Többváltozós, valós értékű függvények
|
|
- Bálint Pintér
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 TÖ Többváltozós, valós értékű függvények
2 TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük.
3 TÖ Példák:. A gazdasági eredetű problémák matematikai modelljében gyakoriak a sokváltozós függvények (például: termelési függvény). Az R R típusú függvényeket szokás skalármezőnek nevezni. Ilyenek például a skalár jellegű fizikai mennyiségeknek (tömegsűrűség, töltéssűrűség, hőmérséklet, potenciál, stb.) a helytől való függését kifejező függvények.. A geográfiában használt domborzati térképek tekinthetők R R típusú (kétváltozós) függvényeknek.
4 TÖ 4 ábrázolása A többváltozós függvények közül csak a kétváltozósakat tudjuk két dimenzióban ábrázolni. Ekkor is egy háromdimenziós kép térhatású síkbeli ábrázolásáról van szó. Az ábrázolásnak két esetben van szerepe: a többváltozós függvényekkel kapcsolatos fogalmak tartalmának speciálisan kétváltozós függvényeken való bemutatásakor olyan esetekben, amikor egy kétváltozós függvény egy térbeli ponthalmaz (általában felület) megadására szolgál
5 Kétváltozós függvények ábrázolása TÖ 5 (,y) f (,y) f (,y) + y
6 TÖ 6 Definíció: szintvonalak Ha c eleme az (,y) f(,y) függvény értékkészletének, akkor az { (,y) R f(,y) c } síkgörbét c értékhez tartozó szintvonalnak nevezzük.
7 TÖ 7 Definíció: paramétervonalak A kétváltozós függvények paramétervonalai síkgörbék, a függvényfelületnek a függőleges koordinátasíkokkal párhuzamos síkokkal való síkmetszetei. A paramétervonalak olyan egyváltozós függvények grafikonjaként állnak elő, melyek az eredeti kétváltozós függvény egyik változójának rögzítésével keletkeznek.
8 TÖ 8 A második változó rögzítésével keletkező paramétervonalak f(,y ) Példa: Az (,y) + y függvény esetén az y változó értékét -nek rögzítve az + 4 egyváltozós függvényhez jutunk.
9 TÖ 9 Az első változó rögzítésével keletkező paramétervonalak y f(,y) Példa: Az (,y) + y függvény esetén az változó értékét -nak rögzítve az y 9 + y egyváltozós függvényhez jutunk.
10 TÖ Megjegyzés: A kétváltozós függvények (felületek) ábrázolásakor a szintvonalak ill. a paramétervonalak berajzolása segíti a felület alakjának tulajdonságainak vizuális érzékelését.
11 TÖ folytonossága és határértéke Definíció: folytonosság Az f : D ( R n ) R függvény folytonos a P D helyen, ha bármely D-beli sorozat esetén P n P f ( P n ) f ( P ).
12 Definíció: határérték TÖ Tekintsük az f:d( R n ) R függvényt, és legyen P torlódási pontja D-nek. Ha van olyan A R, melyre fennáll, hogy bármely D-beli sorozat esetén P n P, f( P n ) A, (P n P, n N) akkor azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke a P helyen A. Jelölés: lim f (P) P P A
13 TÖ Megjegyzés: folytonosság és határérték Legyen D R n nyílt halmaz. A fenti definíciókból látható, hogy az f:d R függvény pontosan akkor folytonos a P D helyen, ha az f határértéke P -ban f(p ).
14 Példa: nem folytonos függvény TÖ 4 y, ha (, y) (,) (, y) + y, ha (, y) (,) f Az f függvénynek a (,) helyen nem létezik határértéke (és így nem is folytonos), mert például lim f n, n n lim n n lim n lim f, n n n n n n 5 5 lim n 5 n lim
15 Definíció: Lineáris függvények TÖ 5 Az A:R n R, A (,,, n ) c + c + + c n n függvényeket, ahol c, c,, c n valós számok, n változós lineáris függvényeknek nevezzük. Megjegyzés: A lineáris függvények alapvető szerepet játszanak a differenciálszámításban, hiszen a differenciálás valójában lineáris függvénnyel való közelítést jelent.
