Maple: Deriváltak és a függvény nevezetes pontjai

Átírás

1 Maple: Deriváltak és a függvény nevezetes pontjai Bevezető Tudjuk, hogy a Maple könnyűszerrel képes végrehajtani a szimbólikus matematikai számításokat, ezért a Maple egy ideális program differenciál- és integrálszámításhoz is. Ebben a fejezetben megmutatjuk hogyan használhatjuk a Maple programot egy függvény deriváltjának kiszámítására, nevezetes pontjainak meghatározására, ha azok léteznek, és segítünk egy függvény nevezetes pontjainak az osztályozásában is. Egy függvény deriváltjának a kiszámítása Definiáljuk az f függvényt a következőképpen Egy függvény deriváltja a diff paranccsal számítható ki. Ha még többet akarunk tudni a diff parancs helyes használatáról keressünk rá a Maple program HELP fájljában. Ha keresni akarunk a parancshoz rendelt Help fájlban akkor írjuk be a parancs nevét és tegyünk közvetlenül a parancs elé (szünet nélkül) egy kérdőjelet és nyomjuk meg az Enter gombot. Például: >?diff A help fájl egy külön ablakban jelenik meg, melyben fel van tüntetve a parancs helyes alakja és példák a parancs használatára. Ha a diff paranccsal akarjuk kiszámítani egy függvény első deriváltját, akkor nagyon fontos hogy megadjuk melyik függvényt akarjuk differenciálni és melyik változó szerint. Ha a fentebb definiált f függvényt akarjuk deriválni x szerint, akkor a helyes parancs amit be kell gépelnünk: > diff(f,x); Az f függvény második deriváltjának kiszámítására két módszer áll rendelkezésünkre. Az első mód, hogy elnevezzük az első deriváltat, például g-nek és ezután alkalmazzuk a diff(g,x) parancsot, mint az lejjebb látható:

2 A másik mód sokkal direktebb, ebben az esetben egyszerűen utasítjuk a Maplet, hogy differenciálja az f függvényt kétszer és így kapjuk meg a második deriváltat. A diff paranccsal egy függvény n-edrendű deriváltját is kiszámíthatjuk. Például a negyedik derivált kiszámítására a parancs: > diff(f,x$4); 120 x Ha összehasonlítjuk a fenti parancs eredményét a diff(f,x,x,x,x); parancs eredményével, meggyőződhetünk arról, hogy az eredmények megegyeznek. Az x$4 jelölést optimálisabbnak nevezhetjük, hisz kevesebbet kell begépelni és szintaktikailag is helyesebbnek mondható ha magasabbrendű deriváltakat akarunk kiszámolni, mintha ismételten kiírnánk a változót ami szerint deriválunk. A Maple többváltozós függvények deriválására is könnyen használható. A legfontosabb teendő többváltozós függvények deriválására az, hogy megadjuk a változót ami szerint deriválunk. Legyen h egy kétváltozós függvény és deriváljuk h-t x majd y szerint:

3 A nevezetes pontok meghatározása A nevezetes pont az értelmezési tartomány egy olyan pontja, amelyben a függvény deriváltjai zérók. Mielőtt megpróbáljuk egy függvény nevezetes (kritikus) pontjait kiszámolni sokat segítene ha először megrajzolnánk a függvény képét, és így megbecsülhetnénk megkőzzelítőleg a kritikus ponto(k) értékét (értékeit). Használjuk továbbra is az előző fejezetben definiált f függvényt A függvények ábrázolásához a Mapleben a plot parancsot használjuk. A plot parancsnak két változója van: az első a függvény amelyet ábrázolni akarunk, a második pedig az intervallum amin ábrázoljuk a függvényt. Lássuk hogy ábrázolhatjuk az f függvényt a [-1;+1] intervallumon: > plot(f,x=-1..1);

