Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja"

Zsombor Kozma
8 évvel ezelőtt
Látták:

1 Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t) gerjesztése és egyetlen y = y(t) válasza van. A rendszeregyenlet explicit alakja megadja y(t) kifejezését y(τ),u(τ), τ t segítségével. Továbbá kauzális rendszerekre szorítkozunk, vagyis ekkor csak τ t időbeni értékek fordulhatnak elő. A rendszerünk invariáns, vagyis a rendszeregyenlet állandó együtthatós, tehát ezen együtthatók nem függenek a t időtől. Ez azt jelenti, hogy a válasz és a gerjesztés késleltetett értékei nem fordulhatnak elő a rendszeregyenletben. Bevezetve az u gerjesztésű y válaszú, folytonos idejű (FI) invariáns, kauzális, lineáris rendszer rendszeregyenletét y (n) (t) + a 1 y (n 1) (t) + + a n 1 y (1) (t) + a n y(t) = b 0 u (m) (t) + b 1 u (m 1) (t) + + b m 1 u (1) (t) + b m u(t). A választ a t (0, ) intervallumban keressük, amely kiszámításához az n. rendű rendszeregyenleten kívül n darab y(+0), y (1) (+0),...,y (n 1) (+0) kezdeti értéket is ismernünk kell. Ezeket összefoglaló néven kezdeti feltételeknek nevezzük. megj: x (i) (t) = di x(t) dt i y (i) (+0) = di y(t) dt i t=+0 (1) i [0, n 1] Fentiekből következik, ha a gerjesztés belépő, vagyis u(t) = 0, t (,0), akkor y() = 0,...,y (n) = 0, vagyis minden kiindulási érték nulla. Általánosan elmondható, ha az u(t) gerjesztés, illetve valamennyi u i deriváltja véges a t = 0 helyen (itt nem tartalmaznak δ(t) összetevőt), akkor a kezdeti értékek megegyeznek a kiindulási értékekkel Ennek belátására későbbiekben kerül sor. y (i) (+0) = y (i) (), i [0,n 1]. (2) 2. FI rendszeregyenlet megoldása Az (1) rendszeregyenlet megoldásakor az y válasz egy y sz szabad, és y g gerjesztett összetevő összegeként adható meg y(t) = y sz + y g. (3) 1

válasza van. A rendszeregyenlet explicit alakja megadja y(t) kifejezését y(τ),u(τ), τ t segítségével.

2 A szabad válasz a gerjesztetlen rendszer válasza, vagyis ha u(t) = 0 t [0,+ ). Ez a válasz n darab állandót tartalmaz, amelyet a kezdeti értékek figyelembevételével később tudunk meghatározni. A gerjesztett összetevő a rendszeregyenlet egy megoldása, és nem elégíti ki a kezdeti feltételeket A szabad válasz Az előzőekből adódóan a szabad válasz esetén u(t) = 0 t [0,+ ), vagyis y (n) (t) + a 1 y (n 1) (t) + + a n 1 y (1) (t) + a n y(t) = 0. (4) Ennek megoldása t változó exponenciális függvényeinek összegéből adódik. y sz (t) = k 1 e λ1(t) + + k n e λn(t) (5) λ i kiszámításához (4) egyenlet alapján a karakterisztikus egyenletet felírva F(λ) = λ n + a 1 λ n a n λ 1 + a n. (6) A (6) karakterisztikus egyenlet gyökeit a rendszeregyenlet sajátértékeinek nevezik. Nyilvánvaló, a sajátértékek száma a rendszeregyenlet fokszámából adódik. Valós együtthatók esetén a sajátértékek vagy valósak, vagy konjugált komplex gyökpárt alkotnak λ i = a i + b i j λ i+1 = a i b i j. (7) A rendszer úgynevezett τ i időállandói a λ i sajátértékekből adódnak τ i = 1 R(λ i ). (8) Továbbiakban olyan rendszeregyenletekkel foglalkozunk, ahol a sajátértékek egyszeres gyökök A gerjesztett válasz Előzőekből adódóan a gerjesztett válasz a rendszeregyenlet egy megoldása, amelynek nem kell kielégítenie a kezdeti feltételeket. Ennek meghatározásához tételezzük fel, hogy a gerjesztő jel t [0, + ) tartományban elemi függvény, vagyis pl. állandó, exponenciális, polinomiális függvény. Dirac δ(t) impulzus esetén (végtelen amplitúdójú)a gerjesztett válasz nulla. Az y g (t) gerjesztett válasz meghatározásához próbafüggvény módszert használjuk, miszerint ezen próbafüggvény hasonló az adott gerjesztéshez. A próbafüggvény felvétele után azt viszzahelyettesítjük a rendszeregyenletbe. Az (1) táblázat néhány FI próbafüggvényt tartalmaz. 2

