Differenciálszámítás bevezetése

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Differenciálszámítás bevezetése"

Átírás

1 Dierenciálszámítás bevezetése Tanulási cél: A dierencia és dierenciálhányados ogalmának megismerése. Elemi derivált üggvények megadása. Érintő egyenletének értelmezése és elírása. Motivációs példa: Azt szokták mondani, hogy semmi sem állandó csak a változás. Valóban, a minket körülvevő világban minden olyamatosan átalakul, minden sok minden mással kapcsolatban van, azoktól ügg. Ezeknek a viszonyoknak a elderítése a természettudományok ő eladata. A különéle üggések egyik matematikai modellje a üggvény ogalma. A változások sok jellemzője közül az egyik nagyon ontos a változás sebessége. A gyorsan változó olyamatok veszélyt hordozhatnak magukban azáltal, hogy nem adnak időt a reagálásra. Egy vállalkozás szempontjából nagyon ontos kérdés, hogy a termelt mennyiséget növelve hogyan változik és milyen mértékben az összköltség. Egy termék ára beolyásolja a termék iránti keresletet és ezáltal a nyereséget is. Ha emeljük a termék árát, a kereslet és a nyereség is változni og. Kérdés milyen irányú és milyen mértékű ez a változás. A változások gyorsaságát a matematika a derivált ogalmával ragadja meg. Elméleti összeoglaló Az analízis ejlődése, amint az gyakran máskor is előordult, szorosan kötődött problémák megoldásához. A mi esetünkben az egyik ilyen probléma az érintő meghatározása volt.. ábra A enti ábrán egy () üggvény graikonját és annak a P(,()) pontban megrajzolt érintőjét látjuk. Érezzük, hogy az () üggvény megadása és a P pont lerögzítése meghatározza az ábrán pirossal jelölt egyenest. Ennek az egyenesnek is y m b az egyenlete, csak az a kérdés, hogy az m meredekség és a b konstans hogyan ügg az () üggvénytől és a P(,()) ponttól.

2 . ábra Ez az ábra azt mutatja, hogy az érintő a szelők határhelyzetének tekinthető: a P és Q pontokon átmenő szelő egyre közelebb van az érintőhöz, ahogy a Q pont egyre közelebb kerül P-hez. Ezek motiválják a következő deiníciókat. Legyen a, D az üggvény értelmezési tartományának két különböző elem, és tekintsük az üggvény graikonján a P(a,(a)) és a Q(,()) pontokat.. ábra Deiníció: Az hányados a tört. a D és D helyekhez tartozó különbségi hányados vagy dierencia () (a) a Deiníció: Ha az a D helyen létezik és véges az a és helyekhez tartozó különbségi hányadosnak a () (a) lim a a határértéke, akkor az üggvény dierenciálható az a D helyen. Ekkor a enti határérték értékét (a) jelöli, és ezt az a D helyhez tartozó dierenciálhányadosnak hívjuk, így tehát

3 Ha létezik (a) a hely csak belső pontja lehet a () (a). (a) lim a a, akkor a enti határérték létezése miatt, és azért, mert (a) is létezik, az D -nek. Deiníció: Azt az üggvényt, amelyik az üggvény értelmezési tartományának azokban az a pontjaiban van értelmezve, ahol az üggvény dierenciálható, és minden ilyen helyen az értéke az a -beli (a) dierenciálhányados, az üggvény derivált üggvényének hívjuk. A derivált üggvény értelmezési tartomány tehát részhalmaza az eredeti üggvény értelmezési tartományának. A dierenciálhányados segítségével az érintő problémája már megoldható. Deiníció: Ha dierenciálható az a D helyen, akkor az graikonjához a P(a,(a)) pontban húzható érintő meredeksége (a), és az érintő egyenes egyenlete y (a) a (a) (a) (a) a (a). Ebből látható, hogy (a) 0 esetén az érintő vízszintes, (a) 0 esetén az érintő emelkedő egyenes, vagyis az a hely közelében a üggvény növekszik, és (a) 0 esetén pedig érintő süllyedő egyenes vagyis az a hely közelében a üggvény csökken. Az érintő egyenes tekinthető egy lineáris g() (a)( a) (a) üggvény graikonjának. Ezt a g üggvényt hívjuk az üggvény a-beli linearizáltjának. Elég egy pillantást vetni egy üggvényt és annak egy érintőjét mutató ábrára, hogy világos legyen: a linearizált jól közelíti az érintési pontban a üggvényt. Sőt, bármilyen bonyolult is az üggvény, egy nagyon egyszerű lineáris üggvény szolgáltatja ezt a jó közelítést. Ez lehetőséget ad üggvényértékek közelítő meghatározására. Tétel: Ha az üggvény dierenciálható a-ban, akkor olytonos is a-ban. Sőt, ennél több is igaz. Az a pontbeli dierenciálhatóság azt jelenti, hogy a üggvény graikonja sima az a pont környékén, nincs szakadása és nincs töréspontja. Ha közelről nézzük a graikont, akkor az egyenesnek tűnik. Az alábbi ábrasor ezt szemlélteti egy a pontban dierenciálható, és egy az a pontban nem dierenciálható üggvény esetén: m b

4 4. ábra Az analízisben a ő célunk, hogy egy üggvényről a hozzárendelési utasítás ismeretében minél több inormációt megismerjünk. Ki og derülni, hogy ebben a ő segédeszköz a derivált üggvény. Az derivált üggvény vizsgálatával az eredeti üggvény számos, minket érdeklő tulajdonsága elderíthető. (Például a növekedés vagy ogyás, maimális vagy minimális értéket, a graikon görbülésének jellege, stb.) Tehát mindenek előtt arra van szükség, hogy minél több üggvény derivált üggvényét egyszerűen és gyorsan elő tudjuk állítani. Az analízisben olyan üggvényekkel oglalkozunk, amelyek az elemi üggvényekből épülnek el a különböző műveletek segítségével. Ebből is látható, hogy a későbbiekben az elemi üggvények deriváltjainak alapvető jelentőségük lesz. A következő táblázatban megadjuk az elemi üggvények deriváltjait.

5 () () () c, ahol c konstans () 0 D D n (), n pozitív egész () n D D () n, n pozitív egész D \ 0 (), D \ 0 n (), n páros pozitív egész D 0, () D () n () n n n D \ 0 () n D 0, (), n páratlan pozitív egész,, irracionális D 0, () D 0, () () D e, ln D 0, () D a, a 0 () log, a 0 és a D 0, a, D \ 0 n n () n n n D,0 0, () D 0, () D 0, e, () () D 0, D () a ln a () ln a D 0, D () sin, D () cos, D () cos, D () sin, D () tg () cos D \ k k D \ k k () ctg D \ k k () D sin \ k k

6 Kidolgozott eladatok:. eladat: Írjuk el az hányadosát. () üggvény az a és az helyekhez tartozó különbségi Megoldás: Mivel az üggvény értelmezési tartománya, így létezik a különbségi hányados: () (a) ( )( ). a A különbségi hányadosnak általában kiszámoljuk a határértékét, így azt célszerű a legegyszerűbb ormában elírni.. eladat: Számoljuk ki az () üggvény a 4 helyhez tartozó dierenciálhányadosát. Megoldás: Tudjuk, hogy D 0, így tehát (4). 4, aminek a 4 belső pontja, és () (a) 4 lim lim lim a a eladat: Hol veszi el a nulla értéket az lim, 4 4 () üggvény deriváltja. Megoldás: Először elkészítjük a derivált üggvényt. Legyen Mivel D ez egyben belső pontja is D -nek. Ekkor () (a) a a (a) lim lim a a a a a a a a a lim lim a a a a a lim a a. a D tetszőleges valós szám. Mivel ez tetszőleges a számra igaz, azt kaptuk, hogy (), és a derivált üggvény is az egész valós számok halmazán van értelmezve. () 0, ha, tehát a derivált üggvény egyedül az helyen veszi el a nulla értéket.

7 4. eladat: Határozzuk meg az () üggvény derivált üggvényét. Megoldás: A üggvényünk értelmezési tartománya D,0 0, pontja belső pont. Legyen a D tetszőleges, ekkor Ebből az következik, hogy () a () (a) (a) lim lim a lim a a a a a a a a lim lim. a a a a a a, és D,0 0, 5. eladat: Határozzuk meg az () derivált üggvényét. Megoldás: Most a D 0, deriválható. Ha azonban Tehát (), aminek minden, ugyan az, mint a D., aminek a 0 nem belső pontja, itt tehát biztosan nem 0 a D (azaz a pozitív szám), akkor () (a) a a (a) lim lim lim a a a a a a a és D 0,. lim. a a a 6. eladat: Írjuk el az () üggvény graikonjának érintőjét az a helyen. Megoldás: Határozzuk meg a üggvény értékét az a helyen: (a) () 9. Az érintési pont koordinátái tehát,9. Meghatározzuk (a) () értékét: az a belső pontja a D -nek, és () (a) a ( a)( a) (a) lim lim lim lim( a) a. a a a a a a a A dierenciálhányados értéke az a helyen, azaz a keresett érintő meredeksége: m () 6 Helyettesítsünk ezután az érintőt megadó y (a)( a) (a) képletbe. y 6( ) 9 A műveletek elvégzése után kapjuk, hogy az érintő egyenlete: y eladat: Írjuk el az () üggvény a -beli érintőjének egyenletét. Megoldás: Helyettesítsük a üggvénybe a megadott a értéket: (a) (). Az érintő tehát a, pontban érinti a üggvény graikonját.

