egyenletet, melyet megoldv, kpjuk, hogy:. eset: tg b á,, b á 55,5, m á,58, t á 9,5 m,. eset: tg b á 0,75, b á 7,78, m á, m, t á 85, m. 85. á,85, á,5, középponti szög két észe. A két szöge feltétel: () + x 0. A két megfelelô hú:. Húzzuk meg megfelelô háomszög mgsságit. Ekko y kphtjuk, hogy x $ $ sin és y $ $ sin. Ezeket behelyettesítve kpjuk, hogy: ()

18 Geometii feldtok 9 J N sin sin 0 - K O. Oldjuk meg z () és () egyeletbôl álló egyenletendszet! L. sin sin Alklmzzuk megfelelô összegzési tételt! Mjd oldjuk meg z egyenletet! Kpjuk, hogy á, A kifejezés pontos étéke. Íjuk fel szinusztételt kétsze z ABC háomszöge! sin00 BC sin0 és. Hsználjuk fel, hogy sin 00 os 0 és sin 0 AC sin0 sin00 $ sin 0 $ os 0. Mjd vége felé hsználjuk fel, hogy os0 - $ sin0 $ sin( 0-0 ). 87. A keesett szögek: 0 ; 0 ; 90. Legyenek háomszög szögei - d,, + d. Mutssuk meg, hogy 0! A feltétel szeint sin( 0 - d) + sin0 + sin( 0 + d) +. Alkl- mzzuk megfelelô összegzési tételt, endezés után kpjuk, hogy os d, ebbôl d : : vgy más fomábn 7 : : 85 háomszög oldlink ány. Legyen tg x, tg b x, tg 5x. Itt tg tg_ 80 -( + b) i- tg( + b) 0 tg+ tgb -. H ide behelyettesítjük megfelelô kifejezéseket, kko x-e kpunk egy - tg$ tgb egyenletet, melynek feldtnk megfelelô megoldás: x. Ebbôl kphtjuk szögek szinuszit, 5 h felhsználjuk, hogy: sin tg. Mjd lklmzzuk szinusztételt: : b : + tg x sin : sin b : sin. 89. C á 9,7 m, pont C ponttól vló távolság. Számítsuk ki elôszö, hogy { + } 8 0l! Íjuk fel kétsze szinusztételt: és! Ezekbôl sin{ sin} sin b sinb $ sin{ b $ sin} kpjuk, hogy:. Helyettesítsük be ide sin sinb megfelelô dtokt és kpjuk, hogy, 5 9 $ sin{.. sin( 8 0l - {)! Alklmzzuk megfelelô összegési tételt, mjd osszunk os {-vel és kpjuk, hogy tg { á 0,7 77. Ebbôl htáozzuk meg {-t és helyettesítsük vissz megfelelô egyenletbe és kpjuk, hogy: á 9,7 m. 89.

19 0 Összegzési tételek lklmzás A háomszög tigonometiájáól 90. Hozzuk feltételt következô lk: sin $ os sin b $ os b, ebbôl sin sin b. Ebbôl vonjuk le megfelelô következtetéseket ( + b), ebbôl sin sin $ os b + os $ sin b. Így kphtjuk, hogy sin $ os f sin$ tgb+ os. Ebbôl tg tg b. Egy második megoldást kphtunk, h lklmzzuk szinusztételt b és oldl, mjd lklmzzuk koszinusztételt z sinb oldl. 9. Végeedmény: Deékszögû háomszög (és nem egyenlô száú, hiszen ezt kizátuk.) sin tg sin$ osb Alklmzzuk szinusztételt! f. Ebbôl: sin sin b. b sin b tgb os$ sinb sin+ sinb 9. sin( + b). Alklmzzuk megfelelô összegzési tételt! Mjd szoozzunk nevezôvel! Az átlkítások után os $ os b $ (os + os b) + os $ sin b + sin $ os b os+ osb sin + sin b, os $ os b $ (os + os b) sin $ ( - os b) + sin b $ ( - os b), os $ os b $ (os + os b) sin $ sin b $ (sin + sin b), (sin + sin b)(os $ os b - sin $ sin b) 0, (sin + sin b) $ os ( + b) 0. Ebbôl os ( + b) 0, met (sin + sin b) Y 0. Ebbôl következtessünk! 9. Hsználjuk fel, hogy: sin $ sin $ os. Ebbôl kphtjuk, hogy - $ sin$ sinb - $ os. Ebbôl pedig os( ) os( ) os + b - - b - $, -os-os( - b) - $ os. Ebbôl kphtjuk, hogy os( - b). Ebbôl következik, hogy - b 0. + b -b 95. sin os + os b, ebbôl () sin $ os $ os, másészt + b + b () sin $ sin $ os. A () egyenletbôl sin $ os $ os. Az () és () + b + b + b -b + b egyenletbôl: $ os $ sin $ os $ os, os $ J + b - b N + b $ sin - os K 0 O. Mutssuk meg, hogy os 0 nem állht fenn. Ebbôl L + b - b + b J -b N következik, hogy sin - os 0.Tovább folyttv: sin sin 90 - K O. L + b -b + b J -b N Ebbôl. eset: 90 -, innen pedig 90.. eset: K O, L ebbôl pedig b b - b + b -b + b 9.. eset: $ sin $ os $ os $ os, ebbôl sin + b + b + b os. Innen pedig tg, ebbôl. Innen következik, hogy 90.. eset: H 90, kko sin os b és sin b os, tehát sin + sin b os + os b.

