differenciálegyenletek numerikus megoldási módszerei

Átírás

1 Numerikus modellezés és közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldási módszerei Faragó István

2 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 2. Közönséges differenciálegyenletek kezdetiérték-feladata Elméleti összefoglaló Közönséges differenciálegyenletek kezdetiérték-feladata és megoldhatósága Differenciálegyenletek stabilitása Merev feladatok Időfüggő parciális differenciálegyenletek és modellezésük közönséges differenciálegyenlet-rendszerrel A parciális differenciálegyenletek alapfogalmai Megmaradási törvények A korlátos térbeli tartományon kitűzött hővezetési egyenlet és szemidiszkretizációjának tulajdonságai Bevezetés a kezdetiérték-feladatok egylépéses numerikus módszereibe Bevezetés az egylépéses módszerekbe Taylor-sorba fejtéses módszer Néhány nevezetes egylépéses módszer Az explicit Euler-módszer Az implicit Euler-módszer A trapéz-módszer Az egylépéses módszerek konvergenciája Az egylépéses módszerek általános alakjának vizsgálata Egylépéses módszerek operátoros alakban Egylépéses módszerek konzisztenciája Egylépéses módszerek konvergenciája és 0-stabilitása Egylépéses módszerek alaptétele és alkalmazása az explicit Eulermódszerre Abszolút stabilitás Az explicit Euler-módszer abszolút stabilitási tartománya

3 További módszerek abszolút stabilitási tartománya Az A-stabilitás fogalma Runge-Kutta típusú módszerek kezdetiérték-feladatok megoldására A Runge-Kutta típusú módszerek alapjai További másodrendű módszerek Explicit, magasabb rendű módszerek A Runge-Kutta típusú módszerek rendje Az explicit Runge-Kutta típusú módszerek konvergenciája A Runge-Kutta típusú módszerek lépéshosszának megválasztása. Hibaanalízis Az explicit Runge-Kutta típusú módszerek abszolút stabilitása Az implicit Runge-Kutta típusú módszerek Bevezetés az implicit Runge-Kutta típusú módszerekbe A kollokációs módszeren alapuló implicit Runge-Kutta típusú módszerek Egylépéses módszerek a tesztfeladaton Az implicit Runge-Kutta típusú módszerek abszolút stabilitása Többlépéses módszerek Adams-típusú módszerek A retrográd differencia módszerek A kezdeti közelítések megválasztása Általános alakú lineáris többlépéses módszerek rendje Az általános alakú lineáris többlépéses módszerek konvergenciája Bevezetés a lineáris többlépéses módszerek stabilitásába A lineáris többlépéses módszerek konvergenciája Közönséges differenciálegyenletek kétpontos peremérték-feladata Bevezetés, motiváció Közönséges differenciálegyenletek peremérték-feladatának megoldhatósága A lineáris peremérték-feladat megoldhatósága Közönséges differenciálegyenletek kétpontos peremérték-feladatának numerikus megoldása Peremérték-feladat numerikus megoldása Cauchy-feladatra való visszavezetéssel A belövéses módszer Lineáris peremérték-feladatok numerikus megoldása A peremérték-feladat numerikus megoldása véges differenciák módszerével Véges differenciás approximáció

4 Lineáris peremérték-feladatok approximációja véges differenciák módszerével A lineáris peremérték-feladat numerikus megoldásának általános vizsgálata Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása Matlab programmal A Matlab alapjai és a kezdetiérték feladatok megoldása A peremérték-feladatok megoldása Matlab segítségével A modellfeladat: stacionárius hőeloszlás homogén vezetékben A tesztfeladat numerikus megoldása Matlab segítségével

5 1. fejezet Bevezetés A differenciálegyenletek gyakori eszközei a természettudományos, műszaki, közgazdasági folyamatok leírásának, azaz a folytonos matematikai modelleket többnyire ezek segítségével lehetséges (és szokásos) leírni. Az ilyen modellek vizsgálatával a közönséges (illetve parciális) differenciálegyenletek elmélete foglalkozik. Ezek a vizsgálatok elsősorban a különböző jellegű feladatok megoldhatóságával foglalkoznak, elsősorban azt vizsgáljuk, hogy a kitűzött feladat milyen feltételek mellett lesz korrekt kitűzésű. A megoldás konkrét előállítása zárt alakban (azaz megadása olyan képletek segítségével, amelyek ismert és könnyen kiértékelhető függvényeket tartalmaznak) csak ritkán lehetséges. Ezért gyakorlati szempontból megkerülhetetlen az a megközelítés, aminek során a megoldást valamilyen numerikus módszer segítségével közelítő alakban keressük. Mint látni fogjuk, ezek a módszerek lehetővé teszik a numerikus megoldás nagy pontosságú és megbízható előállítását. Ez utóbbi azt jelenti, hogy becslést tudunk adni az ismeretlen pontos megoldás és az alkalmazott numerikus módszerrel nyert numerikus megoldás közötti eltérésre. A könyv alapvető célja bevezetni az Olvasót a közönséges differenciálegyenletek numerikus módszereinek alapjaiba, illetve ismertetni azokat az eljárásokat, amelyeket a programcsomagok is használnak. Ezen a területen érezhetően intenzív a fejlődés, amelyről a megjelent cikkek és monográfiák viszonylag nagy száma is árulkodik. A könyv mindazoknak készült, akik valamilyen szinten a numerikus módszereket szeretnék alkalmazni, és nem érik be azzal, hogy egy programcsomag, általuk nem ismert módon kiszámolt eredményét használják, hanem a dolgok hátterét és megbízhatóságát is szeretnék látni. A témához kapcsolódó szükséges numerikus előismeretek nagy részét ismertetjük, és a további ismeretek egyéb ismeretek megszerzésére javasoljuk az általános numerikus analízis kérdéseibe bevezető és elektronikusan hozzáférhető [5] könyvet. A könyv alapvetően az Eötvös Loránd Tudományegyetem alkalmazott matematikus mesterszakon tartott kurzusaimon alapul. Ezért köszönettel tartozom hallgatóimnak, akik az előadások során kérdéseikkel, észrevételeikkel az egyes részek újragondolására serkentettek, és a könyv több részén a közös gondolkodásunk eredménye található meg. Nagyon hálás vagyok bírálómnak, Mincsovics Miklósnak, aki lelkiismeretesen átnézve a 4

6 kéziratot számos javító, a könyv lényegét jobban kiemelő észrevételt tett. Köszönettel tartozom Csörgő Gábornak, aki a könyv elkészítésének számos technikai részét magára vállalta. A legnagyobb köszönet azonban családomat illeti, akik elnézték a könyv írása miatti elfoglaltságomat. Budapest, 2013 február. Faragó István 5

7 2. fejezet Közönséges differenciálegyenletek kezdetiérték-feladata Ebben a fejezetben megismerkedünk a numerikus módszereink tárgyát képező közönséges differenciálegyenletekkel, illetve kezdetiérték-feladataival, és ezek elméleti összefoglalásával foglalkozunk. Megvizsgáljuk, hogy milyen feltételek mellett létezik egyértelmű megoldás. A fejezet jelentős részét képezi a parciális differenciálegyenletekkel való kapcsolat vizsgálata. Megmutatjuk, hogy az ún. szemidiszkretizáció segítségével a parciális differenciálegyenletek (amelyek jobban leírják a vizsgált jelenséget), szintén jól kezelhetők közönséges differenciálegyenletekkel. Foglalkozunk a speciális tulajdonságú rendszerek (az ún. merev rendszerek) tulajdonságaival is Elméleti összefoglaló Először a kezdetiérték-feladatnak a megfogalmazásával és megoldhatóságával foglalkozunk, külön kitérve a numerikus szempontból fontos szerepet játszó stabilitásra is Közönséges differenciálegyenletek kezdetiérték-feladata és megoldhatósága 2.1. Definíció Legyen G R R d egy tartomány (azaz összefüggő, nyílt halmaz), (t 0, u 0 ) G egy adott pont (t 0 R, u 0 R d ), f : G R d egy folytonos leképezés. A du( ) = f(, u), u(t 0 ) = u 0 (2.1) dt 6

8 feladatot kezdetiérték-feladatnak, avagy más szóval Cauchy-feladatnak nevezzük. A könnyebb áttekinthetőség kedvéért írjuk ki a (2.1) feladatot koordinátánként! Jelölje u i ( ) az ismeretlen u( ) vektorértékű függvény i-edik koordináta-függvényét, f i : G R az f és u 0i (i = 1, 2,..., d) pedig az u 0 vektor koordinátáit. Ekkor a Cauchyfeladat felírható a következő ún. koordinátánkénti alakban: ahol i = 1, 2,..., d. du i ( ) = f i (, u 1,... u d ), dt (2.2) u i (t 0 ) = u 0i Egy Cauchy-feladat megoldása azt jelenti, hogy meghatározzuk az összes olyan u : R R d függvényt, amely valamely I R intervallum pontjaiban egyrészt behelyettesíthető a (2.1) feladatba, másrészt pedig azt ki is elégíti Definíció Az olyan u : I R d (I egy nyílt intervallum) folytonosan differenciálható függvényt, amelyre {(t, u(t)) : t I} G és t 0 I; du(t) dt = f(t, u(t)), minden t I, u(t 0 ) = u 0 a (2.1) Cauchy-feladat megoldásának nevezzük. Amikor a (2.1) Cauchy-feladat egy természettudományos, műszaki, közgazdasági folyamat matematikai modellje, akkor alapvető követelmény, hogy létezzen egyértelmű megoldása. Ennek biztosítására vezessük be a H(t 0, u 0 ) = {(t, u) : t t 0 α, u u 0 β} G jelölést. (Tehát H(t 0, u 0 ) egy (t 0, u 0 ) közepű, zárt, d + 1-dimenziós téglalap.) Mivel f folytonos a zárt H(t 0, u 0 ) halmazon, ezért értelmes az M = max H(t0,u 0 ) f(t, u) valós szám bevezetése. Ekkor minden olyan t esetén, amelyre t t 0 min{α, β/m}, a (2.1) Cauchy-feladatnak létezik u(t) megoldása. Ha emellett a H(t 0, u 0 ) halmazon az f függvény a második változójában lipschitzes, azaz valamely L > 0 állandó mellett minden (t, u 1 ), (t, u 2 ) H(t 0, u 0 ) pontban teljesül a f(t, u 1 ) f(t, u 2 ) L u 1 u 2 (2.3) ún. Lipschitz-féle feltétel, akkor ez a megoldás egyértelmű is. A továbbiakban a (2.1) feladatra feltesszük, hogy létezik olyan H(t 0, u 0 ) G részhalmaz, amelyen f folytonos és a második változójában lipschitzes, azaz létezik egyértelmű megoldása az I 0 := {t I : t t 0 T } intervallumon, ahol T = min{α, β/m}. 7

9 Mivel a t változó az időt jelöli, ezért egy Cauchy-feladat megoldása azt írja le, hogy a rendszer időben hogyan változik. Mi a gyakorlati problémák vizsgálata során általában arra vagyunk kíváncsiak, hogy időben hogyan fejlődik a rendszer. Ez azt jelenti, hogy ha ismerjük a rendszer állapotát egy rögzített időpontban, akkor abból hogyan fejlődik tovább, azaz az u(t) függvényt a t > t 0 értékekre szeretnénk meghatározni. A t = t 0 időpontot kezdőpontnak, a megoldásfüggvény ezen pontbeli értékét pedig kezdeti feltételnek nevezzük. Nyilvánvalóan nem jelent megszorítást, ha a kezdőpontot t 0 = 0 értéknek vesszük. Így a (2.1) feladat megoldásának értelmezési tartománya a [0, T ] I intervallum, és ekkor feladatunk a következő alakot ölti: Célunk a továbbiakban ezen u(t) függvény meghatározása. du(t) = f(t, u(t)), dt t [0, T ], (2.4) u(0) = u 0. (2.5) 2.3. Megjegyzés Az f folytonossága esetén, (azaz f C(H) mellett) a Cauchy-feladat u(t) megoldása egyszeresen folytonosan differenciálható, tehát u C 1 [0, T ]. Ugyanakkor, ha f magasabb rendben sima, akkor a megoldás is simábbá válik: ha f C p (H), akkor u C p+1 [0, T ], ahol p N. Így f megfelelő simaságával a megoldás szükséges simasága mindig biztosítható. Ezért tehát nem jelent lényeges megszorítást, ha a továbbiakban ahol ez szükséges feltesszük, hogy a megoldás megfelelően sima. A numerikus módszereket a könnyebb áttekinthetőség kedvéért a skaláris egyenletekre fogalmazzuk meg, azaz a d = 1 esetet tekintjük. Legyen Q T := [0, T ] R R 2, f : Q T R. A továbbiakban a du dt = f(t, u), u(0) = u 0 (2.6) feladatot nevezzük Cauchy-feladatnak, ahol mindvégig feltesszük, hogy f C(Q T ) és a második változójában lipschitzes függvény, azaz f(t, u 1 ) f(t, u 2 ) L u 1 u 2, (t, u 1 ), (t, u 2 ) Q T, (2.7) továbbá u 0 R adott szám. Tehát feladatunk a következő: keressük azon megfelelően sima u : [0, T ] R függvényt, amelyre du(t) dt = f(t, u(t)), t [0, T ], u(0) = u 0. (2.8) 2.4. Megjegyzés Felmerülhet a kérdés: van-e kapcsolat valamely g : R 2 R függvény folytonossága és a második változójában való lipschitzessége között? A válasz nemleges, 8

10 ugyanis, mint azt a következő két példa is mutatja, ezek egymástól független feltételek. Legyen először g(x, y) = y 2. Ez a függvény nyilván folytonos a G = R 2 síkon, de nem lipschitzes, ugyanis g(x, y 1 ) g(x, y 2 ) = y 2 1 y2 2 = y1 + y 2 y 1 y 2, és így a (2.7) feltétel nem teljesülhet, hiszen y 1 és y 2 tetszőlegessége miatt y 1 + y 2 nem lehet felülről korlátos valamely L állandóval. Legyen most g(x, y) = D(x)y, ahol D(x) a jól ismert Dirichlet-függvény 1. Ekkor g sehol sem folytonos, viszont g(x, y 1 ) g(x, y 2 ) = D(x) y 1 y 2 y 1 y 2, azaz L = 1 értékkel a (2.7) összefüggés érvényes a G = R 2 síkon Megjegyzés Hogyan biztosítható a lipschitzesség? Tegyük fel, hogy valamely g : R 2 R függvény az értelmezési tartományának valamely nyílt H g részhalmazán a második változójában korlátos deriválttal rendelkezik. Ekkor a Lagrange-középértéktétel értelmében valamely ỹ (y 1, y 2 ) érték mellett g(x, y 1 ) g(x, y 2 ) = 2 g(x, ỹ)(y 1 y 2 ), azaz a (2.7) feltétel teljesül az L = sup Hg ( 2 g(x, y) ) < állandóval. Ezen megjegyzés következménye: ha a (2.8) Cauchy-feladat f függvénye a Q T halmazon folytonos, és a második változójában korlátos parciális deriválttal rendelkezik, akkor létezik egyértelmű megoldása a [0, T ] intervallumon Megjegyzés Rendszerek esetén hasonló állítás nyerhető. Legyen ugyanis g : R d+1 R d egy megfelelő simaságú függvény. Ekkor g(x, y 1 ) g(x, y 2 ) = J(x, ỹ)(y 1 y 2 ), ahol ỹ R d egy vektor, amelynek koordinátáira ỹ i ((y 1 ) i, (y 2 ) i ), J(x, ỹ) R d d a g függvény Jacobi-mátrixa az (x, ỹ) pontban, azaz J(x, ỹ) i,j = g i (x, ỹ y i ). Ezért ha j a (2.5) feladatban a G R R d halmazon az f(t, u) függvény folytonos, az u változójában folytonosan differenciálható, valamint L := sup f (t, u) u <, akkor létezik egyértelmű megoldása. (t,u) G 1 A Dirichlet-függvény definíciója: D(x) = 1, ha x racionális, és D(x) = 0, ha x irracionális. Ez a függvény minden pontban szakad. 9

11 2.7. Megjegyzés Ha a (2.5) feladatban f(t, u) függvény nem függ a t R változótól, azaz f = f(u) : R d R d, akkor a Cauchy-feladatot autonóm rendszernek nevezzük. Megjegyezzük, hogy egy tetszőleges nem autonóm rendszer mindig átírható egy egyel több ismeretlent tartalmazó autonóm rendszerré. Ugyanis bevezetve az u d+1 = t újabb változót, a (2.2) alakú koordinátánkénti egyenletek az alábbi módon írhatók fel: du i ( ) = dt f i (u d+1, u 1,... u d ), u i (t 0 ) = u 0i, du d+1 ( ) dt = 1, u d+1 (t 0 ) = t 0, (2.9) ahol i = 1, 2,..., d. Megjegyezzük továbbá, hogy a magasabb rendű egyenletek az ún. átviteli elv segítségével átírhatók (a 2.5) alakú elsőrendű rendszerré Differenciálegyenletek stabilitása Könyvünk célja valós feladatok matematikai és numerikus modellezésének vizsgálata. Ezért megvizsgáljuk, hogy ha egy kezdetiérték-feladatban a kezdeti feltétel hibával terhelt (ami a mérések, a számítógépes számábrázolás, és számos más tényező miatt szükségszerűen előfordul), akkor ez az eltérés hogyan hat ki az eredeti ( pontos ) megoldásra, azaz mennyire tér el attól az időbeli haladás esetén? Megvizsgáljuk, hogy milyen esetben garantálható a kezdeti feltétel megfelelő pontosságának biztosításával, hogy egy előre megadott értéknél kisebb mértékben térjen csak el egymástól a két megoldás. Mivel ezen kérdéskör vizsgálata nem tartozik szorosan a könyv tárgyához, ezért a továbbiakban csak néhány, a numerikus módszereknél később előforduló alapfogalmat emelünk ki, a részletes elméleti vizsgálatoktól eltekintünk. (Az érdeklődőknek a magyar nyelvű irodalomból ajánljuk a [17] könyvet, illetve a [15] elektronikus jegyzetet.) A stabilitáselméleti alapfogalmak szemléltetésére tekintsük meg először az alábbi egyszerű fizikai példát. Képzeljünk el egy golyót, valamint egy δ > 0 mélységű gödröt, illetve dombot. A golyó kezdeti elhelyezkedésére vonatkozóan három esetet vizsgálunk meg. Nevezetesen, a golyó 1. a gödör alján helyezkedik el, 2. a domb tetején található, 3. egy vízszintes sík felületen van. Mindhárom helyzetben egyensúlyban van a golyó, azaz, ha nem mozdítjuk meg, helyben marad. Azonban ha kicsit elmozdítjuk, majd elengedjük, akkor mindhárom esetben 10

12 más történik. (Ez azt jelenti, hogy a mozgását leíró kezdetiérték-feladatban a kezdeti feltételt megváltoztatjuk, más szóval, azt perturbáljuk.) A rendszer viselkedése az egyes esetekben nyilvánvalóan a következőek. 1. Az első esetben a golyó visszagurul a gödör aljára, ha az elmozdított kezdeti állapotának magassága δ értékénél nem jobban tér el a gödör aljától. (Azaz, nem vettük ki a gödörből.) 2. A második esetben a golyó legurul a domboldalon, egyre jobban eltávolodik az eredeti kezdeti helyzetétől. 3. A harmadik esetben a golyó ott marad az elmozdítás helyén, azaz nem tér vissza az eredeti helyzetébe, de nem is távolodik el onnan. Tehát az első esetben a kezdeti feltétel -bizonyos határokon belüli- perturbációjára érzéketlen a megoldás, azaz, a pontos, ( perturbálatlan ) megoldás és perturbált megoldás távolsága korlátos marad, sőt, időben oda mindig vissza is tér, azaz a távolságuk nullához tart. A második esetben ez nem áll fenn: a két állapot közötti távolság kinő, és kellően nagy idő elteltével tetszőleges nagy lesz. A harmadik esetben, az első esethez hasonlóan, korlátos marad a megoldások különbsége, viszont a távolság nullához való csökkenése ebben az esetben nem teljesül. Tekintsük most az u (t) = λu(t), t > 0, (2.10) u(0) = u 0, (2.11) skaláris kezdetiérték-feladatot, ahol λ C adott komplex szám. Ennek megoldása az u(t) = e λt u 0 függvény. Ezért, ha a (2.11) helyett az u(0) = ũ 0 kezdeti feltételt adjuk meg a (2.10) egyenletre, akkor a perturbált egyenlet megoldása ũ(t) = e λt ũ 0, és így a két megoldás eltérésére az u(t) ũ(t) = e λt (u 0 ũ 0 ) összefüggést kapjuk. Ezért u(t) ũ(t) = e λt (u 0 ũ 0 ) = e (Re λ)t (u 0 ũ 0 ). Ezért tehát Re λ 0 esetén a megoldások távolsága korlátos marad, és Re λ < 0 esetén a távolság t esetén nullához tart. Viszont Re λ > 0 esetén a kezdeti távolság növekszik, és t esetén a végtelenhez tart. Ez azt jelenti, hogy ha a (2.10)-(2.11) feladatot tekintjük a pontos feladatnak, akkor a kezdeti érték perturbációja csak Re λ 0 esetén okoz korlátos hibát, ellenkező esetben a kezdeti érték hibája tovább növekszik és kinő a végtelenbe. 11

13 Fogalmazzuk át a fenti eredményünket! Legyenek u 1 (t) és u 2 (t) a (2.10) egyenlet két tetszőleges megoldása. Ekkor u 1 (t) u 2 (t) = e (Re λ)t (u 1 (0) u 2 (0)). Tehát az egyenlet két tetszőleges megoldásának a távolsága csak Re λ 0 esetén marad korlátos. A továbbiakban megfogalmazzuk a fenti tulajdonságot a (2.4)-(2.5) általános alakú du(t) = f(t, u(t)), dt t > t 0 (2.12) u(t 0 ) = u 0. (2.13) kezdetiérték-feladatra. Jelölje a feladat megoldását u(t; t 0, u 0 ), ahol t t Definíció Azt mondjuk, hogy a (2.12)-(2.13) feladat u(t; t 0, u 0 ) megoldása stabil, ha minden ε > 0 számhoz létezik olyan δ > 0 szám, amelyre érvényes, hogy minden olyan v 0 R d kezdeti vektorra, amelyre teljesülnek a következők. az u(t; t 0, v 0 ) megoldás létezik a [t 0, ) intervallumon, u 0 v 0 < δ, (2.14) minden t > t 0 esetén u(t; t 0, u 0 ) u(t; t 0, v 0 ) < ε. (2.15) 2.9. Definíció Azt mondjuk, hogy a (2.12)-(2.13) kezdetiérték-feladat u(t; t 0, u 0 ) megoldása aszimptotikusan stabil, ha ez a megoldás stabil, érvényes a egyenlőség. lim u(t; t 0, u 0 ) u(t; t 0, v 0 ) = 0 (2.16) t 2 Ebben a részben több helyen is külön jelezzük a megoldás kezdeti feltételtől (azaz az (t 0, u 0 ) ponttól) való függését. 12

14 Ha egy megoldás nem stabil, akkor instabilnak nevezzük. A fenti stabilitási fogalmakat szokásos Ljapunov-féle stabilitásnak is nevezni. 3 A definíciók alapján tehát a (2.10)-(2.11) kezdetiérték-feladat u(t) = e λt u 0 megoldása Re λ 0 esetén stabil, Re λ < 0 esetén aszimptotikusan stabil, és Re λ > 0 esetén pedig instabil. Fontos eset a lineáris rendszerek esete, azaz amikor (a 2.12) egyenletben f(t, u(t)) = A(t)u(t) alakú, ahol A(t) minden t [t 0, ) esetén egy R d d mátrix. Tehát feladatunk a du(t) = A(t)u(t), dt t > t 0 (2.17) u(t 0 ) = u 0. (2.18) feladat megoldása. A stabilitás vizsgálatát kezdjük azzal a speciális esettel, amikor a mátrix nem függ t-től, azaz A(t) = A minden t t 0 esetén, azaz a du(t) = Au(t), dt t > t 0 (2.19) u(t 0 ) = u 0 (2.20) kezdetiérték-feladatot vizsgáljuk. Ekkor a megoldás u(t) = exp((t t 0 )A)u 0 alakú. Tegyük fel, hogy A diagonalizálható, azaz létezik olyan T reguláris mátrix, amellyel a hasonlósági transzformáció után T 1 AT = diag[λ 1,..., λ d ] = Λ, (2.21) ahol λ i az A mátrix sajátértékei. Bevezetve w(t) = T 1 u(t) új változót, a (2.19) egyenlet átírható dw(t) = Λw(t), t > t 0 dt alakra. Ennek megoldása a w(t) = exp((t t 0 )Λ)w(t 0 ) [t 0, ) R d függvény, ahol w(t 0 ) = T 1 u 0 a kezdeti feltételből ismert vektor. Mivel egy diagonális mátrix exponenciálisa egy olyan, szintén diagonális mátrix, amelynek diagonálisában az eredeti mátrix főátlójának exponenciálisai állnak, ezért a w(t) vektorfüggvény i-dik koordinátafüggvénye w i (t) = e (t t 0)λ i (w(t 0 )) i minden i = 1, 2,..., d esetén. Ez alapján közvetlenül meghatározhatjuk a (2.19)-(2.20) kezdetiérték-feladat stabilitásának feltételeit Tétel (Állandó együtthatós lineáris rendszer stabilitása.) Tegyük fel, hogy A diagonalizálható mátrix. Ekkor a (2.19)-(2.20) kezdetiérték-feladat u(t) = exp((t t 0 )A)u 0 megoldása 3 Ljapunov, Alexander Michajlovich ( ) orosz matematikus és fizikus. Legjelentősebb eredményei a dinamikai rendszerek stabilitásához, a matematikai fizikához és a valószínűségszámításhoz fűződnek. 13

15 pontosan akkor stabil, amikor az A mátrix mindegyik sajátértékének valós része nem pozitív, azaz Re λ i 0 minden i = 1, 2,... d esetén; pontosan akkor aszimptotikusan stabil, amikor az A mátrix mindegyik sajátértékének valós része negatív, azaz Re λ i < 0 minden i = 1, 2,... d esetén; minden egyéb esetben instabil, azaz az A mátrixnak létezik pozitív valós részű sajátértéke, vagyis létezik olyan i {1, 2,..., d} index, amelyre Re λ i > Megjegyzés A fenti állítás kiterjeszthető tetszőleges A R d d mátrix esetére is. Ekkor a stabilitást a sajátértékek valós részének előjele és a hozzájuk tartozó Jordanblokkok mérete alapján lehet megadni. Nevezetesen, egy állandó együtthatós lineáris rendszer pontosan akkor stabil, amikor az A mátrix λ i sajátértékeire 1. Re λ i 0 minden i-re; 2. ha Re λ i = 0, akkor λ i egyszeres sajátérték, és akkor aszimptotikusan stabil, amikor λ i sajátértékeire Re λ i < 0 minden i-re. Az egyéb esetekben a feladat instabil Példa Egyszerű eset a rezgő húr egyenletének, azaz az u (t) + u(t) = 0 egyenlet stabilitásának vizsgálata. Bevezetve a w 1 (t) = u(t) és a w 2 (t) = u (t) jelöléseket, a w(t) = [w 1 (t), w 2 (t)] vektorfüggvényre az egyenlet felírható w (t) = Aw(t) alakban, ahol ( ) 0 1 A =. 1 0 Mivel A sajátértékei λ 1,2 = ±1, ezért ezen feladat bármely kezdeti feltétel melletti megoldása instabil. Térjünk át a (2.17)-(2.18) változó együtthatós (nem-autonóm) rendszer kezdetiértékfeladat stabilitásának vizsgálatára! Jelölje Y(t) R d d a (2.17) feladat alapmátrixát, azaz legyen megoldása a dy(t) = A(t)Y(t), dt t > t 0 (2.22) Y(t 0 ) = I (2.23) kezdetiérték-feladatnak. 4 Ekkor a megoldás u(t) = Y(t t 0 )u 0 alakú. A stabilitás vizsgálatához a két különböző kezdeti feltételhez tartozó megoldás különbségének időbeli viselkedése szükséges. Jelölje az adott u 1 (t 0 ) és u 2 (t 0 ) kezdeti értékekhez tartozó megoldásokat u 1 (t) és u 2 (t)! Ekkor u 1 (t) u 2 (t) = Y(t) (u 1 (0) u 2 (0)) Y(t) u 1 (0) u 2 (0). (2.24) 4 I R d d az egységmátrixot jelöli. 14

16 Vezessük be a K = sup Y(t) (2.25) t [t 0, ) jelölést! Ekkor a stabilitási fogalmaink alapján nyilvánvalóan érvényes a következő állítás Tétel (Változó együtthatós lineáris rendszer stabilitása.) Tekintsük a (2.22)- (2.23) kezdetiérték-feladatot! Az u(t) = Y(t t 0 )u 0 megoldás pontosan akkor stabil, amikor K < ; pontosan akkor aszimptotikusan stabil, amikor lim t Y(t) = 0; K = esetén instabil Megjegyzés Vegyük észre, hogy a változó együtthatós rendszer stabilitása közvetlenül nem függ az A(t) mátrix sajátértékeitől. (Tehát nem arról van szó, hogy az A(t) mátrix λ i (t) sajátértékeire kell teljesülnie az állandó együtthatós lineáris rendszer stabilitási feltételeinek, tetszőleges t > t 0 esetén!) Tekintsük például az u (t) = (cos(t))u(t) (t > 0) skaláris egyenletet, ahol tehát A(t) = cos(t) R 1 1. Ekkor természetesen az A mátrix egyetlen sajátértéke λ 1 (t) = cos(t), míg Y(t) = e sin(t). 5 Mivel K = sup Y (t) = sup e sin(t) = e <, t [t 0, ) t [t 0, ) ezért a megoldás stabil. felvesz. Ugyanakkor a λ 1 (t) = cos(t) sajátérték pozitív értékeket is Tekintsük a (2.17)-(2.18) változó együtthatós rendszer kezdetiérték-feladatban az általánosabb alakú inhomogén egyenletet, azaz valamely adott f(t) R d d függvény mellett vizsgáljuk a du(t) = A(t)u(t) + f(t), dt t > t 0 (2.26) u(t 0 ) = u 0 (2.27) kezdetiérték-feladatt. Ennek megoldása az ( t ) u(t) = Y(t t 0 ) u 0 + Y 1 (s)f(s)ds t 0 5 Ez könnyen ellenőrizhető, ugyanis ( e sin(t)) = cos(t)e sin(t), azaz jelöléseink mellett valóban Y (t) = A(t)Y(t). Emellett az e sin(t) függvény a t = 0 helyen egyel egyenlő, azaz Y(0) = 1. 15