8 A meredekség meghatározásához szükségünk van a derivált üggvényre. (Valójában most is elég lenne () értéke, de azt kiszámolni nem sokkal egyszerűbb, mint meghatározni a derivált üggvényt, és venni annak -ben a helyettesítési értékét.) Az a belső pontja a D -nek, és a a () (a) (a) lim lim a a a a a a a a a lim lim lim a a a a a a a. A derivált üggvény tehát (). Helyettesítsünk ebbe a -t, így megkapjuk a meredekséget: m () Részeredményeinket írjuk be az érintő y (a)( a) (a) képletébe: y ( ). Végezzük el a műveleteket, és így megkapjuk az érintő egyenletének alábbi alakját: y eladat: Írjuk el az () üggvény m meredekségű érintőjének egyenletét. Megoldás: Most az érintőt nem azzal határozzuk meg, hogy melyik pontban érinti a graikont, hanem azzal, hogy mennyi a meredeksége. Mivel az érintő elírásához szükség van az érintési pont két koordinátájára, először ezeket kell meghatározni. Tudjuk, hogy a derivált üggvény (). Azt az a 0számot keressük, amelyre a meredekség, azaz (a) éppen. Ehhez megoldjuk az a egyenletet a -ra: a enti képletből a, amiből a. Tehát valójában az a -beli érintőről van szó. Mivel, az érintési pont két koordinátája,. Az érintő y (a)( a) (a) képletébe helyettesítve rendezve y, 6 4 y eladat: Írjuk el az egyenletét. () üggvénynek az y 4 9 egyenesre merőleges érintőjének Megoldás: Az érintőt ismét nem az érintési pont első koordinátájával adtuk meg. Azt kell először meghatározni. Ismét az érintő meredekségéről van inormációnk, hiszen, ha a keresett

9 érintő merőleges a megadott m 4 meredekségű egyenesre, akkor a meredeksége m. 4 Ehhez arra kell emlékezni, hogy a síkon két egyenes akkor merőleges egymásra, ha a meredekségeik szorzata -. Így tehát azt az a 0számot keressük, amelyre (a). 4 Tudjuk, hogy (), így az alábbi egyenletet kell megoldanunk:, a 4 amiből a 4, azaz a, két megoldást kaptunk, tehát két ilyen érintő is van. Ha az érintési pont első koordinátája a, akkor az érintési pont második koordinátája (), és ennek az első érintőnek az egyenlete y 4 y. 4 Ha az érintési pont első koordinátája a, akkor az érintési pont második koordinátája ( ), és ennek a második érintőnek az egyenlete: y ( ) 4 y ábra

10 Az 5. ábrán a üggvényünket és a két érintőjét láthatjuk. 0. eladat: Írjuk el az ponton. () üggvénynek azt az érintőjét, amelyik átmegy a Q(, ) Megoldás: Ismét az érintési pont meghatározásával kell kezdenünk. Tudjuk, hogy az érintő egyenlete y (a)( a) (a) szerkezetű, ha igyelembe vesszük képletét is, akkor, mivel (), y a( a) a Azt a számot, vagy azokat az a számokat keressük, amelyekre ez az egyenes átmegy a Q ponton, elvégezve az, y helyettesítést és rendezve. a( a) a a a a a 0. Megoldva a kapott másodokú egyenlete a-ra két értéket kapunk: a vagy a. Az a-beli érintő egyenlete az y a( a) a y ( ) képletből y. Ugyanígy az a-beli érintő egyenlete y 6( ( )) 9 6( ) 9 y 6 9. A üggvényünket és a két érintőjét mutatja az alábbi ábra. 6. ábra

11 . eladat: Az üggvény alkalmas linearizáltját elhasználva számoljuk ki közelítően 8. értékét. Megoldás: A linearizált az érintési pont közelében közelít jól. A 8 közel van 8.-höz, ezért az () üggvény a 8-beli linearizáltját ogjuk használni 8. közelítő értékének kiszámolására. Szükségünk van az érintési pont második koordinátájára is: (a) (8) 8, az érintési pont tehát 8,. Mivel (), azt kapjuk, hogy a meredekség (a) (8). Így az a 8-beli linearizált 8 g() 8 4 Ennek a üggvénynek a 8. helyen vett értékével közelíthető 8.. Azt kapjuk, hogy: g Ha ezek után számológéppel is kiszámoljuk 8. -t, akkor a értéket kapjuk. Látható, hogy a linearizált elhasználásával kapott közelítésünk meglehetősen pontos.. eladat: Alkalmas linearizáltat elhasználva számoljuk ki közelítőensin értékét. Megoldás: Az analízisben a trigonometrikus üggvények argumentumát radiánban kell megadni. Ezért először a -ot átszámoljuk radiánra az rad ok képletet használva. De 80 mivel a radiánban megadott értékéhez közeli a érték is kell, hogy el tudjuk írni az ottani linearizáltat, az átírást a következőképp csináljuk: 0 (0 ) 0.576, (a radián mértékegységet nem írjuk ki). Innen már látjuk, hogy, mivel kicsi, az 60 () sin üggvény a -beli linearizáltját használhatjuk a közelítéshez. Mivel 6 sin és () cos, a meredekség cos. Ezután már elírhatjuk a linearizált képletét: g(). 6 Ezután a keresett közelítő érték: sin g

12 Ha számológéppel számoljuk sin -ot, akkor a értéket kapjuk. Látható, hogy a közelítésünk most is elég pontos.. eladat: Hol metszi az () 8 9 üggvény a 5-beli érintője az tengelyt? Megoldás: Először elírjuk az érintő egyenletét. Mivel (a) (5) 4, az érintési pont az 5, 4 koordinátájú pont. Szükségünk van (5) értékére. Mivel nem elemi üggvény még nem ismerjük a deriváltját. Később a derivált üggvény egy adott helyen vett értékét mindig úgy ogjuk kiszámolni, hogy meghatározzuk a derivált üggvényt, és vesszük annak a szóban orgó helyettesítési értékét. Ehhez azonban a deriválási szabályok ismeretére van szükség, ami a következő ejezet témája. Ezért most a deiníciót használva számoljuk ki (5) értékét: () (5) (5) lim lim lim lim lim, így az érintő meredeksége m (a) (5). Ezek elhasználásával az érintő egyenlete: y (a)( a) (a) Az y 6 egyenes ott metszi az tengelyt, ahol az y 0. A 6 0 egyenletből. Tehát az () 8 9 üggvény a 5 -beli érintője az metszi az tengelyt. Az alábbi ábrán a üggvényünket és az érintőjét láthatjuk.,0 koordinátájú pontban

13 7. ábra 4. eladat: Hol metszi az () üggvény a-beli érintője az és az y tengelyt? Megoldás: Úgy, mint az előző eladatban, az érintő egyenletének elírásával kezdünk. Mivel ( ),. Ezen kívül az érintő elírásához ( ) értékére van, az érintési pont szükségünk, amit most is a deiníció alapján határozunk meg. ( összetett üggvény, deriválásával a következő ejezetben oglalkozunk.) () ( ) ( ) lim ( ) Az érintő meredeksége tehát lim lim lim lim. m (a) ( ). Ezeket elhasználva az érintő egyenlete y (a)( a) (a) ( ).

14 Az y 0 egyenletből, azaz az 0 egyenletből 4, vagyis az érintő az tengelyt a 4,0 koordinátájú pontban metszi. Az y tengellyel való metszéspontot megkapjuk, ha az érintő y képletében az helyére nullát írunk, így y adódik, tehát az érintő az y tengelyt a 0, koordinátájú pontban metszi. A üggvényünket és az érintőjét mutatja az alábbi ábra. Ellenőrző kérdések:. kérdés: Mi az Válasz: y 4. kérdés: Mi az e Válasz: y. kérdés: Mi az Válasz: y 4. kérdés: Határozzuk meg az elhasználva adjuk meg 8. ábra üggvény 0 -beli érintőjének egyenlete? üggvény 0 0 -beli érintőjének egyenlete? üggvény m meredekségű érintőjének egyenlete? 5 közelítő értékét. üggvény 0 4 -beli linearizáltját, és ezt

15 Válasz: A linearizált y, s ebből kérdés: Határozzuk meg az ln üggvény 0 elhasználva adjuk meg ln közelítő értékét 4 tizedesre kerekítve. Válasz: A linearizált y, s ebből ln.06. e e-beli linearizáltját, és ezt Tanulási cél: Deriválási szabályok megismerése és alkalmazása összetett üggvények esetén. Magasabbrendű deriváltak meghatározása. Elméleti összeoglaló Amikor meghatározzuk egy üggvény derivált üggvényét úgy is gondolhatunk erre a olyamatra, mint egy új üggvényműveletre, amelyik az eredeti () üggvényből elkészíti az () derivált üggvényt. És sokszor hasznos így, üggvényműveletként gondolni a deriválásra. Persze ekkor rögtön adódik a kérdés, hogy ennek az új üggvényműveletnek mi a kapcsolata a korábban megismert üggvényműveletekkel. Ezeket a kapcsolatokat megogalmazó tételeket hívjuk deriválási szabályoknak. Ebben a leckében megismerkedünk a deriválási szabályokkal, és begyakoroljuk a derivált üggvény ezeken alapuló meghatározását. Ez sokkal gyorsabb és egyszerűbb, mint a deiníció alkalmazása, és nagyon ontos lesz a későbbiek során. Tétel: Legyen c tetszőleges konstans, az üggvény pedig dierenciálható az helyen, ekkor a c üggvény is dierenciálható az helyen, és c () c (). Úgy szoktunk hivatkozni erre a tételre, hogy a konstans szorzó deriváláskor kiemelhető. Tétel: Legyen az és a g üggvény dierenciálható az helyen, ekkor a az g üggvény is dierenciálható az helyen, és () g() () g (). Ennek a tételnek a tömör megogalmazása az, hogy összeg tagonként deriválható. A tétel nem csak két üggvény, hanem tetszőleges számú, véges sok üggvény összegének deriválásakor is érvényben marad: ha az,, n üggvények mindegyike dierenciálható az helyen, akkor az... n üggvény is dierenciálható az helyen, és () ()... () () ()... (). n n Ezekből a tételekből könnyen következik, hogy és a g üggvény dierenciálható az helyen, ekkor a az g üggvény is dierenciálható az helyen, és () g() () g (). Sőt, a legáltalánosabban ezek a tételek így ogalmazhatók meg egy tételben: ha az,, n üggvények mindegyike dierenciálható az helyen, c, c, c n pedig tetszőleges konstansok, akkor c c... cn n üggvény is dierenciálható az helyen, és c () c ()... c () c () c ()... c (). n n n n

16 Ezek a tételek együtt azt jelentik, hogy a deriválás lineáris művelet. Tétel: Legyen az és a g üggvény dierenciálható az helyen, ekkor a az g üggvény is dierenciálható az helyen, és () g() () g() () g (). Ez a tétel is általánosítható, például három tényező esetén így néz ki: () g() h() () g() h() () g () h() () g() h (). Figyeljük meg, hogy mivel az összeadás és a szorzás kommutatív művelet, az eddigi képletek nem változnak, ha azokban a üggvényeket tetszőleges sorrendben írjuk. Az osztás nem kommutatív művelet, ezért a törtüggvény deriválására vonatkozó képlet nem is szimmetrikus a számlálóban és a nevezőben. Tétel: Legyen az és a g üggvény dierenciálható az helyen, és g() 0, Ekkor a az g üggvény is dierenciálható az helyen, és () () g() () g (). g() g() A legontosabb deriválási szabály az összetett üggvény deriválási szabálya, ezt használjuk a leggyakrabban. Tétel: Legyen az üggvény dierenciálható az helyen, a g üggvény dierenciálható az () helyen. Ekkor a g üggvény is dierenciálható az helyen, és g( ()) g ( ()) (). Természetesen ez is általánosítható többtényezős kompozíciókra. Három tényező esetén a tétel a következő: ha az üggvény dierenciálható az helyen, a g üggvény dierenciálható az () helyen, a h üggvény pedig dierenciálható a g( ()) helyen, akkor a h g üggvény is dierenciálható az helyen, és h(g( ())) h (g( ())) g ( ()) (). Ezt, és az előző tételt is, láncszabálynak hívják. A üggvény inverzének a képzése is tekinthető üggvényműveletnek, így persze van az inverz üggvény deriválására vonatkozó tétel is. A gyakorlatban azonban ezt ritkán alkalmazzuk, helyette elkészítjük az inverz üggvényt, és alkalmazzuk a korábbi deriválási szabályokat. Egy üggvény deriváltja maga is egy üggvény. Tekinthetjük ennek a deriváltját, amit og jelölni, és ezt második deriváltjának hívjuk. Ennek deriváltja harmadik deriváltja, és így tovább. Ezeknek a magasabb rendű deriváltaknak ontos szerepe van a elsőbb matematikában. Kidolgozott eladatok

