Károlyi Katalin Eötvös Loránd Tudományegyetem Alkalmazott Analízis Tanszék. Abstract
|
|
- Jenő Pásztor
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK TÖBBPONTOS PEREMÉRTÉK PROBLÉMÁI Károlyi Katalin Eötvös Loránd Tudományegyetem Alkalmazott Analízis Tanszék 1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/c. Abstract Egy numerikus módszert és ennek számítógépes adaptálását mutatjuk be, amely Közönséges Differenciálegyenletek Többpontos Peremérték Problémáinak megoldására alkalmazható. A bemutatott algoritmus lényegében egy módosított shooting módszer, melynél az iterációs ciklusokban az adott és a variációs egyenletekre vonatkozóan Cauchy problémákat oldunk meg, majd az adott peremfeltételeket egy lineáris algebrai egyenletrendszerbe építve keressük a problémának egy közelítő megoldását. Az algoritmus az adott peremérték problémára vonatkozó módosított Newton módszernek is megfeleltethető. (Az elkészített programcsomag C és Turbo Pascal programnyelveken íródott.) 1. Bevezetés A Közönséges Differenciálegyenletek Peremérték Problémái a természettudományok számos területén felmerülnek a jelenségek matematikai modellezésénél. Széleskörű alkalmazásuk a számítógépre adaptálható numerikus módszerek fejlesztését különösen fontossá teszik. Többpontos Peremérték Problémák megoldására visszavezethető feladatokat oldottunk meg a Budapesti Műszaki Egyetem Erősáramú Tanszékén, továbbá tudományos együttműködés keretében a Swedish Transmission Research Institute (Ludvika) munkatársaival, többvezetős elektromos hálózatok tervezésénél, vasúti áramkörök biztosító berendezéseinek fejlesztésénél, valamint telekommunikációs hálózatok vizsgálatainál ([8],[9]), az alábbiakban ismertetésre kerülő algoritmus felhasználásával. 1
2 2. A numerikus módszer Az algoritmus az alábbi probléma numerikus megoldásához alkalmazható: Az (1) x (t) = f(t, x(t)), t [t 1, t m ] R, x : [t 1, t m ] R n, f : [t 1, t m ] R n R n, n, m N +, m > 1, differenciálegyenlet megoldását keressük az (2) r(x(t 1 ), x(t 2 +),..., x(t m 1 +), x(t m )) = 0, r : (R n ) m R n, t 1 < t 2 <... < t m, (3) g j (x(t j ), x(t j +)) = 0, g j : (R n ) 2 R n, (j =2, 3,..., m 1), peremfeltételek mellett, ahol x(t j ) és x(t j +) az x függvény t j pontbeli bal és jobboldali határértékei (j =2, 3,..., m 1). Feltesszük, hogy az f függvény folytonos és második változója szerint kétszer folytonosan differenciálható a [t j, t j+1 ] R n intervallumokon (j = 1, 2,..., m 1), továbbá, hogy az r és g j függvények folytonosan differenciálhatók. Ezek a megszorítások gyengíthetők, de figyelembe véve hogy az alkalmazásokban ezen feltételek rendszerint amúgyis teljesülnek, az egyszerűbb tárgyalhatóság miatt ezeket itt nem vizsgáljuk. Az (1) (2) (3) feladat megoldásának meghatározásához a többszörös belövéses módszerre alapozva ([1],[2]) dolgoztuk ki az alábbi iterációs algoritmust. Minden egyes iterációs lépésben megoldjuk az (4) x (t) = f(t, x(t)), t [t j, t j+1 ], (5) x(t j ) = s j, (j =1, 2,..., m 1), kezdetiérték feladatokat, ahol az s j R n kezdeti értékeket az első iterációs lépésben tetszőlegesen adjuk meg (ill. egy előzetesen kidolgozott stratégiát alkalmazhatunk, ld. 3.paragrafus), a további iterációkban pedig a (12) formula alapján határozzuk meg. 2
