Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése

Átírás

1 5. Fejezet Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése 5.. Iránymező Látattuk, ogy az explicit differenciálegyenletek rendelkeznek azzal az érdekes és kivételes tulajdonsággal, ogy bár esetenként magáról a megoldásról igen keveset tudunk, de a sík minden pontjában ismerjük a megoldásgörbe érintőjének meredekségét. Kalmár László, volt szegedi professzor, ezt találóan úgy szemléltette, minta a sík minden pontjában állna egy-egy közlekedési rendőr, akik jeleznék, ogy a ponton átaladó görbe milyen irányban aladat. És valóban, bevált gyakorlat a differenciálegyenletek tanulmányozása során, ogy megfelelő pontokban megrajzoljuk az érintők egy darabkáját, azzal a céllal, ogy a megoldások viselkedésére következtetessünk ezek alapján. A 5.. ábra az y = x és a y = x egyenesekre tengelyesen, azok metszéspontjára pedig középpontosan szimmetrikus. Az ábrát összevetve a 3.. ábrával, könnyen látató, ogy ábránk egyenes-darabkái egymást és az y = x egyenest az origóban érintő körök érintői. A asonlat annyira találó, ogy bizonyos rendszerek esetében valóban van leetőség ilyen közlekedési rendőrök elelyezésére. Természetesen inkább csak az indikátor szerepét töltik be, iszen nem ők mutatják meg, ogy merre aladatnak a görbék, sokkal inkább csak jelzik azok érintőinek irányát az adott pontban. 45

2 46 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése A dy dx = y x xy y x +xy 5.. ábra. differenciálegyenlet alapján rajzolató iránymező. 5.. ábra. A mágnestűk a rúdmágnes erőterében az erővonalak irányát mutatják.

3 5.. Egylépéses módszerek ábra. A vasreszelék rajzolata sokkal részletesebbenen jeleníti meg a mágneses erővonalakat. Gondoljunk csak a már általános iskolások által is ismert fizikai kísérletekre, amelyek bemutatásakor mágnestűket illetve vasreszeléket elyezünk egy rúdmágnes erőterébe. Az 5.. ábrán látató íránytűk állásából és az 5.3. ábra vasszemcséinek elrendeződésével létrejövő rajzolatból következtetetünk a mágneses erővonalak irányára. Az adott rendszer sajátságaitól függően más és más leetőséget találatunk a rendszer jellemzőinek bemutatására. A természetet járva megfigyeletjük, aogyan egy patak medrében élő vizinövények szára, levelei legalábbis azt mutatják, ogy milyen kölcsönatás van az áramló folyadék és a növény részei között. A szélcsatornában végzett áramlástani vizsgálatok esetében sokszor füsttel teszik látatóvá az áramló levegő útját. (Minta Kalmár professzor úr közlekedési rendőreit rávettük volna, ogy üljenek motorra és mutassák az utat.) Vajon megadatóe ennek a matamatikai megfelelője? 5.. Egylépéses módszerek Fölasználva a kezdetiérték-probléma geometriai jelentésében rejlő leetőséget, szemléltetetjük néány közelítő megoldás elvét. Bár a (3.8) egyenlet szolgál