17 A következő eladatokban csak a derivált üggvény képletének az előállításával oglalkozunk, és nem vizsgáljuk annak értelmezési tartományát. Fel ogjuk használni az elemi üggvények korábban már megismert deriváltjait. 4. eladat: Határozzuk meg az () 5 üggvény derivált üggvényét. Megoldás: Az üggvény egy konstans és egy hatványüggvény szorzata, ezért a konstans szorzó a deriválás művelete élé kiemelhető: 4 4 () eladat: Határozzuk meg az () ln üggvény derivált üggvényét. Megoldás: Az üggvény kéttagú összeg, amit tagonként deriválhatunk, így: () ln ln.. eladat: Határozzuk meg az () sin cos üggvény derivált üggvényét. () sin cos cos sin cos sin. Megoldás: 4. eladat: Határozzuk meg az () e üggvény derivált üggvényét. Megoldás: Felhasználjuk, hogy a deriválás lineáris, a gyököt és a törtet pedig elírjuk hatványként, így minden derivált könnyen elismerhető elemi üggvény deriváltja lesz: () e e e e. Deriváláskor gyakori, hogy a törteket és a gyököket hatványokként kezeljük. 5. eladat: Határozzuk meg az (t) t üggvény derivált üggvényét. Megoldás: Végezzük el a négyzetre emelést. Ekkor kapjuk, hogy (t) 4t 4. Ezt elhasználva (t) 4t 4t 4 t 4 t 8t 4. Később ezt a üggvény a szorzatüggvény és az összetett üggvény deriválási szabályát elhasználva is deriválni ogjuk eladat: Határozzuk meg az () ln üggvény derivált üggvényét. Megoldás: Persze majd tagonként ogunk deriválni, de először a negyedik gyököt hatványként írjuk el. Azután vegyük igyelembe, hogy ln konstans, így a deriváltja 0, és nem.

18 elhasználva az 4 4 () ln ln 4 ln, 4 a és az elemi üggvények deriváltjait. Ellenőrző kérdések:. kérdés: Mi az () 4 üggvény derivált üggvénye? Válasz:. kérdés: Mi az (t) ctgt üggvény derivált üggvénye? t Válasz: t sin t. kérdés: Mi az () e üggvény derivált üggvénye? Válasz: ee, 4. kérdés: Mi az () 4 üggvény derivált üggvénye?, Válasz: ln 8, 5. kérdés: Mi az () Válasz: 4 Kidolgozott eladatok: üggvény derivált üggvénye? 7. eladat: Határozzuk meg az (t) t üggvény derivált üggvényét. Megoldás: A üggvényünk így is írható: (t) t t. Így, a szorzatüggvény deriválási szabálya alapján (t) t t t t t t 8t eladat: Határozzuk meg az () ( )( ) üggvény derivált üggvényét. Megoldás: Mivel a üggvényünk szorzatüggvény, alkalmazhatjuk a szorzatüggvény deriválási szabályát: () ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( 4) 6 8, De eljárhatunk úgy is, hogy először elvégezzük a üggvényünket deiniáló képletben a 4 szorzást: (). Ezután deriválás szempontjából már egyszerűbb a helyzet.

19 () ( ) Természetesen ugyanaz a végeredmény, mint az előbb. Látjuk, hogy gyakran elő og ordulni, hogy egy deriválás több úton is elvégezhető. A továbbiakban az összegek deriváltját, ha a tagok már elemi üggvények, a deriválások kijelölése nélkül, közvetlenül elírjuk. 9. eladat: Határozzuk meg az () e üggvény derivált üggvényét. Megoldás: Most nem célszerű elvégezni a beszorzást, mert a keletkezett szorzatok nem egyszerűsíthetők, és így kétszer is alkalmazni kéne a szorzatüggvény deriválási szabályát. () e e e e. Felmerül, hogy az utolsó képletben el kell-e végezni a beszorzásokat. Amikor csak az a eladat, hogy határozzuk meg egy üggvény derivált üggvényét, a deriválások elvégzése után nem ogjuk a lehetséges összevonásokat elvégezni. Ez így gyorsabb és egyszerűbb. Később, amikor a derivált üggvénnyel további számításokat ogunk végezni, más lesz a helyzet. 0. eladat: Határozzuk meg az () tg sin 0 üggvény derivált üggvényét. Megoldás: Először is a sin0 egy konkrét szám, konstans, és a 0 radiánban értendő; az analízisben a trigonometrikus üggvények argumentuma mindig radián van megadva. Így sin , és nem 0.5, amennyi a 0 szinusza. Tehátsin0 deriváltja nulla, továbbá () tg sin 0 tg sin 0 cos tg sin 0 ln.. eladat: Határozzuk meg az () sin lg üggvény derivált üggvényét. Megoldás: A üggvényünk három tényezős szorzat, de már ismerjük egy ilyen üggvény deriváltjára vonatkozó képletet, az alapján 0 () e tg üggvény derivált üggvényét.. eladat: Határozzuk meg az Megoldás: Ebben a eladatban elkerülhetetlen a szorzatüggvény deriválási szabályának többszöri alkalmazása. Figyeljük meg, ahogyan először csak kijelöljük a szükséges deriválásokat.

20 () e tg e tg e tg e tg e e tg e tg. Ezután már könnyen elvégezhetjük a kijelölt deriválásokat, és azt kapjuk, hogy () e e tg e cos. Ellenőrző kérdések: () sin üggvény derivált üggvénye?. kérdés: Mi az Válasz: sin cos. kérdés: Mi az () Válasz: 8 üggvény derivált üggvénye?. kérdés: Mi az () ln ln üggvény derivált üggvénye? Válasz: ln ln 4. kérdés: Mi az () üggvény derivált üggvénye? Válasz: kérdés: Mi az Válasz: 4 () ( ) ( ) üggvény derivált üggvénye? kérdés: Mi az () ( )(ln ) üggvény derivált üggvénye? Válasz: 6ln ln 5 Kidolgozott eladatok:. eladat: Határozzuk meg az () üggvény derivált üggvényét. Megoldás: A törtüggvény deriválási szabályát kell alkalmazni: () Figyeljük meg, hogy a számlálóban elvégeztük az összevonásokat, de a nevezőben a négyzetre emelést nem, ezt máskor sem ogjuk elvégezni, csak ha egytagú a nevező, így jobban kezelhető a kapott ormula..

21 4. eladat: Határozzuk meg az () üggvény derivált üggvényét. Megoldás: A konstans számlálójú törteket, mint hamarosan látni ogjuk, gyakran célszerűbb összetett üggvényként deriválni. De persze lehet törtként is, mint most is. () Általában is 0 g (). g() g () 5. eladat: Számoljuk ki () értékét, ha (). Megoldás: Először meghatározzuk derivált üggvényét, majd vesszük annak a helyettesítési értékét az helyen. Hogy ne kelljen kétszer alkalmazni a tört deriválási szabályt közös nevezőre hozzuk a üggvényünk: Ebből pedig () ( ).. Most már a derivált 4 () () eladat: Számoljuk ki g () értékét ha (), (), és Megoldás: A g deriváltjával kezdünk: g(). () () () () () g () () () () Ebből pedig a keresett helyettesítési érték

22 7. eladat: Legyen g(), g (). Megoldás: Mivel Ellenőrző kérdések: () () () 5 g (). () h(). Számoljuk ki h () értékét, ha () g(), () és. 9 () () g() () g () h (), azt kapjuk, hogy g() g() 4 h (). kérdés: Mi az () üggvény derivált üggvénye? Válasz:. kérdés: Mi az () üggvény derivált üggvénye? Válasz:. kérdés: Mennyi (0) értéke, ha () e? Válasz: 4. kérdés: Mennyi g () értéke ha (), (), és Válasz: 4 () g() (). 5. kérdés: Legyen g(), g (). () h(). Számoljuk ki h () értékét, ha () g(), () és Válasz: 5 9

23 Kidolgozott eladatok: 8. eladat: Határozzuk meg az h(t) t üggvény derivált üggvényét. Megoldás: Vegyük észre, hogy h(t) összetett üggvény: h(t) g( (t)), ha (t) t és g(t) t. Ezzel a választással (t), g (t) t. Ezért az összetett üggvény deriválási szabály alapján h (t) g( (t)) g ( (t)) (t) 9. eladat: Határozzuk meg az (t) t 8t 4. h() üggvény derivált üggvényét. Megoldás: h() most is összetett üggvény, hiszen h() g( ()), ha g(). Tudjuk, hogy () és g (). Így tehát h () g( ()) g ( ()) (). () (), és 0. eladat: Határozzuk meg az h() sin üggvény derivált üggvényét. Megoldás: h() ismét h() g( ()) szerkezetű összetett üggvény az g() sin választással. Mivel () és g () cos, azt kapjuk, hogy h () g( ()) g ( ()) () cos( ()) cos. (),. eladat: Határozzuk meg az h() ln üggvény derivált üggvényét. Megoldás: Most h() g( ()), ha () és g() ln. De mint tudjuk (), továbbá g (). Ezeket elhasználva h () g( ()) g ( ()) (). (). eladat: Határozzuk meg az h() üggvény derivált üggvényét.