3 Legyenek a (4) (5) probléma megoldásai rendre a ξ j ( ; s j ) függvények, j =1, 2,..., m 1. Az s j kezdeti értékeket úgy kell meghatároznunk, hogy a (6) ξ(t) := ξ j ( t ; s j ), t [ t j, t j+1 ), ξ(t m ) := ξ m 1 ( t m ; s m 1 ), formulák által meghatározott (2) (3) peremfeltételeket, azaz ξ : [t 1, t m ] R n függvény kielégítse a (7) r( s 1, s 2,..., s m 1, ξ m 1 ( t m ; s m 1 ) ) = 0, (8) g j ( ξ j 1 ( t j ; s j 1 ), s j ) = 0 (j =2, 3,..., m 1), teljesüljenek, vagyis ξ az (1) (2) (3) probléma megoldása legyen. Meg kell tehát oldanunk az F (s 1, s 2,..., s m 1 ) = 0 egyenletet, ahol az F : (R n ) m 1 (R n ) m 1 függvényre (9) F (s 1, s 2,..., s m 1 ) := r( s 1, s 2,..., s m 1, ξ m 1 ( t m ; s m 1 ) ), g 2 ( ξ 1 ( t 2 ; s 1 ), s 2 ),.. g m 1 ( ξ m 2 ( t m 1 ; s m 2 ), s m 1 ) A fenti egyenlet megoldásához a Newton iteráció módszerét alkalmazzuk, mely szerint az (i + 1)-dik iterációbeli közelítésre: (10) (s 1, s 2,..., s m 1 ) (i+1) := (s 1, s 2,..., s m 1 ) (i) (DF ((s 1, s 2,..., s m 1 ) (i) )) 1 F ((s 1, s 2,..., s m 1 ) (i) ). Minden egyes iterációs lépésben megoldjuk tehát a (11) DF (s 1, s 2,..., s m 1 ) ( s 1, s 2,..., s m 1 ) = = F (s 1, s 2,..., s m 1 ) lineáris egyenletrendszert, s a megoldás felhasználásával az (12) s (i+1) j := s (i) j + s j (j =1, 2,..., m 1) formula alapján megkapjuk a következő iterációbeli s j kezdeti értékeket. 3
4 Az egyenletrendszer DF (s 1, s 2,..., s m 1 ) mátrixának előállításához meg kell határoznunk az F függvény j dik változója szerinti parciális deriváltjait (j = 1, 2,..., m 1), melyek k dik komponenseinek (k = 1, 2,..., n) előállításánál felhasználjuk hogy a ξ j ( ; s j ) függvények j l esetén nem függnek s l től, továbbá hogy 2k ξ ji ( t j ; s j ) = δ ki. A Jacobi mátrix [(j 1) n + k] dik oszlopai tehát (13) j =1 esetére 1k F (s 1, s 2,..., s m 1 ) = 1k r( s 1, s 2,..., s m 1, ξ m 1 ( t m ; s m 1 ) ) n 1i g 2 ( ξ 1 ( t 2 ; s 1 ), s 2 ) 2k ξ 1i (t 2 ; s 1 ) i=1 0 n }.. (m 3) 0 (14) j =2,..., m 2 esetére jk F (s 1, s 2,..., s m 1 ) = n i=1 n jk r( s 1, s 2,..., s m 1, ξ m 1 ( t m ; s m 1 ) ) 0 n }. (j 2) 0 n 2k g j ( ξ j 1 ( t j ; s j 1 ), s j ) 1i g j+1 ( ξ j ( t j+1 ; s j ), s j+1 ) 2k ξ ji (t j+1 ; s j ) 0 n }. (m 2 j) 0 n 4
5 (15) és j =m 1 esetére (m 1)k F (s 1, s 2,..., s m 1 ) = (m 1)k r( s 1, s 2,..., s m 1, ξ m 1 ( t m ; s m 1 ) ) + + n mi r( s 1, s 2,..., s m 1, ξ m 1 ( t m ; s m 1 ) ) i=1 2k ξ (m 1)i (t m ; s m 1 ) 0 n }.. (m 3) 0 n 2k g m 1 ( ξ m 2 ( t m 1 ; s m 2 ), s m 1 ) ahol 0 n Rn beli zero oszlopvektor; ji r, 1i g j és 2i g j pedig rendre az r és g j függvények parciális deriváltjai a j dik, első és második változóinak i dik komponensei szerint. A 2k ξ ji (t j+1 ; s j ) parciális deriváltakat (j =1, 2,..., m 1, k =1, 2,..., n, i=1, 2,..., n), az alábbi lineáris kezdetiérték problémák (16) y (t) = 2 f( t, ξ j ( t ; s j ) ) y(t), t [ t j, t j+1 ], (17) y(t j ) = e k, (j =1, 2,..., m 1), (k =1, 2,..., n), megoldása után kapjuk (ahol e k (18) 2k ξ ji ( ; s j ) = (η j,k ) i az R n beli k dik egységvektor) a formula szerint ( j =1, 2,..., m 1, k =1, 2,..., n, i=1, 2,..., n), ahol η j,k a (16) (17) megoldásait jelöli. Összefoglalva a fenti algoritmust, a legfontosabb lépések a következők: Az iterációs lépések indítása előtt meghatározzuk az első iterációbeli s j kezdeti értékeket, majd ezután minden egyes iterációs lépésben 5