17 függvény. Ezért a (2.26) egyenlet bármely két különböző kezdeti feltételhez tartozó megoldására érvényben marad a (2.24) becslés. Tehát egy inhomogén feladat megoldása pontosan akkor stabil (aszimptotikusan stabil, instabil), amikor a megfelelő homogén feladat megoldása stabil (aszimptotikusan stabil, instabil). Mint láttuk, a lineáris elméletben a kezdetiérték-feladat valamely megoldásának stabilitása független volt a kezdeti feltétel konkrét megválasztásától, azaz az csak magától az egyenlettől függött. Tehát valójában a stabilitás nem a kezdetiérték-feladat megoldásától, hanem magától az egyenlettől függ. (Tehát nem lehetséges, hogy ha ugyanazon egyenletre van két, különböző kezdeti feltételekhez tartozó megoldásunk, akkor az egyik megoldás stabil, míg a másik instabil.) Ezért a lineáris esetben szokásos nem egy megoldás stabilitásáról, hanem a differenciálegyenlet stabilitásáról beszélni. A továbbiakban röviden összefoglaljuk a nemlineáris feladatok stabilitásának elméletét. Felhasználva a 2.7. megjegyzést, elegendő a du(t) = f(u(t)), dt t > t 0 (2.28) u(t 0 ) = u 0. (2.29) autonóm rendszer vizsgálata. Fontos megjegyeznünk, hogy az u(t) = u = constans R d időben nem változó megoldást egyensúlyi pontnak nevezzük. Nyilvánvalóan ezekre a megoldásokra u = 0, azaz a (2.28) egyenlet alapján az egyensúlyi pontokat az f(u) = 0 algebrai egyenletrendszer megoldásaiból nyerjük Példa Tekintsük u = u(1 u) (2.30) autonóm egyenletet! Az u(1 u) = 0 algebrai egyenlet megoldásaiból azt kapjuk, hogy két egyensúlyi pont van, nevezetesen az u 1 = 0 és az u 2 = 1 pontok. (Ez tehát azt jelenti, hogy ha a (2.30) egyenlethez az u(0) = 0 illetve az u(0) = 1 kezdeti feltételeket adjuk meg, akkor a két feladat megoldása az u 1 = 0 és az u 2 = 1 konstans függvények lesznek, azaz a kezdeti állapot időben nem változik meg.) Megjegyzés Az autonóm rendszerek egyensúlyi pontjai jól jellemzik a rendszer tetszőleges, időben változó megoldásait is. Nevezetesen, ha egy időben változó megoldás t esetén tart egy véges határértékhez, akkor ez a határérték feltétlenül a rendszer egyensúlyi pontja. Ugyanakkor, mivel a feladatnak egyetlen megoldása van, ezt az egyensúlyi pontot véges idő alatt nem érheti el. Összefoglalva, legyen u(t) a (2.28)-(2.29) feladat megoldása. Ha létezik lim t u(t) = u, akkor u egyensúlyi pont. Ha valamely t pontban u(t ) = u, akkor u(t) = u(t ) minden t t 0 esetén. 16

18 Számunkra igazából az egyensúlyi pontok stabilitása a fontos, azaz annak a kérdésnek a megvizsgálása, hogy ha valamely egyensúlyi pont környezetéből indul egy megoldás, akkor a perturbált megoldás eltávolodik-e az egyensúlyi helyzetétől, és ha igen, akkor hogyan Példa Tekintsük a példa (2.30) autonóm egyenletét! Mint az közvetlenül látható, hogy az u(0) = 0 kezdeti feltétel esetén a megoldás a u(t) = 0 egyensúlyi állapot, míg az u(0) 0 esetén a megoldás az u(t) = 1 1 ( ) e u(0) t alakú függvény. Tetszőleges u(0) esetén ezen függvényre lim t u(t) = 1 és a konvergencia monoton. Tehát, az u 2 = 1 egyensúlyi megoldás stabil (a definícióban δ = ε megválasztással), sőt, aszimptotikusan is stabil. Ugyanakkor az u 1 = 0 egyensúlyi megoldás instabil, hiszen akármilyen közel is indítjuk a megoldást az u(0) = 0 értékhez, az az azonosan egy megoldáshoz tart, tehát eltávolodik az azonosan nulla megoldástól. Mint az a példából látszik, nemlineáris esetben már a stabilitás valóban egy adott megoldásra vonatkozó fogalom: ebben az esetben valóban előfordulhat, hogy egyes megoldások stabilak, míg mások instabilak. Vegyük észre továbbá, hogy homogén lineáris esetben az u = 0 egyensúlyi pont, tehát elegendő az u(t) = 0 megoldás stabilitását vizsgálni. Hogyan vizsgálhatjuk meg általános esetben egy nemlineáris rendszer stabilitását / instabilitását? Tekintsük a (2.12)-(2.13) feladatot, amelynek a megoldása u(t). Legyen ũ(t) a (2.12) egyenlet egy másik kezdőpontból induló megoldása. Fejtsük Taylor-sorba a (2.28) egyenlet jobb oldalát az ũ = ũ(t) helyen az u = u(t) pont körül! Ekkor f(ũ) = f(u) + f (u)(ũ u) + r(ũ u), (2.31) ahol f (u) R d d az f függvény u helyen vett Jacobi-mátrixa, az r(ũ u) hibatagra pedig fennáll a r(ũ u) lim ũ u ũ u = 0 (2.32) összefüggés. A továbbiakban felhasználjuk az alábbi állítást. Tekintsük az dy = Ay + g(t, y) (2.33) dt 17

19 közönséges differenciálegyenlet-rendszert, ahol A R d d adott állandó mátrix, g(t, y) olyan folytonos függvény, amelyre a g(t, y) lim y 0 y = 0 (2.34) határérték t-ben egyenletesen érvényes. Ekkor az állandó együtthatós dy dt = Ay (2.35) közönséges differenciálegyenlet-rendszert a (2.33) egyenlet első közelítésének nevezzük. Az alábbi állítás kapcsolatot teremt a (2.33) és a (2.35) feladatok stabilitása között Lemma Ha az A mátrix mindegyik sajátértékének valós része negatív, akkor a (2.33) egyenlet y = 0 megoldása aszimptotikusan stabil. Ha az A mátrixnak létezik pozitív valós részű sajátértéke, akkor az y = 0 megoldása instabil. A fenti lemma kapcsán megjegyezzük a következőket. Nyilván a (2.34) feltétel következtében g(t, 0) = 0, azaz y = 0 tényleg (egyensúlyi) megoldása a (2.33) egyenletnek. Ha g(t, 0) = 0 és g (t, 0) = 0, akkor a (2.34) feltétel automatikusan teljesül. y A fenti a lemma speciális esete az ún. Poincaré-Ljapunov tételnek, amely az dy dt = Ay + B(t)y + g(t, y) egyenletet vizsgálja a lemma feltételei és a lim t B(t) = 0 feltétel mellett. A tétel állításai megegyeznek a lemma állításával. Ha az A mátrix sajátértékei között van nulla valós részű (azaz tiszta képzetes) sajátérték is, és a többi sajátérték valós része negatív, akkor a megoldás egyaránt lehet (aszimptotikusan) stabil és instabil is, tehát ebben az esetben a (2.35) első közelítéssel nem lehet eldönteni a (2.33) egyenlet stabilitását. Térjünk vissza a (2.28)-(2.29) nemlineáris autonóm rendszer u egyensúlyi pont körüli stabilitásának vizsgálatára! Felhasználva a (2.31) sorfejtést, egy tetszőleges u(t) megoldás esetén az egyenlet jobb oldala felírható f(u) = f(u ) + f (u )(u u ) + r(ũ u) alakban. Mivel u egyensúlyi pont, ezért f(u ) = 0. Így 18

20 Ezt figyelembe véve a (2.28)-(2.29) feladat az f(u) = f (u )(u u ) + r(ũ u). (2.36) du(t) = f (u )(u u ) + r(ũ u), dt t > t 0 (2.37) u(t 0 ) = u 0 (2.38) alakot ölti. Vezessük be az e(t) = u(t) u függvényt! Mivel u állandó, ezért a t szerinti deriváltja nulla, azaz a (2.37) egyenlet alapján érvényes a de(t) dt = f (u )e(t) + r(e(t)), t > t 0 (2.39) egyenlet. Vezessük be a J(u ) = f (u ) jelölést a Jacobi-mátrixra! Ekkor tehát az e(t) függvényre, amely az u(t) függvény u egyensúlyi ponttól való eltávolodását írja le, a de(t) dt = J(u )e(t) + r(e(t)), t > t 0 (2.40) egyenletet kapjuk. Mivel r(e(t)) függvényre a (2.34) feltétel teljesül, ezért alkalmazhatjuk a lemmát. Eredményként az alábbi állítást nyerjük Tétel Tegyük fel, hogy az f függvény kétszer folytonosan differenciálható, és legyen u egy egyensúlyi pontja. Ha a J(u ) Jacobi-mátrix mindegyik sajátértékének valós része negatív, akkor u aszimptotikusan stabil egyensúlyi pont. Ha a J(u ) mátrixnak létezik pozitív valós részű sajátértéke, akkor az u egyensúlyi pont instabil Példa Térjünk vissza a példára! A feladatban szereplő f függvény Jacobimátrixa skalár, és a szokásos derivált segítségével számolható. Tehát J(u ) = f (u ) = 1 2u. Ezért J(u 1) = J(0) = 1, és J(u 2) = J(1) = 1. Tehát az u 1 = 0 egyensúlyi pont instabil, míg az u 2 = 1 egyensúlyi pont aszimptotikusan stabil. Ez teljes összhangban van a példa eredményével Merev feladatok A fizikai, műszaki és kémiai folyamatok matematikai modellezésénél gyakran adódnak olyan esetek, amelyeknél a keresett függvények skálázása jelentősen eltér. Például az egyik függvénynek megfelelő folyamat jóval gyorsabban zajlik le, mint a másik. Abban az esetben, amikor a két folyamat együttesen zajlik és egymásra kölcsönhatással vannak, akkor, mint azt a későbbiekben látni fogjuk, a leíró differenciálegyenletrendszer numerikus megoldására alkalmazott módszer stabil (legnagyobb megengedhető) lépésközének értékét a gyorsabb változás szabja meg. Így a megválasztható lépésköz esetenként 19

21 túlságosan is kicsi lesz, és akár a gépi nulla alá kerülhetünk. Ez az adott numerikus módszert alkalmazhatatlanná teszi. Az ilyen típusú feladatot merev feladatnak (angolul: stiff problem) nevezzük. Mint rövidesen látni fogjuk, ez a probléma skaláris feladatban is megfigyelhető Példa Tekintsük ismételten a (2.10)-(2.11) u (t) = λu(t), t > 0, (2.41) u(0) = u 0, (2.42) skaláris kezdetiérték-feladatot, ahol λ C adott komplex szám, amelyre Re λ < 0. A feladat megoldása u(t) = e λt u 0, vagyis u(t) = e Re λt u 0. Ezért u(t) korlátos t esetén. Oldjuk meg numerikusan a feladatot a h > 0 egyenközű rácshálón az ismert explicit Euler-módszerrel, azaz az u(t n ) közelítését az y n = y n 1 + hλy n 1 = (1 + hλ) y n 1, n = 1, 2,..., y 0 = u 0 iterációval határozzuk meg. 6 Ekkor y n = (1 + hλ) n u 0. Így a numerikus megoldás n csak akkor maradhat korlátos, amikor 1+hλ 1, azaz a h 2/ Re( λ) feltétel teljesül. Nagy abszolút értékű,negatív valós részű λ esetén ez a korlát h megválasztására nézve a gyakorlatban nem valósítható meg. Bár a merevség fogalmának nincs pontos és egyértelmű definíciója, jellemezzük a jelenséget néhány matematikai feladat segítségével. Először tekintsük az u (t) = λu(t) λf (t) + F (t) differenciálegyenletet, ahol F egy adott, viszonylag lassan változó, folytonosan differenciálható függvény, λ 0 adott szám. Az egyenlet megoldása Ezért valamely h > 0 esetén u(t) = F (t) + e λt (u(0) F (0)). u(t + h) = F (t + h) + e λ(t+h) (u(0) F (0)) = F (t + h) + e λh e λt (u(0) F (0)) = F (t + h) + e λh (u(t) F (t)). Mivel λ 0, ezért u(t + h) F (t + h), azaz a feladat megoldása, függetlenül az u(0) kezdeti értékétől, az F (t) függvény lesz. Ez egy extra stabilitási tulajdonság, és azt jelenti, hogy bármilyen nagy kezdeti hibával is indul a megoldás (azaz akárhonnan is indul a folyamat), egy kis idő elteltével már a pontos megoldás környezetében lesz a 6 Az explicit Euler-módszerről a következő fejezetekben részletesen írunk. 20

22 megoldás. Tehát a stabilitási definíció úgy módosul, hogy a t 0 -hoz közeli alkalmas t 1 esetén a definícióban δ > 0 független ε-tól, azaz bármely v 0 esetén minden t > t 1 esetén. u(t; t 0, u 0 ) u(t; t 0, v 0 ) < ε Vegyük észre, hogy az u(t) megoldás két függvény összegéből tevődik össze: egy gyorsan változó (gyorsan lecsengő) tagból (azaz az e λt (u(0) F (0)) tagból) és egy lassan változó tagból (azaz a F (t) tagból). Az első, gyorsan lecsengő tagot a megoldás merev összetevőjének, a második (lassan változó) tagot pedig nem merev összetevőnek nevezzük. Nyilvánvalóan, ha az egyenletünket az u(0) = u 0 kezdeti feltétellel kiegészítve integráljuk ki a [0, T ] intervallumon, akkor ezen intervallum nagy részén a megoldást csak a nem merev tagja határozza meg. Azt a szakaszt, ameddig a merev összetevő kioltódik, tranziens szakasznak, azt a szakaszt, amikor már csak a nem merev összetevő dominál, sima szakasznak szokásos nevezni. (Természetesen a sima szakaszban a megoldás deriváltja jóval kisebb, mint a tranziens szakaszban.) A fenti speciális stabilitási tulajdonság bizonyos értelemben előnyös, hiszen a megoldás gyakorlatilag érzéketlen a bemenő adatokra, és ezzel néhány hibaforrás (pl. az öröklött hiba) nincs hatással. Ugyanakkor érdekes (és az első ránézésre talán meglepő) módon éppen ez az a tulajdonság, amely a legfőbb problémát okozza a merev rendszerek numerikus megoldása során. Ugyanis, mint azt a fenti példában láttuk, λ konkrét értéke nincs kihatással a megoldásra a tranziens szakasz után, ugyanakkor a tranziens szakaszon ennek értékét figyelembe kell venni, és nagy Re( λ) esetén h értéke csak nagyon kicsinek választható. (Pl. az explicit Euler-módszer esetén h 2/( Re λ).) Így a sima szakaszon meglehetősen sok lépést kell tennünk a teljes [t 1, T ] intervallumon való numerikus integráláshoz, és ennek hatásaként, elsősorban a hibák felhalmozódása miatt, a numerikus megoldás rendszerint eltorzul. További példaként tekintsük az u + (γ + 1)u + γu = 0 másodrendű differenciálegyenletet az u(0) = 1 és u (0) = γ 2 kezdeti feltételekkel. Ekkor a feladat a szokásos módon átírható egy kétismeretlenes, elsőrendű, állandó együtthatós rendszerre, ahol az együtthatómátrix A = [ 0 1 γ (γ + 1) a kezdeti vektor pedig c = [1, γ 2]. Az A mátrix karakterisztikus egyenlete ], det(a λi) = λ 2 + (γ + 1)λ + γ = 0. Ezért az A mátrix sajátértékei λ 1 = 1 és λ 2 = γ. A pontos megoldás tehát u 1 (t) = u 2 (t) = 2 exp( t) exp( γt) 2 exp( t) + γ exp( γt). 21 (2.43)

23 Tegyük fel, hogy γ >> 1. Ekkor a pontos megoldás (2.43) alakjából látható, hogy az egyes megoldásokban szereplő exp( γt) függvények már nagyon kis t 1 mellett t t 1 esetén sem játszanak szerepet, és a pontos megoldás gyakorlatilag az u 1 (t) u 2 (t) exp( t) lesz a [t 1, T ] intervallumon. Ezen példa alapján látható (amely a közönséges differenciálegyenlet-rendszerek elméletéből jól ismert tény), hogy az u (t) = Au(t) (A R d d ) állandó együtthatós lineáris rendszer általános megoldását az A mátrix sajátértékei segítségével írjuk fel és a megoldások a sajátértékek exponenciálisainak lineáris kombinációjaként állnak elő. Ezért például, ha az A mátrix sajátértékeinek valós részei negatívak, és nagyságrendben eltérnek egymástól, akkor a megoldások komponensei olyan függvények összegei, amelyek közül néhány időben gyorsan lecseng. (V.ö. a (2.43) alakkal.) Ezért az állandó együtthatós lineáris rendszerek esetén elfogadott a merev rendszer alábbi definíciója Definíció Az u (t) = Au(t) + f(t) állandó együtthatós lineáris rendszert merev rendszernek nevezzük, ha az A mátrix λ i (i = 1, 2,..., d) sajátértékeire teljesülnek az alábbiak. 1. Létezik nagy negatív valós részű sajátértéke, azaz van olyan λ i, amelyre Re λ i Létezik olyan sajátértéke is, amely abszolút értékben sokkal kisebb, mint az előző tulajdonságú sajátérték abszolút értéke, azaz van olyan λ j, amelyre λ j λ i. 3. Nincs nagy pozitív valós részű sajátértéke. 4. Nincs olyan nagy képzetes részű sajátértéke, amelynek valós részére nem teljesül a Re λ i 0 reláció. Néhány megjegyzés a definícióhoz. Feltesszük, hogy az f(t) függvény ugyanolyan simasággal rendelkezik, mint a megoldás lassan változó exponenciálisa. (Ellenkező esetben, pl. szakadásos függvény esetén, nem lesz merev a feladat.) Vegyük észre, hogy a feladat merevsége megengedi a pozitív valós részű sajátérték létezését is. (Tehát lehet Re λ i > 0 sajátérték is.) Ugyanakkor azt megköveteljük, hogy a gyorsan lecsengő összetevő aszimptotikusan stabil legyen, azaz nagy λ i esetén Re λ i 0. A definícióból látszik, hogy az inhomogén, állandó együtthatós lineáris rendszer merevségének fogalma nem közvetlenül a megoldás alakjától, hanem az A együtthatómátrix spektrális tulajdonságaitól függ. Ennek illusztrálásaként tekintsük a fenti feladatot a következő megválasztásokkal. A = ( ), f(t) = 22 ( 2 sin t 2(cos t sin t) ) (2.44)

24 ( 2 1 A = ) (, f(t) = 2 sin t 999(cos t sin t) ) (2.45) Az u(0) = [2, 3] kezdeti feltétel mellett mindkét feladat megoldása az ( ) ( ) 1 sin t u(t) = 2e t + 1 cos t függvény. Az első feladatban szereplő mátrix (azaz a (2.44) szerinti A mátrix) sajátértékei 1 és 3, míg a második feladatban a megfelelő sajátértékek 1 és Így a (2.44) megválasztású feladat nem merev, míg a (2.45) megválasztású merev. (Ha az explicit Euler-módszert segítségével numerikusan oldjuk meg a fenti két feladatot, akkor láthatjuk a különbséget a gyakorlatban.) Ugyanakkor homogén feladat esetén az A mátrix egyértelműen meghatározza a megoldást, tehát a megoldás alakja és a merevség definíciója megfelel egymásnak. Merev rendszerek esetén tehát S = max i Re λ i min i Re λ i 1, (2.46) és az S számot a rendszer merevségi számának nevezzük. (A gyakorlatban már merevnek nevezzük a rendszert, ha S = O(10). Néhány korábbi munkában a merev rendszer definíciójában a Reλ i < 0, i = 1, 2,..., d feltétel is szerepelt, azaz a rendszer aszimptotikus stabilitása eleve feltételezve volt. Mint látható, ez a definícióban nem szerepel. Akkor valójában mikor nevezhető merevnek egy rendszer? Lambert [9] három esetet sorol fel a merevség ismérveként. Lineáris állandó együtthatós rendszer esetén a sajátértékek valós részei negatívak, és a rendszer merevségi száma nagy. A rendszer numerikus integrálásához használt lépésköz megválasztásánál nem elsősorban a pontosság, hanem döntően a numerikus módszer stabilitása (a hibák felhalmozódásának folyamata) a meghatározó. A megoldás néhány komponense lényegesen gyorsabban cseng le, mint a többi. Mint láttuk, az állandó együtthatós lineáris közönséges differenciálegyenlet-rendszerek esetén a definíció alapján az A mátrix spektrumának ismeretében választ tudunk adni a kérdésre. Ugyanakkor a többi esetben a válasz már nem egyértelmű! Mint az alábbi példákban látni fogjuk, a lineáris időfüggő (nemautonóm rendszerek és 23

25 a nemlineáris feladatok esetén a spektrum már nem ad megbízható információt a rendszer merevségéről, ezért ezekre az esetekre a fenti a definíció általában már nem alkalmazható. A nemautonóm esetre példaként szolgálhat a következő [20] Példa Tekintsük az u (t) = A(t)u(t) (2.47) lineáris közönséges differenciálegyenlet-rendszert, ahol ( 1 9 cos A(t) = 2 (6t) + 6 sin(12t) 12 cos 2 (6t) + 9 sin(12t) 2 12 sin 2 (6t) + 9 sin(12t) sin2 (6t) 6 sin(12t) Közvetlen számítással ellenőrizhető, hogy az A(t) mátrix sajátértékei λ 1 = 1 és λ 2 = 10, azaz t-től függetlenek. A fenti (2.47) egyenlet általános megoldása ( ) ( ) cos(6t) + 2 sin(6t) sin(6t) 2 cos(6t) u(t) = C 1 e 2t + C 2 cos(6t) sin(6t) 2 e 13t. 2 sin(6t) + cos(6t) Tehát a megoldásnak nincs köze az A(t) mátrix sajátértékeihez, másrészt pedig a Re λ i < 0 feltétel ugyan teljesül, de a megoldás nem cseng le. (Ettől még persze merev a rendszer, hiszen a megoldás második tagja hamar lecseng, és a megoldás tart az első sima taghoz.) Most tekintsünk egy példát a nemlineáris feladatokra. Kézenfekvőnek tűnik, hogy a stabilitás vizsgálatához hasonlóan a merevséget is a linearizálással határozzuk meg, azaz a nemlineáris rendszer egyensúlyi pontja körüli linearizált rendszer Jacobi-mátrixára alkalmazzuk a definíciót. Vizsgáljuk meg ezt a következő klasszikus példán! Példa Tekintsük az ún. Van der Pol egyenletet ). u µ(1 u 2 )u + u = 0, (2.48) ahol µ > 0 valamely adott paraméter. Bevezetve az u 1 = u és az u 2 = u jelöléseket, a (2.48) egyenlet felírható ( ) ( ) d u1 u = 2 dt u 2 µ(1 u 2 (2.49) 1)u 2 u 1 alakban. Az ( f(u 1, u 2 ) = u 2 µ(1 u 2 1)u 2 u 1 függvényre f(0, 0) = 0, azaz u 1 = u 2 = 0 egyensúlyi pontja a Van der Pol egyenletnek. Linearizáljuk a feladatot ezen egyensúlyi pont körül! Könnyen látható, hogy az f függvény Jacobi-mátrixa a 0 = (0, 0) R 2 pontban J(0) = ( µ 24 ). )

26 Határozzuk meg J(0) sajátértékeit! Mivel a karakterisztikus egyenlet λ 2 µλ + 1 = 0, ezért a sajátértékei λ 1 = µ 2 + µ 2 4 1, Tehát µ esetén λ 2 = µ 2 µ = 1 λ 1. λ 1 = O(µ), λ 2 = O (1/µ). (2.50) Nagy µ esetén tehát a rendszer merevségi száma S = O(µ 2 ), ami a rendszer merevségét mutatja. Általánosan, egy nemlineáris rendszer merevségét a rendszer (általában nemlineáris) f függvényének második változója szerint Lipschitz-állandó nagysága mutatja: nagy L esetén a rendszert merevnek nevezzük Időfüggő parciális differenciálegyenletek és modellezésük közönséges differenciálegyenlet-rendszerrel A közönséges differenciálegyenletek (illetve a közönséges differenciálegyenletrendszerek) egy folyamat időbeli változásának leírására szolgál, ugyanakkor nem alkalmasak a térben és időben egyaránt változó jelenségek matematikai modellezésére. Ilyen esetben az ismeretlen függvényünk többváltozós, nevezetesen, a térbeli és az időbeli változók függvénye. Általában, a differenciálegyenletek közös vonása, hogy a függvény és deriváltjai közötti ismert kapcsolatból kell magát a függvényt meghatározni A parciális differenciálegyenletek alapfogalmai Amikor a keresett függvény egyváltozós, akkor közönséges differenciálegyenletnek nevezzük a problémát. Amikor az ismeretlen függvény többváltozós, és így a kapcsolat az ismeretlen függvény és annak parciális deriváltjai között adott, parciális differenciálegyenletről beszélünk. Néhány tipikus kétváltozós parciális differenciálegyenlet és elnevezésük: a. Laplace-egyenlet: 2 u(x, y) x u(x, y) y 2 = 0, (2.51) 25

27 b. Poisson-egyenlet: c. hővezetési egyenlet: d. hullámegyenlet: e. advekciós egyenlet: f. diffúziós egyenlet: u(x, t) t 2 u(x, y) x u(x, y) y 2 = f(x, y), (2.52) u(x, t) t 2 u(x, t) x 2 = 0, (2.53) 2 u(x, t) t 2 2 u(x, t) x 2 = 0, (2.54) u(x, t) t (k(x, t)u(x, t)) x = 0, (2.55) ( ) u(x, t) D(u, x, t) = 0, (2.56) x x g. reakció-diffúziós egyenlet: h. biharmonikus egyenlet: u(x, t) t 2 u(x, t) x 2 = u 3 (x, t), (2.57) 4 u(x, y) x u(x, y) x 2 y u(x, y) y 4 = 0. (2.58) A fenti példákban x, y a térbeli változókat, t az időbeli változót, u pedig az ismeretlen függvényt jelöli. A parciális differenciálegyenletek elméletében használatos néhány elnevezés. Rendnek nevezzük a legmagasabb előforduló parciális derivált számát. Ezért e. elsőrendű, h. negyedrendű, a többi pedig másodrendű parciális differenciálegyenlet. Megkülönböztetjük azokat az eseteket, amikor az ismeretlen függvény parciális deriváltjainak együtthatói állandóak avagy függvények. Példáinkban a., b., c., d., g. és h. állandó együtthatós parciális differenciálegyenlet, a többi pedig függvényegyütthatós. Fontos osztályozási szempont a linearitás: ha a függvénykapcsolatban az ismeretlen függvény és annak deriváltjai közötti kapcsolat lineáris, akkor lineáris parciális differenciálegyenletnek, ellenkező esetben nemlineáris parciális differenciálegyenletnek nevezzük a feladatunkat. Példáinkban f. és g. nemlineáris, a többi pedig lineáris parciális differenciálegyenlet. Végezetül, szokásos megkülönböztetni a homogén és az inhomogén parciális differenciálegyenleteket. Az utóbbi azt jelenti, hogy a függvénykapcsolatban szerepel az 26

28 ismeretlen u függvénytől illetve annak parciális deriváltjaitól nem függő összeadandó tag. Példáinkban b. inhomogén, a többi pedig homogén. Térjünk ki Külön a független változók szerepére. Általában t az időt, x és y pedig a helyet jelöli. Ezek szerepe nem azonos: a folyamatokat általában t 0 esetén vizsgáljuk, a térbeli változók viszont akármilyen előjelűek lehetnek. (Emellett a modellekben t mindig növekedő irányban változik, és a jelenségek tipikusan időben nem megfordíthatók, a térbeli változók viszont akármilyen irányban változhatnak.) Az olyan feladatot, amelyben az ismeretlen függvény időben nem változik (azaz u nem függ t-től), stacionárius feladatnak nevezzük, ellenkező esetben időfüggő (instacionárius) feladatról beszélünk. Mi a továbbiakban a kétváltozós, másodrendű, lineáris parciális differenciálegyenletekkel foglalkozunk. Tekintsük tehát az Ω R 2 tartományon az (Lu)(x, y) = a(x, y) 2 u(x, y) + 2b(x, y) 2 u(x, y) + c(x, y) 2 u(x, y) + x 2 x y y 2 u(x, y) u(x, y) d(x, y) + e(x, y) + g(x, y)u(x, y) = f(x, y) x y (2.59) egyenletet, ahol az a, b, c, d, e, g együtthatófüggvények és az f forrás adottak. (Ezen függvények alkalmas megválasztásával, illetve az y t jelöléssel a korábbi lineáris másodrendű példák (a.-f.) mindegyike felírható.) A (2.59) egyenletben szereplő L operátor (L 0 u)(x, y) = a(x, y) 2 u(x, y) + 2b(x, y) 2 u(x, y) + c(x, y) 2 u(x, y) (2.60) x 2 x y y 2 részét az L operátor főrészének nevezzük. Az L 0 operátornak megfeleltethetjük a B(α, β) = a(x, y)α 2 + 2b(x, y)αβ + c(x, y)β 2 (2.61) kvadratikus alakot, és ez alapján az L operátor alábbi osztályozása lehetséges. Tekintsük valamely rögzített (x 0, y 0 ) Ω pontban a B(α, β) = állandó > 0 egyenlőséggel definiált másodrendű görbéket az (α, β) síkon. Az a(x 0, y 0 ), b(x 0, y 0 ) és c(x 0, y 0 ) értékétől (pontosabban, az a(x 0, y 0 )c(x 0, y 0 ) b 2 (x 0, y 0 ) kifejezés előjelétől) függően ez egy ellipszist, parabolát vagy hiperbolát határoz meg. Ez motiválja a következő definíciót Definíció Azt mondjuk, hogy az L operátor (másképpen, a (2.59) egyenlet) elliptikus típusú az (x, y) Ω pontban, ha a(x, y)c(x, y) b 2 (x, y) > 0; parabolikus típusú az (x, y) Ω pontban, ha a(x, y)c(x, y) b 2 (x, y) = 0; hiperbolikus típusú az (x, y) Ω pontban, ha a(x, y)c(x, y) b 2 (x, y) < 0. 27

