VEKTOROK ÉS MÁTRIXOK

Átírás

1 DR NAGY TAMÁS VEKTOROK ÉS MÁTRIXOK Miskolc, A bemuttott kuttó munk TÁMOP-B-//KONV-- jelű projekt részeként z Európi Unió támogtásávl, z Európi Szociális Alp társfinnszírozásávl vlósul meg This reserch ws crried out s prt of the TAMOP-B-//KONV-- project with support by the Europen Union, co-finnced by the Europen Socil Fund

2 TARTALOMJEGYZÉK Vektorok A vektor foglm Műveletek vektorokkl Összedás Sklárrl vló szorzás 5 Lineáris kombináció6 Skláris szorzás 7 Mátrixok 9 A mátrix foglm9 Műveletek mátrixokkl Összedás Sklárrl vló szorzás Mátrixok szorzás Speciális mátrixszorzások Sorvektor és oszlopvektor szorzás (skláris szorzás) Oszlopvektor és sorvektor szorzás (didikus szorzás) Mátrix és oszlopvektor szorzás (vektorrl vló jobbról szorzás)5 Sorvektor és mátrix szorzás (vektorrl vló blról szorzás)7 A mátrixszorzás további számítási módszerei A szorztmátrix egy-egy elemének meghtározás (ez definíció) A szorztmátrix egy-egy oszlopvektoránk meghtározás A szorztmátrix egy-egy sorvektoránk meghtározás A szorztmátrix meghtározás didikus szorztok összegeként 5 Mátrix htványozás Speciális mátrixok Négyzetes mátrix Szimmetrikus és ferdén szimmetrikus mátrix 5 Egység mátrix5 Inverzmátrix 5 5 Permutáció mátrix6 6 Digonális mátrix7 Műveletek speciális vektorokkl és mátrixokkl7 Egységvektorrl vló szorzás 7 Összegzővektorrl vló szorzás7 Egységmátrix-szl vló szorzás8 Permutáció mátrix-szl vló szorzás8 5 Digonális mátrix-szl vló szorzás9 Vektor- és mátrixműveletek gykorlás szöveges példákkl Leontief-féle input-output modell 58 5 Feldtok 65

3 Vektorok A vektor foglm A vektor legrövidebb megfoglmzás: vektor egy rendezett szám n-es Bővebben kifejtve vektor tehát egy olyn mtemtiki objektum, mely n db vlós számból áll és fontos számok sorrendje is Például: =(, 7, ); b=(5, -,, -6, 78) A vektor elemeit vektor komponenseinek, koordinátáink nevezzük és zárójelbe tesszük Az vektor elemű, más szóvl - dimenziós, b vektor pedig 5-dimenziós vektor A vektor jelölésére félkövéren írt ltin kisbetűket hsználjuk:, b,, x, y,, stb A vektor elemeit vektor jelölésére hsznált, nem félkövéren írt dölt kisbetűvel jelöljük és lsóindexbe írjuk z elem sorszámát: =(,,, n ) Az n-dimenziós vektorok összességét R n -el jelöljük Az R n jelöléssel jelezzük, hogy z mtemtiki objektum n-dimenziós vektor A vektor elemeit vgy sorb vgy oszlopb rendezve írjuk fel Zárójelként hsználhtunk kerek vgy szögletes zárójelet is Például sorvektorként z =(,,, n ) vgy z =[,,, n ] vgy oszlopvektorként z vgy z n n jelölés is hsználhtó Nyilvánvló, hogy sorvektorként vgy oszlopvektorként vló felírás ugynzokt z információkt trtlmzzák, hiszen számok és zok sorrendje megegyezik mindkét jelölésnél A mátrixok ismertetésénél fogjuk mjd megérteni két jelölés közötti különséget Ott mjd látjuk, hogy meg is különböztetjük őket egy jelöléssel A vektorok között három speciális vektort ismertetünk Mindegyik dimenzióbn értelmezzük ezeket speciális vektorokt Zérusvektor: =(,,,, ) A zérusvektor minden eleme zérus Összegzővektor: =(,,,, ) Az összegzővektor minden eleme Egységvektor: Az n-dimenziós vektorok között n drb egységvektor vn Az első egységvektornál z elem z -es, másodiknál elem z -es stb és többi elem zérus, zz e = (,,,,, ), e = (,,,,, ), e n = (,,,,, ) Mg vektor elnevezés geometrii értelmezésből szármzik A szám -eseket és szám - sokt síkon ill térben irányított egyenes szkszként ábrázolhtjuk H sík egy A pontjából B pontjáb elmozdulunk, kkor ezt egy vektorrl (szám -essel) leírhtjuk A vektor első eleme vízszinte tengely irányáb, második eleme pedig függőleges tengely irányáb történő elmozdulást jelenti A -dimenziós vektorok is hsonlón értelmezhetők A vektor szó ltin eredetű és eredeti jelentései "szállító", "hordozó", "uts", pontosbbn zzl

4 kpcsoltos, hogy vlkit vgy vlmit egyik helyről másikb szállítnk A háromnál ngyobb dimenziójú vektoroknk már nem dhtunk geometrii szemléletet, de többdimenziós esetben is gykrn hsználunk geometrii foglmkt, mivel síkbeli és térbeli vektorok sok tuljdonság átvihető mgsbb dimenziób (Pl z ortogonlitás, más szóvl merőlegesség) Az,bR n vektorokt egyenlőnek mondjuk (jelben =b), h vektoroknk z zonos sorszámú komponenseik megegyeznek, zz i = b i, minden i=,,,n esetén Az,bR n vektorok között z b ngyságrendi reláció kkor áll fenn, h vektoroknk z zonos sorszámú komponenseire fennáll reláció, zz i b i, minden i=,,,n esetén Hsonlón értelmezzük z < b, b, > b ngyságrendi relációkt Műveletek vektorokkl Két olyn műveletet fogunk értelmezni vektorokkl, melyek eredménye is vektor, ezek műveletek z összedás és sklárrl vló szorzás Később olyn műveletet is definiálunk, melynek eredménye nem vektor, hnem egy sklár szám lesz Ezt fontos műveletet skláris szorzásnk nevezzük Összedás Csk zonos dimenziójú vektorok összedását értelmezzük Legyen =(,,, n ) és b=(b, b,,b n ) két vektor Az +b vektor ltt z lábbi vektort értjük: +b = ( +b, +b,, n +b n ) Az összegvektor elemei tehát z zonos sorszámú komponensek összege Két vektor különbségét z összedás lpján könnyen értelmezhetjük Az és b vektor különbségén zt c vektort értjük, melyre z = b+c összefüggés áll fenn, kölönbségvektort b-vel jelöljük Az b vektor elemeit z zonos sorszámú komponensek megfelelő sorrendben vett különbsége dj, képletben b = ( b, b,, n b n ) Péld: Legyen =(5, ) és b=(, ), ekkor z összegvektor: különbségvektor: +b = (5, ) + (, ) = (5+, +) = (7, 6), b = (5, ) - (, ) = (5-, -) = (, -) A két R -beli vektor összedását és kivonását geometrii úton is tudjuk szemléltetni Az és b vektorok áltl meghtározott prlelogrmm egyik átlój dj z +b összegvektort, z b különbségvektort pedig másik átló dj, mégpedig úgy, hogy különbségvektor b vektor végpontjából z vektor végpontjáb mutt Ezt szemlélteti z lábbi ábr

5 Sklárrl vló szorzás Legyen egy sklár szám A vektor ltt z lábbi vektort értjük: =(,,, n ), tehát sklárrl úgy szorzunk egy vektort, hogy minden elemét beszorozzuk sklárrl Péld: Legyen =(, ) és =, kkor = (, ) =(, ) = (6, ), h = - 5, kkor = -5 (, ) =(-5, -5 ) = (-5, -) A sklárrl vló szorzásnk szintén dhtunk geometrii szemléletet Az eredményvektor htásvonl z vektorévl zonos H >, kkor z eredményvektor irány irányávl zonos, h <, kkor z eredményvektor irány irányávl ellentétes H >, kkor nyújtásról, h < <, kkor zsugorításról beszélünk Ezeket muttj z lábbi ábr Péld: Tekintsük következő egyszerű példát, melynek megoldását fenti vektorműveletekkel dhtjuk meg Egy válllt lktrészt gyárt Legyen egy dott év első félévében gyártási 5

6 volumen lktrészenként rendre 5,, 8, 6; második félévben pedig rendre,,, 5 drb ) Mennyit termelt válllt éves szinten z egyes termékekből? b) A válllt következő év második félévében z előző év második félévi termelését mindegyik termékből %-kl meg krj növelni Mennyi lesz következő év második félévében termelés termékenként? Megoldás: Foglljuk két félév termelését egy és egy b vektorb Az első félév termelését így z =(5,, 8, 6), második félévét pedig b=(,,, 5) vektorrl írhtjuk le A keresett mennyiségeket megismert műveletekkel egyszerűen számíthtjuk: ) +b =(5+, +, 8+, 6+5)=(57, 76, 8, ), b) b=(,,, 5)=(8, 58,, 6) Péld: A vektorok összedásánk és sklárrl vló szorzásánk tuljdonsági z lábbik: Legyenek, b, c tetszőleges n-dimenziós vektorok;, tetszőleges vlós számok Ekkor + b = b + kommuttiv ( + b) + c = + ( b + c) + = (-) = ( ) ( + b) = b ( ) = ( ) = sszocitiv létezik zéruselem létezik inverzelem sklár disztributiv vektor disztributiv sklár sszocitiv létezik sklár egységelem Megjegyezzük, hogy zokt mtemtiki objektumokt, melyekben z összedás és sklárrl vló szorzás fenti 8 tuljdonsággl rendelkezik, lineáris térnek nevezzük Mivel vektorok ezeket kielégítik, ezért vektortér elnevezést is szokás hsználni Más mtemtiki objektumok is kielégítik ezeket tuljdonságokt, többek között mátrixok és egy dott intervllumbn folytonos függvények is Lineáris kombináció A fentebb definiált két művelet segítségével lineáris lgebr legfontosbb lpfoglmát lineáris kombinációt z lábbik szerint definiáljuk Legyenek,,, n zonos dimenziójú (pl m-dimenziós) vektorok és legyenek,,, n sklárok A + ++ n n vgy rövidebben írv i i n i 6

7 vektort z,,, n vektorok,,, n sklárokkl vett lineáris kombinációjánk nevezzük Péld: Legyen,, R vektorok Az lábbi ábr szemlélteti három vektor lineáris kombinációját Az eredményvektort vektorok lkott sokszög dj λ +λ +λ λ λ λ λ λ Péld: A válllt következő évi termelését termékenként z első félévben %-kl, második félévben pedig (hogy már említettük) %-kl kívánj növelni Mennyi lesz válllt következő évi termelése termékenként? Vegyük észre, hogy itt z +b vektort kell kiszámítni, mely z egyes félévek termelési vektoránk növekményre vett lineáris kombinációj: +b = (75, 5, 98, 66)+ (8, 58,, 6)= (659, 88, 8, 6) Skláris szorzás Csk zonos dimenziójú vektorok skláris szorztát értelmezzük Két vektor skláris szorztán egy sklár számot kpunk, melyet z lábbikbn definiálunk: b = b + b + + n b n = i b i Az b skráris szorztot tehát úgy kpjuk, hogy z zonos indexű vektorelemeket összeszorozzuk és szorztokt összedjuk Az és b vektorok merőlegesek egymásr (ortogonálisk), h skláris szorztuk zérus, zz b= Jvsoljuk z olvsónk, hogy ellenőrizze ezt z állítást két R -beli vektor esetében Péld: Az előző péld termékének eldási ári legyenek rendre,,, 5 Mennyi válllt első félévi árbevétele, h megtermelt termékeket fenti egységáron el is dt? n i 7

8 Jelölje p vektor z egységár vektort: p=(,,, 5) Ekkor z árbevételt egy skláris szorzássl htározhtjuk meg: p = = 8 A vektorok skláris szorzásánk tuljdonsági: b = b kommuttiv ( + b) c = c + b c ( ) b = ( b) disztributiv sklár sszocitiv (egyenlő) kkor és csk kkor, h 8

9 Mátrixok A mátrix foglm A mátrix legrövidebb megfoglmzás: mátrix egy szám mn-es Bővebben kifejtve mátrix egy olyn mtemtiki objektum, melyben vlós számok m számú sorbn és n számú oszlopbn vnnk elrendezve A mátrix ltin mtricul szóból szármzik, mely nykönyvet jelent Az elnevezés rr utl, hogy z nykönyvbeli dtokhoz hsonlón mátrixnál is számok sorokbn és oszlopokbn vnnk elrendezve A mátrix jelölésére félkövéren írt ltin ngybetűket hsználjuk: A, B,, stb A mátrix elemeit vektor jelölésére hsznált, nem félkövéren írt dölt kisbetűvel jelöljük és lsóindexbe írjuk z elem helyét meghtározó sor- és oszlopszámot Az ij elem z A mátrix i-edik soránk j-edik elemét jelenti Tehát z első helyen álló index sorindex, második z oszlopindex Az AR m n jelöléssel jelezzük, hogy z A mtemtiki objektum mn méretű mátrix Szokásos szóhsznált méretre, hogy z A mátrix rendje mn A könnyebb tájékozódás mitt célszerű z lábbikbn következő megállpodássl élni: A mátrix sorink számát m, z oszlopink számát n, z elem sorindexét i, z oszlopindexét pedig j jelöli Ettől természetesen eltérhetünk Egy m sorból és n oszlopból álló A mátrix elemeit kerek vgy szögletes zárójelbe szoktuk írni z lábbi módon A m m n n mn vgy A m m n n mn A mátrixot - főleg műveletek elvégzésének megkönnyítése érdekében - z lábbi sémávl szoktuk ábrázolni, vgyis egy tégllpb írjuk z elemeket, de ekkor nem írjuk eléje z A= jelet, legfeljebb egy nyílll jelöljük, hogy melyik mátrix sémájáról vn szó j n : : : : i i ij in A : : : : m m mj mn A mátrix felfoghtó úgy is, mint m drb egymás lá írt n-dimenziós vektor összessége, de úgy is felfoghtó, mint n drb egymás mellé írt m-dimenziós vektor összessége A sorb írt vektorokt mátrix sorvektorink, z oszlopb írt vektorokt pedig mátrix oszlopvektorink nevezzük Az i-edik sorvektort (i), j-edik oszlopvektort pedig j szimbólumml jelöljük, ezt muttj z lábbi sém: 9

10 (i) j Tehát z A mátrixot felírhtjuk z lábbi két módon is: A () () ( m) vgy A n Sémávl történő ábrázolás esetén: () () : vgy n : (m) Egy A mátrix sorink és oszlopink felcserélésével kpott mátrixot z A mátrix trnszponáltjánk nevezünk és A T -vel jelöljük A sorok és oszlopok számár nincs megkötés, csk véges természetes számok legyenek H m=, zz mátrix egyetlen sorból áll, kkor mátrixot sorvektornk tekinthetjük H n=, zz mátrix egyetlen oszlopból áll, kkor mátrixot oszlopvektornk tekinthetjük Itt tpsztlhtjuk sorvektor és z oszlopvektor megkülönböztetést Műveletek mátrixokkl A vektorokr megismert összedás és sklárrl vló szorzás hsonló mátrixok esetében is Ahogy vektoroknál már láttuk, mátrixok esetében is ngyon fontos jelentősége vn műveletben szereplő objektumok méretének Összedás Csk kkor értelmezzük, h két mátrix zonos rendű (méretű), zz sor- és oszlopméretük zonos Az A+B mátrix számításánál megfelelő indexű elemeket össze kell dni Sklárrl vló szorzás A A mátrix számításánál mátrix minden egyes elemét meg kell szorozni -vl

11 Könnyű belátni, hogy mátrixokr vontkozó összedás és sklárrl vló szorzás művelet kielégíti vektoroknál ismertetett 8 tuljdonságot, így z zonos rendű (méretű) mátrixok is lineáris teret (vektorteret) lkotnk Mátrixok szorzás Az A mátrix és B mátrix A B szorztmátrixán zt C mátrixot értjük, mely i-edik soránk j-edik elemét z lábbi módon számítjuk ki: cij ( i) b j zz z A mátrix i-edik sorvektorát ( (i) vektort) sklárisn megszorozzuk B mátrix j- edik oszlopvektorávl (b j vektorrl), kkor z eredménymátrix i-edik soránk j-edik elemét kpjuk A mátrixszorzás csk kkor végezhető el, h definícióbn szereplő skláris szorzás elvégezhető, ez pedig zt követeli meg, hogy mátrixszorzás (A B) műveletében z első helyen szereplő A mátrix oszlopink szám megegyezzen második helyen szereplő B mátrix sorink számávl Ezt z egyezőséget úgy szokták mondni, hogy z A és B mátrixok konformábilisk Az eredménymátrix sormérete z A mátrix sorméretével, z oszlopmérete pedig B mátrix oszlopméretével egyezik meg A mátrixszorzás tuljdonsági: AB BA ( AB) C = A( BC) A( B C) = AB AC ( B C) A = BA CA ( A) B ( AB) AE = EA E nem kommuttiv sszocitiv disztributiv disztributiv sklár sszocitiv A mátrixszorzás zért sem lehet áltlábn kommuttív, mert méretek nem megfelelőek, pl AR, BR 5 H esetleg el is végezhető BA fordított sorrendbeli szorzás (pl AR, BR ), kkor nem biztos, hogy z eredménymátrix (ABR ) zonos rendű z BA mátrix-szl (BAR ) Két nn-es mátrix (pl A,BR ) esetén nincs problém sem z elvégezhetőséggel sem méretekkel, de két mátrix elemei áltlábn nem zonosk A mátrixszorzás sszocitivitás lehetővé teszi tetszőleges zárójelezhetőséget Megjegyezzük, hogy másféle mátrixszorzás is elképzelhető, például Hdmrd szorzás, melynél c ij = ij b ij Hsonlón z összedáshoz, ekkor két mátrixnk zonos méretűnek kell lenni és kommuttivitás is érvényes Péld: Legyen dott két mátrix, z AR és BR mátrixok Htározzuk meg C = A B szorztmátrixot!