6 megoldjuk a (4) (5) és (16) (17) kezdetiérték problémákat, meghatározzuk az F (s 1, s 2,..., s m 1 ) függvényt a (9) formula szerint, felhasználva a (4) (5) problémák megoldásait, meghatározzuk a DF (s 1, s 2,..., s m 1 ) mátrixot a (13), (14), (15) formuláknak megfelelően, felhasználva a (4) (5) és (16) (17) problémák megoldásait, megoldjuk a (11) lineáris egyenletrendszert, hogy meghatározzuk a s 1, s 2,..., s m 1 vektorokat, meghatározzuk az új s j kezdeti értékeket a (12) formula szerint, ellenőrizzük, hogy az új s j kezdeti értékek az (1) (2) (3) probléma megoldását a megadott pontossággal közelítik-e, illetve a pontosság eléréséhez még további iterációs lépésekre van-e szükség. Mivel a Newton módszer csak lokálisan konvergens, a (12) formula helyett a módosított Newton módszerbeli formulát alkalmazzuk ([2]), azaz az új s j kezdeti értékeket az (19) s (i+1) j := s (i) j + λ s j (j =1, 2,..., m 1), formula szerint határozzuk meg, ahol λ a konvergenciát biztosító módosító faktor ([2],[3]), feltételezve természetesen, hogy az (1) (2) (3) probléma megoldható. 3. A számítógépes program A számítógépes alkalmazások esetén különös gonddal kell kezelni az algoritmus alábbi, kulcsfontosságú lépéseit: az első iterációbeli s j (j = 1, 2,..., m 1) kezdeti értékek megválasztása, a (4) (5) és (16) (17) kezdetiérték problémák megoldásánál alkalmazott integrálási módszer, a (11) lineáris egyenletrendszer megoldásánál alkalmazott numerikus módszer, a módosított Newton módszerbeli λ paraméter meghatározásához alkalmazott numerikus módszer ((19) formula). 6
7 Az s j (j =1, 2,..., m 1) kezdeti értékek első iterációbeli megválasztása, valamint meghatározásuk a további iterációs lépésekben nem csupán a módszer konvergenciája miatt kulcsfontosságú. A gyakorlati alkalmazások esetén sokszor előfordulhat, hogy a 2 f parciális deriváltak nem korlátosak a [t j, t j+1 ] R n intervallumokon, és a (4) (5) valamint (16) (17) kezdetiérték problémák megoldásai az s j bizonyos értékeire nem léteznek a teljes [t j, t j+1 ] intervallumokon, hanem csak a t j pontok valamely szűkebb környezeteiben, melynek következtében ilyenkor a módszer nem működtethető. Ezen túlmenően, mégha a (4) (5) valamint (16) (17) kezdetiérték problémák megoldásai léteznének is elméletileg, a gyakorlatban, ha a megoldások rendkívül érzékenyen függnek a kezdeti értékektől, a közelítő megoldások értékei a [t j, t j+1 ] intervallumok végpontjaiban rendkívül pontatlanok lehetnek. Még a legpontosabb gépi számítások és integráló rutinok esetén sem garantálható, hogy a megoldások elegendő pontossággal meghatározhatók legyenek. A fenti problémát az alábbi ismert becsléssel is szemléltethetjük, (20) ξ j (t; s 1 j) ξ j (t; s 2 j) s 1 j s 2 j e L j t t j, ahol ξ j (t; s 1 j ) és ξ j(t; s 2 j ) a (4) (5) kezdetiérték problémák s j := s 1 j és s2 j értékekkel vett megoldásainak a t helyen felvett értékei, L j pedig az f függvényre vonatkozó, második változó szerinti Lipschitz konstans, a [t j, t j+1 ] R n intervallumokon. A (20) becslés azt is mutatja, hogy valamely pontatlan s j kezdeti érték hatása tetszőleges mértékben csökkenthető, ha a [t j, t j+1 ] intervallumok belsejében egymáshoz elegendően közeli újabb t jk pontokat veszünk fel, t j =: t j1 < t j2 <... < t jl := t j+1, majd ezeket a közbeiktatott pontokat is úgy tekintjük ezután, mint az (1) (2) (3) problémában megadott t j pontokat. Az új pontokban egyszerű folytonosságot meghatározó (21) x(t jk +) x(t jk ) = 0, peremfeltételeket adunk meg, vagyis a (3) peremfeltételeket a (22) g jk : (R n ) 2 R n, (u, v) u v. feltételekkel egészítjük ki az új t jk pontokra vonatkozóan. 7
