VEKTOROK ÉS MÁTRIXOK

Átírás

1 DR NAGY TAMÁS VEKTOROK ÉS MÁTRIXOK Miskolc, A bemuttott kuttó munk TÁMOP-B-//KONV-- jelű projekt részeként z Európi Unió támogtásávl, z Európi Szociális Alp társfinnszírozásávl vlósul meg This reserch ws crried out s prt of the TAMOP-B-//KONV-- project with support by the Europen Union, co-finnced by the Europen Socil Fund

2 TARTALOMJEGYZÉK Vektorok A vektor foglm Műveletek vektorokkl Összedás Sklárrl vló szorzás 5 Lineáris kombináció6 Skláris szorzás 7 Mátrixok 9 A mátrix foglm9 Műveletek mátrixokkl Összedás Sklárrl vló szorzás Mátrixok szorzás Speciális mátrixszorzások Sorvektor és oszlopvektor szorzás (skláris szorzás) Oszlopvektor és sorvektor szorzás (didikus szorzás) Mátrix és oszlopvektor szorzás (vektorrl vló jobbról szorzás)5 Sorvektor és mátrix szorzás (vektorrl vló blról szorzás)7 A mátrixszorzás további számítási módszerei A szorztmátrix egy-egy elemének meghtározás (ez definíció) A szorztmátrix egy-egy oszlopvektoránk meghtározás A szorztmátrix egy-egy sorvektoránk meghtározás A szorztmátrix meghtározás didikus szorztok összegeként 5 Mátrix htványozás Speciális mátrixok Négyzetes mátrix Szimmetrikus és ferdén szimmetrikus mátrix 5 Egység mátrix5 Inverzmátrix 5 5 Permutáció mátrix6 6 Digonális mátrix7 Műveletek speciális vektorokkl és mátrixokkl7 Egységvektorrl vló szorzás 7 Összegzővektorrl vló szorzás7 Egységmátrix-szl vló szorzás8 Permutáció mátrix-szl vló szorzás8 5 Digonális mátrix-szl vló szorzás9 Vektor- és mátrixműveletek gykorlás szöveges példákkl Leontief-féle input-output modell 58 5 Feldtok 65

3 Vektorok A vektor foglm A vektor legrövidebb megfoglmzás: vektor egy rendezett szám n-es Bővebben kifejtve vektor tehát egy olyn mtemtiki objektum, mely n db vlós számból áll és fontos számok sorrendje is Például: =(, 7, ); b=(5, -,, -6, 78) A vektor elemeit vektor komponenseinek, koordinátáink nevezzük és zárójelbe tesszük Az vektor elemű, más szóvl - dimenziós, b vektor pedig 5-dimenziós vektor A vektor jelölésére félkövéren írt ltin kisbetűket hsználjuk:, b,, x, y,, stb A vektor elemeit vektor jelölésére hsznált, nem félkövéren írt dölt kisbetűvel jelöljük és lsóindexbe írjuk z elem sorszámát: =(,,, n ) Az n-dimenziós vektorok összességét R n -el jelöljük Az R n jelöléssel jelezzük, hogy z mtemtiki objektum n-dimenziós vektor A vektor elemeit vgy sorb vgy oszlopb rendezve írjuk fel Zárójelként hsználhtunk kerek vgy szögletes zárójelet is Például sorvektorként z =(,,, n ) vgy z =[,,, n ] vgy oszlopvektorként z vgy z n n jelölés is hsználhtó Nyilvánvló, hogy sorvektorként vgy oszlopvektorként vló felírás ugynzokt z információkt trtlmzzák, hiszen számok és zok sorrendje megegyezik mindkét jelölésnél A mátrixok ismertetésénél fogjuk mjd megérteni két jelölés közötti különséget Ott mjd látjuk, hogy meg is különböztetjük őket egy jelöléssel A vektorok között három speciális vektort ismertetünk Mindegyik dimenzióbn értelmezzük ezeket speciális vektorokt Zérusvektor: =(,,,, ) A zérusvektor minden eleme zérus Összegzővektor: =(,,,, ) Az összegzővektor minden eleme Egységvektor: Az n-dimenziós vektorok között n drb egységvektor vn Az első egységvektornál z elem z -es, másodiknál elem z -es stb és többi elem zérus, zz e = (,,,,, ), e = (,,,,, ), e n = (,,,,, ) Mg vektor elnevezés geometrii értelmezésből szármzik A szám -eseket és szám - sokt síkon ill térben irányított egyenes szkszként ábrázolhtjuk H sík egy A pontjából B pontjáb elmozdulunk, kkor ezt egy vektorrl (szám -essel) leírhtjuk A vektor első eleme vízszinte tengely irányáb, második eleme pedig függőleges tengely irányáb történő elmozdulást jelenti A -dimenziós vektorok is hsonlón értelmezhetők A vektor szó ltin eredetű és eredeti jelentései "szállító", "hordozó", "uts", pontosbbn zzl

4 kpcsoltos, hogy vlkit vgy vlmit egyik helyről másikb szállítnk A háromnál ngyobb dimenziójú vektoroknk már nem dhtunk geometrii szemléletet, de többdimenziós esetben is gykrn hsználunk geometrii foglmkt, mivel síkbeli és térbeli vektorok sok tuljdonság átvihető mgsbb dimenziób (Pl z ortogonlitás, más szóvl merőlegesség) Az,bR n vektorokt egyenlőnek mondjuk (jelben =b), h vektoroknk z zonos sorszámú komponenseik megegyeznek, zz i = b i, minden i=,,,n esetén Az,bR n vektorok között z b ngyságrendi reláció kkor áll fenn, h vektoroknk z zonos sorszámú komponenseire fennáll reláció, zz i b i, minden i=,,,n esetén Hsonlón értelmezzük z < b, b, > b ngyságrendi relációkt Műveletek vektorokkl Két olyn műveletet fogunk értelmezni vektorokkl, melyek eredménye is vektor, ezek műveletek z összedás és sklárrl vló szorzás Később olyn műveletet is definiálunk, melynek eredménye nem vektor, hnem egy sklár szám lesz Ezt fontos műveletet skláris szorzásnk nevezzük Összedás Csk zonos dimenziójú vektorok összedását értelmezzük Legyen =(,,, n ) és b=(b, b,,b n ) két vektor Az +b vektor ltt z lábbi vektort értjük: +b = ( +b, +b,, n +b n ) Az összegvektor elemei tehát z zonos sorszámú komponensek összege Két vektor különbségét z összedás lpján könnyen értelmezhetjük Az és b vektor különbségén zt c vektort értjük, melyre z = b+c összefüggés áll fenn, kölönbségvektort b-vel jelöljük Az b vektor elemeit z zonos sorszámú komponensek megfelelő sorrendben vett különbsége dj, képletben b = ( b, b,, n b n ) Péld: Legyen =(5, ) és b=(, ), ekkor z összegvektor: különbségvektor: +b = (5, ) + (, ) = (5+, +) = (7, 6), b = (5, ) - (, ) = (5-, -) = (, -) A két R -beli vektor összedását és kivonását geometrii úton is tudjuk szemléltetni Az és b vektorok áltl meghtározott prlelogrmm egyik átlój dj z +b összegvektort, z b különbségvektort pedig másik átló dj, mégpedig úgy, hogy különbségvektor b vektor végpontjából z vektor végpontjáb mutt Ezt szemlélteti z lábbi ábr

5 Sklárrl vló szorzás Legyen egy sklár szám A vektor ltt z lábbi vektort értjük: =(,,, n ), tehát sklárrl úgy szorzunk egy vektort, hogy minden elemét beszorozzuk sklárrl Péld: Legyen =(, ) és =, kkor = (, ) =(, ) = (6, ), h = - 5, kkor = -5 (, ) =(-5, -5 ) = (-5, -) A sklárrl vló szorzásnk szintén dhtunk geometrii szemléletet Az eredményvektor htásvonl z vektorévl zonos H >, kkor z eredményvektor irány irányávl zonos, h <, kkor z eredményvektor irány irányávl ellentétes H >, kkor nyújtásról, h < <, kkor zsugorításról beszélünk Ezeket muttj z lábbi ábr Péld: Tekintsük következő egyszerű példát, melynek megoldását fenti vektorműveletekkel dhtjuk meg Egy válllt lktrészt gyárt Legyen egy dott év első félévében gyártási 5

