5.2. ábra. A mágnestűk a rúdmágnes erőterében az erővonalak irányát mutatják.

Átírás

1 8 5. Néány közelítő megoldás geometrii szemléltetése A dy dx = y2 x 2 2xy y 2 x 2 +2xy 5.1. ábr. differenciálegyenlet lpján rjzoltó iránymező ábr. A mágnestűk rúdmágnes erőterében z erővonlk irányát muttják.

2 5.2. Egylépéses módszerek ábr. A vsreszelék rjzolt sokkl részletesebbenen jeleníti meg mágneses erővonlkt. Gondoljunk csk már áltlános iskolások áltl is ismert fiziki kísérletekre, melyek bemuttáskor mágnestűket illetve vsreszeléket elyezünk egy rúdmágnes erőterébe. Az 5.2. ábrán láttó íránytűk állásából és z 5.3. ábr vsszemcséinek elrendeződésével létrejövő rjzoltból következtetetünk mágneses erővonlk irányár. Az dott rendszer sjátságitól függően más és más leetőséget tláltunk rendszer jellemzőinek bemuttásár. A természetet járv megfigyeletjük, ogyn egy ptk medrében élő vizinövények szár, levelei leglábbis zt muttják, ogy milyen kölcsöntás vn z ármló folydék és növény részei között. A szélcstornábn végzett ármlástni vizsgáltok esetében sokszor füsttel teszik láttóvá z ármló levegő útját. (Mint Klmár professzor úr közlekedési rendőreit rávettük voln, ogy üljenek motorr és mutssák z utt.) Vjon megdtóe ennek mtmtiki megfelelője? 5.2. Egylépéses módszerek Fölsználv kezdetiérték-problém geometrii jelentésében rejlő leetőséget, szemléltetetjük néány közelítő megoldás elvét. Bár (3.8) egyenlet szolgál

3 70 5. Néány közelítő megoldás geometrii szemléltetése későbbiek lpjául (3.9) feltétel mellett, z eljárások áltlánosítás könnyen elvégezető (3.11) vontkozásábn is. Szükséges továbbá még zt is megjegyezni, ogy z lábbikbn csupán néány úgynevezett diszkrét módszer 1 tárgylásár szorítkozunk, melyek jellemző módon megoldás közelítésére csk véges sok pontbn dnk leetőséget, tetszőleges pontossággl. Geometrii értelemben teát közelítő megoldások megdás ekvivlens egy P 0,P 1,...,P n pontsorozt megdásávl, ol P i T (0 i n) és P 0 megfelel kezdeti feltételnek. Ennek kpcsán djunk meg továbbá egy R pozitív lépésközt, mely kifejezi z egymást követő P i és P i 1 pontok első koordináink különbségét. Egy diszkrét módszert k-lépéses módszernek nevezünk, következő P i közelítésez fölsználjuk z őt megelőző P i k,p i k+1,...,p i 1 közelítéseket is (i k). A továbbikbn náány egylépéses módszert (k = 1) említünk egy leetséges szemléltetési módr koncentrálv Explicit Euler-módszer Az Euler-módszer kezdetiérték feldtok numerikus megoldásár lklmztó legegyszerűbb eljárás. Az lpgondolt z, ogy feldt (3.8) egyenletéből kiszámíttó Ẋ(t 0), mi keresett X(t) függvény deriváltjánk értéke t 0 elyen. Ez pontosn keresett függvény görbéjének P 0 ( t0,x(t 0 ) ) pontjábn rjzoltó érintő egyenes f(t 0,x 0 ) 2 meredeksége. Ezen z egyenesen keressük meg zt P 1 pontot, minek első koordinátáj t 0 +. A pontsorozt következő, P 2 elemének megtározásábn P 1 -nek ugynz szerepe, mint korábbn P 0 -nk volt P 1 esetében. Áltlánosítv z előzőeket teát P i 1 (t i 1,x i 1 ) pont ismeretében következő, P i (i > 0) közelítő pont koordinátáit t i = t i 1 + x i = x i 1 + k (5.1) ol k = f(t i 1,x i 1 ) szerint számíttjuk. 1 Ezekre továbbikbn z egyszerűség kedvéért numerikus módszer -ként fogunk ivtkozni, ott ol ez nem okoz félreértést. 2 A továbbikbn megkülönböztetjük z X(t) függvény t i elyen vett X(t i ) elyettesítési értékét, t i -ez trtozó közelítés x i értékétől. Erre zért vn szükség, mert z i = 0 esettől eltekintve áltlábn x i X(t i ), de x 0 = X(t 0 ) biztosn teljesül.