16 TÖ 6 Egyváltozós lineáris függvények és az érintő egyenes Az egyváltozós lineáris függvények az c alakú függvények, melyek grafikonja az origón átmenő c meredekségű egyenes. Egyváltozós differenciálható függvény lineárisan az érintő egyenessel közelíthető, melynek meredeksége az adott pontbeli differenciálhányados.
17 TÖ 7 Kétváltozós lineáris függvények és az érintő sík A kétváltozós lineáris függvények az (, ) c + c alakú függvények, melyek grafikonja az origón átmenő (c,c,-) normálvektorú sík. Kétváltozós differenciálható függvény lineárisan az érintő síkkal közelíthető, melynek normálvektorát az adott pontbeli ún. parciális differenciálhányadosok határozzák meg.
18 TÖ 8 differenciálása Az f:d( R n ) R függvény differenciálható a D értelmezési tartomány P belső pontjában, ha van olyan A:R n R lineáris függvény, melyre lim P P f (P) f (P ) A(P P P P Ekkor az A függvényt az f függvény P helyen vett differenciálhányadosának nevezzük. )
19 TÖ 9 Megjegyzés: A differenciálhányados előbbi definíciója összhangban van az egyváltozós függvények differenciál-hányadosának fogalmával: Az f:d( R) R függvény differenciálható a D értelmezési tartomány belső pontjában, ha van olyan A R szám, melyre lim f () f ( ) A ( Ekkor A azonos az f ( ) differenciálhányadossal. )
20 TÖ Megjegyzések:. Ha differenciálhányados létezik, akkor egyértelmű.. Ahol egy függvény differenciálható, ott folytonos is.. Ha D R n nyílt halmaz (minden pontja belső pont) és az f:d R függvény differenciálható a D minden pontjában, akkor azt mondjuk, hogy f differenciálható a D halmazon.
21 Iránymenti derivált TÖ Definíció: iránymenti derivált Legyen f:d( R n ) R, P a D értelmezési tartomány belső pontja, v R n, v. Az f függvény P pontbeli, v irányban vett iránymenti deriváltján a v f (P + λ v) f (P ) f (P ) lim λ λ határértéket értjük, amennyiben létezik és valós.
22 TÖ Az iránymenti derivált jelentése A v irányban vett iránymenti derivált szemléletesen azt fejezi ki, hogy az értelmezési tartományban az pontból a v irányban haladva mennyi a függvényértékek változásának gyorsasága.
23 TÖ Megjegyzések:. Az iránymenti derivált definíciójában szereplő határérték egyváltozós függvény határértéke (egy változó van: λ).. Ahol az f függvény differenciálható, ott létezik az összes iránymenti deriváltja is.. Az iránymenti deriváltak létezéséből viszont nem következik a differenciálhatóság.
24 Definíció: Parciális derivált TÖ 4 Legyen f:d( R n ) R, P a D értelmezési tartomány belső pontja. Az f függvény P pontbeli, e i irányban vett iránymenti deriváltját az f függvény P pontbeli i-edik (vagy i-edik változó szerinti) parciális differenciálhányadosának, vagy röviden parciális deriváltjának nevezzük (i,,n).
25 TÖ 5 Jelölések: Az f függvény P pontbeli i-edik változó szerinti parciális deriváltjának jelölése: if (P ) vagy f (P i ) Szokás a változó sorszáma helyett magát a változót szerepeltetni a parciális derivált jelölésénél: például az változó szerinti parciális derivált lehetséges jelölései: f (P ) f (P ) f (P )
26 TÖ 6 Megjegyzés: a differenciálhányados és a parciális deriváltak A parciális deriváltak létezéséből általában nem következik a differenciálhatóság, de igaz a következő tétel: Ha az f:b(p )( R n ) R függvénynek a B(P,r) minden pontjában létezik minden változó szerinti parciális deriváltja, továbbá ezek folytonosak P -ban, akkor f differenciálható P -ban.