12 , B A A művelet elvégezhető, mivel z A mátrix oszlopmérete megegyezik B mátrix sorméretével, zz két mátrix konformábilis, mit z lábbik szerint szemléltetünk: ) ( ) )( ( eredmény Számítsuk ki z eredménymátrix c elemét: z A mátrix második sorábn lévő sorvektort kell megszorozni sklárisn B mátrix első oszlopábn lévő oszlopvektorrl Ezt z lábbikbn szemléltetjük Az egyszerűség mitt csk c elem számításához szükséges számokt tüntettük fel, félkövéren szedve A skláris szorzás eredménye, zz c = + + (-) + = = B A C Az eredménymátrix többi elemét is hsonló módon számítjuk ki, melyet z olvsó is ellenőrizhet B A C Képzeljük el, hogy ngyobb méretűek mátrixok, ekkor skláris szorzásbn szereplő elemek összepárosítás nem olyn egyszerű Célszerű ezért mátrixszorzást z lábbi sémábn felrjzolni és ekkor világosn látsznk méretviszonyok és művelet is sokkl szemléletesebben végezhető el Legyen z A mátrix m k méretű, B mátrix k n méretű Készítsünk művelet elvégzéséhez olyn sémát, melyben B mátrix sémáját ne z A mátrix sémáj mellé, hnem felcsúszttv írjuk fel Szemléletesen látszik, hogy mátrixszorzás művelete csk kkor végezhető el, h z A mátrix felett és B mátrix melletti terület négyzet (k k) lkú Az A mátrix mellett és B mátrix ltti terület pontosn C szorztmátrix helyét (m n) jelöli ki Ezt sémát, melyet Flk-sémánk nevezünk, z lábbi ábr muttj n k b j B k m A (i) c ij C=AB

13 Az A mátrix i-edik sorvektorát ( (i) ) így könnyebben össze lehet szorozni sklárisn B mátrix j-edik oszlopvektorávl (b j ), skláris szorzás eredményét (c ij ) pedig z i-edik sor és j-edik oszlop metszéspontjáb kell írni Végezzük el fenti példábn szereplő mátrixszorzást Flk-sém segítségével Az lábbi ábrábn c elem számítását szemléltettük + + B A - 5 C=AB A számítás menete következő: c = = = Péld: Az előző példábn szereplő AR és BR mátrixokkl végezzük el BA szorzást! Könnyen meggyőződhetünk ról, hogy művelet nem végezhető el, mert két mátrix nem konformábilis, ugynis ( )( ) Elvégezhető viszont B T A T szorzás, hiszen eredmény ( )( ) () A szorzás eredménye: 9 B T A T 5 6 Amennyiben könnyebbnek érzi z olvsó Flk-sémávl vló számítást, jvsoljuk, hogy végezze el műveletet nnk segítségével is Ne lepődjünk meg művelet eredményén, igz ugynis következő: (AB) T = B T A T, zz egy szorztmátrix trnszponáltj megegyezik tényező mátrixok trnszponáltjink szorztávl, de fordított sorrendben

14 Speciális mátrixszorzások Ebben pontbn külön tárgyljuk fontosságuk mitt zokt z eseteket, mikor szorzásbn szereplő mátrixok egyetlen sorrl és/vgy egyetlen oszloppl rendelkeznek Sorvektor és oszlopvektor szorzás (skláris szorzás) Legyen z AB mátrixszorzásbn z első helyen lévő mátrix olyn, melynek egyetlen sor vn Mint említettük ezt sorvektornk tekinthetjük Legyen továbbá második helyen lévő mátrix olyn, melynek egyetlen oszlop vn Ezt pedig oszlopvektornk tekinthetjük Ebben szorzásbn egy sorvektort és egy oszlopvektort kell sklárisn összeszorozni megfelelő sorrendben A művelet kkor végezhető el, h két vektor zonos méretű, zz eredmény ( n )( n) () Az eredmény egy -es mátrix, mely vlójábn egyetlen szám H jobbn megfigyeljük, kkor zt tpsztljuk, hogy ez szorzás vektorok körében megismert skláris szorzásnk felel meg A vektorok tárgylásánál nem tettünk kölönbséget sorvektor és z oszlopvektor között Itt zonbn különbséget kell tennünk Áltlábn egy vektoron mindig oszlopvektort értünk, h úgy tetszik egyetlen oszlopból álló mátrixot értünk A sorvektort pedig egyetlen sorból álló mátrixnk tekintjük A sorvektort tehát z oszlopvektor trnszponáltjként tekintjük Az oszlopvektornk megfelelő sorvektort így T jelöléssel illetjük Eszerint két vektor skláris szorztát mátrixszorztos felírásbn z T b módon jelöljük A jelölésekre később vissztérünk Péld: Legyenek dottk z, br vektorok Számítsuk ki z b vgy mátrixszorztos jelöléssel z T b skláris szorztot! 5, b A művelet elvégezhető, mivel két vektor zonos méretű Az eredmény: 5 T b b,, 5 5 A művelet áttekinthetőbben is elvégezhető, h mindegyik vektort oszlopként ábrázoljuk, mert így z zonos sorszámú elemeket könnyebben megtláljuk Oszlopvektor és sorvektor szorzás (didikus szorzás) Legyen z AB mátrixszorzásbn z első helyen lévő mátrix olyn, melynek egyetlen oszlop vn Legyen továbbá második helyen lévő mátrix olyn, melynek egyetlen sor vn Ebben szorzásbn egy oszlopvektort és egy sorvektort kell összeszorozni megfelelő sorrendben A művelet elvégezhetőségének nincs méretbeli korlátj Az m dimenziós oszlopvektor és z n-dimenziós sorvektor szorzt egy m n méretű mátrix lesz, zz

15 eredmény ( m )( n) ( m n) A művelet jelölése pedig b T Az eredménymátrix elemei: c ij = i b j A vektoroknk ezt fjt szorzását didikus szorzásnk nevezzük Sok szerző nem hsználj trnszponálás jelét, ők didikus szorzásr külön jelet hsználnk, nevezeten z b jelölést A jelölésekre később vissztérünk Péld: Legyenek dottk z R, br vektorok Számítsuk ki z b vgy mátrixszorztos jelöléssel z b T didikus szorztot!, b Az b T művelet vektorok méretétől függetlenül minden esetben elvégezhető, z eredmény egy mátrix, mely méretű Az eredmény: 8 6 T b b Úgy gondoljuk, hogy ezt műveletet célszerűbb Flk-sém segítségével elvégezni Így könnyebben ellenőrizhető z is, hogyn számíthtók z eredménymátrix sorvektori, ill oszlopvektori - b b T Az b T didikus szorzt elemenkénti számítás helyett célszerű soronként vgy oszloponként számolni Könnyen ellenőrizhető, hogy z eredménymátrix i-edik sorvektor b vektor i számml vló szorzásként, j-edik oszlopvektor pedig z vektor b j számml vló szorzásként dódnk Mátrix és oszlopvektor szorzás (vektorrl vló jobbról szorzás) Legyen z AB mátrixszorzásbn második helyen lévő mátrix olyn, melynek egyetlen oszlop vn Jelölje z oszlopvektort z x vektor A mátrixok szorzásánk definíciójából következik, hogy z Ax művelet csk kkor értelmezett, h z A mátrix oszlopmérete és z x vektor mérete megegyezik, z eredményvektor mérete pedig z A mátrix sorméretével zonos Legyen AR m n, ekkor szükségszerűen xr n, zz eredmény ( m n)( n) ( m) 5

16 6 A mátrixszorzás definíciójából dódik, hogy z Ax művelet eredménye olyn vektor, melynek elemeit z A mátrix egyes sorvektorink és z x vektornk skláris szorztként nyerjük, zz x x x Ax ) ( () () m Vizsgáljuk meg részletesebben z Ax szorzás eredményeként dódó vektort, következőt tpsztljuk n j j mj j j n j j mj n j j j n j j j m x x x x ) ( () () x x x Ax Az utolsó képletben szereplő szummábn z A mátrix j-edik oszlopvektor szerepel, ebből pedig zt olvshtjuk ki, hogy z Ax vektor nem más, mint z A mátrix oszlopvektorink z x vektor elemeire vett lineáris kombinációj, zz n x n x x Ax A mátrix és vektor szorzásánk lineáris kombinációvl vló meghtározását ngyon sokszor hsználjuk gykorltbn Összefogllv tehát egy mátrixnk egy vektorrl vló jobbról szorzásként (Ax) olyn vektort kpunk, mely z lábbi két módon is számíthtó: - z eredményvektor mátrix oszlopvektorink vektor elemeire vett lineáris kombinációj, - z eredményvektor elemei mátrix sorvektorink és vektornk skláris szorzt Péld: Legyen dott z AR mátrix és z xr vektor Számítsuk ki z Ax vektort!, 5 x A Az Ax művelet elvégezhető méretek mitt, z eredményvektor dimenziós lesz 7 5 Ax

17 A fenti művelet Flk-sémávl egyszerűbben elvégezhető, így is elvégezzük műveletet - x 7 A Ax Mátrix-vektor szorzási művelet elvégzésénél Flk-sémától eltérő sémávl is dolgozhtunk Ekkor vektort mátrix fölé rjzoljuk fel z lábbi módon x - 7 A Ax Ebben sémábn még szemléletesebb műveletvégzés Az elemenkénti számolásnál mátrix sorvektorit kell felette lévő vektorrl sklárisn szorozni, így z összeszorzndó tényezők könnyebben megtlálhtók A lineáris kombinációvl történő számolás is szemléletesebb, mert z oszlopvektorok lineáris kombinációját kell venni és lineáris kombinációbn szereplő számok z oszlopvektor fölött vnnk Ax ( ) Sorvektor és mátrix szorzás (vektorrl vló blról szorzás) Legyen z AB mátrixszorzásbn z első helyen lévő mátrix olyn, melynek egyetlen sor vn Jelölje sorvektort z y vektor A mátrixok szorzásánk definíciójából következik, hogy z ya művelet csk kkor értelmezett, h z A mátrix sormérete és z y vektor mérete megegyezik, z eredményvektor mérete pedig z A mátrix oszlopméretével zonos Legyen AR m n, ekkor szükségszerűen yr m, zz eredmény ( m)( m n) ( n) A mátrixszorzás definíciójából dódik, hogy z ya művelet eredménye olyn vektor, melynek elemeit z A mátrix egyes oszlopvektorink és z y vektornk skláris szorztként nyerjük, zz 7

18 ya y y y n Vizsgáljuk meg részletesebben z ya szorzás eredményeként dódó vektort, következőt tpsztljuk m m m m ya yii yii yiin yii i in i i i i Az utolsó képletben szereplő szummábn z A mátrix i-edik sorvektor szerepel, ebből pedig zt olvshtjuk ki, hogy z ya vektor nem más, mint z A mátrix sorvektorink z y vektor elemeire vett lineáris kombinációj, zz ya () () ( m) y y y m A vektor és mátrix szorzásánk lineáris kombinációvl vló meghtározását szintén ngyon sokszor hsználjuk gykorltbn Összefogllv tehát egy mátrixnk egy vektorrl vló blról szorzásként (ya) olyn vektort kpunk, mely z lábbi két módon is számíthtó: - z eredményvektor mátrix sorvektorink vektor elemeire vett lineáris kombinációj, - z eredményvektor elemei mátrix oszlopvektorink és vektornk skláris szorzt Péld: Legyenek dott z AR mátrix és z yr vektor Számítsuk ki z ya vektort! A 5, y Az ya művelet elvégezhető méretek mitt, z eredményvektor dimenziós lesz ya 5 A fenti művelet Flk-sémávl egyszerűbben elvégezhető, így is elvégezzük műveletet 5 - A y - - ya Vektor-mátrix szorzási művelet elvégzésénél Flk-sémától eltérő sémávl is dolgozhtunk Ekkor vektort mátrix bl oldlár rjzoljuk fel z lábbi módon 8

19 ya y A - ya ( ) A műveletvégzés itt is szemléletesebb Az elemenkénti számolásnál mátrix oszlopvektorit kell mellette lévő vektorrl sklárisn szorozni, így z összeszorzndó tényezők könnyebben megtlálhtók A lineáris kombinációvl történő számolás is szemléletesebb, mert sorvektorok lineáris kombinációját kell venni és lineáris kombinációbn szereplő számok sorvektor elött vnnk Megjegyzés: A mátrix-vektor ill vektor-mátrix szorzás, mint említettük, sokszor előfordul gykorltbn, ezért közöljük műveletek főbb tuljdonságit: A( x + y) = Ax + Ay ( y z) A = ya + za A( x) = ( Ax) ( y) A = ( ya) y(ax) = (ya)x Ezek tuljdonságok egyszerűen kiolvshtók mátrixszorzás tuljdonságiból Az utolsó tuljdonság mitt zárójelezés el is hgyhtó, z eredmény egy sklár szám, mi írhtó egyszerűen z yax lkbn is Péld: Legyen dott z előző két péld mátrix és két vektor Számítsuk ki z yax számértéket! Célszerű számításhoz z lábbi sémát hsználni, mely művelet elvégezhetőségét is szemléletesen muttj - x y A A számítást úgy végezzük, hogy végigmegyünk mátrix elemein és z elemeket megszorozzuk sorbn, illetve z oszlopbn lévő vektorelemekkel, zz m n yax y x i j A számítás eredménye: yax = + (-) + + = Jvsoljuk z olvsónk művelet elvégzését z (ya)x és z y(ax), zz két vektor skláris szorztánk lkjábn is i ij j 9

20 Megállpodás: A sorvektor és z oszlopvektor szorzását bemuttó részben írtunk először sorvektor és z oszlopvektor megkülönböztetéséről A sorvektort trnszponálássl jelöltük Két vektor skláris szorztár bevezettük z T b mátrixszorztos jelölést, ennek ellenére hsználtuk z b jelölést is Az oszlopvektor és sorvektor szorzását bemuttó részben, didikus szorzásnál z b T mátrixszorztos jelölést hsználtuk, ennek ellenére z b jelölést is hsználtuk Sőt sorvektor és mátrix szorzását bemuttó részben szó volt sorvektorról (y), de nem hsználtuk trnszponálás jelét Olyn szorzási műveletekben, hol csk két vektor, ill csk egy vektor és egy mátrix szerepel, elhgyhtó trnszponálás jele, de ezt megállpodást illik közölni Ezek műveletek fordulnk elő ugynis leggykrbbn különböző gykorlti problémák tárgylásábn Mi is közöljük jelölésbeli megállpodást, tehát: - két vektor skláris szorzását z b vektorszorztos szimbólumml jelöljük z T b mátrixszorztos felírás helyett, - egy mátrix és egy vektor szorzásánál - mátrixnk vektorrl blról vló szorzását z ya vektorszorztos szimbólumml jelöljük z y T A mátrixszorztos felírás helyett, - mátrixnk vektorrl jobbról vló szorzását z Ax vektorszorztos szimbólummml jelöljük, mi zonos Ax mátrixszorztos felírássl, - z yax vektorszorztos jelölést hsználjuk z y T (Ax) és z zonos eredményt dó (ya) T x mátrixszorztos felírás helyett A lábbikbn megpróbálom megvilágítni vektorszorztos jelölésmód problemtikáját Az Ax vektor és z y vektor skláris szorzását kétféleképpen is írhtjuk: - vektorszorztos írásmód: (Ax)y vgy y(ax), kommuttivitás mitt, - mátrixszorztos írásmód: (Ax) T y vgy y T (Ax), szintén kommuttivitás mitt A (Ax)y típusú vektorszorztos írásmódnál vigyázni kell z sszocitivitás hsználtár, itt zárójelezés nem hsználhtó Nem írhtó, hogy A(xy) Az (Ax) T y mátrixszorztos írásmódnál fel sem merülhet másfjt zárójelezés Írhtó zonbn, hogy (x T A T )y Itt már zárójelezhetünk Tehát bonyolultbb mátrix-vektoros műveleteknél nem lehet eltérni mátrixszorztos jelöléstől Mi sem térünk el ettől Miért hsználjuk mégis vektorszorztos írásmódot néhány speciális esetben? Ezek speciális esetek következők: két vektor skláris szorzt (xy), mátrix és vektor jobbról ill blról szorzás (Ax, ya), mátrix és vektor szorzás blról és jobbról (yax) Ennek egyik okáról (gykori előfordulás) már írtunk, másik ok következő: A tpsztlt szerint ngyon sok (főleg közgzdságtni) könyvben megtlálhtó fent leírt jelölésmód Kevesebben hsználják viszont két vektor didikus szorzásánál z b szimbólumot z b T mátrixszorztos felírás helyett Ezt mi sem hsználjuk, didikus szorzásnál megmrdunk mátrixszorztos írásmód mellett Mivel e segédletet főleg közgzdász hllgtók hsználják, ezért trtottm célszerűnek z eltérést mátrixszorztos írásmódtól, helyette vektorszorztos formát hsználom Még néhány szót szólnunk kell rról, hogy mátrixok sorvektorink jelölésére miért nem hsználjuk trnszponálás jelét Az i-edik sorvektor jelölésére mi z (i) szimbólumot