20 A háomszög tigonometiájáól 97. sin sin ( + b), így sin + sin b + sin sin + sin b + sin ( + b) sin + sin b + sin $ os b + $ sin $ os b $ os $ sin b + os $ sin b. Ebbôl ( - sin ) + + ( - sin b) sin $ os b + $ sin $ os b $ os $ sin b + os $ sin b, os + os b sin $ os b + $ sin $ os b $ os $ sin b + os $ sin b,0 $ sin $ os $ sin b $ os b + + os b $ (sin - ) + os $ (sin b - ), 0 sin $ os $ sin b $ os b - os $ os b, os $ os b $ (sin $ sin b - os $ os b) 0. Ebbôl kphtjuk, hogy os $ os b $ os os -os( + b). Ezt felhsználv kpjuk, hogy: os $ os b $ os os$ osb$ _- os( + b) i #,0# 8 $ os $ os b $ os ( + b) # 8$ $ _ os( + b) + os( - b) i $ os( + b) +, 0 # $ os ( + b) + $ os( - b) $ os ( + b) + os ( - b) + sin ( - b). 0 # _ $ os( + b) + os( - b) i + sin ( -b). Vizsgáljuk meg z egyenlôség esetét is! Azt kpjuk, hogy kko és sk kko vn egyenlôség, h háomszög szbályos. 99. Hsználjuk mjd fel koszinuszok összegének szozttá lkításá ismet képletet. + b - b sin + sin b + sin sin + sin b + sin( + b) $ sin $ os + + b + b + b J - b + b N + $ sin $ os $ sin $ os + os K O L + b J J + b - b NN J J + b - b NN $ sin $ $ os K $ + O$ os K $ - O K K O K K O L L L L + b b b $ sin $ os $ os $ os $ os $ os. 00. os+ osb+ os os+ osb+ os_ 80 - ( + b) i os+ osb- os( + b) $ os + b $ os - b J - os + b - sin - b N K O L + $ os + b $ os - b $ os + b $ os + b J $ os b - os b N K O L + b J J - b + b NN J J -b + b NN + $ os $ _- i $ sink $ + O$ sink $ - O K K O K K O L L L L + b b b + $ os $ sin $ sin + $ sin $ sin $ sin. 0. tg+ tgb+ tg tg+ tgb+ tg_ 80 - ( + b) i tg+ tgb+ tg80 - tg( + b) tg+ tgb + tg+ tgb- tg( + b) tg+ tgb- f + tg80 $ tg( + b) - tg$ tgb -tg$ tgb tg+ tgb ( tg+ tgb) $ - $ tg$ tgb- tg( + b) $ tg$ tgb -tg$ tgb - tg$ tgb tg $ tg b $ tg os( + b+ ) os_ ( + b) + i os( + b) $ os- sin( + b) $ sin os $ os b $ os - sin $ sin b $ sin - sin $ osb $ sin - os $ sin b $ sin. Osszuk el z