8 A (2) peremfeltételben szereplő r leképezés az új osztópontok beiktatása kapcsán lényegében nem változik, azonban r értelmezési tartományát az új pontoknak megfelelően módosítanunk szükséges. Az új osztópontok beiktatását az L j Lipschitz konstansok ismeretének hiányában úgy végezzük el az egyes iterációs ciklusokban, hogy a (4) (5) és (16) (17) kezdetiérték problémák integrálásakor minden egyes lépésben vizsgáljuk a megoldásfüggvények helyettesítési értékeinek normáit, s ha ezek valamely t [ t j, t j+1 ] pontban meghaladják a t j beli értékek normáinak előre megadott γ konstansszorosát, akkor az integrálást ezen az intervallumon megszakítjuk és a t pontot egy új t jk pontként értelmezzük. Vagyis a (4) és (5) differenciálegyenletek [t j, t j+1 ] intervallumokon történő integrálásakor azt vizsgáljuk, hogy a ξ j (t; s j ) és η j,k (t) értékek az s j és 1 értékekhez képest milyen mértékben változnak. Ha (23) ξ j ( t; s j ) > γ ( s j + 1 ) vagy η j,k (t) > γ, akkor a t pont t jk pontkénti beiktatásával az integrálást megszakítjuk az adott intervallumon, majd ezután a [t jk, t j+1 ] intervallumra vonatkozóan folytatjuk az integrálást úgy, hogy az (5) kezdeti értékeket lineáris interpolációval számítjuk az előző iterációs ciklusbeli trajektóriából, illetve az első iterációban az induló közelítésekből. A γ paramétert a felhasználónak kell a rutin számára megadnia. Fontos még megjegyeznünk, hogy a program a második és az azt követő iterációkban a megadottnál nagyobb γ értékkel számol bizonyos numerikus megfontolások miatt, célszerű lehet, különösen olyan esetekben, amikor az integrálgörbéknél nagy meredekségekre számíthatunk, a (2) (3) peremfeltételekhez már eleve megadott pontokként beiktatni közbenső pontokat, tehát ezt nem feltétlenül mindig a módszerre bízni, az adott t j valamint a program által generált t jk közbenső pontokat együttesen shooting pontoknak fogjuk nevezni a továbbiak során. 8
9 A megoldásfüggvény adott t j pontbeli közelítéseit, vagyis az induló s j (j = 1, 2,..., m 1) kezdeti értékeket a felhasználónak kell megadnia a program meghívása előtt. Ez viszonylag könnyebb lehet olyankor, amikor a megoldás menete a probléma fizikai jellege folytán legalábbis főbb vonalaiban ismertnek tekinthető, és így egy első durva közelítés megadható. Azonban bonyolultabb esetekben, ha a feladat rendkívül instabil, vagy ha ismeretlen a fizikai probléma lefolyása, az első közelítést nagyon körültekintően kell megadnunk. Ilyenkor sok esetben célszerű az u.n. homotopy módszert alkalmazni, amelynél a problémát fokozatos közelítésekkel oldjuk meg olymódon, hogy először egy egyszerűbb problémából indulunk ki, majd ennek megoldását felhasználva (mint induló közelítést) oldjuk meg lépésről lépésre az egyre nehezebb feladatokat, s így jutunk el végül az adott probléma megoldásához. A fenti homotopy módszer egyszerű alkalmazását is lehetővé teszik az induló közelítések alábbi megadási lehetőségei: Az induló trajektória konstans függvény, tehát az s j értékek valamennyi komponense megegyező, a felhasználónak csak ezt a konstans értéket kell megadnia a program meghívása előtt. Az induló s j értékeket a program lineáris interpolációval határozza meg egy a felhasználó által megadott adatfile-ból. Az adatokat a file-ban mátrix elrendezésben kell megadni olymódon, hogy a mátrix sorai τ k pontokat, majd az itt megadott ξ(τ k ) közelítő függvényértékeket tartalmazzák. Legalább két pontot ( τ 1 és τ 2 ) meg kell adni (a hozzájuk tartozó közelítésekkel együtt) úgy, hogy a [τ 1, τ 2 ] intervallum valamennyi t j adott pontot tartalmazzon. Az induló s j értékeket a program lineáris interpolációval határozza meg az előző programfutás shooting pontokbeli megoldásfüggvényeiből. A felhasználónak tehát nem kell közelítő értékeket a programhívás előtt megadnia, azonban egy előzetes sikeres programfutás feltétele ennek a megadásnak, a program ennek a futásnak az eredményeiből automatikusan előállítja az interpolációhoz szükséges adatfile-t. 9