4 5.2. Egylépéses módszerek 71 A fentieket vektorokkl szemléltetve z 5.4. ábr muttj be. Ennek lpján P i elyvektorát megkpjuk, P i 1 elyvektoráoz ozzádunk egy olyn -vl páruzmos vektort, melynek első koordinátáj. Ennek pontosn megfelel vektor. # ( ) P i 1 P i, k P i 1 P i t i 1 t i 5.4. ábr. Euler-módszer egy lépésének szemléltetése vektorokkl Jvított Euler-módszer Az Euler-módszernek már egy lépése is mivel z egyenes egy pontját válsztjuk közelítés következő pontjánk elég jelentősen letéret pontos megoldás görbéjéről. A további lépések során z ebből szármzó ib tovább lmozódt. Az 5.4. ábr lpján következtetetünk rr, ogy értékének csökkentésével ez mérsékelető, mi zonbn csökkenti z eljárás tékonyságát.

5 72 5. Néány közelítő megoldás geometrii szemléltetése Htározzuk meg most következő, P i pontot t i = t i 1 + x i = x i 1 + k b ol k = f(t i 1,x i 1 ) k b = f(t i 1 + 2,x i k ) (5.2) összefüggések lpján. Az eljárás geometrii jelentését z 5.5. ábr szemlélteti. Először z Euler-módszernek megfelelően keressük meg k = f(t i 1, x i 1 ) meredekségű egyenesnek zt z A pontját, melynek első koordinátáj t i Az ábrán b jelöli z A ponton átldó görbe érintőjét, melynek meredeksége k b. Ezt prktikusn úgy nyerjük, ogy A koordinátáit beelyettesítjük z f ( t, X(t) ) 2 2 P i 1 A P i b t i 1 t i 5.5. ábr. Jvított Euler-módszer szemléltetése.

6 5.2. Egylépéses módszerek 73 függvénybe. A következő lépésben tározzuk meg P i elyét úgy, ogy b P # i 1 P i teljesüljön és P i első koordinátáj t i legyen. A szimmetri mitt ez megoldás áltlábn pontosbb eredményt szolgáltt Runge Kutt-módszer Ez z eljárás szintén egy lépéses módszer. A t i = t i 1 + x i = x i 1 + (k + 2k b + 2k c + k d ) ol k = f(t i 1, x i 1 ) k b = f(t i 1 + 2, x i k ) k c = f(t i 1 + 2,x i k b) k d = f(t i 1 +, x i 1 + k c ) (5.3) szbályok negyed rendű Runge Kutt-módszer egyik leetséges megdási módját jelentik. Összevetve z (5.2) és z (5.3) összefüggéseket láttó, ogy k és k b értékét zonos módon szármzttják. A jvított Euler-módszerez képest zonbn k b -t mi z A pontoz trtozó b érintő egyenes meredeksége fölsználjuk B pont megtározásáoz, melyre teljesül, ogy b P # i 1 B és B első koordinátáj t i Jelölje c B pontb rjzoltó érintőt, melynek meredeksége (5.3) lpján k c. Ezt fölsználjuk C pont megtározásáoz, melyre teljesül, ogy c P # i 1 C és C első koordinátáj t i. Az itt rjzoltó d érintő egyenes meredeksége pedig k d. A P i 1 pontoz trtozó irányon kívül, fenti módon megtározott A,B és C pontokbn számíttó meredekségeket 5.7. ábrán láttó módon veetjük figyelembe P i megtározásábn.

7 74 5. Néány közelítő megoldás geometrii szemléltetése c b c P i B b A d C t i 1 t i 5.. ábr. További pontok (A, B,C) kijelölése negyed rendű Runge Kutt-módszerben. ol és Legyen teljesül. # P i 1 P i = v 1 + v 2 + v 3 + v 4 v 1 ; b v 2 ; c v 3 ; d v 4 ( ( ( ( ) v 1 ; k ), v 2 3 ; 3 k b ), v 3 3 ; 3 k c ), v 4 ; k d 5.3. Közelítő módszerek ibáj A fenti numerikus módszerek fontos jellemzője, ogy z egymást követő lépések soroztán keresztül mekkor ibát lmoznk föl. Egy módszer e n globális ibáj

8 5.3. Közelítő módszerek ibáj c P i 1 v 1 b v 2 B v3 A v 4 P i d C t i 1 t i 5.7. ábr. A P i 1 és C pontokbn számított meredekséget egyszeres, míg A és B-ben számítottkt pedig kétszeres súllyl vettük figyelembe. zt fejezi ki, ogy n lépés végrejtás után módszerrel számított közelítő érték milyen mértékben tér el függvény pontos értékétől. A továbbikbn korábbn tárgylt árom módszert sonlítjuk össze ebből szempontból egy kezdetiérték feldt kpcsán. Legyen dott z Ẋ(t) = λx(t); X(0) = 1 (5.4) kezdetiérték feldt és közelítést [0; 1] intervllumon végezzük. A feldt megoldás X(t) = e λt lkbn dtó meg. Ennek ismerete leetővé teszi zt, ogy kezdeti feltételnek megfelelően P 0 (0,1) pontból kiinduló pontos megoldás görbéjéez z intervllum fölső tárán trtozó függvényértéket összesonlítsuk numerikus módszerek áltl, fölső táron