21 T hsználjuk H z i jelölést hsználnánk, kkor ez nem lenne egyértelmű, hiszen gondolhtnánk z i oszlopvektor trnszponáltjár is, ezért szokásos z it jelölés A megállpodásunkt tehát kiegészítjük zzl, hogy mátrix sorvektorit z (i) szimbólumml jelöljük, itt sem hsználjuk trnszponálást, kihngsúlyozás mitt hsználjuk felső indexben zárójelet A mátrixműveletek gykorlásár oldjuk meg z lábbi példát A péld rr is szolgál, hogy bonyolult képlettel leírt műveletnél mindenképpen mátrixszorztos felírást kell hsználni Péld: Legyen dott z AR és BR mátrix, vlmint z R és br vektor Htározzuk meg z AA T b T B művelet eredményét! A,, B b A művelet elvégezhető, mert szükséges cstlkozások érvényesek, ugynis eredmény ( )( )( )( )( ) ( ) Mivel mátrixszorzás művelete sszocitív, így bárhogyn zárójelezhető kiszámítndó kifejezés A művelet eredménye z lábbi A számítást lépésekben, blról jobbr hldássl végeztük Először z AA T, mjd z (AA T ), stb műveleteket végeztük el 8 T T AA b B A műveletvégzést Flk-sémávl sokkl egyszerűbb elvégezni, kisebb tévesztési lehetőség és sokkl kevesebbet kell írni A sém jobb lsó srkából olvshtó ki z AA T b T B művelet eredményét dó mátrix Jvsoljuk z olvsónk, hogy végezze el z (AA T )(b T )B és z A(A T )(b T B) formábn is műveletet

22 A mátrixszorzás további számítási módszerei Legyenek dottk z AR m k és BR k n mátrixok Legyenek z A mátrix oszlopvektori,, () () ( m), k ; sorvektori,,, Legyenek B mátrix oszlopvektori b, b, () () ( k ), bn ; sorvektori b, b,, b Legyenek C=AB szorztmátrix elemei c ij, z oszlopvektori c, c,, cn ; sorvektori () () ( m) c, c,, c Az lábbikbn újr elemezzük mátrixszorzást, z itt levezetésre kerülő számítási módszerek is gykrn előfordulnk gykorlti feldtokbn Összefogllv megmuttjuk további számítási módszereket, mindegyik számítási mód egyszerűen levezethető mátrixszorzás lpdefiníciójából Jvsoljuk z olvsónk ezek mélyebb átgondolását Célszerű Flk-sémát is hsználni A szorztmátrix egy-egy elemének meghtározás (ez definíció) Az AB mátrixszorzás definíciój szerint z eredménymátrix egy-egy elemét egy-egy skláris szorzássl számítjuk ki, képletben c ij ( i) b b, j megismételve, tehát z első helyen álló mátrix sorvektorát sklárisn szorozzuk második helyen álló mátrix oszlopvektorávl A szorztmátrix egy-egy oszlopvektoránk meghtározás Az AB szorztmátrix egy dott oszlopánk elemeit (pl j-edik oszlopot) úgy htározzuk meg, hogy z A mátrix sorvektorit sklárisn rendre megszorozzuk B mátrix j-edik oszlopvektorávl Ez, vlójábn már megismert, mátrix és oszlopvektor szorzásnk felel meg, így c Ab, z eredménymátrix mg pedig z lábbik szerint írhtó: j j k p C AB Ab Ab Ab n ip pj A mátrix és vektor szorzásánk lineáris kombinációvl vló megfoglmzásából z is megállpíthtó, hogy szorztmátrix j-edik oszlopvektor z A mátrix oszlopvektorink b j oszlopvektor elemeire vett lineáris kombinációj, zz c j b j b j bkj k A szorztmátrix egy-egy sorvektoránk meghtározás Az AB szorztmátrix egy dott soránk elemeit (pl z i-edik sort) úgy htározzuk meg, hogy z A mátrix i-edik sorvektorát sklárisn rendre megszorozzuk B mátrix oszlopvektorivl Ez, vlójábn már megismert, sorvektor és mátrix szorzásnk felel ( i) ( i) meg, így c B, z eredménymátrix mg pedig z lábbik szerint írhtó:

23 () B () B C AB ( m) B A vektor és mátrix szorzásánk lineáris kombinációvl vló megfoglmzásából z is megállpíthtó, hogy szorztmátrix i-edik sorvektor B mátrix sorvektorink z (i) sorvektor elemeire vett lineáris kombinációj, zz c b b b ( i) () () ( k ) i i ik A szorztmátrix meghtározás didikus szorztok összegeként Most is induljunk ki mátrixszorzás definíciójából, mely szerint z eredménymátrix egyegy elemét egy-egy skláris szorzássl számítjuk ki, képletben c ij ( i) b b j k p ip pj Ismert, hogy h z A mátrix p-edik oszlopvektorát didikusn megszorozzuk z B mátrix p-edik sorvektorávl, kkor olyn mátrixot kpunk, melynek ij eleme z lábbi ( p) pb ipbpj Ezt behelyettesítve fenti c ij képletbe, kpjuk, hogy c ij ij ( p) pb k p melyből C eredménymátrix zonnl dódik:, ( p) C AB b, vgyis C eredménymátrix A mátrix indexben zonos oszlopvektoránk és B mátrix indexben zonos sorvektoránk didikus szorztából dódó mátrixok összege Az összefüggésekben didikus szorzást z p b (p) szimbólumml jelöltük, nem hsználtuk, sem mátrixszorztos, sem vektorszorztos jelölést, mivel mátrixnk vektoriról volt szó és zok indexeléséből láthtó, hogy oszlopvektort szorzunk sorvektorrl k p p ij 5 Mátrix htványozás H egy A mátrix sorink és oszlopink szám megegyezik (négyzetes mátrix), kkor elvégezhető z AA művelet, melyet mátrix négyzetének nevezünk és A -el jelölünk Hsonlón értelmezhető z A, A, stb htvány is, áltlánosn A n = AAA (A n-szer ismétlődik tényezőként) Az AAA htványművelet mátrixszorzás sszocitivitás mitt bárhogyn zárójelezhető Igz például, hogy A 9 = A A 5 = A A A

24 Péld: Legyen dott z AR mátrix Számítsuk ki z A htványt! A Az A művelet elvégezhető méretek mitt, z eredménymátrix rendje lesz A műveletet lépésekben végezzük el, először z A = AA, mjd z A = A A, végül pedig z A = A A számítás következik 87 7 A AAAA A fenti művelet Flk-sémávl egyszerűbben elvégezhető, így is elvégezzük műveletet A A Flk-sémánk megfelelő módon leírjuk kétszer z A mátrixot, felkészülve z AA szorzásr Ennek elvégzése után felírjuk z A mátrixot, felkészülve z A A szorzásr, Hsonlón végezzük z A A szorzást is Így z lsó részen második mátrix z A, hrmdik mátrix z A, z utolsó mátrix pedig keresett A mátrix A Flk-sém segítségével sokkl kevesebb írássl végezhető el művelet Az sszocitiv tuljdonságot felhsználv, z A = A A műveletvégzéssel hmrbb eredményhez jutunk, ezt muttj z lábbi számolás A Speciális mátrixok Négyzetes mátrix Az A mátrix négyzetes vgy más szóvl kvdrtikus, h sorink és oszlopink szám megegyezik Az A n x n-es négyzetes mátrix rendje n Egy négyzetes mátrix és nn elemeit összekötő vonlt mátrix főátlójánk nevezzük A főátlóbeli elemeket tehát

25 zok mátrixelemek lkotják, melyeknek sor- és oszlopindexe zonos Az n és n elemeit összekötő vonlt pedig mátrix mellékátlójánk nevezzük Szimmetrikus és ferdén szimmetrikus mátrix Egy négyzetes mátrix szimmetrikus, h ij = ji, zz főátlór szimmetrikusn elhelyezkedő elemek zonosk Egy négyzetes mátrix ferdén szimmetrikus, h ij = - ji, zz főátlór szimmetrikusn elhelyezkedő elemek ellenkező előjelüek, de bszolút értékük zonos Mátrixjelöléssel megfoglmzv fentieket: z AR n n mátrix szimmetrikus, h A=A T, ferdén szimmetrikus, h A= -A T Egységmátrix Az egységmátrix olyn négyzetes mátrix, melynek főátlójábn -es, többi helyen pedig zérus áll Az egységmátrix sori és oszlopi is egységvektorok úgy, hogy z sorvektor és z oszlopvektor z első egységvektor, sorvektor és oszlopvektor második egységvektor, stb Jele: E vgy I Péld: Egy x-es egységmátrix z lábbi: E Inverzmátrix Az egységmátrixhoz kpcsolódón definiáljuk z inverz mátrixot Az A négyzetes mátrix inverz mátrixán (vgy röviden inverzén) zt z X négyzetes mátrixot értjük, melyre AX = XA = E, hol E z egységmátrix Az A mátrix inverzének jelölésére szokás z A - jelölést hsználni A mátrix inverze sklár szám inverzével (reciprokávl) nlóg módon vn definiálv, ugynis egy szám inverze z z x szám, melyre x=, tehát x= - =/ A mátrixok körében zonbn z X=E/A nem írhtó, mivel z osztás nincs értelmezve Részletesebben is megvizsgáljuk z inverzmátrixot - Tudjuk, hogy z AX mátrix oszloponkénti számítás z lábbi, hol x j z inverzmátrix j-edik oszlopvektor: AX Ax Ax Ax n Az E=AX definícióból írhtó, hogy e j =Ax j, mi lineáris kombinációvl megfoglmzv következőképpen írhtó: e j Ax j x j x j xnjn 5

26 Ez utóbbiból kiolvshtjuk, hogy z inverzmátrix oszlopink elemei rr dnk válszt, hogy z A mátrix oszlopvektorink milyen lineáris kombinációj állítj elő z egységvektorokt - Tudjuk, hogy z XA mátrix soronkénti számítás z lábbi, hol x (i) z inverzmátrix i-edik sorvektor: () x A () x A XA ( m) x A Az E=XA definícióból írhtó, hogy e i =x (i) A, mi lineáris kombinációvl megfoglmzv következő: () () ( n) e x x x i i i Ez utóbbiból kiolvshtjuk, hogy z inverzmátrix sorink elemei rr dnk válszt, hogy z A mátrix sorvektorink milyen lineáris kombinációj állítj elő z egységvektorokt Az inverzmátrix meghtározását e segédletben nem ismertetjük, csupán megmuttjuk -es mátrix inverzének egyszerű meghtározását: b d b A A c d d bc c Az inverzmátrix helyességének megállpítását z olvsór bízzuk H z inverzmátrixot z u v A w z formábn keresi és definíciót hsználj z olvsó, kkor megtpsztlhtj, hogy z inverzmátrix elemeit két drb kétismeretlenes lineáris egyenletrendszer megoldás szolgálttj in 5 Permutáció mátrix A permutáció mátrix olyn négyzetes mátrix, melynek minden sorábn és oszlopábn pontosn egy drb -es áll, többi elem zérus Tehát sori és oszlopi is egységvektorok, de fontos, hogy ezek egymástól különbözőek, így minden sorbn és minden oszlopbn pontosn egy drb -es vn Péld: Egy x-es permutáció mátrix z lábbi: P 6

27 6 Digonális mátrix A digonális mátrix olyn négyzetes mátrix, melynek digonális (főátlóbn lévő) elemein kívüli elemei zérusok Péld: Egy x-es digonális mátrix z lábbi: 5 D 7 A digonális mátrixot vektor segítségével is meg lehet dni úgy, hogy vektor elemei digonális mátrix elemei A példbeli D mátrixot d=(5,, -, 7) vektorrl is megdhtjuk A digonális mátrixot ekkor <d> szimbólumml jelöljük, zz D=<d> Műveletek speciális vektorokkl és mátrixokkl A következőkben megvizsgáljuk speciális elemekkel vló műveletek eredményét A műveletekben szereplő vektorok és mátrixok méretét olynnk tekintjük, milyen művelet elvégzéséhez szükséges, zz konformábilisnek Az lábbi állítások mindegyike műveletek definíciójából nyilvánvló Egységvektorrl vló szorzás ) H egy vektort sklárisn z i-edik egységvektorrl szorozzuk, kkor vektor i-edik koordinátáját kpjuk, zz e i = e i = i b) H egy mátrixot j-edik egységvektorrl jobbról szorzunk, kkor mátrix j-edik oszlopvektorát kpjuk, zz Ae j = j Az Ae j vektor z A mátrix oszlopvektorink z e j egységvektorrl vett lineáris kombinációj, lineáris kombinációbn pedig csk j-edik tg nem zérus c) H egy mátrixot z i-edik egységvektorrl blról szorzunk, kkor mátrix i-edik sorvektorát kpjuk, zz e i A = (i) Az e i A vektor z A mátrix sorvektorink z e i egységvektorrl vett lineáris kombinációj, lineáris kombinációbn pedig csk z i- edik tg nem zérus d) H egy mátrixot z i-edik egységvektorrl blról és j-edik egységvektorrl jobbról szorzunk, kkor mátrix ij elemét kpjuk, zz e i Ae j = ij Összegzővektorrl vló szorzás ) H egy vektort sklárisn z összegzővektorrl szorzunk (x=x), kkor vektor elemeinek összegét kpjuk b) H egy mátrixot z összegzővektorrl jobbról szorzunk (A), kkor mátrix minden sorár sorbn lévő elemek összegét kpjuk Az A vektor elemei sorvektorok 7

28 összegzővektorrl vló skláris szorzti, így A vektor elemei sorvektorok elemeinek összege c) H egy mátrixot z összegzővektorrl blról szorzunk (A), kkor mátrix minden oszlopár z oszlopbn lévő elemek összegét kpjuk Az A vektor elemei z oszlopvektorok összegzővektorrl vló skláris szorzti, így A vektor elemei oszlopvektorok elemeinek összege d) H egy mátrixot z összegzővektorrl blról is és jobbról is szorzunk (A), kkor mátrix elemeinek összegét kpjuk Egységmátrix-szl vló szorzás H egy vektort ill egy mátrixot z egységmátrix-szl szorzunk, kár jobbról, kár blról, z eredeti vektort ill mátrixot kpjuk, zz Ex=x, ye=y, AE=A, EB=B Permutáció mátrix-szl vló szorzás ) H egy vektort permutáció mátrix-szl szorzunk yp lkbn, kkor szorzás z y vektor elemeinek sorrendjét cseréli fel Az elemek új helyét permutáció mátrix oszlopvektorink, mint egységvektoroknk sorrendje htározz meg Az yp vektor j-edik eleme yp j H p j =e k, kkor j-edik elem yp j =ye k =y k Például fenti P permutáció mátrix esetén yp = (y, y, y, y ) b) H egy vektort permutáció mátrix-szl szorzunk Px lkbn, kkor szorzás z x vektor elemeinek sorrendjét cseréli fel Az elemek új helyét permutáció mátrix sorvektorink, mint egységvektoroknk sorrendje htározz meg A Px vektor i- edik eleme p (i) x H p (i) =e k, kkor p (i) x=e k x=x k Például fenti P permutáció mátrix esetén Px = (x, x, x, x ) c) H egy mátrixot permutáció mátrix-szl szorzunk AP lkbn, kkor szorzás z A mátrix oszlopvektorink sorrendjét cseréli fel Az oszlopvektorok új helyét permutáció mátrix oszlopvektorink, mint egységvektoroknk sorrendje htározz meg Az AP mátrix j-edik oszlopvektor Ap j H p j =e k, kkor j-edik oszlopvektor Ap j =Ae k = k Például fenti P permutáció mátrix esetén z AP olyn mátrix, melynek első oszlopvektor z eredeti, oszlopvektor z eredeti, oszlopvektor z eredeti, oszlopvektor pedig z eredeti oszlopvektor d) H egy mátrixot permutáció mátrix-szl szorzunk PA lkbn, kkor szorzás z A mátrix sorvektorink sorrendjét cseréli fel A sorvektorok új helyét permutáció mátrix sorvektorink, mint egységvektoroknk sorrendje htározz meg A PA mátrix i-edik sorvektor p (i) A H p (i) =e k, kkor z i-edik sorvektor p (i) A=e k A= (k) Például fenti P permutáció mátrix esetén PA olyn mátrix, melynek első sorvektor z eredeti, sorvektor z eredeti, sorvektor z eredeti, sorvektor pedig z eredeti sorvektor 8