27 TÖ 7 A parciális derivált közvetlen értelmezése Az előbbiekben a parciális deriváltat, mint speciális irányban vett iránymenti deriváltat értelmeztük. Most megadjuk a parciális derivált közvetlen definícióját. (Az egyszerűség kedvéért a definíciókat csak a kétváltozós esetre írjuk fel, de ezzel analóg módon lehet eljárni kettőnél több változós esetben is.)
28 Definíció: parciális derivált TÖ 8 Legyen f:d( R n ) R, P a D értelmezési tartomány belső pontja. Az f függvény P pontbeli, első változó változó szerinti parciális differenciálhányadosán (vagy röviden parciális deriváltján) a f (, y ) f (, y ) lim f (, y ) határértéket értjük, amennyiben ez létezik és véges.
29 Definíció: parciális derivált TÖ 9 Legyen f:d( R n ) R, P a D értelmezési tartomány belső pontja. Az f függvény P pontbeli, második változó változó szerinti parciális differenciálhányadosán (vagy röviden parciális deriváltján) a f (, y ) lim y y f (, y) y f ( y, y ) határértéket értjük, amennyiben ez létezik és véges.
30 TÖ A parciális deriváltak geometriai jelentése kétváltozós függvény esetén Az első változó szerinti parciális derivált az y változó rögzítésével előálló felületi görbe érintőjének iránytangensét (meredekségét) adja.
31 TÖ A parciális deriváltak geometriai jelentése kétváltozós függvény esetén A második változó szerinti parciális derivált az változó rögzítésével előálló felületi görbe érintőjének iránytangensét (meredekségét) adja.
32 TÖ Definíció: gradiens (vektor) Ha az f:d( R n ) R függvény differenciálható a D értelmezési tartomány P belső pontjában, akkor P -ban léteznek a parciális deriváltak. A P pontbeli parciális deriváltakból képzett vektort gradiensnek, vagy gradiens vektornak nevezzük: ( f (P ), f (P ),..., f (P )) gradf (P ) n
33 TÖ Tétel: az iránymenti deriváltak és a gradiens vektor Legyen az f:d( R n ) R függvény differenciálható a D értelmezési tartomány P belső pontjában. Az iránymenti derivált a gradiens vektor és a megadó egységvektor skaláris szorzataként számítható: v f (P ) gradf (P ), v
34 TÖ 4 Példa: f (,, ) P (,4,) v (,,) Határozzuk meg az f függvény elsőrendű parciális derivált függvényeit gradiens vektorát a P helyen iránymenti deriváltját a P helyen, a v irányban!
35 TÖ 5 4 ),, ( f Az elsőrendű parciális derivált függvények: ),, ( f + + +!!!a számolás közben és konstans!!! 4 ),, ( f + + +!!!a számolás közben és konstans!!! ),, ( f + + +!!!a számolás közben és konstans!!!