6 volumen lktrészenként rendre 5,, 8, 6; második félévben pedig rendre,,, 5 drb ) Mennyit termelt válllt éves szinten z egyes termékekből? b) A válllt következő év második félévében z előző év második félévi termelését mindegyik termékből %-kl meg krj növelni Mennyi lesz következő év második félévében termelés termékenként? Megoldás: Foglljuk két félév termelését egy és egy b vektorb Az első félév termelését így z =(5,, 8, 6), második félévét pedig b=(,,, 5) vektorrl írhtjuk le A keresett mennyiségeket megismert műveletekkel egyszerűen számíthtjuk: ) +b =(5+, +, 8+, 6+5)=(57, 76, 8, ), b) b=(,,, 5)=(8, 58,, 6) Péld: A vektorok összedásánk és sklárrl vló szorzásánk tuljdonsági z lábbik: Legyenek, b, c tetszőleges n-dimenziós vektorok;, tetszőleges vlós számok Ekkor + b = b + kommuttiv ( + b) + c = + ( b + c) + = (-) = ( ) ( + b) = b ( ) = ( ) = sszocitiv létezik zéruselem létezik inverzelem sklár disztributiv vektor disztributiv sklár sszocitiv létezik sklár egységelem Megjegyezzük, hogy zokt mtemtiki objektumokt, melyekben z összedás és sklárrl vló szorzás fenti 8 tuljdonsággl rendelkezik, lineáris térnek nevezzük Mivel vektorok ezeket kielégítik, ezért vektortér elnevezést is szokás hsználni Más mtemtiki objektumok is kielégítik ezeket tuljdonságokt, többek között mátrixok és egy dott intervllumbn folytonos függvények is Lineáris kombináció A fentebb definiált két művelet segítségével lineáris lgebr legfontosbb lpfoglmát lineáris kombinációt z lábbik szerint definiáljuk Legyenek,,, n zonos dimenziójú (pl m-dimenziós) vektorok és legyenek,,, n sklárok A + ++ n n vgy rövidebben írv i i n i 6

7 vektort z,,, n vektorok,,, n sklárokkl vett lineáris kombinációjánk nevezzük Péld: Legyen,, R vektorok Az lábbi ábr szemlélteti három vektor lineáris kombinációját Az eredményvektort vektorok lkott sokszög dj λ +λ +λ λ λ λ λ λ Péld: A válllt következő évi termelését termékenként z első félévben %-kl, második félévben pedig (hogy már említettük) %-kl kívánj növelni Mennyi lesz válllt következő évi termelése termékenként? Vegyük észre, hogy itt z +b vektort kell kiszámítni, mely z egyes félévek termelési vektoránk növekményre vett lineáris kombinációj: +b = (75, 5, 98, 66)+ (8, 58,, 6)= (659, 88, 8, 6) Skláris szorzás Csk zonos dimenziójú vektorok skláris szorztát értelmezzük Két vektor skláris szorztán egy sklár számot kpunk, melyet z lábbikbn definiálunk: b = b + b + + n b n = i b i Az b skráris szorztot tehát úgy kpjuk, hogy z zonos indexű vektorelemeket összeszorozzuk és szorztokt összedjuk Az és b vektorok merőlegesek egymásr (ortogonálisk), h skláris szorztuk zérus, zz b= Jvsoljuk z olvsónk, hogy ellenőrizze ezt z állítást két R -beli vektor esetében Péld: Az előző péld termékének eldási ári legyenek rendre,,, 5 Mennyi válllt első félévi árbevétele, h megtermelt termékeket fenti egységáron el is dt? n i 7

8 Jelölje p vektor z egységár vektort: p=(,,, 5) Ekkor z árbevételt egy skláris szorzássl htározhtjuk meg: p = = 8 A vektorok skláris szorzásánk tuljdonsági: b = b kommuttiv ( + b) c = c + b c ( ) b = ( b) disztributiv sklár sszocitiv (egyenlő) kkor és csk kkor, h 8

9 Mátrixok A mátrix foglm A mátrix legrövidebb megfoglmzás: mátrix egy szám mn-es Bővebben kifejtve mátrix egy olyn mtemtiki objektum, melyben vlós számok m számú sorbn és n számú oszlopbn vnnk elrendezve A mátrix ltin mtricul szóból szármzik, mely nykönyvet jelent Az elnevezés rr utl, hogy z nykönyvbeli dtokhoz hsonlón mátrixnál is számok sorokbn és oszlopokbn vnnk elrendezve A mátrix jelölésére félkövéren írt ltin ngybetűket hsználjuk: A, B,, stb A mátrix elemeit vektor jelölésére hsznált, nem félkövéren írt dölt kisbetűvel jelöljük és lsóindexbe írjuk z elem helyét meghtározó sor- és oszlopszámot Az ij elem z A mátrix i-edik soránk j-edik elemét jelenti Tehát z első helyen álló index sorindex, második z oszlopindex Az AR m n jelöléssel jelezzük, hogy z A mtemtiki objektum mn méretű mátrix Szokásos szóhsznált méretre, hogy z A mátrix rendje mn A könnyebb tájékozódás mitt célszerű z lábbikbn következő megállpodássl élni: A mátrix sorink számát m, z oszlopink számát n, z elem sorindexét i, z oszlopindexét pedig j jelöli Ettől természetesen eltérhetünk Egy m sorból és n oszlopból álló A mátrix elemeit kerek vgy szögletes zárójelbe szoktuk írni z lábbi módon A m m n n mn vgy A m m n n mn A mátrixot - főleg műveletek elvégzésének megkönnyítése érdekében - z lábbi sémávl szoktuk ábrázolni, vgyis egy tégllpb írjuk z elemeket, de ekkor nem írjuk eléje z A= jelet, legfeljebb egy nyílll jelöljük, hogy melyik mátrix sémájáról vn szó j n : : : : i i ij in A : : : : m m mj mn A mátrix felfoghtó úgy is, mint m drb egymás lá írt n-dimenziós vektor összessége, de úgy is felfoghtó, mint n drb egymás mellé írt m-dimenziós vektor összessége A sorb írt vektorokt mátrix sorvektorink, z oszlopb írt vektorokt pedig mátrix oszlopvektorink nevezzük Az i-edik sorvektort (i), j-edik oszlopvektort pedig j szimbólumml jelöljük, ezt muttj z lábbi sém: 9

10 (i) j Tehát z A mátrixot felírhtjuk z lábbi két módon is: A () () ( m) vgy A n Sémávl történő ábrázolás esetén: () () : vgy n : (m) Egy A mátrix sorink és oszlopink felcserélésével kpott mátrixot z A mátrix trnszponáltjánk nevezünk és A T -vel jelöljük A sorok és oszlopok számár nincs megkötés, csk véges természetes számok legyenek H m=, zz mátrix egyetlen sorból áll, kkor mátrixot sorvektornk tekinthetjük H n=, zz mátrix egyetlen oszlopból áll, kkor mátrixot oszlopvektornk tekinthetjük Itt tpsztlhtjuk sorvektor és z oszlopvektor megkülönböztetést Műveletek mátrixokkl A vektorokr megismert összedás és sklárrl vló szorzás hsonló mátrixok esetében is Ahogy vektoroknál már láttuk, mátrixok esetében is ngyon fontos jelentősége vn műveletben szereplő objektumok méretének Összedás Csk kkor értelmezzük, h két mátrix zonos rendű (méretű), zz sor- és oszlopméretük zonos Az A+B mátrix számításánál megfelelő indexű elemeket össze kell dni Sklárrl vló szorzás A A mátrix számításánál mátrix minden egyes elemét meg kell szorozni -vl