29 Azt mondjuk, hogy elliptikus (parabolikus, hiperbolikus) típusú a Ω 1 Ω tartományon, ha elliptikus (parabolikus, hiperbolikus) típusú a Ω 1 tartomány mindegyik pontjában. Ha (2.59) állandó együtthatós, akkor a Ω tartományon azonos típusú. Például a Laplace- és a Poisson-egyenletek elliptikus, a hővezetési egyenlet parabolikus, a hullámegyenlet pedig hiperbolikus típusú a teljes Ω tartományon. Ugyanakkor, az y 2 u(x, y) + 2x 2 u(x, y) + y 2 u(x, y) = 0 x 2 x y y 2 függvényegyütthatós egyenlet a Ω ell = {(x, y) R 2, y > x } halmazon elliptikus, a Ω par = {(x, y) R 2, y = x } halmazon parabolikus, a Ω hip = {(x, y) R 2, y < x } halmazon pedig hiperbolikus típusú. Célunk olyan matematikai modellek megadása, amelyek korrekt kitűzésűek, azaz rendelkeznek az alábbi tulajdonságokkal: a. létezik megoldása (egzisztencia); b. ez a megoldása egyetlen (unicitás); c. a megoldása folytonosan függ a feladatot meghatározó függvényektől (stabilitás). Ezek a követelmények természetes módon következnek a matematikai modellezés jellegéből és céljából. Vegyük észre, hogy általános esetben a (2.59) alakú parciális differenciálegyenletnek, ha létezik is megoldása, akkor az nem egyértelmű. (Például a Laplaceegyenletnek megoldása az u(x, y) = ax + by + c alakú lineáris függvény tetszőleges a, b és c állandók esetén.) Ezért tehát a parciális differenciálegyenletek önmagukban nem elegendőek a korrekt kitűzés biztosításához. Ehhez további feltételek megadása szükséges. Mivel tipikusan a megoldásfüggvényről a megoldási tartomány határán különböző információkkal rendelkezünk, ezért a kiegészítő feltételeket ezen információk segítségével szokásos megadni. Amikor az megoldási tartomány az (x, y) térváltozókból álló Ω R 2 korlátos halmaz, akkor az Ω tartomány Γ peremén írunk elő peremfeltételeket. Amikor tér-idő változó egyaránt szerepel, azaz Ω az (x, t) típusú pontokból áll, és a térváltozóban korlátos a tartomány, akkor a t = 0 pontban kezdeti feltételeket, a térbeli változó határán pedig továbbra is peremfeltételeket adhatunk meg. A peremfeltételek megadásának három típusa van. első (Dirichlet-) típusú peremfeltétel, ami azt jelenti, hogy a Γ-beli perempontban rögzítjük a megoldásfüggvény értékét; második (Neumann-) típusú peremfeltétel, ami azt jelenti, hogy a Γ-beli perempontban ismerjük a normál irányú deriváltjának az értékét; 28

30 harmadik (Robin-) típusú peremfeltétel, ami azt jelenti, hogy a Γ-beli perempontban előre megadjuk a megoldásfüggvény és annak külső normálvektor irányú deriváltjának valamely lineáris kombinációjának értékét. A kezdeti (Cauchy-) feltétel megadása azt jelenti, hogy t = 0 időpontban megadjuk a megoldásfüggvény vagy annak t szerinti deriváltjának az értékét. Célunk, hogy egy adott parciális differenciálegyenletet olyan kiegészítő feltételekkel lássunk el, amelyekkel a feladat korrekt kitűzésű lesz. Megmutatható ([12, 13]), hogy lineáris esetben az elliptikus feladatok a Γ-n megadott első, második vagy harmadik peremfeltétellel, a parabolikus feladatok a t = 0-ban megadott u(x, 0) kezdeti feltétellel és a térbeli határon megadott első, második vagy harmadik peremfeltételek egyikével, a hiperbolikus feladatok a t = 0 pontban megadott u(x, 0) és u (x, 0) kezdeti t feltételekkel, valamint a térbeli határon megadott első, második vagy harmadik peremfeltételek valamelyikével korrekt kitűzésűek. Amikor a térbeli változók Ω tartománya nem korlátos, akkor természetesen peremfeltétel nem értelmezhető. Ilyenkor időfüggő feladatok esetén a megfelelő kezdeti feltételek megadásával lesz a feladatunk korrekt kitűzésű. Ebben a könyvben az időben változó feladatokkal foglalkozunk. Ezért a továbbiakban az alapvető instacionárius egyenletek származtatásával foglalkozunk Megmaradási törvények Számos fizikailag fontos jelenséget leíró parciális differenciálegyenletet az ún. megmaradási törvényekből nyerjük. Jelölje u(x, t) valamely anyag sűrűségfüggvényét az x helyen és a t időpontban. Tegyük fel, hogy ez a koncentráció időben változik, azaz például egy híg folyadékban szuszpenziót 7 hoz létre. Az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy a térbeli változó egydimenziós, például a szuszpenzió egy csőben történik, így x a csőben való távolságot jelenti. Egy további lehetséges modell a szennyezőanyag terjedésének vizsgálata egy patakban, de más példák is felsorolhatók. Feltehető, hogy tetszőleges keresztmetszet mentén a koncentráció állandó, azaz értéke csak x-től függ. Ekkor az 7 Olyan durva diszperz rendszer, amelyben szilárd halmazállapotú részecskék vannak szétoszlatva egy folyékony halmazállapotú közegben anélkül, hogy feloldódnának abban. A folyékony anyagban a szilárd anyag részecskéi lebegnek, és hosszabb-rövidebb idő után leülepednek. 29

31 u(x, t) sűrűségfüggvény segítségével a t időpontban meghatározhatjuk a vizsgált anyag teljes tömegét a cső x 1 és x 2 pontok közötti részében: I(t) = x2 x 1 u(x, t) dx. (2.62) Megjegyezzük, hogy a sűrűségfüggvény mértékegysége pl. gramm/méter. Mivel valójában u a csőben értelmezett sűrűségfüggvény, ezért a megfelelő mértékegysége gramm/méter 3, és az integrálást a cső keresztmetszetén kell értelmezni. A transzport jellegű alapvető fizikai folyamatok parciális differenciálegyenletei a következő elvből származtathatók. Tekintsük az [x 1, x 2 ] részt és határozzuk meg, hogy ebben a részben I(t) hogyan változik az időben. Mivel az anyagmegmaradás elve alapján ezen csőszakaszban új anyag nem keletkezik és nem semmisül meg, ezért a tömeg időbeli megváltozása csak két végpontban lévő fluxus 8 hatására történhet. Ezért a fluxus f megadásával felírhatjuk a megfelelő matematikai összefüggést. Mivel az [x 1, x 2 ] csőszakaszban lévő tömeg megváltozása csak a végpontokbeli fluxusok hatására történik, ezért d dt I(t) = f(u(x 1, t)) f(u(x 2, t)). (2.63) (A negatív jel a fluxus irányultsága miatt van.) Feltéve f és u megfelelő simaságát, ez az egyenlet felírható d x2 dt I(t) = f(u(x, t)) dx (2.64) x 1 x alakban. Mivel u megfelelő simasága esetén d dt I(t) = x2 x 1 u(x, t) dx, (2.65) t ezért a (2.64) és a (2.65) összefüggések alapján x2 ( ) u(x, t) + f(u(x, t)) t x x 1 dx = 0. (2.66) Mivel (2.66) tetszőleges [x 1, x 2 ] intervallumon érvényes, ezért végeredményként a u(x, t) + f(u(x, t)) = 0 (2.67) t x egyenletet kapjuk, amelyet megmaradási (folytonossági) törvénynek szokásos nevezni. 8 A fluxus általában egy adott felületen átáramló anyag vagy energia mennyiségét jelenti. 30

32 Alapvető parciális differenciálegyenletek A fluxus különböző alakjai vezetnek el az egyes jól ismert modellekhez. 1. Advekciós egyenlet. Tegyük fel, hogy a folyadék állandó a sebességű, tehát az anyagi részecske ezen állandó a sebességgel mozog. Ha az x pontbeli fluxus a pontbeli sebesség és a lokális sűrűség szorzata, akkor a fluxus függvénye alakú. Ekkor a (2.67) képlet alapján a f(u) = au (2.68) u(x, t) + a u(x, t) = 0 (2.69) t x egyenletet kapjuk. Ez az egyenlet, a parciális deriváltak szokásos jelölésével, felírható az egyszerűbb jelölésű u t + au x = 0 alakban is 9. Az egyértelmű megoldhatósághoz kezdeti feltétel, és, ha a térbeli változó korlátos, peremfeltételek megadása szükséges. Tekintsük az egyszerűbb nemkorlátos esetet, azaz amikor x (, ). Ekkor ugyanis elegendő csak a kezdeti feltétel megadása: u(x, 0) = u 0 (x), x (, ), (2.70) ahol u 0 adott függvény. Könnyen látható, hogy ha u 0 folytonosan differenciálható, akkor az u(x, t) = u 0 (x at), x (, ), t 0 (2.71) függvény egyértelmű megoldása a (2.69)-(2.70) feladatnak. A megoldás (2.71) alakjából jól látható, hogy az (x, t) sík azon pontjaiban, ahol x at állandó, (azaz az x at = C egyenesek pontjaiban) a megoldások ugyanazt az értéket veszik fel. 2. Diffúziós egyenlet. Tegyük fel, hogy a folyadék nem mozog, azaz a = 0. Ekkor u t = 0, és ezért elvileg az u 0 kezdeti függvény alakja az időben nem változik. Ugyanakkor, ha u 0 nem állandó, a molekuláris mozgás hatására a kezdeti függvény mégis megváltozik. Ez a jelenség az ún. molekuláris diffúzió, amelynek hajtóereje a sűrűségkülönbség. (Ha más erő nem lép fel, a diffúzió képes megszüntetni a sűrűségkülönbséget.) Az anyagáramlás sebessége a sűrűséggradienssel arányos. Ezt a jelenséget Brown-mozgásnak is szokták hívni, melyet a Fick-törvény ír le. Ennek értelmében a fluxus egy adott x pontban egyenesen arányos a sűrűségfüggvény gradiensével, azaz a fluxus függvénye 9 Könyvünkben mindkét jelölést alkalmazzuk. f(u) = κu x (2.72) 31

33 alakú. Ebben az egyenletben κ lehet állandó (pl. homogén anyagokban), de általános esetben függhet x-től is. Ha κ állandó, akkor (2.72) és (2.67) alapján az u t = κu xx (2.73) egyenletet nyerjük. A κ = κ(x) esetben a fenti összefüggések az u t = (κu x ) x (2.74) egyenletet eredményezik. A fenti (2.73) és (2.74) egyenleteket összefoglalóan diffúziós egyenletnek, a κ együtthatót pedig diffúziós együtthatónak nevezzük. 3. Hővezetési egyenlet. A hővezetés során a hő a diffúzióhoz hasonló módon terjed 10. Hővezetés a termodinamika második főtétele szerint mindig a nagyobb hőmérsékletű hely felől a kisebb hőmérsékletű hely felé történik, azaz a hőmérsékleti gradiens irányában. Emellett a hőáramsűrűség (amely lényegében a fluxust jelenti) a Fourier-törvény szerint véges változás esetén egyenesen arányos a hőmérsékletkülönbséggel és a szilárd test anyagi minőségére jellemző hővezetési tényezővel, illetve fordítva arányos a távolsággal. Ezért határesetben a (2.72) alakú összefüggést kapjuk. Ezért a (2.73) és (2.74) alakú diffúziós egyenleteket nyerjük, amelyeket szokásos hővezetési egyenleteknek is nevezni. A κ együtthatót ebben az esetben hővezetési együtthatónak szokásos nevezni. 4. Advekció-diffúzió egyenlet. A folyadékmozgás esetén tipikusan egyidejűleg van advekció és diffúzió is, azaz a fluxusra f(u) = au κu x (2.75) összefüggés érvényes. Ennek alapján az advekció-diffúzió egyenlet állandó diffúziós együttható és sebesség mellett alakú. u t + au = κu xx (2.76) 5. Forrástag az alapegyenletben. Visszatérve a kiindulási pontunkhoz, nyilvánvalóan I(t) nemcsak a csőszakasz végpontjaiban lévő fluxus hatására változhat meg: ha van forrás vagy nyelő ezen a szakaszon, akkor az össztömeg ennek függvényében is megváltozhat. Jelölje Ψ(x, t) az ilyen forrás /nyelő sűrűségfüggvényét 11. A Ψ 10 A hővezetés (konduktív hőátadás) a hőátadás olyan formája, amely a szilárd vagy nyugalomban lévő (nem áramló) folyékony vagy légnemű halmazállapotú rendszerekben, hőmérséklet-különbség hatására jön létre. A hőáramlástól (konvektív hőátadás) abban tér el, hogy nem történik anyagáramlás, hanem a hőátadás a belső energia részecskéről részecskére való átadásával történik. 11 Pontosabban a belső energia (időegységre jutó) forrás-sűrűségét jelöli, vagyis az időegység alatt térfogategységben keletkező belső energiát jelenti. 32

34 függvény előjele mutatja, hogy az (x, t) pontban forrás (pozitív előjel) vagy nyelő (negatív előjel) van. Ennek figyelembevételével a (2.66) egyenlet alakja x2 ( ) x2 u(x, t) + f(u(x, t)) dx = Ψ(x, t) dx (2.77) t x x 1 x 1 alakot ölti. Ezért forrás esetén a (2.67) egyenlet u(x, t) + f(u(x, t)) = Ψ(x, t) (2.78) t x alakú. Az f fluxus egyes alakjainak behelyettesítésével megkaphatjuk a fentiekben felsorolt nevezetesebb egyenletek forrástaggal kiegészített változatait. 6. Reakció-diffúzió egyenlet. A folyamatokban a forrástagok megjelenésének egyik oka a kémiai reakció: amikor a jelenségben s számú anyag vesz részt, és azok egymással kémiai reakcióba lépnek, akkor ezen anyagok koncentrációi a kémiai átalakulások hatására megváltoznak. Ez a matematikai modellben azt jelenti, hogy ha u R s vektor koordinátái az egyes anyagok koncentrációit jelölik, akkor a kinetikai egyenlet u t = R(u) alakú. (Ez az egyenlet azt feltételezi, hogy az egyes anyagok tökéletesen elkeverődnek, és értékük csak az időtől függ.) Ha a koncentráció térben is változik, akkor ezt az egyenletet a diffúziós egyenlettel kombináljuk, és eredményül a u t = κu xx +R(u) reakció-diffúzió egyenletet nyerjük. Mivel a diffúziós együttható anyagonként változhat, ezért általában κ egy diagonális mátrix, és nem skalár. Megjegyezzük, hogy a fenti egyenlethez advekciós tag is hozzáadható, például áramló folyadékok esetén. A hővezetési egyenlet és megoldása Könyvünkben megkülönböztetett szerepet szánunk a skaláris, térben egyváltozós hővezetési egyenletnek, ugyanis a hővezetési folyamat numerikus modellezésén keresztül jól jellemezhetők az egyes numerikus eljárások. Ezért továbbiakban az egyenletet vizsgáljuk. Két esetet vizsgálunk a továbbiakban. u t = κu xx (2.79) 1. Az x térbeli változó a teljes számegyenesen változik, azaz x R. Ebben az esetben a (2.79) egyenlet nem korlátos tartományon van kitűzve, azaz a korrekt kitűzéshez szükséges és elegendő az u(x, 0) = u 0 (x), x R (2.80) kezdeti feltétel megadása, ahol u 0 egy megfelelően sima, R-en értelmezett, adott függvény. 33

35 2. Az x térbeli változó egy korlátos intervallumon változik, azaz x [0, l]. Ebben az esetben a (2.79) egyenlet korlátos tartományon van kitűzve, azaz a korrekt kitűzéshez szükséges és elegendő az u(x, 0) = u 0 (x), x [0, l] (2.81) kezdeti feltétel megadása (ahol u 0 egy megfelelően sima, R-en adott függvény), illetve a két peremen valamilyen típusú peremfeltétel. Tegyük fel, hogy a perempontokban az első peremfeltétel adott, azaz ahol µ 1 (t) és µ 2 (t) adott függvények. u(0, t) = µ 1 (t), u(l, t) = µ 2 (t), t > 0, (2.82) Nemkorlátos tartomány esete. A Fourier-transzformáció. Először a (2.79)-(2.80) feladat megoldásának előállításával foglalkozunk. Egy v(x) L 2 (R)-beli függvény 12 Fourier-transzformáltján 13 azt az L 2 (R)-en értelmezett operátort értjük, amely egy v L 2 (R)-beli függvényhez a ˆv(ξ) := 1 v(x)e iξx dx, ξ R (2.83) 2π R módon definiált függvényt rendeli hozzá. Ez a transzformált ˆv(ξ) függvény szintén L 2 (R)- beli, és a Parseval-egyenlőség felhasználásával megmutatható a normatartás is, azaz a ˆv 2 = v 2 (2.84) reláció. Az {e iξx, ξ R} függvényrendszer bázist alkot az L 2 (R) térben, ezért a Fouriertranszformácó segítségével az eredeti v(x) függvényhez hozzárendelt ˆv(ξ) értelmezhető v(x) függvény e iξx szerinti koordinátájának a különböző ξ R értékekre. Így az inverz Fourier-transzformáció v(x) := 1 ˆv(ξ)e iξx dξ, ξ R (2.85) 2π R szerinti definíciója kézenfekvő. (Ez megfelel egy vektor - adott bázisban történő - lineáris kombinációként való felírásának.) 12 L 2 (R) azon komplex függvények tere, amelyek négyzetesen integrálhatók Lebesgue-értelemben, azaz az R v 2 dx vett integrál (Lebesgue-értelemben) létezik és véges. Mint ismeretes, ez a tér vektortér, és a (v, w) := R (vw) dx skaláris szorzattal Hilbert teret alkot. Ezért a megfelelő norma v 2 = ( v 2 dλ) 1/2. 13 Jean-Baptiste Joseph Fourier ( ) francia matematikus és fizikus 34

36 Feladatunkban a parciális differenciálegyenletek ismeretlen függvénye kétváltozós, ezért fontos az u(x, t) függvény Fourier-transzformációjának meghatározására. Mi az x térbeli változó szerinti Fourier-transzformációt határozzuk meg, mégpedig úgy, hogy az u(x, t) függvényt rögzített t mellett tekintjük, és úgy határozzuk meg a Fouriertranszformáltját: û(ξ, t) = 1 u(x, t)e iξx dx, ξ R. (2.86) 2π R Így az inverz Fourier-transzformáció u(x, t) = 1 2π û(ξ, t)e iξx dξ, x R. (2.87) R Felhasználva a (2.87) képletet, az u(x, t) függvény parciális deriváltjai közvetlenül kifejezhetők, ugyanis a paraméteres integrál deriválhatósága mellett érvényesek az alábbi összefüggések u t (x, t) = 1 2π t 1 2π R u x (x, t) = 1 2π x 1 2π R R û(ξ, t)e iξx dξ = 1 2π û t (ξ, t)e iξx dξ R û(ξ, t)e iξx dξ = 1 2π û(ξ, t)iξe iξx dξ. R R (û(ξ, ) t)e iξx dξ = t (û(ξ, ) t)e iξx dξ = x (2.88) (2.89) Ezért tehát az u t (x, t) függvény x-szerinti Fourier-transzformáltja önmaga, míg az u x (x, t) függvényé az iξû(ξ, t) függvény. Hasonlóan, u xx (x, t) = 1 2 û(ξ, t)e iξx dξ = 1 2 (û(ξ, ) t)e iξx dξ 2π x 2 R 2π R x 2 = 1 (2.90) û(ξ, t)( ξ 2 )e iξx dξ. 2π R Tehát az u xx (x, t) függvény Fourier-transzformáltja az ξ 2 û(ξ, t) függvény. Térjünk át a (2.79)-(2.80) feladat megoldására! A (2.79) egyenlet mindkét oldalának Fourier-transzformációját véve, a (2.88) és a (2.90) képletek alapján az û t (ξ, t) = κξ 2 û(ξ, t), ξ R (2.91) egyenletet nyerjük. A (2.80) kezdeti feltétel Fourier-transzformáltja û(ξ, 0) = û 0 (ξ) = 1 u 0 (x)e iξx dx, ξ R. (2.92) 2π R 35

37 A (2.91)-(2.92) egy közönséges differenciálegyenlet elsőrendű Cauchy-feladata, amelynek megoldása az û(ξ, t) = e κξ2tû(ξ, 0) = e κξ2tû 0 (ξ), ξ R (2.93) függvény. Vizsgáljuk meg a hővezetési egyenlet megoldását abban az esetben, amikor a kezdeti függvény az x = 0 pontra felírt Gauss-típusú eloszlásfüggvény, azaz u 0 (x) = e βx2, x R, (2.94) ahol β R adott állandó. Mivel a (2.79)-(2.94) feladat megoldásához a kezdeti függvény Fourier-transzformáltjának ismerete szükséges, határozzuk ezt meg a továbbiakban. Nyilvánvalóan û 0 (ξ) = 1 e βx2 e iξx dx. (2.95) 2π R Mindkét oldalt deriválva a következő relációk érvényesek: dû 0 dξ (ξ) = 1 e βx2 ( ix)e iξx dx. (2.96) 2π R A (2.96) jobb oldalán hajtsunk végre egy parciális integrálást a v = e iξx és w = ixe βx2 megválasztással! A kiintegrált rész eltűnik az x = ± helyen, ezért dû 0 dξ (ξ) = 1 2π R = ξ 2β û0(ξ). i 1 2β e βx2 ( iξ)e iξx dx = ξ 2β 1 2π R e βx2 e iξx dx A (2.97) egy elsőrendű közönséges differenciálegyenlet, amelynek általános megoldása A (2.92) képlet alapján û 0 (0) = 1 2π (2.97) û 0 (ξ) = e ξ2 4β û0 (0). (2.98) R 1 2π u 0 (x)dx = 1 2π R e s2 1 β ds = 1 2β. (Az utolsó lépésben felhasználtuk a jól ismert a (2.98) és a (2.99) összefüggések alapján e s2 e βx2 dx = (2.99) ds = π összefüggést.) Ekkor û 0 (ξ) = 1 2β e ξ2 4β. (2.100) 36

38 2.2. Megjegyzés Összevetve a (2.94) és a (2.100) formulákat azt láthatjuk, hogy a Fourier-transzformáció egy Gauss-féle eloszlást egy más paraméteres Gauss-féle eloszlásba transzformál. Felhasználva a (2.93) és a (2.100) összefüggéseket, érvényes az û(ξ, t) = 1 2β e κξ2t e ξ2 4β = 1 2β e ξ2 4C, ξ R (2.101) egyenlőség, ahol 1 C = 4κt + 1/β. (2.102) Innen a (2.87) inverz Fourier-transzformáció segítségével előállítható a (2.79)-(2.94) feladat megoldására: Tekintsük a u(x, t) = 1 2π = C/β 1 kifejezést! Ez nyilvánvalóan az û(ξ, t)e iξx dξ = 1 R 2π 2π R 1 2π előzőekben beláttuk, hogy az e βx2 R 1 2C e ξ2 4C R 1 2β e ξ2 4C e iξx dξ 1 2C e ξ2 4C e iξx dξ, x R. 1 2C e ξ2 4C e iξx dξ (2.103) függvény inverz Fourier-transzformáltja. Az függvény Fourier-transzformáltja 1 2β e ξ2 4β, azaz ez utóbbi függvény inverz Fourier-transzformáltja az e βx2 függvény. Ezt figyelembe véve tehát 1 1 e ξ2 4C e iξx dξ = e Cx2. (2.104) 2π 2C R A (2.103) és a (2.104) képletek alapján tehát a (2.79)-(2.94) feladat megoldása u(x, t) = C/βe Cx2, (2.105) ahol C értékét a (2.102) képletből határozhatjuk meg. Mivel C/β = 1/ 4κβt + 1, ezért a feladat megoldása u(x, t) = 1 e x 2 4κt+1/β. (2.106) 4κβt + 1 Változtassuk meg a kezdeti függvényt! Vegyük észre, hogy a (2.99) alapján a (2.94) alakú kezdeti feltételt leíró függvény integráljára π u 0 (x)dx = e βx2 dx = β. R R 37

39 Ezért az β u 0 (x) = π e βx2, x R (2.107) kezdeti függvény esetén (2.79)-(2.107) egy olyan feladat, amelynek kezdeti eloszlásának integrálja egy, és a megoldása u(x, t) = 1 e x 2 4κt+1/β. (2.108) 4κπt + π/β Ha az x = 0 helyett valamely tetszőleges x = x pontra koncentrált Gauss-féle eloszlást tekintjük kezdeti függvényként, azaz β u 0 (x, x) = e β(x x)2, x R, (2.109) π akkor a hozzátartozó megoldás u(x, t, x) = 1 e (x x) 2 4κt+1/β (2.110) 4κπt + π/β alakú. A kezdeti függvények haranggörbéinek magasságát a β paraméter szabályozza: pozitív β esetén a maximumát az x = x pontban veszi fel, és az értéke β/π. Tekintsük a kezdeti függvények és a hozzátartozó megoldások sorozatát β esetén! Ekkor minden rögzített x x esetén a kezdeti függvények sorozata nullához, az x = x pontban pedig a + -be tart, azaz a határfüggvény egy olyan δ(x) függvény, amelyre { +, x = x δ(x) = 0, x x, (2.111) és integrálja egy. 14 Ugyanakkor a (2.110) megoldások sorozata β esetén a G(x, t, x) = 1 e (x x) 2 4κt (2.112) 4κπt alakú függvényhez tart. Ezt a függvényt a (2.79) hővezetési egyenlet Green-függvényének nevezzük. Mint látható, a Green-függvény is egy csökkenő Gauss-típusú eloszlásfüggvény, és egy pontszerű kezdeti állapot időben való terjedését írja le. 14 Ezt a függvényt az irodalomban Dirac-delta függvénynek szokásos nevezni. (Paul Adrien Maurice Dirac ( ) brit Nobel-díjas fizikus, a kvantummechanika egyik megalapozója.) Az ilyen típusú függvényt általánosított függvénynek, más szóval disztribúciónak nevezzük. Ez durván azt jelenti, hogy csak egy integrál részeként értelmezzük, mégpedig amely minden alkalmasan megválasztott ϕ(x) függvény esetén az δ(x)ϕ(x) dx = ϕ( x) tulajdonsággal rendelkezik. A disztribúciók részletes tárgyalása R nem képezi a könyv tárgyát, az érdeklődőknek javasoljuk a [12] könyvet. 38

40 2.3. Megjegyzés Tehát a G(x, t, x) függvény értéke egy adott helyen azt mutatja meg, hogy az x pontbeli kezdeti inhomogenitás időben (és térben) hogyan terjed. (Például, ha egy ideális folyadékba egy pontban tintát cseppentünk.) A Green-függvény alakjából láthatjuk, hogy a kezdeti pontszerű függvény értéke tetszőlegesen t > 0 esetén is nem nulla bármelyik x x, x R pontban. Mivel a kezdeti függvény ebben a pontban nulla, ezért ez azt jelenti, az x nem nulla kezdeti értéke bármelyik x R pontban megváltoztatja a kezdeti nulla értéket, azaz a terjedési sebesség ezen modellben végtelen. Tetszőleges kezdeti függvények esetén a megoldás a Green-függvény segítségével közvetlenül meghatározható. Mivel a Green függvény a rögzített x R pontszerű (és integrál-értelemben egységnyi) kezdeti függvényhez tartozó megoldás, ezért az általános alakú u 0 (x) kezdeti függvény esetén minden pontban meghatározzuk a hatását, és az eredményeket összegezzük. Ezért a megoldást a Green-függvény és a kezdeti függvény szorzata által definiált függvény integrálja, azaz 1 + u(x, t) = G(x, t, x)u 0 ( x)d x = e (x x) 2 4κt u0 ( x)d x (2.113) 4κπt R alakban áll állítható elő. A (2.113) összefüggést Poisson-féle képletnek 15 is szokásos nevezni. Vegyük észre, hogy az u(x, t) függvény nem más, mint a Ĝ(x, t) = 1 4κπt e x2 4κt (2.114) és az u 0 (x) függvények konvolúciója. 16 Könnyen ellenőrizhető, hogy a kielégíti a (2.79) hővezetési egyenletet, továbbá, hogy Ĝ(x, t) függvény lim t 0+0 Ĝ(x, t) = lim x± Ĝ(x, t) = 0. A fenti Ĝ függvényt alapmegoldásnak is szokás nevezni. Tehát a kezdetiérték-feladat megoldása előállítható az alapmegoldás és a kezdeti függvény konvolúciójaként. A szakasz befejezéseként röviden áttekintjük az u t + au x = 0, x R, t > 0 (2.115) egyenlet u(x, 0) = u 0 (x), x R (2.116) 15 Siméon Denis Poisson ( ), francia matematikus, geométer és fizikus. 16 A (, ) intervallumon értelmezett f és g integrálható függvények konvolúcióján az (f g)(x) = f(s)g(x s) ds integrált értjük. A konvolúciónak széles körű alkalmazásai vannak a valószínűségszámításban, a Fourier-sorok és a parciális differenciálegyenletek elméletében. 39

41 kezdeti feltétel melletti megoldásának előállítását a Fourier-transzformáció segítségével: A (2.88) és a (2.89) összefüggések alapján az u t (x, t) függvény Fourier-transzformáltja önmaga, míg u x (x, t) függvényé az iξû(ξ, t) függvény. Ezért a (2.115) egyenlet Fouriertranszformációjával az û t (ξ, t) = iξaû(ξ, t), ξ R, t > 0 (2.117) elsőrendű, közönséges differenciálegyenletet kapjuk. Ezért û(ξ, t) = e iξat û(ξ, 0). (2.118) Mivel û(ξ, 0) = û 0 (ξ) a (2.92) alapján meghatározható, ezért az inverz Fouriertranszformáció felhasználásával a megoldás közvetlenül előállítható: u(x, t) = 1 2π R e iξat û 0 (ξ)e iξx dξ = 1 2π R û 0 (ξ)e iξ(x at) dξ = u 0 (x at). (2.119) (Az utolsó egyenlőség abból adódik, hogy az integrál nem más, mint az û 0 függvény inverz Fourier-transzformáltja az x at pontban.) 2.4. Megjegyzés Mint a (2.118) összefüggésből látható, û(ξ, t) = û 0 (ξ) minden t > 0 esetén. Ez azt jelenti, hogy a megoldás Fourier-komponense időben nem változik. A hővezetési egyenlet esetén más a helyzet: a (2.93) képlet következtében û(ξ, t) = e κξ2t û 0 (ξ) minden t > 0 esetén, azaz û(ξ, t) az időben exponenciálisan lecseng. A lecsengés sebessége függ a κ együtthatótól, illetve a ξ hullámszámtól. Ezért a magas frekvenciájú, erősen oszcilláló tagok (azaz amikor ξ 2 nagy) lényegesen gyorsabban lecsengenek, mint az alacsony frekvenciájúak. Ennek következtében a kezdeti függvény az időben kisimul. (Ezt szokásos parabolikus simításnak is nevezni.) 2.5. Megjegyzés Az előző megjegyzésből látható, hogy a κ konstans hővezetési együtthatóra célszerű kikötni a κ > 0 előjelfeltételt, bár a megoldás előállításánál ez nem volt szükséges. Ennek alapvető oka, hogy negatív κ esetén a megoldás Fourier-komponense az időben exponenciálisan nem lecsengő, hanem exponenciálisan növekedő lesz. Ez azt jelentené, hogy a magas frekvenciájú tagok (azaz amikor ξ 2 nagy) kinőnek, nevezetesen ξ esetén exponenciális sebességgel tart a végtelenhez. Ezért a kezdeti függvény bármilyen kis megváltozása (pl. kerekítési hibája) a megoldás ezen tagjaiban nem korlátos nagyságú megváltozást eredményez, azaz a feladat instabillá válik. Ennek eredményeként tehát a κ < 0 hővezetési együtthatójú feladat nem lesz korrekt kitűzésű. (Könyvünk a nem korrekt kitűzésű feladatokkal nem foglalkozik.) 40

