Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált

Átírás

1 Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) (30) takach@inf.nyme.hu takach 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke Parciális deriválás Szélsőértékszámítás Regressziószámítás Szélsőérték korlátos zárt halmazon Parciális függvény, parciális derivált A kétváltozós függvények minden számpárhoz egy számot rendelnek. Pl.: z = g(x, y) = 2x 2 y 3 + 3xy + 2x 5y + 1 vagy f(x, y) = 2x + y. Definíció. Az f(x, y) kétváltozós függvény y = b-hez tartozó parciális függvénye az f x = f x (x) = f(x, b) egyváltozós függvény, az x = a-hoz tartozó parciális függvénye az f y = f y (y) = f(a, y) egyváltozós függvény. Tehát az egyik változót lerögzítjük. Kétváltozós függvények grafikonja egy felület: az értelmezési tartomány a sík, ill. a sík egy részhalmaza, és minden x, y ponthoz a felület (x, y, z) pontja tartozik, ahol z = f(x, y). A parciális függvény grafikonja a felületből az y = b illetve x = a (függőleges) síkok által kimetszett síkgörbe. függvénygrafikon domborzat, parciális függvény út (Észak-Déli, illetve Kelet-Nyugati)

2 2 Definíció. Egy kétváltozós függvény parciális deriváltjain a parciális függvények deriváltjait értjük. Jelölés: f x ill. f y. Mivel a parciális derivált függ attól is, hogy hogyan rögzítettük le a másik változót, szokás kétváltozós függvénynek is tekinteni. Pl. f x(1, 3) azt jelenti, hogy az f(x, 3) = f x függvényt deriváljuk, majd x = 1-et behelyettesítünk. A gyakorlatban azonban általánosan van szükségünk f x(x, y)-ra; ezt úgy kapjuk meg, ha y-t számnak képzeljük, és úgy deriválunk, mintha egyváltozós függvényről lenne szó, amely csak x-től függ. A fenti g(x, y) = 2x 2 y 3 + 3xy + 2x 5y + 1-re g x(x, y) = 4xy 3 + 3y + 2. Hasonlóan g y(x, y) = 6x 2 y 2 + 3x 5. Az egyváltozós esethez hasonlóan beszélhetünk magasabbrendű parciális deriváltakról. Itt azonban nem egy, hanem négy másodrendű parciális derivált van. Ha f(x, y)-t először x szerint deriváljuk, majd y szerint, akkor kapjuk f xy(x, y)-t, ha mindkétszer y szerint, akkor f yy(x, y)-t, stb. Ellenőrzési pont, hogy általában. Szélsőértékszámítás f xy(x, y) = f yx(x, y) Definíció. Az f függvénynek lokális minimuma van az m M helyen, ha létezik m-nek olyan K környezete, hogy tetszőleges x M K esetén f(x) > f(m). f-nek globális minimuma van az m M helyen, ha tetszőleges x M esetén f(x) > f(m). A lokális és globális maximum fogalmát hasonlóképpen értelmezhetjük. Tétel. Legyen az (a, b) pont az f(x, y) függvény értelmezési tartományának egy belső pontja. Ha f(x, y)-nak szélsőértéke van az (a, b) helyen, akkor elsőrendű parciális deriváltjai az (a, b) helyen nullák, azaz f x(a, b) = f y(a, b) = 0. Ha az f(x, y) függvény elsőrendű parciális deriváltjai az (a, b) helyen nullák, továbbá a másodrendű parciális deriváltakra D(a, b) = f xx(a, b)f yy(a, b) f xy(a, b)f yx(a, b) > 0, akkor f-nek szélsőértéke van az (a, b) helyen. Méghozzá minimuma, ha f xx(a, b) > 0, és maximuma, ha f xx(a, b) < 0.

3 3 Bizonyítás. Csak a szükségességet látjuk be: ha f(x, y)-nak szélsőértéke van az (a, b) helyen, akkor az f(a, y) és az f(x, b) parciális függvényeknek is szélsőértéke van az x = a illetve az y = b helyen. Tehát a parciális deriváltak az (a, b) helyen nullák. A D(a, b) = f xx(a, b)f yy(a, b) f xy(a, b)f yx(a, b) > 0 feltétel azt fejezi ki, hogy a két parciális függvénynek ugyanolyan típusú szélsőértéke legyen. Az olyan tulajdonságú pontot, ahol az egyik parciális függvénynek minimuma, a másiknak pedig maximuma van, nyeregpontnak nevezzük. Ha az elsőrendű parciális deriváltak nullák, de D(a, b) < 0, akkor biztosan nincs szélsőérték, ha pedig D(a, b) = 0, akkor további vizsgálat szükséges. Regressziószámítás FELADAT: Adott néhány pont a síkban. Keresünk egy adott típusú függvényt, amelynek grafikonja "elég közel" halad az adott pontokhoz. Általában a legkisebb négyzetek elvét alkalmazzuk, és azt követeljük meg, hogy az adott pontok és a függvénygrafikon függőleges irányban mért "távolságainak" négyzetösszege minimális legyen.