4 48 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése a későbbiek alapjául a (3.9) feltétel mellett, az eljárások általánosítása könnyen elvégezető (3.) vonatkozásában is. Szükséges továbbá még azt is megjegyezni, ogy az alábbiakban csupán néány úgynevezett diszkrét módszer tárgyalására szorítkozunk, amelyek jellemző módon a megoldás közelítésére csak véges sok pontban adnak leetőséget, tetszőleges pontossággal. Geometriai értelemben teát a közelítő megoldások megadása ekvivalens egy P 0,P,...,P n pontsorozat megadásával, aol T (0 i n) és P 0 megfelel a kezdeti feltételnek. Ennek kapcsán adjunk meg továbbá egy R pozitív lépésközt, mely kifejezi az egymást követő és pontok első koordináinak különbségét. Egy diszkrét módszert k-lépéses módszernek nevezünk, a a következő közelítésez fölasználjuk az őt megelőző k, k+,..., közelítéseket is (i k). A továbbiakban náány egylépéses módszert (k = ) említünk egy leetséges szemléltetési módra koncentrálva Explicit Euler-módszer Az Euler-módszer a kezdetiérték feladatok numerikus megoldására alkalmazató legegyszerűbb eljárás. Az alapgondolat az, ogy a feladat (3.8) egyenletéből kiszámítató Ẋ(t 0), ami a keresett X(t) függvény deriváltjának értéke a t 0 elyen. Ez pontosan a keresett függvény görbéjének P 0 ( t0,x(t 0 ) ) pontjában rajzolató érintő a egyenes f(t 0,x 0 ) meredeksége. Ezen az egyenesen keressük meg azt a P pontot, aminek első koordinátája t 0 +. A pontsorozat következő, P elemének megatározásában P -nek ugyanaz a szerepe, mint korábban P 0 -nak volt P esetében. Általánosítva az előzőeket teát (t i,x i ) pont ismeretében a következő, (i > 0) közelítő pont koordinátáit t i = t i + x i = x i + k (5.) aol k = f(t i,x i ) szerint számítatjuk. Ezekre a továbbiakban az egyszerűség kedvéért numerikus módszer -ként fogunk ivatkozni, ott aol ez nem okoz félreértést. A továbbiakban megkülönböztetjük az X(t) függvény t i elyen vett X(t i ) elyettesítési értékét, a t i -ez tartozó közelítés x i értékétől. Erre azért van szükség, mert az i = 0 esettől eltekintve általában x i X(t i ), de x 0 = X(t 0 ) biztosan teljesül.

5 5.. Egylépéses módszerek 49 A fentieket vektorokkal szemléltetve az 5.4. ábra mutatja be. Ennek alapján elyvektorát megkapjuk, a elyvektoráoz ozzáadunk egy olyan a-val páruzamos vektort, melynek első koordinátája. Ennek pontosan megfelel a vektor. # ( ), k a t i t i 5.4. ábra. Euler-módszer egy lépésének szemléltetése vektorokkal Javított Euler-módszer Az Euler-módszernek már egy lépése is mivel az a egyenes egy pontját választjuk a közelítés következő pontjának elég jelentősen letéret a pontos megoldás görbéjéről. A további lépések során az ebből származó iba tovább almozódat. Az 5.4. ábra alapján következtetetünk arra, ogy a értékének csökkentésével ez mérsékelető, ami azonban csökkenti az eljárás atékonyságát.

6 50 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése Határozzuk meg most a következő, pontot a t i = t i + x i = x i + k b aol k a = f(t i,x i ) k b = f(t i +,x i + k a) (5.) összefüggések alapján. Az eljárás geometriai jelentését az 5.5. ábra szemlélteti. Először az Euler-módszernek megfelelően keressük meg a k a = f(t i, x i ) meredekségű a egyenesnek azt az A pontját, amelynek első koordinátája t i +. Az ábrán b jelöli az A ponton átaladó görbe érintőjét, melynek meredeksége k b. Ezt praktikusan úgy nyerjük, ogy A koordinátáit beelyettesítjük az f ( t, X(t) ) A a b t i t i 5.5. ábra. Javított Euler-módszer szemléltetése.

7 5.. Egylépéses módszerek 5 függvénybe. A következő lépésben atározzuk meg elyét úgy, ogy b P # i teljesüljön és első koordinátája t i legyen. A szimmetria miatt ez a megoldás általában pontosabb eredményt szolgáltat Runge Kutta-módszer Ez az eljárás szintén egy lépéses módszer. A t i = t i + x i = x i + 6 (k a + k b + k c + k d ) aol k a = f(t i, x i ) k b = f(t i +, x i + k a) k c = f(t i +,x i + k b) k d = f(t i +, x i + k c ) (5.3) szabályok a negyed rendű Runge Kutta-módszer egyik leetséges megadási módját jelentik. Összevetve az (5.) és az (5.3) összefüggéseket látató, ogy k a és k b értékét azonos módon származtatják. A javított Euler-módszerez képest azonban k b -t ami az A pontoz tartozó b érintő egyenes meredeksége fölasználjuk a B pont megatározásáoz, amelyre teljesül, ogy b P # i B és B első koordinátája t i +. Jelölje c a B pontba rajzolató érintőt, amelynek meredeksége (5.3) alapján k c. Ezt fölasználjuk a C pont megatározásáoz, amelyre teljesül, ogy c P # i C és C első koordinátája t i. Az itt rajzolató d érintő egyenes meredeksége pedig k d. A pontoz tartozó irányon kívül, a fenti módon megatározott A,B és C pontokban számítató meredekségeket a 5.7. ábrán látató módon veetjük figyelembe megatározásában.