29 5 Digonális mátrix-szl vló szorzás ) H egy vektort digonális mátrix-szl szorzunk kár jobbról kár blról (Dx vgy yd), kkor szorzás vektor i-edik elemét megszorozz digonális mátrix i-edik digonál elemével, zz d ii -vel vgy D=<d> jelölés esetén d i vektorelemmel Például fenti D digonális mátrix esetén Dx = xd = (5x, x, (-)x, 7x ) b) H egy mátrixot digonális mátrix-szl szorzunk AD lkbn, kkor szorzás mátrix megfelelő oszlopvektorit megszorozz digonális mátrix megfelelő digonális elemeivel, zz j-edik oszlopvektort j-edik digonál elemmel d jj -vel, vgy D=<d> jelölés esetén d j vektorelemmel Az AD mátrix j-edik oszlopvektor Ad j Mivel d j =d jj e j, így Ad j = d jj Ae j = d jj j Például fenti D digonális mátrix esetén AD olyn mátrix, melynek első oszlopvektor z eredeti 5-szöröse, oszlopvektor z eredeti -szoros, oszlopvektor z eredeti (-)-szerese, oszlopvektor z eredeti 7-szerese lesz c) H egy mátrixot digonális mátrix-szl szorzunk DA lkbn, kkor szorzás mátrix megfelelő sorvektorit megszorozz digonális mátrix megfelelő digonális elemeivel, zz z i-edik sorvektort z i-edik digonál elemmel d ii -vel vgy D=<d> jelölés esetén d i vektorelemmel A DA mátrix i-edik sorvektor d (i) A Mivel d (i) =d ii e i, így d (i) A= d ii e i A= d ii (i) Például fenti D digonális mátrix esetén DA olyn mátrix, melynek első sorvektor z eredeti 5-szöröse, sorvektor z eredeti -szoros, sorvektor z eredeti (-)- szerese, sorvektor z eredeti 7-szerese lesz d) H egy digonális mátrixot k-dik htványr emelünk, kkor szintén digonális mátrixot kpunk, melyben digonális elemek z eredeti digonális elem k-dik htványi lesznek Összefogllv megállpíthtó, hogy egy mátrix sorvektorink cseréjét vgy számml vló szorzását blról vló szorzássl, egy mátrix oszlopvektorink cseréjét vgy számml vló szorzását jobbról vló szorzássl lehet megvlósítni Cserénél permutáció mátrixot, számml vló szorzásnál digonális mátrixot hsználunk 9

30 Vektor- és mátrixműveletek gykorlás szöveges példákkl Az előzőekben olyn példákt ismertettünk, melyeknek z volt célj, hogy begykoroljuk mátrix és vektor műveleteket Tehát megdtuk mátrixokt, vektorokt és ki kellett számítni kijelölt műveleteket Megmutttuk mátrixműveletek kiszámítását segítő sémák lklmzását is A következőkben olyn példákt veszünk sorr, melyben dott egy problém és nnk megoldását mátrixműveletekkel kell megdnunk Ez sokkl nehezebb feldt lesz, itt kristálytisztán kell ismerni műveleteket, hiszen nekünk kell megtlálni sokfjt mátrixművelet közül helyeset Áltlánosságbn elmondhtó, hogy zokt feldtokt, melyekben konkrét számdtok vnnk, sokkl könnyebb megoldni Ezért z ismeretek mélyebb elsjátítás mitt megoldunk olyn feldtokt is, melyekben nem szerepelnek számdtok Péld: Egy válllt terméket (T) gyárt és mindegyiket ugynbból -féle lktrészből (A) szereli össze csk más-más mennyiségben Egy drb termék előállításához szükséges lktrészek számát z lábbi táblázt trtlmzz Az egyes termékekből megrendelt mennyiség rendre 5, 7,, drb Az lktrészek egységári rendre,, pénzegység T T T T A 5 A A Adj meg válszt z lábbi kérdésekre mátrixműveletek segítségével! ) Az egyes lktrészekből hány drb szükséges megrendelés teljesítéséhez? b) Mennyi z egyes termékek nygköltsége? c) Mennyi megrendeléshez szükséges nygköltség? d) Az egyes termékekbe összesen hány drb lktrészt kell beszerelni? Megoldás: A megrendelt mennyiségeket és z árkt rendezzük vektorokb, z x vektor legyen megrendelés vektor, p pedig z árvektor, zz q = (5, 7,, ), p = (,, ) Az lktrészszükségletet trtlmzó tábláztból pedig készítsük el z A lktrészszükséglet mátrixot, mely z lábbi: 5 A Válsz z ) kérdésre: Az egyes lktrészekből hány drb szükséges megrendelés teljesítéséhez? Az első termék egy drbj előállításánk lktrészszükségletét lktrészenként z oszlopvektor dj H z első termékből 5 drbot kell előállítni, kkor ennek lktrészszükséglete 5 Mind négy terméknél hsonlón htározhtó meg z

31 lktrészszükséglet A megrendeléshez szükséges lktrészszükségletet ezek összege dj, zz: Ez pedig z A mátrix oszlopvektorink lineáris kombinációj, miből következik, hogy z lktrészszükségletet z Aq mátrix-vektor művelettel írhtjuk le Okoskodhtunk z lábbik szerint is: Az első lktrészből teljes megrendeléshez szükséges mennyiséget úgy kpjuk, hogy mind termék esetén kiszámítjuk z első lktrészből szükséges mennyiséget és ezeket összedjuk, zz , ez pedig vektorműveletekkel z () q skláris szorzt lkbn írhtó Hsonlón számíthtó és lktrészből szükséges mennyiség, melyek () q és () q H ezeket mennyiségeket z () q () q () q vektorb foglljuk, zonnl láthtó mátrixszorzás definíciójából, hogy itt egy mátrixvektor szorzásról (jobbról szorzás) vn szó, zz keresett művelet z Aq A mátrixműveletes megoldás: 5 Aq Mint korábbn láttuk, célszerű számítást egy sémábn végezni Érdemes sémáb nem csk számdtokt beírni, hnem mátrix sorir ill oszlopir jellemző információkt is Ez sokkl jobbn megkönnyíti művelet megállpítását is ezért célszerű feldtmegoldás első lépéseként felrjzolni sémát A számolás sémáj: q 5 7 T T T T A 5 6 A A Aq A 8 Válsz b) kérdésre: Mennyi z egyes termékek nygköltsége? Az első lktrészből z lktrészszükségletet termékenként z () sorvektor dj H z első lktrész ár pénzegység, kkor termékenkénti lktrészszükséglet pénzben kifejezve, zz z nygköltség () Mind három lktrésznél hsonlón htározhtó meg nygköltség A termékenkénti nygköltség tehát

32 () + () + () Ez pedig z A mátrix sorvektorink lineáris kombinációj, miből következik, hogy termékenkénti nygköltséget pa vektor-mátrix művelettel írhtjuk le Okoskodhtunk z lábbik szerint is: Az első termékhez z nygköltséget úgy kpjuk, hogy mind lktrész esetén kiszámítjuk z nygköltséget és ezeket összedjuk, zz 5 + +, ez pedig vektorműveletekkel p skláris szorzt lkbn írhtó Hsonlón számíthtó, és termék nygköltsége H ezeket mennyiségeket p p p p vektorb foglljuk, zonnl láthtó mátrixszorzás definíciójából, hogy itt egy vektormátrix szorzásról (blról szorzás) vn szó, zz keresett művelet z pa A mátrixműveletes megoldás: pa 5 A számításokt z lábbi sémábn is elvégezzük 7 T T T T A 5 p A A A Válsz c) kérdésre: Mennyi megrendeléshez szükséges nygköltség? 7 pa Az előző számításból ismert, hogy megrendelés teljesítéséhez lktrészenként mennyi lktrész szükséges (Aq) Az lktrészmennyiségeket rendre meg kell szorozni z lktrészárkkl és szorztokt össze kell dni, hogy megkpjuk megrendeléshez szükséges nygköltséget Ez egy skláris szorzássl, mégpedig p(aq) skláris szorzttl dhtó meg Az eredmény: p(aq) = 6++8=8 Természetesen ugynezt z eredményt kpjuk, h z egyes termékek nygköltségét (pa vektor elemeit) rendre megszorozzuk megrendelésekkel és ezeket összegezzük, zz ekkor (pa)q skláris szorzttl számolhtjuk ki z nygköltséget Az eredmény: (pa)q=5+7+7+=8 Mint tudjuk áltlánosn is igz, hogy p(aq)=(pa)q, ezért ezt szokás paq lkbn is írni Ennek számítását z lábbi sémábn végezzük el:

33 5 7 q T T T T A 5 p A A A Az eredmény: paq = =8 Jvsoljuk z olvsónk, hogy értelmezze z nygköltség paq lkbn történő számítását Válsz d) kérdésre: Az egyes termékekbe összesen hány drb lktrészt kell beszerelni? Az egyes termékekbe beszerelendő lktrészek számánk meghtározásához z A mátrix egyes oszlopibn lévő lktrész drbszámokt kell összedni Ezt pedig z összegzővektorrl vló szorzássl vlósíthtjuk meg Mivel oszlopösszegekről vn szó, így blról szorzást kell lklmzni, zz megoldást mátrixműveletekkel z A formulávl foglmzhtjuk meg, melynek eredménye: A=(8, 5, 7, 7), hol =(,, ) Péld: Legyen féle gyümölcslé (G), melyeknek elegyítéséből féle gyümölcskoktélt (továbbikbn koktélt) (K) készítünk A felhsznált gyümölcslevekben 5 féle vitmin (V) vn Az lábbi tábláztok következő dtokt trtlmzzák: - koktélok előállításához szükséges gyümölcslé mennyiséget (G-K táblázt), - gyümölcslevek egységnyi mennyiségében tlálhtó vitmin mennyiséget (G-V táblázt), - gyümölcslevek egyságárát (eár), - gyümölcslevekből vásárolt mennyiséget (vm), - koktélokból előállított mennyiséget (eám), - z egyes vitminokból előírt mennyiséget (eím) K K K K eár vm V V V V V 5 G 5 5 G G G G G eám eív Mielőtt kérdéseket feltennénk, tábláztbn szereplő dtokból definiáljuk mátrixokt és vektorokt Két mátrixot dunk meg, z A és B mátrixot Az A mátrix ij eleme jelölje zt, hogy z j-edik koktél előállításához z i-edik gyümölcsléből mennyit hsználunk fel Az A mátrix (i) sorvektor z i-edik gyümölcsléből z egyes koktélokhoz szükséges mennyiséget, z j oszlopvektor j-edik koktélhoz szükséges gyümülcslé mennyiséget muttj A B mátrix b ij eleme jelentse zt, hogy z i-edik gyümölcslé egységnyi mennyiségében mennyi vitmin vn j-edik fjt vitminból A B mátrix b (i) sorvektor z i-edik

34 gyümölcslé vitmintrtlm z egyes vitminokból, b j oszlopvektor z egyes gyümölcslevek vitmintrtlm j-edik vitminból A p vektor p i eleme jelölje z i-edik gyümölcslé egységárát A q vektor q i eleme jelölje z i-edik gyümölcsléből vásárolt mennyiséget A v vektor v i eleme jelölje z i-edik koktélból előállított mennyiséget A d vektor d i eleme jelölje z i-edik vitminból előírt mennyiséget A példbeli mátrixok és vektorok következők: A, 5 B, p, 5 q, v, 5 6 d 5 7 Adj meg válszt z lábbi kérdésekre mátrixműveletek segítségével! Mennyi z elkészített koktélok egységár? Az árnál csk gyümölcslevek árát vegyük figyelembe! A gyümölcslé összekeverésével keletkező egyes koktélokbn z egyes vitminokból mekkor mennyiségű vitmin vn? Mennyi pénzből tudjuk előállítni v vektornk megfelelő mennyiségben készült koktélokt? Az árnál csk gyümölcslevek árát vegyük figyelembe! Vn-e K koktélbn d vektor áltl előírt mennyiség? 5 Mennyi koktél állíthtó elő q mennyiségben vásárolt gyümölcslevekből? Válsz z kérdésre: Mennyi z elkészített koktélok egységár? Az árnál csk gyümölcslevek árát vegyük figyelembe! Az egyes koktélok előállításához z i-edik gyümölcsléből szükséges mennyiséget z (i) sorvektor dj, h ezt megszorozzuk G i gyümölcslé árávl, p i -vel, kkor pénzben kifejezett G i gyümölcslé mennyiséget kpjuk, p () + p () + p () dj három gyümölcslé elegyítésével kpott koktélok egységárát, mely sorvektorok lineáris kombinációj, ezt pedig pa mátrixszorzásnk felel meg Másképpen gondolkodv: A j-edik koktél gyümölcslé trtlmát z j oszlopvektor muttj, h ennek elemeit z egyes gyümölcslé árkkl beszorozzuk és szorztokt összedjuk, kkor K j koktél gyümölcslé trtlmát kpjuk pénzben kifejezve, mely képletben p j Az összes koktélr pedig p vektor és z oszlopvektorok skláris szorzt, zz pa mátrixszorzás dj z eredményt pa 5 6 6

35 A megoldás sém segítségével: K K K K 5 G p G A G 6 6 pa Válsz kérdésre: A gyümölcslé összekeverésével keletkező egyes koktélokbn z egyes vitminokból mekkor mennyiségű vitmin vn? Azt tábláztot keressük, mely z egyes koktélokbn lévő vitminok trtlmát muttj, mátrixos megfoglmzássl, pedig zt C mátrixot keressük, melynek c ij eleme megmuttj, hogy j-edik koktél (K j ) mennyi vitmint trtlmz z i-edik vitminból (V i ) Htározzuk meg c elemet Hogy jobbn tudjuk követni megoldáshoz vezető utt, jvsoljuk z A és B mátrixokt ill zok sémáját (szegélyekkel) felrjzolni K K K K V V V V V 5 G G G G G G A K koktél G gyümölcsléből ( ) mennyiséget trtlmz, egységnyi G gyümölcslében (b ) V vitmin vn, így K koktél V vitmintrtlm ( b ), ezt vitmintrtlmt G gyümölcslé dj A G gyümölcslé is dht V vitmint K koktélnk, ez következőképpen számolhtó A K koktél G gyümölcsléből ( ) mennyiséget trtlmz, egységnyi G gyümölcslében (b ) V vitmin vn, így K koktél V vitmintrtlm ( b ), ezt vitmintrtlmt G gyümölcslé dj, vlójábn példábn nem d A G gyümölcslé is d V vitmint K koktélnk, ez következőképpen számolhtó A K koktél G gyümölcsléből ( ) mennyiséget trtlmz, egységnyi G gyümölcslében (b ) V vitmin vn, így K koktél V vitmintrtlm ( b ), ezt vitmintrtlmt G gyümölcslé dj A három gyümölcslé elegyítésével nyert K koktél összes V vitmintrtlm: + + =, képlettel felírv: c = b + b + b Vegyük jobbn szemügyre z utóbbi képletet, zt tpsztljuk, hogy C mátrix c elemét úgy kpjuk, hogy z A mátrix oszlopvektorát kell megszorozni sklárisn B mátrix oszlopvektorávl Az XY mátrixszorzás művelet definíciój szerint z eredménymátrix ij elemét úgy kpjuk, hogy z első helyen álló mátrix (X) i-edik sorvektorát sklárisn szorozzuk második helyen álló mátrix (Y) j-edik oszlopvektorávl Azt látjuk, hogy mi esetünkben is két vektor (két oszlopvektor) skláris szorzt dj z eredménymátrix elemeit, tehát két mátrix szorztáról vn szó esetünkben is Azt kell megtlálni, hogy melyik két mátrix szorzt kell és zokt milyen sorrendben kell összeszorozni 5

36 Két lehetőség vn: H B mátrixot trnszponáljuk, kkor B T mátrix sorvektorát kell szorozni z A mátrix oszlopvektorávl, tehát keresett mátrixművelet B T A H z A mátrixot trnszponáljuk, kkor A T mátrix sorvektorát kell szorozni z B mátrix oszlopvektorávl, tehát keresett mátrixművelet A T B Mindkét esetben megkpjuk koktélok vitmintrtlmát Azonbn csk C = B T A megoldás helyes, mert zt C mátrixot kerestük, melynek oszlopi koktélokt, sori pedig vitminokt reprezeltálják A keresett mátrix: T C B A Az A T B mátrixművelet esetén z eredménymátrix oszlopi vitminokt, sori pedig koktélokt reprezeltálják Könnyen ellenőrizhető, hogy kétféle módon kpott mátrix egymásnk trnszponáltji A megoldást célszerű z lábbi sémábn szemléltetni A művelet megállpítás is szemléletesebbé válik K K K K G G A G G G G V V B T V C=B T A V V A fenti eredményhez z lábbi két módszerrel is eljuthtunk Jelölje keresett C mátrix j-edik oszlopvektorát c j, mely K j koktél vitmintrtlmát muttj A G gyümölcslé vitmintrtlmát B mátrix b () sorvektor muttj A K j koktélhoz G gyümölcsléből j mennyiség kell, így K j vitmintrtlm G gyümölcsléből j b () A K j koktélnk másik két gyümölcsléből dódó vitmintrtlm is hsonlón számíthtó A K j vitmintrtlmát tehát z j b () + j b () + j b () összefüggés dj, mely nem más, mint B mátrix sorvektorink z A mátrix j-edik oszlopvektorbeli elemeire vett lineáris kombinációj Ismeretes, hogy z XY mátrixszorzás eredményének j-edik oszlopvektor z X mátrix oszlopvektorink z Y mátrix j-edik oszlopvektorbeli elemeire vett lineáris kombinációj Esetünkben is lineáris kombinációról vn szó, csk zt kell megállpítni, hogy mi z X, Y mátrix Esetünkben lineáris 6