4 4 Lineáris regresszió: Itt a kérdéses függvény y = ax + b, azaz a grafikon egyenes. Módszer: Jelölje az adott pontokat P i (x i, y i ). A függőleges irányban mért "távolságok": e i = ax i + b y i. e 2 i min Mivel az (x i, y i ) pontok koordinátái adottak, e 2 i csak a-tól és b-től függ, vagyis e 2 i = f(a, b) kétváltozós függvény. A minimum létezésének szükséges feltétele, hogy f a = 0 és f b = 0 teljesüljön. Ezzel egy kétismeretlenes egyenletrendszerhez jutunk a és b ismeretlenekkel. Belátható, hogy ezen egyenletrendszernek egyetlen megoldása létezik, és az tényleg minimumot szolgáltat. A fentiekben leírt módszer könnyen átvihető más függvénytípusokra, pl. y = ax 2 + bx + c egyenletű parabola, y = ab x, y = ax c b x vagy y = a(1 e bx ) egyenletű exponenciális függvény hasonlóan illeszthető az adott pontokhoz. (Ez utóbbi exponenciális függvényt szokás telítődési függvénynek nevezni). Természetesen több ismeretlen paraméter (pl. a, b, c) esetén kettőnél több változós szélsőértékfeladatot kellene megoldani. A regressziószámítás célja, hogy felfedje két mennyiség (pl. egy üzem dolgozóinak száma és az üzem éves bevétele) között fenálló esetleges függvénykapcsolatot, természetesen néhány "mérés" (adat) alapján. Ezen függvénykapcsolat alapján aztán előrejelzéseket lehet adni további x értékekhez tartozó y-okra. A gyakorlatban igazi függvénykapcsolatra nem számíthatunk, egyes x értékekhez több y érték is tartozhat (még akkor is, ha minden egyes x-hez csak egy y van az adatok között). A regressziós függvény ennek ellenére felírható, és a statisztika eszközeivel vizsgálható, hogy az adatok között fenálló, a regressziós függvény által leírt kapcsolat milyen szoros, és hogy milyen biztonsággal lehet előrejelzésre használni. Szélsőérték korlátos zárt halmazon Rögzítsünk egy M R n halmazt, továbbá egy olyan n-változós f függvényt, amely M minden pontjában értelmezve van és differenciálható. (Nálunk n = 1 vagy n = 2 lesz.) Tétel. (Weierstrass) Ha M korlátos és zárt, akkor f-nek van globális minimuma és maximuma M-en. Tudjuk, hogy ha m a M értelmezési tartomány belső pontja és f-nek lokális szélsőértéke van m-ben, akkor f elsőrendű parciális deriváltjai m-ben nullák (illetve f (m) = 0 az egyváltozós esetben). Ez módot ad M azon belső pontjainak meghatározására, ahol lokális szélsőértékek lehetnek. A másodrendű deriváltak segítségével azt is megállapíthatjuk, hogy melyik helyen van minimum, maximum, ill. nincs szélsőérték. Ha csak véges sok lokális szélsőérték van, akkor a globális szélsőérték nem más, mint a legnagyobb lokális szélsőérték, tehát behelyettesítéssel eldönthetjük, hogy hol van globális szélsőérték. Az értelmezési tartomány határán azonban szélsőérték lehet akkor is, ha a derivált(ak) nem nulla. Például a [0, 1] zárt intervallumon értelmezett g(x) = 2x + 3 függvénynek lokális minimuma van a 0-ban, lokális maximuma az 1-ben. Lemma. Az [a, b] zárt intervallumon értelmezett g(x) egyváltozós függvénynek pontosan akkor van lokális minimuma a-ban, ha g (a) > 0, b-ben pedig pontosan akkor, ha g (b) < 0.