8 5 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése c 6 b c B a b A d C t i t i 5.6. ábra. További pontok (A, B,C) kijelölése a negyed rendű Runge Kutta-módszerben. aol és Legyen teljesül. # = v + v + v 3 + v 4 a v ; b v ; c v 3 ; d v 4 ( ( ( ( ) v 6 ; 6 k a ), v 3 ; 3 k b ), v 3 3 ; 3 k c ), v 4 6 ; 6 k d 5.3. Közelítő módszerek ibája A fenti numerikus módszerek fontos jellemzője, ogy az egymást követő lépések sorozatán keresztül mekkora ibát almoznak föl. Egy módszer e n globális ibája

9 5.3. Közelítő módszerek ibája c v B a v v3 b A v 4 d C t i t i 5.7. ábra. A és a C pontokban számított meredekséget egyszeres, míg a A és a B-ben számítottakat pedig kétszeres súllyal vettük figyelembe. azt fejezi ki, ogy n lépés végreajtása után a módszerrel számított közelítő érték milyen mértékben tér el a függvény pontos értékétől. A továbbiakban a korábban tárgyalt árom módszert asonlítjuk össze ebből a szempontból egy kezdetiérték feladat kapcsán. Legyen adott az Ẋ(t) = λx(t); X(0) = (5.4) kezdetiérték feladat és a közelítést a [0; ] intervallumon végezzük. A feladat megoldása X(t) = e λt alakban adató meg. Ennek ismerete leetővé teszi azt, ogy a kezdeti feltételnek megfelelően a P 0 (0,) pontból kiinduló pontos megoldás görbéjéez az intervallum fölső atárán tartozó függvényértéket összeasonlítsuk a numerikus módszerek által, a fölső atáron

10 54 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése szolgáltatott közelítő értékekkel. Ezzek alapján számítató az eljárások e n globális ibája. Az e n értéke természetesen nem csak a közelítés módjától, anem a lépésköz nagyságától is függ. (A értékét a [0; ] intervallum n részre történő osztásávan állítjuk elő.) Hogy képet alkotassunk a lépésköz változtatásának szerepéről, mindárom közelítő módszer esetében többször is elvégezzük a közelítéseket úgy, ogy a lépésszámot az előző kétszeresére növeljük, azaz felére csökkentjük a lépésközt. e n X t n X n e n n ábra. Az Euler-módszer globális ibájának változása lépésköz függvényében. en e n X t n X n e n n ábra. A javított Euler-módszer globális ibájának változása lépésköz függvényében. en

11 5.3. Közelítő módszerek ibája 55 e n X t n X n e n n ábra. A Runge Kutta-módszer globális ibájának változása a lépésköz függvényében. en Az 5.8., 5.9. és az 5.0. táblázatok rendre az Euler-, a javított Euler- és a Runge Kutta-módszerek fölasználásával készültek a (5.4) kezdetiérték feladat közelítő megoldása során (λ = 4, 5). A táblázatok mindárom módszer esetében nyolc közelítő számítás eredményeit tartalmazzák, amelyeket a [0; ] intervallum egyre finomdó felosztásai mellett végeztünk. A közelítéseket mindárom esetben először = 0 lépésközzel végeztül (n = 0), és a következőben a értékét felére csökkentettük, azaz az osztópontok számát kétszeresére növeltük. Így a legutolsó számításokat már a = 80 értéke mellett végeztük. (Az 5.8., 5.9. és az 5.0. táblázatok első (n) és második () oszlopa.) Az egyes sorok teát a következőket tartalmazzák : n : a közelítő lépések száma, : a lépésköz nagysága az aktuális n lépésszám esetén, X(t n ) : a pontos függvényérték az intervallum végén ( X() ), X n : a közelítő érték az n. lépés után, az intervallum végén, e n : a közelítés globális ibája ( X(t n ) X n ), e n e : n az aktuális és az előző közelítés globális ibáinak ányadosa 3. Mindárom táblázatban megfigyelatő, ogy az X n oszlopának értékei egyre jobban közelítenek a pontos X() értékez az n növekedésével. Ez természetesen azt is jelenti, ogy a globális iba e n értéke is egyre csökken ezzel együtt. 3 Ez a ányados természetesen a táblázatok első soraiban nem értelmezető.