24 Megoldás: Ahogy említettük, a konstans számlálójú törteket célszerűbb összetett üggvényként deriválni. Ennek érdekében átírjuk a üggvényünket h() alakba. Innen leolvasható, hogy h() g( ()) szerkezetű összetett üggvény az (), g() választással. Ekkor (), és g (). Ezek alapján h () g ( ()) (). eladat: Legyen h() ().. Milyen -re lesz h () 0? Megoldás: Az összetett üggvény deriválási szabályát addig célszerű gyakorolni, hogy a kompozíció tényezőinek elírására már ne is legyen szükség. Most például a következőt kapjuk: h () Most még kicsit átalakítjuk h (). képletét, hogy a gyökeit könnyen leolvashassuk. h () 4. Mivel egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője az, azt kapjuk, hogy h () 0, ha 0, vagy, vagy. Mivel a h üggvény mindenütt értelmezve van, mind a három szám megoldás. (A nulla és a kettő tizenegyszeres gyök, az egy egyszeres.) 4. eladat: Legyen h() ln. Milyen -re lesz h () 0? Megoldás: Kezdjük a derivált üggvénnyel. Mivel h () ln ln 4 ln. Tudjuk, hogy ln 0, így ennek a szorzatnak három gyöke van: a, a nulla és a. De azt is tudjuk, hogy a derivált üggvény értelmezési tartománya, a deiníció alapján, az eredeti

25 üggvény értelmezési tartományának részhalmaza. Akkor is, ha a derivált képletének lehetséges legbővebb értelmezési tartománya ennél bővebb. Mivel a h üggvény nincs értelmezve a nullában, ezért a eladat kérdésére az a válasz, hogy h () 0, ha. 5. eladat: Határozzuk meg az s() ln üggvény derivált üggvényét. Megoldás: Ez a üggvény egy háromszorosan összetett üggvény: s() h(g(())), ha h(), g() ln, és (). Ezeknek a deriváltja rendre: h (), g (), (). A láncszabály alapján s () h (g(())) g (()) (). Vegyük azt is igyelembe, hogy, leolvasva az s képletéről, g( ()) ln. Ezek alapján: s () h (g( ())) g ( ()) () () g( ()) () ln. Figyeljük meg, hogy az utolsó képletben zárójelbe tettük a tényezőt. Ha ezt nem tettük volna, és a pontot sem írtuk volna ki, amit amúgy nem is kötelező, a képlet hibás lenne. 6. eladat: Határozzuk meg az s() sin e üggvény derivált üggvényét. Megoldás: Most is egy háromszorosan összetett üggvénnyel van dolgunk, persze újra a láncszabályt ogjuk alkalmazni. Mivel sin cos,, és végül e e, kapjuk, hogy 7. eladat: Legyen s () cos e e. e () 6. Határozzuk meg () Megoldás: Először meghatározzuk az () derivált üggvényt. Ezt elhasználva () et.

26 () () eladat: Legyen () cos(). Határozzuk meg () -et. Megoldás: Most, a szorzat deriválási szabályát alkalmazva, () cos() cos() cos() cos() sin() cos() sin(). Ez alapján, még kétszer alkalmazva a szorzat deriválási szabályát, és elvégezve a lehetséges összevonásokat () cos() sin() Ellenőrző kérdések: cos() cos() sin() sin() cos() sin() 4 sin() cos() cos() 4 sin() 4 sin() 4 cos() 4 cos() 8 sin().. kérdés: Mi az h() üggvény derivált üggvénye? Válasz: 9. kérdés: Mi az h() üggvény derivált üggvénye? Válasz: h() cos sin üggvény derivált üggvénye?. kérdés: Mi az Válasz: cos sin sin

27 4. kérdés: Mi az h() ln üggvény derivált üggvénye? Válasz: 5. kérdés: Mi az h() e üggvény derivált üggvénye? Válasz: e e e 6. kérdés: Legyen h() Válasz:,, 0 7. kérdés: Legyen h() Válasz:,. Milyen -re lesz h () 0?. Milyen -re lesz h () 0? 8. kérdés: Mi az s() cos Válasz: 4cos sin üggvény derivált üggvénye? 9. kérdés: Mi az s() e üggvény derivált üggvénye? Válasz: e 0. kérdés: Legyen () e. Mi második deriváltja? Válasz: 4 e (helyes) (). kérdés: Legyen 4. Mi második deriváltja?

28 Válasz:. A derivált alkalmazásai Tanulási cél: Olyan eljárás megismerése, melynek segítségével a üggvények növekedés, csökkenés és szélsőérték szempontjából vizsgálhatók, valamint az eljárás alkalmazása szöveges eladatokban minimum vagy maimum keresésére. Motivációs példa: Valamely termék árbevételét az üggvény adja meg, ahol a termék egységára Ft-ban. Ha a jelenlegi egységár növekszik, vajon mennyivel csökken a bevétel? Milyen egységár mellett lesz a bevétel maimális? Egy adott termék előállítási költségét a g üggvény adja meg, ahol a termelt mennyiség. Ha a jelenlegi termelés nő, vajon az átlagos előállítási költség mennyivel növekszik? Mekkora termelés esetén lesz az egy termékre jutó átlagos előállítási költség minimális? A gyakorlati életben nagyon sok ehhez hasonló problémával találkozunk, amiben valamilyen izikai vagy közgazdasági mennyiségnek maimumát vagy minimumát, azaz szélsőértékét keressük, egy másik mennyiség üggvényében. A megadott példákban a bevétel ügg a termék egységárától, vagy az előállítási költség a termelt mennyiségtől. A mennyiségek közötti kapcsolatokat az g üggvények írják le. Ha sikerül megállapítanunk, hogy illetve ezek a üggvények mikor nőnek, és mikor csökkennek, akkor azt is meg tudjuk mondani, hogy hol veszik el a legnagyobb illetve legkisebb értékeiket. Az alábbiakban olyan módszerrel ismerkedünk meg, aminek segítségével el tudjuk dönteni, hogy egy üggvény mely intervallumokon nő, és mely intervallumokon csökken, valamint hol és milyen típusú szélsőértéke van. Elméleti összeoglaló: Mivel a derivált értéke minden pontban megadja a graikon érintőjének meredekségét, ezért a derivált előjeléből következtethetünk arra, hogy hol nő és hol csökken a üggvény, valamint hol van szélsőértéke. Szemléletesen ugyanis arra gondolhatunk, hogy ha egy pontban a derivált pozitív, akkor ott az érintő meredeksége pozitív, tehát az érintő úgymond elelé halad, s mivel ő jól közelíti a üggvényt, így a üggvény is növekedni og. Erre látunk példát az alábbi ábrán.

29 Hasonlóan okoskodhatunk akkor, ha egy pontban a derivált negatív. Ekkor az érintő nyilván leelé halad, s ekkor a üggvény csökkenni og. Erre mutat példát az alábbi ábra. Ha pedig egy üggvénynek valahol szélsőértéke, azaz maimuma vagy minimuma van, akkor ott az érintőnek vízszintesnek kell lennie, tehát meredeksége 0, s így a derivált értéke itt 0 kell legyen. Erre láthatunk két példát is az alábbi ábrán. Hangsúlyozzuk, hogy ez csak szemléletes okoskodás. A pontos megogalmazás majd a most következő deiníciókban és tételekben szerepel majd. Elsőként deiniáljuk pontosan a lokális növekedés és csökkenés, valamint a szélsőértékek ogalmát. Deiníció: Az üggvény az 0 D helyen lokálisan növekvő, ha létezik az 0 -nak olyan környezete, amelybe eső minden 0 esetén teljesül, hogy. 0

30 Az üggvény az 0 D helyen lokálisan csökkenő, ha létezik az 0 -nak olyan környezete, amelybe eső minden 0 0. Deiníció: Az üggvénynek az 0 helyen helyi, másképpen lokális maimuma van, ha esetén teljesül, hogy 0. megadható 0 Az üggvénynek az 0 helyen helyi, másképpen lokális minimuma van, ha megadható 0 - -nak olyan környezete, amelybe eső minden esetén nak olyan környezete, amelybe eső minden esetén 0. Ezek után kimondható az alábbi tétel, melyre a szemléletes okoskodással utaltunk. Tétel: Ha az üggvény az 0 0 helyen lokálisan növekvő. Ha az üggvény az 0 helyen lokálisan csökkenő. helyen dierenciálható és helyen dierenciálható és 0 0, akkor a üggvény az 0 0, akkor a üggvény az 0 A tétel megordítása azonban sajnos nem igaz. Gondoljunk ugyanis az üggvényre, amely az 0 0 helyen nyilván lokálisan növekvő, azonban deriváltja ott nem pozitív, hanem 0-val egyenlő. Az alábbi ábrán látható az üggvény graikonja, amiről teljesen egyértelmű, hogy a üggvény nő az 0 0 helyen. Így nem egészen megordításként, következő tétel mondható ki. Tétel: Ha az üggvény az 0 helyen dierenciálható és ott lokálisan növekedő, akkor 0 0. Ha az üggvény az helyen dierenciálható és ott lokálisan csökkenő, akkor A eladatok megoldása során a lokális növekedés és csökkenés helyett, az intervallumon növekedés és csökkenés ogalmát használjuk. Deiníció: Az üggvény az lokálisan növekvő. Az üggvény az, csökkenő. ab, intervallumon növekvő, ha minden a, b ab intervallumon csökkenő, ha minden a, b esetén esetén lokálisan

31 Ezek után eladatokban leginkább a tétel alábbi megogalmazásra hivatkozunk. Tétel: Ha az, akkor az ab, intervallumon növekvő. Ha az, az ab, intervallumon csökkenő., ab intervallumon dierenciálható és minden a, b esetén 0, akkor ab intervallumon dierenciálható és minden a, b esetén 0 A lokális szélsőértékekre is több tétel mondható ki. Az első a szélsőérték létezésének szükséges eltétele. Tétel: Ha dierenciálható az 0 hely valamely környeztében, és -nek 0 -ban lokális. szélsőértéke van, akkor 0 Gondoljunk bele, a tétel nem azt mondja ki, hogy ahol a derivált 0, ott szélsőérték van. Ez a tétel megordítása lenne, és ez nem igaz. Példaként megint az üggvényt említhetjük, amelynek deriváltja az 0 0 helyen 0-val egyenlő, de ott nincs szélsőértéke a üggvénynek, mert ott lokálisan növekvő. Tehát csak annyit mondhatunk, ahol a derivált 0, ott könnyen elképzelhető, hogy van szélsőérték. Ezért van szükségünk egy másik tételre is, ami már elégséges eltétel a szélsőérték létezésére. Tétel: Ha az üggvény dierenciálható az 0 0 0, valamint előjele megváltozik az 0 -ban, akkor -nek az 0 helyen lokális szélsőértéke van. helyen és A enti tételek birtokában a következő módon vizsgálhatjuk majd a üggvényeket növekedés, csökkenés és szélsőérték szempontjából.. Megvizsgáljuk, mi a legbővebb halmaz, amelyen a üggvény értelmezhető.. Deriváljuk a üggvényt.. Megoldjuk az 0 egyenletet. Ezzel megkapjuk azokat a helyeket, ahol szélsőérték lehet. 4. Az értelmezési tartományt a szakadási helyekkel és a derivált zérushelyeivel részekre bontjuk, s a részeken vizsgáljuk a derivált előjelét. Ezt például úgy hajtjuk végre, hogy mindegyik részből választunk egy számot, melyet a deriváltba helyettesítünk. 5. Az értelmezési tartomány egyes részein a derivált előjeléből következtetünk a növekedésre, csökkenésre. Az utolsó két pontban leírtakat célszerű egy táblázatban összeoglalni, mert akkor tömörebben írhatjuk a dolgokat. Kidolgozott eladatok:. eladat: Vizsgáljuk meg növekedés és csökkenés, azaz monotonitás, valamint szélsőérték 4 szempontjából az 8 üggvényt. Megoldás: A üggvény minden valós számra értelmezhető, azaz D.