11 Könnyű belátni, hogy mátrixokr vontkozó összedás és sklárrl vló szorzás művelet kielégíti vektoroknál ismertetett 8 tuljdonságot, így z zonos rendű (méretű) mátrixok is lineáris teret (vektorteret) lkotnk Mátrixok szorzás Az A mátrix és B mátrix A B szorztmátrixán zt C mátrixot értjük, mely i-edik soránk j-edik elemét z lábbi módon számítjuk ki: cij ( i) b j zz z A mátrix i-edik sorvektorát ( (i) vektort) sklárisn megszorozzuk B mátrix j- edik oszlopvektorávl (b j vektorrl), kkor z eredménymátrix i-edik soránk j-edik elemét kpjuk A mátrixszorzás csk kkor végezhető el, h definícióbn szereplő skláris szorzás elvégezhető, ez pedig zt követeli meg, hogy mátrixszorzás (A B) műveletében z első helyen szereplő A mátrix oszlopink szám megegyezzen második helyen szereplő B mátrix sorink számávl Ezt z egyezőséget úgy szokták mondni, hogy z A és B mátrixok konformábilisk Az eredménymátrix sormérete z A mátrix sorméretével, z oszlopmérete pedig B mátrix oszlopméretével egyezik meg A mátrixszorzás tuljdonsági: AB BA ( AB) C = A( BC) A( B C) = AB AC ( B C) A = BA CA ( A) B ( AB) AE = EA E nem kommuttiv sszocitiv disztributiv disztributiv sklár sszocitiv A mátrixszorzás zért sem lehet áltlábn kommuttív, mert méretek nem megfelelőek, pl AR, BR 5 H esetleg el is végezhető BA fordított sorrendbeli szorzás (pl AR, BR ), kkor nem biztos, hogy z eredménymátrix (ABR ) zonos rendű z BA mátrix-szl (BAR ) Két nn-es mátrix (pl A,BR ) esetén nincs problém sem z elvégezhetőséggel sem méretekkel, de két mátrix elemei áltlábn nem zonosk A mátrixszorzás sszocitivitás lehetővé teszi tetszőleges zárójelezhetőséget Megjegyezzük, hogy másféle mátrixszorzás is elképzelhető, például Hdmrd szorzás, melynél c ij = ij b ij Hsonlón z összedáshoz, ekkor két mátrixnk zonos méretűnek kell lenni és kommuttivitás is érvényes Péld: Legyen dott két mátrix, z AR és BR mátrixok Htározzuk meg C = A B szorztmátrixot!

12 , B A A művelet elvégezhető, mivel z A mátrix oszlopmérete megegyezik B mátrix sorméretével, zz két mátrix konformábilis, mit z lábbik szerint szemléltetünk: ) ( ) )( ( eredmény Számítsuk ki z eredménymátrix c elemét: z A mátrix második sorábn lévő sorvektort kell megszorozni sklárisn B mátrix első oszlopábn lévő oszlopvektorrl Ezt z lábbikbn szemléltetjük Az egyszerűség mitt csk c elem számításához szükséges számokt tüntettük fel, félkövéren szedve A skláris szorzás eredménye, zz c = + + (-) + = = B A C Az eredménymátrix többi elemét is hsonló módon számítjuk ki, melyet z olvsó is ellenőrizhet B A C Képzeljük el, hogy ngyobb méretűek mátrixok, ekkor skláris szorzásbn szereplő elemek összepárosítás nem olyn egyszerű Célszerű ezért mátrixszorzást z lábbi sémábn felrjzolni és ekkor világosn látsznk méretviszonyok és művelet is sokkl szemléletesebben végezhető el Legyen z A mátrix m k méretű, B mátrix k n méretű Készítsünk művelet elvégzéséhez olyn sémát, melyben B mátrix sémáját ne z A mátrix sémáj mellé, hnem felcsúszttv írjuk fel Szemléletesen látszik, hogy mátrixszorzás művelete csk kkor végezhető el, h z A mátrix felett és B mátrix melletti terület négyzet (k k) lkú Az A mátrix mellett és B mátrix ltti terület pontosn C szorztmátrix helyét (m n) jelöli ki Ezt sémát, melyet Flk-sémánk nevezünk, z lábbi ábr muttj n k b j B k m A (i) c ij C=AB

13 Az A mátrix i-edik sorvektorát ( (i) ) így könnyebben össze lehet szorozni sklárisn B mátrix j-edik oszlopvektorávl (b j ), skláris szorzás eredményét (c ij ) pedig z i-edik sor és j-edik oszlop metszéspontjáb kell írni Végezzük el fenti példábn szereplő mátrixszorzást Flk-sém segítségével Az lábbi ábrábn c elem számítását szemléltettük + + B A - 5 C=AB A számítás menete következő: c = = = Péld: Az előző példábn szereplő AR és BR mátrixokkl végezzük el BA szorzást! Könnyen meggyőződhetünk ról, hogy művelet nem végezhető el, mert két mátrix nem konformábilis, ugynis ( )( ) Elvégezhető viszont B T A T szorzás, hiszen eredmény ( )( ) () A szorzás eredménye: 9 B T A T 5 6 Amennyiben könnyebbnek érzi z olvsó Flk-sémávl vló számítást, jvsoljuk, hogy végezze el műveletet nnk segítségével is Ne lepődjünk meg művelet eredményén, igz ugynis következő: (AB) T = B T A T, zz egy szorztmátrix trnszponáltj megegyezik tényező mátrixok trnszponáltjink szorztávl, de fordított sorrendben

14 Speciális mátrixszorzások Ebben pontbn külön tárgyljuk fontosságuk mitt zokt z eseteket, mikor szorzásbn szereplő mátrixok egyetlen sorrl és/vgy egyetlen oszloppl rendelkeznek Sorvektor és oszlopvektor szorzás (skláris szorzás) Legyen z AB mátrixszorzásbn z első helyen lévő mátrix olyn, melynek egyetlen sor vn Mint említettük ezt sorvektornk tekinthetjük Legyen továbbá második helyen lévő mátrix olyn, melynek egyetlen oszlop vn Ezt pedig oszlopvektornk tekinthetjük Ebben szorzásbn egy sorvektort és egy oszlopvektort kell sklárisn összeszorozni megfelelő sorrendben A művelet kkor végezhető el, h két vektor zonos méretű, zz eredmény ( n )( n) () Az eredmény egy -es mátrix, mely vlójábn egyetlen szám H jobbn megfigyeljük, kkor zt tpsztljuk, hogy ez szorzás vektorok körében megismert skláris szorzásnk felel meg A vektorok tárgylásánál nem tettünk kölönbséget sorvektor és z oszlopvektor között Itt zonbn különbséget kell tennünk Áltlábn egy vektoron mindig oszlopvektort értünk, h úgy tetszik egyetlen oszlopból álló mátrixot értünk A sorvektort pedig egyetlen sorból álló mátrixnk tekintjük A sorvektort tehát z oszlopvektor trnszponáltjként tekintjük Az oszlopvektornk megfelelő sorvektort így T jelöléssel illetjük Eszerint két vektor skláris szorztát mátrixszorztos felírásbn z T b módon jelöljük A jelölésekre később vissztérünk Péld: Legyenek dottk z, br vektorok Számítsuk ki z b vgy mátrixszorztos jelöléssel z T b skláris szorztot! 5, b A művelet elvégezhető, mivel két vektor zonos méretű Az eredmény: 5 T b b,, 5 5 A művelet áttekinthetőbben is elvégezhető, h mindegyik vektort oszlopként ábrázoljuk, mert így z zonos sorszámú elemeket könnyebben megtláljuk Oszlopvektor és sorvektor szorzás (didikus szorzás) Legyen z AB mátrixszorzásbn z első helyen lévő mátrix olyn, melynek egyetlen oszlop vn Legyen továbbá második helyen lévő mátrix olyn, melynek egyetlen sor vn Ebben szorzásbn egy oszlopvektort és egy sorvektort kell összeszorozni megfelelő sorrendben A művelet elvégezhetőségének nincs méretbeli korlátj Az m dimenziós oszlopvektor és z n-dimenziós sorvektor szorzt egy m n méretű mátrix lesz, zz