10 Az induló s j értékeket a program lineáris interpolációval határozza meg egy a felhasználó által a fentiek szerint megadott mátrix formátumú adatfile-ból, de figyelembe veszi az az előző programfutást is úgy, hogy annak shooting pontjait tekinti a probléma megadott pontjainak. Egy előzetes sikeres programfutás tehát feltétele ennek a megadásnak is, és a felhasználónak célszerű az adatfile-t az előző futás eredményeiből megadnia. A felhasználónak nem kell közelítő értékeket a programhívás előtt megadnia, u.i. a program az előző programfutást veszi figyelembe olymódon, hogy annak shooting pontjait tekinti a probléma megadott pontjainak, az e pontokbeli eredményeket pedig az induló s j (j = 1, 2,..., m 1) kezdeti értékeknek. Egy előzetes sikeres programfutás tehát feltétele ennek a megadásnak is. Vegyük észre, hogy a két utolsó esetben a program kiegészíti az adott pontokat, u.i. az előző futásbeli shooting pontokat tekinti a probléma megadott pontjainak, a homotopy módszer tehát így alkalmazható, továbbá hogy a felhasználónak csak a második és negyedik esetben kell adatfile-t megadnia, a többi esetben ezeket a program automatikusan előállítja (a megadott konstansból illetve az előző programfutás shooting pontokbeli megoldásfüggvényeiből). Fontos hangsúlyoznunk azt is, hogy az első két esetet kivéve egy előzetes sikeres programfutás szükséges a megadáshoz, továbbá hogy bár a homotopy módszer automatikusan alkalmazásra kerül az utolsó esetben, mégis sokszor célszerűbb az utolsó előtti esetet alkalmazni úgy, hogy a felhasználó az adatfile-t az előző futásnak egy megfelelően részletesebb eredményeiből adja meg. A (4) és (16) differenciálegyenletek integrálásához az alábbi egylépéses módszereket alkalmazhatjuk a programban: harmad, negyed, ötöd hatod és heted-nyolcad rendű Runge-Kutta módszerek ([2],[4],[5]), negyedrendű Runge-Kutta-Fehlberg módszerek ([2]), negyed, ötöd és hatodrendű ROW stiff módszerek ([6],[7]). Mindegyik módszer automatikus lépésköz választással és előre illetve visszafelé történő integrálással is működtethető. 10
11 Irodalom: [ 1 ] K.Károlyi: An interactive code to solve MBVP s, Int.Conference on Diff.Equations, Barcelona,1991. ( ) [ 2 ] J.Stoer,R.Bulirsch: Introduction to Numerical Analysis, Springer-Verlag [ 3 ] R.E.Bank,D.J.Rose: Glob.Appr.Newton Meth. Num.Math ( ) [ 4 ] P.J.Prince,J.R.Dormand: High order embedded Runge-Kutta formulae, J.Comp.Appl.Math.vol.7.no (67-75) [ 5 ] J.H.Verner: Explicit Runge-Kutta Methods with Estimates of the Local Error, Report 92.Univ.Auckland, New Zealand,1976. [ 6 ] P.Kaps,P.Rentrop: Generalized Runge-Kutta Meth.of Ord.Four with Steps Contr. for Stiff ODE s, Numer.Math.vol.33,1979 (55-68) [ 7 ] P.Kaps,G.Wanner: A Study of Rosenbrock-Type Methods of High Order, Numer.Math.vol.38,1981 ( ) [ 8 ] G.Varjú,K.Károlyi: Calculating screening effect of a metal cable sheath with nonlinearity, Int.Symp.EMC. Wroclaw,1990. ( ) [ 9 ] F.Jonas,G.Varjú: Gen.Model & Num.Method for Multicond.Systems Frequ.Dom., IEEE/KTH Pow.Tech.Conf.Stockholm,1995. ( ) 11
Differenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
RészletesebbenBaran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba. Gyakorlat Differenciálegyenletek numerikus megoldása
Matematika Mérnököknek 2. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Gyakorlat Differenciálegyenletek numerikus megoldása Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 1 / 18 Fokozatos
RészletesebbenIpari matematika 2. gyakorlófeladatok
Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,
RészletesebbenRunge-Kutta módszerek