21 Összegzési tételek lklmzás - egyenletet sin $ sin b $ sin -vl, kpjuk, hogy: tg$ tgb$ tg-tg- sin $ sin b$ sin -tgb-tg. Ebbôl kpjuk bizonyítndó állítást. 0. sin+ sinb+ sin sin+ sinb+ sin_ 0 -( + b) i sin+ sinb- + b -b - sin ( + b) $ sin $ os - $ sin ( + b) $ os ( + b ) $ sin( + b) $ _ os( -b) - os( + b) i J N J N $ sin( + b) $ (-) $ sin K $ _( - b) + ( + b) i $ sin $ ( -b) -( + b) O K _ i O L L - $ sin( + b) $ sin $ sin (- b) $ sin $ sin b $ sin. 0. os+ osb+ os os+ osb+ os_ 0 - $ ( + b) i os+ osb+ os_ $ ( + b) i + b -b $ os $ os + os ( + b) - sin ( + b) f - + $ os( + b) $ _ os( - b) + os( + b) i J J - b + b NN J J - b + b NN - + $ os( + b) $ os K $ + O$ os K $ - O K K O K K O L L L L - + $ os( + b) $ os $ os b - - $ os $ os b $ os. sin sinb sin sin$ osb+ os$ sinb 05. tg+ tgb+ tg os osb os os$ osb sin_ 0 - $ ( + b) i sin_ $ ( + b) i sin -sin sin os os$ osb os os $ os b os sin $ os os $ os $ sin - + b -sin$( os-os$ osb) os$ osb$ os os$ osb$ os - sin$ `os_ $ ( + b) i -os$ osbj sin $ ( sin $ sin ) f - - b os$ osb$ os os$ osb$ os tg$ tgb$ tg. 0. Ismet, hogy tg + tg b + tg tg $ tg b $ tg h szögek egy háomszög szögei. Vegyük észe, hogy K J N J b N J N O K O K O. Ezét záójelekben levô szögek L L L J N is egy háomszög szögei, ezét lklmzhtjuk ezeke megfelelô tételt. tg 90 - K + O L J b N J N J N J b N J N + tg tg 90 - tg 90 - K $ tg 90 - $ tg 90 - O K O K O K O K O. L L L L L b b Ebbôl tg + tg + tg tg $ tg $ tg. Keessünk másik megoldást! Alklmzzuk kotngens definíióját, mjd z elsô két tötet hozzuk közös nevezôe! Alklmzzuk mjd megfelelô helyeken megfelelô összegzési tételt! Folytssuk! Jóvl hosszbb megoldás számítsunk, mint z elôzô.

22 A háomszög tigonometiájáól 07. sin + sin b+ sin sin + sin b+ sin _ 80 -( + b) i sin + sin b + + sin ( + b). Alklmzzuk megfelelô összegzési tételt, mjd végezzük el négyzete emelést, lkítsuk át sin b-t és sin -t és kpjuk, hogy: sin + os $ ( - os b) + sin b + + os b $ ( - os ) + $ sin $ sin b $ sin - $ os $ os b + + $ sin $ os $ sin b $ os b - $ os $ os b $ (os $ os b - sin $ sin b) - $ os $ os b $ os ( + b) $ ( + os $ os b $ os ). 08. Ismet, hogy: sin + sin b + sin $ ( + os $ os b $ os ). Így - os os b + - os + $ os $ os b $ os. Tehát os + os b + os - $ os $ os b $ os. H vn kedvünk és idônk, kko keessünk másik megoldást, mely nem hsználj fel z elôzô tételt. Ez kissé hosszbb megoldás lesz. J N J b N J N 09. Vegyük észe, hogy K O K O K O. Ezét záójelben L L L levô szögek is egy háomszög szögei. Másészt tudjuk, hogy: os + os b + os - $ os $ os b $ os, tetszôleges háomszög szögeie. J N J b N J N Ide behelyettesítve os os 90 - K + os 90 - O K O K O L L L J N J b N J N -$ os 90 - $ os 90 - K $ os 90 - O K O K O. Ebbôl kpjuk, hogy: L L L b b sin + sin + sin -$ sin $ sin $ sin. 0. Ismet, hogy sin + sin b + sin $ ( + os $ os b $ os ), tetszôleges háomszög szögeie. Vegyük észe, hogy K J N J b N J N O K O K O. Tehát záójelekben levô szögek is egy háomszög szögei. Ezeke lklmzv szinuszok négyzetösszegée L L L J N J b N J N igzolt tételt, kpjuk, hogy: sin sin 90 - K + sin 90 - O K O K O L L L J J N J b N J N N $ K+ os 90 - $ os K 90 - $ os 90 - O K O K O K. Ebbôl kpjuk, hogy O L L L L os + os b + os J $ + sin $ sin b $ sin N K O. L $ b$ sin. Ismet, hogy t, másészt lklmzzuk - is és b-e is következô tételt: $ R $ sin!. Ismet, hogy t $ R $ sin $ sin b $ sin. Másészt ismet, hogy b t $ R$ $ os $ os $ os. Mjd hsználjuk fel, hogy sin $ sin $ os, ezt lklmzzuk b- és - is! b. Ismet, hogy t $ R$ $ os $ os $ os, másészt b $ R$ sin $ sin $ sin. Osszuk el két egyenlet megfelelô oldlit egymássl!