15 eredmény ( m )( n) ( m n) A művelet jelölése pedig b T Az eredménymátrix elemei: c ij = i b j A vektoroknk ezt fjt szorzását didikus szorzásnk nevezzük Sok szerző nem hsználj trnszponálás jelét, ők didikus szorzásr külön jelet hsználnk, nevezeten z b jelölést A jelölésekre később vissztérünk Péld: Legyenek dottk z R, br vektorok Számítsuk ki z b vgy mátrixszorztos jelöléssel z b T didikus szorztot!, b Az b T művelet vektorok méretétől függetlenül minden esetben elvégezhető, z eredmény egy mátrix, mely méretű Az eredmény: 8 6 T b b Úgy gondoljuk, hogy ezt műveletet célszerűbb Flk-sém segítségével elvégezni Így könnyebben ellenőrizhető z is, hogyn számíthtók z eredménymátrix sorvektori, ill oszlopvektori - b b T Az b T didikus szorzt elemenkénti számítás helyett célszerű soronként vgy oszloponként számolni Könnyen ellenőrizhető, hogy z eredménymátrix i-edik sorvektor b vektor i számml vló szorzásként, j-edik oszlopvektor pedig z vektor b j számml vló szorzásként dódnk Mátrix és oszlopvektor szorzás (vektorrl vló jobbról szorzás) Legyen z AB mátrixszorzásbn második helyen lévő mátrix olyn, melynek egyetlen oszlop vn Jelölje z oszlopvektort z x vektor A mátrixok szorzásánk definíciójából következik, hogy z Ax művelet csk kkor értelmezett, h z A mátrix oszlopmérete és z x vektor mérete megegyezik, z eredményvektor mérete pedig z A mátrix sorméretével zonos Legyen AR m n, ekkor szükségszerűen xr n, zz eredmény ( m n)( n) ( m) 5

16 6 A mátrixszorzás definíciójából dódik, hogy z Ax művelet eredménye olyn vektor, melynek elemeit z A mátrix egyes sorvektorink és z x vektornk skláris szorztként nyerjük, zz x x x Ax ) ( () () m Vizsgáljuk meg részletesebben z Ax szorzás eredményeként dódó vektort, következőt tpsztljuk n j j mj j j n j j mj n j j j n j j j m x x x x ) ( () () x x x Ax Az utolsó képletben szereplő szummábn z A mátrix j-edik oszlopvektor szerepel, ebből pedig zt olvshtjuk ki, hogy z Ax vektor nem más, mint z A mátrix oszlopvektorink z x vektor elemeire vett lineáris kombinációj, zz n x n x x Ax A mátrix és vektor szorzásánk lineáris kombinációvl vló meghtározását ngyon sokszor hsználjuk gykorltbn Összefogllv tehát egy mátrixnk egy vektorrl vló jobbról szorzásként (Ax) olyn vektort kpunk, mely z lábbi két módon is számíthtó: - z eredményvektor mátrix oszlopvektorink vektor elemeire vett lineáris kombinációj, - z eredményvektor elemei mátrix sorvektorink és vektornk skláris szorzt Péld: Legyen dott z AR mátrix és z xr vektor Számítsuk ki z Ax vektort!, 5 x A Az Ax művelet elvégezhető méretek mitt, z eredményvektor dimenziós lesz 7 5 Ax

17 A fenti művelet Flk-sémávl egyszerűbben elvégezhető, így is elvégezzük műveletet - x 7 A Ax Mátrix-vektor szorzási művelet elvégzésénél Flk-sémától eltérő sémávl is dolgozhtunk Ekkor vektort mátrix fölé rjzoljuk fel z lábbi módon x - 7 A Ax Ebben sémábn még szemléletesebb műveletvégzés Az elemenkénti számolásnál mátrix sorvektorit kell felette lévő vektorrl sklárisn szorozni, így z összeszorzndó tényezők könnyebben megtlálhtók A lineáris kombinációvl történő számolás is szemléletesebb, mert z oszlopvektorok lineáris kombinációját kell venni és lineáris kombinációbn szereplő számok z oszlopvektor fölött vnnk Ax ( ) Sorvektor és mátrix szorzás (vektorrl vló blról szorzás) Legyen z AB mátrixszorzásbn z első helyen lévő mátrix olyn, melynek egyetlen sor vn Jelölje sorvektort z y vektor A mátrixok szorzásánk definíciójából következik, hogy z ya művelet csk kkor értelmezett, h z A mátrix sormérete és z y vektor mérete megegyezik, z eredményvektor mérete pedig z A mátrix oszlopméretével zonos Legyen AR m n, ekkor szükségszerűen yr m, zz eredmény ( m)( m n) ( n) A mátrixszorzás definíciójából dódik, hogy z ya művelet eredménye olyn vektor, melynek elemeit z A mátrix egyes oszlopvektorink és z y vektornk skláris szorztként nyerjük, zz 7

18 ya y y y n Vizsgáljuk meg részletesebben z ya szorzás eredményeként dódó vektort, következőt tpsztljuk m m m m ya yii yii yiin yii i in i i i i Az utolsó képletben szereplő szummábn z A mátrix i-edik sorvektor szerepel, ebből pedig zt olvshtjuk ki, hogy z ya vektor nem más, mint z A mátrix sorvektorink z y vektor elemeire vett lineáris kombinációj, zz ya () () ( m) y y y m A vektor és mátrix szorzásánk lineáris kombinációvl vló meghtározását szintén ngyon sokszor hsználjuk gykorltbn Összefogllv tehát egy mátrixnk egy vektorrl vló blról szorzásként (ya) olyn vektort kpunk, mely z lábbi két módon is számíthtó: - z eredményvektor mátrix sorvektorink vektor elemeire vett lineáris kombinációj, - z eredményvektor elemei mátrix oszlopvektorink és vektornk skláris szorzt Péld: Legyenek dott z AR mátrix és z yr vektor Számítsuk ki z ya vektort! A 5, y Az ya művelet elvégezhető méretek mitt, z eredményvektor dimenziós lesz ya 5 A fenti művelet Flk-sémávl egyszerűbben elvégezhető, így is elvégezzük műveletet 5 - A y - - ya Vektor-mátrix szorzási művelet elvégzésénél Flk-sémától eltérő sémávl is dolgozhtunk Ekkor vektort mátrix bl oldlár rjzoljuk fel z lábbi módon 8

19 ya y A - ya ( ) A műveletvégzés itt is szemléletesebb Az elemenkénti számolásnál mátrix oszlopvektorit kell mellette lévő vektorrl sklárisn szorozni, így z összeszorzndó tényezők könnyebben megtlálhtók A lineáris kombinációvl történő számolás is szemléletesebb, mert sorvektorok lineáris kombinációját kell venni és lineáris kombinációbn szereplő számok sorvektor elött vnnk Megjegyzés: A mátrix-vektor ill vektor-mátrix szorzás, mint említettük, sokszor előfordul gykorltbn, ezért közöljük műveletek főbb tuljdonságit: A( x + y) = Ax + Ay ( y z) A = ya + za A( x) = ( Ax) ( y) A = ( ya) y(ax) = (ya)x Ezek tuljdonságok egyszerűen kiolvshtók mátrixszorzás tuljdonságiból Az utolsó tuljdonság mitt zárójelezés el is hgyhtó, z eredmény egy sklár szám, mi írhtó egyszerűen z yax lkbn is Péld: Legyen dott z előző két péld mátrix és két vektor Számítsuk ki z yax számértéket! Célszerű számításhoz z lábbi sémát hsználni, mely művelet elvégezhetőségét is szemléletesen muttj - x y A A számítást úgy végezzük, hogy végigmegyünk mátrix elemein és z elemeket megszorozzuk sorbn, illetve z oszlopbn lévő vektorelemekkel, zz m n yax y x i j A számítás eredménye: yax = + (-) + + = Jvsoljuk z olvsónk művelet elvégzését z (ya)x és z y(ax), zz két vektor skláris szorztánk lkjábn is i ij j 9