Runge-Kutta módszerek A Runge-Kutta módszerek az Euler módszer továbbfejlesztésének, javításának tekinthetők, kezdeti értékkel definiált differenciál egyenletek megoldására. Előnye hogy a megoldás során
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
RészletesebbenLineáris algebra numerikus módszerei
Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y
RészletesebbenDifferenciálegyenlet rendszerek
Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenFeladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.
Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
RészletesebbenNumerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 2014/15. I. félév, A. csoport. x 2. c = 3 5, s = 4
Numerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 204/5. I. félév, A. csoport. Feladat. (6p) Alkalmas módon választva egy Givens-forgatást, határozzuk meg az A mátrix QR-felbontását! Oldjuk meg ennek
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges
RészletesebbenKonjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenCsomós Petra. Loránd Tudományegyetem, Budapest. függvénytan, valós és komplex vonalintegrál)
Oktatási és témavezetői tevékenység Csomós Petra 1. Oktatás 2001.09 12. 2003.09 12. 2001.02 06. 2003.02 06. 2002.09 12. 2004.09 12. 2003.02 06. 2005.02 06. Analízis I. gyakorlat meteorológus és geofizikus
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
Részletesebben4. Laplace transzformáció és alkalmazása
4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:
Részletesebben3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek
3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 6. Differenciálegyenletekről röviden Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Elsőrendű differenciálegyenletek Definíciók Kezdetiérték-probléma
Részletesebben1 Lebegőpontos számábrázolás
Tartalom 1 Lebegőpontos számábrázolás... 2 2 Vektornormák... 4 3 Indukált mátrixnormák és tulajdonságaik... 5 4 A lineáris rendszer jobboldala hibás... 6 5 A kondíciószám és tulajdonságai... 7 6 Perturbációs
RészletesebbenParciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc
Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó
FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2013 Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezet Lektor Technikai szerkeszt Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart
RészletesebbenCsomós Petra. Loránd Tudományegyetem, Budapest. függvénytan, valós és komplex vonalintegrál)
Oktatási és témavezetői tevékenység Csomós Petra 1. Oktatás 2001.09 12. 2003.09 12. 2001.02 06. 2003.02 06. 2002.09 12. 2004.09 12. 2003.02 06. 2005.02 06. Analízis I. gyakorlat meteorológus és geofizikus
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenDifferenciálegyenletek. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 11. előadás: A Newton-módszer és társai Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 25. Tartalomjegyzék 1 A Newton-módszer és konvergenciatételei 2 Húrmódszer és szelőmódszer 3 Általánosítás
RészletesebbenAlap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:
RészletesebbenPélda: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 213. október 8. Javítva: 213.1.13. Határozzuk
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenGyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi
Gyakorló feladatok Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi 25 Tartalomjegyzék. Klasszikus hibaszámítás 3 2. Lineáris egyenletrendszerek 3 3. Interpoláció 4 4. Sajátérték, sajátvektor 6 5. Lineáris és nemlineáris