4 Az ábra vizsgálata azt sugallja, hogy három olyan pontunk van amelyben érintőt húzva az párhuzamos lesz a Ox tengellyel: 1. Az egyik pont a (-1; 0) intervallumban van, x=-0.75 környezetében. 2. A második pont x=0 környezetében. 3. A harmadik pont pedig a (0; 1) intervallumban, x=0.75 környezetében. A kritikus pontok kiszámításához differenciáljuk a függvényt, majd egyenlővé tesszük 0-val és megoldjuk az így kapott egyenletet. Jelöljük df-el az f függvény deriváltját. Ha megoldjuk a df egyenlő zero egyenletet a solve parancsot használva megkapjuk a kritikus pontokat. A Maple a kritikus pontokat tizedes tört alakban adja meg. Ha az eredményt lebegőpontos alakban szeretnénk megkapni, az evalf parancsot használhatjuk, mint az alábbi példában is látható: A Maple szerint négy kritikus pontunk van, de mint az az ábránkon is látható az origóban két pont egybeesik. Kiszámíthatjuk a kritikus pontokhoz tartozó értékeket is, ha behelyettesítjük őket az f függvény eredeti alakjába. Ne felejtsük el, hogy cp mind a négy kritikus pontot jelöli, ha csak az első kritikus pontot akarjuk használni akkor a cp[1] jelölést kell használjuk. Nézzük meg mennyi lesz a behelyettesítési értéke: > evalf( subs(x=cp[1], f) ); -0 Tehát az első kritikus pont koordinátái (0,0). Ugyanezt az értéket kapjuk ha a második kritikus pontot cp[2]-t helyettesítjük be. Nézzük meg a harmadik és negyedik kritikus pont behelyettesítési értékeit is, ehhez használjuk a cp[3] és cp[4] értékeket: > evalf( subs(x=cp[3],f) ); > evalf( subs(x=cp[4],f) ); Tehát a másik két kritikus pont koordinátái:

5 ( ; ) és ( ; ) Ahhoz, hogy megvizsgáljuk, hogy a kritikus pontok lokális maximumok, minimumok vagy inflexiós pontok-e meg kell vizsgálnunk a második deriváltat. A következő lehetőségeink vannak: Ha az f függvény kétszeresen differenciálható az x pont környezetében és f ( x) = 0 akkor ha f (x ) <0 akkor f-nek lokális maximuma van x-ben; ha f (x ) >0 akkor f-nek lokális minimuma van x-ben; ha f (x ) =0 akkor a második derivált nem ad egyértelmű választ az x-pont természetéről- lehet, hogy inflexiós pont de nem minden esetben. Ha f (x ) =0 akkor legegyszerűbben úgy győződhetünk meg arról, hogy a kritikus inflexiós pont-e, hogy veszünk egy-egy pontot a pont bal- illetve jobboldali környezetéből és vizsgáljuk, hogy f (x ) előjelet vált-e. Ha előjelet vált akkor inflexiós pontról beszélünk. Tehát ki kell számítani az f függvény második deriváltját és tanulmányozni minden kritikus pontnak a második deriváltba való behelyettesítési értéket: Tanulmányozzuk a második deriváltat az első kritikus pontban cp[1]-ben, vagyis x = 0-ban A tesztünk nem volt sikeres ezért tanulmányoznunk kell f értékét az x=0 környezetében. Legyen a két pont amelyben tanulmányozni fogjuk az előjelet x = és x =

6 Mivel a kapott értékek különböző előjelűek, vagyis f előjelet vált, ezért x = 0 egy inflexiós pont. Vizsgáljuk a második deriváltat a harmadik kritikus pontban cp[3]-ben, azaz x = esetén: A második derivált értéke ebben a pontban pozitív, vagyis x = lokális minimum. Végül tanulmányozzuk f előjelét a negyedik kritikus pontban cp[4]-ben, azaz x = ben: A második derivált értéke ebben a pontban negatív, vagyis x = lokális maximum. Ezzel sikerült kiszámítsuk a függvényünk nevezetes pontjait és osztályoztuk is azokat.