20 Megállpodás: A sorvektor és z oszlopvektor szorzását bemuttó részben írtunk először sorvektor és z oszlopvektor megkülönböztetéséről A sorvektort trnszponálássl jelöltük Két vektor skláris szorztár bevezettük z T b mátrixszorztos jelölést, ennek ellenére hsználtuk z b jelölést is Az oszlopvektor és sorvektor szorzását bemuttó részben, didikus szorzásnál z b T mátrixszorztos jelölést hsználtuk, ennek ellenére z b jelölést is hsználtuk Sőt sorvektor és mátrix szorzását bemuttó részben szó volt sorvektorról (y), de nem hsználtuk trnszponálás jelét Olyn szorzási műveletekben, hol csk két vektor, ill csk egy vektor és egy mátrix szerepel, elhgyhtó trnszponálás jele, de ezt megállpodást illik közölni Ezek műveletek fordulnk elő ugynis leggykrbbn különböző gykorlti problémák tárgylásábn Mi is közöljük jelölésbeli megállpodást, tehát: - két vektor skláris szorzását z b vektorszorztos szimbólumml jelöljük z T b mátrixszorztos felírás helyett, - egy mátrix és egy vektor szorzásánál - mátrixnk vektorrl blról vló szorzását z ya vektorszorztos szimbólumml jelöljük z y T A mátrixszorztos felírás helyett, - mátrixnk vektorrl jobbról vló szorzását z Ax vektorszorztos szimbólummml jelöljük, mi zonos Ax mátrixszorztos felírássl, - z yax vektorszorztos jelölést hsználjuk z y T (Ax) és z zonos eredményt dó (ya) T x mátrixszorztos felírás helyett A lábbikbn megpróbálom megvilágítni vektorszorztos jelölésmód problemtikáját Az Ax vektor és z y vektor skláris szorzását kétféleképpen is írhtjuk: - vektorszorztos írásmód: (Ax)y vgy y(ax), kommuttivitás mitt, - mátrixszorztos írásmód: (Ax) T y vgy y T (Ax), szintén kommuttivitás mitt A (Ax)y típusú vektorszorztos írásmódnál vigyázni kell z sszocitivitás hsználtár, itt zárójelezés nem hsználhtó Nem írhtó, hogy A(xy) Az (Ax) T y mátrixszorztos írásmódnál fel sem merülhet másfjt zárójelezés Írhtó zonbn, hogy (x T A T )y Itt már zárójelezhetünk Tehát bonyolultbb mátrix-vektoros műveleteknél nem lehet eltérni mátrixszorztos jelöléstől Mi sem térünk el ettől Miért hsználjuk mégis vektorszorztos írásmódot néhány speciális esetben? Ezek speciális esetek következők: két vektor skláris szorzt (xy), mátrix és vektor jobbról ill blról szorzás (Ax, ya), mátrix és vektor szorzás blról és jobbról (yax) Ennek egyik okáról (gykori előfordulás) már írtunk, másik ok következő: A tpsztlt szerint ngyon sok (főleg közgzdságtni) könyvben megtlálhtó fent leírt jelölésmód Kevesebben hsználják viszont két vektor didikus szorzásánál z b szimbólumot z b T mátrixszorztos felírás helyett Ezt mi sem hsználjuk, didikus szorzásnál megmrdunk mátrixszorztos írásmód mellett Mivel e segédletet főleg közgzdász hllgtók hsználják, ezért trtottm célszerűnek z eltérést mátrixszorztos írásmódtól, helyette vektorszorztos formát hsználom Még néhány szót szólnunk kell rról, hogy mátrixok sorvektorink jelölésére miért nem hsználjuk trnszponálás jelét Az i-edik sorvektor jelölésére mi z (i) szimbólumot

21 T hsználjuk H z i jelölést hsználnánk, kkor ez nem lenne egyértelmű, hiszen gondolhtnánk z i oszlopvektor trnszponáltjár is, ezért szokásos z it jelölés A megállpodásunkt tehát kiegészítjük zzl, hogy mátrix sorvektorit z (i) szimbólumml jelöljük, itt sem hsználjuk trnszponálást, kihngsúlyozás mitt hsználjuk felső indexben zárójelet A mátrixműveletek gykorlásár oldjuk meg z lábbi példát A péld rr is szolgál, hogy bonyolult képlettel leírt műveletnél mindenképpen mátrixszorztos felírást kell hsználni Péld: Legyen dott z AR és BR mátrix, vlmint z R és br vektor Htározzuk meg z AA T b T B művelet eredményét! A,, B b A művelet elvégezhető, mert szükséges cstlkozások érvényesek, ugynis eredmény ( )( )( )( )( ) ( ) Mivel mátrixszorzás művelete sszocitív, így bárhogyn zárójelezhető kiszámítndó kifejezés A művelet eredménye z lábbi A számítást lépésekben, blról jobbr hldássl végeztük Először z AA T, mjd z (AA T ), stb műveleteket végeztük el 8 T T AA b B A műveletvégzést Flk-sémávl sokkl egyszerűbb elvégezni, kisebb tévesztési lehetőség és sokkl kevesebbet kell írni A sém jobb lsó srkából olvshtó ki z AA T b T B művelet eredményét dó mátrix Jvsoljuk z olvsónk, hogy végezze el z (AA T )(b T )B és z A(A T )(b T B) formábn is műveletet

22 A mátrixszorzás további számítási módszerei Legyenek dottk z AR m k és BR k n mátrixok Legyenek z A mátrix oszlopvektori,, () () ( m), k ; sorvektori,,, Legyenek B mátrix oszlopvektori b, b, () () ( k ), bn ; sorvektori b, b,, b Legyenek C=AB szorztmátrix elemei c ij, z oszlopvektori c, c,, cn ; sorvektori () () ( m) c, c,, c Az lábbikbn újr elemezzük mátrixszorzást, z itt levezetésre kerülő számítási módszerek is gykrn előfordulnk gykorlti feldtokbn Összefogllv megmuttjuk további számítási módszereket, mindegyik számítási mód egyszerűen levezethető mátrixszorzás lpdefiníciójából Jvsoljuk z olvsónk ezek mélyebb átgondolását Célszerű Flk-sémát is hsználni A szorztmátrix egy-egy elemének meghtározás (ez definíció) Az AB mátrixszorzás definíciój szerint z eredménymátrix egy-egy elemét egy-egy skláris szorzássl számítjuk ki, képletben c ij ( i) b b, j megismételve, tehát z első helyen álló mátrix sorvektorát sklárisn szorozzuk második helyen álló mátrix oszlopvektorávl A szorztmátrix egy-egy oszlopvektoránk meghtározás Az AB szorztmátrix egy dott oszlopánk elemeit (pl j-edik oszlopot) úgy htározzuk meg, hogy z A mátrix sorvektorit sklárisn rendre megszorozzuk B mátrix j-edik oszlopvektorávl Ez, vlójábn már megismert, mátrix és oszlopvektor szorzásnk felel meg, így c Ab, z eredménymátrix mg pedig z lábbik szerint írhtó: j j k p C AB Ab Ab Ab n ip pj A mátrix és vektor szorzásánk lineáris kombinációvl vló megfoglmzásából z is megállpíthtó, hogy szorztmátrix j-edik oszlopvektor z A mátrix oszlopvektorink b j oszlopvektor elemeire vett lineáris kombinációj, zz c j b j b j bkj k A szorztmátrix egy-egy sorvektoránk meghtározás Az AB szorztmátrix egy dott soránk elemeit (pl z i-edik sort) úgy htározzuk meg, hogy z A mátrix i-edik sorvektorát sklárisn rendre megszorozzuk B mátrix oszlopvektorivl Ez, vlójábn már megismert, sorvektor és mátrix szorzásnk felel ( i) ( i) meg, így c B, z eredménymátrix mg pedig z lábbik szerint írhtó:

23 () B () B C AB ( m) B A vektor és mátrix szorzásánk lineáris kombinációvl vló megfoglmzásából z is megállpíthtó, hogy szorztmátrix i-edik sorvektor B mátrix sorvektorink z (i) sorvektor elemeire vett lineáris kombinációj, zz c b b b ( i) () () ( k ) i i ik A szorztmátrix meghtározás didikus szorztok összegeként Most is induljunk ki mátrixszorzás definíciójából, mely szerint z eredménymátrix egyegy elemét egy-egy skláris szorzássl számítjuk ki, képletben c ij ( i) b b j k p ip pj Ismert, hogy h z A mátrix p-edik oszlopvektorát didikusn megszorozzuk z B mátrix p-edik sorvektorávl, kkor olyn mátrixot kpunk, melynek ij eleme z lábbi ( p) pb ipbpj Ezt behelyettesítve fenti c ij képletbe, kpjuk, hogy c ij ij ( p) pb k p melyből C eredménymátrix zonnl dódik:, ( p) C AB b, vgyis C eredménymátrix A mátrix indexben zonos oszlopvektoránk és B mátrix indexben zonos sorvektoránk didikus szorztából dódó mátrixok összege Az összefüggésekben didikus szorzást z p b (p) szimbólumml jelöltük, nem hsználtuk, sem mátrixszorztos, sem vektorszorztos jelölést, mivel mátrixnk vektoriról volt szó és zok indexeléséből láthtó, hogy oszlopvektort szorzunk sorvektorrl k p p ij 5 Mátrix htványozás H egy A mátrix sorink és oszlopink szám megegyezik (négyzetes mátrix), kkor elvégezhető z AA művelet, melyet mátrix négyzetének nevezünk és A -el jelölünk Hsonlón értelmezhető z A, A, stb htvány is, áltlánosn A n = AAA (A n-szer ismétlődik tényezőként) Az AAA htványművelet mátrixszorzás sszocitivitás mitt bárhogyn zárójelezhető Igz például, hogy A 9 = A A 5 = A A A

