0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)"

Átírás

1 Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses átmenetvalószín ségeket az alábbi módon: p n (i, j) = P (X n = j X 0 = i) = P (X n+k X k = i), ahol az utolsó egyenl séget a homogenitás indokolja A teljes valószín ség tétele alapján ekkor P (X n = j) = i S ϕ 0 (i)p (X n = j X 0 = i) Megmutatjuk, hogy az n-lépéses átmenetvalószín ség tulajdonképpen a P n mátrix (i, j) eleme Ez n = 1 esetén triviális Tegyük fel most, hogy n-re is igaz Megmutatjuk, hogy ekkor n + 1-re is teljesül: P (X n+1 = j X 0 = i) = k S P (X n = k X 0 = i)p (X n+1 = j X n = k) = k S p n (i, k)p(k, j) Mivel p n (i, k) a P n mátrix (i, k) eleme, ezért a mátrixszorzás szabályai miatt a kapott összeg a P n P = P n+1 mátrix (i, j) eleme A kezdeti ϕ 0 eloszlás egy N hosszúságú vektor, mely az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségeit adja meg a 0 id pontban Adott ϕ 0 esetén n lépés múlva az eloszlás: ϕ n = ϕ 0 P n Példa Legyen a kétállapotú Markovláncra vonatkozó példában p = 1/4 és q = 1/6, továbbá legyen n = 6 Ekkor P 6 = [ 3/4 1/4 1/6 5/6 ] 6 [ 0,424 0,576 0,384 0,616 Tegyük fel, hogy a telefonvonal szabad volt a 0 id pontban Ekkor a kezdeti eloszlás ϕ 0 = [1 0] Az n = 6 id pontban az eloszlás tehát: ϕ 6 = ϕ 0 P 6 = [ 1 0 ] [ ] 0,424 0,576 = [ 0,424 0,576 ] 0,384 0,616 Vagyis az n = 6 id pontban a vonal kb 0,424 valószín séggel lesz szabad és 0,576 valószín séggel lesz foglalt Feladatok 1 Egy Markovlánc lehetséges állapotai 1,2,3 Átmenetvalószín ség mátrixa és kezdeti eloszlása az alábbi: 0,2 0,2 0,6 P = 0,5 0 0,5 ϕ 0 = [ 0,5 0,5 0 ] 0,4 0,4 0,2 Határozzuk meg a 2 és 3 lépéses átmenetvalószín ség mátrixokat, és az alábbi valószín ségeket! ] a) P (X 1 = 2 X 0 = 1) b) P (X 3 = 2 X 2 = 1) c) P (X 2 = 1 X 0 = 2) d) P (X 4 = 1 X 2 = 2) e) P (X 3 = 2 X 0 = 3) f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2) Megoldás: A két- és háromlépéses átmenetvalószín ségmátrixok: 0,38 0,28 0,34 0,352 0,212 0,436 P 2 = 0,30 0,30 0,40 P 3 = 0,370 0,220 0,410 0,36 0,16 0,48 0,344 0,264 0,392 a) P (X 1 = 2 X 0 = 1) a P mátrix (1,2) eleme, azaz 0,2