37 kombináció vektori B mátrix sorvektori, ezek szerint X=B T A lineáris kombináció számi z A mátrix j-edik oszlopvektorbeli elemei, ezért Y=A A keresett c j oszlopvektor B T A szorztmátrix oszlopvektor, tehát keresett megoldás C=B T A A másik módszernél jelölje keresett C mátrix i-edik sorvektorát c (i), mely z egyes koktéloknk V i típusú vitmintrtlmát muttj A G gyümölcsléből z egyes koktélokhoz szükséges mennyiséget z A mátrix () sorvektor dj A G gyümölcslében b i mennyiségű V i típusú vitmin vn, így koktélokbn G gyümölcsléből szármzó V i típusú vitmintrtlom b i () Hsonlón számíthtó koktéloknk másik két gyümölcslé áltl átdott V i típusú vitmintrtlm A koktélokbn z összes gyümölcslé áltl áttdott V i típusú vitmintrtlmt b i () + b i () + b i () összefüggés dj, mely nem más, mint z A mátrix sorvektorink B mátrix i-edik oszlopvektorbeli elemeire vett lineáris kombinációj Ismeretes, hogy z XY mátrixszorzás eredményének i-edik sorvektor z Y mátrix sorvektorink z X mátrix i-edik sorvektorbeli elemeire vett lineáris kombinációj Esetünkben is lineáris kombinációról vn szó, csk zt kell megállpítni, hogy mi z X, Y mátrix Esetünkben lineáris kombináció vektori z A mátrix sorvektori, ezek szerint Y=A A lineáris kombináció számi B mátrix i-edik oszlopvektorbeli elemei, ezért X=B T A keresett c (i) sorvektor B T A szorztmátrix sorvektor, tehát keresett megoldás C=B T A A háromféle megoldási mód közül z olvsónk kell megitélnie, hogy melyik áll közelebb gondolkodásmódjához A mátrixműveletek biztos ismerete nélkül zonbn nem lehet megtlálni helyes megoldást Válsz kérdésre: Mennyi pénzből tudjuk előállítni v vektornk megfelelő mennyiségben készült koktélokt? Az árnál csk gyümölcslevek árát vegyük figyelembe! Az kérdésben megdtuk válszt rr, hogy egységnyi mennyiségű koktéloknk mennyi z ár, ezt pa=(, 6,, 6) művelet dt A v=(,,, ) vektornk megfelelő mennyiségű koktélok árát egyszerű számolássl kpjuk: v + v 6 + v + v 6 =, mely v(pa) vgy (pa)v skláris szorzássl dhtó meg H zt krjuk megtudni, hogy koktélonként mennyibe került z előállítás, kkor megoldás (pa)v vgy (pa)<v>, hol V v vektorból lkotott digonális mátrix ( pa) v Válsz kérdésre: Vn-e K koktélbn d vektor áltl előírt vitmin mennyiség? A kérdésnél meghtároztuk, hogy z egyes koktélok z egyes vitminokból mennyit trtlmznk A K koktél vitmintrtmát B T A mátrix oszlopvektor muttj, mely mátrixművelettel leírv (B T A)e Azt kell tehát ellenőrizni, hogy fennáll-e (B T A)e d egyenlőtlenség Mivel (B T A)e = (7, 5,, 6, 8) és d = (5, 6,, 5, 7) ebből láthtó, hogy vektorelemekre nem áll fenn z előírás, így koktél nem elfogdhtó vitmintrtlom szempontjából 7

38 8 Válsz z 5 kérdésre: Mennyi koktél állíthtó elő q mennyiségben vásárolt gyümölcslevekből? Jelölje x j j-edik koktélból előállított mennyiséget, foglljuk ezeket z x vektorb A j-edik koktél egységnyi mennyiségéhez z egyes gyümölcslevekből szükséges mennyiséget z A mátrix j oszlopvektor dj, h ezt megszorozzuk x j -vel, kkor szintén j-edik koktélhoz szükséges gyümölcslé mennyiségeket kpjuk, csk nem egységnyi, hnem x j mennyiséghez Hsonlón kpjuk többi koktél esetében is mennyiségeket A négy koktélhoz szükséges mennyiséget gyümölcslevekből z x + x + x + x dj, mely z oszlopvektorok lineáris kombinációj, ez pedig z Ax mátrixszorzásnk felel meg Másképpen gondolkodv: Az egyes koktélok egységnyi mennyiségű előállításához szükséges G i gyümölcslé trtlmt z (i) sorvektor muttj, h ennek elemeit rendre z egyes koktélok mennyiségével beszorozzuk és szorztokt összedjuk, kkor G i gyümölcsléből szükséges mennyiséget kpjuk meg, mely képletben (i) x skláris szorzt A többi gyümölcslére is hsonló számítás, zz z (i) sorvektorok és z x vektor skláris szorztát kell venni, ez pedig z Ax mátrixszorzásnk felel meg Tehát z Ax mennyiségnek kell egyenlőnek lenni z előírt q mennyiséggel, zz q Ax, részletezve 5 x x x x Ez x ismeretlen vektorrr nézve egy lineáris egyenletrendszer mátrixos felírásbn, ennek megoldás dj, hogy mennyi koktélt tudunk előállítni megvásárolt gyümölcslevekből A lineáris egyenletredszer vektoros felírását lineáris kombináció dj, zz 5 x x x x A lineáris egyenletrendszer skláris felírását sklárszorztok dják, zz 5 x x x x x x x x x x x x A megoldás sémáj: x x x x x K K K K 5 G q G A G

39 A lineáris egyenletrendszer megoldásávl itt nem fogllkozunk A megoldási módszerekről későbbiekben fogunk írni, de csk érintőlegesen, hiszen e segédletnek ez nem volt célj Annyit megjegyzünk, hogy ez rádásul különleges lineáris egyenletrendszer, mivel z ismeretlenek szám nem zonos z egyenletek számávl Áltlábn végtelen sok megoldás vn egy ilyen lineáris egyenletrendszernek Tegyük fel, hogy koktélok eldási ár rendre 6,, 5, ; foglljuk ezeket c=(6,, 5, ) árvektorb H minden előállított koktélt el tudjuk dni fentebbi árkon, kkor z árbevételt cx skláris szorzt dj Érdekességként felvetjük zt problémát is, hogy végtelen sok megoldás közül válsszuk ki zt, melynél koktélok eldásából dódó árbevétel legngyobb Ezt z lábbi formábn foglmzhtjuk meg: Keressük zt z x vektort, melyre teljesülnek z Ax q x feltételek és cx mx! Ez egy optimlizálási feldt, zon belül egy lineáris progrmozási feldt, melynek megoldásár itt szintén nem tudunk kitérni Péld: Egy üzem féle termék (T) előállításávl fogllkozik A termékeket féle lktrészből (A) szerelik össze Az lábbi bloldli táblázt muttj, hogy z egyes termékeket hány lktrészből szerelik össze Az lktrészek megmunkálását féle megmunkálógépen (G) végzik Az lábbi jobboldli táblázt muttj, hogy z egyes lktrészeket mennyi idő (ór) ltt munkálják meg z egyes gépeken Szintén z lábbi tábláztokbn vn megdv, hogy z egyes termékekből mennyit gyártunk (megrendelés) (gym) egy dott időszkbn, mennyi z egyes termékek szerelési költsége (szk), mennyi z egyes lktrészek ár (ár), illetve mennyi z egyes gépek egy óri működési költsége (mk) T T T ár A A A mk A 5 G A G A G gym szk 6 5 Mátrixlgebri jelölésekkel foglmzz meg z lábbi kérdéseket! Mekkor z egyes termékek lktrész költsége? Az egyes lktrészekből mennyit hsználunk fel megrendelés teljesítéséhez? Mennyi z egyes lktrészek megmunkálási költsége? Az egyes megmunkálógépeken hány órát kell dolgozni egy-egy termékhez szükséges lktrészek legyártásához? 5 Az egyes megmunkálógépeknek hány órát kell dolgozniuk megrendelés teljesítéséhez? 6 Egy-egy termékhez szükséges lktrészek legyártásához mennyi megmunkálógépek működési költsége? 9

40 7 A megrendelés teljesítésének mekkor z összes költsége? A kérdések megválszolásához először meg kell dni feldtbn hsznált mátrixokt és vektorokt Jelölje ij zt, hogy j-edik termék összeszereléséhez z i-edik lktrészből hány drbr vn szükség Ezeket z dtokt z A mátrixb foglljuk Az A mátrix (i) sorvektor z i- edik lktrészből z egyes termékek szereléséhez szükséges mennyiséget, z j oszlopvektor pedig j-edik termék szereléséhez szükséges egyes lktrészek mennyiségét muttj A b ij jelentse zt, hogy j-edik lktrész i-edik gépen történő megmunkálásához mennyi időre (ór) vn szükség Ezeket z dtokt B mátrixb foglljuk A B mátrix b (i) sorvektor z i-edik gépnek z egyes lktrészek megmunkálásához szükséges gépidejét, b j oszlopvektor j-edik lktrész z egyes gépeken történő megmunkálásánk időszükségletét muttj Jelölje q i z i-edik termékből gyártndó mennyiséget (megrendelés) (gym), melyeket q vektorb fogllunk A k i jelentse z i-edik megmunkálógép egy óri működési költségét (mk), melyeket k vektorb fogllunk Az s i jelentse z i-edik termék összeszerelési költségét (szk), melyeket z s vektorb fogllunk A p i jelentse z i-edik lktrész egységárát (ár), melyeket p vektorb fogllunk A példbeli mátrixok és vektorok következők: A,, B q, k, 6 s 5, 5 p Mekkor z egyes termékek lktrész költsége? Az A mátrix (i) sorvektor z egyes termékek szereléséhez szükséges mennyiséget dj z i-edik lktrészből Az i-edik lktrész ár p i, így p i (i) z egyes termékek szereléséhez szükséges A i lktrész költsége Ezeket mindhárom lktrészre összedv () () () p p p összefüggés dj z egyes termékekhez szükséges lktrészek költségét Ez z A mátrix sorvektorink lineáris kombinációj, miről tudjuk, hogy pa vektor-mátrix blról szorzásnk felel meg Másik elgondolás szerint: Az A mátrix j oszlopvektor T j termékhez szükséges lktrészmennyiségeket dj, h e vektor elemeit rendre megszorozzuk z lktrész árkkl és szorztokt összedjuk, kkor T j termékhez szükséges lktrészek költségét kpjuk Ez p j skláris szorzásnk felel meg A többi termék lktrészköltségét is hsonlón számítjuk, így keresett mátrixművelet pa

41 A megoldás mátrixműveletek segítségével: pa 5 Sém segítségével vló számolás: T T T 5 A p A A A pa Az egyes lktrészekből mennyit hsználunk fel megrendelés teljesítéséhez? A T j termék egységéhez szükséges lktrészmennyiséget lktrészenként z A mátrix j-edik oszlopvektor ( j ) muttj, q j mennyiségű T j termékhez pedig z lktrészszükséglet q j j A három termékre vontkozón z lktrészenkénti lktrészszükséglet q q q Ez z A mátrix oszlopvektorink megrendelés vektor (q) elemeire vett lineáris kombináció, mi z Aq mátrixműveletnek felel meg Másik elgondolás szerint: Az A i lktrészből egységnyi mennyiségű termékekhez felhsználást z (i) sorvektor muttj A q (i) skláris szorzt pedig q vektornk megfelelő mennyiségű termékhez muttj z A i lktrészből felhsználást A többi lktrészre is hsonló felhsználás, így z egyes lktrészekből felhsználást z Aq művelet eredménye dj A megoldás mátrixműveletek segítségével: Aq Sém segítségével vló számolás: q T T T A 7 A A 6 Aq A 8 Mennyi z egyes lktrészek megmunkálási költsége A B mátrix b (i) sorvektor z egyes lktrészeknek z i-edik gépen történő megmunkálásánk idejét muttj Az i-edik gép óránkénti működési költsége k i, így k i b (i) z egyes lktrészek megmunkálási költsége G i gépen Ezeket mindhárom gépre összedv

42 k () () () b k b k b összefüggés dj z egyes lktrészek megmunkálási költségét Ez B mátrix sorvektorink lineáris kombinációj, miről tudjuk, hogy kb vektor-mátrix blról szorzásnk felel meg Másik elgondolás szerint: A B mátrix b j oszlopvektor z A j lktrész gépenkénti megmunkálási idejét muttj H e vektor elemeit rendre megszorozzuk gépek óránkénti működési költségével és szorztokt összedjuk, kkor z A j lktrész megmunkálási költségét kpjuk Ez kb j skláris szorzásnk felel meg A többi lktrész megmunkálási költségét is hsonlón számítjuk, így keresett mátrixművelet kb A megoldás mátrixműveletek segítségével: kb Sém segítségével vló számolás: A A A G k G B G kb Az egyes megmunkálógépeken hány órát kell dolgozni egy-egy termékhez szükséges összes lktrész legyártásához? Azt tábláztot keressük, mely zt muttj, hogy z egyes termékekhez szükséges lktrészek legyártásához mennyi ideig kell működtetni z egyes gépeket Mátrixos megfoglmzássl, zt C mátrixot keressük, melynek c ij eleme megmuttj, hogy j- edik termékhez (T j ) szükséges lktrészek megmunkálásához z i-edik gépen (G i ) mennyi idő kell A C mátrix c ij elemének meghtározás következőképpen történhet: A T j termékhez z A lktrészekből j mennyiség kell, egy A lktrész megmunkálás G i gépen b i ideig trt, kkor j mennyiség megmunkálás j b i ideig trt A T j termékhez z A lktrészekből j mennyiség kell, egy A lktrész megmunkálás G i gépen b i ideig trt, kkor j mennyiség megmunkálás j b i ideig trt Hsonlón dhtó meg z A lktrész megmunkálásához szükséges idő is Eszerint T j termékhez szükséges lktrészek megmunkálás G i gépen j b i + j b i + j b i ideig trt Könnyen kiolvshtó, hogy ez mennyiség B mátrix i-edik sorvektoránk (b (i) ) és z A mátrix j-edik oszlopvektoránk ( j ) skláris szorzt A mátrixszorzás műveletének definíciójából zonnl dódik, hogy C mátrix B és z A mátrix szorzt, képletben: C=BA

43 A megoldás mátrixműveletek segítségével: C BA Sém segítségével vló számolás: T T T A A A A A A A G 9 B G 7 G BA Ugynehhez z eredményhez más úton is eljuthtunk Jelölje keresett C mátrix j-edik oszlopvektorát c j, mely T j termékhez felhsználndó lktrészek megmunkálásához szükséges gépidőt muttj gépenként Az A lktrész gépenkénti megmunkálási idejét B mátrix b oszlopvektor muttj Az A lktrészből T j termékhez j mennyiség kell, így T j termékhez szükséges A lktrész gépenkénti megmunkálási idejét z j b mennyiség dj Hsonlón számíthtó másik két lktrészre vontkozón is T j termékhez szükséges gépenkénti gépidő A három lktrészt együttesen nézve T j termékhez szükséges gépenkénti gépidőt z j b + j b + j b összefüggés dj, mely nem más, mint B mátrix oszlopvektorink z A mátrix j-edik oszlopvektorbeli elemeire vett lineáris kombinációj Ismeretes, hogy z XY mátrixszorzás eredményének j-edik oszlopvektor z X mátrix oszlopvektorink z Y mátrix j-edik oszlopvektorbeli elemeire vett lineáris kombinációj Esetünkben lineáris kombináció vektori B mátrix oszlopvektori, ezek szerint X=B A lineáris kombináció számi z A mátrix j-edik oszlopvektorbeli elemei, ezért Y=A A keresett c j oszlopvektor BA szorztmátrix oszlopvektor, tehát keresett megoldás: C=BA A másik módszernél jelölje keresett C mátrix i-edik sorvektorát c (i), mely z egyes termékekhez szükséges lktrészeknek G i gépen történő megmunkálási idejét dj Az A lktrészből z egyes termékekhez szükséges mennyiséget z A mátrix () sorvektor dj Az A lktrészt G i gépen b i idő ltt lehet megmunkálni A b i () mennyiség z egyes termékekhez szükséges A lktrész G i gépen történő megmunkálási idejét dj Hsonlón számíthtó másik két lktrész G i gépen történő megmunkálási ideje is Az egyes termékekhez szükséges három lktrésznek G i gépen történő megmunkálási idejét b i () + b i () + b i () összeg dj, mely nem más, mint z A mátrix sorvektorink B mátrix i-edik sorvektorbeli elemeire vett lineáris kombinációj Ismeretes, hogy z XY mátrixszorzás eredményének i-edik sorvektor z Y mátrix sorvektorink z X mátrix i-edik sorvektorbeli elemeire vett lineáris kombinációj Esetünkben lineáris kombináció