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet
RészletesebbenNumerikus módszerek beugró kérdések
1. Definiálja a gépi számok halmazát (a tanult modellnek megfelelően)! Adja meg a normalizált lebegőpontos szám alakját. (4 pont) Az alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha Ahol,,,. Jelöl:
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
RészletesebbenVégeselem modellezés alapjai 1. óra
Végeselem modellezés alapjai. óra Gyenge alak, Tesztfüggvény, Lagrange-féle alakfüggvény, Stiness mátrix Kivonat Az óra célja, hogy megismertesse a végeselem módszer (FEM) alkalmazását egy egyszer probléma,
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenExplicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,
RészletesebbenKözönséges differenciál egyenletek megoldása numerikus módszerekkel: egylépéses numerikus eljárások
Közönséges differenciál egyenletek megoldása numerikus módszerekkel: egylépéses numerikus eljárások Bevezetés Ebben a cikkben megmutatjuk, hogyan használhatóak a Mathematica egylépéses numerikus eljárásai,
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
RészletesebbenDiszkréten mintavételezett függvények
Diszkréten mintavételezett függvények A függvény (jel) értéke csak rögzített pontokban ismert, de köztes pontokban is meg akarjuk becsülni időben mintavételezett jel pixelekből álló műholdkép rácson futtatott
RészletesebbenI. Fejezetek a klasszikus analízisből 3
Tartalomjegyzék Előszó 1 I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3 1. Topológia R n -ben 5 2. Lebesgue-integrál, L p - terek, paraméteres integrál 9 2.1. Lebesgue-integrál, L p terek................... 9
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Folytonosság H607, EIC 2019-03-07 Wettl Ferenc
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.
RészletesebbenRobotok inverz geometriája
Robotok inverz geometriája. A gyakorlat célja Inverz geometriai feladatot megvalósító függvények implementálása. A megvalósított függvénycsomag tesztelése egy kétszabadságfokú kar előírt végberendezés
RészletesebbenOptimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és
RészletesebbenFourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.
ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés
RészletesebbenA Richardson-extrapoláció és alkalmazása a Dániai Euleri Modellben
A Richardson-extrapoláció és alkalmazása a Dániai Euleri Modellben Faragó István 1, Havasi Ágnes 1, Zahari Zlatev 2 1 ELTE Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék és MTA-ELTE Numerikus Analízis
RészletesebbenBaran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba. Gyakorlat Differenciálegyenletek
Matematika Mérnököknek 2. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Gyakorlat Differenciálegyenletek Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. 1.-2. Gyakorlat 1 / 42 Numerikus differenciálás
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenMatematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot.
3. Fejezet Matematikai háttér A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot René Descartes Számtalan kiváló szakirodalom foglalkozik a különféle differenciálegyenletek
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenGPK M1 (BME) Interpoláció / 16
Interpoláció Matematika M1 gépészmérnököknek 2017. március 13. GPK M1 (BME) Interpoláció 2017 1 / 16 Az interpoláció alapfeladata - Példa Tegyük fel, hogy egy ipari termék - pl. autó - előzetes konstrukciójának
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenDifferenciálegyenletek gyakorlat december 5.