2 b) Mivel a Markov-lánc homogén, ezért csak az számít, hogy egy lépés alatt melyik állapotból melyik állapotba vált a rendszer, de az nem, hogy mikor, ezért P (X 3 = 2 X 2 = 1) = P (X 1 = 2 X 0 = 1) = 0,2 c) A P (X 2 = 1 X 0 = 2) valószín ség a P 2 mátrix (2,1) eleme, azaz 0,5 d) P (X 4 = 1 X 2 = 2) = P (X 2 = 1 X 0 = 2) = 0,5 e) A P (X 3 = 2 X 0 = 3) valószín ség a P 3 mátrix (3,2) eleme, azaz 0,264 f) P (X 2 = 3) = 3 P (X 2 = 3 X 0 = i)p (X 0 = i) Itt P (X 2 = 3 X 0 = i) értékei a P 2 mátrix harmadik oszlopából származnak, P (X 0 = i) értékei pedig ϕ 0 megfelel koordinátái Így P (X 2 = 3) = 0,34 0,5 + 0,40 0,5 + 0,48 0 = 0,37 Vegyük észre, hogy a kérdéses valószín ség tulajdonképpen a ϕ 0 P 2 vektor harmadik eleme g) Ez pedig a ϕ 0 P 3 vektor els eleme Hasonlóan az el z höz, P (X 3 = 1) = 3 P (X 3 = 1 X 0 = i)p (X 0 = i) = 0,352 0,5 + 0,370 0,5 + 0,344 0 = 0,361 h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) = P (X 4 = 1 X 2 = 2) + P (X 4 = 2 X 2 = 2) = 0,30 + 0,30 = 0,6 i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 3 X 0 = 2) = P (X 7 = 3 X 4 = 1) P (X 4 = 1 X 2 = 3) P (X 2 = 3 X 0 = 2) = = 0,436 0,36 0,40 = 0, j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 3) = 3 P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 3 X 0 = i) P (X 0 = i) = = 3 P (X 7 = 3 X 4 = 1) P (X 4 = 1 X 2 = 3) P (X 2 = 3 X 0 = i) P (X 0 = i) = = P (X 7 = 3 X 4 = 1) P (X 4 = 1 X 2 = 3) 3 P (X 2 = 3 X 0 = i) P (X 0 = i) = = P (X 7 = 3 X 4 = 1) P (X 4 = 1 X 2 = 3) P (X 2 = 3) = 0,436 0,36 0,37 = 0, Hosszútávú viselkedés és invariáns eloszlás Egy véges állapotter Markovlánc hosszútávú viselkedésének vizsgálata a fentiek szerint tulajdonképpen P n vizsgálatát jelenti nagy n-ek esetén Nézzük például a kétállapotú Markovláncra vonatkozó példában az átmenetvalószín ség mátrixot p = 1/4 és q = 1/6 esetén: [ ] 3/4 1/4 P = 1/6 5/6 Bármely matematikai szoftverrel (pl Matlab, Scilab, Maple, Mathematica, stb) könnyedén kiszámíthatjuk pl az ezredik hatványát is, és kapjuk a következ t: [ ] P n 0,4 0,6 0,4 0,6 Nézzük most az egyszer sorbanállási modellre vonatkozó példát p = 1/4 és q = 1/6 esetén Ekkor az átmenetvalószín ség mátrix: 3/4 1/4 0 P = 1/8 2/3 5/24 0 1/6 5/6 Elegend en nagy n esetén pedig P n 0,182 0,364 0,455 0,182 0,364 0,455 0,182 0,364 0,455 Láthatólag mindkét esetben létezik P n határértéke (határmátrixa) és ennek minden sora megegyezik, azaz P n = Π = n

3 Az els példában = [0,4, 0,6], a másodikban pedig = [2/11, 4/11, 5/11] Könnyen látható, hogy ezekben az esetekben tetsz leges ϕ 0 kezdeti eloszlás esetén n ϕ 0P n = ϕ 0 Π =, tehát a kezdeti eloszlás id vel elveszti jelent ségét Legyen most határeloszlás, azaz valamely ϕ 0 kezdeti eloszlás esetén n ϕ 0P n = Ekkor = ϕ 0P n = ϕ 0P n+1 = ϕ 0P n P = P n n n }{{} A eloszlást invariáns (vagy stacionárius, vagy egyensúlyi, vagy állandósult) eloszlásnak nevezzük, ha = P Figyeljük meg, hogy ekkor az 1 sajátértékhez tartozó baloldali sajátvektora P -nek Az invariáns eloszlással kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: Minden P sztochasztikus mátrix esetén létezik invariáns eloszlás? Az invariáns eloszlás egyértelm? Milyen esetekben mondhatjuk azt, hogy P n = n, és így tetsz leges ϕ 0 kezdeti eloszlás esetén ϕ 0P n =? n Legyen P egy olyan sztochasztikus mátrix, melynek minden eleme pozitív Ekkor a PerronFrobenius tétel alapján az 1 egyszeres sajátértéke P -nek, az 1-hez tartozó baloldali sajátvektorok között van olyan, melynek minden eleme pozitív (és így egy megfelel konstans szorzóval valószín ség eloszlás készíthet bel le), P -nek minden más sajátértékének az abszolút értéke kisebb, mint egy A fentekb l következik, hogy ilyenkor az invariáns eloszlás egyértelm és tetsz leges ϕ 0 kezdeti eloszlás esetén n ϕ 0P n = A sorbanállási modellnél láttuk azonban, hogy nem csak ilyen tulajdonságú sztochasztikus mátrixok esetén létezik határeloszlás Az ottani átmenetvalószín ség mátrixra nem igaz, hogy minden eleme pozitív, de mégis létezik határeloszlás Tekintsük viszont az átmenetvalószín ség mátrix négyzetét: P 2 = 0,594 0,354 0,052 0,177 0,510 0,312 0,021 0,250 0,729 Láthatólag P 2 már kielégíti a tétel feltételeit, ebb l következ en az 1 egyszeres sajátértéke P 2 -nek a invariáns eloszlással, mint a hozzá tartozó baloldali sajátvektorral, továbbá P 2 minden más sajátértékének abszolút értéke kisebb egynél Megállapíthatjuk tehát a következ t: Legyen P egy sztochasztikus mátrix Ha van olyan k N, melyre P k minden eleme pozitív, akkor létezik invariáns eloszlás,