42 A korlátos tartomány esete. A változók szétválasztásának módszere. Tekintsük a hővezetési egyenletet a térben egydimenziós, korlátos tartományon. Az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy x (0, 1), és így az egyenletet a (0, 1) (0, T ) (T ) tartományon vizsgáljuk. A korrekt kitűzéshez ekkor kezdeti- és peremfeltétel megadása egyaránt szükséges. Legyen t (0, T ) egy adott rögzített szám, és jelölje Ω t = (0, 1) (0, t ] R 2 -beli halmazt, ahol a megoldást keressük. Γ t pedig a t = 0, x = 0 és x = 1 egyenesekkel határolt ponthalmazt, azaz Γ t = Ω t \Ω t. A Γ t pontjait parabolikus peremnek nevezzük. Tekintsük tehát a továbbiakban Ω t pontjaiban a u t (x, t) 2 u x (x, t) = 0, (x, t) Ω 2 t (2.120) egyenletet a Γ t parabolikus peremen megadott kiegészítő ( kezdeti+perem ) feltételekkel: u(x, 0) = u 0 (x), x (0, 1); u(0, t) = u(1, t) = 0, t [0, t ]. (2.121) Ha u 0 = 0, akkor a feladat megoldása az u = 0 függvény. Ezért a továbbiakban feltesszük, hogy u 0 0, így a keresett megoldás u 0. Keressük a megoldást u(x, t) = X(x) T (t) (2.122) szétválasztható alakban, ahol X és T egyelőre ismeretlen, megfelelően sima függvények. 17 Behelyettesítve a (2.122) alakú u függvényt a (2.120) egyenletbe, a T (t) X(x) X (x) T (t) = 0, (x, t) Ω t (2.123) egyenletet nyerjük. Mivel X(x) T (t) 0, ezért (2.123) az X (x) X(x) = T (t) T (t), x (0, 1), t (0, t ) (2.124) azonosságot jelenti. A (2.124) tetszőleges x és t változóra érvényes, ami azt jelenti, hogy mindkét oldal állandó: valamely λ R szám mellett minden x (0, 1) és t (0, t ] esetén érvényes az X (x) X(x) = T (t) T (t) = λ (2.125) egyenlőség. Innen az 17 Szokásos Fourier-módszernek is nevezni ezt az eljárást. X (x) = λx(x), x (0, 1) (2.126) 41

43 egyenletet kapjuk. Másrészt, behelyettesítve a (2.122) alakot a (2.121) két peremfeltételébe, az X(0) = X(1) = 0 (2.127) feltételt kapjuk. Célunk tehát olyan λ R szám meghatározása, amely mellett a (2.126)- (2.127) feladatnak létezik a triviális X(x) = 0 függvénytől különböző megoldása. Mivel (2.126) egy állandó együtthatós, másodrendű közönséges differenciálegyenlet, ezért általános megoldását az s 2 + λ = 0 karakterisztikus egyenletének gyökeivel határozhatjuk meg. Ez a λ előjelének függvényében az alábbi esetekhez vezet. Tegyük fel, hogy λ < 0. Ekkor a karakterisztikus egyenlet gyökei valósak, és a (2.126) egyenlet általános megoldása X(x) = C 1 e λx + C 2 e λx. Mivel ekkor az X(0) = 0 feltétel a C 1 + C 2 = 0 egyenlőséget jelenti, ezért X(x) = C 1 (e ) λx e λx alakú. A másik, X(1) = 0 peremfeltételt ide behelyettesítve az X(1) = C 1 (e ) λ e λ = 0 feltételt kapjuk. Mivel e λ > e λ, ezért a fenti egyenlőség csak C 1 = 0 esetén lehetséges, ami az X(x) = 0 megoldást eredményezi. Mivel ez nem megengedett, ezért ez az eset nem lehetséges. Tegyük fel, hogy λ = 0. Ekkor a (2.126) egyenlet X (x) = 0 alakú, így az általános megoldása X(x) = C 1 x + C 2. Erre a függvényre, amelynek képe egy egyenes, a (2.127) feltétel csak C 1 = C 2 = 0 esetén lehetséges. Ez viszont szintén a nem megengedett X(x) = 0 triviális megoldáshoz vezet. Tegyük fel, hogy λ > 0. Ekkor a karakterisztikus egyenlet gyökei ±i λ. Így a (2.126) egyenlet általános megoldása X(x) = C 1 sin( λx) + C 2 cos( λx). Az X(0) = 0 feltétel miatt C 2 = 0. Tehát az X(1) = 0 feltétel az C 1 sin λ = 0 feltételt jelenti. Mivel C 1 0, ezért ez a λ = kπ (k = 1, 2,...) feltételt jelenti, azaz a lehetséges λ értékekre a értékeket kapjuk. Tehát az λ k = k 2 π 2, k = 1, 2,... (2.128) X k (x) = C k 1 sin kπx, k = 1, 2,... (2.129) függvények tetszőleges C1 k (2.126)-(2.127) feladatnak. állandók mellett megoldásai a λ = λ k megválasztású 42

44 Térjünk át a T (t) függvény meghatározására! A (2.125) egyenlőség felhasználásával a T (t) = λt (t), t (0, t ] (2.130) egyenletet kapjuk, ahol (2.128) alapján λ = λ k = k 2 π 2. Az egyenlet általános megoldása T k (t) = C k 2 e λ kt, (2.131) ahol C2 k tetszőleges állandó. Tehát a (2.129) és a (2.131) képletekkel azt kapjuk, hogy minden k = 1, 2,... esetén tetszőleges C k állandó mellett az u k (x, t) = X k (x)t k (t) = C k e k2 π 2t sin(kπx) (2.132) függvények olyan függvények, amelyek megoldásai a (2.120) egyenletnek, és kielégítik a (2.121) mindkét (homogén) peremfeltételét. Tegyük fel, hogy a k=1 u k(x, t) függvénysor egyenletesen konvergens! Ekkor az u(x, t) = u k (x, t) (2.133) k=1 függvény is rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal. Válasszuk meg a tetszőleges C k állandókat úgy, hogy a (2.121) kezdeti feltétele is teljesüljön erre az u függvényre! A (2.133) és a (2.132) képletek alapján u(x, 0) = Ugyanakkor a u 0 (x) függvény Fourier-sora alakú, ahol u 0 (x) = u k 0 = C k sin(kπx). (2.134) k=1 u k 0 sin(kπx) (2.135) k=1 A (2.134) és a (2.135) képletek összevetéséből tehát Összegezve: az u(x, t) = u 0 (s) sin(kπs) ds. (2.136) C k = u k 0. (2.137) u k 0e k2 π 2t sin kπx (2.138) k=1 függvénysorral definiált u(x, t) függvény - a függvénysor egyenletes konvergenciája esetén - megoldása a (2.120)-(2.121) feladatnak. 43

45 2.6. Megjegyzés Hogyan biztosítható a (2.138) függvénysor egyenletes konvergenciája? Megmutatható ([13]), hogy ha u 0 folytonosan differenciálható, valamint u 0 (0) = u 0 (1) = 0, akkor az egyenletes konvergencia érvényes Megjegyzés A fenti megoldás segítségével a U(x, t) t 2 U(x, t) x 2 = 0, (x, t) Ω t (2.139) U(x, 0) = U 0 (x), x (0, 1); U(0, t) = α, u(1, t) = β, t [0, t ] (2.140) (ahol α és β adott állandók) inhomogén feladat megoldása is könnyen előállítható hasonló végtelen függvénysor alakjában. Jelölje ugyanis ũ(x, t) = α(1 x) + βx, x [0, 1] (2.141) ismert függvényt. Ekkor az u = U ũ függvény megoldása lesz a (2.120)-(2.121) feladatnak, ahol u 0 (x) = U 0 (x) (α(1 x) + βx). Ezért ennek a függvénynek a (2.136) képlet szerinti Fourier-együtthatóival előállított (2.138) függvénysora meghatározza az u függvényt, és ennek ismeretében az ismeretlen függvényt kiszámolhatjuk az U = u + ũ összefüggésből. Az előzőekben tehát megmutattuk, hogy a (2.79)-(2.80) feladat megoldása a (2.113) Poisson-képlet segítségével, míg a (2.120)-(2.121) feladat megoldása pedig a (2.138) függvénysor segítségével állítható elő. Ugyanakkor ezek a megoldások többnyire csak formálisnak tekinthetők, a gyakorlatban nem, vagy csak nagyon speciális esetben alkalmazhatók egy konkrét feladat megoldására. (Mivel a (2.113) képletben egy végtelen tartományon vett improprius integrál, a (2.138) képletben pedig egy végtelen függvénysor összegének meghatározása szükséges.) További probléma, hogy mindkét megoldást csak a tárgyalt speciális feladatosztályra tudjuk alkalmazni, azaz például κ = κ(x) nem állandó hővezetési együttható esetén nem működnek. Mindez azt motiválja, hogy ezen feladatok megoldására valamilyen közelítő eljárást, azaz numerikus módszert célszerű alkalmazni. Könyvünk tárgya a közönséges differenciálegyenletek (illetve a közönséges differenciálegyenlet-rendszerek) numerikus megoldása. Ezért célunk, hogy a fenti parciális differenciálegyenletekből ilyen feladatot konstruáljunk. Nemkorlátos térbeli tartomány esetén a Fourier-transzformáció segítségével a (2.91)- (2.92) közönséges differenciálegyenlet elsőrendű Cauchy-feladatát nyerjük az ismeretlen megoldásfüggvény Fourier-transzformáltjára, amelynek megoldása formálisan közvetlenül előállítható. Ugyanakkor a kezdeti érték meghatározásához egy nehezen realizálható 18 Valójában u 0 simaságára elégséges a [0, 1] intervallumon való folytonosság, valamint a (0, 1) intervallumon való szakoszonkénti folytonosan differenciálhatóság is. 44

46 integrál meghatározása szükséges, valamint egy inverz Fourier-transzformáció numerikus realizálása. Könyvünkben ezt az esetet nem részletezzük, az érdeklődőknek javasoljuk a [10] könyvet. A továbbiakban a korlátos térbeli tartomány esetével foglalkozunk részletesebben A korlátos térbeli tartományon kitűzött hővezetési egyenlet és szemidiszkretizációjának tulajdonságai Tekintsük a továbbiakban Ω t pontjaiban a egyenletet a Γ t u t (x, t) 2 u x (x, t) = 0, (x, t) Ω 2 t (2.142) parabolikus peremen megadott u(x, 0) = u 0 (x), x (0, 1); u(0, t) = α, u(1, t) = β, t [0, t ] (2.143) feltételekkel. Mint láttuk, ennek a feladatnak létezik megoldása, amely a 2.7. megjegyzés szerint előállítható. Ugyanakkor felmerülhet a kérdés: nem létezik-e a (2.142)-(2.143) feladatnak ettől eltérő más megoldása is? Milyen tulajdonságai vannak a megoldásnak? Érzékeny-e a megoldás a bemenő adatokra? A következőkben ezzel foglalkozunk. A korlátos térbeli tartományon kitűzött hővezetési egyenlet korrekt kitűzése Vizsgálatunkat egy alapvető fontosságú lemmával kezdjük Lemma Tegyük fel, hogy a w(x, t) függvény az Ω t halmazon kielégíti a (2.142) egyenletet, és folytonos az Ω t halmazon. Ekkor teljesül rá az ún. parabolikus maximumminimum elv: a függvény a legnagyobb és legkisebb értékét felveszi a Γ t parabolikus peremen. Bizonyítás. Tehát belátandók a max Ω t w(x, t) = max w(x, t), Γ t min Ω t w(x, t) = min w(x, t) (2.144) Γ t állítások. Jelölje M = max Γt w(x, t). Indirekt módon tegyük fel, hogy létezik olyan (x 0, t 0 ) Ω t \ Γ t pont, amelyre w(x 0, t 0 ) = µ > M. (2.145) Vezessük be a v(x, t) = w(x, t) + µ M 2t (t 0 t) (2.146) 45

47 függvényt! Ha (x, t) Γ t, akkor v(x, t) M + µ M 2 = µ + M 2 < µ. Mivel v(x 0, t 0 ) = w(x 0, t 0 ) = µ, ezért az Ω t zárt halmazon folytonos függvény a maximumát nem veheti fel a Γ t parabolikus peremen. Ezért, ha max Ωt v(x, t) = v(x 1, t 1 ), akkor (x 1, t 1 ) / Γ t, azaz x 1 (0, 1) és t 1 (0, t ]. Mivel a v függvény simasága megegyezik w függvény simaságával, ezért ebben az (x 1, t 1 ) pontban létezik t szerinti első, illetve x szerinti második deriváltja is. Vizsgáljuk meg ezek előjelét! Ha t 1 = t, akkor a v(x 1, t) függvény a t 1 pontban nem csökken, hiszen ebben a pontban maximum van. Ezért a v függvény t-szerinti parciális deriváltja nemnegatív az (x 1, t 1 ) pontban. Ha t 1 < t, akkor v(x 1, t) függvénynek a t = t 1 pontban lokális maximuma van, azaz a v függvény t-szerinti parciális deriváltja az (x 1, t 1 ) pontban nulla. Mindkét fenti esetben a v(x, t 1 ) függvénynek az x = x 1 pont belső pontja, és itt lokális maximuma van. Ezért tehát a v függvény x-szerinti 2. parciális deriváltja az (x 1, t 1 ) pontban nempozitív. Így tehát összefoglalóan v t (x 1, t 1 ) 0, 2 v x 2 (x 1, t 1 ) 0, azaz v t (x 1, t 1 ) 2 v x (x 1, t 2 1 ) 0. (2.147) Másrészt, a v függvény a (2.146) szerinti definiciója alapján v t (x, t) 2 v w (x, t) = x2 t (x, t) 2 w µ M (x, t) < 0 (2.148) x2 2t minden (x, t) pontra, amely nem a parabolikus peremen helyezkedik el. Ez viszont ellentmond a (2.147) tulajdonságnak, hiszen (x 1, t 1 ) / Γ t. Tehát a (2.145) indirekt feltevésünk nem érvényes, és ezzel beláttuk a (2.144) állításunk első részét. A második (minimumra vonatkozó) állítás közvetlen adódik az maximumra vonatkozó állítás w(x, t) függvényre történő alkalmazásával. A lemma állítása alapján tehát a (2.142) egyenletet kielégítő, az Ω t halmazon folytonos w(x, t) függvényre alsó és felső becslés adható a parabolikus peremen felvett értékei segítségével. Nevezetesen, érvényes a min Γ t w(x, t) w(x, t) max w(x, t), (x, t) Ω t (2.149) Γ t 46

48 becslés. A 2.8. lemmának több fontos következménye is van. Ugyanis 2.9. Következmény A vizsgált (2.142)-(2.143) feladatnak csak egy megoldása van. Tegyük fel, hogy az u 1 (x, t) és u 2 (x, t) függvények egyaránt megoldásai a feladatnak, és u 1 u 2. Ekkor a w(x, t) = u 1 (x, t) u 2 (x, t) nem az azonosan nulla függvény kielégíti a (2.142) egyenletet, és emellett a Γ t parabolikus peremen azonosan nulla. Ezért a lemma értelmében 0 = min Γ t w(x, t) w(x, t) max w(x, t) = 0 Γ t minden (x, t) Ω t pontban, azaz w(x, t) = 0 az Ω t halmazon, ami ellentmondás, így az állításunk igaz Következmény A vizsgált (2.142)-(2.143) feladatra érvényes a nemnegativitás: a nemnegatív bemenő adatokhoz tartozó megoldások is nemnegatívak, azaz u 0 (x) 0, α, β 0 esetén u(x, t) 0. Ez az állítás közvetlenül nyerhető a lemmából a min Γt u(x, t) 0 egyenlőtlenség alapján Következmény A vizsgált (2.142)-(2.143) feladatra érvényes a monotonitás: a nem kisebb bemenő adatokhoz tartozó megoldások is nem kisebbek. Legyenek ugyanis az i = 1, 2 indexekre az u i (x, t) függvények a (2.142) egyenlet megoldásai az u i (x, 0) = u i 0(x), x (0, 1); u i (0, t) = α i, u i (1, t) = β i kiegészítő feltételekkel, és tegyük fel, hogy u 1 0(x) u 2 0(x), α 1 α 2 és β 1 β 2. Ekkor a w(x, t) = u 1 (x, t) u 2 (x, t) függvény egyrészt szintén kielégíti a (2.142) egyenletet, másrészt pedig w(x, 0) 0, w(0, t) 0 és w(1, t) 0. Ezért állításunk a nemnegativitásra vonatkozó megjegyzés közvetlen következménye Következmény A (2.142)-(2.143) feladat stabil kitűzésű a maximumnormában: a bemenő adatok (azaz u 0, α és β) kis megváltoztatása a megoldást is csak kicsit változtatja meg a maximumnormában. Ugyanis, ha (2.143) helyett a ũ(x, 0) = ũ 0 (x), x (0, 1); ũ(0, t) = α, ũ(1, t) = β, t [0, t ] feltételekkel oldjuk meg a (2.142) egyenletet, akkor a 2.8. lemma alapján azaz min(u(x, t) ũ(x, t)) u(x, t) ũ(x, t) max(u(x, t) ũ(x, t)), Γ t Γ t max Γ t ( (u(x, t) ũ(x, t))) u(x, t) ũ(x, t) max(u(x, t) ũ(x, t)). Γ t Ebből már közvetlenül adódik a kívánt becslés. u ũ C(Ω) u ũ C(Γt ) (2.150) 47

49 Tehát a (2.142)-(2.143) feladatnak a 2.7. megjegyzés alapján létezik megoldása (egzisztencia); a 2.9. megjegyzés alapján ez a megoldás egyetlen (unicitás); a megjegyzés alapján ez a megoldás a maximumnormában folytonosan függ a bemenő adatoktól (stabilitás). Ezért ez a feladat korrekt kitűzésű. A hővezetési egyenlet szemidiszkretizációja Az előzőekben beláttuk, hogy a (2.142)-(2.143) feladat korrekt kitűzésű, azaz létezik egyetlen, a bemenő adatoktól folytonosan függő megoldása. A megoldás előállítására ugyan megadtunk egy eljárást, a 2.7. megjegyzésben,de ez az előállítás a gyakorlatban nem hatékony, és általában pontosan nem is határozható meg, továbbá, hogy egy általánosabb feladatosztályon nem is alkalmazható. Ezért numerikus módszert választunk, amelynek lényege hogy két lépésben a folytonos feladatot diszkrét feladatok sorozatára vezetjük vissza. Ez a két lépés az alábbiakból áll: Első lépésben térbeli diszkretizációt hajtunk végre, amelynek eredményeként időben folytonos közönséges differenciálegyenlet-rendszerek Cauchy-feladatainak sorozatát kapjuk. Második lépésben a fenti Cauchy-feladatokat időben diszkretizáljuk, és numerikusan megoldva előállítjuk a térben és időben egyaránt diszkretizált megoldást. Ebben a szakaszban az első lépéssel foglalkozunk részletesebben, hiszen a további fejezetek kizárólag majd a második lépésről szólnak. Ez az első lépés az ún. szemidiszkretizáció, amely a (2.142)-(2.143) feladat esetén a következő lépések sorozatát jelenti. Kijelölünk a [0, 1] intervallumon egy ω h = {x j = jh, h = 1/(N + 1), j = 0, 1,..., N + 1} rácshálót, ahol N egy adott természetes szám. Mindegyik x j csomóponthoz hozzárendelünk egy y j (t) függvényt, amelyről azt szeretnénk, hogy a (2.142)-(2.143) feladat megoldásának jó közelítése legyen az x j pontban, azaz y j (t) u(x j, t). A vizsgált feladatból kiindulva megadjuk azt a szabályt, amely alapján meghatározhatók a fenti elvárásnak eleget tevő y j (t) függvények. 48

50 Ezt a módszert az egyenesek módszerének (method of lines, MOL) szokásos nevezni. A (2.143) peremfeltételei alapján az N + 1 darab ismeretlen függvény közül az x 0 = 0 és az x N+1 = 1 pontokhoz tartozó függvényeket pontosan ismerjük, azaz t [0, t ] esetén y 0 (t) = u(0, t) = α, y N+1 (t) = u(1, t) = β. (2.151) Másrészt, ugyancsak a (2.143)-beli kezdeti feltétele alapján minden rácspontban ismerjük a t = 0 értékhez tartozó pontos értéket, azaz Írjuk fel a (2.142) egyenletet az x = x j pontban: y j (0) = u 0 (x j ), j = 1, 2,... N. (2.152) u t (x j, t) 2 u x (x j, t) = 0, t [0, t ], j = 1, 2,..., N. (2.153) 2 Ezért, ha y j (t) jó közelítése az u(x j, t) függvénynek, akkor a jól ismert véges differenciás közelítésekkel u t (x j, t) y j(t) 2 u x (x j, t) y j+1(t) 2y j (t) + y j 1 (t) 2 h 2 approximációkat eredményezi. Ezek alapján tehát az az elvárásunk, hogy az y j (t) ismeretlen függvények megoldásai legyenek az y j(t) y j+1(t) 2y j (t) + y j 1 (t) h 2 = 0, t [0, t ], y j (0) = u 0 (x j ) (2.154) (ahol j = 1, 2,..., N, y 0 (t) és y N+1 (t) adottak) közönséges differenciálegyenlet-rendszer Cauchy feladatának. Ekkor az y h : [0, t ] R N, y j koordináta-függvényű ismeretlenre a (2.154) feladat felírható alakban, ahol y h(t) A h y h (t) = f h (t), t [0, t ], y h (0) = u 0,h (2.155) A h = 1 h 2 tridiag[1, 2, 1] RN N, f h (t) = 1 h 2 [α, 0,..., 0, β]t R N, u 0,h = [u 0 (x 1 ), u 0 (x 2 ),..., u 0 (x N )] T R N. (2.156) 49

51 Alkalmazva a szokásos exp(ta h ) = I + ta h + t2 2! A2 h + + tn n! An h +... (2.157) azonosságot, a (2.155) Cauchy-feladat megoldása felírható az alakban. 19 y h (t) = exp(ta h )u 0,h + t A szemidiszkretizációs mátrixsereg tulajdonságai A (2.120)-(2.121) feladat felírható 0 exp((t s)a h )f h (s) ds (2.158) u t (x, t) (Au)(x, t) = 0, u(x, 0) = u 0(x) (2.159) alakban, ahol A egy olyan operátor, amely az olyan, megfelelően sima w(x, t) függvényeken van értelmezve, amelyek az x = 0 és az x = 1 pontokban nulla értéket vesznek fel, és (Aw)(x, t) = 2 w (x, t). (2.160) x2 Összevetve a fenti (2.159) feladatot a szemidiszkretizáció (2.155) alakjával, természetes elvárás, hogy az A h mátrixsereg kis h esetén jól közelítse az A operátort. A továbbiakban A h mátrix ezen approximációs viselkedését, illetve néhány további tulajdonságát vizsgáljuk. Először a spektrum approximációjával foglalkozunk. Arra keressük a választ, hogy az A h mátrix sajátértékei és sajátvektorai vajon jól közelítik-e az A operátor sajátértékeit és sajátvektorait. A változók szétválasztásának módszerével már korábban megmutattuk, hogy az A operátor sajátértékei és sajátvektorai λ k (A) = λ k = k 2 π 2, u A k (x) = u k (x) = sin(kπx), k = 1, 2,... (2.161) alakúak. Határozzuk meg az A h R N N mátrix sajátértékeit és sajátvektorait! Legyenek v j (j = 0, 1,..., N + 1) olyan számok, amelyekre v 0 = v N+1 = 0, és valamely λ (h) R valós szám mellett teljesülnek a v j 1 2v j + v j+1 h 2 = λ (h) v j, j = 1, 2,..., N 19 Egy vektorértékű függvény integrálján azt a vektort értjük, amelynek koordinátái a koordinátafüggvények integráljai. 50

52 egyenlőségek. Ekkor nyilvánvalóan a v (h) = [v 1, v 2,..., v N ] T R N vektor sajátvektora az A h mátrixnak a λ (h) sajátértékkel. A fenti feltételek ekvivalensek a v j 1 2( λ (h) h 2 )v j + v j+1 = 0, j = 1, 2,..., N (2.162) lineáris algebrai egyenletrendszer megoldásával, ahol v 0 = v N+1 = 0 adottak. Keressük a (2.162) megoldását a v j = sin(γx j ) = sin(γjh) (j = 0, 1,..., N + 1) alakban, ahol γ egyelőre ismeretlen valós szám. Helyettesítsük be ezt az alakot az egyenletrendszerbe, és használjuk fel a nyilvánvaló v j 1 + v j+1 = sin(γ(j 1)h) + sin(γ(j + 1)h) = 2 sin(γjh) cos(γh) összefüggést! Ekkor a (2.162) feladatból a 2 [ cos(γh) ( λ (h) h 2 ) ] v j = 0, j = 1, 2,..., N (2.163) feladatot kapjuk. Mivel mindegyik v j nem lehet nulla, ezért tehát cos(γh) ( λ (h) h 2 ) = 0, azaz λ (h) = 1 + cos(γh) 0.5h 2 = 2 h 2 (1 cos(γh)) = 4 h 2 sin2 γh 2. (2.164) A tetszőleges γ paramétert úgy kell megválasztani, hogy a v 0 = v N+1 = 0 feltételek is teljesüljenek v j fenti előállításában. A v 0 = sin(0γ) = 0 egyenlőség minden γ esetén igaz. Mivel v N+1 = sin(γx N+1 ) = sin(γ1) = sin γ = 0, ezért tehát a megfelelő paraméterválasztás γ = γ k = kπ, ahol k = 1, 2,.... Így az A h N N-es mátrix sajátértékei a következők: λ (h) k Az A h mátrix λ (h) k j-edik koordinátája ( = 4 kπh sin2 h2 2 = 4 πx h 2 sin2 k, k = 1, 2,..., N. (2.165) 2 sajátértékéhez tartozó sajátvektora az a v (h) k v (h) k ) j R N vektor, amelynek = sin(kπjh) = sin(kπx j ), j = 1, 2,..., N. (2.166) A (2.165) összefüggés alapján beláthatóak az A h mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak néhány fontos tulajdonsága. 1. Tetszőleges N esetén λ (h) k < 0 és értékei k-ban szigorúan monoton csökkennek. (Ez közvetlenül leolvasható a képletből.) 2. Mivel az előző monotonitási tulajdonság alapján λ (h) max = λ (h) 1, ezért a mátrix maximális sajátértékének elhelyezkedésére becslés adható. Nevezetesen, bevezetve a 51

53 ς = πh/2 jelölést, λ (h) max = π 2 (sin ς/ς) 2 alakot ölti, ahol a h 0.5 természetes feltételezés következtében ς (0, π/4]. Innen közvetlenül nyerjük a becslést. 20 π 2 λ (h) max π 2 (sin ς/ς) 2 ς=π/4 = 8 (2.167) 3. Az előző tulajdonság alapján λ (h) max ( π 2, 8), ezért tetszőleges h > 0 esetén az A h mátrix minden sajátértéke a negatív valós tengelyen helyezkedik el, és a nulla nem sajátértéke. Ezért az A h mátrixok mindegyike reguláris. 4. Vizsgáljuk meg a sajátvektor approximácós tulajdonságát! Mivel az x = x j pontban az A operátor sajátfüggvénye u k (x j ) = sin(kπx j ) (ld. (2.161)), ezt összevetve az A h mátrix v (h) k k-adik sajátvektorának j-edik koordinátájával (ld. (2.166)), jól látható a sajátvektorok approximációja. 5. Mivel lim h 0 λ(h) k = lim 4 πkh sin2 h 0 h2 2 = lim s 0 sin 2 πks s 2 = k 2 π 2 = λ k, (2.168) ezért tehát h 0 esetén A h mátrix k-adik sajátértéke tart az A differenciáloperátor k-adik sajátértékéhez. (Tehát λ (h) max a ( π 2, 8) intervallumon jobbról tart az A operátor π 2 maximális sajátértékéhez.) 6. Az A h mátrix negatív definit. Ez a tulajdonság közvetlenül adódik abból az ismert lineáris algebrai állításból, hogy egy szimmetrikus valós mátrix pontosan akkor pozitív definit, amikor minden sajátértéke pozitív. (Pl. [16].) Vizsgáljuk meg a (2.155) állandó együtthatós lineáris közönséges differenciálegyenlet-rendszer merevségét! Az A h mindegyik sajátértéke valós és negatív. Így a definíció alapján a rendszer merevségi mutatója S(h) = λ(h) N λ (h) 1 (2.169) 20 Felhasználtuk, hogy a h(ς) = sin ς/ς függvény a (0, π/4] intervallumon szigorúan monoton csökken, tehát maximumát a ς = π/4 pontban veszi fel. Emellett, lim ς 0 h(ς) = Ez a jól ismert tétel közvetlenül belátható. Tetszőleges B szimmetrikus mátrix sajátértékei valósak, valamint a sajátvektorai ortogonálisak, ezért a sajátvektoraiból álló Q mátrix ortogonális (azaz QQ T = I), és B = QΛQ T. Ezért tetszőleges v vektor esetén (Bv, v) = (QΛQ T v, v) = (ΛQ T v, Q T v) = (Λy, y) az y = Q T v jelöléssel. Ez utóbbi pedig az állításunkat igazolja. 52