Differenciálegyenletek gyakorlat Kocsis Albert Tihamér Németh Adrián 05 december 5 Ismétlés Integrálás Newton Leibniz-formula Integrálás és alapműveletek wwwwolframalphacom Alapintegrálok sin x dx = cos
RészletesebbenLineáris algebra. (közgazdászoknak)
Lineáris algebra (közgazdászoknak) 10A103 FELADATOK A GYAKORLATRA (3.) 2018/2019. tavaszi félév Lineáris egyenletrendszerek 3.1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket Gauss-eliminációval
RészletesebbenMerev differenciálegyenletek numerikus megoldása
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Szabó-Pinczel Orsolya Merev differenciálegyenletek numerikus megoldása BSc szakdolgozat Témavezet : Mincsovics Miklós, tudományos segédmunkatárs Alkalmazott
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
Részletesebben10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai
Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál
Részletesebben1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek
7 Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Legyen n N, I R intervallum és A: I M n n (R), B: I R n folytonos függvények, és tekintsük az { y (x) = A(x)y(x) + B(x) y(ξ) = η kezdeti érték problémát,
RészletesebbenModellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 10 X PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Elsőrendű kvázilineáris parciális DIFFERENCIÁLEGYENLETEk Elméleti alapok Elsőrendű kvázilineáris parciális differenciálegyenlet általános
RészletesebbenNéhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése
5. Fejezet Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése 5.. Iránymező Látattuk, ogy az explicit differenciálegyenletek rendelkeznek azzal az érdekes és kivételes tulajdonsággal, ogy bár esetenként
RészletesebbenAnnak a function-nak a neve, amiben letároltuk az egyenletünket.
Function-ok a MATLAB-ban Előző óra 4. Feladata. Amikor mi egy function-t írunk, akkor azt eltárolhatjuk egy.m fileban. Ebben az esetben ha egy másik programunkból szeretnénk meghívni ezt a függvényt (pl
RészletesebbenNemlineáris programozás 2.
Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,
RészletesebbenKözönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben
Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Differenciálegyenlet alatt egy olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó ismeretlen egy függvény, és az egyenlet tartalmazza az ismeretlen
RészletesebbenNumerikus integrálás április 20.
Numerikus integrálás 2017. április 20. Integrálás A deriválás papíron is automatikusan elvégezhető feladat. Az analitikus integrálás ezzel szemben problémás vannak szabályok, de nem minden integrálható
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
RészletesebbenMatematika A3 1. ZH+megoldás
Matematika A3 1. ZH+megoldás 2008. október 17. 1. Feladat Egy 10 literes kezdetben tiszta vizet tartalmazó tartályba 2 l/min sebesséeggel 0.3 kg/l sótartalmú víz Áramlik be, amely elkeveredik a benne lévő
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenGauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 4. gyakorlat Mátrix invertálás Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,
RészletesebbenEddig csak a polinom x-ben felvett értékét kerestük
Interpolációs polinom együtthatói Eddig csak a polinom x-ben felvett értékét kerestük Ez jó, ha kevés x-re kell kiértékelni Ha sok ismeretlen f (x)-et keresünk, akkor jobb kiszámolni az együtthatókat,
RészletesebbenNormák, kondíciószám
Normák, kondíciószám A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris egyenletrendszerek Nagyon sok probléma közvetlenül lineáris egyenletrendszer megoldásával kezelhetı Sok numerikus
RészletesebbenPélda: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2013. szeptember 23. Javítva: 2013.10.09.
RészletesebbenMatematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.
Differenciálegyenletek numerikus integrálása 2018. április 9. Differenciálegyenletek Olyan egyenletek, ahol a megoldást függvény alakjában keressük az egyenletben a függvény és deriváltjai szerepelnek
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. Tantárgy kódja: IP-08bNM1E, IP-08bNM1G (2+2) Az elsajátítandó ismeretanyag rövid leírása: A lebegıpontos számábrázolás egy modellje. A hibaszámítás elemei. Lineáris egyenletrendszerek
RészletesebbenNumerikus integrálás április 18.
Numerikus integrálás 2016. április 18. Integrálás A deriválás papíron is automatikusan elvégezhető feladat. Az analitikus integrálás ezzel szemben problémás vannak szabályok, de nem minden integrálható
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
RészletesebbenNumerikus matematika. Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, Lebegőpontos számok
Numerikus matematika Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, 2007 Lebegőpontos számok Normák, kondíciószámok Lineáris egyenletrendszerek Legkisebb négyzetes
Részletesebben