A szabad válasz Az előzőekből adódóan a szabad válasz esetén u(t) = 0 t [0,+ ), vagyis y (n) (t) + a 1 y (n 1) (t) + + a n 1 y (1) (t) + a n y(t) = 0.

3 u(t) C Ce αt (α λ i ) Ce λit (λ i r-szeres pólus) y g (t) A Ae αt At r e λit 1. táblázat. Próbafüggvények 2.3. Az FI válasz Eddigiekből kiderült, hogy y g (t) gerjesztett válasz megoldásával még nem jutunk el a válasz végső alakjáig, hiányzik még y sz (t) szabad válaszban szereplő n számú ismeretlen állandó meghatározása. Ezek a kezdeti feltételek segítségével, egy lineáris egyenletrendszer megoldásával határozhatóak meg y (i) (+0) = y (i) sz (+0) + y (i) g (+0), i = 0,1,...n 1. (9) 3. FI rendszerek stabilitásvizsgálata 3.1. Gerjesztés-válasz stabilitás Egy rendszer gerjesztés-válasz (GV) stabilis, ha bármely korlátos gerjesztéshez korlátos válasz tartozik. Egy lineáris FI invariáns rendszer csak akkor GV stabilis, ha impulusválasza abszolút integrálható + x(t) dt. (10) A szabad összetevőt vizsgálva FI rendszereknél belátható, hogy akkor korlátos, ha minden R(λ i ) < 0. A gerjesztett válasz viszont minden korlátos gerjesztésre korlátos (lásd próbafüggvények). Ha a λ i sajátértékeket általánosan komplex számoknak tekintjük, akkor a GV stabilitás feltétele, hogy a sajátértékek a komplex számsík bal félsíkján helyezkedjenek el Aszimptotikus stabilitás A lineáris, invariáns FI rendszer akkor aszimptotikusan stabilis, ha minden állapotváltozója nullához tart, t esetén bármely kiindulási állapotra: x(t) 0,t,u(t) = 0,t [0, ). (11) Az aszimptotikus stabilitás feltétele FI rendszereknél, hogy R(λ i ) < 0. Ha R(λ i ) 0 feltétel teljesül, vagyis az egyszeres sajátértékek valós része 0, akkor az aszimptotikus stabilitás határhelyzetében van a rendszer. Ilyen válaszok a végtelenben egy periodikus jelhez tartanak. 3

meghatározása. Ezek a kezdeti feltételek segítségével, egy lineáris egyenletrendszer megoldásával határozhatóak meg y (i) (+0) = y (i) sz (+0) + y (i) g (+0), i = 0,1,...n 1. (9) 3.

4 4. Elsőrendű FI rendszeregyenletek megoldása Elsőként az elsőrendű rendszeregyenleteket tárgyaljuk, vagyis y (t) + a 1 y(t) = b 0 u (m) (t) + b 1 u (m 1) (t) + + b m 1 u (1) (t) + b m u(t). (12) 4.1. Feladatok y (t) + 0.8y(t) = 2s(t) ; y() = 0 (1) s(t) = ε(t) (2) s(t) = δ(t) (3) s(t) = 2ε(t)e.2t Megoldás y(t) = y sz + y g λ = 0 λ 1 =.8 y sz (t) = k 1 e.8t λ 1 =.8 < 0, így GV és aszimptotikusan stabilis. 1. s(t) = ε(t) Próbafüggvény : A A + 0.8A = 2 A = 2.5 y g (t) = 2.5 y(t) = k 1 e.8t y (t)dt ε(t)dt y(+0) y() = 2 0 y(+0) = y() = 0 t = +0 y(+0) = 0 = k 1 e k 1 = 2.5 y(t) = 2.5e.8t s(t) = δ(t) y g (t) = 0 y(t) = k 1 e.8t y (t)dt δ(t)dt y(+0) y() = 2 1 y(+0) = y() + 2 = 2 t = +0 y(+0) = 2 = k 1 e 0 k 1 = 2 4