4 az invariáns eloszlás egyértelem, a határmátrix pedig n P n = Feladatok 1 Tekintsük az el z részben meghatározott átmenetvalószín ség mátrixokat a) Melyek tesznek eleget a fentebb meghatározott feltételnek? b) Vizsgáljuk P n viselkedését nagy n-ek esetén! c) Ahol csak tudjuk, határozzuk meg az invariáns eloszlást! 2 Egy Markovlánc állapottere legyen S = {1,2,3}, átmenetvalószín ség mátrixa pedig az alábbi: 0,4 0,2 0,4 P = 0,6 0 0,4 0,2 0,5 0,3 a) Határozzuk meg az invariáns eloszlást! b) Hosszú id alatt mi a valószín sége, hogy a lánc az 1 állapotban lesz? Megoldás: a) Megoldandó a = P egyenlet Koordinátánként kiírva: 1 = 0, , ,2 3 2 = 0, ,5 3 3 = 0, , ,3 3 Nullára rendezve és tízzel szorozva: 0 = = = Az els höz hozzáadva a második háromszorosát, továbbá a másodikhoz hozzáadva a harmadik 2,5- szeresét: 0 = = = ,5 3 1 = Ne felejtsük el, hogy van még egy egyenletünk: = 1, hiszen valószín ség eloszlás Tehát azt kapjuk, hogy 1 = = ( = ) = = ,3636, 1 = ,2576, 2 = ,3788