32 Emeljünk ki amit csak lehet, így alakítsunk szorzattá. 0 Szorzat akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Két eset lesz, vagy 0, amiből 0 következik, vagy 0, amiből következik. A derivált zérushelyei tehát most a 0 és a. Készítsünk ezután egy táblázatot. Az első sorban az értelmezési tartomány részeit tüntessük el. A derivált zérushelyei bontják részekre a valós számok halmazát. A zérushelyeknek is készítsünk külön oszlopot, mert ezeket a helyeket kell vizsgálnunk, hogy van-e bennük szélsőérték. A második sorban majd azt jelezzük, hogy az adott részen milyen előjelű a derivált. A harmadik sorban pedig majd azt, hogy azon a részen hogyan viselkedik a üggvény. Most egyelőre azonban csak az első sort töltsük ki. Így az induló táblázatunk az alábbi.,0 0 0,, Most vegyünk egy számot a,0 intervallumból, és helyettesítsük be a deriváltba. Ilyen szám pl. a. 4 6 Negatív számot kaptunk, tehát a derivált negatív értékeket vesz el a,0 intervallumon. Most vegyünk egy számot a 0, intervallumból, és helyettesítsük be a deriváltba. Ilyen szám pl. az. 4 Negatív számot kaptunk, tehát a derivált negatív értékeket vesz el a 0, intervallumon. Végül vegyünk egy számot a, intervallumból, és helyettesítsük be a deriváltba. Ilyen szám pl. a Pozitív számot kaptunk, tehát a derivált pozitív értékeket vesz el a, intervallumon. Töltsük ki ezután a táblázat második sorát, beírva a derivált előjelét. A zérushelyeken természetesen azt írjuk be, hogy a derivált ott 0.,0 0 0,, neg. 0 neg. 0 poz. Ezután töltsük ki a harmadik sort is. Ahol a második sorban negatív a derivált, ott a üggvény csökken, ahol pedig pozitív a derivált ott a üggvény nő. Amelyik zérushelynél nem vált

33 előjelet a derivált, ott nincs szélsőérték, de ahol megváltozik a derivált előjele ott van. Ha negatívból pozitívba vált a derivált, akkor lokális minimum van, hiszen a üggvény a szélsőérték előtt csökken, azután pedig nő. Míg ha pozitívból negatívba megy át a derivált, akkor lokális maimum van, mert a üggvény a szélsőérték előtt nő, utána pedig csökken.,0 0 0,, neg. 0 neg. 0 poz. csökk. nincs SZÉ. csökk. lokális minimum A üggvény tehát csökken a, intervallumon, nő a, intervallumon, és lokális minimuma van az helyen. Az 0 helyen nincs szélsőérték, mert ott nem vált előjelet a derivált, s mert a üggvény előtte és utána is csökken. Ebből következik, hogy az 0 helyen is lokálisan csökkenő a üggvény. A táblázat alapján bármilyen növekedéssel, csökkenéssel és szélsőértékkel kapcsolatos kérdésre választ tudunk adni. A szélsőérték nagyságát is megkaphatjuk, ha helyét behelyettesítjük az eredeti üggvénybe. Jelen esetben tehát -t helyettesítünk az -be A üggvény minimumának értéke tehát 6. Az alábbi ábrán a üggvény graikonja látható. nő. eladat: Vizsgáljuk meg növekedés és csökkenés, azaz monotonitás, valamint szélsőérték szempontjából az üggvényt. Megoldás: A törtek miatt kikötést kell tennünk, 0. \ 0 D. 0 0 Célszerű -gyel szorozni, és közös nevezőre hozni. Így az alábbit kapjuk:

34 0. Egy tört akkor 0, ha számlálója 0. Így az 0 egyenletet kapjuk, amiből. A deriváltnak tehát most csak egy zérushelye van. A táblázat készítésekor azonban ne eledkezzünk meg arról, hogy 0-ban nem értelmezett a üggvény. Így a 0-t is vegyük be a táblázatba ugyanúgy, mint a derivált zérushelyét. Így az induló táblázat a következő.,,0 0 0, X X A 0 oszlopában az X-ekkel azt jelöltük, hogy ott a üggvény nincs értelmezve. Vegyünk egy számot a, -ból, mondjuk a -at, s helyettesítsük a deriváltba. 7 Mivel negatív értéket kaptunk, ezen az intervallumon mindenütt negatív lesz a derivált, s így itt csökken a üggvény. Vegyünk egy számot a,0 -ból, mondjuk a -et, s helyettesítsük a deriváltba. Mivel pozitív értéket kaptunk, ezen az intervallumon mindenütt pozitív lesz a derivált, s így itt nő a üggvény. Végül vegyünk egy számot a 0, -ból, mondjuk a -et, s helyettesítsük a deriváltba. Mivel negatív értéket kaptunk, ezen az intervallumon mindenütt negatív lesz a derivált, s így itt csökken a üggvény. Mivel előtt negatív a derivált, utána azonban pozitív, így az helyen a üggvénynek lokális minimuma van. Töltsük ki ezután egyből a táblázat második és harmadik sorát is.,,0 0 0, neg. 0 poz. X neg. csökk. lokáis minimum A üggvény tehát csökken a, és és lokális minimuma van az helyen. A minimum értéke. 4 nő X csökk. 0, intervallumokon, nő a,0 intervallumon, Bár az 0 helyen megváltozik a derivált előjele, ez mégsem szélsőérték, hiszen itt a üggvény nincs értelmezve. Az alábbi ábrán a üggvény graikonja látható.

35 ? Az. eladat: Hol növekvő az üggvény, ha deriváltja 5 ugyanott értelmezhető ahol. Megoldás: Első lépésként meg kell vizsgálnunk, mi a legbővebb halmaz, amelyen értelmezhető. Mivel nem kell semmilyen kikötést tennünk D, s ugyanitt értelmezhető is. Mivel most ismerjük a üggvény deriváltját, így az 0 egyenlet megoldásával olytatjuk. 5 0 Mivel szorzat csak úgy lehet 0, ha valamelyik tényezője 0, így az egyenlet két egyszerűbb egyenletre bontható. Vagy 0, amiből, vagy 5 0, amiből 5. Készítsük most táblázatot, aminek első sorában eltüntetjük az értelmezési tartomány részeit. Most a derivált két zérushelye a és az 5 bontja részekre a valós számok halmazát.,,5 5 5, Vegyünk egy számot a, -ból, mondjuk a -at, s helyettesítsük a deriváltba Mivel negatív értéket kaptunk, ezen az intervallumon mindenütt negatív lesz a derivált, s így itt csökken a üggvény. Vegyünk egy számot a,5 -ból, mondjuk a 0 -t, s helyettesítsük a deriváltba. (Egy pozitív és egy negatív szám között mindig a 0-t célszerű választani, mert azt a legegyszerűbb helyettesíteni.) Mivel pozitív értéket kaptunk, ezen az intervallumon mindenütt pozitív lesz a derivált, s így itt nő a üggvény. Végül vegyünk egy számot az 5, -ból, mondjuk a 0-et, s helyettesítsük a deriváltba.

36 Mivel pozitív értéket kaptunk, ezen az intervallumon mindenütt pozitív lesz a derivált, s így itt nő a üggvény. Mivel előtt negatív a derivált, utána azonban pozitív, így az helyen a üggvénynek lokális minimuma van. Az 5 helyen nem változik a derivált előjele, és a üggvény 5 előtt és után is nő, így ezen a helyen nincs szélsőérték. A üggvény az 5 helyen is lokálisan nő.,,5 5 5, neg. 0 poz. 0 poz. csökk. lokáis minimum nő nincs SZÉ. A kész táblázat alapján már csak válaszolnunk kell a kérdésre. Látható, hogy a üggvény a, intervallumon nő. 4. eladat: Hol csökkenő az üggvény, ha deriváltja értelmezhető ahol. nő? Az ugyanott 4 Megoldás: A eladat nagyon hasonlít az előzőhöz, így ugyanúgy járhatunk el. Első lépésként határozzuk meg, mely halmazon értelmezhető a üggvény deriváltja. A nevező nem lehet D \ 4. zérus, így Ezután oldjuk meg az 0 egyenletet Nézzük ezután, milyen részekre kell bontanunk az értelmezési tartományt. Az előzőekben szerepelt, hogy a derivált zérushelyei bontják részekre az értelmezési tartományt, mert általában ezeken a helyeken változik meg a derivált előjele. De nem csak zérushelyen változhat egy üggvény előjele, hanem olyan helyen is, ahol nincs értelmezve. Gondoljunk pl. az üggvényre, amely nincs értelmezve az 0 helyen. A negatív értékekre negatív ez a üggvény, a pozitív -ekre pedig pozitív. Nincs tehát zérushely a 0 -ban, hisz a üggvény itt nem is értelmezett, de a üggvény előjele mégis változik. Amikor készítjük a táblázatot, akkor tehát nem csak a derivált zérushelyével kell részekre bontani az értelmezési tartományt, hanem az értelmezési tartományban levő szakadási hellyel is. Készítsük el most a táblázatot, egyelőre az első sorát kitöltve. A szakadási helyen azonban a második és a harmadik sorban jelölhetjük, hogy ott a derivált nem értelmezett, így a üggvényről sem tudunk semmit mondani., 4 4 4,, X X

37 Ezután vizsgáljuk meg az értelmezési tartomány részein a derivált előjelét, és ebből határozzuk meg, nő vagy csökken ott a üggvény. Vegyünk egy 4 -nél kisebb számot. Legyen pl. 5, s helyettesítsük ezt a deriváltba Negatív értéket kaptunk, tehát 4 esetén negatív a derivált, ebből következően itt csökken a üggvény. Vegyünk egy 4 és közé eső számot. Legyen pl. 0, s ezt is helyettesítsük a deriváltba Pozitív értéket kaptunk, tehát ha 4, akkor pozitív a derivált, s így itt nő a üggvény. Végül vegyünk egy -nál nagyobb számot is. Legyen pl. 4, és helyettesítsük ezt a deriváltba Negatív értéket kaptunk, így ha akkor negatív a derivált, tehát ekkor csökken üggvény. Mivel a derivált értéke az helyen előjelet vált, így ezen a helyen van lokális szélsőértéke a üggvénynek. Mert a derivált pozitívból negatívba megy át, így ezen a helyen lokális maimum van. Ezután kitölthetjük a táblázat második és harmadik sorát is., 4 4 4,, neg. X poz. 0 neg. csökk. X nő lokális maimum csökk. A kitöltött táblázat alapján válaszolhatunk a eladat kérdésére. A üggvény csökken a, 4, intervallumokon. és 5. eladat: Hol és milyen jellegű szélsőértéke van az üggvénynek, ha deriváltja ln? Az ugyanott értelmezhető ahol. Megoldás: Az előző eladatok megoldásából láthattuk, hogy egy üggvény szélsőértékeinek meghatározásához is azokra a lépésekre van szükség, mint a növekedés és a csökkenés vizsgálatához. Így járjunk el hasonlóan, mint az előzőekben. Elsőként vizsgáljuk meg, mely halmazon értelmezhető a üggvény deriváltja. Most a ln miatt ki kell kötnünk, hogy csak pozitív értékeket vehet el, így 0, Ezután oldjuk meg az 0 ln 0 D. egyenletet. Arra hivatkozunk, hogy szorzat csak akkor lehet zérus, ha valamelyik tényezője 0. Így az egyenletet egyszerűbb egyenletekre bontjuk. 0vagy ln 0 Az első egyenlet megoldása nyilván. A második egyenlet mindkét oldalát tekintsük úgy mint kitevőt, s az e számot emeljük el ezen kitevőkre. Így a bal oldalon olyan kompozíciót kapunk, amiben egy üggvény és inverze szerepel, így ott egyszerűen áll.