54 Figyelembe véve a sajátértékek (2.165) értékeit, ekkor ( ) 2 S(h) = sin2 (πnh/2) sin(1 h)π/2 sin 2 = = (πh/2) sin(πh/2) ( ) 2 cos(πh/2) = ctg 2 (πh/2). sin(πh/2) (2.170) Ezért tehát S(h) = O(1/h 2 ) Ez azt jelenti, hogy a (2.155) merev rendszert alkot, és így a numerikus megoldása, azaz a teljes diszkretizáció előállítása, speciális eljárást igényel. 8. Mivel a szimmetrikus A h R N N mátrix negatív definit, így a v (h) k R N (k = 1, 2,..., N) a (2.166) alakú sajátvektor-rendszere ortogonális bázist alkot R N -ben. Ezért a skaláris szorzatukra { (v (h) j, v (h) k ) = 0 amikor j k; v (h) k 2 2, amikor j = k, (2.171) és v (h) k 2 2 = N j=1 (v (h) k )2 j = N sin 2 (jkπh). Határozzuk meg v (h) k 2 2 értékét, azaz adjunk zárt képletet a N j=1 sin2 (jkπh) összegre! Megmutatható 23, hogy j=1 N cos(jx) = j=0 (N+1)x sin cos Nx 2 2 sin x 2. (2.172) 22 ctg x Ez a jól ismert és a L Hospital szabállyal könnyen belátható lim = 1 határértékből következik. x 0 1/x N ( 23 A képlet belátásához alkalmazzuk a e ix ) j N = e ixj e i(n+1)x 1 = e ix = 1 j=0 j=0 (cos(n + 1)x 1) + i sin(n + 1)x összefüggést. Mivel e ixj = cos(jx) + i sin(jx), ezért tehát (cos x 1) + i sin x N (cos(n + 1)x 1) + i sin(n + 1)x cos(jx) = Re. Néhány elemi trigonometrikus azonosság fel- (cos x 1) + i sin x használásával az utolsó kifejezés a (2.172) összefüggést jelenti. alapján.) j=0 (Pfeil Tamás személyes közlése 53

55 Mivel sin 2 (jx) = (1 cos(2jx))/2, ezért felhasználva a (2.172) képletet, érvényes a N N sin 2 1 cos(2jx) (jx) = = N N cos(2jx) = 2 j=1 j=1 j=1 [ N 2 1 N ] cos(2jx) 1 = N + 1 sin(n + 1)x cos(nx) sin x j=0 (2.173) összefüggés. Helyettesítsük be a (2.173) képletbe az x = kπh értéket! Ekkor N j=1 sin 2 (jkπh) = N Mivel (N + 1)h = 1, ezért a (2.174) képlet alapján N j=1 sin 2 (jkπh) = N Ezért a sin(kπ) = 0 következtében N j=1 A (2.175) összefüggés alapján tehát sin(n + 1)kπh cos(nkπh). (2.174) 2 sin(kπh) sin(kπ) cos(nkπh). 2 sin(kπh) sin 2 (jkπh) = N + 1. (2.175) 2 v (h) k 2 2 = N + 1. (2.176) 2 9. Az exp(ta h ) mátrix elemei tetszőleges t 0 esetén nemnegatívak, azaz exp(ta h ) Megjegyzés Az utolsó tulajdonság igazolásához bizonyítsunk be egy általánosabb lemmát.(ld. pl. [2].) Lemma Legyen B egy tetszőleges mátrix. Ekkor exp(tb) 0 minden t 0 esetén, amikor a B mátrix főátlóján kívüli elemei nemnegatívak, azaz offdiag B 0. Bizonyítás. A szükségesség az exp(tb) mátrix (2.157) alakú előállításából közvetlenül látszik, ugyanis kis t értékek esetén az exp(tb) I + tb + O(t 2 ), így az exponenciális 54

56 mátrix diagonálison kívüli elemeinek előjelét a B mátrix ezen elemeinek előjele határozza meg. Az elégségesség belátásához vegyük észre, hogy valamely C és D mátrixok esetén exp t(c + D) = exp(tc) exp(td) pontosan akkor, amikor a C és D mátrixok kommutálnak, azaz C D = D C. 24 Mivel az I R N N egységmátrix és az A h mátrix nyilvánvalóan kommutálnak, ezért tetszőleges c R szám esetén exp(tb) = exp(t(ci + B) tci) = exp(t(ci + B)) exp( tci). (2.177) Az exp( tci) egy olyan diagonális mátrix, amelynek főátlójában az exp( tc) számok állnak, azaz exp( tci) = exp( tc)i. Ezért tehát tetszőleges c esetén exp( tci) 0. Válasszuk meg a c számot úgy, hogy B+cI 0 legyen. (Azaz legyen c max j=1,2,...,n B ii.) Ekkor exp(t(ci+b)) 0, hiszen a (2.157) típusú sorban minden elem nemnegatív. Ezért tehát (2.177) jobb oldalán lévő szorzatban mindkét mátrix nemnegatív, és ez a lemma állítását bizonyítja. Mivel (2.156) alapján offdiag A h 0, ezért a lemma alapján tetszőleges t 0 esetén érvényes az exp(ta h ) 0 (2.178) nemnegativitási tulajdonság. A szemidiszkretizáció approximációja Ebben a szakaszban először formálisan, majd precízen megmutatjuk, hogy a szemidiszkretizációval előállított megoldás a rácspontokban valóban jól közelíti a hővezetési egyenlet megoldását. Az általánosság megszorítása nélkül feltesszük, hogy α = β = 0, azaz a homogén peremfeltételű (2.120)-(2.121) feladat u(x, t) megoldására mutatjuk meg, hogy az x i ω h pontokban az u(x i, t) függvényt a megfelelő szemidiszkrét feladat megoldásának i-edik koordináta-függvénye jól közelíti. Emlékeztetőül: korábban megmutattuk (ld. (2.138)), hogy a (2.120)-(2.121) feladat megoldása felírható u(x, t) = u k 0e λkt u k (x) (2.179) k=1 alakban, ahol u k (x) = sin kπx, λ k = k 2 π 2 és u k 0 = u 0 (s) sin(kπs) ds. (2.180) 24 Ez az egyes exponenciálisok (2.157) alakú előállításából, majd a sorok összeszorzásával közvetlenül leolvasható. 55

57 A homogén peremfeltétel következtében f h (t) = 0, azaz a szemidiszkrét feladat (2.155) alapján y h(t) A h y h (t) = 0, t [0, t ], y h (0) = u 0,h (2.181) alakú, ahol a (2.156) jelöléseket használtuk. Bár ezen feladat megoldása felírható az y h (t) = exp(ta h )u 0,h (2.182) alakban, ennek kiszámolása a gyakorlatban nem lehetséges. Állítsuk elő a szemidiszkrét megoldást más, a gyakorlatban is realizálható alakban! Tetszőleges rögzített t [0, t ] pontban y h (t) R N. Mivel az A h mátrix v (h) k (k = 1, 2,..., N) sajátvektorai bázist alkotnak R N térben, ezért y h (t) = N k=1 c (h) k (t)v(h) k. (2.183) ahol c (h) k (t) ismeretlen függvények. Nyilvánvalóan ekkor y h(t) = N k=1 c (h) k (h) (t)v k. Behelyettesítve a fenti alakokat a (2.181) egyenletbe, az ismeretlen együtthatófüggvényre a tetszőleges t [0, t ] esetén a következő összefüggést kapjuk: 25 0 =y h(t) A h y h (t) = N c k(t)v k k=1 N k=1 ( c k (t) λ (h) k ( N N ) c k(t)v k A h c k (t)v k = k=1 N c k (t) (A h v k ) = k=1 v k ) = k=1 k=1 N c k(t)v k k=1 N ( c k(t) λ (h) k ) c k(t) v k. (2.184) Ezért tehát minden k = 1, 2,..., N esetén c k (t) λ(h) k c k(t) = 0, azaz c k (t) = e λ(h) k t c k (0), t [0, t ]. (2.185) Határozzuk meg a c k (0) értékeit! A (2.183) és a (2.181) feladat kezdeti feltétele alapján u 0,h = y h (0) = N c j (0)v j. j=1 25 A továbbiakban a könnyebb írásmód kedvéért elhagyjuk a (h) felsőindex jelölést a v (h) k a c (h) k (t) függvényre. 56 vektorra és

58 Ezt skalárisan megszorozva a v k a (2.176) összefüggést, a vektorral és felhasználva a bázis ortogonalitását és (u 0,h, v k ) = N j=1 c j (0)(v j, v k ) = c k (0)(v k, v k ) = N + 1 c k (0) 2 összefüggést kapjuk. Innen tehát Ezt behelyettesítve a (2.185) képletbe, a c k (0) = 2 N + 1 (u 0,h, v k ) = 2h(u 0,h, v k ). (2.186) c k (t) = e λ(h) k t 2h(u 0,h, v k ), t [0, t ] (2.187) összefüggést nyerjük. A (2.183) és a (2.187) képletek együttesen a szemidiszkrét megoldást eredményezik: y h (t) = N k=1 2h(u 0,h, v k )e λ(h) k t v k. (2.188) Célunk megmutatni, hogy megfelelően kis h esetén a (2.188) szerinti y h (t) vektorfüggvény j-edik koordinátafüggvénye jól közelíti a (2.179) megoldását az x = x j pontban, azaz az függvény jól közelíti a (y h (t)) j = N k=1 u(x j, t) = 2h(u 0,h, v k )e λ(h) k t (v k ) j (2.189) u k 0e λkt u k (x j ) (2.190) k=1 függvényt. Mivel (v k ) j = u k (x j ) = sin(kπjh), ezért a határátmenet formális elvégzésével látható ez a tulajdonság, ugyanis N lim y h(t) = lim h 0 h 0 k=1 ( lim 2h(u 0,h, v k ) h 0 k=1 } {{ } S 1 2h(u 0,h, v k )e λ(h) k t v k = ) ( lim Számítsuk ki a szummában lévő határértékeket! ) (h) h 0 eλ k t } {{ } S 2 ( ) lim v k h 0 }{{} S 3. (2.191) 57

59 Mivel (u 0,h, v k ) = N j=1 u 0(x j ) sin(kπx j ), ezért 2h(u 0,h, v k ) egy Riemann-féle közelítő összege a h lépésközű, ekvidisztáns felosztáson a 2 1 u 0 0(s) sin(kπs) ds integrálnak, azaz a (2.180) képlet alapján S 1 = u k 0. Az A h mátrix sajátértékeinek előzőekben megmutatott konvergenciája miatt lim h 0 e λ(h) k t = e λ kt, azaz S 2 = e λ kt. A konstrukcióból következően lim h 0 v k = u k (x), azaz S 3 = u k (x). Ezért (2.191) alapján lim h 0 y h (t) = k=1 uk 0e λ kt u k (x), ami a (2.179) képlet alapján a kivánt konvergenciát jelenti. A továbbiakban egy szigorú bizonyítást adunk a konvergenciára, és egyben becslést is adunk a konvergencia rendjére is! Tekintsük a következő elsőrendű, inhomogén jobb oldalú elsőrendű közönséges differenciálegyenlet-rendszert: w h(t) A h w h (t) = g h (t), t [0, t ], w h (0) = u 0,h, (2.192) és állítsuk elő a megoldását a homogén esetre alkalmazott módszerrel! Mivel minden rögzített t [0, t ] esetén g h (t) R N, ezért előállítható az g h (t) = N g k (t)v k (2.193) k=1 alakban. Ezt a kifejezést skalárisan megszorozva v j vektorral, az u 0,h felbontásához hasonlóan az ismeretlen együtthatófüggvényekre az g k (t) = 2h(g h (t), v k ) összefüggést kapjuk. (V.ö. a (2.186) képlettel.) Behelyettesítve a w h (t) (2.183) és g h (t) (2.193) alakját a (2.192) egyenletbe, (2.184) analógiájára tetszőleges t [0, t ] esetén a N ( ) c k(t) λ (h) k c k(t) g k (t) v k = 0 (2.194) k=1 egyenletet nyerjük. Így minden k = 1, 2,..., N esetén a c k (t) λ(h) k c k(t) = g k (t) egyenletet nyerjük, amelynek megoldása a c k (t) = e λ(h) k t c k (0) + t függvény. Tehát a (2.192 ) Cauchy-feladat megoldása 0 w h (t) = e λ(h) k (t s) g k (s) ds, t [0, t ] (2.195) N c k (t)v k, (2.196) k=1 58

60 ahol c k (t) a (2.195) szerinti együttható. (A c k (0) együtthatók a kezdeti függvény v k szerinti felbontásából, (2.186) alapján számíthatók ki.) Jelölje tetszőleges t [0, t ] esetén u h (t) a homogén peremfeltételű (2.120)-(2.121) feladat u(x, t) pontos megoldásának rácspontokban felvett értékét, azaz u h (t) = [u(x 1, t),..., u(x N, t)] T R N. Célunk a (2.181) homogén egyenlet y h (t) megoldásának és az u h (t) különbségének, azaz az e h (t) = y h (t) u h (t) ún. globális hibafüggvénynek a becslése. Jelölje l h (t) = u h(t) + A h u h (t) R N -be képező függvényt. (Ez az ún. lokális hibafüggvény.) Figyelembe véve a (2.192) egyenletet, ezen összefüggés alapján az e h (t) globális hibára a e h(t) A h e h (t) = l h (t), t [0, t ], e h (0) = 0, (2.197) egyenletet nyerjük. Ez egy (2.192) alakú közönséges differenciálegyenlet-rendszer, amelynek megoldása (2.196)-(2.195) alakú. Mivel e h (0) = 0, ezért a megoldásban mindegyik c k (0) = 0, és így a (2.197) feladat megoldása e h (t) = N ( t k=1 ahol l k (t) = 2h(l h (t), v k ). Tehát a maximumnormában 0 ) e λ(h) k (t s) l k (s) ds v k, t [0, t ], (2.198) 59

61 Mivel λ (h) max N ( t e h (t) = k=1 0 N t v k k=1 2h 2h N v k 2 k=1 N v k 2 k=1 ) e λ(h) k (t s) 2h(l h (s), v k ) ds v k 0 t e λ(h) k (t s) 2h (l h (s), v k ) ds 0 t 2h max l h (s) [0,t] 2h max [0,t] 2Nh max [0,t] 0 e λ(h) k (t s) l h (s) ds e λ(h) k s l h (t s) ds N k=1 e λ (h) maxt 1 l h (s) λ (h) max (1 e λ(h) maxt v k 2 t e λ(h) 0 N v k 2 k=1 1 e λ (h) maxt l h (s) ) λ (h) max maxs ds = max v k 2. k=1,...,n (2.199) ( π 2, 8), ezért / λ (h) max 1/8. Felhasználva továbbá a nyilvánvaló Nh < 1 és v k 1 egyenlőtlenségeket, (2.199) következtében érvényes az e h (t) 1 4 max [0,t ] l h(s), t [0, t ] (2.200) becslés. Tekintsük a l h (t) függvényt, és adjunk becslést a max [0,t ] l h (s) kifejezésre! Emlékeztetünk a (2.153) összefüggésre: tetszőleges x j ω h pontban érvényes a u t (x j, t) 2 u x (x j, t) = 0, t [0, t ], j = 1, 2,..., N (2.201) 2 egyenlőség. Másrészt, a lokális approximációs hiba definíciója alapján Felhasználva a (2.201) egyenlőséget, (l h (t)) j = (u h(t)) j + (A h u h (t)) j. (2.202) (u h(t)) j = u t (x j, t) = 2 u x 2 (x j, t). (2.203) 60

62 Ugyanakkor az A h mátrix definíciója következtében (A h u h (t)) j = u(x j+1, t) 2u(x j, t) + u(x j 1, t) h 2. (2.204) Ezért a (2.203) és a (2.204) összefüggések felhasználásával, a (2.202) kifejezés felírható (l h (t)) j = 2 u x 2 (x j, t) + u(x j+1, t) 2u(x j, t) + u(x j 1, t) h 2 (2.205) alakban. A második derivált véges differenciás approximációjának hibabecslése alapján (pl. [5]) u 2 x (x j, t) + u(x j+1, t) 2u(x j, t) + u(x j 1, t) 2 h 2 M 4 12 h2, (2.206) ahol M 4 = max 4 u Ω t (x, t) x4. Mindezek alapján érvényes a egyenlőtlenség, azaz (2.200) alapján max l h(s) M 4 [0,t ] 12 h2 e h (t) M 4 48 h2, t [0, t ], (2.207) azaz e h (t) = O(h 2 ), és így a szemidiszkretizáció megoldása másodrendben approximálja az eredeti feladat megoldását. Disszipativitás A korábbiakban megmutattuk, hogy a hővezetési egyenlet és annak szemidiszkretizációja egyaránt rendelkezik a nemnegativitás tulajdonsággal: mindkét feladat esetén nemnegatív bemenő adatok esetén a megoldás is nemnegatív. A továbbiakban egy további kvalitatív tulajdonságot, az ún. disszipativitást vizsgáljuk meg ugyanezen szempontból. 26 Tekintsük ismételten a egyenletet a parabolikus peremen megadott u t (x, t) 2 u (x, t) = 0, x (0, 1), t > 0 (2.208) x2 26 Ezt a részt elsősorban az érdeklődő Olvasónak szánjuk. u(x, 0) = u 0 (x), x (0, 1) (2.209) 61

63 kezdeti, és az u(0, t) = α, u(1, t) = β, t > 0 (2.210) peremfeltételekkel. (Mint láttuk, ennek a feladatnak létezik megoldása, amely a 2.7. megjegyzés szerint előállítható.) Általában, egy időfüggő feladatot disszipatívnak nevezünk, ha az azonos egyenletet és peremfeltételt kielégítő, de különböző kezdeti állapotból induló megoldások (négyzetes integrál értelemben vett) távolsága időben csökken Lemma A fenti (2.208)-(2.210) feladat disszipatív, azaz a (2.208) egyenlet bármely két olyan u(x, t) és v(x, t) megoldására, amelyek kielégítik a (2.210) peremfeltételeket, a 1 w(t) = 1 (u(x, t) v(x, t)) 2 dx (2.211) 2 0 ún. energiafüggvény monoton csökkenő. Bizonyítás. Tekintsük az η(x, t) = u(x, t) v(x, t) függvényt! Ekkor η t (x, t) = 2 η (x, t), x (0, 1), t > 0, x2 továbbá, η(0, t) = η(1, t) = 0 minden t > 0 esetén. Deriváljuk a (2.211) szerinti w függvényt! Ekkor az integrál és a derivált felcserélhetősége mellett érvényes a dw dt (t) = d dt η 2 η x 2 dx = 1 1 η 2 (x, t) dx = 1 2η η t dx = [ η η ] x=1 1 ( ) 2 η dx 0. x x=0 0 x }{{} =0 becslés, amely az állításunkat bizonyítja. 1 0 η η t dx = Most térjünk át a szemidiszkrét feladat hasonló tulajdonságának vizsgálatára! Tekintsük tehát az (2.212) y h(t) A h y h (t) = f h (t), t [0, ) (2.213) y h (0) = u 0,h (2.214) szemidiszkrét feladatot, ahol A h és f h (t) (2.156) szerint adottak. Legyenek v h (t) és w h (t) R N -beli vektorfüggvények a (2.213) egyenlet két megoldása, és jelölje w h (t) = 1 2 N j=1 ( v j h (t) wj h (t)) 2 dx (2.215) a diszkrét energia függvényt, ahol v j h (t) és wj h (t) a v(t) és w(t) függvények j-dik koordinátafüggvényei. A következő állítás a lemma diszkrét megfelelője. 62

64 2.16. Lemma A fenti (2.213) -(2.214) feladat disszipatív, azaz a (2.215) szerinti w h (t) függvény monoton csökkenő. Bizonyítás. Jelölje η h (t) = v h (t) w h (t) és (, ) az R N -beli szokásos skaláris szorzást! Ekkor w h (t) = 0.5(η h, η h )(t). Mivel (2.213) alapján η h(t) = A h η h (t), ezért dη h dt (t) = (η h, η h ) (t) = (A h η h, η h ) (t). (2.216) Mivel az A h mátrix negatív definit (lásd a fejezetben az A h mátrix 6. tulajdonságát), ezért (A h η h, η h ) (t) 0, ami az állításunkat igazolja. 63

65 3. fejezet Bevezetés a kezdetiérték-feladatok egylépéses numerikus módszereibe 3.1. Bevezetés az egylépéses módszerekbe Az előző részben felsorolt tételek a megoldás létezésére és annak egyértelműségére vonatkoztak. Általános esetben a megoldást nem tudjuk előállítani, ugyanis a közönséges differenciálegyenletek kezdetiérték-feladatainak megoldásai csak nagyon speciális f függvények esetén adhatók meg képletek segítségével. Ehelyett numerikus megoldást állítunk elő, ami azt jelenti, hogy az értelmezési tartományának egyes pontjaiban az ismeretlen megoldásfüggvény értékeit véges számú algoritmikus lépéssel közelítőleg határozzuk meg. A fejezet további részeiben ilyen eljárásokat ismertetünk. Ebben a részben az olyan típusú eljárásokkal foglalkozunk, ahol valamely rögzített időpontbeli közelítést az azt közvetlenül megelőző egy időpontbeli közelítés felhasználásával határozunk meg. Tehát a továbbiakban a célunk a du dt = f(t, u), t [0, T ], (3.1) u(0) = u 0 (3.2) feladat közelítő megoldása, ahol T > 0 olyan szám, amely mellett a (3.1) (3.2) feladatnak létezik egyértelmű, megfelelően sima megoldása a [0, T ] intervallumon. Tehát feladatunk az u(t) függvény közelítő meghatározása a [0, T ] intervallum véges számú pontjában 1. Ebben a részben olyan módszereket tárgyalunk, amelyekben egy új időpontbeli közelítő érték kiszámításához csak egy, a közvetlen azt megelőző diszkrét időpontbeli közelítő értéket használjuk fel. Az ilyen módszereket nevezzük egylépéses módszereknek. 1 Interpoláció segítségével ezután a [0, T ] intervallum tetszőleges pontjában kiszámítható a közelítés. 64

66 Taylor-sorba fejtéses módszer Ez az egyik legrégebben ismert módszer. A definíció alapján a (3.1) egyenlet u(t) megoldására érvényes az u (t) = f(t, u(t)), t [0, T ] (3.3) azonosság. Tegyük fel, hogy az f függvény analitikus, és így tetszőleges rendű parciális deriváltjai léteznek a Q T halmazon. Ekkor az u(t) megoldásfüggvény is analitikus, és ezért akárhányszor differenciálható [4, 17]. A láncszabály alkalmazásával rendre deriválva a (3.3) azonosságot a t [0, T ] pontban, a következő egyenlőségeket nyerjük: u (t ) =f(t, u(t )), u (t ) = 1 f(t, u(t )) + 2 f(t, u(t )) u (t ), u (t ) = 11 f(t, u(t )) f(t, u(t )) u (t )+ 22 f(t, u(t )) (u (t )) f(t, u(t )) u (t ). (3.4) Vegyük észre, hogy u(t ) ismeretében mindegyik derivált pontosan kiszámítható. (Megjegyezzük, hogy tetszőleges, magasabb rendű derivált hasonló módon kiszámítható, csak a képletek egyre bonyolultabbá válnak.) Tegyük fel, hogy t > t olyan, amelyre [t, t] [0, T ]. Mivel az u(t) megoldásfüggvény analitikus, ezért Taylor-sora előállítja a t pont valamely környezetében. Tehát a n k=0 u (k) (t ) (t t ) k (3.5) k! Taylor polinom n esetén konvergál az u(t) megoldáshoz, ha t megfelelően közel van a t ponthoz. Ezért a konvergencia-tartományon belül a megoldás előállítható az u(t) = k=0 u (k) (t ) (t t ) k (3.6) k! egyenlőséggel. A megoldás a (3.6) képlet szerinti Taylor-soros előállítása a gyakorlati számítások során kivitelezhetetlen: feltételezi, hogy a t pontban az f függvény végtelen sok parciális deriváltját ismerjük, továbbá, hogy egy rögzített t pontban a jobb oldali végtelen numerikus sort pontosan tudjuk összegezni. Az u(t) pontos érték kiszámítása tehát a (3.6) képlet szerint nem valósítható meg. Ezért a továbbiakban ennek közelítését igyekszünk meghatározni. Kézenfekvő ötlet, hogy a Taylor-sor véges szeletét tekintsük közelítésnek, azaz u(t) p k=0 u (k) (t ) (t t ) k =: T p,u (t), (3.7) k! 65

67 és ekkor az elhagyott rész (azaz a hiba) O((t t ) p+1 ) nagyságrendű. Definíció alapján, T p,u (t) az u(t) függvény t pontbeli p-ed fokú Taylor polinomja. A (3.7) és a (3.4) összefüggések segítségével az alábbi közelítő eljárások definiálhatók. a) Taylor-módszer Válasszuk a t = 0 pontot, ahol a kezdeti feltételünk adott. 2 Ekkor u(t ) = u(0) ismert a kezdeti feltételből, és (3.4) alapján a deriváltak pontosan kiszámíthatók. Tehát a (3.7) közelítés alapján u(t) p k=0 u (k) (0) t k, (3.8) k! ahol u (k) (0) értékei (3.4) alapján kiszámolhatók. Természetesen nagy t esetén ez az approximáció eléggé pontatlan, igazából általános u függvény esetén csak a t = 0 pont egy viszonylag kis környezetében ad jó közelítést. b) Lokális Taylor-módszer Tekintsük az alábbi közelítő algoritmust. 1. A [0, T ] intervallumon a t 0, t 1,... t N intervallumbeli pontok megadásával kijelölünk egy ω h := {0 = t 0 < t 1 <... < t N 1 < t N = T } ún. rácshálót, amelynek lépésközeit h i = t i+1 t i, (ahol i = 0, 1,... N 1,) míg finomságát h = max i h i -vel jelöljük. (A továbbiakban ezekben a pontokban határozzuk meg a közelítéseket, és az u(t i ) közelítését y i -vel, míg u (k) (t i ) közelítését y (k) i - val jelöljük, ahol k = 0, 1,..., p y (k) 0 értékei a szükséges k = 0, 1,..., p értékekre a (3.4) összefüggések segítségével, t = 0 behelyettesítéssel pontosan kiszámíthatók. 3. Az y 1 = p k=0 képlettel meghatározzuk u(t 1 ) közelítését. y (k) 0 k! hk 0, (3.9) 4. Az i = 1, 2,..., N 1 értékekre y i ismeretében a (3.4) összefüggések segítségével a t = t i és u(t ) = u(t i ) y i behelyettesítéssel közelítőleg meghatározzuk értékeit a k = 0, 1,..., p értékekre. y (k) i 2 Az előző szakaszban leírtakból következik, hogy értelmes a megoldásfüggvény t = 0 pontbeli deriváltjairól beszélni. 3 Szokásosan a nulladik deriválási rend (k = 0) a függvényértéket jelenti. 66

68 5. Az y i+1 = p k=0 képlettel meghatározzuk az u(t i+1 ) közelítését. y (k) i k! hk i, (3.10) Írjuk ki a lokális Taylor-módszer algoritmusát (3.10) alapján a p = 0, 1, 2 esetekre! Ha p = 0, akkor y i = y 0 minden i értékre, így ez az eset a gyakorlat szempontjából érdektelen. Legyen p = 1. Ekkor ahol y 0 = u 0 adott. y i+1 = y i + y ih i = y i + h i f(t i, y i ), i = 0, 1,... N 1, (3.11) Legyen p = 2. Ekkor a számítási algoritmus y i+1 = y i + h i y i + h2 i 2 y i = y i + h i f(t i, y i ) + h2 i 2 ( 1f(t i, y i ) + 2 f(t i, y i )f(t i, y i )), ahol i = 0, 1,... N 1 és y 0 adott. Hasonlítsuk össze a fenti módszereket! (3.12) 1. Mindkét módszer esetén a p-ed fokú Taylor-polinomot használjuk, ezért a módszer szükségessé teszi a p 1-ed rendig bezárólag valamennyi parciális derivált meghatározását. Ezek száma p(p 1)/2, és mindegyikben szükséges a függvények kiértékelése is. Ez már viszonylag kis p értékek mellett is rendkívül munkaigényes, ezért a gyakorlatban p értékét kicsinek szokás választani. 4 Ezért a Taylor-módszer gyakorlatban elérhető pontossága korlátozott. 2. A Taylor-módszer ugyan p növelésével egyre pontosabban közelíti a megoldást, valamint tetszőleges pontban közvetlenül kiszámítható a közelítés, de csak olyan t értékekre, amelyek a Taylor-sor konvergencia-sugaránál kisebbek. Ez a módszer egyik legnagyobb hátránya: a konvergencia-sugár általában nem ismert, vagy a konvergencia-sugár kisebb T -nél, így a teljes [0, T ] intervallumon nem lehetséges a közelítő megoldás előállítása. 4 Az utóbbi években elterjedt szimbolikus számításos programok ugyan lehetőséget adnak az automatikus deriválásra, de a probléma még továbbra is fennáll. 67

69 3. A Taylor-módszer előnye, hogy ha csak egy rögzített t = ˆt pontban vagyunk kíváncsiak a közelítésre, és ez a pont a konvergenciasugáron belül helyezkedik el, akkor közvetlenül, egy lépésben meghatározható a közelítés. A lokális Taylor-módszer kiküszöböli a fenti hiányosságokat, hiszen h a szükséges módon, akármilyen kicsinek választható. (Ugyanakkor, ennél a módszernél n darab feladat megoldása szükséges, ahol h 0 + h h n 1 = ˆt, mivel csak a teljes [0, ˆt] időintervallumon tudjuk előállítani a közelítést.) 4. A Taylor-módszer alkalmazása esetén a pontos és a közelítő megoldás eltérésére a Taylor-polinom hibatagjával becslést tudunk adni. A lokális Taylor-módszer esetén viszont a módszer hibája közvetlenül nem látszik, ugyanis az eltérés két részből adódik: a) minden lépésnél a Taylor-módszerhez hasonlóan a függvény n-ed fokú Taylorpolinommal történő approximációjából, b) a Taylor-polinom együtthatóit (azaz a megoldásfüggvény deriváltjait) csak közelítőleg tudjuk meghatározni. (Ráadásul, az itt elkövetett hiba a lépések során felhalmozódhat.) 5. Vegyük észre, hogy a fenti Taylor-módszerek felépítéséhez nem szükséges a megoldás analitikussága. Elegendő csak a megoldás p + 1-szeres folytonos differenciálhatósága, azaz elegendő az f C p (Q T ) simasági feltétel Példa Tekintsük az u (t) = u(t) + t + 1, t [0, 1], u(0) = 1 (3.13) feladatot, amelynek pontos megoldása u(t) = exp( t) + t. Ebben a feladatban f(t, u) = u + t + 1, ezért u (t) = u(t) + t + 1, u (t) = u (t) + 1 = u(t) t, un (t) = u(t) + t, (3.14) tehát u(0) = 1, u (0) = 0, u (0) = 1, u (0) = 1. A globális Taylor-módszer esetén a közelítő polinomok: T 1,u (t) = 1, T 2,u (t) = 1 + t 2 /2, T 3,u (t) = 1 + t 2 /2 t 3 /6. (3.15) 68