5 b) Ezt a valószín séget 1 adja meg, tehát kb 0, Tegyük fel, hogy a holnapi id járás csupán a mai nap id járásától függ Ha ma esik az es, akkor holnap 0,4 valószín séggel fog ismét esni, míg ha ma nem esik, akkor holnap 0,2 valószín séggel kapunk es t a) Modellezzük az id járást Markovlánc segítségével, és írjuk fel a folyamat átmenetvalószín ségeit! b) Hosszú távon mekkora az es s napok aránya? Körülbelül mennyi az es s napok száma egy évben? 4 Barátn nk (barátunk) minden egyes napon lehet vidám, átlagos hangulatú vagy szomorú A holnapi hangulatát csak a mai hangulata befolyásolja Ha ma vidám, akkor holnap rendre 0,4, 0,5 és 0,1 valószín séggel lehet vidám, átlagos vagy szomorú Ha közepes hangulata van, akkor 0,3, 0,4 és 0,3 a megfelel valószín ségek, ha pedig szomorú, akkor 0,1, 0,3 és 0,6 a) Adjuk meg a barátn nk (barátunk) hangulati ingadozásait leíró átmenetvalószín ség mátrixot! b) Hosszú távon mennyi a vidám napok aránya? c) Feltéve, hogy ma vidám, akkor mekkora valószín séggel lesz holnapután is vidám? d) Ha ma vidám, akkor mekkora valószín séggel lesz holnapután vidám és három nap múlva szomorú? e) Mekkora annak a valószín sége, hogy a mai vidám napot három szomorú követi? Megoldás: a) Az állapotok sorrendje legyen vidám (1), átlagos hangulatú (2), szomorú (3) Így az átmenetvalószín ség mátrix: 0,4 0,5 0,1 P = 0,3 0,4 0,3 0,1 0,3 0,6 b) A válaszhoz meg kell határoznunk az invariáns eloszlászt (), azaz a = P egyenlet olyan megoldását keressük, melyre = 1 Hasonlóan járhatunk el, mint a 2 feladatban, s így kapjuk a következ ket: 1 = ,2542, 2 = ,3898, 3 = ,3559 Tehát a vidám napok aránya az összeshez viszonyítva c) A válasz formálisan a P (X 2 = 1 X 0 = 1) = valószín ség meghatározását kéri Ehhez kell a kétlépéses átmenetvalószín ség mátrix: 0,32 0,43 0,25 P 2 = 0,27 0,40 0,33 0,19 0,35 0,46 A keresett valószín ség a P 2 mátrix (1,1) eleme, tehát 0,32 d) A mai nap legyen a kezdeti (0) id pont Így a holnapután a 2, a három nap múlva pedig a 3 id pillanat P (X 3 = 3 és X 2 = 1 X 0 = 1) = P (X 3 = 3, X 2 = 1 X 0 = 1) = P (X 3 = 3 X 2 = 1) P (X 2 = 1 X 0 = 1) = = 0,1 0,32 = 0,032 e) P (X 3 = 3, X 2 = 3, X 1 = 3 X 0 = 1) = P (X 3 = 3 X 2 = 3) P (X 2 = 3 X 1 = 3) P (X 1 = 3 X 0 = 1) = = 0,6 0,6 0,1 = 0, Állapotok osztályozása Egy Markovlánc i és j állapota kapcsolódó (jelölése: i j), ha léteznek olyan n, m 0 egészek, melyekre teljesül p m (i, j) > 0 és p n (j, i) > 0 is Más szavakkal két állapot kapcsolódó, ha az egyikb l a másik pozitív valószín séggel elérhet, és ez fordítva is igaz Az így deniált reláció ekvivalencia reláció az állapottéren, azaz reexív: i i, hiszen p 0 (i, i) = 1 > 0, szimmetrikus: i j-b l a deníció alapján következik, hogy j i,

6 tranzitív: ha i j és j k, akkor i k Ez is teljesül, hiszen ha p m1 (i, j) > 0 és p m2 (j, k) > 0, akkor p m1+m 2 (i, k) = P (X m1+m 2 = k X 0 = i) P (X m1+m 2 = k, X m1 = j X 0 = i) = azaz p m1+m 2 (i, k) > 0 = P (X m1 = j X 0 = i)p (X m1+m 2 = k X m1 = j) = p m1 (i, j)p m2 (j, k) > 0, Ez az ekvivalencia reláció az állapotteret diszjunkt halmazokra osztja fel, melyeket kapcsolódó osztályoknak nevezünk Az i és a j állapot akkor és csak akkor tartozik ugyanabba az osztályba, ha i j Ha csak egyetlen osztály van, akkor a Markovlánc irreducibilis (felbonthatatlan), egyébként reducibilis (felbontható) Példák 1 Tekintsük a szimmetrikus véletlen bolyongást visszaver falakkal Könnyen látható, hogy ekkor bármely állapotból eljuthatunk bármely állapotba, tehát a lánc egyetlen osztályból áll, tehát irreducibilis 2 Tekintsük a szimmetrikus véletlen bolyongást elnyel falakkal A lánc ekkor három osztályból áll: {0}, {1,2,, N 1} és {N} Ekkor, ha a kezdeti állapot az 1,2,, N 1 állapotok valamelyike, akkor a Markovlánc 1 valószín séggel elhagyja ezt az osztályt és nem tér vissza Az ilyen tulajdonságú állapotokat tranziensnek (átmenetinek) nevezzük, a többit pedig rekurrensnek (visszatér nek) Vagyis itt az {0} és az {N} állapot rekurrens, a többi tranziens Ha egy Markovlánc egy rekurrens osztályból indult, akkor sohasem fogja elhagyni azt az osztályt Feladatok 1 Egy Markovlánc állapottere legyen S = {0,1,2,3,4,5}, átmenetvalószín ség mátrixa pedig az alábbi: 0,5 0, ,3 0, P = 0 0 0,1 0 0,9 0 0,25 0, ,25 0, ,7 0 0, ,2 0 0,2 0,2 0,4 a) Melyek a kapcsolódó osztályok? Melyek rekurrensek és melyek tranziensek? b) Tegyük fel, hogy a lánc a 0-ból indul Mi a valószín sége, hogy hosszú id elteltével ismét a 0-ban lesz? c) Tegyük fel, hogy a lánc az 5-b l indul Mi a valószín sége, hogy hosszú id elteltével ismét az 5-ben lesz? d) Módosítsuk úgy az átmenetvalószín ség mátrixot, hogy a lánc csak egyetlen osztályból álljon! Megoldás: a) A kapcsolódó osztályok: {0,1} rekurrens, {2,4} rekurrens, {3,5} tranziens b) Az invariáns eloszlást kellene megtalálni, de tudjuk, hogy a 0-ból indultunk, továbbá azt is, hogy a 0 rekurrens állapot, ezért elegend a {0,1} rekurrens osztály viselkedését leíró P mátrixszal dolgozni [ ] P 0,5 0,5 = 0,3 0,7 Megoldandó tehát a = P egyenlet A megoldás: 1 = 3/8 = 0,375, 2 = 5/8 = 0,625 c) Mivel az 5 tranziens állapot, ezért a kérdéses valószín ség 0 d) Itt nyilván nagyon sokféle helyes megoldás lehet Egy viszonylag kevés változtatást igényl megoldás: 0,5 0, ,3 0,6 0, P = 0 0 0,1 0 0,9 0 0,25 0, ,25 0, ,6 0,1 0, ,2 0,1 0,2 0,2 0,3