12 56 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése A továbbiakban a globális iba csökkenésének mértékére vonatkozóan szeretnénk megállapítást tenni. Érdekes azt is megfigyelni, ogy a fenti táblázatok utolsó oszlopainak en e n értékei ogyan változnak az n növekedésével. Ha figyelembe vesszük, ogy az 5.8. táblázatban az n = értéke esetén ebben az oszlopban 0, , illetve az 5.9. táblázatban ugyanitt 0, szerepelne, akkor megalapozottnak tünet az a feltevés, ogy az egyes táblázatokban az n növelésével az e n e n értékei, és 4 értékekez közelítenek. Egy numerikus módszert konvergensnek nevezünk az adott I intervallumon ( t n I), a lim 0 x n = X(t n ), azaz lim 0 e n = 0. Az előzőekből is látató, ogy a globális iba nagyságát a értéke jelentősen befolyásolja. Ugyanakkor az is nyilvánvaló, ogy a különböző módszerek globális ibái is másként viselkednek a értékének változtatásával. Az mondjuk, ogy a globális iba p-ed rendű, a megadató olyan r valós konstans, ogy teljesül. e n r p (5.5) Az előzőek leetőséget adnak a numerikus módszerek jellemzésére is, ugyanis p-ed rendűnek nevezünk egy numerikus módszert, a globális ibája p-ed rendű. Jelölje n az intervallum adott felosztásáoz tartozó lépésközt, teát esetünkben n n = teljesül. Ha a numerikus módszer konvergens, akkor a definíció szerint e n globális ibája 0-oz tart a felosztás finomításával. Ebből következik, ogy e n e n teljesül (minden n esetén), valamint szintén konvergens, a n. Hozzuk most az (5.5) összefüggést e n e n e n ( n ) p r alakúra, ami kifejezi, ogy minden lépésközöz találató olyan r valós szám, amelynél a fenti ányados nem nagyobb. Érdekes még azt is megfigyelni, ogyan változik

13 5.3. Közelítő módszerek ibája 57 a ányadosok értéke a lépésköz finomításával a különböző numerikus módszerek esetében. Azt mutatja be az 5.. táblázat és jóval szemléletesebb módon az 5.. ábra is, ogy nem túlságosan neéz feladat ilyen r számot találni. n Eulermódszer e n 6, , , , e n, 0 0, 75 0, 0, 30 0 javított Eulermódszer e n 6, , , , e n, 737 0, 705 0, 696 0, Runge Kuttamódszer e n, , , , e n 4, , 784 0, 783 0, táblázat. A en ( n) ányados változása a lépésköz csökkentésével. p A vizsgálatok során az elsőként alkalmazott lépésköz = 0 volt. Jelölje j annak a közelítő számításnak a sorszámát 4, amelyben a lépésköz j = 0 j volt. A fentiek alapján a lim j e j e j r ( j ) p = lim j r ( j ) p = p atárérték számítató és így összeasonlítatóvá válnak a numerikus módszerek a közelítés pontossága szempontjából. A fentiekkel látató módon összangban vannak az 5.8., 5.9. és az 5.0. táblázatok utolsó oszlopainak értékei, a p rendre, és 4. 4 Ez egyben az 5.8., 5.9. és az 5.0. táblázatok soraira értelmezető sorszámozás is egyben, a az 0-val kezdődik. Ugyanakkor n = 0 j is teljesül.

14 58 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése r j 5.. ábra. A en ( n) ányados változása a lépésköz csökkentésével Javított Euler-módszer esetében Prediktor-korrektor-módszerek Az explicit Euler-módszerez úgy is eljutatunk, a a (3.8) egyenlet bal oldalán az Ẋ(t) deriváltat a megfelelő differencia ányadossal elyettesítjük: Ezt az összefüggést X(t i ) X(t i ) Ẋ(t i ) = f ( t i,x(t i ) ) X(t i ) X(t i ) + f ( t i, X(t i ) ) alakra ozva t i és X(t i ) ismeretében fölasználatjuk X(t i ) értékének közelítésére. Lényegében ezt tettük az explicit Euler-módszer minden lépésében. Ha most a fentiekez asonló módon a (3.8) egyenlet segítségévek az Ẋ(t i) derivált értéket értelmezzük, akkor az összefüggés átrendezésével X(t i ) X(t i ) Ẋ(t i) = f ( t i,x(t i ) ) X(t i ) X(t i ) + f ( t i, X(t i ) )