24 Péld: Legyen dott z AR mátrix Számítsuk ki z A htványt! A Az A művelet elvégezhető méretek mitt, z eredménymátrix rendje lesz A műveletet lépésekben végezzük el, először z A = AA, mjd z A = A A, végül pedig z A = A A számítás következik 87 7 A AAAA A fenti művelet Flk-sémávl egyszerűbben elvégezhető, így is elvégezzük műveletet A A Flk-sémánk megfelelő módon leírjuk kétszer z A mátrixot, felkészülve z AA szorzásr Ennek elvégzése után felírjuk z A mátrixot, felkészülve z A A szorzásr, Hsonlón végezzük z A A szorzást is Így z lsó részen második mátrix z A, hrmdik mátrix z A, z utolsó mátrix pedig keresett A mátrix A Flk-sém segítségével sokkl kevesebb írássl végezhető el művelet Az sszocitiv tuljdonságot felhsználv, z A = A A műveletvégzéssel hmrbb eredményhez jutunk, ezt muttj z lábbi számolás A Speciális mátrixok Négyzetes mátrix Az A mátrix négyzetes vgy más szóvl kvdrtikus, h sorink és oszlopink szám megegyezik Az A n x n-es négyzetes mátrix rendje n Egy négyzetes mátrix és nn elemeit összekötő vonlt mátrix főátlójánk nevezzük A főátlóbeli elemeket tehát

25 zok mátrixelemek lkotják, melyeknek sor- és oszlopindexe zonos Az n és n elemeit összekötő vonlt pedig mátrix mellékátlójánk nevezzük Szimmetrikus és ferdén szimmetrikus mátrix Egy négyzetes mátrix szimmetrikus, h ij = ji, zz főátlór szimmetrikusn elhelyezkedő elemek zonosk Egy négyzetes mátrix ferdén szimmetrikus, h ij = - ji, zz főátlór szimmetrikusn elhelyezkedő elemek ellenkező előjelüek, de bszolút értékük zonos Mátrixjelöléssel megfoglmzv fentieket: z AR n n mátrix szimmetrikus, h A=A T, ferdén szimmetrikus, h A= -A T Egységmátrix Az egységmátrix olyn négyzetes mátrix, melynek főátlójábn -es, többi helyen pedig zérus áll Az egységmátrix sori és oszlopi is egységvektorok úgy, hogy z sorvektor és z oszlopvektor z első egységvektor, sorvektor és oszlopvektor második egységvektor, stb Jele: E vgy I Péld: Egy x-es egységmátrix z lábbi: E Inverzmátrix Az egységmátrixhoz kpcsolódón definiáljuk z inverz mátrixot Az A négyzetes mátrix inverz mátrixán (vgy röviden inverzén) zt z X négyzetes mátrixot értjük, melyre AX = XA = E, hol E z egységmátrix Az A mátrix inverzének jelölésére szokás z A - jelölést hsználni A mátrix inverze sklár szám inverzével (reciprokávl) nlóg módon vn definiálv, ugynis egy szám inverze z z x szám, melyre x=, tehát x= - =/ A mátrixok körében zonbn z X=E/A nem írhtó, mivel z osztás nincs értelmezve Részletesebben is megvizsgáljuk z inverzmátrixot - Tudjuk, hogy z AX mátrix oszloponkénti számítás z lábbi, hol x j z inverzmátrix j-edik oszlopvektor: AX Ax Ax Ax n Az E=AX definícióból írhtó, hogy e j =Ax j, mi lineáris kombinációvl megfoglmzv következőképpen írhtó: e j Ax j x j x j xnjn 5

26 Ez utóbbiból kiolvshtjuk, hogy z inverzmátrix oszlopink elemei rr dnk válszt, hogy z A mátrix oszlopvektorink milyen lineáris kombinációj állítj elő z egységvektorokt - Tudjuk, hogy z XA mátrix soronkénti számítás z lábbi, hol x (i) z inverzmátrix i-edik sorvektor: () x A () x A XA ( m) x A Az E=XA definícióból írhtó, hogy e i =x (i) A, mi lineáris kombinációvl megfoglmzv következő: () () ( n) e x x x i i i Ez utóbbiból kiolvshtjuk, hogy z inverzmátrix sorink elemei rr dnk válszt, hogy z A mátrix sorvektorink milyen lineáris kombinációj állítj elő z egységvektorokt Az inverzmátrix meghtározását e segédletben nem ismertetjük, csupán megmuttjuk -es mátrix inverzének egyszerű meghtározását: b d b A A c d d bc c Az inverzmátrix helyességének megállpítását z olvsór bízzuk H z inverzmátrixot z u v A w z formábn keresi és definíciót hsználj z olvsó, kkor megtpsztlhtj, hogy z inverzmátrix elemeit két drb kétismeretlenes lineáris egyenletrendszer megoldás szolgálttj in 5 Permutáció mátrix A permutáció mátrix olyn négyzetes mátrix, melynek minden sorábn és oszlopábn pontosn egy drb -es áll, többi elem zérus Tehát sori és oszlopi is egységvektorok, de fontos, hogy ezek egymástól különbözőek, így minden sorbn és minden oszlopbn pontosn egy drb -es vn Péld: Egy x-es permutáció mátrix z lábbi: P 6

27 6 Digonális mátrix A digonális mátrix olyn négyzetes mátrix, melynek digonális (főátlóbn lévő) elemein kívüli elemei zérusok Péld: Egy x-es digonális mátrix z lábbi: 5 D 7 A digonális mátrixot vektor segítségével is meg lehet dni úgy, hogy vektor elemei digonális mátrix elemei A példbeli D mátrixot d=(5,, -, 7) vektorrl is megdhtjuk A digonális mátrixot ekkor <d> szimbólumml jelöljük, zz D=<d> Műveletek speciális vektorokkl és mátrixokkl A következőkben megvizsgáljuk speciális elemekkel vló műveletek eredményét A műveletekben szereplő vektorok és mátrixok méretét olynnk tekintjük, milyen művelet elvégzéséhez szükséges, zz konformábilisnek Az lábbi állítások mindegyike műveletek definíciójából nyilvánvló Egységvektorrl vló szorzás ) H egy vektort sklárisn z i-edik egységvektorrl szorozzuk, kkor vektor i-edik koordinátáját kpjuk, zz e i = e i = i b) H egy mátrixot j-edik egységvektorrl jobbról szorzunk, kkor mátrix j-edik oszlopvektorát kpjuk, zz Ae j = j Az Ae j vektor z A mátrix oszlopvektorink z e j egységvektorrl vett lineáris kombinációj, lineáris kombinációbn pedig csk j-edik tg nem zérus c) H egy mátrixot z i-edik egységvektorrl blról szorzunk, kkor mátrix i-edik sorvektorát kpjuk, zz e i A = (i) Az e i A vektor z A mátrix sorvektorink z e i egységvektorrl vett lineáris kombinációj, lineáris kombinációbn pedig csk z i- edik tg nem zérus d) H egy mátrixot z i-edik egységvektorrl blról és j-edik egységvektorrl jobbról szorzunk, kkor mátrix ij elemét kpjuk, zz e i Ae j = ij Összegzővektorrl vló szorzás ) H egy vektort sklárisn z összegzővektorrl szorzunk (x=x), kkor vektor elemeinek összegét kpjuk b) H egy mátrixot z összegzővektorrl jobbról szorzunk (A), kkor mátrix minden sorár sorbn lévő elemek összegét kpjuk Az A vektor elemei sorvektorok 7