36 TÖ 6 Az elsőrendű parciális derivált függvények értéke a P helyen: f (,, ) f (P ) f (,4,) 4 f (,, ) f (P ) f (,4,) 7 4 f (,, ) f (P ) f (,4,) A gradiens vektor: grad f (P ) 7 grad f (,4,),, 4
37 TÖ 7 grad f (P ) 7 grad f (,4,),, 4 v (,,) v v v (,,),, Az iránymenti derivált: v f (P ) grad f (P ), v, 7 4,,,,
38 TÖ 8 Definíció: differenciál Tekintsük az f:d( R n ) R függvényt. Legyen P (,,, n ) a D egy belső pontja, legyen továbbá a D egy pontja és P (,,, n ) -, -,, n n - n. P P P (,,, n )
39 TÖ 9 Ha f differenciálható a P helyen, akkor az f függvény P pontbeli, a P eltéréshez tartozó (első) differenciálja: f (P ) + f (P ) f (P ) n n Megjegyzés A differenciál röviden felírható a gradiens vektor segítségével: gradf (P ), P
40 Definíció: lineáris közelítés TÖ 4 Ha az f:d( R n ) R függvény differenciálható a D értelmezési tartomány P belső pontjában, akkor az f függvény P pontbeli lineáris közelítésén azt értjük, hogy a függvény f f ( P ) f ( P ) megváltozását a megfelelő első differenciállal közelítjük: f f (P) f (P ) gradf (P ), P f (P ) + f (P ) nf (P ) n avagy: f (P) f (P ) + gradf (P ), P
41 Lineáris közelítés kétváltozós függvény esetén TÖ 4 Kétváltozós differenciálható függvény esetén a lineáris közelítés az ún. érintősíkkal való közelítést jelenti. Definíció: érintősík Ha az (,y) f(,y) kétváltozós függvény differenciálható a P (,y ) helyen, akkor az f függvény P pontbeli érintősíkján a következő függvényt (annak grafikonját) értjük: S(, y) f (P ) + f (P ) ( ) + f (P ) (y y) Az f függvény P pontbeli lineáris közelítése: f(,y) S(,y)
42 TÖ 4
43 TÖ 4 Példa: f (,, ) P (,4,) v (,,) Határozzuk meg az f függvény lineáris közelítését a P helyen közelítő értékét a P (.,.98,.95 ) helyen
44 TÖ 44 f (,, ) f (P ) f (,4,) 4 f (,, ) f (P ) f (,4,) 7 4 f (,, ) f (P ) f (,4,) grad f (P ) 7 grad f (,4,),, 4
45 TÖ 45 f (,, ) P (,4,) P (,, ) f(p ) 7 A lineáris közelítés: grad f (P ) 7 grad f (,4,),, 4 f (P) f (P ) f (P + ) + f (P grad f (P ) 7 ( + ), P f (P ) ) +.75 ( + f (P 4) + ).5 ( )
46 TÖ 46 A függvény közelítő értéke az (.,.98,.95 ) helyen: P (,, ) (.,.98,.95 ) f (P) 7 ( ) +.75 ( 4) +.5 ( ) 7 (. ) +.75 (.98 4) +.5 (.95 ) (.) +.5 (.5)
47 TÖ 47 Definíció: másodrendű parciális deriváltak Legyen f:b(p,r)( R n ) R, i {,,n}, j {,,n}. Ha f-nek minden P B(P,r) pontban létezik az i-edik változó szerinti i f(p) parciális deriváltja a P i f(p) parciális derivált függvénynek a P pontban létezik a j-edik változó szerinti parciális deriváltja akkor ezt az f függvény j és i változók szerinti másodrendű parciális deriváltjának nevezzük. Jelölés: j i f (P )
48 TÖ 48 Megjegyzés: A másodrendű parciális deriváltak jelölésére szokásosak még az alábbi jelölések is: f ji f " ji (P ) (P ) A jelölésben utalhatunk közvetlenül azokra a változókra, melyek szerint a deriválást végeztük. Például az, majd az változó szerinti deriválás jelölése: (P ) (P ) f f f (P ) " f (P )
49 Definíció: TÖ 49 Ha f:b(p,r)( R n ) R függvénynek B(P,r)-ban léteznek az elsőrendű parciális derivált függvényei, és ezek újra minden változó szerint parciálisan differenciálhatók a P pontban, akkor azt mondjuk, hogy f kétszer differenciálható P -ban. Definíció: Ha f:b(p,r)( R n ) R függvénynek B(P,r)-ban léteznek az másodrendű parciális derivált függvényei és ezek folytonosak P -ban, akkor azt mondjuk, hogy f kétszer folytonosan differenciálható P -ban.