44 vektori z A mátrix sorvektori, ezek szerint Y=A A lineáris kombináció számi B mátrix i-edik sorvektorbeli elemei, ezért X=B A keresett c (i) sorvektor BA szorztmátrix sorvektor, tehát keresett megoldás: C=BA 5 Az egyes megmunkálógépeknek hány órát kell dolgozniuk megrendelés teljesítéséhez? A C=BA mátrix c j oszlopvektor T j termékhez felhsználndó lktrészek megmunkálásához szükséges gépidőt muttj gépenként A T j termékből q j mennyiséget gyártunk, így z ehhez szükséges lktrészek megmunkálási ideje gépenként q j c j A többi termékre vontkozón hsonlón írhtó megmunkálási idő, ezért q c q c q c mennyiség megrendelés teljesítéséhez szükséges gépenkénti gépór Ez C mátrix oszlopvektorink megrendelés vektor (q) elemeire vett lineáris kombinációj, mi Cq mátrixműveletnek felel meg Más felírásbn (BA)q A megoldás mátrixműveletek segítségével: 9 Cq ( BA) q 8 Sém segítségével vló számolás: q T T T G 9 79 C=BA G 7 Cq=(BA)q G A mátrixszorzás ssocitív tuljdonság mitt B(Aq) is ugynezt z eredményt szolgálttj Természetesen ez is értelmezhető, z Aq mennyiség már ismert is z előző kérdésből Jvsoljuk z olvsónk, hogy z Aq ismeretében is vezesse le B(Aq) megoldást Sém segítségével vló számolás: Aq T T T G 79 B G B(Aq) G 8 6 Egy-egy termékhez szükséges lktrészek legyártásához mennyi megmunkálógépek működési költsége? A C=BA mátrix c (i) sorvektor G i gép megmunkálási idejét muttj termékenként A G i gép működési költsége k i, így k i c (i) G i gép működési költségét fejezi ki termékenként H mindhárom gépet figyelembe vesszük, kkor

45 k () () () c k c k c összeg fejezi ki, hogy z egyes termékekhez szükséges lktrészek legyártásához mennyi gépek működési kötsége Ez C mátrix sorvektorink működési költség vektor (k) elemeire vett lineáris kombinációj, mi kc mátrixműveletnek felel meg Más felírásbn k(ba) A megoldás mátrixműveletek segítségével: 9 kc k( BA) Sém segítségével vló számolás: 7 7 T T T G 9 k G 7 BA G k(ba) A mátrixszorzás ssocitív tuljdonság mitt (kb)a is ugynezt z eredményt szolgálttj A kb is könnyen értelmezhető, mégpedig gépek működési költségét fejezi ki lktrészenként Jvsoljuk z olvsónk, hogy kb ismeretében is vezesse le (kb)a megoldást Sém segítségével vló számolás: T T T 5 G kb 9 G A 8 G 7 (kb)a 7 A megrendelés teljesítésének mekkor z összes költsége? Legyen kc vektor j-edik eleme (kc) j, mely T j termékhez szükséges lktrészek legyártásához gépek működési költségét fejezi ki A T j termékből megrendelés q j, ehhez q j (kc) j működési költség trtozik Ezeket termékenként összedv, megkpjuk megrendelés teljesítéséhez gépek működési költségét, melyet kc és q vektor skláris szorzt d meg, tehát képletben (kc)q vgy (k(ba))q A formul átrendezhető (kb)(aq) skláris szorzt formár is A k(ba)q formár vló átrendezés is helyes Jvsoljuk z olvsónk fenti felírások szerinti értelmezést Ne feledkezzünk meg, hogy nemcsk gépi megmunkálási költségek vnnk, hnem lktrészköltségek is Az Aq vektor i-edik eleme (Aq) i, mely z A i lktrészből 5

46 megrendeléshez szükséges mennyiség Az A i lktrész ár p i, így p i (Aq) i megrendelés A i lktrész költsége Az összes lktrész költség p ( Aq) p ( Aq) p ( Aq ) Ez p vektor és z Aq vektor skláris szorzt, képletben mely felírhtó (pa)q, sőt paq formábn is p(aq), Ezeken költségeken felül még termékek szerelési költségét is figyelembe kell venni Ezt z s q s q s q skláris szorzás dj, mely vektoros felírásbn sq vgy qs Összefogllv, három költséget z lábbi formul dj: ( k( BA)) q p( Aq) sq A q vektor kiemelésével fenti formul z lábbi skláris szorzt formájábn írhtó ( kba pa s) q Ennek értelmezése z előzőek lpján egyszerű A kba vektor elemei z egyes termékekhez szükséges lktrészek megmunkálási költségét, pa vektor elemei z egyes termékekhez szükséges lktrészek költségét, z s vektor elemei z egyes termékek szerelési költségét dják H ezeket rendre termékekből előállított mennyiségekkel szorozzuk és szorztokt összedjuk, kkor megrendelés összes költségét kpjuk E fenti értelmezés lpján megoldás z lábbi: A három költségvektor: 6 7 kba pa s Ezt szorozv sklárisn q vektorrl kpjuk megrendelés teljes költségét, mely 59 Mivel fenti formul viszonylg bonyolult, ezért felírjuk mátrixszorztos írásmód szerint is T T T k BAq p Aq s q, vgy T T T (k BA p A s ) q Péld: Legyen dott z AR m n mátrix Jelöljük ki mátrix egy nemzérus elemét, z rs elemet Nevezzük ezt pivot elemnek A mátrix r-edik sorát pivotsornk, z s-edik oszlopát pedig pivotoszlopnk A mátrixműveletek segítségével htározzuk meg zt BR m n mátrixot, melyben pivotsor és pivotoszlop minden eleme zérus A pivotsoron kívüli sorokt pedig úgy számoljuk, hogy z dott sorból kivonjuk pivotsor vlhányszorosát Azt, hogy hányszorosát kell kivonni, pivotoszlop két elemének hánydos dj következő képlet segítségével ( i) ( i) is ( r) b i r rs 6

47 Módosítsuk B mátrixot egy CR m n mátrixr úgy, hogy pivotsor ne nullázódjon ki, hnem z eredeti A mátrix pivotsor legyen elosztv pivotelemmel A C mátrix meghtározását szintén mátrixműveletek segítségével végezzük Megoldás: A B mátrix didikus szorzás hsználtávl egyszerűen előállíthtó, mégpedig pivotoszlop és pivotsor didikus szorzt segítségével z lábbik szerint ( r) s rs B A, mely elemenkénti felírásbn következő bij ij isrj rs Ezt egyszerűen beláthtjuk, h - h i = r (pivotsor), kkor: b rj rj rsrj rs, - h j = s (pivotoszlop), kkor: b is is isrs rs, - is h i r (nem pivotsor), kkor: bij ij isrj ij rj, rs rs ( i) ( i) is ( r) mely vektoros formábn b rs i r, ez pedig feldtbn megfoglmzottl zonos eredményt d A C mátrixot úgy kpjuk, hogy B mátrixhoz hozzá kell dni egy olyn mátrixot, melynek r-edik sor pivotsor -szoros, többi sor pedig zérus Ezt egy rs digonális mátrix-szl vló blról szorzássl lehet elvégezni, legyen ez DR m m mátrix, melynél drr, többi főátlóbeli elem pedig zérus A hozzádndó rs mátrix, így DA A C mátrix pedig ( r) ( ) ( ) r s D E A s rs C DA B DA A, rs hol ER m m egységmátrix, D+E mátrix pedig olyn digonális mátrix, melynek főátlóbeli elemei, kivéve z r-ediket, mely Illusztrálás számpéldávl: 5 6 A, r, s A pivotelem: =, pivotsor: sor, pivotoszlop: oszlop Mátrixműveletek nélküli megoldás: 6 Az sorból pivotsor -szeresét, sorból pivotsor -szeresét kell kivonni rs 7

48 8, 6 5 C B A Mátrixmüveletek segítségével történő megoldás: 6,, () E D A B és C mátrixok számításához kijelölt műveletek elvégzése: , ) ( () A E D A keresett B és C mátrix: ) ( A B, ) ( () A E D C Péld: Legyen dott z AR m n mátrix Módosítsuk z A mátrixot következőképpen: k-dik oszlopából vonjuk ki z s-edik (s k) oszlopánk λ-szorosát, többi oszlopot hgyjuk változtlnul Írjuk fel z így keletkező B mátrixot mátrixműveletek segítségével! Megoldás: Készítsünk egy mátrixot, melyet mjd megszorzunk z A mátrix-szl megkpjuk B mátrixot Jelöljük ezt z n n-es mátrixot G-vel A G mátrix megkonstruálásához induljunk ki z n-ed rendű egységmátrixból Az egységmátrix k-dik oszlopábn z s-edik elemet (zérust) változtssuk meg, legyen g sk = - λ Tehát G mátrix k-dik oszlopábn k-dik elem, z s-edik elem λ, többi elem pedig zérus Megmuttjuk, hogy keresett B mátrix B=AG művelettel számíthtó ki, tehát jobbról kell szorozni G mátrix-szl A B mátrix oszlopszerinti felírás Ag n Ag Ag AG B A g j oszlopvektorok k-dik kivételével egységvektorok, így j k esetén b j =Ag j = Ae j = j, tehát k-dik oszlop kivételével többi oszlop nem változik A b k =Ag k oszlopvektor lineáris kombinációvl felírv z lábbi

49 b k Ag ( ), k ez pedig pontosn nnk felel meg, hogy k-dik oszlopból kivonjuk z s-edik oszlop λ- szorosát Péld: Legyen dott z AR m n mátrix Módosítsuk z A mátrixot következőképpen: k-dik sorából vonjuk ki z r-edik (r k) soránk λ-szorosát, többi sort hgyjuk változtlnul Írjuk fel z így keletkező B mátrixot mátrixműveletek segítségével! Megoldás: Készítsünk egy mátrixot, melyet mjd megszorzunk z A mátrix-szl megkpjuk B mátrixot Jelöljük ezt z m m-es mátrixot G-vel A G mátrix megkonstruálásához induljunk ki z m-ed rendű egységmátrixból Az egységmátrix k-dik sorábn z r-edik elemet (zérust) változtssuk meg, legyen g kr = - λ Tehát G mátrix k-dik sorábn k- dik elem, z r-edik elem λ, többi elem pedig zérus Megmuttjuk, hogy keresett B mátrix B=GA művelettel számíthtó ki, tehát blról kell szorozni G mátrix-szl A B mátrix sorszerinti felírás () g A () g A B GA ( m) g A A g (i) sorvektorok k-dik kivételével egységvektorok, így i k esetén b (i) = g (i) A= e i A= (i), tehát k-dik sor kivételével többi sor nem változik A b (k) = g (k) A sorvektor lineáris kombinációvl felírv z lábbi b ( k ) ( k ) ( k ) ( r ) g A ( ), ez pedig pontosn nnk felel meg, hogy k-dik sorból kivonjuk z r-edik sor λ-szorosát k s Péld: Legyen dott z AR m n mátrix Az előző példához hsonlón módosítsuk z A mátrixot következőképpen: k-dik sorából vonjuk ki z r-edik soránk (r k) λ-szorosát, többi sort hgyjuk változtlnul Most zonbn megmondjuk, hogy z r-edik sor hányszorosát vonjuk ki, nnyiszorosát vonjuk ki, hogy k-dik sor s-edik eleme zérus legyen Írjuk fel z így keletkező B mátrixot mátrixműveletek segítségével! Megoldás: Az előző péld megoldásából láttuk, hogy sorkivonási feldt megoldását B=GA művelet dj Olyn λ számot kell válsztnunk, hogy b ks = legyen A b ks elem pedig b ( k ) ( k ) ( k ) g A ( ) kifejezésből egyszerűen meghtározhtó, hiszen b ks = ks - λ rs =, kkor h λ = ks / rs Tehát λ-t z A mátrix s-edik oszlopbeli két elemének hánydosár kell válsztni úgy, hogy számláló k-dik sorból, nevező pedig z r-edik sorból vló ( r ) 9

50 Péld: Legyen dott z AR m n mátrix Az előző példához hsonlón módosítsuk z A mátrixot következőképpen: k-dik sorából vonjuk ki z r-edik (r k) soránk λ k -szorosát, de többi sort (i k) ne hgyjuk változtlnul, hnem zokbn sorokbn is végezzük el ezt kivonást, tehát minden sorból (i r) vonjuk ki z r-edik sor λ i -szeresét Olynok legyenek kivonások, hogy minden sor (i r) s-edik eleme zérus legyen Ez zt jelenti, hogy z s-edik oszlop egy elem (r-edik) kivételével kinullázódik Az r-edik sort eddig nem változtttuk, most változtssuk meg zt is, mégpedig úgy, hogy minden elemét osszuk el z rs elemmel Megoldás: Az előző péld megoldásából láttuk, hogy sorkivonási feldt megoldását B=GA művelet dj Olyn λ i számokt kell válsztnunk, hogy b is = legyen Azt is láttuk, hogyn kell megválsztni λ i számokt, mégpedig λ i = is / rs válsztássl Ezenfelül, még z r- edik sor minden elemét el kell osztni z rs elemmel Ezt egy digonális mátrix-szl vló blról szorzássl lehet megvlósítni, hol z r-edik digonális elem / rs, többi digonális elem zérus A fenti két feldt mindegyikét blról szorzássl lehet megvlósítni Végezetül felírjuk GR m m mátrix sémáját, keresett B mátrix B=GA művelettel htározhtó meg r oszlop s rs rs : : : : : : : : r sor s : : : : : : : : rs m, s rs ms rs Illusztrálás számpéldávl, hsználjuk z előző péld dtit: 5 6 A, r, s A G mátrix előállítás: 6 G ( ) 5

51 A keresett B mátrix: B GA 6 ( ) 5 6 Megjegyzések z előző két példához: Ugynz z eredmény dódott, holott kétféle összefüggést hsználtunk: (r) ( D E) A ill GA rs s A későbbi tnulmányok során z olvsó tlálkozni fog pivotálás műveletével és bizonyár rá fog ismerni, hogy z ott megfoglmzott műveletek fenti példákbn bemuttott módon, zz mátrixműveletekkel is leírhtók Jvsoljuk z olvsónk fentiek gykorlását további számpéldákkl is, mivel ezek műveletek ngyon sok feldt megoldásábn kerülnek felhsználásr, többek között lineáris egyenletrendszer megoldásánál, z inverzmátrix meghtározásánál, stb A gykorlást úgy célszerű végezni, hogy felveszünk egy tetszőleges mátrixot, zon elvégezzük sor kivonását z oszlop kinullázásávl (vgy nélkül) és után előállítjuk G mátrixot és zzl is elvégezzük kijelölt műveletet Előzetesen, ízelítőül néhány szót szólunk nem törekedve teljességre lineáris egyenletrendszer megoldásánk két módszeréről A lineáris egyenletrendszer mátrixos megfoglmzás Ax=b, hol z x vektort kell meghtározni Guss-eliminációs módszer: Az A mátrixot több lépésben módosítjuk sorkivonás módszerével Az lépésben sortól kezdve z összes sorból úgy vonjuk ki z sort, hogy z oszlopot kinullázzuk (elimináljuk), lépésben sortól kezdve z összes sorból úgy vonjuk ki z új sort, hogy oszlopot kinullázzuk, lépésben sortól kezdve z összes sorból úgy vonjuk ki z új sort, hogy oszlopot kinullázzuk, és így folyttjuk megoldást Az sort nem módosítjuk, z újonnn számított sort sem módosítjuk, z újonnn számított sort sem módosítjuk, stb H fenti műveleteket b vektoron is elvégezzük, kkor z így keletkező mátrixból egyszerű módon meghtározhtjuk lineáris egyenletrendszer megoldását A gykorlti számolásnál b vektort z A mátrix mellé írjuk, így kibővített [A,b] mátrixon végezzük el műveletet Guss-Jordn módszer: Az A mátrixot ennél módszernél is több lépésben módosítjuk sorkivonás módszerével, de eltérően Guss-eliminációs módszertől, itt z lépésben z sort elosztjuk z elemmel, lépésben z újonnn számított sort elosztjuk z új elemmel, 5