70 t i a pontos megoldás LT1 LT2 T1 T2 T táblázat. A lokális Taylor-módszer és a Taylor-módszer összehasonlítása a h = 0.1 lépésközű rácshálón Ezért a t = 1 pontban T 1,u (1) = 1, T 2,u (1) = 1.5, T 3,u (1) = 1.333). (Könnyen kiszámítható, hogy T 4,u (1) = és T 5,u (1) = ) Mint látható, ezek az értékek csak viszonylag magas n esetén közelítik megfelelően az u(1) = értéket. Alkalmazzuk a (3.10) lokális Taylor-módszert, figyelembe véve a (3.14) deriváltakat. Az elsőrendű módszer algoritmusa y i+1 = y i + h i ( y i + t i + 1), i = 0, 1,..., N 1, (3.16) míg a másodrendű módszer algoritmusa y i+1 = y i + h i ( y i + t i + 1) + h2 i 2 (y i t i ), i = 0, 1,..., N 1, ahol h 1 + h h N = T. Számításainkat a h i = h = 0.1 egyenközű (ún. ekvidisztáns) rácshálón végezzük el. A 3.1 táblázatban a [0, 1] intervallum rácspontjaiban hasonlítjuk össze a lokális és globális Taylor-módszereket. (LT1 és LT2 a lokális első- illetve másodrendű Taylor-módszert, míg T1, T2 és T3 a első-, másod- és harmadrendű Taylor-módszereket jelöli.) A vizsgált módszerekkel nyert numerikus megoldás és az eredeti feladat megoldásának eltérése a rácsháló pontjaiban meghatározza az ún. hibavektort, és ennek maximumnormáját hasonlítjuk össze a 3.2 táblázatban a különböző, egyre finomodó rácshálókon. Jól látható, hogy h csökkenése esetén a lokális Taylor-módszer hibája csökken, viszont a Taylor-módszer által nyert eredmény változatlan marad. (Ez utóbbi természetes következménye annak, hogy a módszer független a lépésköz megválasztásától.) A lokális Taylor-módszer egylépéses módszer, hiszen a t i pontbeli értékek határozzák meg a t i+1 -beli közelítést. A hibaanalízise meglehetősen bonyolult. Mint azt a fenti példa 69

71 a h lépésköz LT1 LT2 T1 T2 T e e e e e e e e táblázat. A lokális Taylor-módszer és a Taylor-módszer hibája h lépésközű rácshálón a maximum normában is jól mutatja, az y i+1 közelítésnek az u(t i+1 ) pontos értéktől való eltérését több tényező okozza. Az ún. lokális csonkolási hiba, ami a Taylor-sor Taylor-polinommal való helyettesítéséből ered, feltételezve, hogy a t i pontbeli értéket pontosan ismerjük. Ennek a [t i, t i + h i ] intervallum hossza szerinti rendjét, vagyis az u(t) T n,u (t) eltérés h i szerinti rendjét lokális hibarendnek nevezzük. (Megfelelően sima függvények esetén ez a rend O(h p+1 i ).) Minden lépésben (kivéve az elsőt) a sorbafejtésben nem a pontos t i -beli értékek, hanem azoknak közelítései szerepelnek, és ezek az eltérések a lépések során felhalmozódhatnak. Minden számításnál kerekítési hibák is fellépnek, amelyek jelentősen torzíthatják a közelítést. (Ez természetes velejárója a számítógépek korlátozott pontosságának, és nagysága függ a gépi pontosságtól. (A módszerek vizsgálata során mi ezen hibával nem foglalkozunk.) Amikor a [0, t ] intervallumon megoldjuk a feladatunkat, akkor a t pontbeli közelítés első két hibaforrásból eredő hibáját globális hibának nevezzük. Intuitív módon azt mondjuk, hogy a módszer konvergens a t = t pontban, amikor a maximális lépésköz h nullához tartása esetén ez a globális hiba is nullához tart. A globális hiba nullához tartásának rendjét a módszer konvergenciarendjének nevezzük. Ez a rend független a kerekítési hibáktól. Mivel a t = t pontbeli közelítés meghatározásához kb. n lépést kell tennünk, ahol nh = t, ezért O(h p+1 ) lokális csonkolási hiba mellett a globális konvergencia várható rendje O(h p ). (A 3.2 táblázat LT1 és LT2 módszereihez tartozó eredmények ezt alátámasztják: az LT1 elsőrendben, míg LT2 másodrendben konvergens a t = 1 pontban.) A Taylor-módszer viselkedése az u (t) = 1 t 3 u(t) differenciálegyenletre jól látható a html linken lévő animáción. 70

72 Néhány nevezetes egylépéses módszer Az előző részben láttuk, hogy numerikus szempontból a lokális Taylor-módszer különösen p = 1 esetén előnyös: a (3.11) képlethez nem kell meghatározni az f függvény parciális deriváltjait, és a lépésközök csökkentésével a rácspontokban az ismeretlen függvény jól közelíthető. Ebben a részben az a célunk, hogy újabb, hasonló tulajdonságokkal rendelkező egylépéses módszereket definiáljunk. Az LT1 módszert az ismeretlen u(t) megoldásfüggvénynek a [t i, t i+1 ] intervallumon T 1,u (t) elsőrendű Taylor-polinommal való approximációjából nyertük. 5 Ekkor az elkövetett hiba (a lokális csonkolási hiba) u(t i+1 ) T 1,u (t i+1 ) = O(h 2 i ), i = 0, 1,..., N 1, (3.17) azaz másodrendben pontos az approximáció. Adjunk meg T 1,u (t) helyett olyan más, P 1 (t) elsőfokú polinomot, amely mellett a (3.17) becslés továbbra is érvényben marad, azaz u(t i+1 ) P 1 (t i+1 ) = O(h 2 i ). (3.18) Mivel T 1,u (t) a megoldásgörbét a (t i, u(t i )) pontbeli érintő egyenes, ezért olyan P 1 (t) polinomot keresünk, amely szintén átmegy ezen a ponton, de irányát mivel a megoldásgörbe rácspontbeli értékeiből akarjuk meghatározni az u(t) függvény t i és t i+1 pontbeli érintőinek iránya határozza meg. Ezért legyen P 1 (t) := u(t i ) + α(t t i ) (t [t i, t i+1 ]) alakú, ahol α = α(u (t i ), u (t i+1 )) egy adott függvény. (Például, az α = u (t i ) megválasztással P 1 (t) = T 1,u (t) és ekkor természetesen érvényes (3.18).) Lehet-e más alkalmas megválasztás is? Mivel ezért az u(t i+1 ) = u(t i ) + u (t i )h i + O(h 2 i ), (3.19) u(t i+1 ) P 1 (t i+1 ) = h i (u (t i ) α) + O(h 2 i ), azaz (3.18) pontosan akkor teljesül, amikor az becslés érvényes Tétel Tetszőleges θ R esetén az megválasztású α függvény esetén a (3.20) becslés érvényes. α u (t i ) = O(h i ) (3.20) α = (1 θ)u (t i ) + θu (t i+1 ) (3.21) 5 Mindegyik [t i, t i+1 ] intervallumon más polinomot határozunk meg, de a polinomok ezen i-től való függését a jelöléseinkben nem hangsúlyozzuk. 71

73 Bizonyítás. Alkalmazzuk a (3.19) felbontást az u (t) függvényre! u (t i+1 ) = u (t i ) + u (t i )h i + O(h 2 i ), (3.22) és behelyettesítve a (3.22) összefüggést a (3.21) képletbe, a összefüggést nyerjük, ami az állításunkat bizonyítja Következmény A fenti P 1 (t) polinom az α u (t i ) = θu (t i )h i + O(h 2 i ) (3.23) y i+1 = y i + αh i (3.24) egylépéses numerikus módszert határozza meg, ahol a (3.21) és a (3.1) összefüggések alapján α = (1 θ)f(t i, y i ) + θf(t i+1, y i+1 ). (3.25) 3.4. Definíció A (3.24)-(3.25) numerikus módszert θ-módszernek nevezzük Megjegyzés A θ-módszer esetén is jellemző, hogy y i valamilyen közelítése az u(t i ) pontos értéknek, és az eltérés a Taylor-módszernél is említettekkel megegyezően alapvetően a következők miatt van: a) minden lépésnél az u(t) megoldásfüggvényt az elsőfokú P 1 (t) polinommal approximáljuk, b) a P 1 (t) polinomban az α együtthatót (azaz a megoldásfüggvény deriváltjait) csak közelítőleg tudjuk meghatározni. Mivel az α irányt a megoldásfüggvény t i és t i+1 pontbeli érintőinek iránya határozza meg, ezért általában úgy választjuk meg, hogy ezen két érték közé essék. Ezért a θ paramétert csak a [0, 1] intervallumból szokás megválasztani. A továbbiakban három, speciálisan megválasztott θ [0, 1] értékhez tartozó numerikus módszert vizsgálunk meg Az explicit Euler-módszer Tekintsük a θ-módszert a θ = 0 megválasztással! Ekkor (3.24) és (3.25) a következő numerikus módszert generálják: y i+1 = y i + h i f(t i, y i ), i = 0, 1,..., N 1. (3.26) Mivel y i az ismeretlen u(t) függvény t i pontbeli közelítése, ezért értelemszerűen y 0 = u(0) = u 0, (3.27) vagyis a (3.26) iterációban az i = 0 értékhez tartozó y 0 adott érték. 72

74 3.6. Definíció A (3.26) (3.27) képletekkel definiált egylépéses módszert explicit Eulermódszernek nevezzük. Mivel a θ = 0 esetén α = u (t i ), ezért ebben az esetben a módszert definiáló P 1 polinom megegyezik az elsőrendű Taylor-polinommal. Tehát az explicit Euler-módszer azonos a (3.11) képlettel definiált elsőfokú közelítéses lokális Taylor-módszerrel Megjegyzés A (3.26) (3.27) módszert azért nevezzük explicitnek, mert a t i pontbeli érték ismeretében közvetlenül, egy egyszerű függvénybehelyettesítéssel kiszámítható a t i+1 pontbeli közelítés. Az explicit Euler-módszer szemléletes működése az alábbi animáción látható:../animaciok/ee.gif A 3.5. megjegyzésben felsoroltuk a módszer hibájának, azaz a pontos és a közelítő megoldás eltérésének forrásait. Alapvető kérdés, hogy egy rögzített t [0, T ] pontban a rácsháló finomításával hogyan viselkedik a közelítő és pontos érték különbsége, és vajon, az elvárásainknak megfelelően, a minden határon túl való finomítás esetén nullához tart-e? A továbbiakban ezt a kérdést az explicit Euler-módszer esetén vizsgáljuk meg. (Az előzőekben leírtaknak megfelelően feltesszük, hogy az f függvény a második változójában lipschitzes, és a megoldás kellően sima.) Először az ekvidisztáns rácshálók sorozatán vizsgáljuk a kérdést, azaz legyenek ω h := {t i = ih; i = 0, 1,..., N; h = T/N} adott rácshálók és tegyük fel, hogy a rögzített t [0, T ] egy olyan pont, amely mindegyik rácshálónak pontja, azaz t ω h minden vizsgált h > 0 esetén. Egy rögzített ω h rácshálón jelölje n azt az indexet, amelyre nh = t. Ekkor n függ h megválasztásától és h 0 esetén n a végtelenbe tart. Jelölje e i = y i u(t i ), i = 0, 1,... N (3.28) a t i pontbeli hibát. Mi a továbbiakban h csökkenése mellett az e n viselkedésére vagyunk kíváncsiak, pontosabban arra, hogy hogyan viselkedik a t pontbeli pontos és közelítő megoldás különbsége h 0 esetén. 6 A (3.26) explicit Euler-módszer képletébe behelyettesítve a (3.28) definícióból következő y i = e i + u(t i ) kifejezést, érvényes a következő egyenlőség: e i+1 e i = (u(t i+1 ) u(t i )) + hf(t i, e i + u(t i )) = [hf(t i, u(t i )) (u(t i+1 ) u(t i ))] + h [f(t i, e i + u(t i )) f(t i, u(t i ))]. (3.29) 6 A továbbiakban látszik, hogy a t ω h minden h > 0 esetén feltétel enyhíthető: elegendő megkövetelni, hogy a t n rácspontok tartsanak t ponthoz, azaz lim h 0 (t t n ) = 0. 73

75 Így, bevezetve a jelöléseket az ún. hibaegyenletet kapjuk. g i = hf(t i, u(t i )) (u(t i+1 ) u(t i )), ψ i = f(t i, e i + u(t i )) f(t i, u(t i )) (3.30) e i+1 e i = g i + hψ i (3.31) 3.8. Megjegyzés Vizsgáljuk meg a (3.30) definícióban szereplő két tagot! A g i tag azt mutatja, hogy a pontos megoldás az explicit Euler-módszer (3.26) hf(t i, y i ) (y i+1 y i ) = 0 alakban felírt képletét milyen pontosan elégíti ki. Ez a kifejezés azt a hibát tartalmazza, ami az u(t) megoldásfüggvénynek a [t i, t i+1 ] intervallumon történő, elsőfokú Taylor-polinommal való approximációjából ered. A ψ i tag azt jellemzi, hogy a módszer egy lépése során mekkora hiba keletkezik abból, hogy az y i+1 érték kiszámolására szolgáló képletben a pontos u(t i ) érték helyett annak y i közelítésével számolunk. Az f függvény lipschitzessége következtében ψ i = f(t i, e i + u(t i )) f(t i, u(t i )) L (e i + u(t i )) u(t i ) = L e i. (3.32) Így a (3.31) és a (3.32) összefüggések alapján minden i = 0, 1,..., n 1 értékre. Ezért e i+1 e i + g i + h ψ i (1 + hl) e i + g i (3.33) e n (1 + hl) e n 1 + g n 1 (1 + hl) [(1 + hl) e n 2 + g n 2 ] + g n 1 = (1 + hl) 2 e n 2 + [(1 + hl) g n 2 + g n 1 ] n 1 (1 + hl) n e 0 + (1 + hl) i g n 1 i i=0 n 1 ] < (1 + hl) [ e n 0 + g n 1 i. i=0 (3.34) (Az utolsó lépésben az (1 + hl) i < (1 + hl) n, i = 0, 1,... n 1 egyenlőtlenséget alkalmaztuk.) Mivel tetszőleges pozitív x esetén 1 + x < exp(x), ezért az nh = t egyenlőség miatt (1 + hl) n < exp(nhl) = exp(lt ). Így (3.34) alapján [ ] n 1 e n exp(lt ) e 0 + g n 1 i. (3.35) 74 i=0

76 Adjunk becslést a g i kifejezésre! Könnyen láthatóan u(t i+1 ) u(t i ) = u(t i + h) u(t i ) = hu (t i ) u (ξ i )h 2, (3.36) ahol ξ i (t i, t i+1 ) egy adott pont. Mivel f(t i, u(t i )) = u (t i ), ezért g i (3.30) szerinti definíciója következtében érvényes az g i M 2 2 h2, M 2 = max [0,t ] u (t) (3.37) egyenlőtlenség. Ekkor a (3.35) és a (3.37) becslések alapján [ e n exp(lt ) e 0 + hn M ] [ ] 2 2 h = exp(lt ) e 0 + t M 2 2 h. (3.38) Mivel e 0 = 0, ezért Így h 0 esetén e n 0, és emellett e n = O(h). e n exp(lt ) t M 2 h. (3.39) Megjegyzés A numerikus megoldás konvergenciájának fenti bizonyítása viszonylag egyszerűen kiterjeszthető az alkalmasan megválasztott nemekvidisztáns rácshálókra is. Legyen most ω hv := {0 = t 0 < t 1 <... < t N 1 < t N = T } finomodó, változó lépéshosszúságú rácshálók sorozata. Jelölje h i = t i+1 t i, i = 0, 1,,..., N 1 és h = T/N. Feltesszük, hogy a rácspontok számának növelésével a rácsháló mindenütt finomodik, azaz létezik olyan 0 < c < állandó, amelyre minden N esetén h i ch, i = 1, 2,..., N. (3.40) Továbbra is feltesszük, hogy a rögzített t [0, T ] pont mindegyik rácshálónak az eleme. Egy ilyen rögzített rácshálón jelölje n azt a indexet, amelyre h 0 + h h n 1 = t. A g i = h i f(t i, u(t i )) (u(t i+1 ) u(t i )), ψ i = f(t i, e i + u(t i )) f(t i, u(t i )) (3.41) jelölésekkel a (3.33) becslés így írható át: e i+1 e i + g i + h i ψ i e i + g i + h i L e i (1 + h i L) e i + g i exp(h i L) e i + g i exp(h i L) [ e i + g i ]. (3.42) 75

77 Ekkor a (3.34) becslés a (3.42) figyelembevételével így alakul: e n exp(h n 1 L) [ e n 1 + g n 1 ] exp(h n 1 L) [exp(h n 2 L) ( e n 2 + g n 2 ) + g n 1 ] = exp((h n 1 + h n 2 )L) ( e n 2 + g n 2 + g n 1 ) [ ] n exp((h n 1 + h n h 0 )L) e 0 + g n i. i=1 (3.43) Mivel h n 1 + h n h 0 = t és érvényes a becslés, ezért (3.43) és (3.44) alapján e n exp(t L) [ e 0 + hn M ] 2c 2 2 h g i M 2 2 h2 i M 2c 2 2 h2 (3.44) = exp(t L) [ e 0 + t M ] 2c 2 2 h. (3.45) A (3.45) becslés azt mutatja, hogy megfelelően finomodó rácshálókon h 0 esetén e n 0, és emellett e n = O(h) Megjegyzés Látható, hogy az explicit Euler-módszer esetén a lim h 0 e n = 0 egyenlőséghez nem szükséges az y 0 = u 0 megválasztás, elegendő, ha y 0 = u 0 + O(h), mert ebben az esetben e 0 = O(h). (Emellett, továbbra is e n = O(h).) Az implicit Euler-módszer Tekintsük a θ-módszert a θ = 1 megválasztással! Ekkor (3.24) és (3.25) a következő numerikus módszert generálja: ahol ismét y 0 = u 0. y i+1 = y i + h i f(t i+1, y i+1 ), i = 0, 1,..., N 1, (3.46) Definíció A (3.46) (3.27) képletekkel definiált egylépéses módszert implicit Eulermódszernek nevezzük Megjegyzés A (3.46) implicit Euler-módszert azért nevezzük implicitnek, mert az időben való előrehaladáshoz y i ismeretében y i+1 értékét minden egyes időlépésben egy (tipikusan nemlineáris) egyenlet megoldásával tudjuk csak meghatározni. 76

78 Az implicit Euler-módszer e i hibafüggvényére a hibaegyenlet a következő módon írható fel: e i+1 e i = (u(t i+1 ) u(t i )) + h i f(t i+1, u(t i+1 ) + e i+1 ) = [h i f(t i+1, u(t i+1 )) (u(t i+1 ) u(t i ))] + h i [f(t i+1, u(t i+1 ) + e i+1 ) f(t i+1, u(t i+1 ))]. (3.47) Így a g i = h i f(t i+1, u(t i+1 )) (u(t i+1 ) u(t i )), ψ i = f(t i+1, u(t i+1 ) + e i+1 ) f(t i+1, u(t i+1 )) jelölésekkel ismételten a (3.31) alakú hibaegyenletet nyerjük. Nyilvánvalóan (3.48) u(t i+1 ) u(t i ) = u(t i+1 ) u(t i+1 h i ) = h i u (t i+1 ) 1 2 u (ξ i )h 2 i, (3.49) ahol ξ i (t i, t i+1 ) egy adott pont. Másrészt, f(t i+1, u(t i+1 )) = u (t i+1 ). Ezért g i (3.48) szerinti definíciója következtében érvényes a g i M 2 2 h2 i (3.50) egyenlőtlenség. Ugyanakkor az implicit Euler-módszer esetén ψ i a t i+1 pontbeli közelítéstől és a pontos megoldástól egyaránt függ, ezért az explicit Euler-módszer vizsgálata ebben az esetben változatlan formában nem ismételhető meg. (A módszer e n hibafüggvényének nullához tartásával később foglalkozunk.) A trapéz-módszer Tekintsük a θ-módszert a θ = 0.5 megválasztással! Ekkor (3.24) és (3.25) a következő numerikus módszert generálja: ahol y 0 = u 0. y i+1 y i = h i 2 [f(t i, y i ) + f(t i+1, y i+1 )], i = 0, 1,..., N 1, (3.51) Definíció A (3.51) egylépéses módszert trapéz módszer nevezzük. (Vegyük észre, hogy a trapéz-módszer is implicit.) A trapéz-módszer hibafüggvényére az explicit és implicit Euler-módszerek hibaegyenleteinek kombinálásával könnyen nyerhető a (3.31) alakú hibaegyenletet, ahol most g i = 1 2 h i [f(t i, u(t i )) + f(t i+1, u(t i+1 ))] (u(t i+1 ) u(t i )), ψ i = 1 2 [f(t i, u(t i ) + e i ) f(t i, u(t i ))] + (3.52) 1 2 [f(t i+1, u(t i+1 ) + e i+1 ) f(t i+1, u(t i+1 ))]. 77

79 Adjunk becslést a (3.52) képletben szereplő g i kifejezésre! A t i+ 1 2 fejtsük sorba az u(t i ) = u(t i+ 1 2 pont körül. Ekkor t = t i+ 1 2 h i /2) és az u(t i+1 ) = u(t i+ 1 2 = t i + 0.5h i jelöléssel + h i /2) kifejezéseket a u(t i+1 ) u(t i ) = h i u (t i+1/2 ) + h3 i 48 (u (ξ 1 i ) + u (ξ 2 i )), (3.53) ahol ξ 1 i, ξ 2 i (t i, t i+1 ) adott pontok. Másrészt f(t i, u(t i )) + f(t i+1, u(t i+1 )) = u (t i ) + u (t i+1 ). (3.54) Sorba fejtve a (3.54) jobb oldali függvényeit a t = t i+ 1 2 pont körül, az 1 2 [f(t i, u(t i )) + f(t i+1, u(t i+1 ))] = u (t i+ 1 ) + h2 i 2 16 (u (ξi 3 ) + u (ξi 4 )). (3.55) egyenlőséget kapjuk. Ezért (3.53) és (3.55) alapján a g i kifejezésre érvényes a g i M 3 6 h3 i, M 3 = max [0,t ] u (t) (3.56) egyenlőtlenség. A 3.3 táblázatban a (3.13) tesztfeladat fenti három numerikus módszerrel való megoldását ismertetjük. A 3.4 táblázatban a hibákat a maximumnormában hasonlítjuk össze a különböző, egyre finomodó rácshálókon. Az eredményekből megállapítható, hogy rögzített rácshálón a numerikus megoldás a explicit Euler-módszer és a implicit Euler-módszer esetén nagyjából hasonló pontosságot ad, míg a trapéz-módszer pontosabb az előző két módszernél. A finomodó rácshálókon azt figyelhetjük meg, hogy a trapéz-módszer hibafüggvénye O(h 2 ), az explicit Euler-módszer és az implicit Euler-módszer hibafüggvénye viszont csak O(h) rendben tart nullához. (Az általános alakú θ-módszer esetén a hibafüggvény nullához tartását a későbbiekben bizonyítjuk be.) Az Euler-módszer viselkedése az u (t) = 1 t 3 u(t) differenciálegyenletre jól látható a linken megtalálható animáción Az egylépéses módszerek konvergenciája Ebben a szakaszban az ω h := {t i = ih; i = 0, 1,..., N; h = T/N} ekvidisztáns rácshálón (avagy azok sorozatán) megadjuk az egylépéses módszerek általános alakját, és definiáljuk a numerikus módszerek alapfogalmait. Tekintsük az y i+1 = y i + hφ(h, t i, y i, y i+1 ) (3.57) 78

80 t i a pontos érték EE IE TM táblázat. Az explicit Euler-módszer (EE), az implicit Euler-módszer (IE) és a trapéz módszer (TM) összehasonlítása a h = 0.1 lépésközű rácshálón a h lépésköz EE IE TM e e e e e e e e e e e e e e e táblázat. Az explicit Euler-módszer (EE), az implicit Euler-módszer (IE) és a trapéz módszer (TM) hibája h lépésközű rácshálón a maximum normában 79

81 egylépéses módszert, ahol Φ a numerikus módszert meghatározó adott függvény. A továbbiakban azt a numerikus módszert, amelyet a (3.57) képlet realizál, Φ-numerikus módszernek (röviden: Φ-módszernek) nevezzük Megjegyzés Speciálisan megválasztott Φ függvények esetén a korábbi módszereink előállíthatók a (3.57) alakban. Például, jelenti. Φ(h, t i, y i, y i+1 ) = f(t i, y i ) esetén az explicit Euler-módszert; Φ(h, t i, y i, y i+1 ) = f(t i + h, y i+1 ) esetén az implicit Euler-módszert; Φ(h, t i, y i, y i+1 ) = 0.5 [f(t i, y i ) + f(t i + h, y i+1 )] esetén a trapéz módszert, Φ(h, t i, y i, y i+1 ) = (1 θ)f(t i, y i ) + θf(t i + h, y i+1 ) esetén a θ-módszert Definíció Azokat a módszereket, amelyekre Φ = Φ(h, t i, y i ) (tehát a Φ függvény nem függ y i+1 -től) explicit módszereknek nevezzük. Amennyiben Φ = Φ(h, t i, y i, y i+1 ), a módszert implicitnek nevezzük. Jelölje továbbra is u(t) a (3.1) (3.2) feladat megoldását, és legyen t (0, T ] rögzített érték Definíció Az e t (h) = y n u(t ), (nh = t ) függvényt a Φ numerikus módszer t pontbeli globális diszkretizációs hibafüggvényének nevezzük. Azt mondjuk, hogy a Φ numerikus módszer konvergens a t pontban, ha lim e h(t ) = 0. (3.58) h 0 Ha a Φ numerikus módszer konvergens a [0, T ] minden pontjában, akkor egyszerűen konvergens módszernek nevezzük. A (3.58) konvergenciájának rendjét a Φ-módszer konvergenciarendjének nevezzük. A Φ-módszer lokális viselkedését jól jellemzi az a közelítés, amelyet a módszerrel a megoldásból indulva egy lépés elvégzése után nyerünk, azaz az egyenlettel definiált ŷ i+1 közelítő érték. ŷ i+1 = u(t i ) + hφ(h, t i, u(t i ), ŷ i+1 ) (3.59) Definíció Az l i (h) = ŷ i u(t i ) függvényt (ahol t i = ih ω h ) a (3.57) alakú Φ-numerikus módszer t i pontbeli lokális diszkretizációs hibafüggvényének nevezzük. 80

82 Az implicit Φ-módszerek esetén a lokális diszkretizációs hibát általában nem könnyű meghatározni, mivel ahhoz ismerni kell ŷ i+1 értékét a (3.59) képletből. Ennek megkerülésére vezessük be a g i (h) = u(t i+1 ) + u(t i ) + hφ(h, t i, u(t i ), u(t i+1 )) (3.60) függvényt, amelynek rendje (a kiinduló Cauchy-feladat egyenletének felhasználásával) sorfejtéssel a megoldás ismerete nélkül is meghatározható Definíció Az g i (h) függvényt a (3.57) alakú Φ-numerikus módszer t i ω h pontbeli képlethibájának (más szóval, lokális approximációs hibafüggvényének) nevezzük. Azt mondjuk, hogy a Φ-numerikus módszer r-ed rendben konzisztens, ha valamely r > 0 állandóval minden t i ω h rácspontban. g i (h) = O(h r+1 ) (3.61) Megjegyzés Gyakran (és ebben a könyvben is több helyen) g i (h) helyett a d i (h) = u(t i+1) u(t i ) h hφ(h, t i, u(t i ), u(t i+1 )) (3.62) függvényt vizsgáljuk, amelyre nyilvánvalóan fennáll a d i (h) = g i (h)/h összefüggés. Ez azt jelenti, hogy a Φ-numerikus módszer pontosan akkor r-ed rendben konzisztens, amikor d i (h) = O(h r ). (3.63) Nyilvánvalóan a képlethiba és annak rendje azt mutatja meg, hogy a pontos megoldás milyen pontossággal elégíti ki a Φ-módszert Megjegyzés A (3.37), (3.50) és a (3.56) becslések alapján látható, hogy az explicit és implicit Euler-módszerek elsőrendűek, míg a trapéz-módszer másodrendű. Egyszerű számolással ellenőrizhető, hogy a θ-módszer csak a θ = 0.5 esetén (azaz amikor a trapéz-módszert jelenti) másodrendű, egyébként elsőrendű. A továbbiakban feltesszük, hogy a (3.57) alakú Φ numerikus módszerben a Φ függvény a harmadik és negyedik változójában egyaránt lipschitzes, azaz léteznek olyan L 3 0 és L 4 0 állandók, amelyek mellett tetszőleges s 1, s 2, p 1 és p 2 számok esetén Φ(h, t i, s 1, p 1 ) Φ(h, t i, s 2, p 2 ) L 3 s 1 s 2 + L 4 p 1 p 2 (3.64) tetszőleges t i ω h és h > 0 esetén. Ha a Φ függvény nem függ y i -től (avagy y i+1 -től), akkor L 3 = 0 (avagy L 4 = 0). 81

83 3.21. Megjegyzés A megjegyzés alapján könnyen megmutatható, hogy az f függvény második változója szerinti lipschitzessége esetén tetszőleges θ esetén a θ-módszerre (és így az explicit és implicit Euler-módszerekre valamint a trapéz-módszerra egyaránt) alkalmasan megválasztott L 3 és L 4 állandókkal érvényes a (3.64) egyenlőtlenség. A továbbiakban megvizsgáljuk a (3.64) tulajdonságú, r-ed rendben konzisztens Φ- módszerek konvergenciáját. Az egyszerűség kedvéért vezessük be az alábbi jelöléseket: e ti (h) = e i, g i (h) = g i, l i (h) = l i. (3.65) A globális és a lokális diszkretizációs hibafüggvények definíciója alapján fennáll az e i+1 =y i+1 u(t i+1 ) = (y i+1 ŷ i+1 ) + (ŷ i+1 u(t i+1 )) = (y i+1 ŷ i+1 ) + l i (3.66) összefüggés. Ezért a továbbiakban az e i+1 y i+1 ŷ i+1 + l i (3.67) egyenlőtlenség jobb oldalán lévő két tagra adunk felső becslést. A lokális diszkretizációs hibafüggvényre az alábbi összefüggés érvényes: l i+1 =ŷ i+1 u(t i+1 ) = u(t i ) + hφ(h, t i, u(t i ), ŷ i+1 )) u(t i+1 ) = u(t i+1 ) + u(t i ) + hφ(h, t i, u(t i ), u(t i+1 ))+ h [Φ(h, t i, u(t i ), ŷ i+1 )) Φ(h, t i, u(t i ), u(t i+1 ))] = g i + h [Φ(h, t i, u(t i ), ŷ i+1 )) Φ(h, t i, u(t i ), u(t i+1 ))]. (3.68) Ezért, felhasználva a (3.64) feltételt, l i+1 g i + hl 4 ŷ i+1 u(t i+1 ) = g i + hl 4 l i+1 (3.69) Így, (3.69) alapján, kellően kis h esetén érvényes a egyenlőtlenség. l i hl 4 g i (3.70) Megjegyzés A (3.70) egyenlőtlenség azt is mutatja, hogy a lokális diszkretizációs hiba rendje nem lehet kisebb, mint a módszer konzisztenciarendje. (Tehát egy r-ed rendben konzisztens módszer esetén a lokális diszkretizációs hiba is legalább r-ed rendben tart nullához.) 82

84 Térjünk át a (3.67) jobb oldali első tagjának becslésére. y i+1 ŷ i+1 = (y i + hφ(h, t i, y i, y i+1 )) (u(t i ) + hφ(h, t i, u(t i ), ŷ i+1 )) e i + h Φ(h, t i, y i, y i+1 ) Φ(h, t i, u(t i ), ŷ i+1 ) e i + hl 3 y i u(t i ) + hl 4 y i+1 ŷ i+1 = (1 + hl 3 ) e i + hl 4 y i+1 ŷ i+1. Így (3.71) alapján, kellően kis h esetén érvényes az (3.71) y i+1 ŷ i hl 3 e i (3.72) 1 hl 4 egyenlőtlenség. A (3.70) és a (3.72) felhasználásával a (3.67) egyenlőtlenség átírható az alakra. Vezessük be a jelöléseket. e i hl 3 1 e i + g i (3.73) 1 hl 4 1 hl 4 µ = µ(h) = 1 + hl 3 1 hl 4, χ = χ(h) = Megjegyzés A (3.74) jelölések mellett 1 1 hl 4 (3.74) µ = 1 + h L 3 + L 4 1 hl 4 (3.75) és így µ = 1 + O(h). Ezért választhatók olyan h 0, µ 0 és λ 0 állandók 7, amelyek mellett µ = µ(h) 1 + µ 0 h, χ = χ(h) χ 0, h (0, h 0 ). (3.76) A (3.74) jelöléssel (3.73) felírható az alakban. nyerjük: e i+1 µ e i + χ g i (3.77) Rekurzív módon alkalmazva a (3.77) relációt, a következő egyenlőtlenséget e n µ e n 1 + χ g n 1 µ [µ e n 2 + χ g n 2 ] + χ g n 1 = µ 2 e n 2 n 1 + χ [µ g n 2 + g n 1 ]... µ n e 0 + χ µ i g n 1 i ] n 1 µ [ e n 0 + χ g n 1 i. i=0 7 Például, a h 0 = 1 2L 4, µ 0 = 2(L 3 + L 4 ) és χ 0 = 2 egy alkalmas megválasztás. 83 i=0 (3.78)

85 A (3.76) összefüggés alapján, minden h (0, h 0 ) esetén χ χ 0 és µ n (1 + µ 0 h) n exp(µ 0 hn) = exp(µ 0 t ). (3.79) Ezért (3.78) alapján érvényes az [ ] n 1 e n exp(µ 0 t ) e 0 + χ 0 g n 1 i i=0 (3.80) becslés. Mivel a Φ-módszer p-ed rendben konzisztens, ezért a (3.58) definíció alapján, megfelelően kis h esetén valamely c 0 0 állandóval fennáll a g i c 0 h r+1 egyenlőtlenség. Ezért kis h esetén n 1 g n 1 i nc 0 h r+1 = c 0 t h r. (3.81) i=0 Összevetve a (3.80) és a (3.81) formulákat, az e n exp(µ 0 t ) [ e 0 + c 1 h r ] (3.82) becslést nyerjük, ahol c 1 = χ 0 c 0 t =állandó. Mivel e 0 = 0, ezért a (3.82) alapján beláttuk a következő állítást Tétel Tegyük fel, hogy a (3.57) képlettel definiált Φ numerikus módszer r-ed rendben konzisztens; a módszert definiáló Φ függvény folytonos, és érvényes rá a (3.64) Lipschitz-feltétel. Ekkor a Φ-módszer r-ed rendben konvergens a [0, T ] intervallumon Következmény A és a megjegyzések alapján a θ-módszer θ = 0.5 esetén másodrendben, egyébként pedig elsőrendben konvergens. Ezért tehát az explicit és az implicit Euler-módszer elsőrendben, a trapéz-módszer pedig másodrendben konvergens Az egylépéses módszerek általános alakjának vizsgálata Az előzőekben a konvergenciát a (3.77) összefüggésből vezettük le, mégpedig a benne szereplő tagok két tulajdonságából: a módszer konzisztens, azaz g i = O(h r+1 ) valamely r pozitív számmal, emellett a χ(h) függvény korlátos; 84

86 a µ(h) függvényre a (3.76) nagyságrendi becslés teljesül. Ez a tulajdonság azt fejezi ki, hogy az egyik időrétegről a következő időrétegre való áttérésnél a lépésszámok növelésével (azaz h csökkenésével) a hiba csak korlátosan növekedhet. Ebben a szakaszban a második tulajdonságot pontosítjuk, és a segítségével kapcsolatot teremtünk a konzisztencia és a konvergencia között Egylépéses módszerek operátoros alakban Tekintsük ismét a (3.1) (3.2) Cauchy-feladatot, azaz a du = f(t, u), dt t [0, T ], (3.83) u(0) = u 0 (3.84) kezdetiérték-feladatot. Feltesszük, hogy f : R 2 R (azaz, az egyszerűség kedvéért a skaláris Cauchy-feladatot vizsgáljuk), és a feladatnak létezik egyetlen u(t) megoldása a [0, T ] intervallumon. Írjuk fel ezt a feladatot operátoregyenlet formájában! Ehhez vezessük be a következő L operátort. Legyen L egy olyan operátor, amely valamely szabály szerint valamely adott, a [0, T ] intervallumon értelmezett függvényhez egy másik, szintén a [0, T ] intervallumon értelmezett függvényt rendeli hozzá. Konkrétan, egy w(t) C 1 [0, T ] függvényhez rendelje hozzá az { w (t) f(t, w(t)), ha t (0, T ], (Lw)(t) = w(0), ha t = 0 függvényt. Az L operátort a feladat operátorának nevezzük. Mivel a (3.1) (3.2) Cauchyfeladatra érvényes az egzisztencia és unicitás, ezért az L operátor injektív. 8 Ezért valamely adott β(t) függvény esetén az Lu = β(t) feladatnak létezik egyértelmű megoldása. Legyen { 0, ha t (0, T ], ϕ(t) = u 0, ha t = 0 függvény. Ekkor az Lu = ϕ (3.85) 8 Az L operátor injektivitásához azt kell megmutatni, hogy ha w 1 (t) és w 2 (t) olyan C 1 -beli függvények, amelyekre (Lw 1 )(t) = (Lw 2 )(t), akkor w 1 (t) = w 2 (t). A feltétel alapján w 1(t) f(t, w 1 (t)) = w 2(t) f(t, w 2 (t)) a (0, T ] intervallumon, és w 1 (0) = w 2 (0). Jelölje g(t) = w 1(t) f(t, w 1 (t)) = w 2(t) f(t, w 2 (t)) közös értéket! Ekkor tehát g(t) egy adott, folytonos függvény. Nyilvánvalóan a w = f(t, w)+ g(t), w(0) = adott kezdetiérték-feladatnak létezik egyértelmű megoldása, hiszen a jobb oldalon szereplő függvény a második változójában ugyanazon állandóval lipschitzes, mint az f függvény. Ezért ennek a feladatnak is létezik egyértelmű megoldása. Mivel g definíciójából w 1(t) = f(t, w 1 (t)) + g(t) és w 2(t) = f(t, w 2 (t))+g(t), valamint w 1 (0) = w 2 (0), ezért a kezdetiérték-feladat megoldásának előzőekben belátott egyértelműségének következtében w 1 (t) = w 2 (t). 85

87 operátoregyenletnek, amely éppen a (3.1) (3.2) Cauchy-feladatot jelenti, szintén létezik egyértelmű megoldása. A (3.85) egyenlet felírható az operátor értelmezési tartományának alkalmas leszűkítésével más alakban is. Nevezetesen, legyen L az az operátor, amely értelmezve van a dom(l) = {w C 1 [0, T ] : w(0) = u 0 } halmazon, és a hozzárendelés legyen a (Lw)(t) = w (t) f(t, w(t)), t (0, T ] (3.86) szabály szerinti. Ekkor L egy olyan operátor, amely a [0, T ]-n értelmezett, megfelelően sima, és a t = 0 pontban adott értékű w függvényhez egy másik, a (0, T ] intervallumon értelmezett Lw függvényt feleltet meg. Ekkor az L operátort két adat definiálja: az u 0 skalár és az f kétváltozós függvény, 9 és a (3.83) (3.84) Cauchy-feladat felírható az alábbi operátoregyenlet alakjában: Lu = 0, (3.87) azaz keressük azt az u(t) függvényt a dom(l) halmazból, amelyhez az L operátor a (0, T ] intervallumon értelmezett, azonosan nulla függvényt rendeli hozzá. (Mivel feltételeztük, hogy a (3.83) (3.84) Cauchy-feladatnak létezik egyértelmű megoldása, ezért a (3.87) egyenlet is egyértelműen megoldható.) Fogalmazzuk át a feladatunkat: keressük azon u(t) függvényt, amely a t = 0 pontban adott, és ismerjük az L képét (amely nulla), azaz feladatunk u(0) és Lu ismeretében az u ismeretlen függvény meghatározása a t (0, T ] pontokban. A numerikus megoldás meghatározásához tekintsük az ω h := {0 = t 0 < t 1 <... < t N 1 < t N = T } finomodó, változó lépéshosszúságú rácshálók sorozatát. Jelölje h i = t i+1 t i, i = 0, 1,,..., N 1 és h = T/N. Feltesszük, hogy a rácspontok számának növelésével a rácsháló mindenütt finomodik, azaz létezik olyan 0 < c < állandó, amelyre minden N esetén h i ch, i = 1, 2,..., N. (3.88) Továbbra is feltesszük, hogy a rögzített t [0, T ] pont mindegyik rácshálónak az eleme. Egy ilyen rögzített rácshálón jelölje n azt a indexet, amelyre h 0 + h h n 1 = t. Jelölje ωh 0 = ω h\{t 0 = 0} rácsot, F(ω h ) és F(ωh 0) az ω h illetve az ωh 0 rácsokon értelmezett rácsfüggvények vektorterét. 9 Az L operátor ezen bevezetése valójában a következőt jelenti. Legyen c R egy tetszőleges adott szám, g : R 2 R egy adott függvény. Jelölje L c,g azt az operátort, amelyre dom(l c,g ) = {w C 1 [0, T ] : w(0) = c}, és (L c,g w)(t) = w (t) g(t, w(t)), t (0, T ]. Jelölje L a c = u 0 és g = f megválasztású L c,g operátort, azaz L = L u0,f. 86

88 Legyen N h egy olyan operátor, amely az ω h pontjaiban értelmezett rácsfüggvényekhez egy másik, szintén az ω h pontjaiban értelmezett rácsfüggvényt rendel hozzá, azaz N h : F(ω h ) F(ω h ) adott leképezés. Konkrétan, egy w h F(ω h ) rácsfüggvényhez rendelje hozzá az { Φ(h n, t n 1, w h (t n 1 ), w h (t n )), ha t n ωh 0 (N h w h )(t n ) =, (3.89) w h (0), ha t n = 0 rácsfüggvényt, ahol Φ(h n, t n 1, w h (t n 1 ), w h (t n )) az adott numerikus módszert leíró függvény. A módszer realizálhatóságához szükséges feltennünk, hogy rögzített első három változó mellett a Φ függvény a negyedik változójában invertálható, azaz a g(s) := Φ(h, t, w, s) függvény injektív. Az N h operátort a diszkretizációs módszer operátorának nevezzük. Vegyük észre, hogy az N h : F(ω h ) F(ω h ) operátor injektív. 10 Ezért tetszőleges rögzített β h F(ω h ) rácsfüggvény esetén az N w h = β h feladatnak létezik egyértelmű megoldása. Bevezetve a rácsfüggvényt, akkor az ϕ h (t) = { 0, ha t ω 0 h, u 0, ha t = 0 N h y h = ϕ h (3.90) operátoregyenlet éppen a (3.1) (3.2) Cauchy-problémához tartozó diszkretizált feladatot jelenti Példa Határozzuk meg az explicit Euler-módszerhez tartozó N h operátort! Mint azt már láttuk, az explicit Euler-módszer esetén az ω h rácsháló pontjaiban a közelítéseket a (3.26) képlet alapján definiáljuk, ezért az explicit Euler-módszer operátora { wh (t n) w h (t n 1 ) h (N h w h )(t n ) = n f(t n 1, w h (t n 1 )), ha t n ωh 0, w h (0), ha t n = 0 alakú. A diszkretizált feladat ekvivalens módon felírható más alakban is. Nevezetesen, az N h operátor értelmezési tartományának alkalmas megválasztásával az egylépéses numerikus módszerek felírhatók N h y h = 0 (3.91) 10 Ennek belátásához azt kell megmutatni, ha wh 1 és w2 h két olyan F(ω h)-beli rácsfüggvény, amelyekre N h wh 1 = N hwh 2, akkor w1 h = w2 h. A feltételünk alapján, figyelembe véve az N h operátor definícióját, wh 1(t 0 = 0) = wh 2(t 0 = 0). Mivel Φ(h 1, t 0, w h (t 0 = 0), wh 1(t 1)) = Φ(h 1, t 0, w h (t 0 = 0), wh 2(t 1)), jelölje ezt a közös értéket g 1. Feltételeink szerint ekkor Φ(h 1, t 0, w h (t 0 = 0), wh 1(t 1)) = g 1 és a Φ(h 1, t 0, w h (t 0 = 0), wh 2(t 1)) = g 1 egyenlőségekből a wh 1(t 1) és a wh 2(t 1) ismeretlenek egyértelműen meghatározhatók, azaz wh 1(t 1) = wh 2(t 1). Folytatva a gondolatmenetet, a wh 1 = w2 h egyenlőség már közvetlenül következik. 87

89 alakban, ahol y h F(ω h ) az ismeretlen rácsfüggvény, N h : F(ω h ) F(ωh 0 ) típusú operátor, amelynek értelmezési tartománya a halmaz. dom(n h ) = {w h F(ω h ) : w h (t 0 = 0) = u 0 } 3.2. Megjegyzés Mivel N h : F(ω h ) F(ωh 0) típusú operátor, és az F(ω h) valamint az F(ωh 0) vektorterek különböző dimenziójúak (dim(f(ω h)) = N + 1, dim(f(ωh 0 )) = N), ezért N h a teljes F(ω h ) téren nyilván nem injektív, azaz a (3.91) feladatnak nem létezik egyértelmű megoldása. Ezért szükséges F(ω h ) egy olyan alkalmas dom(n h ) F(ω h ) halmazra való leszűkítése, amelyre dim(dom(n h )) = dim(f(ωh 0)), és ezen az N h operátor invertálható. Ezt az F(ω h )-beli rácsfüggvények t = t 0 = 0 pontbeli értékének rögzítésével érhetjük el, hiszen ezt az értéket a kezdetiérték-feladatból ismerjük. Mint azt már láttuk, az explicit Euler-módszer esetén az ω h rácsháló pontjaiban a közelítéseket a (3.26) képlet alapján definiáljuk, azaz az ismeretlen y h F(ω h ) rácsfüggvényt az y h (t n ) = y h (t n 1 ) + h n f(t n 1, y h (t n 1 )), i = 0, 1,..., N, (3.92) módon határozzuk meg, ahol y h (0) = u 0. (Mivel y h (t n ) az ismeretlen u(t) függvény t n pontbeli közelítése, ezért ez a megválasztás természetes.) Tehát a (3.26) iterációban az n = 0 értékhez tartozó y h (0) adott érték. Mindezek alapján az N h operátort a következő módon határozzuk meg: valamely w h F(ω h ) rácsfüggvényhez rendelje hozzá az (N h w h )(t n ) = w h(t n ) w h (t n 1 ) h n f(t n 1, w h (t n 1 )) (3.93) rácsfüggvényt, ahol n = 1, 2,..., N és h 1 + h h n = T. Nyilvánvalóan ekkor N h w h F(ω 0 h ). Az operátor értelmezési tartományát értelmezzük a dom(n h ) = {w h F(ω h ), w h (t 0 = 0) = u 0 } (3.94) módon. Könnyen látható, hogy az N h operátor ilyen megválasztása esetén a (3.91) egyenlet éppen a (3.92) alakú explicit Euler-módszert jelenti, és az operátoregyenlet megoldása a következő feladatot jelenti: keressük azt az y h F(ω h ) rácsfüggvényt, amelynek ismerjük értékét a t = t 0 = 0 rácspontban, továbbá adott az N h -képe. (Esetünkben ezek y h (0) = u 0 és N h y h = 0 F(ω 0 h ).) 88

90 Egylépéses módszerek konzisztenciája A numerikus módszerek tanulmányozásának lényege annak meghatározása, hogy a különböző approximációk (az N h képzési szabálya és y h (0) megválasztása esetén) milyen hibák keletkeznek, és ezek a hibák hogyan viselkednek az algoritmus realizálása során. Ebben a szakaszban azt vizsgáljuk meg, hogy az N h operátor milyen hibával approximálja az L h operátort a pontos megoldáson. (A következő szakaszban megvizsgáljuk, hogy az algoritmus lépéseinek során ezek a hibák hogyan viselkednek a rácsháló finomításával.) Ez tehát azt jelenti, hogy a t n ω h rácspontokban az (L h u)(t n ) értékeket hasonlítjuk össze az u(t) megoldás rácspontbeli értékeiből képzett rácsfüggvény N h -képével. Pontosabban, bevezetve a P h : C[0, T ] F(ω h ) operátort az egyenlőséggel, célunk a (P h u)(t n ) = u(t n ) (3.95) d n = (Lu)(t n ) (N h P h u)(t n ), t n ω h (3.96) kifejezés becslése. Vegyük észre, hogy az operátorok definíciója következtében t 0 = 0 pontban (Lu)(t 0 ) = u(t 0 ), és (N h P h u)(t 0 ) = (P h u)(t 0 ) = u(t 0 ), azaz a t 0 = 0 pontban a hiba nulla. Mivel a t n ω 0 h pontokban (Lu)(t n) = 0, ezért az ezen pontokhoz tartozó ún. lokális approximációs hiba d n = (N h P h u)(t n ), t n ω 0 h. (3.97) Célunk a d n = d n (h) h-tól való függésének vizsgálata Definíció Az N h operátorral leírt numerikus módszert konzisztensnek nevezzük az L operátorú feladattal az F [0, T ] dom(l) függvényosztályon, ha lim d n(h) = 0. (3.98) h 0 Azt mondjuk, hogy p-ed rendben konzisztens, amikor d n (h) = O(h p ) Példa Mint ismeretes, az explicit Euler-módszer (3.94)-(3.93) alakú N h operátora elsőrendben konzisztens a (3.86) alakú L operátorral az F [0, T ] = C 2 [0, T ] függvényosztályon. Ez az állítás a P h u = u h és az u n = u(t n ) jelölések alkalmazásával az alábbi módon nyerhető. (N h P h u)(t n ) = (N h u h )(t n ) = u n u n 1 h n f(t n 1, u n 1 ) = (u n 1 + h n u (t n 1 ) + O(h 2 n) u n 1 h n f(t n 1, u n 1 ) = u (t n 1 ) f(t n 1, u n 1 ) + O(h n ) = u (t n 1 ) f(t n 1, u(t n 1 )) + O(h n ) = (Lu)(t n 1 ) + O(h n ). (3.99) 89

91 Mivel (Lu)(t n 1 ) = 0, ezért d n = (N h P h u)(t n ) = O(h n ), azaz a séma elsőrendben konzisztens. Emellett, minden n esetén. d n = h n 2 u (t n ) + O(h n ) (3.100) Egylépéses módszerek konvergenciája és 0-stabilitása Egy numerikus séma megadásával természetesen nem a konzisztencia, hanem a konvergencia a célunk. Ezért feladatunk, hogy megmutassuk: finomodó felosztássorozat esetén a numerikus megoldások sorozata és a pontos megoldás eltérése hogyan viselkedik. Legyen h = max 1 n N h n és tegyük fel, hogy Nh korlátos h 0 esetén. (Tehát a [0, T ] intervallum mindegyik részén finomítunk.) Ezt ah i ch feltétellel, ahol c egy h-tól független állandó, biztosítani tudjuk. Legyen t (0, T ] egy olyan rögzített pont, amelyre t ω h minden vizsgált h > 0 érték esetén Definíció Az N h operátorral leírt numerikus módszert konvergensnek nevezzük, ha minden t (0, T ] esetén e n (h) = y h (t n ) u(t ) (3.101) ún. globális hiba h 0 esetén nullához tart, ahol t n = t. Azt mondjuk, hogy q-ed rendben konvergens, amikor e n (h) = O(h q ) Megjegyzés Fontos kérdés, hogy konzisztencia és konvergencia esetén van-e kapcsolat a két rend között. Megmutatjuk, hogy általában a két rend egymással egyenlő. Felmerül a kérdés: milyen kapcsolat van a konzisztencia és a konvergencia között? Következik-e a konvergencia a konzisztenciából? Megmutatjuk, hogy a válasz nemleges: önmagában a konzisztencia nem garantálja a numerikus módszer konvergenciáját, ehhez egy újabb tulajdonság, a stabilitás is szükséges Definíció Az N h operátorral leírt numerikus módszert 0-stabilnak (zéró-stabilnak) nevezzük, ha léteznek olyan h 0 és K pozitív állandók, hogy minden h < h 0 esetén két tetszőleges F(ω h )-beli x h és z h rácsfüggvényre érvényes az x h (t n ) z h (t n ) K{ x h (t 0 ) z h (t 0 ) + max 1 j N N hx h (t j ) N h z h (t j ) } (3.102) egyenlőtlenség tetszőleges n = 1, 2,..., N indexre. 90

92 A 0-stabilitás tehát azt fejezi ki, hogy ha két F(ω h )-beli rácsfüggvény olyan, hogy a a t = t 0 pontban közel vannak egymáshoz, az N h -képük F(ωh 0 )-ben is közel vannak egymáshoz, akkor maguk a függvények is pontonként közel vannak egymáshoz F(ω h )-ben. Ez azt jelenti, hogy a numerikus módszert leíró adatokra (az N h képzési szabályra és a rácsfüggvény t 0 = 0 pontbeli értékének megválasztására) nézve a numerikus módszer stabil: ezek kis megváltoztatása esetén a numerikus megoldás is csak korlátosan változik Megjegyzés Vegyük észre, hogy a 0-stabilitás fogalma a numerikus séma belső tulajdonsága, nincs kapcsolata azzal a folytonos feladattal, amelynek numerikus megoldására alkalmazni szeretnénk. A 0-stabilitás nemcsak a numerikus módszer stabilitását, hanem az injektivitását is biztosítja rögzített kezdeti értékek esetén. Ezért érvényes az alábbi állítás Tétel A dom(n h ) := {w h F(ω h ) : w h (t 0 ) rögzített} halmazon definiált 0-stabil N h operátor invertálható. Bizonyítás. Azt kell megmutatnunk, hogy az N h operátor injektív dom(n h ) halmazon, azaz ha két x h, z h dom(n h ) rácsfüggvényre x h z h, akkor N h x h N h z h. Ehhez azt kell belátni, hogy ha N h x h = N h z h, akkor x h = z h. Ez viszont a 0-stabilitás definíciójából nyilvánvaló, hiszen N h x h = N h z h következtében max N hx h (t j ) N h z h (t j ) = 0, 1 j N másrészt, mivel x h, z h dom(n h ), ezért x h (t 0 ) z h (t 0 ) = 0. Így a (3.102) egyenlőtlenség alapján x h (t n ) z h (t n ) = 0 minden n = 0, 1,..., N esetén, amely a bizonyítandó x h = z h egyenlőséget jelenti Megjegyzés A 3.9. tétel tehát azt bizonyítja, hogy az N h operátor a (3.89) képlet szerinti definíciójában a Φ függvény negyedik változója szerinti injektivitása a priori érvényes Következmény Egy 0-stabil N h -módszer megfelelően kis h lépésközű rácshálókon mindig realizálható, emellett a diszkretizált feladatra érvényes az egzisztencia, unicitás és stabilitás, azaz a diszkrét feladat korrekt kitűzésű. 91

93 Egylépéses módszerek alaptétele és alkalmazása az explicit Euler-módszerre A továbbiakban megvizsgáljuk a korábban feltett kérdést: van-e kapcsolat a konzisztencia, a konvergencia és a 0-stabilitás között? A következő tétel (amelyet gyakran a numerikus analízis alaptételének is szokás nevezni) választ ad erre a kérdésre Tétel Tegyük fel, hogy Ekkor a (3.85) operátoregyenletnek létezik egyértelmű megoldása; az N h : F(ω h ) F(ω h ) operátorral leírt numerikus módszer konzisztens és 0-stabil. a (3.90) egyenleteknek létezik y h egyértelmű megoldása a halmazon; dom(n h ) := {w h F(ω h ) : w h (t 0 ) = u 0 } (3.103) a numerikus megoldások sorozata konvergens, és a konvergencia rendje megegyezik a konzisztencia rendjével. Bizonyítás. Jelölje u(t) a (3.86) operátoregyenlet megoldását. (Feltételezésünk szerint a folytonos feladat korrekt kitűzésű, tehát a megfelelő dom(l)-ben u(t) létezik.) Jelölje u h az u függvény projekcióját az ω h rácsra, azaz u h = P h u. Mivel N h 0-stabil, ezért a következmény miatt a (3.91) egyenletnek (az alkalmasan megválasztott dom(n h ) halmazon) szintén létezik egyértelmű y h megoldása. Ekkor a globális hiba rácsfüggvénye e h = y h u h F(ω h ), és azt kell megmutatnunk, hogy ωh 0 pontjaiban h 0 esetén nullához tart a normája. Alkalmazzuk a 0-stabilitás (3.102) egyenlőtlenségét az x h = y h és z h = u h megválasztással! Ekkor e h (t n ) = y h (t n ) u h (t n ) K{ y h (t 0 ) u h (t 0 ) + max }{{} (N hy h ) (t j ) (N 1 j N }{{} h u h ) (t j ) } =0 =0 K max N hu h (t j ) = K max d h(t j ), 1 j N 1 j N (3.104) ahol d h (t j ) a lokális approximációs hiba. Ezért, ha a módszer p-ed rendben konzisztens, akkor d h (t j ) = O(h p ), és ezzel az állítást bizonyító e h (t n ) = O(h p ) relációt nyerjük. A fenti alaptétel alapján tehát az explicit Euler-módszer konvergenciájához elegendő megmutatni a módszer 0-stabilitását. (Ugyanis a 3.4. példában láttuk, hogy a módszer első rendben konzisztens.) 92

94 3.13. Megjegyzés Az állításban a konvergencia akkor is érvényben marad, ha (3.103) helyett a dom(n h ) := {w h F(ω h ), w h (t 0 ) = u h 0} (3.105) halmazon definiáljuk az N h operátort, ahol feltesszük, hogy lim h 0 u h 0 = u 0. Emellett, ha u h 0 u 0 = O(h p ), akkor a konvergencia rendje is megőrződik Tétel Az explicit Euler-módszer 0-stabil. Bizonyítás. Azt kell megmutatnunk, hogy a (3.93) módon definiált N h operátorra érvényes a (3.102) egyenlőtlenség. Legyenek x h, z h F(ω h ) két tetszőleges rácsfüggvény, és vezessük be a új rácsfüggvényt, illetve a η h = x h z h F(ω h ) (3.106) b h = max 1 j N (N hx h ) (t j ) (N h z h ) (t j ) jelölést. Ekkor a fenti jelölésekkel tetszőleges n = 1, 2,..., N esetén b h η h (t n ) η h (t n 1 ) [f(t n 1, x h (t n 1 )) f(t n 1, z h (t n 1 ))] h n. (3.107) Felhasználva a valós számokra jól ismert a b a b egyenlőtlenséget, ekkor b h η h(t n ) η h (t n 1 ) h n + [f(t n 1, x h (t n 1 )) f(t n 1, z h (t n 1 ))] h n. (3.108) Bevezetve az η n = η h (t n ), x n = x h (t n ) és z n = z h (t n ) egyszerűsítő jelöléseket, érvényes a b h η n η n 1 h n + [f(t n 1, x n 1 ) f(t n 1, z n 1 )] h n (3.109) becslés. Mivel az f függvény a második változójában lipschitzes az L állandóval, ezért érvényes a η n 1 + [f(t n 1, x n 1 ) f(t n 1, z n 1 )] h n ( ) (3.110) η n L η n 1 = + L η n 1 h n h n becslés. Ekkor a (3.109) és a (3.110) becslésekből a b h η ( ) n 1 + L η n 1 (3.111) h n h n 93

95 egyenlőtlenséget nyerjük. Átrendezve a (3.111) becslést, az η n (1 + h n L) η n 1 + b h h n (3.112) becslést nyerjük tetszőleges n = 1, 2,..., N értékekre. Felhasználva a (3.112) becslést egymás után az egyes tagokra, ekkor a következő egyenlőtlenséget kapjuk: η n ) (1 + h n L) η n 1 + b h h n (1 + h n L)(1 + h n 1 L) η n 2 + (1 + h n L)b h h n 1 + b h h n (1 + h n L)(1 + h n 1 L)... (1 + h 1 L)) η 0 + n h j (1 + h j+1 L)(1 + h j+2 L)... (1 + h n L). b h j=1 (3.113) A további becsléshez használjuk a pozitív x értékekre jól ismert 1 + x < exp(x) e x egyenlőtlenséget! Ez alapján 1 + h j L < e Lh j, és így (1 + h n L)(1 + h n 1 L)... (1 + h 1 L) < e L(h 1+h h n) = e Ltn, (3.114) valamint minden j = 0, 1,..., n esetén (1 + h j+1 L)(1 + h j+2 L)... (1 + h n L) < e L(h j+1+h j h n) = e L(tn t j). (3.115) Mivel e L(tn t j) e L(tn t) minden t [t j 1, t j ] esetén, ezért integrálva ezt az egyenlőtlenséget a [t j 1, t j ] intervallumon, a tj tj e L(tn tj) dt = h j e L(tn tj) e L(tn t) dt t j 1 t j 1 egyenlőtlenséget kapjuk. Ezt összegezve tehát érvényes a n h j e L(tn tj) j=1 tn 1 L t 0 n j=1 tj e Ltn e Lt dt = e Ltn ( e Lt n 1 ). t j 1 e L(tn t) dt = tn t 0 n j=1 tj e Lt dt = e Ltn 1 L t j 1 e Ltn e Lt dt = ( 1 e Lt n ) = Felhasználva a (3.114) és a (3.116) becsléseket a (3.113) egyenlőtlenségben, a (3.116) η n e Ltn η L 94 ( e Lt n 1 ) b h (3.117)

96 becslést nyerjük. Mivel t n T, ezért tehát érvényes a (3.102) 0-stabilitási becslés a K = max{e LT, 1 ( ) e LT 1 } (3.118) L konstanssal Megjegyzés A (3.118) képlet felhasználásával közvetlen becslés adható az explicit Euler-módszer hibájára. Ugyanis (3.104) és a konzisztencia (3.100) becslése alapján e h (t n ) K max d h(t j ) = max{e LT, 1 ( ) e LT 1 } M 2 h, (3.119) 1 j N L 2 ahol M 2 = max [0,T ] u (t) Példa Tekintsük a u = sin(t), u(0) = 1 kezdetiérték-feladatot! Milyen lépésközű rácshálón kell megoldanunk az explicit Eulermódszerrel, hogy a t = 2 pontban a megoldás ε = 10 3 pontosságú legyen? Az egyenletet deriválva u (t) = cos(t), azaz M 2 = max [0,2] cos(t) = 1. A példánkban a differenciálegyenlet jobb oldala f(t, u) = sin(t), ezért f(t, u 1 ) f(t, u 2 ) = 0, azaz f e lipschitzes az L = 0 állandóval. Könnyen láthatóan lim Lt 1 L 0 = t, ezért a (3.119) L becslés alapján e h (t n ) max{e 0, t } 1 2 h = h. Ezért ezen a feladaton a h = ɛ megválasztású rácshálón az explicit Euler-módszer eredménye garantálja az ɛ pontosságot. Legyen tehát h = 10 3! (Ekkor t = t 2000, hiszen a lépésszám a t = 2 pontig t /h = 2000.) Ezen a rácshálón az explicit Euler-módszerrel kapott numerikus megoldás y 2000 = Mivel a feladat pontos megoldása u(t) = cos(t), ezért összevetve a cos(2) = pontos megoldással, a globális hibára az e 2000 = értéket kapjuk Megjegyzés Az N h operátorú numerikus módszer lokális approximációs hibájának (3.97) szerinti definíciója azt mutatja meg, hogy a megoldás rácshálón való vetülete milyen pontosan elégíti ki a differenciasémát. A módszer egy másik jellemzése lehet a következő: megvizsgáljuk, hogy a t = t n 1 pontból a t n pontba való áttérés során mekkora eltérés van a numerikus megoldás (y n ) és azon érték között, amelyet a numerikus megoldással akkor kapnánk, ha a t n 1 pontból nem a közelített y n 1 értékből indulnánk, hanem a pontos u(t n 1 ) értéket használnánk. Például, az explicit Euler-módszer esetén ez az l n = u(t n ) [u(t n 1 ) + h n f(t n 1, u(t n 1 ))] (3.120) értéket jelenti. Könnyen látható, hogy ekkor l n = u(t n ) [u(t n 1 ) + h n u (t n 1 )] = h n d n, azaz l n = O(h 2 n), és általában, ha l n = O(h p+1 n ), akkor a módszer p-ed rendben konzisztens. 95

97 3.3. Abszolút stabilitás Az előző szakaszban megmutattuk, hogy egy p-ed rendben konzisztens, 0-stabil módszer p-ed rendben konvergens is, azaz e n C h p. Ugyanakkor az elméleti becslésből a C konstans nagyon nagy is lehet, ami alkalmazhatatlanná teheti ezt a becslést. A következőkben megvizsgáljuk, hogy az explicit Euler-módszer esetén mit jelent ez a becslés, illetve milyen numerikus probléma lép is fel valójában Az explicit Euler-módszer abszolút stabilitási tartománya 3.1. Példa Tekintsük a u (t) = 5tu 2 (t) + 5 t 1 t 2, u(1) = 1 kezdetiérték-feladatot! Milyen lépésközű rácshálón kell megoldanunk az explicit Eulermódszerrel, hogy az [1, 25] intervallumon a megoldás ε = 10 3 pontosságú legyen? Mivel a feladat pontos megoldása az u(t) = 1/t függvény, ezért a Lipschitz-állandót a Jacobi-mátrix ezen megoldásbeli alakjából határozhatjuk meg. Feladatunkra f(t, w) = 5tw 2 +5/t 1/t 2, ezért 2 f(t, 1/t) = 10t 1/t = 10. Tehát a Lipschitz-állandó értéke L = 10. Másrészt, M 2 = max [1,25] u (t) = max [1,25] 2/t3 = 2. Ezért az elméleti hibakorlát e n 2h max{e , e 250 } = e 250 h Tehát a konvergencia érvényes ugyan (hiszen h 0 esetén a [0, 25] mindegyik pontjában a globális hiba nullához tart), egy rögzített rácshálón a hiba nagyon nagy is lehet! Például, a feladat által megkövetelt ε = 10 3 pontossággal ezen feltétel szerint a h 0 = 10 3 e 250 melletti h < h 0 lépésközű rácshálókon tudnánk csak biztosítani. Mivel a számítógépen ebben az esetben h 0 = 0, ezért a fenti becsléssel elvileg nem tudjuk garantálni az előírt pontosságot, azaz nem választható meg a megfelelő rácsháló Megjegyzés Mi lehet az oka a fenti jelenségnek? Bár az eredeti feladat stabil (hiszen a Jacobi-mátrix a megoldáson negatív, tehát aszimptotikusan stabil is), a Lipschitz-állandó meghatározásánál ennek abszolút értékével számolunk, azaz a numerikus megoldás szempontjából pontosan úgy viselkedik, mintha a Jacobi-mátrix értéke 10 lenne, azaz instabil volna. Felmerülhet a kérdés: a fenti becslés hogyan viszonyul a valós pontossághoz? kérdés megválaszolásához tekintsük a következő példát. A 96

98 h e h (2) értéke táblázat. Numerikus eredmények λ = 2100 esetén Példa Oldjuk meg az explicit Euler-módszerrel az kezdetiérték-feladatot! u (t) = λ(u(t) cos(t)) sin(t); u(0) = 1 A feladatban f(t, w) = λ(w cos(t)) sin(t), tehát 2 f(t, w) = λ. Így tetszőleges függvényen a Jacobi-mátrix értéke λ. Vegyük észre, hogy a feladat megoldása u(t) = cos(t), a λ megválasztásától függetlenül. Határozzuk meg az ε = 10 3 pontosságú numerikus megoldást a t = 2 pontban! Ebben a feladatban M 2 = 1 és L = λ. Ezért λ 1 esetén a hibára a (3.119) becslés alapján az e h (t ) 0.5he 2 λ (3.121) becslést kapjuk. Legyen λ = 10. A (3.121) becslést figyelembevéve olyan rácshálót kellene megválasztanunk, amelynek finomsága a h 0 = 2e értéknél nem durvább, de ez a megválasztás nem reális. Mivel ez a feltétel egy elégséges feltételt jelent, ezért arra nem ad választ, hogy mi történik az ettől eltérő, nagyobb lépésközű rácshálón. Próbálkozzunk a rácsháló más megválasztásával! Mivel ebben a feladatban a megoldás ugyanaz, mint a a példában, ezért az ottani rácshálóval kísérletezzünk, azaz legyen a h = 10 3 lépésközű ekvidisztáns rácsháló! Ebben az esetben a t = 2 ponthoz tartozó közelítés y 2000 = lesz, azaz a hibára az e h (t 2000 ) = y 2000 cos(2) = adódik. Tehát ez a rácsháló-megválasztás jó a kivánt pontosság eléréséhez! Legyen most λ = 2100! Ebben az esetben az elméleti hibabecslésben szereplő rácsméretre a h 0 = 2e értéket kapjuk, ami a gépi nullát jelenti. Tehát ez a becslés nem alkalmazható a rácsháló megválasztására! Próbálkozzunk ismét a h = 10 3 lépésközű ekvidisztáns rácshálóval! Eredményül ekkor az y 2000 = értéket kapjuk, amely nyilvánvalóan alkalmatlan a cos(2) közelítésére! Ezért próbálkozzunk kisebb h értékekkel! Eredményeink a 3.5 táblázatban láthatók. Eredményeink azt mutatják, hogy valamilyen ismeretlen ok következtében a h = és a h = értékek között történik a változás, és az addig használhatatlan 97

99 numerikus eredmény jóvá válik. Az ok meghatározásához tekintsük a u (t) = λu + g(t) lineáris feladatot, azaz a 3.3. példát általános inhomogenitással. Ha az explicit Eulermódszert alkalmazzuk ezen feladat megoldására, akkor az y n = y n 1 + h(λy n 1 + g(t n 1 )) = (1 + λh)y n 1 + hg(t n 1 ) (3.122) formulát nyerjük. Mivel a lokális approximációs hibára a összefüggés érvényes, ezért d n = u(t n) u(t n 1 ) h λu(t n 1 ) g(t n 1 ) u(t n ) = (1 + λh)u(t n 1 ) + hg(t n 1 ) + hd n. (3.123) A (3.122) és a (3.123) összefüggésekből a t n pontbeli e h (t n ) = e n globális hibára az e n = (1 + λh)e n 1 hd n (3.124) egyenlőséget kapjuk. A (3.124) képlet azt mutatja, hogy az n 1-dik pontról az n-dik pontra való áttérésnél a globális hiba két forrásból tevődik össze. Bár a második tag h csökkenésével csökken (ezt a konzisztencia biztosítja), az első tag az (1 + λh)-szorosára változik. Ez azt jelenti, hogy csak akkor csökken, amikor 1 + λh < 1. Az első esetben, amikor λ = 10 volt, akkor 1 + λh = 1 + ( 10) 10 3 = 0.99, tehát az egyenlőtlenségi feltétel teljesült. A második esetben, amikor λ = 2100 volt, akkor 1 + λh = 1 + ( 2100) 10 3 = 1.1, tehát az egyenlőtlenségi feltétel nem teljesült, és az előző pontbeli globális hiba nagysága az új pontbeli hiba első összetevőjében megnőtt. Ez az összetevő tag tehát a lépés után szeresére növekszik. Mivel az 1 + ( 2100)h < 1 egyenlőtlenség megoldása a h = 2/ , ez magyarázatot ad a 3.5 táblázat eredményeire. A fenti példa azt mutatja, hogy a 0-stabilitás csupán azt mutatja, hogy h 0 esetén hogyan viselkedik a numerikus megoldás. Arra viszont nem ad választ, hogy egy rögzített rácshálón milyen tulajdonságú a numerikus megoldás! A numerikus megoldásokat azzal jellemezhetjük, hogyan viselkednek a u (t) = λu(t), t > 0 (3.125) tesztegyenleten. Alapvető elvárásunk, hogy a numerikus megoldás valamely rögzített rácshálón jól modellezze az u(t) = e λt u(0) megoldást. Megjegyezzük, hogy a (3.125) 98

100 tesztegyenletben λ C adott szám 11. Az általánosság megszorítása a továbbiakban feltesszük, hogy u(0) = u 0 > 0. Mint azt megmutattuk, a megoldás stabilitása Re(λ) előjelétől függ: pozitív értéke esetén instabil, míg nem-pozitív értéke esetén stabil a megoldás. Ezért a numerikus módszerünket olyan tesztfeladatra alkalmazzuk, amikor Re(λ) 0. (3.126) Az u(t) = exp(λt)u(0) függvényre a stabilitás következtében könnyen látható, hogy a megoldás monoton csökkenő, tehát tetszőleges t 2 > t 1 esetén u(t 2 ) u(t 1 ). A megoldás alakjából az is leolvasható, hogy minden t > 0 esetén u(t) > 0, és u(t) u(0) = u 0. (Ha Re(λ) < 0, akkor az aszimptotikus stabilitás következtében a megoldás szigorúan monoton csökkenő, és t esetén nullához tart.) Alkalmazzuk az explicit Euler-módszert a feladat megoldására az ekvidisztáns (h n = h) lépésközű ω h rácshálón! Vizsgáljuk meg, hogy a folytonos megoldás felsorolt tulajdonságai milyen feltétel mellett őrződnek meg a rácshálón! Mivel y n = y n 1 + hλy n 1 = (1 + hλ)y n 1, ezért a numerikus megoldás a rácsháló pontjaiban A stabilitás diszkrét megfelelőjét jelentő feltétel akkor és csak akkor teljesül, amikor y n = (1 + hλ) n u 0. (3.127) y n y n 1 (3.128) 1 + λh 1. (3.129) Ez azt jelenti, hogy a (3.125) tesztegyenletben szereplő λ adott érték esetén csak azon h-lépésközű rácshálókon teljesül a (3.128) numerikus stabilitási tulajdonság, amelyekre a (3.129) feltétel érvényes. Mit jelent ez a feltétel? Vezessük be a z = λh C jelölést, illetve az R(z) = 1 + z függvényt! Ezen jelölésekkel az explicit Euler-módszer felírható y n = R(z)y n 1 (3.130) alakban, ahol az R(z) függvényt az explicit Euler-módszer stabilitási függvényének nevezzük. A numerikus megoldás monoton csökkenésének R(z) 1 (3.131) a feltétele. Azon pontok halmazát, amelyekre a (3.131) feltétel teljesül, az explicit Eulermódszer abszolút stabilitási tartományának nevezzük. 99

101 3.1. ábra. Az explicit Euler-módszer abszolút stabilitási tartománya Megjegyzés Az explicit Euler-módszer stabilitási tartománya az 1 + z 1 tulajdonságú komplex számok halmaza, azaz a 3.1 ábra szerinti, C -beli kör. Tehát pl. valós λ esetén a feltétel hλ [ 2, 0], azaz h 2/( λ). (Látható a probléma nagy λ esetén!) Vegyük észre, hogy a 3.3. példában, amikor a λ = 10 esetet vizsgáltuk, a h = 10 3 megválasztás kielégíti ezt a feltételt, hiszen ezen λ esetén a korlát h 0.2. Fontos megjegyeznünk, hogy az abszolút stabilitási feltétel a stabilitásra, és nem a pontosság növelésére szolgál. Például, legyen a tesztegyenletben Re(λ) < 0 és u 0 = Ekkor a pontos megoldás közel van az u(t) = 0 görbéhez, amely az u 0 = 0 megválasztáshoz tartozik. Ugyanakkor az u 0 = kezdeti érték megválasztást úgy is tekinthetjük, mint az u 0 = 0 pontos kezdeti érték perturbált (azaz, hibával terhelt) értékét. Ekkor, ha az explicit Euler-módszerben h értékét az abszolút stabilitási tartományból vesszük (azaz h-ra teljesül a (3.129) feltétel), akkor közel maradunk az u(t) = 0 megoldáshoz, és n növelésével a numerikus megoldás is, szigorúan monoton csökkenve nullához tart. Viszont nagyobb h esetén ez már nem teljesül: ha 1 + λh > 1, akkor n esetén 1 + λh n, azaz a numerikus megoldás nem marad korlátos. Lineáris rendszerek esetén a stabilitási vizsgálat kissé bonyolultabb. Tekintsük a du(t) dt = Au(t), t > 0 (3.132) 11 Megengedjük a komplex értéket is, hiszen, mint azt már láttuk, rendszerek esetén λ valamely mátrix sajátértéke, és így komplex mértékű is lehet. 100

102 lineáris rendszert, ahol A R d d adott, diagonalizálható mátrix. Ez azt jelenti, hogy létezik olyan T reguláris mátrix, amellyel a hasonlósági transzformáció után T 1 AT = diag[λ 1,..., λ d ] = Λ, (3.133) ahol λ i az A mátrix sajátértékei. Bevezetve w(t) = T 1 u(t) új változót, a (3.132) egyenlet átírható dw(t) = Λw(t) dt alakra. Mivel ez az egyenlet d darab skaláris tesztegyenletet jelent, ezért a stabilitásának feltétele, hogy mindegyik skaláris egyenlet stabil legyen, azaz teljesüljön a Re(λ j ) 0 feltétel minden j = 1, 2,..., d esetén. Alkalmazzuk az explicit Euler-módszert a (3.132) feladatra! Ekkor az u(t n ) R d közelítését jelentő y n R d vektort az vektoriterációval állítjuk elő. Vezessük be az új vektort! Mivel TΛT 1 = A, ezért (3.134) felírható azaz alakban, ami az új vektorra áttérve a y n = y n 1 + hay n 1 (3.134) w n = T 1 y n R d (3.135) y n = y n 1 + htλt 1 y n 1, T 1 y n = T 1 y n 1 + hλt 1 y n 1 w n = w n 1 + hλw n 1 (3.136) rekurziót jelenti. Ezért ha h értékét úgy választjuk meg, hogy hλ i értékek az explicit Euler-módszer stabilitási tartományában vannak, azaz 1 + λ i h 1, i = 1, 2,..., d, (3.137) akkor az explicit Euler-módszerrel előállított w n vektorokra érvényes a egyenlőtlenség. Ezért érvényes a w n w n 1 w 0 (3.138) y n = Tw n T w n T w 0 = T T 1 y 0 T T 1 y 0 = κ(t) y 0 = κ(t) u 0 (3.139) 101

103 becslés, ahol κ(t) = T T 1 a T mátrix kondíciószáma 12. Vegyük észre, hogy a (3.139) becslés azt mutatja, hogy rögzített lineáris rendszerre a (3.137) feltételt kielégítő h megválasztása esetén érvényes az y n állandó becslés, azaz a módszer numerikusan stabil. Mivel nyilvánvalóan κ(t ) 1, ezért általános esetben nem feltétlenül teljesül rá normában a (3.128) feltétel, azaz a kezdeti vektor normáját meghaladhatja egy későbbi közelítés normája Megjegyzés Ha T ortogonális mátrix, akkor inverze a transzponáltjával egyenlő, azaz T 1 = T T. Ekkor egy tetszőleges y R d vektor és annak w = T 1 y transzformáltjainak euklideszi normái között az alábbi kapcsolat érvényes: y 2 2 = < y, y >=< Tw, Tw >=< w, T T Tw > = < w, T 1 Tw >=< w, w >= w 2 2, (3.140) azaz az ortogonális transzformáció normatartó. Az ortogonális mátrixok egy további fontos tulajdonsága, hogy az euklideszi normabeli kondicionáltsági száma κ 2 (T ) = 1. (V.ö. [5], 61.oldal, tétel.) 13 A 3.5. megjegyzés következtében, ha T ortogonális mátrix, akkor a speciális euklideszi normában érvényes az y n 2 y 0 2 tulajdonság Példa Vizsgáljuk meg az explicit Euler-módszer alkalmazhatóságát a forrásmentes hővezetési egyenlet x egyenletes térbeli rácshálón való szemidiszkretizációjára, azaz a y (t) = A x y(t) (3.141) egyenletre, ahol tridiagonális mátrix. A x = 1 tridiag[1, 2, 1] RN N ( x) 2 Mint ismeretes, egy valós A mátrix pontosan akkor diagonalizálható ortogonális mátrixszal, amikor szimmetrikus. (V.ö. [5], 28. oldal, tétel.) 15 Mivel A x ilyen 12 A kondíciószám normafüggő, azaz függ az operátornorma megválasztásától. Ha hangsúlyozni akarjuk, hogy melyik normában értendő a kondíciószám, akkor ezt jelölésben is kifejezhetjük: a p operátornorma használata esetén az ebben normában értendő kondíciószámot κ p -vel jelöljük. 13 Ez a tulajdonság könnyen belátható az eddigi eredményeinkből is. Ugyanis a (3.138) és a (3.140) egyenlőtlenség alapján y n 2 = w n 2 w n 1 2 w 0 2 = y 0 2, ezért az y n κ(t) y 0 egyenlőtlenség következtében κ(t) 1. Mivel az 1 = I 2 = TT 1 2 T 2 T 1 2 = κ 2 (T) becslés nyilvánvalóan igaz, ezért κ 2 (T) = Ha egy numerikus módszer olyan, hogy az általa előállított numerikus megoldások sorozatára fennáll az y n y 0 tulajdonság, akkor a numerikus módszert ebben a normában kontraktívnak nevezzük. 15 Ebben az esetben T transzformációs mátrixnak az A mátrix sajátvektoraiból összeállított mátrix választható, amelyek a 2 normában ortonormáltak. 102

104 tulajdonságú mátrix, ezért tehát diagonalizálható ortogonális mátrixszal, és így adott térbeli felosztás esetén a stabilitási tartományából választott h időbeli diszkretizációs lépésköz esetén a módszer stabil és ráadásul a 2 normában kontraktív. Mivel a mátrix mindegyik sajátértéke negatív, ezért a (3.137) feltétel a h < 2 λ max feltételt jelenti, ahol λ max a maximális abszolút értékű sajátérték. Mivel az A x mátrix sajátértékei λ k = 4 kπh sin2, k = 1, 2,..., N, (3.142) ( x) 2 2 (ahol (N + 1) x = 1), (v.ö. (2.165) képlettel), ezért ebben a példában λ max = λ N = 4 ( x)nπ sin2 ( x) 2 2 = 4 (1 x)π sin2 ( x) 2 2 = 4 (3.143) π x cos2 ( x) 2 2. Tehát rögzített térbeli rácsháló esetén (rögzített x mellett) az időbeli diszkretizáció lépésközére a h < ( x)2 = O(( x) 2 ) (3.144) 2 cos 2 π x 2 feltételt kapjuk. Ez x 0 esetén a h állandó ( x) 2 feltétellel biztosítható, azaz az időbeli diszkretizációs lépésköz a térbeli lépésköz négyzetével arányos. (Mivel x 0 esetén cos 2 (π x/2) alulról tart az 1 határértékhez, ezért tetszőleges x lépésközre az arányossági állandó értéke 0.5, tehát tetszőleges x esetén a korlát a h/( x) feltétellel biztosítható. Ez természetesen egy elégséges feltétel, és rögzített x esetén a korlát kicsit növelhető.) Mint láttuk, az explicit Euler-módszer esetén az abszolút stabilitási feltétel túlságosan is megszorító lehet. Ugyanis, nagy abszolút értékű λ esetén csak nagyon kis h választható, amely mellett stabil marad a módszer. Ez ugyan nagy pontosságú numerikus megoldáshoz vezet, de nagy számítási munkával is jár. (Egy rögzített t időpont eléréséhez t /h számú rétegen kell a közelítést meghatározni, amely kis h esetén jelentős munkát eredményez.) Tehát, ha be is érnénk kisebb pontossággal, mert nem szükséges a numerikus megoldás túlságosan nagy pontossága, akkor sem választhatunk nagyobb h lépésközt, hiszen ezen megválasztás mellett az explicit Euler-módszer instabillá válna. Az explicit Euler-módszer ezen tulajdonsága az alkalmazhatósága szempontjából mindenféleképpen hátrányt jelent. 103

105 További módszerek abszolút stabilitási tartománya A továbbiakban megvizsgáljuk, hogy más numerikus módszer esetén mi mondható el az abszolút stabilitási tartományról. Tudunk-e olyan módszereket megadni, amelyekre a lépésköz megválasztását csak a kívánt pontosság határozza meg? Elsőnek az implicit Euler-módszert tekintjük. (V.ö. a szakasszal.) Mint ismeretes, az implicit Euler-módszer esetén a numerikus közelítést az y n = y n 1 + h n f(t n, y n ), n = 1, 2,..., (3.145) rekurzióval határozzuk meg, ahol ismét y 0 = u 0 adott. A következő levezetés az implicit Euler-módszer már korábban is megmutatott elsőrendű lokális approximációs tulajdonságát mutatja meg (a megfelelően sima megoldásokra): d n = u(t n) u(t n 1 ) f(t n, u(t n )) = u(t n) u(t n 1 ) u (t n ) = h n h n u(t n ) (u(t n ) h n u (t n ) + O(h 2 n)) u (t n ) = O(h n ). h n (3.146) Emlékeztetünk, hogy az alapvető különbség az explicit Euler-módszer és az implicit Euler-módszer között az, hogy míg az első módszer esetén y n 1 ismeretében közvetlenül, egy függvénykiértékeléssel meg tudjuk határozni y n értékét, addig az implicit Euler-módszer esetén időrétegenként egy nemlineáris egyenletet (közönséges differenciálegyenletrendszerek esetén pedig egy nemlineáris algebrai egyenletrendszert) kell megoldani. Vizsgáljuk meg az implicit Euler-módszer abszolút stabilitási tartományát! Alkalmazva a (3.145) képletet a (3.125) tesztegyenletre a h lépésközű ekvidisztáns rácshálón, a y n = y n 1 + λhy n egyenlőséget kapjuk, amely átrendezve az y n = 1 1 hλ y n 1 (3.147) egylépéses iterációt eredményezi. A szokásos z = λh C jelöléssel, az R(z) = 1 1 z (3.148) stabilitási függvénnyel a módszer ismét a korábbi y n = R(z)y n 1 alakot ölti. Ezért az implicit Euler-módszer abszolút stabilitási tartománya az R(z) 1 feltétel következtében a {z C : 1/ 1 z 1} (3.149) 104

106 ponthalmaz. Tehát implicit Euler-módszer stabilitási tartománya az 1 z 1 tulajdonságú komplex számok halmaza, azaz a 3.2 ábra szerinti, tehát egy C + -beli kör komplementere ábra. Az implicit Euler-módszer abszolút stabilitási tartománya. Ez azt jelenti, hogy valós Re λ 0 esetén nincs feltétel hλ megválasztására, és ebben az esetben h > 0 tetszőlegesen választható meg. Ezért nagy λ esetén sem szükséges túlságosan kis h értéket választanunk. Mint már említettük, az implicit Euler-módszer realizálása során időrétegenként nemlineáris egyenlet megoldása szükséges. Nevezetesen, bevezetve a g(y n ) = y n y n 1 hf(t n, y n ) függvényt, minden időlépésben a g(y n ) = 0 egyenletet kell megoldanunk. Ennek megoldását közelíthetjük az egyszerű függvényiteráció segítségével, azaz az y (k) n = y n 1 + hf(t n, y (k 1) n ), k = 1, 2,..., y (0) n = y n 1 (3.150) iterációval. Vizsgáljuk meg az iteráció konvergenciájának feltételét! Jelölje e (k) n = y n y n (k) az implicit Euler-módszer numerikus megoldás és a k-ik iterált érték közötti eltérést! Ekkor a (3.145) egyenletből kivonva a (3.150) egyenletet, az e (k) n = h ( f(t n, y n ) f(t n, y n (k 1) ) ) 105

107 egyenlőséget kapjuk. Innen mindkét oldal abszolút értékét véve és felhasználva az f függvény második változó szerinti lipschitzességét, e (k) n hl e (k 1) n... h k L k e 0) n = h k L k y n y n 1. Ezért k 0 esetén hl < 1 mellett y n (k) az y n -hez tart. Tehát az egyszerű iteráció konvergenciájának feltétele a h < 1/L korlát, amely nagyságrendben megegyezik az explicit Euler-módszer stabilitási feltételével. (Sőt, annál szigorúbb is!) Ezért nagy L esetén az implicit Euler-módszer ilyen realizálása nem előnyös. Egy másik lehetőség a Newton-féle iteráció alkalmazása az egyenlet megoldásának közelítésére. Ez az y n (k) = y n (k 1) ( g (y n (k 1) ) ) 1 g(y (k 1) n ) iterációt jelenti, azaz y (k) n = y (k 1) n ( 1 h 2 f(t n, y n (k 1) ) ) 1 ( y (k 1) n y n 1 hf(t n, y n (k 1) ) ) a módszer algoritmusa. Itt ugyanúgy felmerül a konvergencia kérdése, amely a Newtonmódszer esetén a megfelelő kezdeti közelítés megválasztásának kérdéséhez vezet [5]. Egy további lehetőség a szakaszban tárgyalt trapéz-módszer alkalmazása. A módszer y n = y n 1 + h n 2 [f(t n 1, y n 1 ) + f(t n, y n )], n = 1, 2..., (3.151) alakú, ahol y 0 = u 0. Korábban megmutattuk, hogy a trapéz-módszer másodrendű módszer. Határozzuk meg a módszer abszolút stabilitási tartományát! Alkalmazva a (3.151) képletet a (3.125) tesztegyenletre a h lépésközű ekvidisztáns rácshálón, a egyenlőséget kapjuk, amely átrendezve az y n = y n 1 + λh y n 1 + y n 2 y n = 2 + hλ 2 hλ y n 1 (3.152) egylépéses iterációt eredményezi. A szokásos z = λh C jelöléssel, az R(z) = 2 + z 2 z (3.153) stabilitási függvénnyel a módszer ismét a korábbi y n = R(z)y n 1 alakot ölti. Ezért az trapéz-módszer abszolút stabilitási tartománya az R(z) 1 feltétel következtében a {z C : 2 + z 2 z 1} (3.154) 106

108 ponthalmaz. Ez azon z pontokban teljesül, amelyekre érvényes a 2 + z 2 z egyenlőtlenség. Ez pedig pontosan akkor áll fenn, amikor Re(z) Tehát trapéz-módszer abszolút stabilitási tartománya a nem-pozitív valós részű komplex számok halmaza, azaz a C + 0 halmaz, amelya 3.3 ábrán látható ábra. A trapéz-módszer abszolút stabilitási tartománya. Nyilvánvalóan a trapéz-módszer is implicit módszer, azaz realizálása során időrétegenként egy nemlineáris egyenlet megoldása szükséges. Nevezetesen, bevezetve a g(y n ) = y n y n 1 h n 2 [f(t n 1, y n 1 ) + f(t n, y n )] függvényt, minden időlépésben a g(y n ) = 0 egyenletet kell megoldanunk. Oldjuk meg az egyszerű függvényiteráció segítségével, azaz az y (k) n = y n 1 + h n 2 iterációval, ahol y (0) n = y n 1. [ f(tn 1, y n 1 ) + f(t n, y (k 1) n ) ], k = 1, 2,... (3.155) Vizsgáljuk meg az iteráció konvergenciájának feltételét! Jelölje ismét e n (k) = y n y n (k) a trapéz-módszer numerikus megoldás és a k-ik iterált érték közötti eltérést! Ekkor 16 Legyen ugyanis z = x + iy, ekkor a feltételünk 2 + (x + iy) 2 2 (x + iy) 2, azaz (2 + x) 2 + y 2 (2 x) 2 + y 2. Ez pedig nyilvánvalóan csak x 0 esetén igaz. 107