50 TÖ 5 Megjegyzés: Young tétel Ha az f:b(p,r)( R n ) R függvény kétszer differenciálható P -ban, akkor a P pontbeli másodrendű parciális deriváltak kiszámításakor a deriválások sorrendje felcserélhető, azaz j i f (P ) f (P i j ) i {,,n}, j {,,n}.
51 Kvadratikus függvények TÖ 5 Definíció: Legyen n pozitív egész szám. A Q(h n n,...,h n ) aijhih i j j alakú függvényeket, ahol A(a ij ) egy n-edrendű szimmetrikus mátri, kvadratikus függvényeknek nevezzük. Az A mátri a Q kvadratikus függvény mátria.
52 TÖ 5 Példa: A 4 Az A mátrihoz tartozó ( változós) kvadratikus függvény: Q(h, h, h ) h + h h + h h + + h h + h h h + + h h h h + 4h h + h + 4h +h h 4h h + 6h h
53 TÖ 5 Megjegyzés: Nyilvánvaló, hogy bármely Q kvadratikus függvényre Q(). Definíció: A Q:R n R kvadratikus függvény pozitív definit, ha Q(h) >, ha h negatív definit, ha: Q(h) <, ha h indefinit, ha Q fölvehet pozitív és negatív értéket egyaránt.
54 TÖ 54 Példa: A Q(h, h, h ) h + h + 4h + h h 4h h + 6h h függvény pozitív definit. Ez azonnal látszik az alábbi egyszerű átalakítással: h + h + 4h + h h 4h h + 6h h (h +h ) + (h h ) + (h +h )
55 TÖ 55 Definíció: sarokdeterminánsok Egy n-edrendű kvadratikus mátri sarokdeterminánsai az első k sorban és az első k oszlopban lévő elemekből álló k-adrendű mátriok determinánsai (k,,n). Példa: A sarokdeterminánsok: 4 ( ) D det D det D det 4
56 TÖ 56 Tétel: a definitség megállapítása determinánsokkal Egy kvadratikus függvény pontosan akkor pozitív definit, ha mátriának bal felső sarokdeterminánsai pozitívak: D >, D >,, D n > Egy kvadratikus függvény pontosan akkor negatív definit, ha mátriának bal felső sarokdeterminánsai váltakozó előjelűek úgy, hogy D negatív: D <, D >, D <, D 4 >, Egy kvadratikus függvény mátriának bal felső sarokdeterminánsai nullától különbözőek, és a fenti két eset nem áll fenn, akkor a kvadratikus függvény indefinit.
57 TÖ 57 Példa: Q(h, h, h ) h + h + 4h +h h 4h h + 6h h 4 ( ) det D > det D > Q pozitív definit 4 det D >
58 TÖ 58 Többváltozós differenciálható függvények szélsőérték-számítása Tétel: a helyi szélsőérték létezésének szükséges feltétele Ha az f:d( R n ) R differenciálható függvénynek helyi szélsőértéke van a D értelmezési tartomány P belső pontjában, akkor a P pontbeli elsőrendű parciális deriváltak értéke : f (P ) f (P ) n f(p )
59 TÖ 59 Megjegyzés: Kétváltozós differenciálható függvény esetén ott lehet helyi szélsőérték, ahol az érintő sík vízszintes.
60 TÖ 6 Következmény: Differenciálható függvény esetén a helyi szélsőértékek keresésekor elsőként azokat P helyeket kell meghatározni, ahol a parciális deriváltak értéke, az előző tétel szerint ui. helyi szélsőérték csak ezeken a helyeken lehet. Megjegyzés: Helyi szélsőérték létezéséhez nem elegendő, hogy az elsőrendű parciális deriváltak értéke. Az elegendőséghez további feltételt kell megfogalmazni a másodrendű parciális deriváltakra vonatkozóan.