52 lépésben z újonnn számított sort elosztjuk z új elemmel, stb Ezen felül még vn más változás is Míg Guss-eliminációs módszernél csk z dott sortól lefelé történt sor kivonás z oszlop kinullázásávl, Guss-Jordn módszernél minden sorbn (kivéve z ktuálist, mert bbn z előzőek szerint osztást végzünk) elvégezzük z oszlop kinullázását H kibővített [A,b] mátrixon végezzük el műveletet, kkor z A mátrix helyén egységmátrixot kpunk, b vektor helyén pedig z egyenletrendszer megoldását olvshtjuk ki Péld: Egy válllt m féle terméket állít elő n féle lktrész összeszerelésével Jelölje ij zt, hogy z i-edik termék összeszereléséhez j-edik lktrészből hány drbr vn szükség A b ij jelentse zt, hogy egy dott év i-edik hónpjábn j-edik termékből hány drbot állítnk elő Jelölje p i z i-edik lktrész egységárát A v i pedig jelentse z i-edik termék egy drbjánk szerelési költségét Az lábbikbn kérdést teszünk fel, melyekre válszt mátrixműveletek segítségével kell megfoglmznunk Először foglmzzuk meg feldtbn szereplő dtokt mátrix, ill vektoros formábn Legyen A mátrix termékek összeszerelésének lktrész-szükséglet mátrix Az A mátrix (i) sorvektor z egyes termékek összeszereléséhez szükséges i-edik lktrész számát muttj, z j oszlopvektor j-edik termékhez szükséges lktrészek drbszámát muttj Legyen B mátrix hvonkénti termékelőállítás mátrix A B mátrix b (i) sorvektor megmuttj, hogy z i-edik hónpbn z egyes termékekből mennyit szerelnek össze, b j oszlopvektor pedig zt muttj, hogy j-edik termékből z egyes hónpokbn mennyit szerelnek össze Legyen p vektor z lktrészek árvektor Legyen v vektor termékek szerelési költségvektor A megoldásoknál hsználjuk még z összegzővektort () és z egységvektorokt (e i ) Célszerű számításhoz szükséges dtokt (mátrixokt, vektorokt) egy sémábn felrjzolni, így könnyebbé és áttekinthetőbbé válik műveletek megértése A sémábn sorokhoz és oszlopokhoz példábn szereplő megnevezéseket is jvsoljuk feltüntetni, ekkor sokkl egyszerűbbé tehetjük megoldások megkeresését p v A A j A n T T j T m T H : : T i A H i B : : T m H A kérdések következők: Mennyi z egyes hónpokbn termelt termékek szám? A válsz: B A B mátrix sorvektori muttják hvi termelést termékekből, így minden sorábn össze kell dni számokt, ezt B mátrix és z összegzővektor jobbról vló szorzás dj 5

53 Mennyi z év során z egyes termékekből termelt mennyiség? A válsz: B A B mátrix oszlopvektori muttják termékekből hvont termelt mennyiséget, így B mátrix minden oszlopábn össze kell dni számokt, ezt B mátrix és z összegzővektor blról vló szorzás dj Hvonként átlgosn hány terméket állítnk elő? A válsz: (/)B Az éves szinten termelt termékek számát többféleképpen megkphtjuk: - B mátrix minden elemét össze kell dni, ezt z B művelet dj, - z egyes hónpokbn termelt termékek számát (B) össze kell dni, ezt z (B) vgy (B) skláris szorzás dj, - z egyes termékekből z év során termelt termékek számát (B) össze kell dni, (B) vgy (B)) skláris szorzás dj Mindhárom esetben vektorszorztos felírást hsználtuk! H elosztjuk z éves szinten termelt termékszámot hónpok számávl, zz -vel, kkor hvi átlgot kpjuk Az r-edik hónpbn hány terméket állítottk elő? A válsz: e r (B) vgy (B)e r vgy e r B A hvonkénti termelés vektoránk z r-edik eleme dj meg válszt, melyet egységvektorrl vló skláris szorzás d 5 Mennyi z s-edik termékből z r-edik hónpbn gyártott mennyiség? A válsz: e r Be s A B mátrix b rs eleme kérdés, melyet egységvektorrl vló blról és jobbról szorzás d 6 Mennyi z s-edik termékből z év során termelt mennyiség? A válsz: (B)e s vgy e s (B) vgy Be s A termékekből z év során termelt mennyiséget z B vektor dj, melynek s-edik eleme kérdés, ezt pedig z egységvektorrl vló skláris szorzás dj 7 Mennyi z egyes hónpokbn szerelési költség? A válsz: Bv v T T j T m H : H i B : H Mint ismeretes B mátrix j-edik oszlopvektor (b j ) j-edik termékből z egyes hónpokbn előállított mennyiséget jelenti A j-edik termék minden egyes drbját v j költséggel szerelik össze, így j-edik termék szerelési költségét hvont v j b j vektor dj A többi termék szerelési költségét hsonlón kpjuk meg, így z összes termék hvonkénti szerelési költsége v b + v b + + v m b m, 5

54 mely B mátrix oszlopvektorink v vektor elemeire vett lineáris kombinációj, ezt pedig Bv művelet dj Másik megoldási mód: H i hónpbn termelés mennyiségét termékekenként B mátrix i- edik sorvektor b (i) dj Ennek elemeit termékek szerelési költségeivel szorozv és szorztokt összedv, kpjuk z i-edik hónpbn szerelési költséget, mely b (i) v skláris szorztnk felel meg A többi hónpbn is egy-egy skláris szorzt dj költséget, ezt pedig Bv művelet írj le 8 Mennyi z éves szinten szerelési költség? A válsz: (Bv) vgy (Bv) vgy Bv A hvi szerelési költségeket (Bv) dó vektor elemeit össze kell dni, ezt egy összegzővektorrl vló skláris szorzás dj 9 Mennyi hvonkénti átlgos szerelési költség? A válsz: (/)Bv Az éves szintű szerelési költséget osztjuk -vel, kkor hvi átlgot kpunk Mennyi z egyes hónpokbn szerelési költség termékfjtánként A válsz: BV vgy B<v> A B mátrix j-edik oszlop j-edik termékből z egyes hónpokbn előállított mennyiséget jelenti A j-edik termék minden egyes drbját v j költséggel szerelik össze, így j-edik termék szerelési költségét hvont úgy kpjuk meg, hogy j-edik oszlop mindegyik elemét megszorozzuk v j -vel Hsonlón járunk el többi terméknél is, zz mátrix többi oszlopánál is A fenti számítást mátrixműveletek közül egy digonális mátrix-szl vló jobbról szorzási művelettel lehet megvlósítni A v vektorból képezünk egy V digonális mátrixot ( digonális elemek vektor elemei) és BV vgy B<v> szorzást végezzük el Egy-egy termék összesen hány drb lktrészből áll? A válsz: A Az A mátrix sori muttják z egyes termékekhez felhsznált lktrészek mennyiségét, így z A mátrix soribn lévő elemeket kell összedni, mit z összegzővektorrl vló jobbról szorzás d Mennyi egy-egy termék lktrészköltsége? A válsz: Ap p A A j A n T : T i A : T m Tudjuk, hogy z A mátrix i-edik sorvektor ( (i) ) z egyes lktrészekből z i-edik termék egy drbjánk előállításához szükséges mennyiséget jelenti A sorvektor elemeit rendre z lktrész egységárávl szorozv, mjd ezeket összegezve kpjuk z i-edik termék lktrészköltségét, mely z (i) p skláris szorzásnk felel meg A többi termékre hsonló z lktrészköltség számítás Ez z A mátrix és p vektor Ap szorzásánk felel meg Tehát z Ap szorzt termékegységenként dj meg z lktrészköltséget 5

55 Másik megoldási mód: Az A mátrix j-edik oszlopvektor ( j ) megmuttj, hogy j-edik lktrészből z egyes termékekhez mennyit hsználnk fel A j-edik lktrész ár p j, ekkor p j j dj felhsználást pénzben kifejezve, más szóvl z lktrészköltséget A többi lktrészre vontkozó költségét hsonlón kpjuk meg, így termékenkénti összes lktrész költséget p + p + + p n n összefüggés dj, mely z A mátrix oszlopvektorink p vektor elemeire vett lineáris kombinációj, ez pedig z Ap műveletnek felel meg Mennyi z r-edik termék lktrészköltsége? A válsz: e r (Ap) vgy (i) p Az Ap vektor termékenkénti lktrészköltség vektor, ennek z r-edik elemére vgyunk kiváncsik, mely egy egységvektorrl vló szorzássl kphtó meg Másrészt z Ap vektor r-edik eleme z (i) p skláris szorzás H mindegyik termékből csk egyet gyártn válllt, kkor mennyi z összes lktrészköltség? A válsz: (Ap) vgy (Ap) vgy Ap Az Ap vektor dj termékenként felhsznált lktrészek költségét H ennek elemeit összedjuk, kkor teljes lktrészköltséget kpjuk A vektor elemeinek összedását pedig vektornk z összegzővektorrl vló skláris szorzt dj, zz kérdezett lktrészköltség: (Ap) vgy (Ap) vgy Ap Jvsoljuk z olvsónk z Ap szorzt értelmezését 5 Mennyi fenti esetben z egy termékre eső átlgos lktrészköltség? A válsz: (/m)ap Az Ap jelenti z összes termékre z lktrészköltséget, h ezt elosztjuk termékek számávl (m), kkor z átlgos (egytermékre jutó) lktrészköltséget kpjuk 6 Mennyi egy-egy drb termékbe beépülő lktrészek költsége lktrészenként? A válsz: AP vgy A<p> Az A mátrix j-edik oszlopvektor j-edik lktrészből z egyes termékekhez felhsznált mennyiséget muttj H ezt z oszlopvektort megszorozzuk j-edik lktrész árávl, p j - vel, kkor z egyes termékekhez szükséges j-edik lktrészt kpjuk pénzben kifejezve, zz z lktrészköltséget A többi lktrész esetében is z dott oszlopvektort be kell szorozni z dott lktrész árávl Az oszlopok szorzását egy digonális mátrix-szl vló jobbról szorzási művelettel tudjuk megvlósítni A p vektorból képezünk egy P digonális mátrixot ( digonális elemek vektor elemei) és z AP vgy A<p> szorzást végezzük el 7 A termelés során hónponként z egyes lktrészekből hány drbot hsználnk fel? A válsz: BA A megoldáshoz vló eljutást segítheti z lábbi sém: 55

56 A A j A n T : T m T T m H : H i b (i) b (i) j BA : H B Arr C mátrixr vgyunk kiváncsik, melynek c ij eleme megmuttj, hogy z i-edik hónpbn j-edik lktrészből mennyit hsználnk fel A i-edik hónpbn z egyes termékekből gyártott mennyiséget B mátrix i-edik sorvektor (b (i) ) dj A j-edik lktrészből z egyes termékek összeszereléséhez szükséges lktrészmennyiséget pedig z A mátrix j-edik oszlopvektor ( j ) dj A T termékből z i-edik hónpbn b i mennyiséget szereltek össze és T termékhez j-edik lktrészből j mennyiség kell, így b i j szorzt zt muttj meg, hogy z i-edik hónpbn j-edik lktrészből mennyi lett felhsználv, h csk T -et szerelik össze A többi termék összeszerelése is igényel A i lktrészlet H i hónpbn, z összes terméket figyelembe véve b i j + b i j + + b im mj z lktrészszükséglet Ez pedig b (i) j skláris szorzt Ebből már láthtó, hogy z egyes hónpokbn z egyes lktrészekből felhsznált mennyiséget C=BA mátrixszorzt szolgálttj Jvsoljuk z olvsónk, hogy ne csk ezen z ún elemenkénti megoldássl, hnem más úton is próbáljon eljutni megoldást dó BA mátrixszorzáshoz 8 Mennyi hónponként felhsznált lktrészek költsége? A válsz: (BA)p vgy B(Ap) vgy BAp A hónponkénti lktrészigényt BA mátrix írj le Ennek j-edik oszlopvektor (BA) j z A j lktrészből hvi felhsználást, p j (BA) j pedig pénzben kifejezett felhsználást jelenti, más szóvl z lktrészköltséget A (BA) p + (BA) p + + (BA) n p n összeg pedig z összes lktrész költséget dj hvonként Ez BA mátrix oszlopvektorink lineáris kombinációj, ebből pedig következik, hogy keresett mátrix (BA)p művelettel írhtó le A zárójelezhetőség mitt ugynez z eredmény dódik B(Ap) művelettel is, melynek ellenőrzését ill levezetését z olvsór bízzuk 9 Mennyi hvi összes szerelési- költség és lktrész költség? A válsz: Bv+(BA)p vgy B(v+Ap) Az előző kérdések eredményei lpján hvi szerelési költséget Bv vektor, hvi lktrész költséget B(Ap) vektor dj, így z összes költség ezek összege, vgyis j A 56

57 Bv+B(Ap), mi zonos B(v+Ap) eredménnyel Jvsoljuk z utóbbi szerinti értelmezést is Mennyi z évi összes szerelési- költség és lktrész költség? A válsz: (Bv+(BA)p) vgy B(v+Ap) vgy Bv+BAp A hvi szerelési költséget és lktrészköltséget kell összedni, ez pedig z összegzővektorrl történő skláris szorzást jelenti Értelmezze különböző összefüggéseket! Mennyi hvi átlgos összköltség? A válsz: (/)(Bv+BAp) vgy (/)B(v+Ap) Az összes költség osztv -vel dj meg hvi átlgot Értelmezze z utóbbi összefüggést! Mennyi z egy termékre jutó éves átlgos összköltség? A válsz: [/(B)B(v+Ap) Az év során B mennyiségű terméket szereltek össze, h ezzel osztjuk z éves összköltséget, kkor termékre vontkozó átlgot kpjuk Értelmezze z utóbbi összefüggést! Egy dott hónpbn q, q,, q n mennyiségű lktrészből termékenként hány drb állíthtó elő? A válsz: xa=q (x=?), h létezik A -, kkor x=qa - képlettel is felírhtó megoldás Jelölje z egyes termékekből előállíthtó mennyiséget x, x,, x m ; foglljuk ezeket z x vektorb Az i-edik termékhez z lktrészszükségletet z A mátrix i-edik sorvektor ( (i) ) muttj Az x i mennyiségű i-edik termékhez z lktrészszükséglet x i (i) Az összes terméket figyelembevéve z lktrészszükséglet x () + x () + + x m (m), mely z A mátrix sorvektorink z x vektor elemeire vett lineáris kombinációj, ezt z xa művelet írj le Ennek z lktrészszükségletnek kell egyenlőnek lennie z dott lktrészmennyiséggel, mit q vektor jellemez Összefogllv keresett x vektort z xa=q lineáris egyenletredszer megoldás dj Amennyiben létezik z A mátrix inverze, úgy megoldás x=qa - formábn is felírhtó Egy dott hónpbn q, q,, q n mennyiségű lktrész beszerelésének mennyi szerelési költsége és z lktrészköltsége? A válsz: xv+qp A q, q,, q n mennyiségű lktrész beszerelésével z előző pont szerint kiszámított x, x,, x m mennyiségű termék állíthtó elő, melyeknek szerelési költségét z xv skláris szorzt dj, ehhez jön még q, q,, q n mennyiségű lktrész ár, melyet qp skláris szorzt d 57

58 Leontief-féle input-output modell Tekintsünk egy gzdság termelési modelljét, melyben különböző szektorok (termelőágztok) különböző termékek előállításávl fogllkoznk Tételezzük fel, hogy modellben termékek és szektorok (termelőágztok) között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés vn Ezt fjt termelési modellt Leontief-féle input-output modellnek nevezzük Tehát minden terméket egyetlenegy szektor állít elő és fordítv, minden szektor egyetlenegy terméket termel Adott modellben közvetlen ráfordítások mátrix, melyet jelöljön B mátrix A B mátrix b ij eleme zt muttj, hogy j-edik szektor (S j ) z áltl előállított termék egységének előállításához z i-edik termékből (T i ) mennyit hsznál fel közvetlenül Adott szektorok termelése (kibocsátás), jelölje ezt q vektor, továbbá dott termékek egységár (röviden ár), jelölje ezt p vektor Mivel kölcsönösen egyértelmű kpcsolt szektorok és termékek között, ezért z áltlánosság megsértése nélkül mondhtjuk zt, hogy S szektor T, z S szektor T termék előállításávl, stb fogllkozik Innentől kezdve szektorokt nem is említjük, hnem csk termékeket Ebben megfoglmzásbn b ij elem zt muttj, hogy j-edik termék (T j ) egységének előállításához z i-edik termékből (T i ) mennyi közvetlen felhsználás A B mátrix i-edik sorvektor (b (i) ) zt muttj, hogy termelés során z i-edik termékből közvetlenül mennyit hsználnk fel z egyes termékek előállításához A B mátrix j-edik oszlopvektor (b j ) pedig zt jelzi, hogy termelés során j-edik termék előállításához z egyes termékekből mennyit hsználnk fel A q vektort termékek bruttó termelésének nevezzük A termékek szám legyen n, így írhtó, hogy BR n n, qr n, pr n A mátrixot és vektorokt z lábbi sémábn is közöljük, mely remélhetőleg mjd megkönnyíti következőkben elvégzendő modell-elemzést Több kérdést is felvethetünk, melyekre válszt mátrixműveletekkel fogjuk megdni q q j q n T T j T n p T b b j b n : : : : : p i T i b i b ij b in : : : : : p n T n b n b nj b nn Htározzuk meg z nygköltség mátrixot! Arr vgyunk kiváncsik, hogy mennyi közvetlen felhsználás pénzben kifejezve H B mátrix mindegyik sorvektorát megszorozzuk megfelelő termék árávl, kkor keletkező R mátrix r ij eleme zt muttj, hogy j-edik termék egységének előállításához z i-edik termékből hány pénzegység értékű mennyiséget hsználunk fel közvetlenül Ezt z R mátrixot nevezzük nygköltség mátrixnk Ismeretes, hogy egy ilyen műveletet egy digonális mátrix-szl vló blról szorzássl lehet előállítni A p árvektor elemeiből készítsünk egy digonális P mátrixot (ármátrix) és h ezzel blról megszorozzuk B mátrixot, kkor z nygköltség mátrixot kpjuk, zz R=PB, vgy vektorosn R=<p>B 58