12. előadás - Markov-láncok I.

12. előadás - Markov-láncok I. 12. előadás - Markov-láncok I. 2016. november 21. 12. előadás 1 / 15 Markov-lánc - definíció Az X n, n N valószínűségi változók sorozatát diszkrét idejű sztochasztikus folyamatnak nevezzük. Legyen S R

Részletesebben

Markov-láncok stacionárius eloszlása

Markov-láncok stacionárius eloszlása Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius

Részletesebben

A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek

A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek 10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

Legyen adott egy S diszkrét halmaz. Leggyakrabban S az egész számoknak egy halmaza, például S = {0, 1, 2,..., N}, {0, 1, 2,... }.

Legyen adott egy S diszkrét halmaz. Leggyakrabban S az egész számoknak egy halmaza, például S = {0, 1, 2,..., N}, {0, 1, 2,... }. . Markov-láncok. Definíció és alapvető tulajdonságok Legyen adott egy S diszkrét halmaz. Leggyakrabban S az egész számoknak egy halmaza, például S = {0,,,..., N}, {0,,,... }.. definíció. S értékű valószínűségi

Részletesebben

Véletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31

Véletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31 Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 1 / 31 Véletlen bolyongás Márkus László 2015. március 17. Modell Deníció Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 2 / 31 Modell: Egy egyenesen

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok

Sztochasztikus folyamatok Sztochasztikus folyamatok Benke János és Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet 2016. tavaszi félév Sztochasztikus folyamatok Deníció, példák Sztochasztikus folyamatok A továbbiakban legyen

Részletesebben

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.) Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz

Részletesebben

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

MBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós

MBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós MBNK12: Permutációk el adásvázlat 2016 április 11 Maróti Miklós 1 Deníció Az A halmaz permutációin a π : A A bijektív leképezéseket értjünk Tetsz leges n pozitív egészre az {1 n} halmaz összes permutációinak

Részletesebben

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak

Részletesebben

E.4 Markov-láncok E.4 Markov-láncok. Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható "folytonos idejű Markovláncok " segítségével.

E.4 Markov-láncok E.4 Markov-láncok. Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható folytonos idejű Markovláncok  segítségével. E.4 Markov-láncok Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható "folytonos idejű Markovláncok " segítségével. Egy Markov-láncot (MC) meghatároznak az alapját adó sorbanállási hálózat állapotai és az ezek

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága

Függvények határértéke, folytonossága Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok

Sztochasztikus folyamatok Sztochasztikus folyamatok Pap Gyula, Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet, Sztochasztika Tanszék Utolsó frissítés: 2014. február 8. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 2 1. Sztochasztikus folyamatok

Részletesebben

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus. Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza

Részletesebben

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35 Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2016. április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2016. április 12. 1 / 35 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Norma 3 Mátrixnorma 4 Alkalmazások Wettl Ferenc Szinguláris értékek

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Opkut deníciók és tételek

Opkut deníciók és tételek Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim. Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

Mátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22

Mátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22 Mátrixfüggvények Wettl Ferenc 2016. április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények 2016. április 28. 1 / 22 Tartalom 1 Diagonalizálható mátrixok függvényei 2 Mátrixfüggvény a Jordan-alakból 3 Mátrixfüggvény

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28 Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek

Részletesebben

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t

Részletesebben

1. tétel - Gráfok alapfogalmai

1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési

Részletesebben

Véletlen bolyongás. 2. rész. Márkus László jegyzete alapján Tóth Tamás december 10.

Véletlen bolyongás. 2. rész. Márkus László jegyzete alapján Tóth Tamás december 10. 2. rész 2012. december 10. Határeloszlás tételek a bolyongás funkcionáljaira 1 A bolygó pont helyzete: EX i = 0, D 2 X i = EX 2 = 1 miatt i ES n = 0, D 2 S n = n, és a centrális határeloszlás tétel (CHT)

Részletesebben

Saj at ert ek-probl em ak febru ar 26.

Saj at ert ek-probl em ak febru ar 26. Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?

Részletesebben

7. gyakorlat megoldásai

7. gyakorlat megoldásai 7. gyakorlat megoldásai Komple számok, sajátértékek, sajátvektorok F1. Legyen z 1 = + i és z = 1 i. Számoljuk ki az alábbiakat: z 1 z 1 + z, z 1 z, z 1 z,, z 1, z 1. z M1. A szorzásnál használjuk, hogy

Részletesebben

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy 1. előadás: Halmazelmélet Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy hozzátartozik-e,

Részletesebben

Markov láncok. jegyzet február 18. Honnan hová lehet eljutni? Hány lépésben? Van-e stacionárius kezdeti eloszlás? Hány?

Markov láncok. jegyzet február 18. Honnan hová lehet eljutni? Hány lépésben? Van-e stacionárius kezdeti eloszlás? Hány? Markov láncok jegyzet 2009. február 18. 1. Bevezetés Tekintsünk egy megszámlálható sok csúcspontú, irányított gráfot úgy, hogy minden élre egy nemnegatív szám van írva, és minden csúcs kimen éleire írt

Részletesebben

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer . gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel

Részletesebben

ZH feladatok megoldásai

ZH feladatok megoldásai ZH feladatok megoldásai A CSOPORT 5. Írja le, hogy milyen szabályokat tartalmazhatnak az egyes Chomskynyelvosztályok (03 típusú nyelvek)! (4 pont) 3. típusú, vagy reguláris nyelvek szabályai A ab, A a

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Rang, sajátérték. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach/ február 15

Rang, sajátérték. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet   takach/ február 15 Diszkrét matematika II, 2 el adás Rang, sajátérték Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takachinfnymehu http://infnymehu/ takach/ 25 február 5 Gyakorlati célok Ezen el adáson, és a hozzá kapcsolódó

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27 Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek

Részletesebben

Diszkrét és folytonos idej Markov-láncok. Csiszár Vill

Diszkrét és folytonos idej Markov-láncok. Csiszár Vill Diszkrét és folytonos idej Markov-láncok Csiszár Vill Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 1 2. Diszkrét idej Markov-láncok 3 2.1. Markov tulajdonság............................. 3 2.2. Az állapotok osztályozása.........................

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

Véges Markov-láncok. Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Fáy Renáta. BSc Szakdolgozat. Matematikai elemz szakirány.

Véges Markov-láncok. Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Fáy Renáta. BSc Szakdolgozat. Matematikai elemz szakirány. Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Véges Markov-láncok BSc Szakdolgozat Fáy Renáta Matematikai elemz szakirány Témavezet : Michaletzky György Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék

Részletesebben

(Diszkrét idejű Markov-láncok állapotainak

(Diszkrét idejű Markov-láncok állapotainak (Diszkrét idejű Markov-láncok állapotainak osztályozása) March 21, 2019 Markov-láncok A Markov-láncok anaĺızise főként a folyamat lehetséges realizációi valószínűségeinek kiszámolásával foglalkozik. Ezekben

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

Numerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 2014/15. I. félév, A. csoport. x 2. c = 3 5, s = 4

Numerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 2014/15. I. félév, A. csoport. x 2. c = 3 5, s = 4 Numerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 204/5. I. félév, A. csoport. Feladat. (6p) Alkalmas módon választva egy Givens-forgatást, határozzuk meg az A mátrix QR-felbontását! Oldjuk meg ennek

Részletesebben

8. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, , oldal. 8. előadás Mátrix rangja, Homogén lineáris egyenletrendszer

8. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, , oldal. 8. előadás Mátrix rangja, Homogén lineáris egyenletrendszer 8. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 51. 56., 70. 74. oldal. Gondolkodnivalók Elemi bázistranszformáció 1. Gondolkodnivaló Most ne vegyük figyelembe, hogy az elemi bázistranszformáció során ez

Részletesebben

3. el adás: Determinánsok

3. el adás: Determinánsok 3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

MM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( )

MM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( ) MM4122-1 CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT (2008.12.01.) 1. Ismétlés szeptember 1.szeptember 8. 1.1. Feladat. Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek (1) Az A 6 csoportnak van 6-odrend

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Csoporthatások. 1 Alapfogalmak 1 ALAPFOGALMAK. G csoport hatása az X halmazon egy olyan µ: G X X leképezés, amelyre teljesül

Csoporthatások. 1 Alapfogalmak 1 ALAPFOGALMAK. G csoport hatása az X halmazon egy olyan µ: G X X leképezés, amelyre teljesül 1 ALAPFOGALMAK Csoporthatások 1 Alapfogalmak G csoport hatása az X halmazon egy olyan µ: G X X leképezés, amelyre teljesül és µ(g, µ(h, x)) = µ(gh, x) µ(1 G, x) = x minden g, h G és x X esetén. Multiplikatív

Részletesebben

Példa keresztmetszet másodrendű nyomatékainak számítására

Példa keresztmetszet másodrendű nyomatékainak számítására Példa keresztmetszet másodrendű nyomatékainak számítására Készítette: Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2011. február 22. Tekintsük az alábbi keresztmetszetet. 1. ábra. A vizsgált

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes 1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,

Részletesebben

Diszkrét és folytonos paraméter Markov láncok. Csiszár Vill

Diszkrét és folytonos paraméter Markov láncok. Csiszár Vill Diszkrét és folytonos paraméter Markov láncok Csiszár Vill Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 1 I. Diszkrét paraméter Markov láncok 2 2. Visszatér ség 2 2.1. Markov-tulajdonság............................. 2

Részletesebben

Kvantummechanika gyakorlat Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje

Kvantummechanika gyakorlat Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje Kvantummechanika gyakorlat 015 1. Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje 1. Mutassuk meg, hogy A és B tetsz leges operátorokra igaz, hogy e B A e B = A + [B, A] + 1![ B, [B, A] ] +....

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

Relációk. 1. Descartes-szorzat

Relációk. 1. Descartes-szorzat Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram.. Descartes-szorzat A kurzuson már megtanultuk mik a halmazok

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.

Részletesebben

Komplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal.

Komplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal. Komplex számok Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal. 1. Komplex számok A komplex számokra a valós számok kiterjesztéseként van szükség. Ugyanis már középiskolában el kerülnek olyan másodfokú

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

rank(a) == rank([a b])

rank(a) == rank([a b]) Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása a Matlabban Lineáris algebrai egyenletrendszerek a Matlabban igen egyszer en oldhatók meg. Legyen A az egyenletrendszer m-szer n-es együtthatómátrixa, és

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok feladatgy jtemény

Sztochasztikus folyamatok feladatgy jtemény Sztochasztikus folyamatok feladatgy jtemény Kevei Péter, Körmendi Kristóf, Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet, Sztochasztika Tanszék Utolsó frissítés: 203. május 4. . Megállási id és ltráció..

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31 Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós

Részletesebben

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 13-14. előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 2016. november 28. és december 5. 13-14. előadás 1 / 35 Bevezetés A diszkrét

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális

Részletesebben

Atomok és molekulák elektronszerkezete

Atomok és molekulák elektronszerkezete Atomok és molekulák elektronszerkezete Szabad atomok és molekulák Schrödinger egyenlete Tekintsünk egy kvantummechanikai rendszert amely N n magból és N e elektronból áll. Koordinátáikat jelölje rendre

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Diszkrét matematika I. gyakorlat 1. gyakorlat Gyakorlatvezet : Dr. Kátai-Urbán Kamilla Helyettesít: Bogya Norbert 2011. szeptember 8. Tartalom Információk 1 Információk Honlapcímek Számonkérések, követelmények

Részletesebben

2015/16/1 Kvantummechanika B 2.ZH

2015/16/1 Kvantummechanika B 2.ZH 2015/16/1 Kvantummechanika B 2.ZH 2015. december 10. Információk 0. A ZH ideje minimum 90 perc, maximum 180 perc. 1. Az összesen elérhet pontszám 270 pont. 2. A jeles érdemjegy eléréséhez nem szükséges

Részletesebben

Normák, kondíciószám

Normák, kondíciószám Normák, kondíciószám A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris egyenletrendszerek Nagyon sok probléma közvetlenül lineáris egyenletrendszer megoldásával kezelhetı Sok numerikus

Részletesebben

Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén

Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén Matematikai modellek, I. kisprojekt Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén Unger amás István B.Sc. szakos matematikus hallgató ungert@maxwell.sze.hu, http://maxwell.sze.hu/~ungert

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

DiMat II Végtelen halmazok

DiMat II Végtelen halmazok DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

Komplex számok. Wettl Ferenc szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23 Komplex számok Wettl Ferenc 2014. szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok 2014. szeptember 14. 1 / 23 Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet

Részletesebben

Függvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.

Függvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim. Függvények 05. december 6. Határozza meg a következő határértékeket!. Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0 ). Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0) 3. Feladat: ( + 0 7 5 ) 4. Feladat: ( + 0 7 5 ) ( + 7 0 5

Részletesebben

Lineáris algebra (10A103)

Lineáris algebra (10A103) Lineáris algebra (10A103) Dr. Hartmann Miklós Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~hartm Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat teljesítése.

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

Lineáris algebra gyakorlat

Lineáris algebra gyakorlat Lineáris algebra gyakorlat 7. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012. március 26. Ismétlés Tartalom 1 Ismétlés 2 Koordinátasor 3 Bázistranszformáció és alkalmazásai Vektorrendszer rangja Mátrix

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód: Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és

Részletesebben

Véletlen szám generálás

Véletlen szám generálás 2. elıadás Véletlen szám generálás LCG: (0 < m, 0

Részletesebben

2. Tétel (Az oszthatóság tulajdonságai). : 2. Nullát minden elem osztja, de. 3. a nulla csak a nullának osztója.

2. Tétel (Az oszthatóság tulajdonságai). : 2. Nullát minden elem osztja, de. 3. a nulla csak a nullának osztója. Számelmélet és rejtjelezési eljárások. (Számelméleti alapok. RSA és alkalmazásai, Die- Hellman-Merkle kulcscsere.) A számelméletben speciálisan az egész számok, általánosan a egységelemes integritási tartomány

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten KOMPLEX SZÁMOK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Történeti bevezetés

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

Shor kvantum-algoritmusa diszkrét logaritmusra

Shor kvantum-algoritmusa diszkrét logaritmusra Ivanyos Gábor MTA SZTAKI Debrecen, 20 január 2. Tartalom és kvantum-áramkörök 2 A diszkrét log probléma Kvantum bit Állapot: a B = C 2 komplex euklideszi tér egy egységvektora: az a 0 + b szuperpozíció

Részletesebben

3. előadás Stabilitás

3. előadás Stabilitás Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41 Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét

Részletesebben

7. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 7. előadás Elemi bázistranszformáció

7. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 7. előadás Elemi bázistranszformáció 7. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 57. 61. oldal. Gondolkodnivalók Bázis, dimenzió 1. Gondolkodnivaló Legyenek a v vektor koordinátái a v 1,..., v n bázisban: (1, α 2,..., α n ). Igazoljuk, hogy

Részletesebben

6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján

6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei

Részletesebben