38 ln 0 ln 0 e e A derivált zérushelyei tehát az és a. Ezután elkészíthetjük a táblázatot, egyelőre csak az első sort kitöltve. Figyeljünk oda, hogy az értelmezési tartomány most csak a pozitív valós számok halmaza. Így az első részben nem a, 0, intervallumnak kell szerepelni. intervallum áll, hanem ott a 0,,, Ezután vizsgáljuk a derivált előjelét az egyes részeken, s ebből következtessünk a növekedésre vagy a csökkenésre. A 0, intervallumban található pl. az 0.5. Helyettesítsük ezt a deriváltba ln A derivált értéke itt negatív, tehát ezen az intervallumon csökken a üggvény. Az, intervallumban található pl. az.5, amit behelyettesítünk a deriváltba..5.5 ln A derivált értéke ezen a helyen pozitív, ebből következően ezen az intervallumon nő a üggvény. Végül a, intervallumban van pl. az, amit a deriváltba helyettesítünk. ln.0 A derivált pozitív ezen a helyen, így itt is nő a üggvény. Az helyen a derivált előjele megváltozik, így itt a üggvénynek lokális szélsőértéke van. Mivel a derivált negatívból pozitívba megy át ezen a helyen, így itt lokális minimuma van a üggvénynek. Az helyen a derivált nem vált előjelet, így ezen a helyen nincs szélsőértéke a üggvénynek. Mivel előtte és utána is növekvő a üggvény, így ezen a helyen is lokálisan növekvő a üggvény. Töltsük ki ezután a táblázat második és harmadik sorát is. 0,,, neg. 0 poz. 0 poz. lokális nincs csökk. nő nő minimum SZÉ. A üggvénynek tehát csak az helyen van lokális szélsőértéke, ahol lokális minimuma van. Ellenőrző kérdések: üggvény?. kérdés: Hol növekvő az 4 Válasz: A, intervallumon

39 . kérdés: Hol csökkenő az Válasz: A üggvény?,0 és 0, intervallumokon.. kérdés: Hol növekvő az üggvény, ha deriváltja 8 ugyanott értelmezhető ahol. Válasz: A, 8 és, intervallumokon.? Az 4. kérdés: Hol csökkenő az üggvény, ha deriváltja értelmezhető ahol. 5? Az ugyanott Válasz: A, és,5 intervallumokon. 5. kérdés: Hol és milyen jellegű szélsőértéke van az üggvénynek, ha deriváltja 7 ln? Az ugyanott értelmezhető ahol. Válasz: Az helyen lokális maimuma, az 7 helyen lokális minimuma van. Elméleti összeoglaló: Az eddigiekben megismertük azt a módszert, mellyel üggvényeket monotonitás és szélsőérték szempontjából vizsgálni tudunk. Most oglalkozzunk azzal, hogyan tudjuk alkalmazni ezt a módszert a lecke elején vázolt problémákhoz hasonló esetekben, melyeket szöveges szélsőérték eladatoknak nevezhetünk. Az ilyen eladatokban első lépésként el kell írnunk, egy általunk választott üggetlen változó üggvényében azt a mennyiséget, aminek a szélsőértékét keressük. Ezután meg kell határozni a eladat eltételeiből, hogy a üggetlen változó milyen értékeket vehet el. Az így kapott, szöveg szerinti értelmezési tartományon kell aztán megkeresnünk a üggvény szélsőértékeit a korábban megismert módon. A módszerrel az alábbi kidolgozott eladatokon keresztül ismerkedünk meg. Megoldjuk majd a lecke elején vázolt problémát is, de előbb egyszerűbb eladatokkal oglalkozunk. Kidolgozott eladatok:. eladat: Mekkorának kell választani egy 0 cm kerületű téglalap oldalait, hogy területe maimális legyen? Mekkora ez a maimális terület? Megoldás: Jelöljük a téglalap egyik oldalát -szel, a másikat pedig y -nal. Ekkor a téglalap területe: T y. Így elírva a területet, két változó mennyiség szerepel. Azonban a két változó között kapcsolat van, hiszen a kerület 0 cm. Írjuk el a kerületet az oldalakkal. K 0 y Ebből az összeüggésből az egyik változó, pl. y kiejezhető. y0

40 Ha pedig ezután behelyettesítünk y helyére a területet leíró összeüggésben, akkor már egyváltozós üggvényt kapunk. Ekkor már jelölhetjük azt is, hogy a terület az változó üggvénye. T( ) (0 ) 0 Ezzel olyan üggvényt kaptunk, ami a terület változását írja le az egyik oldal üggvényében. Határozzuk meg ezután, hogy milyen határok között vehet el értékeket a változó. Nyilvánvaló, hogy az 0 eltételnek teljesülni kell, hiszen egy téglalap oldala csak pozitív lehet. Az -nek azonban 0-nél kisebbnek is kell lennie, hiszen a téglalap másik oldala 0, és ennek is pozitívnak kell lenni. Így a változóra a 0 0 eltételt kapjuk. Ezen a halmazon kell keresnünk a enti T ( ) üggvény maimumát. Ehhez állítsuk elő a üggvény deriváltját. T( ) 0 Megoldjuk a T( ) 0 egyenletet A deriváltnak a zérushelye a 0,0 intervallumba esik, így szóba jöhet, mint lehetséges maimum hely. Annak eldöntésére, hogy az 5 helyen valóban maimuma van-e a területnek, célszerű elkészíteni a szokásos táblázatot. Az első sor kitöltésekor vegyük igyelembe a 0 0 eltételt. A derivált előjelének vizsgálatát immár nem részletezzük, mert nyilvánvaló, hogy melyik intervallumon pozitív ill. negatív a derivált. 0,5 5 5,0 T 0 T lok. ma. Az 5 helyen tehát lokális maimuma van a üggvénynek. Sőt ez a 0 0 eltétel mellett nem csak lokális maimum, hanem ezen a halmazon ez globális maimum is, hiszen 5 esetén végig nő a üggvény, 5 esetén pedig végig csökken. A terület tehát akkor lesz maimális, ha az egyik oldal 5 cm hosszúságú. Persze ekkor a másik oldal hossza is 5 cm, azaz a téglalap ekkor négyzet. A maimális területet kell még meghatároznunk. Helyettesítsük be a maimum helyét a üggvénybe. Tma T(5) 5(0 5) 5 A terület maimumának értéke tehát 5 cm. Megjegyzés: Az ilyen eladatokban nem egyértelmű, hogy mit lesz majd a legjobb üggetlen változónak tekinteni. Jelen eladatban elég egyértelmű volt, hogy a téglalap egyik oldalát célszerű választani, de eljárhattunk volna más módon is. Mivel a két oldal összege 0, így az egyik oldal ugyanannyival rövidebb 5 -nél, mint amennyivel a másik hosszabb 5 -nél. Választhattuk volna változónak ezt a mennyiséget is, amivel az oldalak az 5 -től eltérnek. Természetesen ekkor másik üggvény írja le területet, és más a szöveg szerinti értelmezési tartomány is. Ennek megmutatása végett megoldjuk most a eladatot másik módon is. Jelölje a téglalap két oldalát a és b. Tegyük el, hogy a a nem rövidebb oldal, b pedig a nem hosszabb oldal, azaz a b.

41 Jelölje az oldalak hosszának 5 -től való eltérését. Ekkor a5, b5. A téglalap terület: T ab, amibe behelyettesítve a entieket, egy üggvényt kapunk, aminek változója lesz. T Ne eledkezzünk el annak vizsgálatáról, hogy a szöveg milyen értékeket enged meg a változóra. Jelen esetben 0, hiszen egy eltérés nem lehet negatív, 5, mert a b oldalnak, azaz 5 -nek is pozitívnak kell lenni. Ez együttesen 0 5 0,5, vagy ormában írható. Amint látható, most olyan intervallumon keressük a maimumot, aminek egyik vége zárt, másik vége nyitott. Vegyük a területüggvény deriváltját. T Itt kell elhívnunk azonban a igyelmet arra, hogy a derivált csak a T üggvény értelmezési tartományának belső pontjaiban értelmezhető, így a derivált esetén már 0 5, azaz 0,5. Ha megoldjuk a T 0 egyenletet, ami 0, akkor abból 0 következik. Ez azonban nem eleme T értelmezési tartományának. Ennek ellenére olyan érzésünk támadhat, hogy ha van szélsőérték, akkor az most csak az 0 esetén lehet. Ennek igazolására készítsünk táblázatot. Az 0 értéket kezeljük külön, és itt a derivált sorában azt tüntetjük el, hogy az nem értelmezett. T 0 0,5 T nem értelmezett maimum neg. A táblázatból leolvasható, hogy a üggvény végig csökken, s ebből következően a maimumát az értelmezési tartomány alsó határán, azaz 0 esetén veszi el. Megkaptuk tehát most is, hogy akkor van szélsőérték, ha a téglalap négyzet. Megjegyezzük, hogy ha a második megoldásunk során nem éltünk volna az a b eltevéssel, akkor negatív értékeket is elvehetett volna. Ekkor egyrészt a 5 eltételnek kellett volna teljesülni amiatt, hogy az a oldalnak, azaz 5-nek pozitívnak kell lenni. Másrészt az 5 eltételnek kell ennállni, mert a b oldalnak, azaz 5 -nek pozitívnak kell lenni. A kettőből együttesen kapjuk, hogy 5 5 5,5. Ekkor ugyanúgy az értelmezési, azaz tartomány belső pontjában kapjuk a szélsőértéket, mint az első megoldásunkban. A entiekből jól látható, hogy a üggetlen változó megválasztása nagyban beolyásolja a eladat megoldásának további részét. Arra is elhívjuk a igyelmet, hogy a szélsőértéket nagyon sok esetben a derivált alkalmazása nélkül is meghatározhatjuk. Ha például a második megoldásunkban kapott területet leíró üggvényt T 5 vizsgáljuk, akkor egyértelműen 0 esetén van maimuma a üggvénynek. Ennek oka, hogy egy konstansból vonunk -et, aminek legkisebb értéke a 0, az 0 esetben. Így amikor a legkisebb, akkor lesz 5 a legnagyobb. Sok esetben viszont nem találunk ilyen elemi megoldást, s így ilyenkor nem tudjuk elkerülni a derivált alkalmazását.

