Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Átírás

1 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép Tel: Fa:

2 Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andre Markov ( ) a legtöbb programcsomag beépített elárásként tartalmazza

3 Az alapötlet A változók közötti kapcsolat (legegyszerűbb esetben) lineáris: y a o + a Cél: a mérési sorozat alapán meghatározni az a o és a paraméterek becslését. a és a 0 o Pontos érték becslés Pontos érték becslés

4 Az alapötlet y ξ Mérési pontok: { }, ξ

5 Az alapötlet y y ξ Egyenes: y o +

6 Az alapötlet y δ y ξ Számoluk ki a mérési pont és az egyenes függőleges eltérését: ( ) δ ξ y ξ + J o

7 Az alapötlet Az eltérések négyzetösszege: ( ) ( ) 2, o o D ξ Keressük a négyzet-összeg minimumát: ( ) ( ) 0, 0, o o o D és D ( ) 0 2 o ξ Az szerinti derivált: 0

8 Az alapötlet ( ) 0 2 o ξ Az szerinti derivált: Egyszerűsítések és rendezés után kétismeretlenes lineáris egyenletrendszert kapunk: + o ξ + o 2 ξ

9 Az alapötlet és ξ ξ Jelölük: Az egyenletrendszer megoldása: ( ) ( ) 2 ξ 0 ξ

10 Az alapötlet Az első egyenletből: + ξ o + o $ ξ$ Az egyenes átmegy a ponthalmaz súlypontán

11 Gauss-Markov tétel. Az és y változók között polinomiális függvénykapcsolat van: y a0 + a a n n n 2. Az értékek pontosak, az y mérési eredménye ξ; normális eloszlású, nulla várható értékű véletlen hiba terheli. (,2 ) ξ... ξ i 0 a i i ( σ ) y + ε ε 0, y,2,, 3. mérési eredmények független valószínűségi változók (,2 ) ξ...

12 Gauss-Markov tétel Állítás: a legkisebb négyzetek módszerével becsülük az ismeretlen paramétereket (az o,, n értékek becslés a 0,,, n ), akkor M( 0 ) a o, M( ) a, M( n ) a n Az állítás további része: s y s 2 y ( n + ) a σ y torzítatlan becslése ξ n i 0 i i 2

13 Gauss-Markov tétel Bizonyítás (u. úgy mint az egyszerű esetben): Ez a megfigyelés Minimalizáluk a négyzet-összeget: D,,..., n n ξ i i 0 ( ) o i 2 Ez a polinom A minimum lokális, helyét a parciális deriváltak nulla helye ada. Deriválunk k szerint (k0,, n): D n i k i k i 0 2 ξ 0

14 Gauss-Markov tétel n+ egyenlet, n+ ismeretlenes lineáris egyenletrendszer: n i+ k k i i 0 ξ, k 0,,... n Vegyük mindkét oldal várható értékét: n ( ) ( ) i+ k k i i 0 M M ξ k 0,,..., n

15 Gauss-Markov tétel Használuk ki, hogy: M ( ) i ξ y ai n i 0 n ( ) n i k M a k 0,,..., n + i+ k i i i 0 i 0 Ez csak akkor igaz bármely és értékre, ha M ( ) a, i 0,, n..., i i

16 Gauss-Markov tétel Előnyök: a módszer elteredt, minden matematikai - statisztikai programcsomag tartalmazza felhasználóbarát feldolgozásban. Formálisan az is tuda használni, aki nem ismeri matematikai hátteret, igaz marad a tétel akkor is, ha a függvénykapcsolat alaka: y n i p aiϕ i ( ) itt ϕ ( ) i telesen ismert függvény

17 Gauss-Markov tétel Hátrányok: Az első feltétel: a vizsgált változók közötti kapcsolat polinomiális. em polinommal közelítünk, hanem a vizsgált kapcsolat polinomiális. Ez a feltétel a műszaki gyakorlatban szinte soha sem tartható be. Ha a folyamat leírása közelítő, akkor a legkisebb négyzetek módszere a közelítést közelíti.

18 Gauss-Markov tétel A második feltétel: az egyik változót pontos, mérési hiba csak a másik változót terheli. Ez a műszaki gyakorlatban ritkán fordul elő. A gyakorlati esetek zömében mindkét változót hiba terheli.

19 Gauss-Markov tétel A feltétel-elemzés eredménye: a tétel matematikai feltételeit műszaki oldalról a legritkább esetben tuduk betartani. Így az értékes statisztikai állítást is csak ritkán tuduk kihasználni. Az esetek többségében a nyert közelítő függvényt csak vizuálisan tuduk értékelni.

20 Alkalmazás. Alkalmazás: A változók közötti kapcsolat: 3 y a a? Adott a megfigyelések eredménye: ξ Felrazoluk a pontokat:

21 Alkalmazás

22 Alkalmazás Becslés a legkisebb négyzetek módszerével: 5 ( ξ ) Deriválás: ( ξ )

23 Alkalmazás Rendezés: ξ Eredmény: 5 5 ξ

24

25 Alkalmazás 2 Mérési eredmények 2. Alkalmazás Hányad fokú polinomot válasszunk?

26 Alkalmazás 2 Másodfokú polinom

27 Alkalmazás 2 Harmadfokú polinom

28 Alkalmazás 2 egyedfokú polinom

29 Alkalmazás 2 Ötödfokú polinom

30 Alkalmazás 2 Hogyan kell a fokszámot megválasztani: Módszer: Ralston: Bevezetés a numerikus analizisbe Műszaki könyvkiadó 969. Halász G.-Huba A.: Műszaki mérések. Műegyetemi Kiadó 2003.

31 Gauss féle normál-egyenletek: Visszatérünk a elölt egyenlethez: n i+ k k i i 0 ξ, k 0,,... n Kifetük ezt a formát: Gauss féle normálegyenletek:

32 Gauss féle normál-egyenletek: n i+ k k i i 0 ξ, k 0,,... n 0 2 n n k ξ n+ 0 2 n k ξ... n n+ n+ 2 2n n n k n ξ

33 Gauss féle normál-egyenletek: és ξ a megfigyelésekből adottak, a szummák kiszámíthatóak. Az ismeretlenek az 0,,, n együtthatók n+ ismeretlen, n+ egyenlet, megoldható. Amikor valamely programcsomagba polinom illesztést hatunk végre, akkor a háttérben ennek az egyenletrendszernek a megoldása zalik le

34 Összefoglalás A módszer céla: kiegyenlítő függvény illesztése hibával terhelt megfigyelésekhez. Számítási módszer: a kiegyenlítő függvény és a megfigyelések közötti δ eltérést kiszámítom és minimalizálom ezeket négyzetösszegét. Előny: minden kereskedelmi programcsomagban készen áll az alkalmazásra Hátrány: csak az egyik változó hibáát kezeli, a statisztikai tétel feltételeit gyakran nem tuduk betartani (vizuális értékelés).