59 Htározzuk meg z nygköltség mátrix ismeretében közvetlen ráfordítás mátrixot! Az R=PB összefüggésből induljunk ki, szorozzuk meg z egyenletet blról P digonális mátrix inverzével, ekkor P - R=P - PB, jobboldlon P - P=E és EB=B, így megoldás B=P - R vgy vektorosn B=<p> - R Megjegyezzük, hogy digonális mátrix inverzét egyszerűen lehet képezni, digonális elemek inverzét (reciprokát) kell venni Htározzuk meg bruttó termeléshez trtozó közvetlen ráfordítás mátrixot! H B mátrix mindegyik oszlopvektorát megszorozzuk megfelelő bruttó termeléssel, kkor keletkező C mátrix c ij eleme zt muttj, hogy j-edik termék bruttó termelésének megfelelő mennyiségű termék előállításához z i-edik termékből mennyit hsználunk fel közvetlenül Ismeretes, hogy egy ilyen műveletet egy digonális mátrix-szl vló jobbról szorzássl lehet előállítni A q bruttó termelés vektor elemeiből készítsünk egy digonális Q mátrixot és h ezzel jobbról megszorozzuk B mátrixot, kkor C mátrixot kpjuk, zz C=BQ, vgy vektorosn C=B<q> Htározzuk meg bruttó termeléshez trtozó nettó kibocsátást! A B közvetlen ráfordítás mátrix b j oszlopvektor zt muttj meg, hogy j-edik termék egységének előállításához z egyes termékekből közvetlenül mennyit hsználnk fel H j- edik termékből q j mennyiséget termelnek (állítnk elő), kkor közvetlen felhsználás vektor q j b j A felhsználás többi termékre is hsonlón írhtó fel, így q bruttó termeléshez felhsználás vektor q b qb q n bn, zz B mátrix oszlopvektorink lineáris kombinációj, mely Bq szorzásnk felel meg H q bruttó termeléshez Bq mennyiséget felhsználunk, kkor nettó termelés, vgy nettó kibocsátás vektor q Bq Jelölje nettó kibocsátást z r vektor, így r = q Bq A nettó kibocsátás tehát megmuttj, hogy termelés során felhsznált termékek után mennyi mrd ún végső felhsználási célokr Az r = q Bq formulához z lábbi okoskodássl is hozzájuthtunk H z i-edik termék közvetlen felhsználás b (i) sorvektorát sklárisn megszorozzuk q vektorrl, kkor ez mennyiség megdj, hogy q termeléshez mennyit hsználunk fel z i-edik termékből A b (i) q mennyiségek vektorát pedig Bq szorzássl kpjuk 5 Htározzuk meg nettó kibocsátáshoz trtozó bruttó termelést! Az r = q Bq összefüggésből induljunk ki és ebből rendezéssel fejezzük ki q vektort A következők dódnk: r = q Bq = Eq Bq = (E B)q A q vektor ebből q = (E B) - r 59

60 formulávl számíthtó, mennyiben létezik z inverzmátrix Az inverz létezésének vizsgáltávl itt nem kívánunk fogllkozni Az (E B) - inverzmátrixnk ngy jelentősége vn modellben, ezért ezt Leontief-féle inverznek nevezik és T-vel jelölik, hol tehát T = (E B) -, így bruttó termelés és nettó termelés közötti kpcsoltot formulák dják q = Tr, ill z r = T - q = q Bq 6 Htározzuk meg z egyes termékek egységnyi mennyiségű előállítás során keletkező hozzádott értéket vgy nettó értéket! A B közvetlen ráfordítás mátrix b (i) sorvektor megmuttj, hogy z i-edik termékből mennyit hsználnk fel z egyes termékek egységnyi mennyiségének előállításához H z i- edik termék egységár p i, kkor felhsználás pénzbeli értéke p i b (i) A pénzben kifejezett felhsználás többi termékre is hsonlón írhtó fel, így p árvektorhoz pénzbeli felhsználás vektor () () ( n) p b p b b, zz B mátrix sorvektorink lineáris kombinációj, mely pb szorzásnk felel meg A p árrendszer esetén pénzben kifejezett felhsználás tehát pb, kettő különbsége keletkező hozzádott érték vgy nettó érték A hozzádott érték vektor p pb Jelölje hozzádott értéket z m vektor, így m = p pb A hozzádott érték tehát megmuttj, hogy z egyes termékek egységnyi mennyiségű előállítás során mennyi hozzádott érték Az m = p pb formulához z lábbi okoskodássl is hozzájuthtunk H p árvektort sklárisn megszorozzuk j-edik termék közvetlen felhsználás vektorávl, b j oszlopvektorrl, kkor ez mennyiség megdj, hogy p árk mellett pénzben kifejezve mennyit hsználunk fel z egyes termékekből A pb j mennyiségek vektorát pedig pb szorzássl kpjuk 7 Htározzuk meg hozzádott értékhez trtozó árvektort! Az m = p pb összefüggésből induljunk ki és ebből rendezéssel fejezzük ki p vektort A következők dódnk: m = p pb = pe pb = p(e B) A p vektor ebből p = m(e B) - formulávl számíthtó Itt láthtjuk z (E B) - Leontief-féle inverz jelentőségét Az árrendszer és hozzádott érték közötti kpcsoltot formulák dják p = mt, ill z m = T - p = p pb 8 A közvetlen ráfordítások különböző formáj Az lpértelmezés mellett még három értelmezést is hsználhtunk Mindegyik értelmezésben közvetlen ráfordításokt kpjuk p n 6

61 ) Az első értelmezést (lpértelmezést) fejezet elején ismertettünk A lényege z, hogy z egyes termékek egységnyi mennyiségű előállításához többi termékből hány egységet hsználunk fel Tehát ebben z értelmezésben zt djuk meg, hogy természetes egységhez mennyi közvetlen felhsználás természetes egységben kifejezve A közvetlen felhsználás mátrix B b) A közvetlen ráfordítást úgy is értelmezhetjük, hogy természetes egységhez mennyi közvetlen felhsználás pénzegységben kifejezve A közvetlen felhsználás mátrix R=PB vgy R=<p>B, mit kérdésnél mutttunk be, ez z értelmezés is szokásos, nygköltségnek is szokás nevezni c) A közvetlen ráfordítást úgy is értelmezhetjük, hogy pénzegységhez mennyi felhsználás természetes egységben kifejezve Tekintsük j-edik terméket Egy természetes egységnyi mennyiség előállításához többi termékből természetes egységben kifejezett felhsználást b j oszlopvektor muttj H nem természetes egységnyi mennyiség előállításához krjuk meghtározni felhsználást, hnem pénzbelihez, kkor felhsználást z j p b oszlopvektor muttj Tehát j-edik j oszlop minden elemét el kell osztni j-edik termék árávl, vgy más szóvl meg kell szorozni j-edik termék áránk reciprokávl Ezt z műveletet minden oszlopr kiterjesztve egy digonális mátrix-szl vló jobbról szorzás dj Korábbról pedig tudjuk, hogy P - mátrix lklms erre A közvetlen felhsználás mátrix tehát D=BP - vgy D=B<p> - d) A közvetlen ráfordítást úgy is értelmezhetjük, hogy egy pénzegységnyi mennyiséghez mennyi felhsználás pénzegységben kifejezve A közvetlen felhsználás mátrix A=PBP -, vgy <p> - B<p> -, mely zonnl dódik b) és c) értelmezésből Összefogllv: B mátrix elemeinek mértékegysége tm/tm, z R mátrix elemeinek mértékegysége pm/tm, D mátrix elemeinek mértékegysége tm/pm, z A mátrix elemeinek mértékegysége pm/pm, hol tm=természetes mennyiség ill pm= pénzmennyiség A legritkábbn c) pontbeli értelmezést hsználják 9 A Leontief-féle inverz különböző értelmezése A Leontief-féle inverz: T = (E B) -, melynek z lábbi három értelmezését djuk: ) Induljunk ki bruttó termelés és nettó termelés közötti kpcsoltot kifejező q = Tr formulából H r = e j, kkor q = Te j = t j Ebből következő olvshtó ki: A T mátrix t j oszlopvektor zt bruttó termelést dj, mely hhoz szükségeltetik, hogy j-edik termékből egységnyi nettó kibocsátás, többi termékből pedig zérus Tehát T mátrix ezen értelmezése szerint speciális nettó kibocsátásokhoz szükséges bruttó termeléseket muttj, mégpedig oszloponként b) Induljunk ki z árrendszer és hozzádott érték közötti kpcsoltot kifejező p = mt 6

62 formulából H m = e i, kkor p = e i T = t (i) Ebből következő olvshtó ki: A T mátrix t (i) sorvektor zt z árrendszer dj, mely esetén z i-edik termékben egységnyi hozzádott érték, többi termékben pedig zérus Tehát T mátrix ezen értelmezése szerint speciális hozzádott értékekhez dj meg z árrendszert, mégpedig soronként c) Ennél z értelmezésnél z lábbi okoskodássl élünk H r mennyiséget termelünk, kkor ehhez Br mennyiséget fel kell hsználni, mit meg kell termelni Viszont Br termeléséhez B(Br) mennyiséget kell felhsználni, mit szintén meg kell termelni A B(Br) termeléséhez B(B(Br)) mennyiséget kell felhsználni, mit szintén meg kell termelni A fenti gondoltmenetet folyttv q bruttó termelést q = r + Br + B(Br) + B(B(Br)) + formul írj le, melyet átrendezve z lábbi hsználhtó formulát nyerjük: q = (E + B + B + B + ) r H ezt összevetjük q = Tr összefüggéssel, kkor zt kpjuk, hogy T = E + B + B + B + Itt egy pillntr meg kell állni Két kérdés is felmerülhet z olvsóbn A fenti ún Neumnn-féle htványsor konvergens-e és h konvergens, kkor vjon Leontiefinverz lesz-e végtelen htványsor összege E helyen ezeknek feltételeit nem részletezzük, mivel célunk mátrixműveletek gykorlás Az lábbikbn vizsgáljuk meg közvetlen ráfordítás mátrix htványit, először B -et vizsgáljuk A B =BB szorztmátrix ij elemét jelöljük (BB) ij -vel A (BB) ij pedig z lábbi szerint részletezhető: (BB) ij = b (i) b j = b i b j + b i b j + b i b j + + b in b nj Ezt szorztot értelmezzük: Az egységnyi T j termékhez T termékből b j mennyiséget hsználunk fel, viszont z egységnyi T termékhez T i termékből b i mennyiséget hsználunk fel, ez zt jelenti, hogy z egységnyi T j termékhez T i termékből felhsználás b i b j mennyiség Tehát T j termékhez T i termékből T terméken keresztüli, nem közvetlen, áttételes felhsználás b i b j A fenti képlet második tgj pedig -z előbbiek szerint zt fejezi ki, hogy T j termékhez T i termékből T terméken keresztüli, áttételes felhsználás b i b j Hsonlón mindegyik tg T j termékhez T i termékből történő felhsználást fejezi ki más-más áttételen keresztül Ezek összege dj T j termékhez T i termékből z összes, egy terméken keresztűli (egy áttételes) felhsználást Ez felhsználást közvetett felhsználásnk nevezzük A T j termékhez T i termékből közvetlen felhsználás, mint tudjuk b ij H ez zérus, zz T j és T i között nincs közvetlen felhsználás, kkor még lehet köztük közvetett felhsználás Összefogllv tehát B mátrix is felhsználást fejez ki, de nem közvetlen felhsználás, hnem egyetlen terméken keresztüli közvetett felhsználást Az egy terméken keresztüli közvetett felhsználást z lábbi ábrávl szemléltetjük: 6

63 b i bj A B mátrix elemeinek vizsgált ennek ismeretében már egyszerű lesz A B = B B szorztmátrix ij elemét jelöljük (B B) ij -vel, mely következőképpen részletezhető: (B B) ij = (BB) (i) b j = (BB) i b j + (BB) i b j + + (BB) ik b kj + + (BB) in b nj Az összegben mindegyik tg T j és T i között közvetett felhsználást muttj, de két áttételen keresztül A (BB) ik b kj tg jelentése: Az egységnyi T j -hez T k -ból közvetlenül b kj mennyiséget hsználunk fel, viszont z egységnyi T k -hoz T i -ből (BB) ik mennyiséget hsználunk fel, de nem közvetlenül, hnem egy-egy termék közvetítésével, ez zt jelenti, hogy z egységnyi T j termékhez T i termékből felhsználás (BB) ik b kj mennyiség, de ez nem közvetlen felhsználás, hnem két áttételen keresztüli közvetett felhsználás Összefogllv tehát B mátrix is felhsználást fejez ki, de nem közvetlen felhsználás, hnem két terméken keresztüli közvetett felhsználást A két terméken keresztüli közvetett felhsználást z lábbi ábrávl szemléltetjük: T b k b nk T k T n T i b in (BB) ik =b i b k +b i b k + +b in b nk T j (B B) ij =(BB) i b j + +(BB) ik b kj + +(BB) in b nj Hsonlón értelmezhető többi htvány is: A B k mátrix (k-) terméken keresztüli közvetett felhsználást fejezi ki 6

64 A T = (E B) - Leontief-féle inverz tehát közvetlen és közvetett kpcsoltok összességét fejezi ki, ezért szokás teljes ráfordítás mátrixnk is nevezni 6

65 5 Feldtok Az lábbikbn két feldtot közlünk számdtok nélkül Az olvsó keresse meg megoldást Ellenőrzés céljából megdjuk megoldást Jvsoljuk, hogy vegyen fel számdtokt és így mátrixműveletek elvégzését is gykorhtj Feldt: Egy válllt háromféle terméket (T) állít elő háromféle lktrész (A) összeszerelésével Legyen dott z lábbikbn termeléssel kpcsoltos A, B mátrix és c, d, f vektor Az ij zt jelenti, hogy z i-edik lktrészből j-edik termék összeszereléséhez hány drbr vn szükség A b ij zt jelenti, hogy z i-edik negyedévben j-edik termékből hány drbot állítnk elő A c i T i termék szerelési költsége A d i z A i lktrészből felhsznált mennyiséget jelenti egy dott időszkbn Az f i z i-edik negyedévben felhsznált lktrészek összköltsége A mátrixműveletek segítségével válszoljon z lábbi kérdésekre! Mennyi szerelési költség z egyes negyedévekben? Mennyi z egyes negyedévekben z egyes lktrészekből felhsznált menyiség? Az egyes termékekből mennyit tud előállítni válllt, h z lktrészekből d vektornk megfelelő mennyiséget hsznál fel egy dott időszkbn? Mennyi z egyes lktrészek ár, h z egyes negyedévekben z f vektornk megfelelő volt z lktrészköltség? 5 Az egyes termékekben mennyi z lktrészek költsége? Feldt: Egy fuvrozó válllt k kereskedelmi egységbe (üzletbe, boltb) m féle terméket szállít n gépkocsivl Az ij jelentse z i-edik gépkocsivl j-edik termékből szállított mennyiséget egy-egy forduló lklmávl Az b ij jelentse z i-edik gépkocsivl j-edik üzletbe fordulók számát A p i jelentse z i-edik termék egységárát Mátrixritmetiki jelölésekkel válszoljon z lábbikr! Mennyi z egyes üzletekbe z egyes termékekből szállított mennyiség? Mennyi z egyes gépkocsikkl fordulónként szállított termékek értéke? Mennyi z egyes üzletekbe szállított termékek összértéke? Mennyi z r-edik gépkocsivl fordulónként szállított termékek értéke? 5 Mennyi z s-edik üzletbe szállított termékek összértéke? 6 Mennyi t-edik üzletbe szállított termékek értéke termékenként? feldt megoldás: Bc BA T vgy A T B Ax=d, x=? (BA T )p=f, p=? vgy p(a T B)=f, p=? 5 pa, mátrixszorztosn p T A Inverz segítségével ((BA T ) - f) T A vgy (f(a T B) - ) T A 65

66 feldt megoldás: ) A T B, h z eredménymátrix sori termékeket, oszlopi z üzleteket reprezentálják b) B T A, h z eredménymátrix sori z üzleteket, oszlopi termékeket reprezentálják Ap ) p(a T B), mátrixszorztosn p T (A T B) = p T A T B = (Ap) T B b) (B T A)p = B T Ap = B T (Ap) (r) p sklárszorzt, vgy (Ap) r = e r (Ap) sklárszorzt, mátrixszorztosn e T r Ap 5 ) (p(a T B)) s = (p(a T B))e s sklárszorzt, mátrixszorztosn p T A T Be s b) ((B T A)p) s = e s ((B T T T A)p) sklárszorzt, mátrixszorztosn es B Ap 6 ) <p> (A T B) mátrix t-edik oszlopvektor, zz (<p> (A T B))e t =(<p>a T )(Be t ) b) (B T A) <p> mátrix t-edik sorvektor, zz e t ((B T A) <p>) sklárszorzt, T T T T T mátrixszorztosn e B A p ( e B )( A p ) ( Be ) ( A p ) t t t 66