42 t. eladat: Egy termék iránti keresletet a t egységár üggvényében K t üggvény t 4 írja le. Vizsgáljuk meg, hogy milyen t egységár mellett lesz a termék iránti kereslet a legnagyobb? Megoldás: A eladat szövegéből következik, hogy a termék utáni keresletet megadó üggvény értelmezési tartománya csak a pozitív valós számok halmaza lehet, tehát t 0. A kereslet ott lehet maimális, ahol a K üggvény deriváltja 0-val egyenlő (ahol a derivált eltűnik). Első lépésként tehát deriváljuk a K üggvényt. ( t 4) t t 4 t K t ( t 4) ( t 4) Oldjuk meg a Kt 0 egyenletet. Használjuk el, hogy egy tört csak akkor lehet 0, ha a számlálója 0. 4 t 0, ha 4 t 0 ( t 4) Egy másodokú egyenletet kaptunk t -re, amelynek gyökei az t. A két megoldás közül csak csak ezt kell igyelembe venni. Készítsük el a szokásos táblázatot. t esik a 0, intervallumba, így a táblázat elkészítésénél A t 0,, K t K t K t sorában az előjeleket például a következő módon kaphattuk meg. Választunk egy 0, intervallumból, mondjuk az -et, mert azzal könnyű lesz számolni. Ezt Kt -be. számot a behelyettesítjük K 0 5 Hasonlóan választunk egy számot a, intervallumból. Legyen ez mondjuk a 0, mert ezzel is könnyű lesz számolni K t 0,, K t 0 K t lok. ma.

43 Ezután már kijelenthetjük, hogy az K t üggvénynek. A 0, intervallumon ez nem csak lokális, hanem globális maimum is, hiszen t előtt végig nő a üggvény, t után pedig végig csökken. t helyen lokális maimuma van a. eladat: Két pozitív szám szorzata 00. Melyik ez a két szám, ha összegük minimális? Mekkora a minimális összeg? Megoldás: Legyen a két szám és y. Tudjuk, hogy y 00. Fejezzük ki ebből y -t. 00 y Írjuk a két szám összegét ezután üggvényeként. 00 Ennek a üggvénynek kell keresnünk a minimumát a 0, intervallumon. Deriváljuk a üggvényt Oldjuk meg az 0 egyenletet Minimum szempontjából nyilván csak az 0 esettel kell oglalkoznunk, hiszen most 0. Készítsük el a már jól ismert táblázatot. Az 0,0 0 0, 0 lok. min. sorában az előjeleket például és 00 deriváltba történő helyettesítésével kaphatjuk Amint látható, a üggvénynek az 0 helyen lokális minimuma van, ami pozitív -ekre egyben globális minimum is. Határozzuk meg ezután a másik számot, tehát y -t is y 0 0 Az összeg tehát akkor lesz minimális, ha mindkét szám 0. Ekkor az összegük 0, ez a minimális összeg.

44 4. eladat: Adott egy és 4 egység beogójú derékszögű háromszög. Tekintsük azokat a háromszögbe írható téglalapokat, amelyeknek egyik csúcsa a háromszög derékszöge, az ezzel szemközti csúcs pedig az átogóra esik. A legnagyobb területű ilyen téglalapnak mekkorák az oldalai? Megoldás: Készítsünk egy ábrát a háromszögről és a belé írt téglalapról. A téglalap -szel és y -nal jelölt oldala között most hasonlóság alapján lehet összeüggést találni. A PT B és CAB derékszögű háromszögek hasonlóak, ezért y 4 4 Rendezzük ezt y -ra. y Ezt elhasználva elírhatjuk a téglalap területét az üggvényében. T 4 4 Az változó most nyilván a 0,4 intervallumba esik, így ezen a halmazon keressük a üggvény maimumát. Deriváljuk a üggvényt. T Megoldjuk a T 0 egyenletet. 0 A szokásos táblázat segítségével megvizsgáljuk, hogy ezen a helyen valóban van-e maimuma a üggvénynek. 0,,4 T 0 T lok. ma. A második sorban T előjelét például és helyettesítésével vizsgálhattuk.

45 T 0 T 0 Amint látható, az helyen lokális maimuma van a üggvénynek, ami egyben globális maimum is. Már csak a téglalap másik oldalát kell kiszámolnunk. y 4 4 A maimális területű téglalap oldalai tehát és hosszúságúak. Ellenőrző kérdések:. kérdés: Egy tó egyenes partján szeretnénk elkeríteni egy téglalap alakú telket. Ehhez 00 m drótonat áll rendelkezésünkre. A legnagyobb területű téglalapot szeretnénk elkeríteni úgy, hogy a tó előli oldalon nem lesz kerítés. Ha a téglalap tópartra merőleges oldalát választjuk változónak, és -szel jelöljük, akkor az alábbi üggvénnyel írható le a terület: T 00 Válasz:. kérdés: Az előző kérdésben a maimális területű telek oldalai az alábbiak: Válasz: A partra merőleges oldal 50 m, a parttal párhuzamos oldal 00m. kérdés: Két pozitív szám összege. A szorzatuk maimumát keressük. Ekkor a következő üggvényt kell vizsgálnunk: Válasz: 4. kérdés: Az előző kérdésben a két szám szorzatának maimuma az alábbi: Válasz: 4 5. kérdés: A 0, intervallumot egy belső pontjával két részre bontjuk, és mindegyik rész ölé négyzetet emelünk. A négyzetek területösszegének minimumát szeretnénk meghatározni.

46 Melyik üggvényt kell vizsgálnunk, ha üggetlen változónak az egyik szakasz hosszát választjuk? Válasz: További kidolgozott eladatok:. eladat: Vizsgáljuk meg monotonitás és szélsőérték szempontjából az üggvényt! ( ) ( ) Megoldás: Amikor egy üggvényt valamilyen szempontból vizsgálunk, akkor elsőként mindig az értelmezési tartományt kell meghatároznunk. Jelen esetben ki kell kötnünk, hogy a nevező nem lehet 0, s ebből az következik, hogy. A üggvény értelmezési tartománya tehát: D \{ }. A monotonitás vizsgálata azt jelenti, hogy meghatározzuk, hol nő, hol csökken a üggvény. Ehhez elő kell állítanunk a üggvény deriváltját. Alkalmazzuk a törtekre vonatkozó deriválási szabályt. ( ) ( ) ( ) ( ) Ez ilyen ormában nagyon csúnyán néz ki, ezért próbáljunk alakítani rajta. Emeljünk ki a számlálóban, amit csak lehet, a nevezőt pedig írjuk egyetlen hatványként. ( )[( ) ] ( ) 4 ( ) Ezután egyszerűsítsünk, és a szögletes zárójelen belül vonjunk össze. ( ) ( ) A derivált minél egyszerűbb alakra hozása azért ontos, mert ezután meg kell oldanunk az ( ) 0 egyenletet, valamint vizsgálnunk kell majd a derivált előjelét. Ha a derivált bonyolult alakban van elírva, akkor mind az egyenlet megoldása, mind az előjel vizsgálata nehézségekbe ütközik. Általában elmondhatjuk, hogy ha lehetőség van kiemelésre, akkor ezzel a lehetőséggel élni kell, s törtek esetében egyszerűsítsünk, ha erre lehetőség van. Most oldjuk meg az ( ) 0 egyenletet, hogy megkapjuk, hol lehet szélsőértéke a üggvénynek. 0 ( ) Tört csak úgy lehet egyenlő 0 -val, ha számlálója 0, így egyszerűbb egyenletet kapunk. 0 0 Ezután a szokásos módon táblázatot készíthetünk. Elsőként csak az első sort töltsük ki, melyben eltüntetjük az értelmezési tartomány részeit, melyeken belül már nem változik a derivált előjele. Az értelmezési tartományt a derivált zérushelye és az értelmezési tartományban levő szakadás bontja részekre. A szakadási hely oszlopában X-ekkel jelölhetjük, hogy ott a üggvény nem értelmezett.,,0 0 0,

47 X X Most vizsgáljuk meg a derivált előjelét az egyes részeken. A derivált tört, így külön vizsgálhatjuk a számláló és a nevező előjelét, amiből következtethetünk a tört előjelére. Ha, akkor a számláló, azaz negatív, és a nevező, azaz ( ) is negatív, így a derivált ekkor pozitív. Ebben az esetben tehát nő a üggvény. Ha 0, akkor negatív, de ( ) pozitív, így negatív lesz a derivált. A üggvény tehát ekkor csökken. Ha 0, akkor is pozitív, és ( ) is pozitív, azaz pozitív lesz a derivált. Ebből következően itt nő a üggvény. Az 0 helyen a derivált előjele megváltozik, így itt szélsőértéke van a üggvénynek. Mivel a derivált negatívból pozitívba megy át ezen a helyen, így itt lokális minimuma van a üggvénynek. Készítsük el a teljes táblázatot.,,0 0 0, X 0 X lok. min. A táblázattal így megadtuk, hogy hol nő, és hol csökken a üggvény, valamint hol, milyen jellegű szélsőértéke van. Már csak egyetlen eladatunk van, megadni a szélsőérték nagyságát. Helyettesítsük be a üggvénybe azt a helyet, ahol szélsőértéke van. 0 (0) 0 (0 ) A lokális minimum értéke tehát 0. A üggvény graikonja az alábbi ábrán látható.. eladat: Vizsgáljuk meg monotonitás és szélsőérték szempontjából az üggvényt! ( ) e Megoldás: Határozzuk meg a legbővebb halmazt, amin értelmezhető a üggvény. Nem kell kikötést tennünk, így D.