28 összegzővektorrl vló skláris szorzti, így A vektor elemei sorvektorok elemeinek összege c) H egy mátrixot z összegzővektorrl blról szorzunk (A), kkor mátrix minden oszlopár z oszlopbn lévő elemek összegét kpjuk Az A vektor elemei z oszlopvektorok összegzővektorrl vló skláris szorzti, így A vektor elemei oszlopvektorok elemeinek összege d) H egy mátrixot z összegzővektorrl blról is és jobbról is szorzunk (A), kkor mátrix elemeinek összegét kpjuk Egységmátrix-szl vló szorzás H egy vektort ill egy mátrixot z egységmátrix-szl szorzunk, kár jobbról, kár blról, z eredeti vektort ill mátrixot kpjuk, zz Ex=x, ye=y, AE=A, EB=B Permutáció mátrix-szl vló szorzás ) H egy vektort permutáció mátrix-szl szorzunk yp lkbn, kkor szorzás z y vektor elemeinek sorrendjét cseréli fel Az elemek új helyét permutáció mátrix oszlopvektorink, mint egységvektoroknk sorrendje htározz meg Az yp vektor j-edik eleme yp j H p j =e k, kkor j-edik elem yp j =ye k =y k Például fenti P permutáció mátrix esetén yp = (y, y, y, y ) b) H egy vektort permutáció mátrix-szl szorzunk Px lkbn, kkor szorzás z x vektor elemeinek sorrendjét cseréli fel Az elemek új helyét permutáció mátrix sorvektorink, mint egységvektoroknk sorrendje htározz meg A Px vektor i- edik eleme p (i) x H p (i) =e k, kkor p (i) x=e k x=x k Például fenti P permutáció mátrix esetén Px = (x, x, x, x ) c) H egy mátrixot permutáció mátrix-szl szorzunk AP lkbn, kkor szorzás z A mátrix oszlopvektorink sorrendjét cseréli fel Az oszlopvektorok új helyét permutáció mátrix oszlopvektorink, mint egységvektoroknk sorrendje htározz meg Az AP mátrix j-edik oszlopvektor Ap j H p j =e k, kkor j-edik oszlopvektor Ap j =Ae k = k Például fenti P permutáció mátrix esetén z AP olyn mátrix, melynek első oszlopvektor z eredeti, oszlopvektor z eredeti, oszlopvektor z eredeti, oszlopvektor pedig z eredeti oszlopvektor d) H egy mátrixot permutáció mátrix-szl szorzunk PA lkbn, kkor szorzás z A mátrix sorvektorink sorrendjét cseréli fel A sorvektorok új helyét permutáció mátrix sorvektorink, mint egységvektoroknk sorrendje htározz meg A PA mátrix i-edik sorvektor p (i) A H p (i) =e k, kkor z i-edik sorvektor p (i) A=e k A= (k) Például fenti P permutáció mátrix esetén PA olyn mátrix, melynek első sorvektor z eredeti, sorvektor z eredeti, sorvektor z eredeti, sorvektor pedig z eredeti sorvektor 8

29 5 Digonális mátrix-szl vló szorzás ) H egy vektort digonális mátrix-szl szorzunk kár jobbról kár blról (Dx vgy yd), kkor szorzás vektor i-edik elemét megszorozz digonális mátrix i-edik digonál elemével, zz d ii -vel vgy D=<d> jelölés esetén d i vektorelemmel Például fenti D digonális mátrix esetén Dx = xd = (5x, x, (-)x, 7x ) b) H egy mátrixot digonális mátrix-szl szorzunk AD lkbn, kkor szorzás mátrix megfelelő oszlopvektorit megszorozz digonális mátrix megfelelő digonális elemeivel, zz j-edik oszlopvektort j-edik digonál elemmel d jj -vel, vgy D=<d> jelölés esetén d j vektorelemmel Az AD mátrix j-edik oszlopvektor Ad j Mivel d j =d jj e j, így Ad j = d jj Ae j = d jj j Például fenti D digonális mátrix esetén AD olyn mátrix, melynek első oszlopvektor z eredeti 5-szöröse, oszlopvektor z eredeti -szoros, oszlopvektor z eredeti (-)-szerese, oszlopvektor z eredeti 7-szerese lesz c) H egy mátrixot digonális mátrix-szl szorzunk DA lkbn, kkor szorzás mátrix megfelelő sorvektorit megszorozz digonális mátrix megfelelő digonális elemeivel, zz z i-edik sorvektort z i-edik digonál elemmel d ii -vel vgy D=<d> jelölés esetén d i vektorelemmel A DA mátrix i-edik sorvektor d (i) A Mivel d (i) =d ii e i, így d (i) A= d ii e i A= d ii (i) Például fenti D digonális mátrix esetén DA olyn mátrix, melynek első sorvektor z eredeti 5-szöröse, sorvektor z eredeti -szoros, sorvektor z eredeti (-)- szerese, sorvektor z eredeti 7-szerese lesz d) H egy digonális mátrixot k-dik htványr emelünk, kkor szintén digonális mátrixot kpunk, melyben digonális elemek z eredeti digonális elem k-dik htványi lesznek Összefogllv megállpíthtó, hogy egy mátrix sorvektorink cseréjét vgy számml vló szorzását blról vló szorzássl, egy mátrix oszlopvektorink cseréjét vgy számml vló szorzását jobbról vló szorzássl lehet megvlósítni Cserénél permutáció mátrixot, számml vló szorzásnál digonális mátrixot hsználunk 9

30 Vektor- és mátrixműveletek gykorlás szöveges példákkl Az előzőekben olyn példákt ismertettünk, melyeknek z volt célj, hogy begykoroljuk mátrix és vektor műveleteket Tehát megdtuk mátrixokt, vektorokt és ki kellett számítni kijelölt műveleteket Megmutttuk mátrixműveletek kiszámítását segítő sémák lklmzását is A következőkben olyn példákt veszünk sorr, melyben dott egy problém és nnk megoldását mátrixműveletekkel kell megdnunk Ez sokkl nehezebb feldt lesz, itt kristálytisztán kell ismerni műveleteket, hiszen nekünk kell megtlálni sokfjt mátrixművelet közül helyeset Áltlánosságbn elmondhtó, hogy zokt feldtokt, melyekben konkrét számdtok vnnk, sokkl könnyebb megoldni Ezért z ismeretek mélyebb elsjátítás mitt megoldunk olyn feldtokt is, melyekben nem szerepelnek számdtok Péld: Egy válllt terméket (T) gyárt és mindegyiket ugynbból -féle lktrészből (A) szereli össze csk más-más mennyiségben Egy drb termék előállításához szükséges lktrészek számát z lábbi táblázt trtlmzz Az egyes termékekből megrendelt mennyiség rendre 5, 7,, drb Az lktrészek egységári rendre,, pénzegység T T T T A 5 A A Adj meg válszt z lábbi kérdésekre mátrixműveletek segítségével! ) Az egyes lktrészekből hány drb szükséges megrendelés teljesítéséhez? b) Mennyi z egyes termékek nygköltsége? c) Mennyi megrendeléshez szükséges nygköltség? d) Az egyes termékekbe összesen hány drb lktrészt kell beszerelni? Megoldás: A megrendelt mennyiségeket és z árkt rendezzük vektorokb, z x vektor legyen megrendelés vektor, p pedig z árvektor, zz q = (5, 7,, ), p = (,, ) Az lktrészszükségletet trtlmzó tábláztból pedig készítsük el z A lktrészszükséglet mátrixot, mely z lábbi: 5 A Válsz z ) kérdésre: Az egyes lktrészekből hány drb szükséges megrendelés teljesítéséhez? Az első termék egy drbj előállításánk lktrészszükségletét lktrészenként z oszlopvektor dj H z első termékből 5 drbot kell előállítni, kkor ennek lktrészszükséglete 5 Mind négy terméknél hsonlón htározhtó meg z

31 lktrészszükséglet A megrendeléshez szükséges lktrészszükségletet ezek összege dj, zz: Ez pedig z A mátrix oszlopvektorink lineáris kombinációj, miből következik, hogy z lktrészszükségletet z Aq mátrix-vektor művelettel írhtjuk le Okoskodhtunk z lábbik szerint is: Az első lktrészből teljes megrendeléshez szükséges mennyiséget úgy kpjuk, hogy mind termék esetén kiszámítjuk z első lktrészből szükséges mennyiséget és ezeket összedjuk, zz , ez pedig vektorműveletekkel z () q skláris szorzt lkbn írhtó Hsonlón számíthtó és lktrészből szükséges mennyiség, melyek () q és () q H ezeket mennyiségeket z () q () q () q vektorb foglljuk, zonnl láthtó mátrixszorzás definíciójából, hogy itt egy mátrixvektor szorzásról (jobbról szorzás) vn szó, zz keresett művelet z Aq A mátrixműveletes megoldás: 5 Aq Mint korábbn láttuk, célszerű számítást egy sémábn végezni Érdemes sémáb nem csk számdtokt beírni, hnem mátrix sorir ill oszlopir jellemző információkt is Ez sokkl jobbn megkönnyíti művelet megállpítását is ezért célszerű feldtmegoldás első lépéseként felrjzolni sémát A számolás sémáj: q 5 7 T T T T A 5 6 A A Aq A 8 Válsz b) kérdésre: Mennyi z egyes termékek nygköltsége? Az első lktrészből z lktrészszükségletet termékenként z () sorvektor dj H z első lktrész ár pénzegység, kkor termékenkénti lktrészszükséglet pénzben kifejezve, zz z nygköltség () Mind három lktrésznél hsonlón htározhtó meg nygköltség A termékenkénti nygköltség tehát

32 () + () + () Ez pedig z A mátrix sorvektorink lineáris kombinációj, miből következik, hogy termékenkénti nygköltséget pa vektor-mátrix művelettel írhtjuk le Okoskodhtunk z lábbik szerint is: Az első termékhez z nygköltséget úgy kpjuk, hogy mind lktrész esetén kiszámítjuk z nygköltséget és ezeket összedjuk, zz 5 + +, ez pedig vektorműveletekkel p skláris szorzt lkbn írhtó Hsonlón számíthtó, és termék nygköltsége H ezeket mennyiségeket p p p p vektorb foglljuk, zonnl láthtó mátrixszorzás definíciójából, hogy itt egy vektormátrix szorzásról (blról szorzás) vn szó, zz keresett művelet z pa A mátrixműveletes megoldás: pa 5 A számításokt z lábbi sémábn is elvégezzük 7 T T T T A 5 p A A A Válsz c) kérdésre: Mennyi megrendeléshez szükséges nygköltség? 7 pa Az előző számításból ismert, hogy megrendelés teljesítéséhez lktrészenként mennyi lktrész szükséges (Aq) Az lktrészmennyiségeket rendre meg kell szorozni z lktrészárkkl és szorztokt össze kell dni, hogy megkpjuk megrendeléshez szükséges nygköltséget Ez egy skláris szorzássl, mégpedig p(aq) skláris szorzttl dhtó meg Az eredmény: p(aq) = 6++8=8 Természetesen ugynezt z eredményt kpjuk, h z egyes termékek nygköltségét (pa vektor elemeit) rendre megszorozzuk megrendelésekkel és ezeket összegezzük, zz ekkor (pa)q skláris szorzttl számolhtjuk ki z nygköltséget Az eredmény: (pa)q=5+7+7+=8 Mint tudjuk áltlánosn is igz, hogy p(aq)=(pa)q, ezért ezt szokás paq lkbn is írni Ennek számítását z lábbi sémábn végezzük el:

33 5 7 q T T T T A 5 p A A A Az eredmény: paq = =8 Jvsoljuk z olvsónk, hogy értelmezze z nygköltség paq lkbn történő számítását Válsz d) kérdésre: Az egyes termékekbe összesen hány drb lktrészt kell beszerelni? Az egyes termékekbe beszerelendő lktrészek számánk meghtározásához z A mátrix egyes oszlopibn lévő lktrész drbszámokt kell összedni Ezt pedig z összegzővektorrl vló szorzássl vlósíthtjuk meg Mivel oszlopösszegekről vn szó, így blról szorzást kell lklmzni, zz megoldást mátrixműveletekkel z A formulávl foglmzhtjuk meg, melynek eredménye: A=(8, 5, 7, 7), hol =(,, ) Péld: Legyen féle gyümölcslé (G), melyeknek elegyítéséből féle gyümölcskoktélt (továbbikbn koktélt) (K) készítünk A felhsznált gyümölcslevekben 5 féle vitmin (V) vn Az lábbi tábláztok következő dtokt trtlmzzák: - koktélok előállításához szükséges gyümölcslé mennyiséget (G-K táblázt), - gyümölcslevek egységnyi mennyiségében tlálhtó vitmin mennyiséget (G-V táblázt), - gyümölcslevek egyságárát (eár), - gyümölcslevekből vásárolt mennyiséget (vm), - koktélokból előállított mennyiséget (eám), - z egyes vitminokból előírt mennyiséget (eím) K K K K eár vm V V V V V 5 G 5 5 G G G G G eám eív Mielőtt kérdéseket feltennénk, tábláztbn szereplő dtokból definiáljuk mátrixokt és vektorokt Két mátrixot dunk meg, z A és B mátrixot Az A mátrix ij eleme jelölje zt, hogy z j-edik koktél előállításához z i-edik gyümölcsléből mennyit hsználunk fel Az A mátrix (i) sorvektor z i-edik gyümölcsléből z egyes koktélokhoz szükséges mennyiséget, z j oszlopvektor j-edik koktélhoz szükséges gyümülcslé mennyiséget muttj A B mátrix b ij eleme jelentse zt, hogy z i-edik gyümölcslé egységnyi mennyiségében mennyi vitmin vn j-edik fjt vitminból A B mátrix b (i) sorvektor z i-edik

34 gyümölcslé vitmintrtlm z egyes vitminokból, b j oszlopvektor z egyes gyümölcslevek vitmintrtlm j-edik vitminból A p vektor p i eleme jelölje z i-edik gyümölcslé egységárát A q vektor q i eleme jelölje z i-edik gyümölcsléből vásárolt mennyiséget A v vektor v i eleme jelölje z i-edik koktélból előállított mennyiséget A d vektor d i eleme jelölje z i-edik vitminból előírt mennyiséget A példbeli mátrixok és vektorok következők: A, 5 B, p, 5 q, v, 5 6 d 5 7 Adj meg válszt z lábbi kérdésekre mátrixműveletek segítségével! Mennyi z elkészített koktélok egységár? Az árnál csk gyümölcslevek árát vegyük figyelembe! A gyümölcslé összekeverésével keletkező egyes koktélokbn z egyes vitminokból mekkor mennyiségű vitmin vn? Mennyi pénzből tudjuk előállítni v vektornk megfelelő mennyiségben készült koktélokt? Az árnál csk gyümölcslevek árát vegyük figyelembe! Vn-e K koktélbn d vektor áltl előírt mennyiség? 5 Mennyi koktél állíthtó elő q mennyiségben vásárolt gyümölcslevekből? Válsz z kérdésre: Mennyi z elkészített koktélok egységár? Az árnál csk gyümölcslevek árát vegyük figyelembe! Az egyes koktélok előállításához z i-edik gyümölcsléből szükséges mennyiséget z (i) sorvektor dj, h ezt megszorozzuk G i gyümölcslé árávl, p i -vel, kkor pénzben kifejezett G i gyümölcslé mennyiséget kpjuk, p () + p () + p () dj három gyümölcslé elegyítésével kpott koktélok egységárát, mely sorvektorok lineáris kombinációj, ezt pedig pa mátrixszorzásnk felel meg Másképpen gondolkodv: A j-edik koktél gyümölcslé trtlmát z j oszlopvektor muttj, h ennek elemeit z egyes gyümölcslé árkkl beszorozzuk és szorztokt összedjuk, kkor K j koktél gyümölcslé trtlmát kpjuk pénzben kifejezve, mely képletben p j Az összes koktélr pedig p vektor és z oszlopvektorok skláris szorzt, zz pa mátrixszorzás dj z eredményt pa 5 6 6