Tartalomjegyzék Feltétel nélküli szélsőérték számítás

Átírás

1 Dr. Vincze Szilvia

2 Példa Egy adott talajtípuson az átlagosnak megelelő időjárási viszonyok között a búza hozamát hektáronként a elhasznált nitrogén és oszor hatóanyag erősen beolyásolja. A hektáronként kijuttatott hatóanyag (N) és oszor (P) mennyiségét 50 kg/ha-ban mérjük. Az elérhető hozamot (H) t/ha-ban adjuk meg. A hozam és a műtrágyák között megadható egy üggvénykapcsolat. Milyen nitrogén és oszor mennyiség esetén lesz maimális a hozam?

3 Példa Egy mezőgazdasági nagyüzem három tábláján különböző növényeket termesztenek. A talajtani vizsgálatok és a termeszteni kívánt növények tápanyagszükségletei alapján mindhárom táblát más-más műtrágyakeverékkel kezelik. Megállapították a kiszórt műtrágya és a hektáronkénti terméshozam közötti összeüggéseket, melyeket üggvényekkel adtak meg. A műtrágyák milyen mennyiségei mellett lesz a három tábla együttes hozama maimális (ismerjük a táblák nagyságát, azt az összeget, ami a beszerzésre rendelkezésünkre áll és a műtrágyák egységárait ha-onként).

4

5 Tartalomjegyzék.) Ismétlés: Parciális deriválás Deriválási szabályok.) Gömbkörnyezet és szélsőérték ogalma 3.) Feltétel nélküli szélsőérték számítás 4.) Feltételes szélsőérték számítás

6 Többváltozós üggvény ogalma Deiníció. Az : R R... R R üggvényt n-változós valós értékű üggvénynek nevezzük. Jelölése: (,,..., n ).

7 Példa Határozza meg az alábbi üggvény első- és másodrendű parciális deriváltjait: ), ( y y y y y 3 ),, ( z y z y

8 Gömbkörnyezet ogalma Deiníció. Az 0 R n pont r sugarú (nyílt gömb) környezete: G( 0, r) = { R n 0 < r }

9 Szélsőérték ogalma (helyi és globális maimum) Deiníció: Az : D ( R n ) R n-változós valós üggvénynek az értelmezési tartomány 0 pontjában helyi (lokális) maimuma van, ha az 0 -nak valamely G( 0, r) környezetében ( 0 ) () minden D G( 0, r) esetén. Globális maimumról beszélünk, ha a enti reláció nemcsak 0 valamely környezetében, hanem az egész értelmezési tartományon ennáll.

10 Szélsőérték ogalma (helyi és globális minimum) Deiníció: Az : D ( R n ) R n-változós valós üggvénynek az értelmezési tartomány 0 pontjában helyi (lokális) minimuma van, ha az 0 -nak valamely G( 0, r) környezetében ( 0 ) () minden D G( 0, r) esetén. Globális minimumról beszélünk, ha a enti reláció nemcsak 0 valamely környezetében, hanem az egész értelmezési tartományon ennáll.

11

12 Kétváltozós üggvények eltétel nélküli szélsőértéke Szükséges eltétel: Ha az : D ( R ) R -változós üggvénynek az (a,b) D pontjában lokális szélsőértékhelye van és itt léteznek az elsőrendű parciális deriváltak, akkor ezek mindegyike nulla, azaz ( a, b) 0; ( a, b) 0 y

13 Kétváltozós üggvények eltétel nélküli szélsőértéke Elégséges eltétel: Ha (a,b) = 0 és y(a,b) = 0 és az (a,b) pontban léteznek a másodrendű parciális deriváltak és D (, y) (, y) yy(, y) y(, y) y(, y) kiejezés értéke (a,b)-ben: pozitív, akkor -nek (a,b)-ben helyi szélsőértékhelye van ( (,y) > 0 esetén minimum; (,y) < 0 esetén maimum); negatív, akkor -nek (a,b)-ben nincs helyi szélsőértékhelye; nulla, akkor még további vizsgálat szükséges.

14 Példa Határozza meg az alábbi üggvény lokális szélsőértékét! 3 (, y) 3y y ; (, y) R 3

15 Többváltozós üggvények eltétel nélküli szélsőértéke Szükséges eltétel: Ha az : D ( R n ) R n-változós üggvénynek az a D pontjában lokális szélsőértékhelye van és itt léteznek az elsőrendű parciális deriváltak, akkor ezek mindegyike nulla, azaz j ( a) 0 ( j,,..., n)

16 Többváltozós üggvények eltétel nélküli szélsőértéke Elégséges eltétel: Legyen : D ( R n ) R. Tegyük el, hogy az üggvény az ad belső pont valamely környezetében kétszer olytonosan dierenciálható. Ha az parciális deriváltjai az a-ban nullák, azaz: j ( a) 0 ( j,,..., n)

17 Többváltozós üggvények eltétel nélküli szélsőértéke és a másodrendű parciális deriváltakból képzett D.. n n n. n.. nn determinánsból előállított

18 Többváltozós üggvények eltétel nélküli szélsőértéke D D n n n n n n n D sarokdeterminánsok előjele a vizsgált pontban

19 Többváltozós üggvények eltétel nélküli szélsőértéke ) D k > 0 (k =,..., n), akkor a-ban minimuma van, ) D < 0, D > 0, D 3 < 0, azaz az adott sorrendben váltakozó előjelűek, akkor a-ban maimuma van, 3) egyéb esetekben további vizsgálatokra van szükség. A szélsőértéket az (a) adja.

20 Példa Határozza meg az alábbi háromváltozós üggvény lokális szélsőértékét! 3 (, y, z) y z y z

21 Példa 36 m hosszú rézcsőből maimális térogatú téglatest vázat kívánunk készíteni (a téglatest élei lesznek a csövek). Mekkorák legyenek a téglatest élei?

22 Példa Egy adott talajtípuson az átlagosnak megelelő időjárási viszonyok között a búza hozamát hektáronként a elhasznált nitrogén és oszor hatóanyag erősen beolyásolja. A hektáronként kijuttatott hatóanyag (N) és oszor (P) mennyiségét 50 kg/ha-ban mérjük. Az elérhető hozamot (H) t/ha-ban adjuk meg. A hozam és a műtrágyák közötti üggvénykapcsolat: (N,P) =, ,75N + 0,47P- 0,066N 0,04P + 0,0NP Milyen nitrogén és oszor mennyiség esetén lesz maimális a hozam?

23