8 < 0, így GV és aszimptotikusan stabilis. 1. s(t) = ε(t) Próbafüggvény : A A + 0.8A = 2 A = 2.5 y g (t) = 2.5 y(t) = k 1 e.8t + 2.5 y (t)dt + 0.8 ε(t)dt y(+0) y() + 0.

5 y(t) = 2e.8t 3. s(t) = 2ε(t)e.2t Próbafüggvény : Ae.2t (Ae.2t ) (t) + 0.8Ae.2t = 2 2ε(t)e.2t A = 20/3 y g (t) = 20 3 e.2t y(t) = k 1 e.8t e.2t y (t)dt ε(t)e.2t dt y(+0) y() = 2 0 y(+0) = y() = 0 t = +0 y(+0) = 0 = k 1 e e0 k 1 = 20 3 y(t) = 20 3 e.8t e.2t y (1) (t) + 2y(t) = 0.5s(t) ; y() = 3 ; s(t) = 2ε(t) Megoldás y(t) = y sz + y g λ = 0 λ 1 = 2 y sz (t) = k 1 e 2t λ 1 = 2 < 0, így GV és aszimptotikusan stabilis. Próbafüggvény : A A + 2A = A = 0.5 y g (t) = 0.5 y(t) = k 1 e 2t y (t)dt + 2 y(t)dt = 0.5 2ε(t)dt y(+0) y() = y(+0) = y() = 3 t = +0 y(+0) = 3 = k 1 e k 1 = 2.5 y(t) = 2.5e 2t

5s(t) ; y() = 3 ; s(t) = 2ε(t) Megoldás y(t) = y sz + y g λ 1 + 2 = 0 λ 1 = 2 y sz (t) = k 1 e 2t λ 1 = 2 < 0, így GV és aszimptotikusan stabilis.

6 y (t) 3y(t) = 2s(t) ; y() = 1 ; s(t) = 5ε(t) Megoldás y(t) = y sz + y g λ 1 3 = 0 λ 1 = 3 y sz (t) = k 1 e 2t λ 1 = +3 > 0, így GV és aszimptotikusan instabil. Próbafüggvény : A A 3A = 2 5 A = 10/3 y g (t) = 10 3 y(t) = k 1 e 3t 10 3 y (t)dt 3 5ε(t)dt y(+0) y() 3 0 = 2 0 y(+0) = y() = 1 Gyakorló feladatok t = +0 y(+0) = 1 = k 1 e k 1 = 13 3 y(t) = 13 3 e3t Adja meg az alábbi rendszeregyenletek megoldását! (a) y (t) + 3y(t) = 2s(t), s(t) = ε(t),y() = 0 Megoldás: y(t) = 4 3 (1 e 3t ) (b) y (t)+3y (t)+2y(t) = 1 2 s(t), s(t) = 2e 3t,y() = 2,y () = 1 Megoldás: y(t) = 1 2 e t (8e t e 2t 11) (c) y (t) + 2y (t) + 4y(t) = s(t), Megoldás: y(t) = 1 3 e t (1 + 2cos( 3t)) s(t) = e t,y() = 1,y () = 1 6

k 1 = 13 3 y(t) = 13 3 e3t 10 3 1. Adja meg az alábbi rendszeregyenletek megoldását!

Hasonló dokumentumok

Diszkrét idej rendszerek analízise az id tartományban

Diszkrét idej rendszerek analízise az id tartományban Dr. Horváth Péter, BME HVT 06. október 4.. feladat Számítuk ki a DI rendszer válaszát, ha adott a gerjesztés és az impulzusválasz! u[k = 0,6 k ε[k;