5 5 Feladat. Határozzuk meg az f(x) = x 3 6x 2 15x + 3 függvény lokális és globális szélsőértékeit a [-10, 6] intervallumon! Megoldás. f (x) = 3x 2 12x 15 = 0 x = 1 vagy x = 5 f (x) = 6x 12 x = 1 helyen maximum, az x = 5 helyen minimum van. Határon: Mivel f ( 10) > 0 és f (6) > 0, ezért az x = 10 helyen minimum, az x = 6 helyen maximum van. Behelyettesítés: f( 10) = 1447, f( 1) = 11, f(5) = 97, f(6) = 87 x = 10-ben minimum és az x = 1 helyen maximum. Kétváltozós függvények esetén szorítsuk meg az f függvényt M határára, és állapítsuk meg az ottani lehetséges (globĺis) szélsőérték-helyeket. Ez általában már csak egyváltozós szélsőérték-számítás, de továbbra is egy korlátos zárt halmazon. A globális szélsőértékek megállapításához a belső és határpontokban lévő lehetséges lokális szélsőérték-helyek mindegyikén számuljuk ki a függvény helyettesítési értékét. Feladat. Határozzuk meg az f(x, y) = x 2 + 2xy + 8y 4x függvény globális szélsőértékeit az M = {(x, y) 0 x 3, 0 y 1} halmazon! Megoldás. Az egyenletrendszer megoldása a ( 4, 6) pont, f x = 2x + 2y 4 = 0 f y = 2x + 8 = 0 azonban ez nincs M-ben. Tehát M belső pontjaiban nincs lokális szélsőérték sem. Az M tartomány egy téglalap, határát négy szakasz alkotja: Ha x = 0, akkor az f(y) = 8y, (0 y 1) egyváltozós függvény szélsőértékeit keressük. Mivel f(y) monoton nő, y = 0-ban minimuma, y = 1-ben maximuma van. Tehát az f(x, y)-nak a (0, 0) pont lehetséges minimumhelye, a (0, 1) pont lehetséges maximumhelye. Ha x = 3, akkor f(y) = 14y 3, (0 y 1) szintén monoton nő, így f(x, y)-nak az (1, 0) pont lehetséges minimumhelye, az (1, 1) pont lehetséges maximumhelye. Ha y = 0, akkor az f(x) = x 2 4x, (0 x 3) egyváltozós függvényt vizsgáljuk. f (x) = 2x 4 pozitív a (2, 3] intervallumon, negatív a [0, 2) intervallumon, így f(x)-nek lokális minimuma van x = 2-ben, lokális maximuma van x = 0-ban és x = 3-ban. Tehát az f(x, y)-nak a (2, 0) pont lehetséges minimumhelye, a (0, 0) és a (3, 0) pontok lehetséges maximumhelyei. Ha y = 1, akkor hasonlóan kapjuk, hogy f(x, y)-nak az (1, 1) pont lehetséges minimumhelye, a (0, 1) és a (3, 1) pontok lehetséges maximumhelyei. Ezek után behelyettesítünk a lehetséges szélsőértékhelyeken: f(0, 0) = 0 f(0, 1) = 8 f(1, 1) = 7 f(2, 0) = 6 f(3, 0) = 3 f(3, 1) = 11 Ennek alapján a (2, 0) globális minimumhely, a (3, 1) globális maximumhely.

6 Feladat. Határozzuk meg az előző feladatbeli függvény lokális szélsőértékeit! 6 Megoldás. Vizsgáljuk meg a fenti hat lehetséges szélsőértékhelyet: A (0, 0) és a (3, 0) pontok biztosan nem lokális szélsőértékhelyek, mert az egyik parciális függvénynek minimuma, a másiknak maximuma van, ahogyan azt az előző feladatban is kiszámoltuk (nyeregpontok). A (0, 1) pontban mindkét parciális függvénynek maximuma van, ami lokális maximumhelyre utal. Valóban, f x < 0 és f y > 0 nemcsak a (0, 1) pontban, hanem egy környezetében is fennáll. Tehát ha az M-beli (a, b) pont elég közel van a (0, 1) ponthoz, akkor f(0, 1) > f(0, b) > f(a, b). Hasonlóan indokolható, hogy a (3, 1)-ben is maximum van. Az (1, 1) ill. a (2, 0) pontban az f y = 2x + 8 képletbe helyettesítve kapjuk, hogy az f(y) parciális függvénynek maximuma ill. minimuma van. Ez előzőekhez hasonlóan kapjuk, hogy az (1, 1) nyeregpont, a (2, 0) pedig minimumhely. Feladat. Határozzuk meg az f(x, y) = x 2 + 2y függvény globális szélsőértékeit az M = {(x, y) x 2 + y 2 1} halmazon! Megoldás. Az f x = 2x = 0 f y = 4y = 0 egyenletrendszer megoldása a (0, 0) pont, lehetséges szélsőértékhely. Az M tartomány egy körlap, határát az x 2 + y 2 = 1 egyenletű kör alkotja. A függvényt úgy szorítjuk meg a körvonalra, hogy a körvonal egyenletének segítségével kiküszöböljük ez egyik változót f(x, y)-ból: f(y) = y 2 + 4, ( 1 y 1). f (y) = 2y-ból f(y)-nak y = 0 minimumhelye, y = 1 és y = 1 maximumhelyei. Az ezen y értékeknek megfelelő pontok, azaz (1, 0), ( 1, 0), (0, 1), (0, 1) az f(x, y) lehetséges szélsőértékhelyei. Behelyettesítéssel kapjuk, hogy a (0, 1), (0, 1) (nem szigorú) globális maximumhelyek, a (0, 0) pedig globális minimumhely.