61 TÖ 6 Definíció: Legyen az f:b(p,r)( R n ) R függvény kétszer folytonosan differenciálható P -ban, és definiáljuk a Q:R n R függvényt a következőképpen: Q(h n n,...,h ) f (P )h h n i j i i j j Megjegyzés: Az így definiált Q függvény kvadratikus.
62 TÖ 6 Tétel: a helyi szélsőérték létezésének elegendő feltétele Legyen az f:b(p,r)( R n ) R függvény kétszer folytonosan differenciálható P -ban. Ha f (P ) f (P ) n f(p ) és Q(h n n,...,h n ) i jf (P )hih j i j pozitív definit, akkor f-nek P -ban helyi minimuma van.
63 Ha f (P ) f (P ) n f(p ) és Q(h Ha n n,...,h n ) i jf (P )hih j i j akkor f-nek P -ban helyi maimuma van. negatív definit, f (P ) f (P ) n f(p ) és Q(h n n,...,h n ) i jf (P )hih j i j indefinit, akkor f-nek P -ban nincs helyi szélsőértéke. TÖ 6
64 TÖ 64 Példa: Határozzuk meg a következő függvény helyi szélsőértékhelyeit és a szélsőértékeket!,,, 4 ),, ( f > > > ),, ( f ),, ( f ),, ( f. lépés Az elsőrendű parciális derivált függvények meghatározása:
65 TÖ 65. lépés A f f n f egyenletrendszer megoldása: f (,, ) 4 f (,, ) P,, f (,, )
66 TÖ 66. lépés A másodrendű parciális derivált függvények meghatározása. 8 4 y + z + 4 (A könnyebb áttekinthetőség kedvéért a függvényeket táblázatba írjuk. Az első sorban a f, a második sorban f, a harmadik sorban a f függvény deriváltjai vannak.)
67 TÖ lépés A másodrendű parciális derivált függvények értékének meghatározása ott, ahol az elsőrendű deriváltak értéke egyszerre volt nulla. Most egy ilyen pont van, a P: z y 4 8,, P 6 6 A
68 TÖ lépés Meg kell állapítani, hogy az A mátri milyen definitségű Q kvadratikus függvényhez tartozik, ebből megállapítható, hogy a vizsgált pontban van-e helyi szélsőérték, és milyen jellegű. D det(6) A D det D det 4 6
69 TÖ 69 D 6 >, D 8 >, D 4 > vagyis az A mátri pozitív definit kvadratikus függvényhez tartozik. Ebből következik, hogy az f-nek P-ben helyi minimuma van.
70 TÖ 7 Megjegyzés A fentiekből látható, hogy a Q(h n n,...,h ) f (P )h h n i j i j i j kvadratikus függvényt nem kell felírni, elegendő csak a mátriával számolni. A most megoldott feladatban a kvadratikus függvény, ami pozitív definitnek bizonyult: Q(h, h, h ) 4 h 4 h h + h 4 h h + 6 h
Többváltozós, valós értékű függvények
Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
RészletesebbenA legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris
Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,
RészletesebbenLosonczi László. Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar
Szélsőértékszámítás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 1 / 21 2. SZÉLSOÉRTÉKSZÁMÍTÁS 2.1 A szélsőérték fogalma, létezése Azt
Részletesebben9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenLengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.
ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
Részletesebben2014. november Dr. Vincze Szilvia
24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
RészletesebbenPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky
Részletesebben9. feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás) 1 Számoljuk ki a következő függvények parciális deriváltjait
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
RészletesebbenValós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
Részletesebben1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.
1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenTartalomjegyzék Feltétel nélküli szélsőérték számítás
Dr. Vincze Szilvia Példa Egy adott talajtípuson az átlagosnak megelelő időjárási viszonyok között a búza hozamát hektáronként a elhasznált nitrogén és oszor hatóanyag erősen beolyásolja. A hektáronként
RészletesebbenKétváltozós függvény szélsőértéke
Kétváltozós függvény szélsőértéke Sütő Andrea Kétváltozós függvény szélsőértéke Legyen adott f ( xy, ) kétváltozós függvény és ez legyen folytonosan totálisan differenciálható, azaz létezzenek az elsőrendű
RészletesebbenMatematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált
Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 30 Egy
RészletesebbenÓravázlatok: Matematika 2.