48 Deriváljuk a üggvényt. Alkalmazzuk a szorzatra vonatkozó deriválási szabályt, és ne eledkezzünk el arról, hogy szorzat második tényezője összetett üggvény. ( ) e e Emeljük ki amit lehet. ( ) e Oldjuk meg az 0 e 0 egyenletet. Egy három tényezős szorzat egyenlő 0 -val, ami csak úgy lehetséges, ha valamelyik tényező 0. Így három egyszerűbb egyenletet kapunk. 0, vagy 0 0. e, vagy Az első egyenlettel semmit sem kell tenni, a harmadiknak pedig megoldása. A második egyenletnek nincs megoldása, mert eponenciális üggvény csak pozitív értékeket vesz el, azaz e 0 minden esetén, így e 0. A derivált zérushelyeinek ismertében készítsük el a táblázatot, egyelőre csak az első sort kitöltve.,0 0 0,, Vizsgáljuk meg a derivált előjelét az egyes intervallumokon.,0 ( ) e 4e 0 : 0, :, : e e 0.5 (0.5) e e () Megjegyezzük, hogy a derivált előjelét a szorzat egyes tényezőinek előjeléből is könnyen vizsgálhatjuk. Például a,0 intervallumon nyilván negatív, az e mindig pozitív, az szintén pozitív. Mivel a három tényezőből csak egy negatív, így negatív lesz a szorzat is. Hasonlóan járhatunk el a másik két intervallumon is. Most töltsük az egész táblázatot.,0 0 0,, 0 0 lok. min. lok. ma. A táblázatból látható, hogy a üggvény a,0 0, intervallumon pedig nő. Az 0 helyen lokális minimuma, az helyen pedig lokális maimuma van. Határozzuk meg a minimum és maimum értékét is. 0 A lokális minimum értéke: (0) 0 e 0. A lokális maimum értéke: () e e 0.5. Az alábbi ábrán a üggvény graikonja látható. és, intervallumokon csökken, a

49 . eladat: Vizsgáljuk meg monotonitás és szélsőérték szempontjából az ( ) ln üggvényt! Megoldás: Határozzuk meg a legbővebb halmazt, amin értelmezhető a üggvény. A logaritmus miatt kell kikötést tennünk. Mivel csak pozitív számoknak létezik logaritmusa, így kikötjük, hogy 0 D \ 0.. Ez minden 0 -tól különböző szám esetén teljesül, így Előállítjuk a üggvény deriváltját. Szorzatot deriválunk, melynek második tényezője összetett üggvény. ( ) ln ln Emeljük ki amit lehet. ( ) ln Oldjuk meg az ( ) 0 egyenletet. ln 0 Vizsgáljuk külön a szorzat tényezőit, hogy mikor egyenlők 0 -val. Első tényező: 0. Ez nem eleme a üggvény értelmezési tartományának. ln 0 ln lesz. Második tényező:. Ez átrendezve A -et írjuk el ln e ormában, így az ln ln e egyenletet kapjuk. A logaritmus üggvény szigorú monotonitása miatt elhagyhatjuk az egyenlet két oldaláról a logaritmust. Így kapjuk e. e Ennek megoldásai:. e Most készítsük el a szokásos táblázatunkat. Ez most egy kicsit hosszabb lesz mint az eddigiek, hiszen a deriváltnak két zérushelye is van, és a üggvény értelmezési tartományában is van szakadás. Egyelőre csak az első sort töltsük ki, és a szakadást jelöljük., e,0 e e 0 X 0, e e, e

Bodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika 1. közgazdászoknak

Bodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika 1. közgazdászoknak ábra: Ábra Bodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika. közgazdászoknak VI. modul: Dierenciálszámítás. lecke: Dierenciálszámítás bevezetése Tanulási cél: A dierencia és dierenciálhányados ogalmának megismerése.

Részletesebben

Konvexitás, elaszticitás

Konvexitás, elaszticitás DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI Konveitás, elaszticitás Tanulási cél A másodrendű deriváltat vizsgálva milyen következtetéseket vonhatunk le a üggvény konveitására vonatkozóan. Elaszticitás ogalmának

Részletesebben

Teljes függvényvizsgálat

Teljes függvényvizsgálat Teljes üggvényvizsgálat Tanulási cél A üggvényvizsgálat lépéseinek megismerése és begyakorlása. Motivációs példa Jelölje egy adott termék árát P, a termék keresleti üggvényét pedig 1000 10 P D P. A P teljes

Részletesebben

Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mit értünk eponenciális üggvényen? Adjon példát alulról korlátos szigorúan monoton csökkenő eponenciális üggvényre.

Részletesebben

Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika 2. közgazdászoknak

Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika 2. közgazdászoknak ábra: Ábra Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika. közgazdászoknak I. modul: Dierenciálszámítás alkalmazásai lecke: Konveitás, elaszticitás Tanulási cél: A másodrendű deriváltat vizsgálva milyen következtetéseket

Részletesebben

= x + 1. (x 3)(x + 3) D f = R, lim. x 2. = lim. x 4

= x + 1. (x 3)(x + 3) D f = R, lim. x 2. = lim. x 4 Bodó Beáta Differenciálszámítás. B Írja fel az f() = függvény az a = és az helyekhez tartozó különbségi hányadosát. f() f(a) a = = (+)( ) = +. B Számolja ki az f() = függvény a = 3 helyhez tartozó differenciálhányadosát!

Részletesebben

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok 2015. március 29. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Hol növekv az f() függvény, ha deriváltja f () = ( + 2)( 5) 2? Megoldás: Egy függvény növekedését,

Részletesebben

10. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása

10. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása . tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A dierenciálszámítás alkalmazása FÜGGVÉNY De: A üggvény egyértelmű hozzárendelés két halmaz elemei között. A halmaz minden eleméhez B halmaz legeljebb

Részletesebben

1.1 A függvény fogalma

1.1 A függvény fogalma 1.1 A üggvény ogalma Deiníció: Adott két (nem üres) halmaz H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez valamilyen módon hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést üggvénynek nevezzük.

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása. 5), akkor

Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása. 5), akkor Integrálszámítás Integrálási szabályok Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása Motivációs feladat Valószínűség-számításnál találkozhatunk

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait! Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.

Részletesebben

Bodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika 1. közgazdászoknak

Bodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika 1. közgazdászoknak ábra: Ábra Bodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika. közgazdászoknak III. modul: Egyváltozós valós üggvények 3. lecke: Függvénytani alapogalmak Tanulási célok: a üggvény ogalmához kapcsolódó kiejezések

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Függvény differenciálás összefoglalás

Függvény differenciálás összefoglalás Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a

Részletesebben

Függvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.

Függvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim. Függvények 05. december 6. Határozza meg a következő határértékeket!. Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0 ). Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0) 3. Feladat: ( + 0 7 5 ) 4. Feladat: ( + 0 7 5 ) ( + 7 0 5

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

Elemi függvények, függvénytranszformációk

Elemi függvények, függvénytranszformációk Elemi üggvények, üggvénytranszormációk Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2013. 09. 06. 1 Függvénytani alapogalmak Függvény: két halmaz elemei közötti egyértelmű hozzárendelés. Jel.: :

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim. Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

Injektív függvények ( inverz függvény ).

Injektív függvények ( inverz függvény ). 04 október 6 3 Függvényábrázolások, Függvények kompozíciója ( összetett üggvény ), Bev Mat BME Injektív üggvények ( inverz üggvény ) 0 0 0 0 ( ) ( ) 5 5 5 5 Ábrázolás Függvénytranszormációval : 3 y y 5

Részletesebben

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága

Függvények határértéke, folytonossága Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása

Részletesebben

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük.

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. Hozzárendelések A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. A B Egyértelmű a hozzárendelés, ha az A halmaz mindegyik

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Kétváltozós függvények differenciálszámítása

Kétváltozós függvények differenciálszámítása Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Nagy Krisztián Analízis 2

Nagy Krisztián Analízis 2 Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x

Részletesebben

Tartalomjegyzék Feltétel nélküli szélsőérték számítás

Tartalomjegyzék Feltétel nélküli szélsőérték számítás Dr. Vincze Szilvia Példa Egy adott talajtípuson az átlagosnak megelelő időjárási viszonyok között a búza hozamát hektáronként a elhasznált nitrogén és oszor hatóanyag erősen beolyásolja. A hektáronként

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

A derivált alkalmazásai

A derivált alkalmazásai A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

A dierenciálszámítás alapjai és az érint

A dierenciálszámítás alapjai és az érint A dierenciálszámítás alapjai és az érint 205. november 7.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az fx) x 2 3 x függvény deriváltját! Megoldás: Deriválás el tt célszer átalakítani a függvényt. A gyök

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika 2. közgazdászoknak

Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika 2. közgazdászoknak ábra: Ábra Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika. közgazdászoknak III. modul: Többváltozós üggvének 5. lecke: Többváltozós üggvének, parciális deriválás Tanulási cél: Megismerkedni a többváltozós üggvének

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás: Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja)

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja) Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz függvények deriváltja Feladat Deriváljuk az f = 2 3 + 3 2 Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

A gyakorlatok anyaga

A gyakorlatok anyaga A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így

Részletesebben

f x 1 1, x 2 1. Mivel > 0 lehetséges minimum. > 0, így f-nek az x 2 helyen minimuma van.

f x 1 1, x 2 1. Mivel > 0 lehetséges minimum. > 0, így f-nek az x 2 helyen minimuma van. 159 5. SZÉLSŐÉRTÉKSZÁMÍTÁS = + 1, R + 1 f = 1 R +,, f = R +, 1 Az 1 = 0 egyenlet gyökei : 1 1, 1. Mivel ezért az 1 helyen van az f-nek minimuma. 5.1. f f 1 0, 5.. Legyen az egyik szám, a másik pedig A.

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (L Hospital szabály, Taylor-polinom,

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (L Hospital szabály, Taylor-polinom, Valós függvények (L Hospital szabály, Taylor-polinom, függvények közelítése) . Tegyük fel, hogy f és g differenciálható az (a, p) (p, b) halmazon, ahol a < b, g-nek és g -nek nincs gyöke ebben a halmazban.

Részletesebben

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy: Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

Komplex számok trigonometrikus alakja

Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek . Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.

Részletesebben

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6

Részletesebben

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: Z) a) (x 1) (x + 1) 7x + 1 = x (4 + x) + 2 b) 1 2 [5 (x 1) (1 + 2x) 2 4x] = (7 x) x c) 2 (x + 5) (x 2) 2 + (x + 1) 2 = 6 (2x + 1) d) 6 (x 8)

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

10. Differenciálszámítás

10. Differenciálszámítás 0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold!

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold! Megoldások 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold! A: Minden emberhez hozzárendeljük a munkahelyének nevét. B: Minden valós számhoz hozzárendeljük az ellentettjét. C: Minden

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

1.) = grafikont kell ábrázolnunk. Megj.: 5 1+ A = 1 ill. B = 10 -szeresei. Ábrázolás Függvénytranszformációval :

1.) = grafikont kell ábrázolnunk. Megj.: 5 1+ A = 1 ill. B = 10 -szeresei. Ábrázolás Függvénytranszformációval : 0 október Függvényábrázolások, Összetett üggvény, Inverz üggvény Bev Mat BME ( Válogatás a eladatgyüjteményből ) ) 0 0 0 0 ( ) ( ) 5 5 5 5 Ábrázolás Függvénytranszormációval : y y 5 ( tengely mentén eltolás

Részletesebben

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.

Részletesebben

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és 205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete) Megoldások 1. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f (x) = sin (x π ) + 1 b) f (x) = 3 cos (x) c) f (x) = ctg ( 1 x) 1 a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x)

Részletesebben

Maple: Deriváltak és a függvény nevezetes pontjai

Maple: Deriváltak és a függvény nevezetes pontjai Maple: Deriváltak és a függvény nevezetes pontjai Bevezető Tudjuk, hogy a Maple könnyűszerrel képes végrehajtani a szimbólikus matematikai számításokat, ezért a Maple egy ideális program differenciál-

Részletesebben

A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA

A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA TERMÉSZETES SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 1-5. OSZTÁLY Számok értelmezése 0-tól 10-ig: Véges halmazok számosságaként Mérőszámként Sorszámként Jelzőszámként A számok fogalmának kiterjesztése

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben