Merev differenciálegyenletek numerikus megoldása
|
|
- Eszter Magyar
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Szabó-Pinczel Orsolya Merev differenciálegyenletek numerikus megoldása BSc szakdolgozat Témavezet : Mincsovics Miklós, tudományos segédmunkatárs Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Budapest, 2012
2 Köszönetnyilvánítás Szeretnék köszönetet mondani témavezet mnek, Mincsovics Miklósnak, hogy segítette a munkámat, javította a hibáimat. Köszönöm Kurics Tamásnak, els témavezet mnek, akinél sajnos nem tudtam befejezni a munkámat hogy konzultációkkal megalapozta a dolgozat elkészítését. Végül, de nem utolsósorban, köszönöm férjemnek a támogatást. ii
3 Tartalomjegyzék Bevezetés 1 1. Alapvet fogalmak és összefüggések Dierenciálegyenletek Numerikus módszerek Merev dierenciálegyenletek Implicit Euler-módszer Az Implicit-Euler módszer algoritmusa Megoldás Newton-módszer alkalmazásával Az Implicit Euler-módszer A-stabilitása Runge-Kutta módszerek Explicit Runge-Kutta módszer algoritmusa Az Implicit Runge-Kutta módszer algoritmusa Az Implicit Runge-Kutta módszer A-stabilitása Gear-módszer (BDF-módszer) A Gear-módszer algoritmusa A Gear-módszer A-stabilitása Összefoglalás 24 Irodalomjegyzék 26 iii
4 Bevezetés Mikor Kurics Tamáshoz fordultam, hogy szeretnék nála szakdolgozatot írni az analízis témakörében, azt kértem t le, hogy a dolgozat címében legyen olyan szó is, amit nem matematikus is ért. Ezért a merev egyenleteket ajánlotta. Sok dolgozat született már a dierenciálegyenletekr l, és azok numerikus megoldásáról, hiszen a dierenciálegyenletekkel gyakran találkozhatunk a mindennapi életben is. Fizikai, gazdasági, m szaki, és biológiai problémák modellezéséhez igen gyakran használatos. A való életben is el forduló dierenciálegyenletek nagy része azonban merev, amelyekre egyes módszerek egyáltalán nem hoznak eredményt, másokkal azonban stabil megoldást kaphatunk. Dolgozatomban ezért három numerikus módszerrel szeretném megismertetni az olvasót, amelyeket merev dierenciálegyenletekre alkalmazhatunk: az Implicit Euler-módszerrel, az Implicit Runge-Kutta módszerrel és a Gear-módszerrel. A módszerek részletes ismertetése el tt áttekintjük az alapfogalmakat, megismerkedünk dierenciálegyenletekkel és a numerikus módszerekkel. A merev dierenciálegyenletek leggyakoribb el fordulási területei az irányításelmélet, a reaktorkinetika, az id járás el rejelzés, a biomatematika és az elektronika. Általánosságban elmondható, hogy ahol gyorsan változó dinamikával találkozunk, ott a merevség is el bukkan. Ezeken felül a merev egyenletek legf bb forrása maga a numerikus analízis: a parabolikus parciális dierenciálegyenleteket gyakran közelítik merev egyenletrendszerekkel. 1
5 1. fejezet Alapvet fogalmak és összefüggések Miel tt megismerkednénk a merev dierenciálegyenletekre alkalmazható numerikus módszerekkel, tekintsük át az alapvet fogalmakat Dierenciálegyenletek A dierenciálegyenleteket két f típusba sorolhatjuk: közönséges dierenciálegyenletek és parciális dierenciálegyenletek. A közönséges dierenciálegyenletekben a keresett ismeretlen egyváltozós, míg a parciális dierenciálegyenleteknél többváltozós. A következ kben a közönséges dierencálegyenletekkel fogunk foglalkozni Deníció (közönséges dierenciálegyenlet). Legyen D R R n összefügg nyílt halmaz, f : D R n folytonos függvény és I R nyílt intervallum, y : I R n dierenciálható függvény. Az els rend 1 közönséges dierenciálegyenlet (ordinary dierential equation: ODE) explicit alakja: y (x) = f(x, y(x)) Ahol f egy adott függvény, és az y-t keressük Tétel. Ha az f : D R n függvény folytonos és a második változójában 1 n-ed rend nek nevezünk egy dierenciálegyenletet, ha a benne szerepl magasabb rend deriváltak között az n-edik a legnagyobb. 2
6 1.1. Dierenciálegyenletek 3 lokálisan Lipschitz tulajdonságú 2, akkor minden (x 0, y 0 ) esetén egyértelm en létezik olyan lokális (azaz x 0 egy környezetében értelmezett) megoldása az y (x) = f(x, y(x))-nek, melyre y(x 0 ) = y 0. Ezért feltesszük, hogy a dierenciálegyenleteinknek adott kezdeti érték mellett egyértelm en létezik megoldása Deníció (kezdetiérték feladat). f : (a, b) R R adott, keressük az y (x) = f(x, y(x)) y(a) = y 0 feladat y megoldásának az x = b (vagy más közbüls ) pontban felvett értékét Példa. 1. y (x) = λy(x) y(0) = 1 megoldása: y(x) = e λx λ < 0 esetben: ha t, akkor a megoldás határértéke 0. Ekkor minden megoldás a 0 egyensúlyi ponthoz közeledik, ami egy aszimptotikusan stabilis 3 egyensúlyi helyzet. λ > 0 esetben: ha t, akkor a megoldás határértéke ±. Ebben az esetben a 0 egyensúlyi pont instabilis. λ = 0 esetben a megoldások konstans függvények, azaz nem is közelednek és nem is távolodnak a 0 egyensúlyi ponttól, azaz a megoldás stabilis. 2 Az f : D R n függvényt a második változójában lokálisan Lipschitz tulajdonságúnak nevezzük, ha minden (t 0, p 0 ) D pontnak létezik U D környezete és létezik L > 0, hogy f(t, p 1 ) f(t, p 2 ) L p 1 p 2, minden (t, p 1 ), (t, p 2 ) U esetén. 3 A stabilitási alapfogalmakat legegyszer bben egy golyó különböz felületekre helyezésével, majd elmozgatásával szemléltethetjük: asszimptotikusan stabilis, ha egy gödör aljára, instabil, ha egy domboldal tetjére, stabil, ha egy vízszintes felületre helyezzük.
7 1.2. Numerikus módszerek 4 2. y (x) + sin(x) = 200(y(x) cos(x)) y(0) = 0 megoldása: y(x) = cos(x) e 200x 1.2. Numerikus módszerek Ahhoz, hogy megértsük hogyan m ködik egy numerikus módszer, példaként tekintsük az Euler-módszert. Adott egy kezdetiérték feladat: y (x) = f(x, y(x)) (x x 0 ) y(x 0 ) = y 0 Ebb l két információt olvashatunk ki: y értékét x = x 0 pontban, illetve a további x x 0 pontokban a dierenciálegyenletb l következtethetünk a görbére. Ezt a legegyszer bben lineáris interpolációval tehetjük (azaz els rend polinomokkal közelítünk). Tehát a következ képpen becsüljük y(x)-t: f(x, y(x)) f(x 0, y(x 0 )) ahol x [x 0, x 0 + h], h > 0 kicsi. Ha integráljuk a dierenciálegyenletünket, a következ t kapjuk: y(x) = y(x 0 ) + x x 0 f(τ, y(τ))dτ y 0 + (x x 0 )f(x 0, y 0 ). Ezért válasszuk a következ sorozatot: x 0, x 1 = x 0 + h, x 2 = x 0 + 2h,... ahol h a lépéstávolság 4. Az els lépésünk a következ lesz: y 1 = y 0 + hf(x 0, y 0 ). Ezt általánosíthatjuk a következ képpen: jelölje y(x k ) a feladat pontos megoldásának értékét az x k osztópontban és legyen y k a közelít érték: y k y(x k ), így: y 0 = y(x 0 ) x k = x 0 + kh y n+1 = y n + hf(x n, y n ) (n = 0, 1,...) 4 Ha x 0 = a, x N = b, N a részintervalllumok száma, akkor h = b a N.
8 1.2. Numerikus módszerek Példa. A következ ábrákon az es példában már megismert feladatok pontos megoldása, és az Euler-módszerrel megkapott megoldás együtt látható (különböz lépésközökkel): 1. y (x) = y(x), y(0) = 1 kezdetiérték feladat megoldása: y(x) = e x. (1.1. ábra) 2. y (x) + sin(x) = 200(y(x) cos(x)), y(0) = 0 kezdetiérték feladat megoldása:y(x) = cos(x) e 200x. (1.2., 1.3., 1.4. ábra) 1.1. ábra. Láthatjuk, hogy az 1.1-es ábrán meglehet sen jól közelíti meg az Explicit Eulermódszerrel kapott megoldás a pontos megoldást; a különböz lépésközök hasonlóan jó megoldást adnának.
9 1.2. Numerikus módszerek ábra ábra.
10 1.2. Numerikus módszerek ábra. Az 1.2-es ábrán látható, hogy a h = 0.03 lépésköz túl nagynak bizonyul, a megoldás elszáll. Az 1.3-as ábrán a h = 0.01 lépésközzel a közelít megoldás oszcillál. Az utolsó, 1.4-es ábrán a megoldást jól közelíti a h = lépésközzel kapott megoldás. Kés bb látni fogjuk, hogy ez a példa egy merev egyenlet.
11 1.2. Numerikus módszerek 8 A módszereket többféleképen is megkülönböztethetjük: Egylépéses és többlépéses: azt a módszert nevezzük egylépésesnek, amely az x n+1 -beli közelít érték kiszámolásakor csak az el z közelítés értékét használja fel (a korábbiakat nem), a többlépéses ellenben az összes eddigi közelítés értékét felhasználja. Explicit és implicit: az explicit módszerekben az új közelít érték kiszámolásakor csak az el z értékeket használjuk fel, az implicit módszerekben a jobb oldalon az éppen keresett közelítési érték is szerepel. Ahhoz, hogy meg tudjuk mondani megfelel en jól közelít-e a módszerünk, azaz eléggé pontos volt-e, a következ fogalmakat kell ismernünk: Deníció (lokális hiba). A módszer lokális hibája a pontos megoldás és a közelít érték közötti eltérés: d i = y(x i ) y i, feltéve, hogy y(x i 1 ) = y i 1. A lokális hiba azt méri, hogy a pontos értékb l kiindulva egy lépés alatt mekkora hiba keletkezik. (Más néven diszkretizációs hiba, képlethiba.) Deníció (globális hiba). A globális hiba a következ mennyiség: e i = y(x i ) y i, (0 i N). Tehát a globális hiba nem csak egy lépésre vonatkozik Deníció (konzisztencia). Azt mondjuk, hogy egy módszer p-ed rendben konzisztens, ha p 1 és M > 0, hogy d i Mh p+1 minden 1 i N-re Deníció (konvergencia). Egy adott módszer konvergens az x [a, b] pontban, ha lim n a+nh=x y n = y(x ). Egy módszer konvergens, ha minden pontban konvergens Deníció (stabilitás). Egy egylépéses módszer stabil, ha létezik olyan K 0, hogy e i K( e 0 + i d j ) (i = 1, 2,..., N) j= Állítás. Ha egy egylépéses módszer p-ed rendben konzisztens és stabil, akkor p-ed rendben konvergens.
12 1.3. Merev dierenciálegyenletek Merev dierenciálegyenletek A merev dierenciálegyenleteknek több megközelítése ismert, de nem létezik általánosan elfogadott, egzakt deníció. Pontos deníció helyett ezért hasznosabb a fogalmat gyakorlati oldalról megközelíteni. Egy dierenciálegyenlet rendszer merev, ha: az explicit módszerek nem m ködnek (elég hatékonyan) a lépéstávolság megválasztását els sorban a stabilitási követelmények szabják meg Egy egyenletrendszer merev, ha f y Re λ i 0, és λ min λ max 1. Jacobi mátrix minden λ i sajátértrékére Most tekintsük a következ feladatot, amelynek segítségével megérthetjük az utána következ fogalmakat: y (x) = λy(x) y(0) = 1 (λ C, Re λ < 0) A feladat megoldása y(x) = e λx, amelyre teljesül, hogy lim x e λx = Deníció (A-stabilitás). Egy numerikus módszer A-stabil (abszolút-stabil), ha a fenti feladatban minden rögzített h > 0 lépéstávolság esetén kapott y 0, y 1, y 2,... közelít sorozatra lim y n = 0 x teljesül. (Illetve elég, ha (y n ) korlátos marad.) Egy adott egylépéses módszert felírva a feladatra a következ t kapjuk (a z = λh jelölés mellett): y n+1 = R(z)y n valamilyen R függvénnyel, amelyet stabilitási függvénynek nevezünk Deníció (stabilitási tartomány). Egy módszer stabilitási tartományának nevezzük a {z C : R(z) 1} halmazt.
13 1.3. Merev dierenciálegyenletek 10 A deníciókból következik, hogy egy ilyen módszer pontosan akkor A-stabil, ha a C := {z C : Re z < 0} bal oldali félsík része a stabilitási tartománynak Deníció (A(α)-stabilitás). Egy módszer A(α)-stabil, ha {0} {z C : arg( z) α} része a stabilitási tartománynak. (A( π )-stabil = A-stabil) Deníció (L-stabil). Egy módszer L-stabil, ha A-stabil és z estén R(z) Példa. Az Euler-módszert alkalmazva az y (x) = λy(x), y(0) = 1 kezdetiérték feladatra: y n = y n 1 + hf(x n 1, y n 1 ) = y n 1 + hλy n 1 = (1 + hλ)y n 1, tehát y n = (1 + hλ) n y 0 = (1 + hλ) n. Ez a nullához tart, ha 1 + hλ < 1, azaz valós λ esetén h < 2. Az Euler-módszer λ stabilitási függvénye: R(z) = 1 + z = e z + O(z 2 ), a stabilitási tartomány pedig a 1 középpontú 1-sugarú kör belseje (1.4. ábra). Tehát az Euler-módszer nem A-stabil, mert nem minden h > 0 esetén lesz R(hλ) < ábra.
14 2. fejezet Implicit Euler-módszer 2.1. Az Implicit-Euler módszer algoritmusa Az Implicit Euler-módszer (Backward Euler method ) hatékonyabban használható merev dierenciálegyenletek megoldására, stabilabb mint az explicit módszer, ezért akár nagyobb lépéstávolságot is használhatunk. A következ képlet segítségével keressük az egyenlet közelít megoldását: y n+1 = y n + hf(x n+1, y n+1 ) Hátránya azonban, mivel a képlet jobb oldalán a keresett y n+1 érték is el fordul hogy használata egy (általában nemlineáris) egyenlet megoldásával jár. Ennek megoldására többféle módszert alkalmazhatunk. Gyakori megoldás a Newtonmódszer alkalmazása amellyel a következ alfejezetben foglalkozunk részletesebben illetve a xpont-iteráció, ami merev egyenletekhez nem minden esetben alkalmas, mert a módszer akkor konvergál a megoldáshoz, ha a lépéstávolság kicsi. A xpont-iteráció alkalmazása az Implicit Euler-módszerre: Hozzuk az y n+1 = y n + hf(x n+1, y n+1 ) formulát u = G(u) alakra: G(u) = y n + hf(x n+1, u) Válasszunk egy u (0) -t Keressük meg u (k) -t a következ iterációt használva: u (k) = G(u (k 1) ) 11
15 2.2. Megoldás Newton-módszer alkalmazásával 12 Ha a valós-érték G függvény kielégíti a G(w) G(v) K w v -t, minden valós w-re, v-re és konstans K < 1-re, akkor létezik pontosan egy xpont, u, amire G(u) = u, és az iteráció bármilyen u (0) kezd érték esetén u-hoz tart Megoldás Newton-módszer alkalmazásával A Newton-módszer, a nemlineáris egyenletek megoldásának alapvet eszköze. Az f(x) = 0 egyenlet megoldása a következ képpen történik: x (0) adott x (k+1) = x (k) f(x(k) ) f (x (k) ) (k = 0, 1,...) A módszer alkalmazása az Implicit Euler-módszerre: Hozzuk az y n+1 u = y n+1 : = y n + hf(x n+1, y n+1 ) formulát F (u) = 0 alakra, legyen F (u) = u y n hf(x n+1, u) Válasszunk egy u (0) -t Oldjuk meg F (u) = 0-t a következ iterációt használva: u (k) = u (k 1) F (u(k 1) ) F (u (k 1) ) 2.3. Az Implicit Euler-módszer A-stabilitása Az Implicit Euler-módszer stabilitási függvénye: y n = y n 1 + hλy n y n = 1 1 hλ y n 1, azaz és R(z) = 1 1 z = 1 + z + O(z2 ) = e z + O(z 2 ), z 0 R(z) < 1 z 1 > 1
16 2.3. Az Implicit Euler-módszer A-stabilitása ábra. ami az 1 középpontú, 1 sugarú kör külseje. Mivel a bal oldali félsík része ennek, az Implicit Euler-módszer A-stabil. A módszer L-stabil is. A 2.1-es ábrán a stabilitási tartományt láthatjuk Példa. A következ ábrákon a már megismert feladatok segítségével ( es példa) hasonlítjuk össze az Explicit Euler-módszert az Implicit Euler-módszerrel. Mind a két ábrán látható, hogy az implicit módszer jobban m ködik, sokkal pontosabban közelíti a megoldást.
17 2.3. Az Implicit Euler-módszer A-stabilitása ábra ábra.
18 3. fejezet Runge-Kutta módszerek 3.1. Explicit Runge-Kutta módszer algoritmusa Az explicit s-lépcs s Runge-Kutta módszerek általános alakja: k 1 = f(x n, y n ) k 2 = f(x n + a 2 h, y n + hb 21 k 1 ) k 3 = f(x n + a 3 h, y n + h(b 31 k 1 + b 32 k 2 )). k s = f(x n + a s h, y n + h(b s1 k 1 + b s2 k b s,s 1 k s 1 )) illetve legyen y n+1 = y n + h(c 1 k 1 + c 2 k c s k s ) A módszer együtthatóit könnyedén át lehet tekinteni az úgynevezett Butchertáblázatban: a 2 b a 3 b 31 b a s b s1 b s2... b s,s 1 0 c 1 c 2... c s 1 c s Feltesszük, hogy c 1 + c c s = 1 és a k = b k1 + b k b ks (1 k s). 15
19 3.2. Az Implicit Runge-Kutta módszer algoritmusa Példa. Javított Euler-módszer: k 1 = f(x n, y n ) k 2 = f(x n h, y n + h 1 2 k 1) y n+1 = y n + hk 2 és Butcher-táblázata: /2 1/ Az Implicit Runge-Kutta módszer algoritmusa Az implicit módszer abban különbözik az explicitt l, hogy a k i lépcs számok mindegyike függ egymástól: k j = y n + h s i=1 a j,if(t n + c i h, k i ) j = 1, 2,..., s Példa. Kétlépéses IRK: y n+1 = y n + h s j=1 b jf(t n + c j h, k j ). k 1 = y n h[f(t n, k 1 ) f(t n h, k 2)] k 2 = y n h[3f(t n, k 1 ) + 5f(t n h, k 2)] y n+1 = y n h[f(t n, k 1 ) + 3f(t n h, k 2)] és Butcher-táblázata: 0 1/4-1/4 2/3 1/4 5/12 1/4 3/4 Tehát minden lépés, azaz minden új x n+1 kiszámolása x n -b,l egy s s méret nemlineáris feladat megoldását igényli. Ezt a segédfeladatot Newton-módszerrel számolhatjuk ki (hasonlóan az Implicit Euler-módszernél taglaltakhoz), és így megkapjuk a k i segédszámokat.
20 3.3. Az Implicit Runge-Kutta módszer A-stabilitása Az Implicit Runge-Kutta módszer A-stabilitása Állítás (Butcher-Ehle). Az s-lépcs s 2s-edrend implicit Runge-Kutta módszerek A-stabilak Példa. A következ ábrákon szintén a már megismert feladatok segítségével (1.2.1-es példa) hasonlítjuk össze az Explicit Runge-Kutta módszert az Implicit Runge-Kutta módszerrel. Itt is láthatjuk, hogy az implicit módszerek hatékonyabban m ködnek. Explicit Runge-Kutta módszernek a es példában megismert Javított Euler-módszert használtam, Implicit módszernek pedig az úgynevezett trapézszabályt: y n+1 = y n + 0.5h[f(t n, y n ) + f(t n+1, y n+1 )] 3.1. ábra.
21 3.3. Az Implicit Runge-Kutta módszer A-stabilitása ábra.
22 4. fejezet Gear-módszer (BDF-módszer) 4.1. A Gear-módszer algoritmusa A Gear-módszer, vagy másnéven BDF-módszer (Backward dierentiation formula) egy többlépéses implicit módszer Deníció (többlépéses módszer). Egy s-lépéses módszer általános alakja: a 0 + a 1 y n a r y n r = h(b 0 f n + b 1 f n b q f n q ), ahol a 0 0, f k := f(x k, y k ) és s = max{r, q} Deníció (karakterisztikus polinomok). Egy s-lépéses módszer els és mádodik karakterisztikus polinomjának nevezzük a ϱ(z) = a 0 z s + a 1 z s a s σ(z) = b 0 z s + b 1 z s b s polinomokat. A következ denícióra a többlépéses módszerek konvergienciájához lesz szükség: Deníció (gyökfeltétel). Azt mondjuk, hogy egy p polinomra teljesül a gyökfeltétel, ha p(z ) = 0 esetén z 1, ahol z = 1 esetén z egyszeres gyöke p-nek. 19
23 4.2. A Gear-módszer A-stabilitása 20 A következ tétel tehát a többlépéses módszerek konvergenciájáról: Tétel (Dahlquist-féle ekvivalenciatétel). Tegyük fel, hogy egy s-lépéses módszernél az y 1, y 2,..., y s 1 értékek hibája nullához tart, ha h 0. Ekkor az s- lépéses módszer pontosan akkor konvergens, ha konzisztens és a ϱ(z) polinomra teljesül a gyökfeltétel Deníció (Gear-módszer). Egy s-lépéses módszer s-ed rend Gear-módszer, ha σ(z) = βz s valamilyen β 0-ra. A módszer általános alakja: a 0 y n + a 1 y n a s y n s = hf n Látható, hogy a módszer az általános alaktól annyiban tér el, hogy b 0 0, és b 1 = 0,..., b q = Példa. Az els néhány BDF-módszer (s = 1-re az Implicit Euler-módszer): s = 1 : y n y n 1 = hf n s = 2 : y n 4 3 y n y n 2 = 2 3 hf n s = 3 : y n y n y n y n 3 = 6 11 hf n A következ képletek segítségével (amelyeket itt most nem bizonyítunk) a formulák könnyedén kiszámolhatók: β = ( s m=1 ) 1 1 és ρ(w) = β m s m=1 1 m ws m (w 1) m Tétel. Egy BDF-módszerre pontosan akkor teljesül a gyökfeltétel (és így pontosan akkor konvergens), ha 1 s A Gear-módszer A-stabilitása Az y (x) = λy(x), y(0) = 1 kezdetiérték feladatra alkalmazva egy általános többlépéses módszert a következ t kapjuk: s (a i hλb i )y n i = i=0 s (a i zb i )y n i = 0. i=0
24 4.2. A Gear-módszer A-stabilitása 21 Ez egy lineáris dierencia-egyenlet, legyen y j = ξ j, ekkor (a 0 zb 0 )ξ s (a s zb s ) = ϱ(ξ) zσ(ξ) = 0. A többlépéses módszer stabilitási tartománya: S = {z C : az el z egyenletξ = ξ(z) gyökeire teljesül a gyökfeltétel} A 4.1-es ábrán láthatjuk s = 1,..., 6-ig a stabilitási tartományokat ábra. s=1 s=2 s=3 s=4 s=5 s=6
25 4.2. A Gear-módszer A-stabilitása Állítás (második Dahlquist-korlát). Egyetlen explicit többlépéses módszer sem lehet A-stabil, implicit is csak akkor, ha a rendje legfeljebb 2. Ha az A-stabilitás helyett csak A(α)-stabilitást követelünk meg, akkor a BDFmódszerek is megfelel ek. Az L-stabilitás második követelményét (z estén R(z) 0) is teljesítik a BDF-módszerek, de mivel csak az els kett A-stabil, ezért csak azok L-stabilak is Példa. Pár BDF-módszer stabilitása: BDF(1), BDF(2) A-stabil, L-stabil BDF(3) A(86,03)-stabil BDF(4) A(73,35)-stabil BDF(5) A(51,84)-stabil BDF(6) A(17,84)-stabil Példa. A következ ábrákon szintén a már megismert feladatok megoldását láthatjuk BDF(2) módszerel. Látható, hogy a módszerek, már egész nagy lépéstávolsággal jól m kdödnek.
26 4.2. A Gear-módszer A-stabilitása ábra ábra.
27 5. fejezet Összefoglalás Célunk az volt, hogy megismerkedjünk a merev dierenciálegyenleteket megoldó numerikus módszerekkel, ezért három implicit módszert tekintettünk át. Egylépéses és többlépéses módszereket is. Megvizsgáltuk mindegyik módszer stabilitási tartományát, és az A-stabilitását. Azonban a téma tárgyalását más irányban is folytathatnánk. Egy konkrét feladat megoldásánál a lépéstávolság soha nem konstans, megoldás közben csökkenthet és növelhet a hiba függvényében (ha kicsi a hiba, akkor növelhet, ha nagy, csökkenthet ). Ez a lépéstávolság választás (step-size control ). Illetve szót ejthetnénk még az úgynevezett merevségvizsgálatról (stines detection) is, azaz arról, hogy mi történik, ha a vizsgált egyenletünk merev, de ezt nem tudjuk el re. Beszélhetnénk arról is, hogy hogyan érdemes megválasztani a lépéstávolságot, illetve a kezd értéket a többlépéses módszereknél. A Matlab szubrutinjai között megtalálható a megismert módszerek egy része is, ezek közül három módszert alkalmazhatunk merev egyenletek megoldására: ode15s: változó rend BDF-módszer ode23s: 2-3-adrend egylépéses módszerpár ode23tb: implicit Runge-Kutta módszer A megismert módszereket tehát mind alkalmazhatjuk merev dierenciálegyenletek megoldására, de természetesen ezeken kívül léteznek még más módszerek is: a többlépéses Adams-módszerek: Adams-Bashforth módszer és Adams-Moulton 24
28 5. FEJEZET. ÖSSZEFOGLALÁS 25 módszer. Ezek azonban egy külön dolgozat témái lehetnének. Érdemes összetettebb, többlépéses módszereket is használni, hiszen hatékonyságban is jobbak mint egylépéses társaik.
29 Irodalomjegyzék [1] ISERLES, Arieh (1996) : Ordinary Dierential Equations, in A rst course in the Numerical Analysis of Dierential Equations, Oxford University Press [2] GORDELIY, Lisa (2011) : Backward Euler method and solution of nonlinear equations - lecture notes [3] KURICS, Tamás (2011) : Dierenciálegyenletek numerikus megoldása - ELTE Nyári egyetem - Bolyai Kollégium, el adás jegyzet [4] LU, Ya Yan (2011) : Numerical Methods for Dierential Equations - lecture notes, City University of Hong Kong [5] SIMON, Péter (2007) : Közönséges Dierenciálegyenletek - Jegyzet [6] STOYAN, Gisbert (2007) : Közönséges dierenciálegyenletek, in Numerikus Matematika Mérnököknek és Programozóknak, Typotex 26
Differenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
RészletesebbenSzakdolgozat. M esz aros Mirjana
tvo s Lora nd Tudoma nyegyetem Eo szettudoma nyi Kar Terme K oz ons eges differenci alegyenletek numerikus megold asa Szakdolgozat M esz aros Mirjana Matematika BSc - Matematikai elemz o szakir any T emavezet
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása Szakdolgozat Soós Ivett Matematika B.Sc., Matematikai elemz szakirány Témavezet : Mincsovics Miklós
RészletesebbenBaran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba. Gyakorlat Differenciálegyenletek numerikus megoldása
Matematika Mérnököknek 2. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Gyakorlat Differenciálegyenletek numerikus megoldása Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 1 / 18 Fokozatos
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
RészletesebbenEgylépéses módszerek 0- és A-stabilitása
Balázsi Judit Egylépéses módszerek 0- és A-stabilitása B.Sc. Szakdolgozat Témavezet : Fekete Imre Doktorandusz Alkalmazott Analízis Tanszék Tudományos segédmunkatárs MTA-ELTE NUMNET Eötvös Loránd Tudományegyetem
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus megoldása
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Somogyi Crescencia Kornélia Differenciálegyenletek numerikus megoldása BSc szakdolgozat Témavezet : Dr. Kovács Sándor Numerikus Analízis Tanszék Budapest,
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó
FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2013 Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezet Lektor Technikai szerkeszt Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart
RészletesebbenA Newton-Raphson iteráció kezdeti értéktől való érzékenysége
Szénási Eszter SZTE TTIK Matematika BSc, Numerikus matematika projekt 2015. november 30. A Newton-Raphson iteráció kezdeti értéktől való érzékenysége Medencék (attraktorok) színezése 2 Newton_project-szenasi.nb
RészletesebbenMolnár Viktória. Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Molnár Viktória Matematika Bsc - Alkalmazott matematikus szakirány Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása Egylépéses módszerek Témavezet
RészletesebbenRunge-Kutta módszerek
Runge-Kutta módszerek A Runge-Kutta módszerek az Euler módszer továbbfejlesztésének, javításának tekinthetők, kezdeti értékkel definiált differenciál egyenletek megoldására. Előnye hogy a megoldás során
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
RészletesebbenModellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
RészletesebbenGyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi
Gyakorló feladatok Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi 25 Tartalomjegyzék. Klasszikus hibaszámítás 3 2. Lineáris egyenletrendszerek 3 3. Interpoláció 4 4. Sajátérték, sajátvektor 6 5. Lineáris és nemlineáris
Részletesebben1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)
Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 11. előadás: A Newton-módszer és társai Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 25. Tartalomjegyzék 1 A Newton-módszer és konvergenciatételei 2 Húrmódszer és szelőmódszer 3 Általánosítás
RészletesebbenVégeselem modellezés alapjai 1. óra
Végeselem modellezés alapjai. óra Gyenge alak, Tesztfüggvény, Lagrange-féle alakfüggvény, Stiness mátrix Kivonat Az óra célja, hogy megismertesse a végeselem módszer (FEM) alkalmazását egy egyszer probléma,
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenFeladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.
Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t
Részletesebbena stabilitás szerepe a differenciálegyenletek numerikus megoldásában
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar a stabilitás szerepe a differenciálegyenletek numerikus megoldásában BSc Szakdolgozat Készítette: Farkas Alexandra Matematika BSc, Matematikai elemz
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenKárolyi Katalin Eötvös Loránd Tudományegyetem Alkalmazott Analízis Tanszék. Abstract
KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK TÖBBPONTOS PEREMÉRTÉK PROBLÉMÁI Károlyi Katalin Eötvös Loránd Tudományegyetem Alkalmazott Analízis Tanszék 1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/c. (karolyik@cs.elte.hu)
RészletesebbenKonjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenFolytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja
Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)
RészletesebbenNagy Levente. Runge Kutta módszerek implementálása és alkalmazása
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Nagy Levente Runge Kutta módszerek implementálása és alkalmazása BSc Elemz Matematikus Szakdolgozat Témavezet : Fekete Imre Alkalmazott Analízis és
RészletesebbenNumerikus módszerek beugró kérdések
1. Definiálja a gépi számok halmazát (a tanult modellnek megfelelően)! Adja meg a normalizált lebegőpontos szám alakját. (4 pont) Az alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha Ahol,,,. Jelöl:
RészletesebbenNyitrai Károly. Kezdeti érték feladatok numerikus vizsgálata. Eötvös Loránd Tudományegyetem. Természettudományi Kar. Témavezet : Csörg Gábor
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Nyitrai Károly Kezdeti érték feladatok numerikus vizsgálata BSc Szakdolgozat Témavezet : Csörg Gábor Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék
Részletesebben1 Lebegőpontos számábrázolás
Tartalom 1 Lebegőpontos számábrázolás... 2 2 Vektornormák... 4 3 Indukált mátrixnormák és tulajdonságaik... 5 4 A lineáris rendszer jobboldala hibás... 6 5 A kondíciószám és tulajdonságai... 7 6 Perturbációs
RészletesebbenLagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Nemesné Jónás Nikolett Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Szekeres Béla János,
RészletesebbenExponenciális RungeKutta módszerek
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kálmán Dávid Sámuel Exponenciális RungeKutta módszerek BSc Szakdolgozat Matematika BSc, Matematika elemz szakirány Témavezet : Dr. Csomós Petra Egyetemi
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenGyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz
Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Függvények. Viszgaljuk meg, hogy az alabbi fuggvenyek kozuk melyik injektv, szurjektv, illetve bijektv? F : N N, n n b) F : Q Q, c) F : R R, d) F : N N, n n e) F
RészletesebbenA Richardson-extrapoláció és alkalmazása a Dániai Euleri Modellben
A Richardson-extrapoláció és alkalmazása a Dániai Euleri Modellben Faragó István 1, Havasi Ágnes 1, Zahari Zlatev 2 1 ELTE Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék és MTA-ELTE Numerikus Analízis
RészletesebbenCsomós Petra. Loránd Tudományegyetem, Budapest. függvénytan, valós és komplex vonalintegrál)
Oktatási és témavezetői tevékenység Csomós Petra 1. Oktatás 2001.09 12. 2003.09 12. 2001.02 06. 2003.02 06. 2002.09 12. 2004.09 12. 2003.02 06. 2005.02 06. Analízis I. gyakorlat meteorológus és geofizikus
RészletesebbenKözönséges differenciál egyenletek megoldása numerikus módszerekkel: egylépéses numerikus eljárások
Közönséges differenciál egyenletek megoldása numerikus módszerekkel: egylépéses numerikus eljárások Bevezetés Ebben a cikkben megmutatjuk, hogyan használhatóak a Mathematica egylépéses numerikus eljárásai,
RészletesebbenNumerikus matematika. Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, Lebegőpontos számok
Numerikus matematika Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, 2007 Lebegőpontos számok Normák, kondíciószámok Lineáris egyenletrendszerek Legkisebb négyzetes
Részletesebben1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1
numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 08. szeptember. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén egy
RészletesebbenParciális dierenciálegyenletek
Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
RészletesebbenHajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel
Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel Segédlet az A végeselem módszer alapjai tárgy 4. laborgyakorlatához http://www.mm.bme.hu/~kossa/vemalap4.pdf Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu)
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenKalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat
. Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben
RészletesebbenDifferenciálegyenletek gyakorlat Földtudomány szak III/1 Mincsovics Miklós Emil
Differenciálegyenletek gyakorlat Földtudomány szak III/1 Mincsovics Miklós Emil Kurics Tamás, Simon Péter, Csomós Petra, Havasi Ági, Izsák Feri, Karátson János feladatsorainak felhasználásával készült.
Részletesebben14. fejezet. Tárgymutató Címszavak jegyzéke
14. fejezet Tárgymutató 14.1. Címszavak jegyzéke A Adams Bashforth módszerek 71 Adams Moulton módszerek 71 Adams módszerek, változó lépéstávolságú 96 algebro-differenciálegyenletek 150 alulintegráció 346,
RészletesebbenFüggvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.
Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
RészletesebbenMODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS
MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Részletesebben6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz 6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1. Írjunk fel egy olyan legalacsonyabbrendű valós,
RészletesebbenGPK M1 (BME) Interpoláció / 16
Interpoláció Matematika M1 gépészmérnököknek 2017. március 13. GPK M1 (BME) Interpoláció 2017 1 / 16 Az interpoláció alapfeladata - Példa Tegyük fel, hogy egy ipari termék - pl. autó - előzetes konstrukciójának
Részletesebben(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
RészletesebbenDifferenciálegyenlet rendszerek
Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján
RészletesebbenLineáris algebra numerikus módszerei
Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y
RészletesebbenDierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
RészletesebbenOptimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenDifferenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
RészletesebbenHatározatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos
RészletesebbenNumerikus matematika
Numerikus matematika Baran Ágnes Gyakorlat Nemlineáris egyenletek Baran Ágnes Numerikus matematika 9.10. Gyakorlat 1 / 14 Feladatok (1) Mutassa meg, hogy az 3x 3 12x + 4 = 0 egyenletnek van gyöke a [0,
Részletesebben0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)
Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses
RészletesebbenSZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány
SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös
RészletesebbenFüggvények növekedési korlátainak jellemzése
17 Függvények növekedési korlátainak jellemzése A jellemzés jól bevált eszközei az Ω, O, Θ, o és ω jelölések. Mivel az igények általában nemnegatívak, ezért az alábbi meghatározásokban mindenütt feltesszük,
Részletesebbendifferenciálegyenletek numerikus megoldási módszerei
Numerikus modellezés és közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldási módszerei Faragó István 2013.02.15. Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 2. Közönséges differenciálegyenletek kezdetiérték-feladata
RészletesebbenCsomós Petra. Loránd Tudományegyetem, Budapest. függvénytan, valós és komplex vonalintegrál)
Oktatási és témavezetői tevékenység Csomós Petra 1. Oktatás 2001.09 12. 2003.09 12. 2001.02 06. 2003.02 06. 2002.09 12. 2004.09 12. 2003.02 06. 2005.02 06. Analízis I. gyakorlat meteorológus és geofizikus
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenNormák, kondíciószám
Normák, kondíciószám A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris egyenletrendszerek Nagyon sok probléma közvetlenül lineáris egyenletrendszer megoldásával kezelhetı Sok numerikus
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenNumerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 2014/15. I. félév, A. csoport. x 2. c = 3 5, s = 4
Numerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 204/5. I. félév, A. csoport. Feladat. (6p) Alkalmas módon választva egy Givens-forgatást, határozzuk meg az A mátrix QR-felbontását! Oldjuk meg ennek
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenExplicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,
RészletesebbenAlap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenIpari matematika 2. gyakorlófeladatok
Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,
RészletesebbenFüggvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
RészletesebbenDiszkréten mintavételezett függvények
Diszkréten mintavételezett függvények A függvény (jel) értéke csak rögzített pontokban ismert, de köztes pontokban is meg akarjuk becsülni időben mintavételezett jel pixelekből álló műholdkép rácson futtatott
Részletesebben