23 Összegzési tételek lklmzás b. Tudjuk, hogy t $ R$ $ os $ os $ os, másészt ismet, hogy b $ R$ sin $ sin $ sin. Osszuk el második egyenletet z elsôvel, mjd szoozzuk - el, ezután t-vel kpott egyenlet oldlit. Mjd hsználjuk fel, hogy t s $. b 5. Ismet, hogy t s $, másészt t $ R$ $ os $ os $ os. b. ) A koszinusztételbôl kpjuk, hogy os + -, másészt tudjuk, hogy $ b$ - os -( b-) sin, met < 90. Így - os $ b$ ( b )( b) , ezeket felhsználv kpjuk, hogy: sin $ b$ ebbôl pedig sin ( s-b) $ ( s-). b) + os ( b+ ) - b$ $ b$ ( b )( b ) Másészt ismet, hogy os $ b$ ( + b- )( + -b), $ b$ + os, met < 90. Ezek- ( b+ + )( b+ -) s$ ( s- ) bôl kpjuk, hogy os, innen pedig os. $ b$ b$ 7. Hsználjuk fel z elôzô két feldt végeedményét és hsználjuk tngens definíióját! 8. A szögfelezô két észháomszöge osztj z eedeti háomszöget. Íjuk fel, hogy z eedeti háomszög teülete egyenlô észháomszögek teületeinek z összegével! b$ $ sin b$ f$ sin $ f$ sin +. Másészt hsználjuk fel, hogy sin $ sin $ os. ( s-b) $ ( s-) 9. Ismet, hogy sin $ sin $ os, másészt sin és b$ s$ ( s- ) os. Ezekbôl kphtjuk bizonyítndó összefüggést. b$ 0. Mutssuk meg, hogy x s -, ehhez hsználjuk fel, hogy köhöz külsô pontból húzott éintôszkszok egyenlô hosszúk. Így tg. 0. s - b. Ismet, hogy t s $ tg $ tg $ tg, másészt tudjuk, hogy tg, hmdészt t s $. s -. Ismet, hogy t s $, másészt tudjuk, hogy ( s-)( s-b)( s- ). Egy második megoldást kphtunk, h s

24 A háomszög tigonometiájáól 5 b$ $ sin. bból indulunk ki, hogy t és sin $ b$ $ s$ ( s-)( s-b)( s- ). Keessünk további megoldásokt! b$ $ $. ) t ACO ; t ABO ; t BCO ; t taco + tabo - t BCO b + - t $. Ebbôl s-. b) s + x, így tg. s t. Ismet, hogy, másészt t s $, hmdészt ( )( )( ) s- t s$ s- s-b s-. Induljunk el $ $ b$ kifejezésbôl és ezt lkítsuk z elôzôeket figyelembe véve. 5. ) Tudjuk, hogy $ R $ sin. Alklmzzuk ezt b-e és -e is, mjd djuk össze háom egyenletet. b) Ismet, hogy $ sin $ sin $ sin. Másészt os+ osb+ os. b R b $ sin $ sin $ sin +. Ezekbôl megkphtjuk bizonyítndó állítást.. Íjuk fel z és b oldl szinusztételt! Mjd djunk z egyenlet mindkét oldlához -et! Hozzunk közös nevezôe és kpunk egy egyenletet. Induljunk ki új z elôbb felít szinusztételbôl, de most z egyenlet mindkét oldlából vonjunk le -et. Ezután hozzunk közös nevezôe és így kptuk második egyenletet. Osszuk el második egyenletet z elsô egyenlettel! Mjd hsználjuk fel, hogy sin- sinb $ os $ sin és sin+ sinb + b -b + b -b $ sin $ os. 7. ) Íjuk fel szinusztételt z és b oldl! Adjunk mindkét oldlhoz -et, mjd hozzunk közös nevezôe. Mjd íjuk fel szinusztételt b és oldl! Ezután szoozzuk össze + b sin+ sinb kpott két egyenlet megfelelô oldlit! Kpjuk, hogy. Hsználjuk fel, sin + b -b hogy sin sin( + b) és sin+ sinb $ sin $ os, másészt sin ( + b) + b + b $ sin $ os. b) Induljunk ki z és b oldlk felít szinusztételbôl, mjd mindkét oldlból vonjunk le -et, ezután hozzunk közös nevezôe! Hsonló módon jájunk el, + b -b mint z ) feldtbn, sk itt sin- sinb $ os $ sin zonosságot hsználjuk fel.

25 Tigonometikus egyenletek II. ész Tigonometikus egyenletek II. ész 8. ) Vegyük észe, hogy f(x) sin x, h sin x Y 0, h pedig sin x 0, zz x k $, hol k tetszôleges egész szám, kko ezeken helyeken függvény nins ételmezve. b) Vegyük észe, hogy f(x) os x, h os x Y 0. H pedig os x 0, kko x + k$, hol k tetszôleges egész szám, és ezeken helyeken függvény ninsen ételmezve. ) Vegyük észe, hogy függvény fx () $ sin x. osx 9. ) Gondoljuk meg, hogy fx () os x + + $ osx. osx osx b) Vegyük figyelembe, hogy fx () sin x - -. J N ) Alkítsuk át kissé következô módon: fx () sin x+ os x $ K $ sin x+ os x O K O L J N J $ os $ sin x+ sin $ os x K O $ sin x + N K O. L L Alpvetô feldtok A következôkben szokás szeint k, l, m, n, p, q tetszôleges egész számokt jelöl. 0. ) x k$ ; x + l$ $ ; x - + m$ $. Alklmzzuk sin x képletét, mjd endezzük nullá z egyenletet és lkítsuk szozttá kpott kifejezést! Koábbn tnult módszeel is megoldhtjuk z egyenletet, miszeint. eset: x x + k $ ;. eset: x - x + l $. $ $ b) x k$ ; x + l$ $ ; x- + m$ $. Hsonlón oldhtjuk meg, mint z elôzô feldt elsô megoldását. ) x k$ ; x + l$ $ ; x - + m$ $. Hsonlón oldhtjuk meg, mint z elôzô két feldtot.. ) x + k$. Végezzük el négyzete emelést, mjd hsználjuk fel, hogy sin x + 5 $ + os x! b) x + k$ ; x + m$. Hsonlón oldhtjuk meg, mint z elôzô feldtot. 5 $. ) x + k$. Szoozzuk -vel! b) x + k$ ; x + l$ $. Szoozzunk sin x-szel, mjd osszunk -vel.. x k $ ; x + l$. Szoozzuk -vel!. x + k$ ; x + l$. Szoozzuk -vel!

26 Alpvetô feldtok 7 $ 5. x k$ ; x + l$ $ ; x - + m$ $ ; x + n$ $ ; $ x5- + p$ $. Rendezzük nullá, lklmzzuk tngens definíióját és sin x képletét, mjd lkítsuk szozttá kifejezést! 7 $. x k$ ; x - + l$ $ ; x + m$ $. Alklmzzuk os x képletét, mjd endezzük nullá z egyenletet és lkítsuk szozttá kifejezést! 5 $ 7. x k$ ; x + l$ $ ; x + m$ $. Hsonlón oldhtjuk meg, mint z elôzô feldtot. 5 $ 8. x + k$ $ ; x + l$ $ ; x + m$ $. Alklmzzuk os x képletét, mjd lkítsuk sk szinuszokt ttlmzóvá z egyenletet. Ekko sin x-e egy másodfokú egyenletet kpunk, melyet könnyen megoldhtunk. 9. x + k$ ; x - + l$. Alklmzzuk kétszees szögek megfelelô képleteit, mjd lkítsuk szozttá kifejezést! 0. x - + k$ ; x l$ $ ; x - + m$ $. Alklmzzuk os x képletét, mjd ezt bontsuk szozttá. Ezután endezzük nullá z egyenletet, mjd z egész kpott kifejezést lkítsuk szozttá. $ $ $. ) x + k$ $ ; x- + l$ $ ; x + m$ $ ; $ x x x- + p$ $. Hsználjuk fel, hogy os x os - sin. $ $. x + k $ $ ; x + l$ $ ; x- + m$ $. Hsonlón oldhtjuk meg, mint z elôzô feldtot. 7 $. x k $ $ ; x - + l$ $ ; x + m$ $. Hsonlón oldhtjuk meg, mint z elôzô két feldtot. 5 $. x k $ $ ; x + l$ $ ; x + m$ $. Hsonlón oldhtjuk meg, mint z elôzô háom feldtot. $ $ 5. x + k $ $ ; x + l$ $ ; x- + m$ $. Hsonlón oldhtjuk meg, mint z elôzô négy feldtot.. x + k$ ; x + l$. Alklmzzuk sin x képletét, mjd endezzük nullá z egyenletet és lkítsunk szozttá! $ 7. x- + k$ ; x + l$. Alklmzzuk sin x képletét és hsználjuk fel, 8 8 hogy: sin x + os x. A kpott egyenletet osszuk el os x-szel, miko ez nem null. Így tg x- e egy másodfokú egyenletet kpunk, melyet könnyen megoldhtunk. Mutssuk meg, hogy os x nem lehet null!

IV x. 2,18 km magasan van a hôlégballon.

IV x. 2,18 km magasan van a hôlégballon. 8 Hegyesszögû tigonometiai alapfeladatok 8 9 8,8 km magasan van a hôlégballon Egyészt = tg és = tg 0, másészt a Pitagoasz-tételt alkalmazva kapjuk, hogy a b a + b = Ezen egyenletendszebôl meghatáozhatjuk

Részletesebben

462 Trigonometrikus egyenetek II. rész

462 Trigonometrikus egyenetek II. rész Tigonometikus egyenetek II ész - cosx N cosx Alakítsuk át az egyenletet a következô alakúa: + + N p O O Ebbôl kapjuk, hogy cos x $ p- Ennek az egyenletnek akko és csak akko van valós megoldása, ha 0 #

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

17. Szélsőérték-feladatok megoldása elemi úton

17. Szélsőérték-feladatok megoldása elemi úton 7. Szélsőéték-feldtok egoldás elei úton I. Eléleti összefoglló Függvény szélsőétéke Definíció: Az f: A B függvénynek x A helyen (bszolút) xiu vn, h inden x A esetén f(x) f(x ).A függvény (bszolút) xiu

Részletesebben

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2 A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0

Részletesebben

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása) Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

4. Hatványozás, gyökvonás

4. Hatványozás, gyökvonás I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

Megoldás: Először alakítsuk át az a k kifejezést: Ez alapján az a 2 a n szorzat átírható a következő alakra

Megoldás: Először alakítsuk át az a k kifejezést: Ez alapján az a 2 a n szorzat átírható a következő alakra . Adott z =, =,3, + 3 soozt. Számíts ki lim 3 htáétéket. Megoldás: Előszö lkítsuk át z k kifejezést: k = + k 3 = k3 k 3 + = (k (k + k + (k + (k k + = k k + k + k + k k +, k =,3, Ez lpjá z szozt átíhtó

Részletesebben

IV. Trigonometria. Szögek átváltása fokról radiánra és fordítva. Hegyesszögû trigonometriai alapfeladatok

IV. Trigonometria. Szögek átváltása fokról radiánra és fordítva. Hegyesszögû trigonometriai alapfeladatok Tigonometia Szögek átváltása fokól adiána és fodítva 5 a) 80 ; 90 ; 0 ; 5 ;,5 b) 0 ; 50; 5 ; 0 ; 0 57 a) 00 ; 5 ; ; 70 ; 5 b) 80 57,9 ;,9 ; 9,79 ;,7 ;, 58 a),59 ; 0, ;, ; 8, ; 07, b) 85, ; 8,0 ; 9,50 ;

Részletesebben

11. évfolyam feladatsorának megoldásai

11. évfolyam feladatsorának megoldásai évolym eldtsoránk megoldási Oldjuk meg természetes számok hlmzán következő egyenleteket x ) y 6 x! 3 b) y 6 3 ) Átrendezve megoldndó egyenlet y 6 x! 3 H x 0, kkor H x, kkor H x, kkor H x 3, kkor H x, kkor

Részletesebben

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton 011.05.19. Másodfokú egyenletek megoldás geometrii úton evezetés A középiskoli mtemtik legszerteágzóbb része másodfokú egyenletek megoldás. A legismertebb módj természetesen megoldóképlet hsznált. A képlet

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

Egy látószög - feladat

Egy látószög - feladat Ehhez tekintsük z 1. ábrát is! Egy látószög - feldt 1. ábr Az A pont körül kering C pont, egy r sugrú körön. A rögzített A és B pontok egymástól távolság vnnk. Az = CAB szöget folymtosn mérjük. Keressük

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

szakaszokból szerkeszthető háromszög, hiszen a legnagyobb kisebb, mint a másik kettő összege.

szakaszokból szerkeszthető háromszög, hiszen a legnagyobb kisebb, mint a másik kettő összege. 1 Shultz János EGYENLŐTLENSÉGEK A HÁROMSZÖG GEOMETRIÁJÁBAN Megoldások 1 Legyenek D belső pont távolsági háromszög súsitól: DA = DB = b DC = Tekintsük z A sús körüli z órmuttó járásávl megegyező irányú

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Mgyr Mtemtik Verseny onyhá, 011. március 11 15. 11. osztály 1. felt: Igzoljuk, hogy ármely n 1 természetes szám esetén. Megolás: Az összeg tgji k k 1+ k = = 1+ + n +... < 1+ 1+ n 3 1+ k

Részletesebben

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

& 2r á 296, dm a csô átmérôje.

& 2r á 296, dm a csô átmérôje. 96 Henge 8 cm 5 cm 7 07cm csô 5 5 006 b 80 dm és b 80 b, 8 8 mgsság - - 007 m á 7, m á 96, dm csô átméôje 008 á 77, dm z lpkö sug, m á 8, dm z edény mgsság 009 t p m $ t p, vlmint t p m m m t p t p V m

Részletesebben

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb: Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK. Számegyenesek, intervallumok

MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK. Számegyenesek, intervallumok MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK Számegyenesek, intervllumok. Töltsd ki tábláztot! Minden sorbn egy-egy intervllum háromféle megdás szerepeljen!. Add meg fenti módon háromféleképpen következő intervllumokt!

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, július 15.

FELVÉTELI VIZSGA, július 15. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy

Részletesebben

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala

Részletesebben

Improprius integrálás

Improprius integrálás Improprius integrálás 7. feruár.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény folytonos z, intervllumon, vlmint létezik f()d htárérték

Részletesebben

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

Tehát a lejtő hossza 90 méter. Hegyesszögek szögfüggvényei. Feladat: Megoldás: α = 30 h = 45 m s =? s = 2h = 2 45m s = 90m

Tehát a lejtő hossza 90 méter. Hegyesszögek szögfüggvényei. Feladat: Megoldás: α = 30 h = 45 m s =? s = 2h = 2 45m s = 90m Hegyesszögek szögfüggvényei Feldt: Kovás slád hétvégén kirándulni ment. Az útjuk során egy 0 -os emelkedőhöz értek. Milyen hosszú z emelkedő, h mgsság 45 méter? Megoldás: Rjzoljuk le keletkezett háromszöget!

Részletesebben

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA)

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Oktatási Hivatal A 016/017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Egy húrtrapéz pontosan

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Egy háromszög egyik oldala 10 cm hosszú, s a rajta fekvő két szög 50 és 70. Számítsd ki a hiányzó szöget és oldalakat! Legyen a = 10 cm; β = 50 és γ = 70. A két szög ismeretében a harmadik

Részletesebben

Improprius integrálás

Improprius integrálás Improprius integrálás. feruár 9.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény integrálhtó z, intervllum ármely, részin- tervllumán,

Részletesebben

Az ABCD köré írható kör egyenlete: ( x- 3) + ( y- 5) = 85. ahol O az origó. OB(; 912). Legyen y = 0, egyenletrendszer gyökei adják.

Az ABCD köré írható kör egyenlete: ( x- 3) + ( y- 5) = 85. ahol O az origó. OB(; 912). Legyen y = 0, egyenletrendszer gyökei adják. 5 egyes feldtok Az dott körök k : x + ( y- ) = és k : ( x- ) + y = K (; 0), r, K (; 0), r K K = 0 > +, két körnek nincs közös pontj Legyen (; ) Az egyenlô hosszú érintôszkszokr felírhtjuk következô egyenletet:

Részletesebben

Megint a szíjhajtásról

Megint a szíjhajtásról Megint szíjhjtásról Ezzel témávl már egy korábbi dolgoztunkbn is foglkoztunk ennek címe: Richrd - II. Most egy kicsit más lkú bár ugynrr vontkozó képleteket állítunk elő részben szkirodlom segítségével.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Szinusz- és koszinusztétel

Szinusz- és koszinusztétel Szinusz- és koszinusztétel. Htározzuk meg z oldlk rányát, h α 0, β 60. α + β + γ 80 γ 80 α β 80 0 60 90 A szinusztételt felhsználv z oldlk rány: zz : : : sin β : sin 0 : sin 60 : sin 90 : : : : : :. Htározzuk

Részletesebben

SCHWARTZ 2009 Emlékverseny A TRIÓDA díj-ért kitűzött feladat megoldása ADY Endre Líceum Nagyvárad, Románia 2009. november 7.

SCHWARTZ 2009 Emlékverseny A TRIÓDA díj-ért kitűzött feladat megoldása ADY Endre Líceum Nagyvárad, Románia 2009. november 7. SCHWARTZ 009 Emlékveseny A TRIÓA díj-ét kitűzött feldt megoldás AY Ende Líceum Ngyvád, Románi 009. novembe 7. Az elekton fjlgos töltésének meghtáozás mgneton módszeel A szező áltl jánlott teljes megoldás,

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

Bé ni. Barna 5. Benc e. Boton d

Bé ni. Barna 5. Benc e. Boton d Egy asztalon háom halomban 009 db kavics van Egyet eldobok belőle, és a többit két kupacba osztom Ezután megint eldobok egyet az egyik halomból (amelyikben egynél több kavics van) és az egyik halmot ismét

Részletesebben

Ábrahám Gábor: A Jensen-egyenlőtlenség. Megoldások. Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)

Ábrahám Gábor: A Jensen-egyenlőtlenség. Megoldások. Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) I. Geometriai egyenlőtlenségek, szélsőérték feladatok 1. Mivel az [ ] f :0; π ; xa sin xfolytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni,

Részletesebben

Húrnégyszögek, Ptolemaiosz tétele

Húrnégyszögek, Ptolemaiosz tétele Húrnégyszögek, Ptolemaiosz tétele Markó Zoltán 11C Húrnégyszögek Definíció: Húrnégyszögnek nevezzük az olyan négyszöget, amely köré kör írható Vagyis az olyan konvex négyszögek, amelyeknek oldalai egyben

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Els gyakorlat. vagy más jelöléssel

Els gyakorlat. vagy más jelöléssel Els gykorlt Egyszer egyenletek, EHL PDE A gykorlt elején megismerkedünk prciális dierenciálegyenletek (mostntól: PDE-k) lpfoglmivl. A félév során sokt fog szerepelni z ún. multiindex jelöl, melynek lényege,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő exponenciális egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) 5 3 x 2 2 y = 7 2 3 x + 2 y = 10 7 x+1 6 y+3 = 1 6 y+2 7 x = 5 (6 y + 1) c) 25 (5 x ) y = 1 3 y 27 x = 3 Megoldás:

Részletesebben

I. A négyzetgyökvonás

I. A négyzetgyökvonás Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút

Részletesebben

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

y =, ebbôl BC = 3 $ c. Alkalmazzuk a szögfelezôtételt a BCE háromszögre: = 3 sin{ = 2

y =, ebbôl BC = 3 $ c. Alkalmazzuk a szögfelezôtételt a BCE háromszögre: = 3 sin{ = 2 Néhány nehezebb trigonometriai feladat 48 347 Nem lehetséges AB, BE y, ED AE, BE y, AD CD $, CBEs ABEs { Alkalmazzuk a szögfelezôtételt az ABC háromszögre: AB y, ebbôl BC 3 $ Alkalmazzuk a szögfelezôtételt

Részletesebben

2229. Egy r sugarú gömb köré írt kocka éle 2r, az r sugarú gömbbe írt kocka éle r.

2229. Egy r sugarú gömb köré írt kocka éle 2r, az r sugarú gömbbe írt kocka éle r. Egymás ít testek 7 Egy sugú göm köé ít kock éle, z sugú göme ít kock éle 8- l K O V- V ( ) - K O 0 Egy sugú göm köé ít kock éle, z sugú göme ít kock éle K O A- A 6 ( ) - 6 6 K O Legyen külsô kock éle,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometri A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22.

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22. osztály Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! y + yz = 8 yz + z = 9 z + y = 5 (0 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: ( + yz + z) = Ebből kivonva az egyenleteket: y =, yz = 6, z

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Térbeli pont helyzetének és elmozdulásának meghatározásáról - I.

Térbeli pont helyzetének és elmozdulásának meghatározásáról - I. Térbeli pont helyzetének és elmozdulásánk meghtározásáról - I Egy korábbi dolgoztunkbn melynek címe: Hely és elmozdulás - meghtározás távolságméréssel már volt szó címbeli témáról Ott térbeli mozgást végző

Részletesebben

VI.8. PITI FELFEDEZÉSEK. A feladatsor jellemzői

VI.8. PITI FELFEDEZÉSEK. A feladatsor jellemzői VI.8. PITI FELFEDEZÉSEK Tárgy, tém A feldtsor jellemzői Szksz hosszúságánk meghtározás, Pitgorsz tétele. Előzmények Cél Háromszög, tégllp, négyzet kerülete és területe, négyzetgyök foglm. Szksz hosszánk

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás: Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

VIII. Szélsőérték számítás

VIII. Szélsőérték számítás Foglmk VIII. Szélsőéték számítás Az elem úton meghtáozhtó függvények jellemző: () ételmezés ttomány és étékkészlet megdás (b) zéushelyek (hol y ) és y tengelypontok (hol ) meghtáozás (c) folytonosság vzsgált

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

Győry Ákos: A Titu-lemma. A Titu-lemma. Győry Ákos Földes Ferenc Gimnázium, Miskolc

Győry Ákos: A Titu-lemma. A Titu-lemma. Győry Ákos Földes Ferenc Gimnázium, Miskolc A Titu-lemm Győry Ákos Földes Feren Gimnázium, Miskol Az lái feldtsort jórészt z 5. Rátz László Vándorgyűlésen elhngzott nygól állítottm össze, néhány feldttl kiegészítettem, néhol pedig új izonyításokkl

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek MATEMATIKA A 10. évfolym 14. modul Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek Készítette: Vidr Gábor Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek A modul

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Bizonyítások

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Bizonyítások ) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Bizonyítások A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

V. Koordinátageometria

V. Koordinátageometria oordinátgeometri Szkszt dott rányn osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 ) xf + 9 yf + N 7 N F 9 i ) 7 O c) O N d) O c N e) O O 6 6 + 8 B( 8) 7 N 5 N N N 6 A B C O O O BA( 6) A B BA A B O $ BA A B Hsonlón

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

Matematika 11. osztály

Matematika 11. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály II. rész: Trigonometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék II. rész: Trigonometria...........................

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

5. fejezet. Differenciálegyenletek

5. fejezet. Differenciálegyenletek 5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

KOMPLEX SZÁMOK A GEOMETRIÁBAN

KOMPLEX SZÁMOK A GEOMETRIÁBAN KMPLEX SZÁMK GEMETRIÁBN Mirce Bechenu Ismert, hogy kölcsönösen egyértelmű (ijektív) megfeleltetés létezik sík pontji és komplex számok hlmz közt. Ez megfeleltetés lehetővé teszi zt, hogy komplex számokt

Részletesebben

Néhány egyszerű tétel kontytetőre

Néhány egyszerű tétel kontytetőre Néhány egyszerű tétel kontytetőre ekintsük z ábr szerinti szimmeikus kontytetőt! ábr Az ABC Δ területe: ABC' m,v; ( ) z ABC Δ területe: ABC m ; ( ) z ABC* Δ területe: ABC* m ( 3 ) Az ábr szerint: m,v cos

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben