Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Átírás

1 Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól, melyeket sklároknk (skláris mennyiségeknek) nevezünk A vektor bszolút értéke z irányított szksz hossz Az vektor bszolút értékének jelölése: 0 H vektor hossz egységnyi, kkor egységvektornk nevezzük Jelölése:, b 0 Nullvektor (zérusvektor) z olyn vektor, melynek hossz null Jele: 0 Két vektort egyenlőnek tekintünk, h párhuzmos eltolássl egymásb átvihetők (fedésbe hozhtók), zz, h z eltolás után kezdőpontjuk és végpontjuk is egybeesik Műveletek vektorokkl Az és b vektorok + b összegén következő vektort értjük: b vektort eltoljuk önmgávl párhuzmosn úgy, hogy kezdőpontj z vektor végpontjávl essék egybe Ezután z vektor kezdőpontját z eltolt b vektor végpontjávl összekötő vektort képezzük Ez lesz z + b vektor (prlelogrmm szbály) Több vektor összege pl z ábrán áthtó módon képezhető: 1

2 Az összedás kommuttív és sszocitív, zz b c b c b b és Két vektor különbsége z vektor, mely z végpontjából indul és végpontjáb mutt Tehát z különbségvektor olyn vektor, melyre Vektor szorzás számml Az vektor -szorosán ( vlós szám) zt -vl jelölt vektort értjük, melynek bszolút értéke, irány pedig irányávl egyező, h pozitív, és zzl ellentétes, h negtív H z vektort megszorozzuk számml, kkor szorztvektor hossz egységnyi lesz Ugynis Tehát egy vektor egységvektorát kpjuk, h bszolút értékével osztjuk: 2

3 A skláris szorzt 0 1 Az és b vektorok b-vel jelölt skláris szorzt két vektor bszolút értékének és z áltluk közrezárt szög koszinuszánk szorzt, zz b b cos, hol z és b vektor áltl közrezárt szög Az és b vektor skláris szorztánk jelölésére hsználtos z, b jelölés is Az értelmezésből láthtó, hogy skláris szorzás eredménye egy szám (sklár) Továbbá, h két vektor merőleges egymásr 90, kkor skláris szorztuk null, mert cos 0 Ennek fordítottj is igz H két vektor skláris szorzt null, kkor két vektor egymásr merőleges A skláris szorzás kommuttív és (z összedásr nézve) disztributív: A vektoriális szorzás bc c bc b b és Az és b vektorok vektoriális szorztán zt z b vektort értjük, mely merőleges mindkét vektorr, hossz sin, hol φ két vektor áltl közrezárt szög Az lkotnk, b,b vektorok jobbsodrású rendszert H és párhuzmosk, zz 0, kkor 0 Ez egyúttl zt jelenti, hogy, tehát két párhuzmos vektor vektoriális szorzt nullvektor A vektoriális szorzás nem kommuttív, mert z áll fenn, hogy 3

4 A disztributív törvény viszont érvényes, zz Megjegyzés: Az értelmezésből látszik, hogy vektor hossz z, z és vektorok áltl kifeszített prlelogrmm területével egyenlő, hol prlelogrmm lpj, sin mgsság A vegyes szorzt Az,, vektorok vegyes szorztán z szorztot értjük, és ezt -vel jelöljük, zz A vegyes szorzt egy sklár (szám), mert szorztát kell venni Vektorok koordinátás megdás vektor, mint számhárms b is és c is vektor, és e két vektor skláris Vegyünk fel térben egy O pontot, és e pontból kiinduló, páronként egymásr merőleges három egységvektort Jelölje ezeket rendre,,, úgy, hogy ebben sorrendben jobbsodrású rendszert lkossnk, hsonlón, hogy térbeli Descrtes-féle koordinátrendszer x, y, z tengelyei Ezek vektorok bázisvektorok Mutsson vektor z O pontból,, pontb Ekkor előállíthtó,, vektorok összegeként: A,, számokt vektor koordinátáink nevezzük, pontosbbn z i, j, k bázisr vontkozó koordinátáink Így vektort megdhtjuk koordinátáivl, zz, h 3 dott sorrendű vlós számot megdunk, kkor ez egy háromdimenziós vektort jelent Az lábbi jelöléseket hsználjuk ;,, (Az,, egységvektorokt szokás e 1, e2, e3 módon is jelölni) Pl A (2,1,4) vektor: VEKTORMŰVELETEK KOORDINÁTÁKKAL A vektor bszolút értéke A,, vektor bszolút értéke: v v1 v2 v3 4

5 Legyen dott 3,1,2 vektor Számítsuk ki z bszolút értékét! Megoldás: Vektorok egyenlősége A koordinátás lkbn megdott vektorok egyenlőségét z lábbi módon értelmezzük Tekintsünk két vektort 1 i 2 j 3k 1, 2, 3 és b b1 i b2 j b3k b1, b2, b3 Az és b vektorok kkor és csk kkor egyenlők, h 1 b1, 2 b2, 3 b3, zz z zonos indexű koordinátáik egyenlők Vektorok összege (különbsége) Az és b vektorok összege (különbsége): b 1 b1, 2 b2, 3 b3 Két vektor összegét (különbségét) tehát úgy képezzük, hogy megfelelő koordinátákt összedjuk (kivonjuk) Legyen 2,3,1 és 1,4,5 Számítsuk ki két vektor összegét! Megoldás: 3, 1,4 Sklárrl vló szorzás Az vektornk számml vló szorzt:,, A vektort úgy szorozzuk egy számml, hogy mindhárom koordinátáját megszorozzuk ugynzzl számml Legyen 2,3,1 Számítsuk ki 4-t! 5

6 Megoldás: 4 4 2,4 3,4 1 8,12,4 Az egységvektor koordinátás lkj A sklárrl vló szorzássl fel tudjuk írni v vektor egységvektorát: 0 v v 1 v 1 v2 3 v,, v v v v v v Írjuk fel z 2, 3,3 vektor egységvektorát Megoldás: Mivel , ezért , 3,3, 3, Skláris szorzt Legyen 1, 2, 3 ; b b1, b2, b3 A két vektor b skláris szorzt: b 1b1 2b2 3b3 Két vektor skláris szorztát tehát úgy számíthtjuk ki, hogy megfelelő koordináták szorztát összedjuk Megmuttjuk, hogy ez geometrii definícióból következik Ugynis skláris szorzt értelmezése szerint ii jj kk 11cos 0 1; ij ik jk 11cos 90 0 Ezeket felhsználv, b 1i 2 j 3kb 1i b2 j b3k 1b1 2b2 3b3 Legyen 6,2,1 és 1, 1,2 Számítsuk ki b-t! Megoldás Megjegyzés A skláris szorzt értelmezéséből z is kiolvshtó, hogy két vektor áltl közrezárt szög koszinusz: cos Ezt felhsználv,,, vektor x tengellyel (így z vektorrl) közrezárt szögének koszinusz: vi v1 cos v 1 v Ugynígy z y ill z tengellyel bezárt szög koszinusz: 6

7 v2 v3 cos ill cos v v Ezeket z eredményeket összevetve z egységvektor koordinátás lkjávl, zt kpjuk, hogy v 0 cos, cos, cos Az egységvektor koordinátái tehát z ún iránykoszinuszok Mivel v 1 v, ezért cos cos cos 1 A 1,1, 2 vektor egységvektor 1,1, 2 Tehát cos, cos, cos Így vektor z x, y, z tengellyel közrezárt szögei rendre: 120, 60, 45 Vektoriális szorzt Legyen,,,,, Akkor két vektor vektoriális szorzt:, zz,, Megmuttjuk, hogy vektoriális szorztnk ez kiszámítási módj geometrii definícióból következik A vektoriális szorzt értelmezése szerint: i i j j k k 0 i j k, jk i, k i j, j i k, k j i, i k j Ezeket felhsználv, i j k b i b j k b b3 1b2k 1b 3j 2b1 k 2b3i 3b1 j 3b2 i 2b3 3b2 i 1b3 3b1 j 1b2 2b1 k 7

8 A vektoriális szorzt kiszámítás determináns segítségével A fenti "képletet" nehéz megjegyezni, ezért z vektoriális szorztot determináns segítségével számítjuk ki Másodrendű determináns Legyen dv z lkzt (táblázt, később mjd mátrixnk nevezzük) Az indexek zt dják meg, hogy z elem melyik sor (első index) melyik oszlopábn (második index) helyezkedik el A táblázt elemeiből lkotott kifejezéssel táblázt determinánsát djuk meg, és ennek jelölése Számítsuk ki determinánst! Megoldás: Hrmdrendű determináns A hrmdrendű determináns kiszámítását visszvezetjük másodrendű determinánsok kiszámításár következő módon: A megjelenő másodrendű determinánsokt úgy képezzük, hogy hrmdrendű determinánsból töröljük zt sort és zt z oszlopot, melyben z előttük álló elem 8

9 szerepel (Pl Az melletti determináns úgy jön létre, hogy kihúztuk z első sort és első oszlopot; z melletti úgy, hogy kihúztuk z első sort és második oszlopot és negtív előjelet írunk, z mellettinél z első sort és hrmdik oszlopot) Az így kpott másodrendű determinánsokt már ki tudjuk számítni Lásd: A determináns segítségével vektoriális szorzt következőképpen írhtó fel: Számítsuk ki z 1,3,2 és 2,4,1 vektorok vektoriális szorztát és z áltluk kifeszített prlelogrmm területét! Megoldás: ,3, A két vektor áltl kifeszített prlelogrmm területe,, zz 38 Megjegyzés: Az szorztot kétszeres vektoriális szorztnk nevezzük Érvényes z ún kifejtési tétel: Vegyes szorzt Legyen,,,,,,,,, kkor három vektor vegyes szorzt z lábbi módon számíthtó ki: bc bc b1 b2 b3 c1 c2 c3 (H elvégezzük koordinátákkl z b mjd z bc szorzást éppen zt z értéket kpjuk meg, mit determináns d) 9

10 Megjegyzés: Az bc vegyes szorzt bszolút értéke három vektor áltl kifeszített prlelepipedon (prlelogrmm lpú hsáb) térfogtát dj H vegyes szorzt értéke null, kkor három vektor egy síkbn vn Az értelmezésből z is következik, hogy bc bc cb, vgyis tényezők ciklikus cseréje esetén vegyes szorzt értéke nem változik Viszont két egymás melletti tényező cseréje előjelváltást eredményez, zz bc cb cb bc Számítsuk ki z 9,8,7, 6,5,4 és 3,2,1 vektorok vegyes szorztát! Megoldás: A három vektor áltl kifeszített prlelepipedon térfogt tehát null, ezért három vektor egy síkbn vn 10