15 5.4. Prediktor-korrektor-módszerek 59 nyerető. A pontos X(t i ), X(t i ) értékek elyébe az x i, x i közelítő értékeket írva, az alábbiak szerint értelmezetjük az implicit Euler módszert: x i = x i + f ( t i,x i ). Látató módon az egyenlőség mindkét oldalán szerepel a keresett x i érték. Ennek kifejezetőségét és így a módszer közvetlen asználatóságát az f-függvény atározza meg, és általában lineáris rendszerek esetében előnyös. e i 4 0 t i t i 5.. ábra. Implicit Euler-módszer (prediktor-korrektor-módszerben). Ha azonban a t i = t i + x [l+] i = x i + k aol k = f(t i,x [l] i ) (l = 0,,...) és x [0] i adott (5.6)

16 60 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése összefüggésnek megfelelően megadjuk a kezdő, x [0] i értéket az 5.. ábra szerinti módon, explicit Euler-módszerrel akkor néány iteráció 5 után x [l] i értékére az X(t i ) pontos értékét jobban közelítő értéket kapunk. Így egy olyan módszert nyertünk, amelyben a következő, x i közelítő érték megatározását egy explicit mószer segítségével kiválasztott értéket ( x [0] ) i, egy implicit módszer segítségável teszünk pontosabbá kellő számú iteratív lépés során. Az exlicit módszert prediktornak, míg az imlicit módszert korrektornak nevezzük. Ha a numerikus integrálás trapéz formulája alapján a [t i,t i ] mindkét végpontjáoz tartozó meredekség értékeket azonos súllyal vesszük figyelembe a következő közelítő pont megatározásáoz, a trapéz-módszer néven ismert implicit módszert kapjuk. Ennek korrektor-módszerként történő alkalmazása a e t i t i 5.3. ábra. Trapéz-módszer (prediktor-korrektor-módszerben). 5 Ez általában -3 iterációs lépést jelent.

17 5.4. Prediktor-korrektor-módszerek 6 t i = t i + x [l+] i = x i + k szabályok alapján történet. aol k = f(t i, x i ) + f(t i, x [l] (l = 0,,...) és x [0] i adott i ) (5.7) A 5.3. ábrán jól látató, ogy a trapéz-módszer korrektor módszerként való alkalmazása révén kevesebb iterációs lépés szükséges a következő, pont kijelöléséez közel azonos pontossággal. k t i x [k] i implicit Euler-módszer ( [k] d E ; P [k ] ) i x [k] i Trapéz-módszer ( [k] d t ;P [k ] i 0 0,40 0, , ,40 0, ,393 0,0538 0,6466 0,40 0, , ,30 0, ,40 0, , , , ,40 0,0064 0, , , ,40 0,3633 0,6068 0,563 0, ,40 0,87 0,9446 0,5373 0, ,40 0, ,7505 0, , ,40 0,3937 0,5754 0,5405 0, táblázat. A két módszerre épülő prediktor-korrektor módszer első néány iterációjának eredménye. ) Erre a 5.. táblázat adatai szolgálnak magyarázattal. A pontsorozatok konvergenciáját jellemezetjük az egymást követő pontok távolságainak d E ; P [k ] ) ( [k] i ( [k] és d t ;P [k ] ) i sorozatával. Látató, ogy az imlicit Euler-módszer esetében az egymást követő pontok távolsága közelítőleg lineárisan csökken, míg a Trapézmódszer esetében a távolságok a következő iterációs lépésben jó közelítéssel megfeleződnek. Ezek az összefüggések még szemléletesebben jelennek meg a táblázat adatai alapján készült 5.4. ábrán. (Az ábrán folytonos vonallal összekötött pontok jelölik a trapéz-módszerez tartozó, a 5.. táblázat utolsó oszlopában találató adatokat.)

18 6 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése d k 5.4. ábra. Implicit Euler-módszer és a trapéz-módszer konvergenciája (prediktor-korrektor-módszerben).