Óravázlatok: Matematika 2. Bartha Ferenc készültség: March 4, 2003 1. VEKTOR-SKALÁR FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLÁSA Legyen a továbbiakban M R n nyílt halmaz és f : M R valós függvény, x (x 1,.., x n ) M Ha
RészletesebbenFüggvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenDifferenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
RészletesebbenGazdasági matematika II.
Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2007/8 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2007/8 tanév, II. félév 1 / 186 Félévközi
RészletesebbenKalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat
. Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben
RészletesebbenMatematika elméleti összefoglaló
1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
RészletesebbenPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenNemlineáris programozás 2.
Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
RészletesebbenGazdasági matematika II.
Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar 2014. február 16. Losonczi László, Pap Gyula (DE, KTK) Gazdasági matematika II. 2014. február
RészletesebbenGazdasági matematika II.
Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2009/10 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/10 tanév, II. félév 1 / 187 Félévközi
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
Részletesebben5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4
RészletesebbenFigyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!
Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.
RészletesebbenKonjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
RészletesebbenSzámítógépes programok alkalmazása az analízisben
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Számítógépes programok alkalmazása az analízisben Szakdolgozat Csillagvári Dániel Matematika BSc, elemző szakirány Témavezető: Gémes Margit Analízis
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
RészletesebbenTANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató
BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok
RészletesebbenTANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató
BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok
RészletesebbenVektoranalízis Vektor értékű függvények
VS Vektor értékű üggvények VS A korábbi ejezetekben tanulmányoztuk azokat a üggvényeket, amelyek értékkészlete a valós számok halmazának egy részhalmaza. Ezek egyrészt az R R típusú egyváltozós, valós
RészletesebbenTöbbváltozós analízis gyakorlat, megoldások
Többváltozós analízis gakorlat, megoldások Általános iskolai matematikatanár szak 7/8. őszi félév. Differenciál- és integrálszámítás alkalmazásai. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek összes,
RészletesebbenA gyakorlatok anyaga
A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így
RészletesebbenLineáris algebra numerikus módszerei
Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y
RészletesebbenMaple: Deriváltak és a függvény nevezetes pontjai
Maple: Deriváltak és a függvény nevezetes pontjai Bevezető Tudjuk, hogy a Maple könnyűszerrel képes végrehajtani a szimbólikus matematikai számításokat, ezért a Maple egy ideális program differenciál-
Részletesebben1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)
Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1
Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése). Feladat. Határozzuk meg az f(x) x 2 függvény x 0 pontbeli differenciahányados
RészletesebbenMatematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató
Módszertani Intézeti Tanszék Gazdaságinformatikus szak nappali tagozat Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgy megnevezése Matematikai alapok 1 Tantárgy jellege/típusa:
RészletesebbenKétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által
Kétváltozós függvének ábrázolása síkmetszetek képzése által ) Ábrázoljuk a z + felületet! Az [,] síkkal párhuzamos síkokkal z c) képzett metszetek körök: + c, tehát a felület z tengelű forgásfelület; Az
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenA képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)
Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő
RészletesebbenEgyváltozós függvények differenciálszámítása
Egyváltozós függvények differenciálszámítása Egyváltozós függvények differenciálszámítása Ebben a részben I egy tetszőleges, pozitív hosszúságú, intervallumot jelöl. Egyváltozós függvények differenciálszámítása
RészletesebbenDifferenciálegyenletek. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenSorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész
RészletesebbenSzámítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája
Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája Tasnádi Tamás 2014. szeptember 11. Kivonat A tárgy a BME Fizika BSc szak kötelező, alapozó tárgya a képzés 1. félévében. A tárgy
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)
Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.
RészletesebbenGazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató
Módszertani Intézeti Tanszék Emberi erőforrások, gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok nappali tagozat Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév I. félév 1/5 Tantárgy megnevezése
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenVektoranalízis Vektor értékű függvények
Vektoranalízis VS Vektoranalízis Vektor értékű üggvények A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el! Vektoranalízis VS A korábbi ejezetekben tanulmányoztuk
RészletesebbenFelületek differenciálgeometriai vizsgálata
Felületek differenciálgeometriai vizsgálata Felületek differenciálgeometriai értelemben Felület: Olyan alakzat, amely előállítható az (u,v) sík egy összefüggő tartományán értelmezett r(u,v) kétparaméteres
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
Részletesebben11. gyakorlat megoldásai
11. gyakorlat megoldásai Lokális szélsőértékek F1. Határozzuk meg az alábbi kétváltozós függvények lokális szélsőértékeit! (a) f(x, y) = 4x 2 + 2xy + 5y 2 + 2, (b) f(x, y) = y 4 y + x 2 y + 2xy, (c) f(x,
RészletesebbenTöbbváltozós függvények Feladatok
Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk
RészletesebbenDifferenciál - és integrálszámítás. (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár. Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék
Differenciál - és integrálszámítás (Óraszám: 3+3) (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék Debrecen, 2005 A tárgy neve: Differenciál- és
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenEllenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész
Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Mintakérdések a 2. ZH elméleti részéhez. Nem csak ezek a kérdések szerepelhetnek az elméleti részben, de azért hasonló típusú kérdések
RészletesebbenAnalízis tételek alkalmazása KöMaL és más versenyfeladatokon
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR Analízis tételek alkalmazása KöMaL és más versenyfeladatokon Lukács Imola Matematika BSc Szakdolgozat Témavezető: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár
RészletesebbenMATEMATIKA 2. TANTÁRGYLEÍRÁS. 1.2 Azonosító (tantárgykód) GKNB_MSTM Kurzustípusok és óraszámok (heti/féléves)
TANTÁRGYLEÍRÁS 1 ALAPADATOK 1.1 Tantárgy neve MATEMATIKA 2. 1.2 Azonosító (tantárgykód) GKNB_MSTM008 1.3 Kurzustípusok és óraszámok (heti/féléves) kurzustípus óraszám (heti) előadás (elmélet) 2 gyakorlat
Részletesebben11. gyakorlat megoldásai
11. gyakorlat megoldásai Lokális szélsőértékek F1. Határozza meg az alábbi kétváltozós függvények lokális szélsőértékeit! (a) f(x, y) = 4x 2 + 2xy + 5y 2 + 2, (b) f(x, y) = y 4 3y + x 2 y + 2xy, (c) f(x,
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
Részletesebben2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)
(11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
RészletesebbenGazdasági matematika
ALKALMAZOTT KVANTITATÍV MÓDSZERTAN TANSZÉK Gazdasági matematika Tantárgyi útmutató Pénzügy és számvitel, Gazdálkodási és menedzsment, Emberi erőforrások alapképzési szakok nappali tagozat új tanrendűek
RészletesebbenGépi tanulás a gyakorlatban. Lineáris regresszió
Gépi tanulás a gyakorlatban Lineáris regresszió Lineáris Regresszió Legyen adott egy tanuló adatbázis: Rendelkezésünkre áll egy olyan előfeldolgozott adathalmaz, aminek sorai az egyes ingatlanokat írják
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
Részletesebben2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.
. Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján
Részletesebben{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek
1. MAEMAIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 1.1. Vektorok közötti műveletek Azok a fizikai mennyiségek, melyeknek nagyságukon kívül irányuk is van, vektoroknak nevezzük. A vektort egyértelműen megadhatjuk a hosszával és
RészletesebbenElső zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió
Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
Részletesebben6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
Részletesebben